江苏省如皋市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题及答案
江苏省如皋市2019~2020学年度高二年级第一学期期末教学质量调研数学试题一､单项选择题1.已知过抛物线y ax =(0a >)的焦点且垂直于x 轴的弦长度为2,则实数的值为( ) A .4B .2C .1D .2.下列选择支中,可以作为曲线221y ax x =−−与x 轴有两个交点的充分不必要条件是( ) A .()1,−+∞B .()()1,00,−+∞C .()1,0−D .()2,−+∞3.气象资料表明,某地区每年七月份刮台风的概率为35,在刮台风的条件下,下大雨的概率为910,则该地区七月份既刮台风又下大雨的概率为( ) A .23B .2750C .910D .3104.一个班级共有30名学生,其中有10名女生,现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动,假设选出的3名代表中的女生人数为变量X ,男生的人数为变量Y ,则()()22P X P Y =+=等于( )A .221020330C C CB .221020330C C C + C .211210101020330C C C C C +D .()()211210101020330C C C C C+⋅+5.某设备的使用年限x (单位:年)与所支出的维修费用y (单位:万元)如下表所示.已知y 与x 具有线性相关关系,且线性回归方程为1y ax =+,则实数a 的值为( )A .6B .4D .16.在直角坐标系x o y 中,双曲线C :221169x y −=的右支上有一点P ,该点的横坐标为5,12F F 是C 的左､右焦点,则12PF F △的周长为( ) A .452B .18C .814D .3527.由0,1,2,3,4,5这6个数字可以组成五位没有重复数字的奇数个数为( ) A .288B .360C .480D .6008.已知a ,b 是平面α外的两条不同直线,它们在平面α内的射影分别是直线a ',b '(a '与b '不重合),则下列命题正确的个数是( ) (1)若ab ,则a b '';(2)若a b ⊥,则a b ''⊥; (3)若a b ''⊥,则a l1b ; (4)若a b ''⊥,则a ⊥b . A .0个B .1个C .2个D .3个二､多项选择题9.如城镇小汽车的普及率为75%,即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车,若从如城镇中任意选出5个家庭,则下列结论成立的是( ) A .这5个家庭均有小汽车的概率为2431024B .这5个家庭中,恰有三个家庭拥有小汽车的概率为2764C .这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车D .这5个家庭中,四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为8112810.若随机变量()0,1N ξ,()()x P x φξ=≤,其中0x >,下列等式成立有( )A .()()1x x φφ−=−B .()()22x x φφ=C .()()21Px x ξφ<=−D .()()2Px x ξφ>=−11.在正三棱锥A BCD −中,侧棱长为3,底面边长为2,E ,F 分别为棱AB ,CD 的中点,则下列命题正确的是( )A .EF 与AD 所成角的正切值为32B .EF 与AD 所成角的正切值为23C .AB 与面ACD 所成角的余弦值为12D .AB 与面ACD 所成角的余弦值为7912.如图,矩形ABCD 中,8AB =,6BC =,E ,F ,G ,H 分别是矩形四条边的中点,R ,S ,T 是线段OF 的四等分点,R ',S ',T '是线段CF 的四等分点,分别以HF ,EG 为x ,y 轴建立直角坐标系,设E R 与GR '､ER 与GT '分别交于1L ,2L ,ES 与GS '､ES 与GT '交于1M ,2M ,ET 与GT '交于点N ,则下列关于点1L ,2L ,1M ,2M ,N 与两个椭圆:1Γ:221169x y +=,2Γ:2231329x y +=的位置关系叙述正确的是( ) A .三点1L ,1M ,N 在1Γ,点2M 在2Γ上B .1L ,1M 不在1Γ上,2L ,N 在1Γ上C .点2M 在2Γ上,点1L ,2L ,1M 均不在2Γ上D .1L ,1M 在1Γ上,2L ,2M 均不在2Γ上三､填空题13.采用随机数表法从编号为01,02,03,……,30的30个个体中选取7个个体,指定从下面随机数表的第一行第5列开始,由左向右选取两个数字作为应取个体的号码,则选取的第6个个体号码是______. 03 47 43 86 36 16 47 80 45 6911 14 16 95 3661 46 98 63 7162 33 2636 7797 74 24 67 62 42 81 14 57 2042 53 32 37 3227 07 36 07 5224 52 7989 7314.一个球的直径为2,则它的内接正四棱柱侧面积的最大值为______.15.已知双曲线22221x y a b−=(0a >,0b >),其右焦点为F ,过点F 作双曲线渐近线的垂线,垂足为Q ,线段PQ 的中点恰好在双曲线上,则双曲线的离心率为______. 16.已知()()10292190121911x x xx a a x a x a x −+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+,则18a =______;6a =______.四､解答题17.为了了解居民消费情况,某地区调查了10000户小家庭的日常生活平均月消费金额,根据所得数据绘制了样本频率分布直方图,如图所示,每户小家庭的平均月消费金额均不超过9千元,其中第六组､第七组､第八组尚未绘制完成,但是已知这三组的频率依次成等差数列,且第六组户数比第七组多500户, (1)求第六组､第七组､第八组的户数,并补画图中所缺三组的直方图;(2)若定义月消费在3千元以下的小家庭为4类家庭,定义月消费在3千元至6千无的小家庭为B 类家庭,定义月消费6千元以上的小家庭为C 类家庭,现从这10000户家庭中按分层抽样的方法抽取80户家庭召开座谈会,间A ,B ,C 各层抽取的户数分别是多少?18.在直三棱柱ABC A B C '''−中,1AC BC ==,90ACB ∠=︒,12CC =,M ,N 分别是1AB ､1BC 上的点,且::1:2BM MA BN NC ==. (1)求证:MN平面11ACC A ;(2)求平面1MNB 与平面111A B C 所成锐二面角的余弦值.19.已知椭圆E :22221x y a b+=(0a b >>)过点()2,1A ,且它的右焦点为).(1)求椭圆E 的方程;(2)过A 且倾斜角互补的两直线分别交椭圆E 于点B ､C (不同于点A ),且12AC AB =,求直线AB 的方程. 20.农机公司出售收割机,一台收割机的使用寿命为五年,在农机公司购买收割机时可以一次性额外订购买若干次维修服务,费用为每次100元,每次维修时公司维修人员均上门服务,实际上门服务时还需支付维修人员的餐饮费50元/次;若实际维修次数少于购买的维修次数,则未提供服务的订购费用退还50%;如果维修次数超过了购买的次数,农机公司不再提供服务,收割机的维修只能到私人维修店,每次维修费用为400元,无须支付餐饮费;--位农机手在购买收割机时,需决策一次性购买多少次维修服务｡为此,他拟范收集､整理出一台收割机在五年使用期内维修次数及相应的频率如下表:(1)这位农机手的花费总费用是多少?如果实际维修的次数是8次,农机手的花费总费用又是多少?(2)农机手购买了一台收制机,试在购买维修次数为6次和7次的两个数据中,根据使用期内维修时花费的总费用期望值,帮助农机手进行决策.21.如图,ABC △是边长为3的正三角形,D ,E 分别在边AB ,AC 上,且1BD AE ==,沿DE 将ADE △翻折至A DE '△位置,使二面角A DE C '−−为60°. (1)求证:A C '⊥平面A DE '△; (2)求四棱锥A BDEC '−的体积.22.抛物线M :28y x =的焦点为F ,过焦点F 的直线l (与x 轴不垂直)交抛物线M 于点A ,B ,A 关于x 轴的对称点为1A .(1)求证:直线1A B 过定点,并求出这个定点;(2)若1A B 的垂直平分线交抛物线于C ,D ,四边形1A CBD 外接圆圆心N 的横坐标为19,求直线AB 和圆N 的方程.参考答案:一､单项选择题 1.B 2.C 3.B 4.C 5.D6.A7.A8.B二､多项选择题 9.ACD10.AC11.BC12.AC三､填空题 13.2014.1516.-9 8417.(1)设第六､七､八组的户数分别是x ,y ,z ,它们的频率之和为:()10.02520.050.150.200.250.30−⨯++++=, 所以这三组的户数之和为:100000.33000⨯=.由于这三组的频率依次成等差数列,所以x ,y ,z 也成等差数列,2y x z =+, 又3000x y z ++=,500x y −=,解得:1500x =,100y =,500z =. 所以第六､七､八组的小矩形高度分别为:15000.1510000=,10000.1010000=,5000.0510000=.补直方图(需注明第七组的小矩形高度为0.10,第六､八两组分别用虚线对应0.15和0.05.)(2)A 类家庭的频率之和为:0.0250.050.150.225++=; B 类家庭的频率之和为:0.200.250.150.60++=; C 类家庭的频率之和为:0.100.050.0250.175++=.故A ,B ,C 类家庭分别抽取的人数分别为:800.22518⨯=,800.648⨯=,800.17514⨯=. 答:(1)第六､七､八组的户数分别是:1500户､1000户､500户; (2)从A ,B ,C 三类家庭分别抽取的户数分别是18户､48户､14户. 18.(1)方法一以C 为原点,CA ,CB ,1CC 分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,如图,则()0,0,0C ,()1,0,0A ,()0,1,0B ,()0,0,2C ,()11,0,2A ,()0,1,2B 设()111,,M x y z ,因为123AM AB =,所以()()11121,,1,1,23x y z −=−, 故111124333x y z ===,得:124,,333M ⎛⎫⎪⎝⎭. 同理求得220,,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以12,0,33MN ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭.因为()0,1,0CB =是平面11ACC A 的一个法向量,且120010033CB MN ⎛⎫⎛⎫⋅=−⨯+⨯+−⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以CB MN ⊥,又MN ⊄平面11ACC A ,所以MN 平面11ACC A .方法二 延长1BN 交1CC 的延长线于L ,联结AL . 