控制系统的频域分析PPT课件
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自动控制原理第5章频域分析法
确定方法
通过分析频率响应函数的极点和零点分布，以及系统的相位和幅值 特性，利用稳定性判据判断系统在不同频率下的稳定性。
注意事项
稳定性判据的选择应根据具体系统的特性和要求而定，同时应注意 不同判据之间的适用范围和限制条件。
04
频域分析法的应用实例
04
频域分析法的应用实例
控制系统性能分析
稳定性分析
极坐标或对数坐标表示。
绘制方法
通过频率响应函数的数值计算，将 结果绘制成曲线图，以便直观地了 解系统在不同频率下的性能表现。
注意事项
绘制曲线时应选择合适的坐标轴比 例和范围，以便更好地展示系统的 性能特点。
频率特性曲线的绘制
定义
频率特性曲线是频率响应函数在 不同频率下的表现形式，通常以
极坐标或对数坐标表示。
稳定裕度。
动态性能分析
02
研究系统在不同频率下的响应，分析系统的动态性能，如超调
和调节时间等。
静态误差分析
03
分析系统在稳态下的误差，确定系统的静态误差系数，评估系
统的静态性能。
系统优化设计
参数优化
通过调整系统参数，优化 系统的频率响应，提高系 统的性能指标。
结构优化
根据系统频率响应的特点， 对系统结构进行优化，改 善系统的整体性能。
05
总结与展望
05
总结与展望
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
通过频率响应曲线，可以方便地比较不同系统或同一 系统不同参数下的性能。
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
通过分析频率响应函数的极点和零点分布，以及系统的相位和幅值 特性，利用稳定性判据判断系统在不同频率下的稳定性。
注意事项
稳定性判据的选择应根据具体系统的特性和要求而定，同时应注意 不同判据之间的适用范围和限制条件。
04
频域分析法的应用实例
04
频域分析法的应用实例
控制系统性能分析
稳定性分析
极坐标或对数坐标表示。
绘制方法
通过频率响应函数的数值计算，将 结果绘制成曲线图，以便直观地了 解系统在不同频率下的性能表现。
注意事项
绘制曲线时应选择合适的坐标轴比 例和范围，以便更好地展示系统的 性能特点。
频率特性曲线的绘制
定义
频率特性曲线是频率响应函数在 不同频率下的表现形式，通常以
极坐标或对数坐标表示。
稳定裕度。
动态性能分析
02
研究系统在不同频率下的响应，分析系统的动态性能，如超调
和调节时间等。
静态误差分析
03
分析系统在稳态下的误差，确定系统的静态误差系数，评估系
统的静态性能。
系统优化设计
参数优化
通过调整系统参数，优化 系统的频率响应，提高系 统的性能指标。
结构优化
根据系统频率响应的特点， 对系统结构进行优化，改 善系统的整体性能。
05
总结与展望
05
总结与展望
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
通过频率响应曲线，可以方便地比较不同系统或同一 系统不同参数下的性能。
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
控制系统频率分析课件
仍能保持稳定运行。
分析系统动态性能
频率分析可以揭示控制系统的动 态性能，包括系统的响应速度、 阻尼比和超调量等，为系统性能
优化提供依据。
指导控制器设计
通过频率分析方法，可以根据系 统性能要求，指导控制器参数和 结构的设计，实现控制系统的优
化。
课件内容与结构
1 2 3
基础知识介绍 课件首先对控制系统频率分析的基础知识进行介 绍，包括频率特性的概念、分类和作用等，为后 续内容打下基础。
动执行器等。
03
控制器
介绍控制器的结构、原理和分类，包括模拟控制器、数字控制器等，并
详细阐述PID控制算法的实现方法和优缺点。
控制系统性能指标
稳定性
阐述稳定性的概念、判定方法和改善措施，包括劳斯判据、奈奎 斯特判据等。
