哈工大能源学院材料力学讲课课件第14章.ppt
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材料力学课件(哈工大)第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-2 应力-应变关系曲线的简化 应力1）理想弹塑性材料 ） 2）理想刚塑性材料 ） 3）线性强化材料 ）
Eε σ = ∗ E (ε − εs ) + σs
(ε ≤ εs ) (ε ≥ εs ) (14 - 5)
E ≠ E∗
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析 章
14-2 应力-应变关系曲线的简化 应力1）理想弹塑性材料 ） 2）理想刚塑性材料 ） 3）线性强化材料 ） 4）幂函数强化材料 ）
F ≤ [Fu ]
式中
[Fu ] = Fu n
(14 -1)
(14 - 2)
n 为安全系数 采用式(14-1)来计算构件或结构发生塑性变形时的强度的方 法，称为极限载荷法 极限载荷法。 极限载荷法
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析 章
14-2 应力-应变关系曲线的简化 应力1）理想弹塑性材料 ）
Eε σ = σ s
ρ2 ∫∫A τsρdA+ ∫∫A τs ρs dA = T
p e
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析 章
14-4 圆轴的弹塑性扭转 1）极限扭矩
e
残余应力
ρ2 1 ∫∫A τSρdA + ∫∫A τs ρs dA = T 3 6T 3 ρs = 4R − 完成积分，解得 ρs
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析 章
14-1 弹塑性变形与极限载荷法概念 1）弹塑性变形 ） 材料进入塑性状态后，应力与应变之间不仅成非线性关系， 而且不一一对应。力对构件的作用效果不只取决于力的最终值， 而且还与力的作用历史以及作用的先后顺序有关。 以轴向拉压杆为例
先加 F 后加 F2 1 先加 F2 后加 F 1
ε σ = σs ε s
Eε σ = ∗ E (ε − εs ) + σs
(ε ≤ εs ) (ε ≥ εs ) (14 - 5)
E ≠ E∗
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析 章
14-2 应力-应变关系曲线的简化 应力1）理想弹塑性材料 ） 2）理想刚塑性材料 ） 3）线性强化材料 ） 4）幂函数强化材料 ）
F ≤ [Fu ]
式中
[Fu ] = Fu n
(14 -1)
(14 - 2)
n 为安全系数 采用式(14-1)来计算构件或结构发生塑性变形时的强度的方 法，称为极限载荷法 极限载荷法。 极限载荷法
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析 章
14-2 应力-应变关系曲线的简化 应力1）理想弹塑性材料 ）
Eε σ = σ s
ρ2 ∫∫A τsρdA+ ∫∫A τs ρs dA = T
p e
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析 章
14-4 圆轴的弹塑性扭转 1）极限扭矩
e
残余应力
ρ2 1 ∫∫A τSρdA + ∫∫A τs ρs dA = T 3 6T 3 ρs = 4R − 完成积分，解得 ρs
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析 章
14-1 弹塑性变形与极限载荷法概念 1）弹塑性变形 ） 材料进入塑性状态后，应力与应变之间不仅成非线性关系， 而且不一一对应。力对构件的作用效果不只取决于力的最终值， 而且还与力的作用历史以及作用的先后顺序有关。 以轴向拉压杆为例
先加 F 后加 F2 1 先加 F2 后加 F 1
ε σ = σs ε s
哈工大版理论力学课件(全套)课件
已知CE=EB=DE，角a =30o，CDB平面与水平面间的夹角∠EBF= 30o， 重物G=10kN。如不计起重杆的重量,试求起重杆所受的力和绳子的拉力。
解：1.取杆AB与重物为研究
对象，受力分析如图。
zD
E
F2
F 30o
B
C F1
z
E F1
F 30o
B
a
a
A FA
G
y
FA
A
G