因为11//B B C L ,所以11::1:2B N NL BN NC ==, 又1:1:2B M MA =,所以11::B N NL B M MA =, 所以MN AL ,又AL ⊂平面11ACC A ,MN ⊄平面11ACC A ,所以MN平面11ACC A .(2)1112,,333B M ⎛⎫=−−⎪⎝⎭,12,0,33MN ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭,设平面1MNB 的--个法向量为(),,n x y z =, 则1112033312033B M n x y z MN n x z ⎧⋅=−−=⎪⎪⎨⎪⋅=−−=⎪⎩即20,20,x y z x z −−=⎧⎨+=⎩令1z =,则2x =−,4y =−, 所以()2,4,1n =−−.又平面111A B C 的一个法向量为()10,0,2OC =, 设θ表示平面1MNB 与平面111A B C 所成锐二面角,则()()12212041221212412n OC cos n OC θ⋅−⨯+−⨯+⨯===⋅−+−+⨯. 19.(1)由条件知:22226,411a b a b⎧−=⎪⎨+=⎪⎩. 解得:2282a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩,所以椭圆E 的方程为:22182x y +=. (2)设直线AB :()12y k x −=−,将直线AB 的方程代入椭圆方程:22480x y +−=得:()2242180x k x +−+−=⎡⎤⎣⎦,即()()()2224280x x k x k ⎡⎤−++−+=⎣⎦,解得:2x =或2288241p k k x k −−=+.故2212241k AB k +=−==+.同理:AB ==因为2AB AC =,所以221241k k +=⨯+.化简得:21221k k +=−, 解得:32k =或16, 所以直线AB 的方程为:()3122y x −=−或()1126y x −=− 即3240x y −−=或640x y −+=.20.(1)购买6次维修,而实际维修次数为5次时的维修总费用为:610050550800⨯−+⨯=(元);购买6次维修,而实际维修次数为8次时的维修总费用为:610050624001700⨯+⨯+⨯=(元).(2)购买6次维修时:实际维修次数为6次时的维修总费用为:6100650900⨯+⨯=(元); 实际维修次数为7次时的维修总费用为:9004001300+=(元); 实际维修次数为9次时的维修总费用为:17004002100+=(元). 综合(1)的计算,订购维修次数6次时的维修总费用概率分布表:()18000.39000.313000.217000.121000.11150E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(元);若订购维修次数为7次时,维修总费用的概率分布表为:()28500.39500.310500.214500.118500.11080E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(元).因为()()12E E ξξ>,所以选订购7次维修较划算. 21.(1)在ADE △中,2AD =,1AE =,60DAE ∠=︒,所以222222cos 21221cos603DE AD AE AD AE DAE =+−⋅∠=+−⨯⨯⨯︒=,B所以2224DE AE AD +==,90AED ∠=︒即DE AE ⊥,DE EC ⊥;翻折后,DE A E '⊥,DE EC ⊥,又EA EC E '=,EA ',EC ⊂平面A EC ',所以DE ⊥平面A EC ',且60A EC '∠=︒, 又A C '⊂平面A EC ',所以DE A C '⊥①;在A EC '△中,1A E '=,2EC =,60A EC '∠=︒,与证明90AED ∠=︒同理可得:90EA C '∠=︒. 所以A C A E ''⊥②; 由于①②及A EDE E '=,A E ',DE ⊂平面A ED ',所以A C '⊥平面A DE '.(2)由(1)可知:DE ⊥平面A EC ',又DE ⊂平面BDEC ,所以平面BDEC ⊥平面A EC '. 在平面A EC '内过A '作A H EC '⊥于H ,由于平面A EC '平面BDEC EC =,所以A H '⊥平面BDEC ,又sin 602A H A E ''=︒=,且21321sin 602BDEC ABC ADE S S S =−=−⨯⨯⨯︒=△△所以117338A BDEC BDEC V S A H '−'=⋅==. 22.(1)设直线AB :2my x =−(0m ≠),代入抛物线方程得:28160y my −−=, 所以128y y m +=,1216y y =−, 设()11,A x y ,()22,B x y ,则()111,A x y −, 从而1A B :()121121y y y y x x x x ++=−−,令0y =得:()()()21122112121212122221622228my y my y m x y x y my y x y y y y y y m+++⨯−+===+=+=−+++,所以直线AB 过定点()2,0−. (2)由(1)知:()()()121212112=22A B y y y y k my my m y y ++=+−++, 且21y y −==当21y y −=,1A B k =直线1AB :)2y x =+,设线段1A B 的中点为()00,E x y ,则()01212y y y =−+=, 所以200242x y m −=+,所以(24E m +,从而CD:)242y x m −=−−即)246y x m =−−,上述方程代入28y x =得:()()2222212464601x m x m m ⎡⎤−++++=⎢⎥+⎣⎦(*), 因为CD 是1A B 的垂直平分线,所以线段CD 是圆N 的直径,所以()2212462191C D x x m m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦+=++=⨯+,解得:m =所以直线AB :20x −=.此时CD :236y x =−+,19x =时,2y =−,方程(*)化简为:2383240x x −+=,求得CD =圆N :()()22192185x y −++=;当21y y −=−,同理求得AB :20x −=,圆N :()()22192185x y −++=. 综上,直线AB :20x ±−=,圆N :()()22192185x y −+±=.。
2019-2020年高二上学期期末考试 数学理 含答案
2019-2020年高二上学期期末考试 数学理 含答案本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
） 1．下列命题正确的是A ．若a 2＞b 2，则a ＞b B ．若1a ＞1b，则a ＜bC ．若ac ＞bc ，则a ＞bD ．若a ＜b ， 则a ＜b2．抛物线28y x =-的焦点坐标是A ．（2，0）B ．（- 2，0）C ．（4，0）D ．（- 4，0）3. 设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =A. 2eB. eC.ln 22D. ln 24．某食品的广告词为：“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词， 然而他的实际效果大哩，原来这句话的等价命题是 A ．不拥有的人们不一定幸福 B ．不拥有的人们可能幸福 C ．拥有的人们不一定幸福 D ．不拥有的人们不幸福 5．不等式21≥-xx 的解集为A ．)0,1[-B ．),1[∞+-C ．]1,(--∞D ．),0(]1,(∞+--∞6．下列有关选项正确的．．．是 A ．若q p ∨为真命题，则p q ∧为真命题. B ．“5x =”是“2450x x --=”的充要条件.C ．命题“若1x <-，则2230x x -->”的否命题为：“若1x <-，则2320x x -+≤”. D ．已知命题p ：R x ∈∃，使得210x x +-<，则p ⌝：R x ∈∀，使得210x x +-≥7．设0,0.a b >>1133aba b+与的等比中项，则的最小值为 A ． 8 B ． 4 C ． 1D ． 148. 如图，共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别为1234e e e e 、、、，其大小 关系为A.1243e e e e <<<B.1234e e e e <<<C.2134e e e e <<<D.2143e e e e <<<9．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且ka ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是A ．1 B.15 C. 75 D. 3510 在等差数列{}n a 中，若4,184==S S ，则20191817a a a a +++的值为A 9B 12C 16D 1711．在正方体111111ABCD A B C D BB ACD -中，与平面的余弦值为A32B33 C 32D3612．已知点P 是ABC ∆的中位线EF 上任意一点，且//EF BC ，实数x ，y 满足PA xPB yPC ++=0．设ABC ∆，PBC ∆，PCA ∆，PAB ∆的面积分别为S ，1S ，2S ，3S ， 记11S S λ=，22SS λ=，33S Sλ=．则23λλ⋅取最大值时，2x y +的值为A ．32 B.12C. 1D. 2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13. 在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_14．当x y 、满足不等式组11y x y x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩时，目标函数2t x y =+的最小值是 .15. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线方程为3y x =±，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．16 对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是 三、解答题求函数44313+-=x x y 在区间03⎡⎤⎣⎦，上的最大值与最小值以及增区间和减区间。
江苏省如皋市2019_2020学年高二数学上学期教学质量调研试题一含解析
则 且
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了直线与椭圆位置关系的判断，常见的判断方法是联立直线方程与曲线方程，但此类方法一般计算量比较大，而本题的这种解决灵活的应用了直线恒过定点的性质，但解题时容易漏掉焦点在 轴上的条件的考虑，误认为只有 ．
9.已知双曲线 ，过右焦点的直线交双曲线于 两点，若 中点的横坐标为4，则弦 长为（ ）
设直线 ： ，
联立 ，得
则 ，
∴
将 代入得
.