动态性能
介绍动态性能指标的定义和计算方法，包括上升时间、调节时间、 超调量等，并分析各指标对系统性能的影响。
根据系统特点选择合适的坐标系，便于观察和分析。
确定关键点
确定系统的关键频率点，如截止频率、穿越频率 等，便于分析和设计。
利用渐近线
利用渐近线绘制开环频率特性曲线，便于快速分 析和估算。
开环稳定性判定方法
Nyquist稳定判据
根据Nyquist稳定判据判断系统的稳定性，包括判断曲线是否包围临界点、计算相角裕度和幅值裕度等。
稳定性判定依据
01
02
03
稳定性概念
系统在受到扰动后，能否 恢复到平衡状态的能力。 稳定性是控制系统正常工 作的前提。
稳定性判定方法
劳斯判据、奈奎斯特判据、 伯德图判据等。通过对系 统传递函数的分析，判断 系统是否稳定。
稳定性判定实例
针对具体控制系统，运用 稳定性判定方法进行实例 分析，加深对稳定性概念 的理解。
分析系统动态性能
频率分析可以揭示控制系统的动 态性能，包括系统的响应速度、 阻尼比和超调量等，为系统性能
优化提供依据。
指导控制器设计
通过频率分析方法，可以根据系 统性能要求，指导控制器参数和 结构的设计，实现控制系统的优
化。
课件内容与结构
1 2 3
基础知识介绍 课件首先对控制系统频率分析的基础知识进行介 绍，包括频率特性的概念、分类和作用等，为后 续内容打下基础。
动执行器等。
03
控制器
介绍控制器的结构、原理和分类，包括模拟控制器、数字控制器等，并
详细阐述PID控制算法的实现方法和优缺点。
控制系统性能指标
稳定性
阐述稳定性的概念、判定方法和改善措施，包括劳斯判据、奈奎 斯特判据等。
动态性能
介绍动态性能指标的定义和计算方法，包括上升时间、调节时间、 超调量等，并分析各指标对系统性能的影响。
根据系统特点选择合适的坐标系，便于观察和分析。
确定关键点
确定系统的关键频率点，如截止频率、穿越频率 等，便于分析和设计。
利用渐近线
利用渐近线绘制开环频率特性曲线，便于快速分 析和估算。
开环稳定性判定方法
Nyquist稳定判据
根据Nyquist稳定判据判断系统的稳定性，包括判断曲线是否包围临界点、计算相角裕度和幅值裕度等。
稳定性判定依据
01
02
03
稳定性概念
系统在受到扰动后，能否 恢复到平衡状态的能力。 稳定性是控制系统正常工 作的前提。
稳定性判定方法
劳斯判据、奈奎斯特判据、 伯德图判据等。通过对系 统传递函数的分析，判断 系统是否稳定。
稳定性判定实例
针对具体控制系统，运用 稳定性判定方法进行实例 分析，加深对稳定性概念 的理解。
控制系统频域分析
控制系统频域分析控制系统频域分析是对控制系统的频率特性进行研究和评估的方法。
它通过在频域上分析信号的幅值和相位响应，帮助我们了解系统的稳定性、性能以及对不同频率输入的响应。
一、引言控制系统在现代工程中起着至关重要的作用。
通过对系统的频域特性进行分析，我们可以更好地理解和优化控制系统的性能。
二、频域分析的基本概念1. 频率响应控制系统的频率响应描述了系统对不同频率输入信号的响应能力。
通过频率响应，我们可以了解系统在不同频率下的增益和相位特性。
2. 幅频特性幅频特性是指系统输出信号的幅度与输入信号的频率之间的关系。
通常用幅度曲线图来表示，可以帮助分析系统的放大或衰减程度。
3. 相频特性相频特性描述了系统输出信号的相位与输入信号的频率之间的关系。
相位曲线图可以帮助评估系统的相位延迟或提前程度。
三、常见的频域分析方法1. 频率响应函数频率响应函数是一个复数函数，可以描述系统的幅频和相频特性。
常见的频率响应函数包括传递函数和振荡函数等。
2. Bode图Bode图是一种常用的频域分析工具，可以将系统的幅频和相频特性直观地表示出来。
它以频率为横轴，幅度或相位为纵轴，通过线性坐标或对数坐标来绘制。
3. Nyquist图Nyquist图是一种使用复平面来表示频率响应的图形。
它可以帮助我们判断系统的稳定性，并评估系统的相位边界和幅度边界。