y
x
侧视图
理论力学
10
4、空间任意力系简化为平衡的情形
当空间任意力系向一点简化时出现 主矢F'R＝0， 主矩MO＝0 ，这是空间任意力系平衡的情形。
理论力学
39
§3-5 空间任意力系的平衡
一、空间任意力系的平衡方程
F'R=0，MO=0
Fx 0， Fy 0， Fz 0 Mx(F) 0， M y(F) 0， Mz(F) 0
理论力学
16
理论力学
17
2、力对轴之矩的解析表达式
设力F在三个坐标轴上的投影分别为Fx，
z Fz
Fy，Fz，力作用点A的坐标为(x，y，z)，则
F
B
M z(F) MO(Fxy)
A(x，y，z)
Fy
MO(Fx) MO(Fy) xFy yFx
同理可得其它两式。故有
M x(F) yFz zFy
Fx
O
先投影到坐标平面Oxy上，得到力Fxy，然后再把这个力投 影到x 、y轴上，这叫二次（间接）投影法。
z
Fx Fsing cosj
Fz
Fy Fsing sinj
gF
Fy y
Fz F cosg
解：1.取杆AB与重物为研究
对象，受力分析如图。
zD
E
F2
F 30o
B
C F1
z
E F1
F 30o
B
a
a
A FA
G
y
FA
A
G
y
x
侧视图
理论力学
10
4、空间任意力系简化为平衡的情形
当空间任意力系向一点简化时出现 主矢F'R＝0， 主矩MO＝0 ，这是空间任意力系平衡的情形。
理论力学
39
§3-5 空间任意力系的平衡
一、空间任意力系的平衡方程
F'R=0，MO=0
Fx 0， Fy 0， Fz 0 Mx(F) 0， M y(F) 0， Mz(F) 0
理论力学
16
理论力学
17
2、力对轴之矩的解析表达式
设力F在三个坐标轴上的投影分别为Fx，
z Fz
Fy，Fz，力作用点A的坐标为(x，y，z)，则
F
B
M z(F) MO(Fxy)
A(x，y，z)
Fy
MO(Fx) MO(Fy) xFy yFx
同理可得其它两式。故有
M x(F) yFz zFy
Fx
O
先投影到坐标平面Oxy上，得到力Fxy，然后再把这个力投 影到x 、y轴上，这叫二次（间接）投影法。
z
Fx Fsing cosj
Fz
Fy Fsing sinj
gF
Fy y
Fz F cosg
材料力学PPT
1999年1月4日，我国某市的一座大桥发 生垮塌，造成：
40人死亡； 14人受伤； 直接经济损失631万元。
法庭以外的问题－力学素质的重要性 －从简单力学问题到高等力学问题。
简单力学问题－ 队伍过桥时不能齐步走 高等力学问题－ 冲击载荷的概念： 人跑步时脚上的力量有多大？ 损伤累积与结构寿命 与跑步的次数有关
们总是将它分解为垂直于截面和平行于截面的 两个分量。前者称为正应力（或法向应力）， 用 s 表示。后者称为剪应力（或切向应力）， 用 表示t
“应力”与“压强”的区别 “应力”虽与“压强”量纲相同，但两 者的物理意义不同。 定义不同： 应力 —— 内力 压强 —— 外力 作用方式不同： 应力 —— 可分解，存在于受力 物体内部任意一点 压强 —— 作用于物体表面且垂 直于作用面，常呈均匀分布或线性分布
意大利· 比萨斜塔
强度问题
目前世界最长桥（13公里） 为了减少潮水和风的冲击 力，设计了3个转折弯道。
加拿大· 联邦大桥 Confederation Bridge
刚度问题
高刚度桥面结构
大型桥梁的桥面结构绝对不能是一个平板， 只有采用复式结构、加强或加肋结构才能 承受比较大的重量而不发生破坏或者大的 弹性变形。 斜拉桥——上海杨浦大桥
（1）切开 沿需求内力的截面，将构件假 想地截开为两部分。 （2）代替 抛弃一部分，留下一部分，抛 弃部分对留下部分的作用以内力来代替。 （3）平衡 根据留下部分的平衡条件，由 已知外力求未知内力。
1.6
应力
概念 内力在一点处的集度称为该点的应力。 设作用在小面积 A 上的内力为 P ，那么在 A上的内力的平均集度为
3.稳定性要求 要求构件在工作情况下，其平衡是稳定的。 构件满足强度、刚度、稳定性要求的能力， 称为构件的承载能力。
材料力学第十四章
B1
r3 1 - 3 2 4 2
xB1
B1
M
2 m
ax
W2
4WMPn22
34
r3 1 - 3 2 4 2
r3
M
2 y
M
2 z
M
2 n
W
M
2 m
ax
W2
4WMPn22
M
2 y
M
2 z
M
2 n
W
r4
1 2
1 - 2 2
2
- 3 2
3
- 1 2
23 2
M