∴直线 与直线 的斜率之和为2.
【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，利用韦达定理和斜率公式对式子进行变形计算，对学生计算能力要求较高，难度比较大．
20.如图，马路 南边有一小池塘，池塘岸 长40米，池塘的最远端 到 的距离为400米，且池塘的边界为抛物线型，现要在池塘的周边建一个等腰梯形的环池塘小路 ，且 均与小池塘岸线相切，记 .
12.过点 的直线 与椭圆 交于 两点，若 则直线 的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设直线 的方程为： ，与椭圆方程联立．由 ，可得 ，将其与韦达定理联立，即可解出直线 的斜率．
【详解】解：设直线 的方程为： ．
联立 ，化为： ， ，
．
，即
，
的向斜率 ．
【点睛】本题考查直线和双曲线相交，产生的弦的长度问题，属于基础题．
10.在平面直角坐标系 中，已知 是抛物线 的焦点，过点 作两条相互垂直的直线 ， 分别与抛物线交于点 和 ，记 的中点为 ， 的中点为 ，则 的最小值是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】
2019-2020学年高二年级上学期期末考试数学试卷附解答
2019-2020学年高二年级上学期期末考试数学试卷一、填空题（每小题 3分，共36 分）1.关于,x y 的二元一次方程的增广矩阵为123015-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y += 。
【答案】8-2.已知(5,1),(3,2)OA OB =-=，则AB 对应的坐标是 。
【答案】）（3,23.已知直线420ax y +-=与直线10x ay ++=重合,则a = 。
【答案】2-4.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是AB 中点，F 为BC 中点，则直线1A E 与1C F 的位置关系是 。
【答案】相交5.圆22240x y x y +-+=的圆心到直线3450x y +-=的距离等于 。
【答案】26.已知复数22iz i+=，则z 的虚部为 。
【答案】1- 7..经过动直线20kx y k -+=上的定点，方向向量为(1,1)的直线方程是 。
【答案】02=+-y x8.复数34i +平方根是 。
【答案】）（i +±29.过点(),0M 且和双曲线2222x y -=有相同的焦点的椭圆方程为 。
【答案】13622=+y x 10.已知双曲线22:1916x y C -=的左、右焦点分别为12,F F P ，为双曲线C 的右支上一点，且212PF F F =，则12PF F ∆的面积等于 。
【答案】4811.平面上一机器人在行进中始终保持与点(1,0)F 的距离和到直线1x =-的距离相等。
若机器人接触不到过点(1,0)P -且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是 。
【答案】）（）（+∞∞,11-,-【解析】由抛物线定义可知，机器人的轨迹方程为x y 42=，过点)0,1(-P 且斜率为k 的直线方程为)1(+=x k y 代入x y 42=，可得0)42(2222=+-+k x k x k ， 机器人接触不到过点)0,1(-P 且斜率为k 的直线，04)42422<--=∆∴k k （，1-<∴k 或1>k . 12.已知圆M :22(1)1x y +-=，圆N :22(1)1x y ++=.直线1l 、2l 分别过圆心M 、N ，且1l 与圆M 相交于,A B 两点，2l 与圆N 相交于,C D 两点。
2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷(理科)含解答解析
2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 在一次数学测试中，成绩在区间上成为优秀，有甲、乙两名同学，设命题p是“甲测试成绩优秀”，q是“乙测试成绩优秀”，则命题“甲、乙中至少有一位同学成绩不是优秀”可表示为A. ￢￢B. ￢C. ￢￢D.【答案】A【解析】解：由题意值￢是“甲测试成绩不优秀”，￢是“乙测试成绩不优秀”，则命题“甲、乙中至少有一位同学成绩不是优秀”，则用￢￢表示，故选：A．求出￢，￢，结合或且非的意义进行求解即可．本题主要考查逻辑连接词的应用，结合复合命题之间的关系是解决本题的关键．2. 抛物线的焦点坐标是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：在抛物线--，即，，，焦点坐标是，故选：C．先把抛物线的方程化为标准形式，再求出抛物线的焦点坐标．本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，比较基础．3. 的一个必要不充分条件是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：的充要条件为对于A是的充要条件对于B，是的充分不必要条件对于C，的不充分不必要条件对于D，是的一个必要不充分条件故选：D．通过解二次不等式求出的充要条件，通过对四个选项的范围与充要条件的范围间的包含关系的判断，得到的一个必要不充分条件．解决一个命题是另一个命题的什么条件，应该先化简各个命题，再进行判断，判断时常有的方法有：定义法、集合法．4. 已知双曲线C：的离心率为，则C的渐近线方程为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由题意可得，即为，由，可得，即，双曲线的渐近线方程为，即为．故选：D．运用双曲线的离心率公式可得，由a，b，c的关系和双曲线的渐近线方程，计算即可得到所求方程．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用离心率公式和双曲线的方程，考查运算能力，属于基础题．5. 四面体OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，P是MN的三等分点靠近，若，，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：根据题意得，故选：B．运用平面向量基本定理可解决此问题．本题考查平面向量基本定理的简单应用．6. 点到直线的距离为d，则d的最大值为A. 3B. 4C. 5D. 7【答案】A【解析】解：直线即，令，解得，．可得直线经过定点．则当时，d取得最大值．．故选：A．直线即，令，解得直线经过定点则当时，d取得最大值．本题考查了直线经过定点、相互垂直的直线，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7. 如图：在直棱柱中，，，P，Q，M分别是，BC，的中点，则直线PQ与AM所成的角是A.B.C.D.【答案】D【解析】解：以A为坐标原点，分别以AB，AC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设，则0，，2，，0，，1，．，．．直线PQ与AM所成的角是．故选：D．以A为坐标原点，分别以AB，AC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设，分别求出与的坐标，利用空间向量求解．本题考查异面直线所成角的求法，训练了利用空间向量求解空间角，是基础题．8. 《九章算术商功》：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？答曰：四万六千五百尺”所谓堑堵：就是两底面为直角三角形的直棱柱：如图所示的几何体是一个“堑堵”，，，M是的中点，过BCM的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，则三棱台的表面积为A. 40B.C. 50D.【答案】B【解析】解：几何体是一个“堑堵”，，，M是的中点，过BCM的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，取的中点N，连结MN，BN，，，三棱台的表面积为：梯形梯形梯形．故选：B．取的中点N，连结MN，BN，则三棱台的表面积为梯形梯形梯形．本题考查三棱台的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．9. 直线l过椭圆的左焦点F，且与椭圆交于P，Q两点，M为PQ的中点，O为原点，若是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由，得，，．则，则左焦点．由题意可知，直线l的斜率存在且不等于0，则直线l的方程为．设l与椭圆相交于、，联立，得：．则PQ的中点M的横坐标为．是以OF为底边的等腰三角形，，解得：．故选：B．由椭圆方程求得椭圆的焦点坐标，设出直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系结合中点坐标公式求出M的坐标，由，求得直线l的斜率．本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，是中档题．10. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，直线m过点F，且与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，过A点作l的垂线，垂足为，若，则A. B. C. D. P【答案】C【解析】解：抛物线的焦点为，准线为l：，当直线m的斜率不存在时，，不满足题意；当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为，与抛物线联立，得，消去y整理得，，又，，，．