四、频域分析的应用频域分析在控制系统设计和优化中有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用领域：1. 系统稳定性分析通过频域分析，我们可以判断系统是否稳定，以及如何设计控制器来维持或改善系统的稳定性。
2. 性能评估频域分析可以帮助我们评估系统的性能，比如响应时间、超调量等。
通过调整系统的频率响应，我们可以提高系统的性能。
3. 滤波器设计频域分析在滤波器设计中起着重要的作用。
通过分析系统的频率响应，我们可以设计出满足特定要求的滤波器。
4. 控制系统建模频域分析可以帮助我们建立控制系统的数学模型，从而更好地理解和优化系统的性能。
自动控制原理课件：线性系统的频域分析
曲线顺时针方向移动一周时，在 平面上的映射曲线按逆时针方向
包围坐标原点 − 周。
m
F (s)
K1 ( s z j )
j 1
n
i 1
( s pi )
24
• 02
基本概念
m
1 G ( s) H ( s) F ( s)
K1 ( s z j )
j 1
在 平面上的映射曲线 F 1 G ( j ) H ( j )将按逆时针方向
围绕坐标原点旋转 = − 周。
如果在s平面上，s沿着奈奎斯特回线顺时针方向移动一周时，
在 平面上的映射曲线围绕坐标原点按逆时针方向旋转 =
周，则系统为稳定的。
26
根据
( 1, j 0)
L( ) 20 lg K 20 lg 1 12 2 20 lg 1 22 2
( ) arctg 1 arctg 2
τ2
20dB / dec 1
2
L3 ( )
L2 ( )
40dB / dec
( )
0
L( )
90
A( ) 1, ( )
L ( ) 20 lg A( ) 0
L( )
jQ( )
L( ) 0
0
( )
1
0
1
P( )
1
0
30
60
16
5.3
系统开环频率特性图
设开环系统由n个典型环节串联组成
G(s ) G 1(s )G 2(s ) G n(s )
这意味着 的映射曲线 F 围绕原点运动的情况，相当于
包围坐标原点 − 周。
m
F (s)
K1 ( s z j )
j 1
n
i 1
( s pi )
24
• 02
基本概念
m
1 G ( s) H ( s) F ( s)
K1 ( s z j )
j 1
在 平面上的映射曲线 F 1 G ( j ) H ( j )将按逆时针方向
围绕坐标原点旋转 = − 周。
如果在s平面上，s沿着奈奎斯特回线顺时针方向移动一周时，
在 平面上的映射曲线围绕坐标原点按逆时针方向旋转 =
周，则系统为稳定的。
26
根据
( 1, j 0)
L( ) 20 lg K 20 lg 1 12 2 20 lg 1 22 2
( ) arctg 1 arctg 2
τ2
20dB / dec 1
2
L3 ( )
L2 ( )
40dB / dec
( )
0
L( )
90
A( ) 1, ( )
L ( ) 20 lg A( ) 0
L( )
jQ( )
L( ) 0
0
( )
1
0
1
P( )
1
0
30
60
16
5.3
系统开环频率特性图
设开环系统由n个典型环节串联组成
G(s ) G 1(s )G 2(s ) G n(s )
这意味着 的映射曲线 F 围绕原点运动的情况，相当于
自动控制原理第5章-频域分析
（4）频率特性主要适用于线性定常系统，也可以有条件 地推广应用到非线性系统中。
第5章 控制系统的频域分析
§5.1 频 率 特 性
一、频率特性概述
1、 RC网络的频率特性
T
du0 (t) dt
u0 (t)
ui (t)
其传递函数为：
G(s) U0(s) 1 Ui (s) Ts 1
在复数域内讨论RC网络，并求输出电压
(T)2 1
——RC网络的频率特性
G( j)
1
(T)2 1 —幅频特性
() arctan T —相频特性
第5章 控制系统的频域分析
比较
G( j)
1
jT 1
和
G(s) 1 Ts 1
可见，只要用jω代替该网络的传递函数G(s)中的复变 量S，便可得其频率特性G(jω)。结论具有一般性。
2、线性定常系统的频率特性
设 ui (t) Um sin t
U U e •