故选：C．讨论直线m的斜率不存在时，不满足题意；直线m的斜率存在时，设直线m的方程为，与抛物线联立消去y得的值；利用求出的值，再求的值，从而求得的值．本题考查了直线与抛物线方程的应用问题，也考查了分类讨论思想应用问题，是中档题．11. 已知椭圆C的两个焦点分别是，，短轴的两个端点分别为M，N，左右顶点分别为，，若为等腰直角三角形，点T在椭圆C上，且斜率的取值范围是，那么斜率的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：设椭圆方程为．由为等腰直角三角形，且，得，解得，．则椭圆C的方程为．则，．设，则，得，，，，又，，解得：．斜率的取值范围是．故选：C．由已知求得椭圆方程，分别求出，的坐标，再由斜率之间的关系列式求解．本题考查椭圆的简单性质，考查运算求解能力及推理运算能力，是中档题．12. 如图：已知双曲线中，，为左右顶点，F为右焦点，B为虚轴的上端点，若在线段BF上不含端点存在不同的两点，使得构成以为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e的取值范围是A.B.C.D.【答案】A【解析】解：由题意，，，则直线BF的方程为，在线段BF上不含端点存在不同的两点，使得构成以线段为斜边的直角三角形，，，，在线段BF上不含端点有且仅有两个不同的点，使得，可得，，，．故选：A．求出直线BF的方程为，利用直线与圆的位置关系，结合，即可求出双曲线离心率e 的取值范围．本题考查双曲线的简单性质，考查离心率，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. “”是假命题，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】解：命题“”是假命题，则命题的否定是：，”是真命题，则，解得：故答案为：．特称命题与其否定的真假性相反，求解全称命题是真命题，求出m的范围即可．本题考查命题的真假判断与应用，考查等价转化思想与运算求解能力，属于基础题．14. 已知，若三向量共面，则实数______．【答案】【解析】解：，不平行，三向量共面，存在实数x，y，使，，解得，，．故答案为：．推导出不平行，由三向量共面，得存在实数x，y，使，列方程组能求出．本题考查的知识点是共线向量与向量及平面向量基本定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15. 如图，的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知，，，则CD的长为______．【答案】【解析】解：由条件，知，．所以所以．故答案为：．由已知可得，，利用数量积的性质即可得出．本题考查面面角，考查空间距离的计算，熟练掌握向量的运算和数量积运算是解题的关键．16. 椭圆有如下光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点，已知椭圆C，其长轴的长为2a，焦距为2c，若一条光线从椭圆的左焦点出发，第一次回到焦点所经过的路程为5c，则椭圆C的离心率为______．【答案】或或【解析】解：依据椭圆的光线性质，光线从左焦点出发后，有如图所示三种路径：图1中：，则；图2中：，则；图3中，，则．椭圆C的离心率为或或，故答案为：或或．由题意画出图形，分类求解得答案．本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知命题p：方程表示双曲线；命题q：，若￢是￢的充分不必要条件，求实数k的取值范围．【答案】解：p真：得或，q真：，￢是￢的充分不必要条件，若￢是￢的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，，则有或，或，即实数k的取值范围是或．【解析】求出命题p，q为真命题的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行转化即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出p，q为真命题的等价条件以及利用逆否命题的等价性进行转化是解决本题的关键．18. 在直角坐标系xOy中，直线：，圆：，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．Ⅰ求，的极坐标方程；Ⅱ若直线的极坐标方程为，设与的交点为M，N，求的面积．【答案】解：Ⅰ由于，，：的极坐标方程为，故C：的极坐标方程为：，化简可得．Ⅱ把直线的极坐标方程代入圆：，可得，求得，，，由于圆的半径为1，，的面积为．【解析】Ⅰ由条件根据，求得，的极坐标方程．Ⅱ把直线的极坐标方程代入，求得和的值，结合圆的半径可得，从而求得的面积的值．本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题．19. 如图：直三棱柱中，，，，D为棱上的一动点，M，N分别是，的重心，求证：；若点C在上的射影正好为M，求DN与面ABD所成角的正弦值．【答案】证明：有题意知，，，两两互相垂直，以为原点建立空间直角坐系如图所示，则0，，2，，0，，2，设0，，0，，N分别为和，的重心，，，．解：在上的射影为M，面ABD，，又，，得，解得得，或舍，，，设面ABD的法向量为y，，则，取，得1，，设DN与平面ABD所成角为则，与平面ABD所成角的正弦值为．【解析】由，，两两互相垂直，以为原点建立空间直角坐系，利用向量法能证明．求出面ABD的法向量，利用向量法能求出DN与平面ABD所成角的正弦值．本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20. 设抛物线C：，点，过点P作直线l，若l与C只有一个公共点，求l的方程过C的焦点F，交C与A，B两点，求：弦长；以A，B为直径的圆的方程．【答案】解：若l的斜率不存在，则l：，符合题意；分若l的斜率存在，设斜率为k，则l：；分由，消去y得，由，解得或，直线l的方程为：或；分综上所述，直线l的方程为：或或；分抛物线的焦点为，直线l的方程为：；设，，由，消去x得，；又，；分以AB为直径的圆的半径为；设AB的中点为，则，，圆心为，所求圆的方程为；综上所述，，所求圆的方程为分．【解析】讨论l的斜率不存在和斜率存在时，分别求出直线l的方程即可；写出直线l的方程，与抛物线方程联立求得弦长，再求以AB为直径的圆的方程．本题考查了直线与圆以及抛物线方程的应用问题，是中档题．21. 如图，在等腰梯形CDEF中，CB，DA是梯形的高，，，现将梯形沿CB，DA折起，使且，得一简单组合体ABCDEF如图示，已知M，N分别为AF，BD 的中点．Ⅰ求证：平面BCF；Ⅱ若直线DE与平面ABFE所成角的正切值为，则求平面CDEF与平面ADE所成的锐二面角大小．【答案】证明：Ⅰ连AC，四边形ABCD是矩形，N为BD中点，为AC中点．在中，M为AF中点，故．平面BCF，平面BCF，平面BCF．Ⅱ依题意知，且平面ABFE，在面ABFE上的射影是AE．就是DE与平面ABFE所成的角．故在中：．设且，分别以AB，AP，AD所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则设分别是平面ADE与平面CDFE的法向量令，即取则平面ADE与平面CDFE所成锐二面角的大小为．运用椭圆的性质，合理地进行等价转化．【解析】连结AC，通过证明，利用直线与平面平行的判定定理证明平面BCF．先由线面垂直的判定定理可证得平面ABFE，可知就是DE与平面ABFE所成的角，解，可得AD及DE的长，分别以AB，AP，AD所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面ADE与平面CDFE的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定与性质，直线与平面平行的判定，线面夹角，是立体几何知识的综合考查，难度较大．22. 已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，离心率．Ⅰ求椭圆E的方程；Ⅱ过点作直线l交E于P、Q两点，试问在x轴上是否存在一定点M，使为定值？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：Ⅰ，所求椭圆E的方程为：分Ⅱ当直线l不与x轴重合时，可设直线l的方程为：，把代入整理得：，分假设存在定点，使得为定值当且仅当，即时，为定值这时分再验证当直线l的倾斜角时的情形，此时取，，存在定点使得对于经过点的任意一条直线l均有恒为定值．【解析】Ⅰ，由此能导出所求椭圆E的方程．Ⅱ当直线l不与x轴重合时，可设直线l的方程为：，由，整理得：，，假设存在定点，使得为定值由此入手能够推导出存在定点，使得对于经过点的任意一条直线l均有恒为定值．本题考查椭圆方程的求法和点M的存在性质的判断解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活。
2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.从已经编号的～名学生中抽取20人进行调查，采用系统抽样法若第1组抽取的号码是2，则第10组抽取的号码是A. 74B. 83C. 92D. 96【答案】B【解析】解：样本间隔为，第10组抽取的号码是，故选：B．求出样本间隔，结合系统抽样的定义进行求解即可．本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键．2.命题“，”的否定是A. “，B. “，C. ，D. ，【答案】D【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：命题“，”的否定是：，．故选：D．直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．3.甲在微信群中发布5元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人依次抢完若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“手气最佳”即乙领取的钱数不少于丙、丁的概率是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：如下图，利用隔板法，得到共计有种领法，乙领2元获得“最佳手气”的情况有2种，乙领3元获得“最佳手气”的情况有1种，乙获得“最佳手气”的情况总数，乙获得“最佳手气”的概率．利用隔板法得到共计有种领法，乙获得“最佳手气”的情况总数，由此能求出乙获得“最佳手气”的概率．本题考查概率的求法，考查隔板法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.对甲、乙两个大学生一周内每天的消费额进行统计，得到样本的茎叶图，如图所示，则下列判断错误的是A. 甲消费额的众数是57，乙消费额的众数是63B. 甲消费额的中位数是57，乙消费额的中位数是56C. 甲消费额的平均数大于乙消费额的平均数D. 甲消费额的方差小于乙消费额的方差【答案】D【解析】解：由茎叶图可得：对于A，甲组数据中的众数为57，乙组数据中的众数为63，可得正确；对于B，甲消费额的中位数是57，乙消费额的中位数是56，可得正确；对于C，甲，乙，可得甲乙，可得正确；对于D，甲，乙，可得：甲乙，可得甲消费额的方差大于乙消费额的方差，故D错误；故选：D．由茎叶图计算两组的众数，中位数，平均数，方差即可得解．本题考查茎叶图的应用，考查数据的几个常见的量，本题是一个基础题，解题时注意对于数据的个数不要弄丢数据，属于基础题．5.抛物线C：的焦点为F，点M为C上第一象限内一点，，y轴上一点N位于以MF为直径的圆上，则N的纵坐标为A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】解：抛物线C：的焦点为，点M为C上第一象限内一点，，y轴上一点N位于以MF为直径的圆上，即，时，．利用已知条件，求出圆的方程，然后求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．6.已知，函数的图象在点处的切线为l，则l在y轴上的截距为A. B. C. 2 D. 1【答案】D【解析】解：函数，可得，切线的斜率为：，切点坐标，切线方程l为：，l在y轴上的截距为：．故选：D．求出函数的导数，然后求解切线斜率，求出切点坐标，然后求解切线方程，推出l在y 轴上的截距．本题考查曲线的切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．7.已知双曲线C：的一个焦点和抛物线的焦点相同，则双曲线C的渐近线方程为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：抛物线的焦点，双曲线C：的一个焦点和抛物线的焦点相同，可得，可得，解得，所以双曲线C的渐近线方程：故选：B．求出双曲线的焦点坐标与抛物线的焦点坐标，然后求解即可．本题考查双曲线以及抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．8.正方体中，O为底面ABCD的中心，则直线与平面所成角的正弦值为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：正方体中，O为底面ABCD的中心，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体中棱长为2，2，，，，1，，设平面的法向量y，，则，取，得0，，设直线与平面所成角为，则．直线与平面所成角的正弦值为．故选：A．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值．本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9.函数在时有极值0，那么的值为A. 14B. 40C. 48D. 52【答案】B【解析】解：函数，，若在时有极值0，可得，则，解得：，或，，当，时，，满足题意函数在时有极值0．当，时，，不满足题意：函数在时有极值0．．故选：B．，若在时有极值0，可得，解得a，b，并且验证即可得出．本题考查了利用导数研究函数的极值、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的s，k依次是A. 15，4B. 15，5C. 31，6D. 31，7【答案】A【解析】解：模拟程序的运行，可得，，，第1次执行循环体，，，，第2次执行循环体，，，，第3次执行循环体，，第4次执行循环体，，，，第5次执行循环体，，第6次执行循环体，，第7次执行循环体，，第8次执行循环体，，，，此时，满足条件，退出循环，输出s，k的值分别为：15，4．故选：A．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s，k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．11.已知双曲线C：，P是双曲线C上不同于顶点的动点，经过P分别作曲线C的两条渐近线的平行线，与两条渐近线围成平行四边形OAPB，则四边形OAPB 的面积是A. 2B. 1C.D.【答案】B【解析】解：设，则，设PA和渐近线平行，PB和渐近线平行，由PA：，PB：，且PA和渐近线的距离为，由和，求得，可得，即有四边形OAPB的面积是．故选：B．设，则，求得渐近线方程，设出PA，PB的方程，运用点到直线的距离公式求得渐近线和PA的距离，以及B的坐标，再由平行四边形的面积公式，本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查点到直线的距离公式和化简运算能力，属于中档题．12.已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，设，，且时，则直线MN斜率的取值范围是A. B.C. D.【答案】A【解析】解：设直线l的方程为，则，设点、将直线l的方程与抛物线C的方程联立，消去x得，，由韦达定理得．．所以，，所以，x轴为的角平分线，，所以，将式代入韦达定理得，，则，所以，，，所以，．设直线MN的斜率为k，则即，所以，，解得或．故选：A．设点、，并设直线l的方程为，将直线l的方程与抛物线C的方程联立，列出韦达定理，利用两点的斜率公式并结合韦达定理得出直线QM和直线NQ的斜率互为相反数，得出的角平分线为x轴，利用角平分线的性质得出，可得出，代入韦达定理并消去可得出关于的函数表达式，可计算出的范围，由可得出直线MN的斜率k的取值范围．本题考查直线与抛物线的综合问题，考查角平分线的性质，同时也考查了韦达定理法在抛物线综合中的应用，考查计算能力，属于中等题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数的图象在点处的切线斜率为______．【解析】解：，．函数的图象在点处的切线斜率为：0．故答案为：0．先对函数进行求导运算，根据在点处切线的斜率为在点处的导数值，可得答案．本题主要考查函数的导数和在某点处切线斜率的关系属基础题．14.已知四棱锥的所有顶点都在球O的球面上，底面ABCD，底面ABCD为正方形，现在球O的内部任取一点，则该点取自四棱锥的内部的概率为______．【答案】【解析】解：四棱锥扩展为正方体，则正方体的对角线的长是外接球的直径，即，即，则四棱锥的条件，球的体积为，则该点取自四棱锥的内部的概率，故答案为：根据条件求出四棱锥的条件和球的体积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．本题主要考查几何概型的概率的计算，结合条件求出四棱锥和球的体积是解决本题的关键．15.椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上的点，，，则椭圆C的短轴长是______．【答案】【解析】解：椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上的点，，，，，可得：，，，解得：则椭圆C的短轴长是．故答案为：．利用椭圆的定义以及余弦定理以及三角形的面积，转化求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．16.函数，，，若存在实数x，使得成立，则a的取值范围是______．【答案】【解析】解：函数，，，若存在实数，使得成立，可得成立，可令，，由，时，，递增；时，，递减，可得处取得极小值，且为最小值，可得，解得，故a的范围是．由题意可得成立，可令，求得导数和单调性、极值和最小值，可令最小值小于0，即可得到所求范围．本题考查不等式成立问题解法，注意运用转化思想和构造函数法，考查导数的运用：判断单调性和求最值，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知p：，q：，且q是p的必要条件，求实数a的取值范围．【答案】解：由得，即p：，若q是p的必要条件，即，即当时，恒成立，即恒成立，设，函数的导数，当时，恒成立，即此时为增函数，即当时，函数取得最小值为，则，即实数a的取值范围是．【解析】求出p的等价条件，结合必要条件的定义转化为当时，恒成立问题进行求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的定义，根据必要条件的定义转化为不等式恒成立是解决本题的关键．