j00 复阻抗 Z R 1 jRC 1
i
m
第5章 控制系统的频域分析
jC
jC
•
•
•
U0
1
•
I
jC
1 Ui
jC Z
1
jC
jCUi jCR 1
1
jT
•
U 1
i
于是有：
•
U0
•
Ui
1
jT 1
•
(T RC)
G( j)
U0
•
Ui
1
e j () G( j) e j ()
第5章 控制系统的频域分析
5.2.2 典型环节的频率特性
1、积分环节
传递函数： G(s) 1
第5章 控制系统的频域分析
§5.1 频 率 特 性
一、频率特性概述
1、 RC网络的频率特性
T
du0 (t) dt
u0 (t)
ui (t)
其传递函数为：
G(s) U0(s) 1 Ui (s) Ts 1
在复数域内讨论RC网络，并求输出电压
(T)2 1
——RC网络的频率特性
G( j)
1
(T)2 1 —幅频特性
() arctan T —相频特性
第5章 控制系统的频域分析
比较
G( j)
1
jT 1
和
G(s) 1 Ts 1
可见，只要用jω代替该网络的传递函数G(s)中的复变 量S，便可得其频率特性G(jω)。结论具有一般性。
2、线性定常系统的频率特性
设 ui (t) Um sin t
U U e •
j00 复阻抗 Z R 1 jRC 1
i
m
第5章 控制系统的频域分析
jC
jC
•
•
•
U0
1
•
I
jC
1 Ui
jC Z
1
jC
jCUi jCR 1
1
jT
•
U 1
i
于是有：
•
U0
•
Ui
1
jT 1
•
(T RC)
G( j)
U0
•
Ui
1
e j () G( j) e j ()
第5章 控制系统的频域分析
5.2.2 典型环节的频率特性
1、积分环节
传递函数： G(s) 1
控制系统频域分析
对于最小相位系统,幅频与相频有确定关系,可以 省略相频图；频域稳定判据可不要传递函数,否则劳斯 判据更简单。 2.两者关系：见最小相位环节和非最小相位环节的关系
5.3 奈 奎 斯 特 判 据
❖
在工程中，分析或设计系统时，首先必须保证系统是稳
定的，这一点是尤为重要的！
❖
在时域分析中我们讨论过系统的稳定性，可以从系统闭
包围原点N次．若令：Z为包围于LS内的F(s)函数的零点数；
P为包围于LS内的F(s))函数的极点数，则 N＝Z-P
❖ 若包围LS的是F(s)的Z个零点和P个极点时，则，[F(s)]平 面上的对应轨迹绕原点顺时针转N=Z-P圈．
❖ 根据式N=Z-P(幅角原理的数学表达式)可知：
则: y(t) a1ejt a2ejt biepit 当t ,如果系统稳定,则: biepit 0,
其中:G(j) G(j) ej G(j) G(j) ej; G(j) G(j)
则: y(t) a1ejt a2ejt biepit 当t ,如果系统稳定,则: biepit 0,
由欧拉公式:sin=ej
G (s)U c(s) 1 1 Ur(s) R 1C1s1 T s1
设ru AS ti,则 nU r(s)s2A ω ω 2
1 A Uo(s)T s1s22
u 0(t)1 A 2 tT 2e t/T1 A 2 T 2S( itn ar T c)t
稳态分 A量 S(in tar cT t)g 12T2
❖
奈奎斯特判据：在频域中，利用系统的开环频率特性来
获得闭环系统稳定性的判别方法，不仅可以确定系统的绝对
稳定性，而且还可以提供相对稳定性的信息，即系统如果是
稳定的，那么动态性能是否好；或者如果系统是不稳定的，
5.3 奈 奎 斯 特 判 据
❖
在工程中，分析或设计系统时，首先必须保证系统是稳
定的，这一点是尤为重要的！
❖
在时域分析中我们讨论过系统的稳定性，可以从系统闭
包围原点N次．若令：Z为包围于LS内的F(s)函数的零点数；
P为包围于LS内的F(s))函数的极点数，则 N＝Z-P
❖ 若包围LS的是F(s)的Z个零点和P个极点时，则，[F(s)]平 面上的对应轨迹绕原点顺时针转N=Z-P圈．
❖ 根据式N=Z-P(幅角原理的数学表达式)可知：
则: y(t) a1ejt a2ejt biepit 当t ,如果系统稳定,则: biepit 0,