18.某洗车店对每天进店洗车车辆数x和用次卡消费的车辆数y进行了统计对比，得到如下的表格：Ⅰ根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；的结果保留两位小数Ⅱ试根据求出的线性回归方程，预测时，用次卡洗车的车辆数．参考公式：由最小二乘法所得回归直线的方程是；其中，，．【答案】解：Ⅰ，．，．．．则y关于x的线性回归方程为；Ⅱ由Ⅰ的线性回归方程可得，当时，用次卡洗车的车辆数估计是．【解析】Ⅰ由已知图表结合公式即可求得y关于x的线性回归方程；Ⅱ在Ⅰ中求得的线性回归方程中，取求得y值，则答案可求．本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．19.过去大多数人采用储蓄的方式将钱储蓄起来，以保证自己生活的稳定考虑到通货膨胀的压力，如果我们把所有的钱都用来储蓄，这并不是一种很好的方式随着金融业的发展，普通人能够使用的投资理财工具也多了起来为了研究某种理财工具的使用情况，现对年龄段的人员进行了调查研究，将各年龄段人数分成5组：，，，，，并整理得到如下频率分布直方图：Ⅰ估计使用这种理财工具的人员年龄的中位数、平均数；Ⅱ采用分层抽样的方法，从第二组、第三组、第四组中共抽取8人，则三个组中各抽取多少人？Ⅲ在Ⅱ中抽取的8人中，随机抽取2人，则第三组至少有1个人被抽到的概率是多少？【答案】解：Ⅰ年龄在，，的频率为，，，，，中位数为，平均数的估计值为：．Ⅱ第二组、第三组、第四组的频率比为1：2：1，三个组依次抽取的人数为2，4，2．Ⅲ在Ⅱ中抽取的8人中，随机抽取2人，基本事件总数，第三组至少有1个人被抽到的对立事件是第三组没有人被抽到，第三组至少有1个人被抽到的概率．【解析】Ⅰ由频率分布直方图能求出中位数和平均数的估计值．Ⅱ第二组、第三组、第四组的频率比为1：2：1，由此能求出三个组依次抽取的人数．Ⅲ在Ⅱ中抽取的8人中，随机抽取2人，基本事件总数，第三组至少有1个人被抽到的对立事件是第三组没有人被抽到，利用对立事件概率计算公式能求出第三组至少有1个人被抽到的概率．本题考查中位数、平均数、频数、概率的求法，考查频率分布直方图、分层抽样、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.如图所示的多面体中，四边形ABCD为菱形，，，面ABCD，，，异面直线AF，CD所成角的余弦值为．Ⅰ求证：面面EDB；Ⅱ求二面角的余弦值．【答案】证明：Ⅰ四边形ABCD是菱形，，面ABCD，面ABCD，，，面EBD，面ACF，面面EDB．解：Ⅱ四边形ABCD 是菱形，，，，，，，，，四边形EFOD是平行四边形，，则，，0，，设0，，则，，，，解得，则0，，1，，1，，，，，设平面AFB的法向量y，，则，取，得，设平面AFE的法向量y，，则，取，得0，，设二面角的平面角为，由图形得为钝角，则．二面角的余弦值为．【解析】Ⅰ推导出，从而，进而面EBD，由此能证明面面EDB．Ⅱ推导出四边形EFOD是平行四边形，从而，由面ABCD，得面ABCD，以O为原点，OA，OB，OF分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.已知，，圆上的动点T满足：线段TQ的垂直平分线与线段TP相交于点K．Ⅰ求点K的轨迹C的方程；Ⅱ经过点的斜率之积为的两条直线，分别与曲线C相交于M，N两点，试判断直线MN是否经过定点若是，则求出定点坐标；若否，则说明理由．【答案】解：Ⅰ，点K的轨迹是以P，Q为焦点，长轴长为4，焦距为的椭圆，点K的轨迹方程为：，Ⅱ设直线AM的斜率为k，则直线AM的方程为，联立可得，整理，可得，则，则，代入，可得，，同理可得，当M，N的横坐标不相等时，直线MN的斜率，故直线MN的方程为，令，可得，此时直线MN经过点，当M，N的横坐标相等时，有，解得，此时点M，N的横坐标为，此时直线MN经过点，综上所述直线MN经过点【解析】Ⅰ利用椭圆的定义即可得出k的轨迹方程；Ⅱ设直线AM的方程为，代入椭圆方程消元，得出M，N坐标的关系，求出MN的方程，即可求出点的坐标．本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，定点问题，考查了运算求解能力，属于中档题．22.已知，．Ⅰ讨论的单调性；Ⅱ当时，恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：Ⅰ的定义域是，，当时，，在递增，当时，在上，，递减，在上，，递增，综上，当时，在递增，时，在递减，在递增；Ⅱ恒成立，即恒成立，设，则，，的单调性和相同，当时，在递增，，故在递增，，当时，在递减，在递增，当时，，在递增，，故是增函数，故，当时，在区间上，递减，故，故递减，故，不合题意，综上，a的范围是．【解析】Ⅰ求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；Ⅱ问题转化为恒成立，设，求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最值，从而确定a的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。
2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题(理科)附解答
2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合0，，，则A. B. 0， C. D.【答案】C【解析】解：；．故选：C．可求出B，然后进行并集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，绝对值不等式的解法，以及并集的运算．2.已知数列中，，则A. 4B. 9C. 12D. 13【答案】D【解析】解：数列中，，则．故选：D．利用通项公式即可得出．本题考查了数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.已知椭圆C：中，，，则该椭圆标准方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：根据题意，椭圆C：，其焦点在x轴上，若，，则，则椭圆的方程为；故选：A．根据题意，分析椭圆的焦点位置，由椭圆的几何性质可得b的值，代入椭圆的方程即可得答案．本题考查椭圆的标准方程，注意掌握椭圆标准方程的形式，属于基础题．4.若向量，，则A. B. C. 3 D.【答案】D【解析】解：向量，，0，，．故选：D．利用向量坐标运算法则求解0，，由此能求出的值．本题考查向量的模的求法，考查向量坐标运算法则、向量的模等基础知识，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，是基础题．5.设a，，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】C【解析】解：若，，不等式等价为，此时成立．，不等式等价为，即，此时成立．，不等式等价为，即，此时成立，即充分性成立．若，当，时，去掉绝对值得，，因为，所以，即．当，时，．当，时，去掉绝对值得，，因为，所以，即即必要性成立，综上“”是“”的充要条件，故选：C．根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质结合分类讨论是解决本题的关键．6.若x，y满足，则的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：x，y满足的区域如图：设，则，当此直线经过时z最小，所以z的最小值为；故选：B．画出平面区域，利用目标函数的几何意义求最小值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．7.设抛物线上一点P到y轴的距离是2，则点P到该抛物线焦点的距离是A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：由于抛物线上一点P到y轴的距离是2，故点P的横坐标为2．再由抛物线的准线为，以及抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线的距离，故点P到该抛物线焦点的距离是，故选：C．由题意可得点P的横坐标为2，抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P 到准线的距离，由此求得结果．本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．8.设是等差数列的前n项和，若，，则A. B. 2017 C. 2018 D. 2019【答案】D【解析】解：设等差数列的公差为d，，，，化为：，解得．则．故选：D．设等差数列的公差为d，根据，，利用求和公式可得d，即可得出．本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.下列各组两个向量中，平行的一组向量是A. ，2，B. ，1，C. ，1，D. ，【答案】B【解析】解：在A中，，2，，，故A中两个向量不平行，故A错误；在B中，，1，，，故B中两个向量平行，故B正确；在C中，，1，，，故C中两个向量不平行，故C错误；在D中，，，，故D中两个向量不平行，故D错误．故选：B．利用向量平行的性质直接求解．本题考查平行向量的判断，考查向量与向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．10.的内角A，B，C的对边分別为a，b，c，已知，，，则的面积是A. B. C. 1 D.