其中:G(j) G(j) ej G(j) G(j) ej; G(j) G(j)
则: y(t) a1ejt a2ejt biepit 当t ,如果系统稳定,则: biepit 0,
由欧拉公式:sin=ej
G (s)U c(s) 1 1 Ur(s) R 1C1s1 T s1
设ru AS ti,则 nU r(s)s2A ω ω 2
1 A Uo(s)T s1s22
u 0(t)1 A 2 tT 2e t/T1 A 2 T 2S( itn ar T c)t
稳态分 A量 S(in tar cT t)g 12T2
❖
奈奎斯特判据：在频域中，利用系统的开环频率特性来
获得闭环系统稳定性的判别方法，不仅可以确定系统的绝对
稳定性，而且还可以提供相对稳定性的信息，即系统如果是
稳定的，那么动态性能是否好；或者如果系统是不稳定的，
控制系统频域分析
c •
K g 0 系统不稳定
在Bode图上可测取相角裕度和幅值裕度
L() dB
1
kg
20 lg h
20 lg
| Gk ( jg ) |
0dB
c
kg rad / s
20 lg | Gk ( jg ) |
F( )
00
-1800
g
rad / s
MATLAB中用来求系统幅值裕度和相位裕度的函数为 margin( )，它的调用格式有以下几种：
1
| Gk ( jg ) |
例：已知系统开环传递函数为：
Gk
s
ss
5
10.1s
1
试绘制系统Bode图并求系统相角裕量和幅值裕量。
num=[5]; den=conv (conv ([1 0],[1 1]), [0.1 1]); sys=tf (num, den); margin (sys) [Gm,Pm,Wg,Wc]=margin (sys)
系统的频域性能指标为：
Gm =2.2000；Pm =13.5709；Wg =3.1623；Wc = 2.1020
即：系统的剪切频率ωc=2.1020rad/s；相位裕度 =13.5709°，
相位穿越频率ωg=3.1623rad/s； 幅值裕量kg=20*log10(2.2)=6.8485dB。
一、极坐标图（Nyquist图） 当ω：0→∞变化时，G(jω)的端点在复平面上的运动轨迹。
注意：极坐标图中ω是隐含变量。在作图时要注明ω= 0， 和ω→∞的位置及运动轨迹的方向。
MATLAB中用来绘制连续系统极坐标图的指令为 nyquist( )，其调用格式为：
nyquist (sys)——sys为由tf、zpk建立起来的控制系统数 学模型。此时绘制出来的极坐标图的默认角频率w是从 -∞~ +∞。这点与自动控制原理略有不同。
自动控制原理--第5章 频域分析法
例如，惯性环节对数幅频特性和相频特性分别为
L() 20lg | G( j) | 20lg 2T 2 1
arctanT
当=0时，L()=0dB， =0， 曲线起始于坐标原点；当=1/T时， L()=-3dB， =-45；
自动控制原理
30
5-4 频域稳定性判据
一、映射定理
闭环特征函数 F(s)=1+G(s)H(s)
T
如果τ>T，则∠G(j)>0°，极坐标曲线在第Ⅰ象限变化；如果τ<T， 则∠G(j)<0°，极坐标曲线在第Ⅳ象限变化，如图所示。
自动控制原理
16
5.3.2 对数坐标图
通过半对数坐标分别表示幅频特性和相频特性的图形， 称为对数坐称图或波德(Bode)图。
1.对数坐标 对数频率特性曲线由对数幅频特性和相频特性两部分
系统的传递函数为 C(s) G(s)
R(s)
假定输入信号r(t)为
r(t) Asint
R(s) L[ Asint] A
A
s 2 2 (s j)(s j)
自动控制原理
7
G(s)
K (s z1 )(s z2 )(s zm ) (s s1 )(s s2 )(s sn )
nm
2j
AG( j) sin(t )
B sin(t )
G( j ) G( j ) e jG( j) G( j) e j
即
G( j) G(s) s j
这里的结论同RC网络讨论的结果是一致的。
自动控制原理