【答案】B【解析】解：的内角A，B，C的对边分別为a，b，c，已知，利用正弦定理得：，整理得：，由于：，所以：，由于：，则：．由于：，，则：．故选：B．首先利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理求出B的值，进一步利用三角形的面积公式求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和三角形面积公式的应用．11.设，是双曲线C：的左，右焦点，O是坐标原点过作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，则C的离心率为A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】解：双曲线C：的一条渐近线方程为，点到渐近线的距离，即，，，，，在三角形中，由余弦定理可得，，即，即，，故选：C．先根据点到直线的距离求出，再求出，在三角形中，由余弦定理可得，代值化简整理可得，问题得以解决．本题考查了双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，余弦定理，离心率，属于中档题．12.已知正方体的棱长为1，若P点在正方体的内部，且满足，则平面PAB与平面ABCD所成二面角的余弦值为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：以A为坐标原点，AB，AD，分别为x，y，z轴，由，可得，0，，1，，则，0，，设平面PAB的法向量为y，，由，且，可得，且，可取，而平面ABCD的法向量为0，，则平面PAB与平面ABCD所成二面角的余弦值为．故选：B．以A为坐标原点，AB，AD，分别为x，y，z轴，求得P、A、B的坐标，可得向量AP，向量AB的坐标，设平面PAB的法向量为y，，由向量数量积为0，可得平面PAB的一个法向量，再由平面ABCD的法向量为0，，运用两个向量的夹角公式计算可得所求值．本题考查平面和平面所成角的求法，注意运用坐标法和平面的法向量，考查化简整理的运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知等比数列中，，，则______．【答案】【解析】解：等比数列中，，，，解得，．故答案为：．由等比数列中，，，得到，由此能求出．本题考查等比数列的第7项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.已知，，，则的最小值为______．【答案】8【解析】解：当且仅当，时取等故答案为：8先变形：，然后根据基本不等式可求得最小值．本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．15.已知，1，，则，______．【答案】【解析】解：，1，，，．故答案为：．利用空间向量夹角公式直接求解．本题考查向量夹角的余弦值的求法，考查空间向量夹角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．16.设，若时均有成立，则______．【答案】【解析】解：若，则当时，，由二次函数的性质可知，不等式不可能在时恒成立，故当时不可能都有成立，故，故当时，，当时，，当时均有成立，故当时，，当时，，故是方程的实数根，故，解得：舍或，综上：，故答案为：．通过讨论a的范围以及函数恒成立问题，求出，进而得到是方程的实数根，求出a的值即可．本题考查了函数恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.解关于x的不等式【答案】解：当时，不等式化为，；分当时，原不等式化为，当时，不等式的解为或；当时，不等式的解为；当时，不等式的解为或；分综上所述，得原不等式的解集为：当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为或．【解析】根据a的范围，分a等于0和a大于0两种情况考虑：当时，把代入不等式得到一个一元一次不等式，求出不等式的解集；当a大于0时，把原不等式的左边分解因式，再根据a大于1，及a大于0小于1分三种情况取解集，当a大于1时，根据小于1，利用不等式取解集的方法求出解集；当时，根据完全平方式大于0，得到x不等于1；当a大于0小于1时，根据大于1，利用不等式取解集的方法即可求出解集，综上，写出a不同取值时，各自的解集即可．此题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论及转化的数学思想根据a的不同取值，灵活利用不等式取解集的方法求出相应的解集是解本题的关键．18.如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点，平行于OM的直线l在y轴上的截距为，直线l交椭圆于A，B 两个不同点．求椭圆的方程；求m的取值范围．【答案】解：设椭圆方程为则分解得，分椭圆方程为；分直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m又，的方程为：由直线方程代入椭圆方程，分直线l与椭圆交于A、B两个不同点，，分解得，且分【解析】设出椭圆的方程，利用长轴长是短轴长的2倍且经过点，建立方程，求出a，b，即可求椭圆的方程；由直线方程代入椭圆方程，利用根的判别式，即可求m的取值范围．本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．19.设数列的前n项和为，且满足，求数列的通项公式；若，求数列的前n项和．【答案】解：，当时，，得，，时，得，，符合上式．数列的通项公式为；，，得．．【解析】由求得，验证成立后得数列的通项公式；把数列的通项公式代入，然后利用错位相减法求数列的前n项和．本题考查由数列的前n项和求数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．20.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．求A的大小；若，求．【答案】解：，可得：，可得：，解得：，，，，．，．由可得：，，由三角形的面积公式可得：．【解析】由已知利用余弦定理可求，，联立解得，，利用余弦定理可求的值，结合范围，可求A的值．由已知及可得：，，由三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算了和转化思想，属于中档题．21.如图，已知四棱锥，是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，，E为PD的中点．Ⅰ证明：平面PAB；Ⅱ求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．【答案】证明：Ⅰ取AD的中点F，连结EF，CF，为PD的中点，，在四边形ABCD中，，，F为中点，，平面平面ABP，平面EFC，平面PAB．解：Ⅱ连结BF，过F作于M，连结PF，，，推导出四边形BCDF为矩形，，平面PBF，又，平面PBF，，设，由，得，，，，又平面PBF，，平面PBC，即点F到平面PBC的距离为，，D到平面PBC的距离应该和MF平行且相等，为，E为PD中点，E到平面PBC的垂足也为垂足所在线段的中点，即中位线，到平面PBC的距离为，在中，由余弦定理得，设直线CE与平面PBC所成角为，则．【解析】Ⅰ取AD的中点F，连结EF，CF，推导出，，从而平面平面ABP，由此能证明平面PAB．Ⅱ连结BF，过F作于M，连结PF，推导出四边形BCDF为矩形，从而，进而平面PBF，由，得，再求出，由此能求出．本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．22.已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围．【答案】解：由题意可设椭圆方程为，由得，所以，椭圆方程为分由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为，，，则由，消去y得．，且，．分因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，所以，，即，又，所以，即分由于直线OQ的斜率存在，且，得且．设d为点O到直线l的距离，则，所以的取值范围为分【解析】根据中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点，利用待定系数法，求出几何量，可得椭圆的方程设直线l的方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求出k的值，表示出面积，即可求出面积的取值范围．本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．。
江苏省南通市如皋市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)
【详解】
（1）设 AC 中点为 G ， BC 的中点为 H ，连接 EG 、 FG 、 AH 、 DH ，
因为 AE BE ， AG GC ， CF DF ，
所以 EG//BC ， FG//AD ，
所以ÐEFG 就是直线 EF 与 AD 所成的角或补角，
FG 3
在三角形 EFG 中， EG 1，
字不能为 0，可得其取法数目，再选 3 个数字，排在中间，有 A43 种排法，由分步计数原理，
计算可得答案
【详解】根据题意，末位数字可以为 1、3、5，有 A31 种取法，首位数字不能为 0，有 A41 种取
法，再选
3 个数字，排在中间，有 A43 种排法，则五位奇数共有 A31 A41 A43 288 ，
)
A. 1,
B. 1, 0 0, C. 1, 0
D.