10
5.3 频率特性的图示方法
频率特性的图示方法主要有三种，即极坐标图、对数坐 标图和对数幅相图，现分述如下。
所以K=10。因此，所求开环传递函数
L() 20lg | G( j) | 20lg 2T 2 1
arctanT
当=0时，L()=0dB， =0， 曲线起始于坐标原点；当=1/T时， L()=-3dB， =-45；
自动控制原理
30
5-4 频域稳定性判据
一、映射定理
闭环特征函数 F(s)=1+G(s)H(s)
T
如果τ>T，则∠G(j)>0°，极坐标曲线在第Ⅰ象限变化；如果τ<T， 则∠G(j)<0°，极坐标曲线在第Ⅳ象限变化，如图所示。
自动控制原理
16
5.3.2 对数坐标图
通过半对数坐标分别表示幅频特性和相频特性的图形， 称为对数坐称图或波德(Bode)图。
1.对数坐标 对数频率特性曲线由对数幅频特性和相频特性两部分
系统的传递函数为 C(s) G(s)
R(s)
假定输入信号r(t)为
r(t) Asint
R(s) L[ Asint] A
A
s 2 2 (s j)(s j)
自动控制原理
7
G(s)
K (s z1 )(s z2 )(s zm ) (s s1 )(s s2 )(s sn )
nm
2j
AG( j) sin(t )
B sin(t )
G( j ) G( j ) e jG( j) G( j) e j
即
G( j) G(s) s j
这里的结论同RC网络讨论的结果是一致的。
自动控制原理
10
5.3 频率特性的图示方法
频率特性的图示方法主要有三种，即极坐标图、对数坐 标图和对数幅相图，现分述如下。
所以K=10。因此，所求开环传递函数
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40
给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦，曲线如下:
Ar=1 ω=0.5 ω=1
ω=2
ω=2.5
ω=4
4
给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入
结论： 同频率的正弦，幅值随ω而变，相角也是ω的函数。
5
频率响应的定义 系统对正弦输入的稳态响应称为频率响应。开环系统对正 弦输入的稳态响应称为开环频率响应；闭环系统对正弦输 入稳态响应称为闭环频率响应；
jI
IA
A
0
RA
R
13
6.3.2. 典型环节频率特性的极坐标图
1. 比例环节（proportional element）G(s)K
G (j)Kj0Kj0 e
jI()
2. 积分环节
G(s) 1
K
R()
Integrating element
s
G( j)
1
1
j
e2
j
相角滞9后0 幅值增大
3. 微分环节
2
本章的主要内容： 频率响应；
频域工具：奈氏(Nyquist)图;伯德(Bode)图;等M圆； 等N圆；对数幅相图；尼柯尔斯(Nichols)曲线；等M 圆 稳定性分析：奈氏判据；相位裕量和幅值裕量
闭环频域性能指标：截止频率；带宽；谐振峰值； 谐振频率
3
6.2 频率特性的概念 不
设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。
jT 1 (T)2 1
方法二：(依据频率特性函数的函数y(t)求
拉氏反变换,得
Y(t)L 1G (s)X (s)L 1 Tk s 1s2A w 2 w 9
L1kA1TT222
T1s11T22
s2
1
2
s2Ts2
1kAT2T2
t
eT
kA sin(t) 1T22
第六章 控制系统的频域分析 Chapter6 Frequency-Domain Analysis for Control System
第一节 引言（introduction） 第二节 频率特性的基本概念 （Basic Concepts of Frequency Characteristic) 第三节 频率特性的极坐标图 (The Polar plot of the frequency Characteristic) 第四节 频率特性的对数极坐标图 (The logarithm plot of the frequency characteristic) 第五节 控制系统的奈氏图分析 (Nyquist plot Analysis for the control system) 第六节 控制系统的伯德图分析 (Bode plot Analysis for the control system) 第七节 闭环系统频率特性分析 (Frequency characteristic Analysis for Closed-loop System)
4. 确定频率特性函数的方法
①由传递函数求解: G(s)sjG(j)
② 有频率特性函数的定义求解 :
G( j) Y() X()
8
例6-1 求一惯性环节的频率特性函数，设系统的传函为 G(s)
解：方法一：G(s) Y(s) k X(s) Ts1
设s j,带入G(s),得
G( j) k
k
e jtg1T
tg1T
系统的稳态输出 (t ) 为 :
y kAsin t () kAej(t )
1(T )2
(T )2 1
10
将输入 x (t )表示成复数形式，有
y(t )( T k)2A 1si n t () Y ()( kT )A 2 j 1 e
x(t)A sitn X ()Aj0e
G(j)Y X(( ))
2、直角坐标形式： G (j)R ()j( I)
Quadrature Coordinates：
(Cartesian)
7
3. 极坐标与直角坐标之间的转换
M () G( j) R2() I 2()
() tg1 I () R( )
R() M ()cos () I () M ()sin ()
G(s) s
Derivative element
G(j) jej2
相位超9前 0 幅值增加
14
4. 惯性环节： G(s) 1
InerG tia(ljele)me1n t 1 jT
Ts1 1 ej
(T)21
arcTt
g
：0 M()：10低通滤波器
()：090相位滞后
半条曲线
0.5 1.0
R()
1
x(t ) y(t )
x(t )
y(t )
0
t
6
系统的频率特性函数 G( j)：
G(j)稳 正态 弓输 玄出 输 XY（ 函 （ 入 ） 数 ）
频率特性函数 G( j)的表示方式： 1. 极坐标形式：Polar Coordinates：
G (jw )M (w )ej(w ) 幅值（: Magnitude）M() G( j) 相角（: Phase） () G( j)
1
6.1 引言
频域分析法的优点：
1) 可以在开环传函未知的情况下，根据系统的开环频率 特性判断系统的稳定性及估算性能指标
2) 频域分析中包含多种图形分析方法，这些方法并不局 限于低阶系统，对高阶系统同样有效
3) 对线性系统而言，系统地时域性能指标和频域性能指 标之间具有一定的对应关系。
4) 频域分析为我们提供了一个分析问题的新视角。
(T )2
1
0
I() T
(T)2 1
R( 0.5)2 I 2() 0.52
15
Im[G(jω)]
惯性环节G(jω)
0
1
Re[G(jω)]
16
5. 二阶震荡环节 Second-order oscillation system
K ej
(T)21
11
6.3 频率特性的极坐标图
6.3.1 基本概念
频域分析法是一种半图形分析法，可方便快捷地获得 系统的近似解。
两种常用图形表示法： 极坐标图和对数图
G (j) G (j)e j G (j 1 )
： w ω 0 h e ， n
OA
A
0
极坐标
12
直角坐标系中的表示：
G (j)R ()j( I)
Frequency Characteristic refer to the system response performance (magnitude and phase characteristics) with respect to different frequency sinusoidal input signals.