2,
【答案】C 【解析】 【分析】
先根据曲线 y ax2 2x 1 与 x 轴有两个交点得到 a 1 且 a 0 ，再根据充分不必要条件
的定义得解.
【详解】当
a=0
时，
x
1 2
，曲线
y
ax2
2x
1
与
x
轴有一个交点；
当 a≠0 时，
因为曲线 y ax2 2x 1 与 x 轴有两个交点，
故选：B 【点睛】本题主要考查空间直线位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
二､多项选择题 9.如城镇小汽车的普及率为 75%，即平均每 100 个家庭有 75 个家庭拥有小汽车，若从如城镇 中任意选出 5 个家庭，则下列结论成立的是( )
243 A. 这 5 个家庭均有小汽车的概率为 1024
2019-2020年高二上学期期末考试 数学文 含答案
2019-2020年高二上学期期末考试 数学文 含答案本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.） 1．若a 、b 为正实数，则a b >是22a b >的 A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件2．抛物线2x y =的焦点坐标是 A ．)0,41(-B. )41,0(-C. )41,0(D ． )0,41(3．在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16，则该数列前11项和11S =A. 58B. 88C. 143D. 1764. 已知下列四个命题：①“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题；②“正方形是菱形”的否命题；③“若ac 2＞bc 2，则a ＞b”的逆命题；④若“m ＞2，则不等式x 2﹣2x+m ＞0的解集为R”．其中真命题的个数为 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5．曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为A ．120°B ．30°C ．60°D ．45°6. 设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,525280S a a S +==，则 A ．11-B ．8-C ．5D ．117. 已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆1322=+y x 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是A.32B.6C. 34D. 128．在△ABC 中，角A ，B 所对的边长为a ，b ，则“a=b”是“acosA=bcosB”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件9. 设函数f （x ）在定义域内可导，y=f （x则导函数y=f '（x ）可能为A BC D10设变量x ，y 满足约束条件：3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩.则目标函数z=2x+3y 的最小值为A ． 6B. 7C. 8D. 2311．如图，某船在海上航行中遇险发出呼救信号，我海上救生艇在A 处获悉后，立即测出该船在方位角45°方向，相距10海里的C 处，还 测得该船正沿方位角105°的方向以每小时9海里的 速度行驶，救生艇立即以每小时21海里的速度前往 营救，则救生艇与呼救船在B 处相遇所需的时间为A.15小时 B.13小时 C. 25小时D. 23小时12. 已知双曲线(>0)mx y m -=221的右顶点为A ，若该双曲线右支上存在两点,B C 使得ABC ∆为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是A．B ．(1,2)C． D ．(1,3)第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题: （本大题4小题，每小题5分，共20分）13．已知32()32f x ax x =++且(1)4f '-=，则实数a 的值等于_________ 14．在ABC ∆中，角A,B,C 成等差数列且3=b ，则ABC ∆的外接圆面积为______15. 下列函数中，最小值为2的是①y =② 21x y x +=③(),(02)y x x x =-<④2y =16．已知F 是抛物线C ：x y 42=的焦点，A 、B 是C 上的两个点，线段AB 的中点为M(2,2)，则△ABF 的面积等于 ____．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应根据要求写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(本题满分10分).在ABC ∆中，A B C 、、是三角形的三内角，a b c 、、是三内角对应的三边，已知222b c a bc +-=．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若222sin sin sin A B C +=，求角B 的大小．18.(本题满分12分).已知双曲线与椭圆1244922=+y x 有共同的焦点，且以x y 34±=为渐近线. （1）求双曲线方程．（2）求双曲线的实轴长.虚轴长.焦点坐标及离心率.19.(本题满分12分).已知等差数列{}n a 满足818163a a 34a a 31a a >-=-=+且,（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）把数列{}n a 的第1项、第4项、第7项、……、第3n －2项、……分别作为数列{}n b 的第1项、第2项、第3项、……、第n 项、……，求数列{}2nb 的前n 项和；20.(本题满分12分).函数f （x ）= 4x 3+ax 2+bx+5的图像在x=1处的切线方程为y=－12x ； （1）求函数f （x ）的解析式；（2）求函数f （x ）在 [—3，1]上的最值。
2019—2020年最新苏教版高二数学上学期期末考试学情检测及答案解析.docx
（新课标）2019—2020学年苏教版高中数学必修三高二上学期期末复习检测一．填空题.（每题5分，共70分）1.已知直线032=+-y x l ：则点 P(1,-1)在直线的_________方.（填上、下）2.函数)0(1)(>+=x xx x f 的最小值为___________ 3.若命题“q p ∧”为假命题，“p ⌝”也为假命题，则命题“q p ∨”的真假性为________4.函数ex e x f x -=)(的单调增区间为_______________5.命题p ：x > 1，命题q ：01>-xx 则p 是 q 成立的 __________________条件。
6.若x ≥0，y ≥0，2x+3y ≤100，2x+y ≤60，则z = 6x+4y 的最大值是 ___________7.已知抛物线x y 82=的准线过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则双曲线的方程为___________8.若命题”使“01)1(,2<+-+∈∃x a x R x 是假命题，则实数a 的取值范围是_____________9.已知函数a x x x x f +--=23)(的图像与x 轴仅有一个交点，则a 的取值范围为________ 10. 已知命题:p 函数2lg(21)y ax ax =++的值域是R ，命题:q 2321ax ax a +++的定义域为R ，若p q ∧为真命题，则实数a 的取值集合为11.已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 与双曲线1322=-y x 的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点 A 在抛物线上且 AF AK 2=,则AFK ∆的面积为12.在]2,21[上，函数q px x x f ++=2)(与函数212)(xx x g +=在同一点处取得相同的最小值，那么函数f(x)在]2,21[上最大值是______________13. 若ABC ∆为锐角三角形，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足2sin()4a B c π+=，则s i n s i n B C 的取值范围是 14.若点 P ，Q 分别在函数x e y =和函数x y ln =的图像上，则P 与Q 两点间的距离的最小值是___________二．解答题.(共90分，前3题每题14分，后3题每题16分)15(1)已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，求1x ＋1y的最小值； (2)当x >0时，求f (x )＝2xx 2＋1的最大值．(1)∵x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2x y 时，取等号．(2)∵x >0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1， 当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号．16.已知)0(0120208222>≤-+-≤--m m x x q x x p ：，：，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围。
精品解析：江苏省2019-2020学年高二上学期期末数学试题(解析版)
P 使 PA1 2c, PA2 2c 2a ，此时 PF1F2 为等腰三角形，
也且仅有一个点 P 使 PA2 2c, PA1 2c 2a ，此时 PF1F2 为等腰三角形，同理可得第二三四象限每
个象限也有且仅有两个点，一共八个，
所以 C 是真命题；
0
A1PA2 2
F1PF2 2
2
，根据焦点三角形面积的二级结论 SPF1F2
A. PA1 PA2 2a
B.
直线
PA1,
PA2
的斜率之积等于定值
b2 a2
C. 使得 PF1F2 为等腰三角形的点 P 有且仅有 8 个
b2 D. PF1F2 的面积为 tan A1PA2
2
【答案】BC 【解析】 【分析】 结合双曲线的几何性质和常见二级结论推导即可得解.
【详解】在 A1PA2 中，两边之差小于第三边，即 PA1 PA2 A1A2 2a ，所以 A 不是真命题；
1(a＞b＞0) 的离心率为
3 ，过右焦点 F 且斜率为 k(k＞0) 的直线与 C 相交于 2
A、B 两点．若 AF 3FB ，则 k
A. 1
B. 2
C. 3
D. 2
【答案】B
【解析】
因为 e c a
3 ，所以 c 2
3 2
a ，从而 b2
a2
c2
a2 4
，则椭圆方程为
x2 a2
+
4y2 a2
9.若 a 0,b 0, a b 2 ，则下列不等式,其中正确的有（ ）
A. ab 1
B. a b 2
C. a2 b2 2
【答案】ACD 【解析】 【分析】
D. 1 1 2 ab