给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦，曲线如下:
Ar=1 ω=0.5 ω=1
ω=2
ω=2.5
ω=4
4
给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入
结论： 同频率的正弦，幅值随ω而变，相角也是ω的函数。
5
频率响应的定义 系统对正弦输入的稳态响应称为频率响应。开环系统对正 弦输入的稳态响应称为开环频率响应；闭环系统对正弦输 入稳态响应称为闭环频率响应；
jI
IA
A
0
RA
R
13
6.3.2. 典型环节频率特性的极坐标图
1. 比例环节（proportional element）G(s)K
G (j)Kj0Kj0 e
jI()
2. 积分环节
G(s) 1
K
R()
Integrating element
s
G( j)
1
1
j
e2
j
相角滞9后0 幅值增大
3. 微分环节
2
本章的主要内容： 频率响应；
频域工具：奈氏(Nyquist)图;伯德(Bode)图;等M圆； 等N圆；对数幅相图；尼柯尔斯(Nichols)曲线；等M 圆 稳定性分析：奈氏判据；相位裕量和幅值裕量
闭环频域性能指标：截止频率；带宽；谐振峰值； 谐振频率
3
6.2 频率特性的概念 不
设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。
jT 1 (T)2 1
方法二：(依据频率特性函数的函数y(t)求
拉氏反变换,得
Y(t)L 1G (s)X (s)L 1 Tk s 1s2A w 2 w 9
L1kA1TT222
T1s11T22
s2
1
2
s2Ts2
1kAT2T2
t
eT
kA sin(t) 1T22
第六章 控制系统的频域分析 Chapter6 Frequency-Domain Analysis for Control System
第一节 引言（introduction） 第二节 频率特性的基本概念 （Basic Concepts of Frequency Characteristic) 第三节 频率特性的极坐标图 (The Polar plot of the frequency Characteristic) 第四节 频率特性的对数极坐标图 (The logarithm plot of the frequency characteristic) 第五节 控制系统的奈氏图分析 (Nyquist plot Analysis for the control system) 第六节 控制系统的伯德图分析 (Bode plot Analysis for the control system) 第七节 闭环系统频率特性分析 (Frequency characteristic Analysis for Closed-loop System)
4. 确定频率特性函数的方法
①由传递函数求解: G(s)sjG(j)
② 有频率特性函数的定义求解 :
G( j) Y() X()
8
例6-1 求一惯性环节的频率特性函数，设系统的传函为 G(s)
解：方法一：G(s) Y(s) k X(s) Ts1
设s j,带入G(s),得
G( j) k
k
e jtg1T
tg1T
系统的稳态输出 (t ) 为 :
y kAsin t () kAej(t )
1(T )2
(T )2 1
10
将输入 x (t )表示成复数形式，有
y(t )( T k)2A 1si n t () Y ()( kT )A 2 j 1 e
x(t)A sitn X ()Aj0e
G(j)Y X(( ))
2、直角坐标形式： G (j)R ()j( I)
Quadrature Coordinates：
(Cartesian)
7
3. 极坐标与直角坐标之间的转换
M () G( j) R2() I 2()
() tg1 I () R( )
R() M ()cos () I () M ()sin ()
G(s) s
Derivative element
G(j) jej2
相位超9前 0 幅值增加
14
4. 惯性环节： G(s) 1
InerG tia(ljele)me1n t 1 jT
Ts1 1 ej
(T)21
arcTt
g
：0 M()：10低通滤波器
()：090相位滞后
半条曲线
0.5 1.0
R()
1
x(t ) y(t )
x(t )
y(t )
0
t
6
系统的频率特性函数 G( j)：
G(j)稳 正态 弓输 玄出 输 XY（ 函 （ 入 ） 数 ）
频率特性函数 G( j)的表示方式： 1. 极坐标形式：Polar Coordinates：
G (jw )M (w )ej(w ) 幅值（: Magnitude）M() G( j) 相角（: Phase） () G( j)
1
6.1 引言
频域分析法的优点：
1) 可以在开环传函未知的情况下，根据系统的开环频率 特性判断系统的稳定性及估算性能指标
2) 频域分析中包含多种图形分析方法，这些方法并不局 限于低阶系统，对高阶系统同样有效
3) 对线性系统而言，系统地时域性能指标和频域性能指 标之间具有一定的对应关系。
4) 频域分析为我们提供了一个分析问题的新视角。
(T )2
1
0
I() T
(T)2 1
R( 0.5)2 I 2() 0.52
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Im[G(jω)]
惯性环节G(jω)
0
1
Re[G(jω)]
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5. 二阶震荡环节 Second-order oscillation system
K ej
(T)21
11
6.3 频率特性的极坐标图
6.3.1 基本概念
频域分析法是一种半图形分析法，可方便快捷地获得 系统的近似解。
两种常用图形表示法： 极坐标图和对数图
G (j) G (j)e j G (j 1 )
： w ω 0 h e ， n
OA
A
0
极坐标
12
直角坐标系中的表示：
G (j)R ()j( I)
Frequency Characteristic refer to the system response performance (magnitude and phase characteristics) with respect to different frequency sinusoidal input signals.