三、材料的破坏形式：⑴ 屈服； ⑵ 断裂 。 1、伽利略播下了第一强度理论的种子； 2、马里奥特关于变形过大引起破坏的论述，是第二强度理论的 萌芽； 3、杜奎特（C.Duguet)提出了最大剪应力理论；
4、麦克斯威尔最早提出了最大畸变能理论（maximum distortion energy theory）；这是后来人们在他的书信出版后才知道的。
1
例
解: 拉剪应力状态时有:
x 2 0 xy -
根据应力分析有:
1 3
2
2 2
2
2 0
由第三强度理论: r3 1 - 3 2 4 2
由第四强度理论:
r4
1 2
1
- 2 2
2
- 3 2
3
-1 2
2 3 2
例 薄壁圆筒受最大内压时, 测得x=1.8810-4 y=7.3710-4, 用第三强度理论校核其强度 ( E = 210GPa, [] = 170MPa, = 0.3 )
如图示的承压薄壁圆筒，假定厚度为 ，平均直
径为：D
材料力学PPT课件
通常用
MPa＝N/mm2 ＝ 10 6 Pa
有些材料常数 GPa＝ kN/mm2 ＝ 10 9 Pa
工程上用 kg/cm2 ＝ 0.1 MPa
正应力s
剪应力
二、轴向拉压时横截面上应力
dA
dN dA •s
N
s dN
N dN s dA
A
A
求应力，先要找到应力在横截面上的分布情况。
应力是内力的集度，而内力与变形有关，所以
绘轴力图
（2）求应力 AB段：A1＝240240mm＝57600mm2
BC段：A2＝370370mm＝136900mm2
s1
N1 A1
50 103 57600
0.87 N
/ mm 2
0.87MPa
s2
N2 A2
150 103 136900
1.1N
/ mm 2
1.1MPa
应力为负号表示柱受压。正应力的正负号与轴力N相同。
Nl
A
l
————虎克定律（Hooke)
EA
l Pl
EA
计算中用得多
lE——N——弹性s横量（Mpa,
Gpa)
s
E
l EA E
实验中用得多
计算变形的两个实例：
1.一阶梯轴钢杆如图，AB段A1＝200mm2，BC和CD段截面积相同A2＝A3＝ 500mm2；l1= l2= l3=100mm。弹性模量E＝200GPa，荷载P1＝20kN，P2 ＝40kN 。试求：（1）各段的轴向变形；（2）全杆AD的总变形；
N1＝-20kN（压） N2＝-10kN（压） N3＝+30kN（拉）
§3 应力
一、应力：
内力在杆件截面上某一点的密集程度
材料力学课件第14章ppt课件
v 0 x0
EI v M
M0
x0
x0
2
A0
B M0
4EI 2
v(x)
M0
4EI
2
e x
sin
x
4
M EI
0
2
2
M
0
k
2
2
v
M
0
k
3
3
M
EIv
M0 2
4
Q
EIv
M0
2
1
对于复杂载荷作用的情况，可以利用以上受集中力或集中力偶 作用的两种结果，应用叠加原理求解。
dx
Q sin k(l P sin kl
a)
c osk (l
x)
Q(l Pl
a)
d 2v dx2
Qk sin k(l P sin kl
a)
sin
k (l
x)
la xl
记 u kl P l 2 EI 2
对于集中力Q作用在跨度中点的特殊情况，a l 2
Pl
Pl
B cos(l a) Qa Dk[tgkl sin k(l a)] cosk(l a)] Q(l a)
Pl
Pl
B Q sin ka PK sin kl
D Q sin k(l a) Pktgkl
v
Q sin ka sin kx Pk sin kl
3(u thu)
u3
§14.2 弹性基础上的无限长梁
材料力学PPT课件
例：左图 左半部分： ∑Fx=0 FP=FN 右半部分：
,,
∑Fx=0 FP =FN
例13-1
已知小型压力机机架受力F的作用，如图，试求立柱截面 m-n上的内力
解： 1、假想从m-n面将机架截 开（如图）； 2、取上部，建立如图坐标 系，画出内力FN，MZ （方 向如图示）。
（水平部分/竖直部分的变形？）
3.当： 0≤x3≤a (起点在B点）
FQ3
内力图----弯矩图
❖ 当：0≤x1≤a 时， M11/6为直线
A点： x10M1A0； C点： x1aM1C56qa2
❖ 当：a≤x2≤2a 时，为二次曲线； M2=5qax2-q(x2-a)2/2
C点： x2 a,M2C65q.2a D点： x2 2a,M2D76q.2a
q(x)>0,抛物线，上凹 q(x)<0,抛物线，下凹 FQ =0,抛物线有极值
斜率由突变 图形成折线
有突变 突变量=M
❖ M=3kN.m,q=3kN/m,a=2m
解：求A、B处支反力
FAY=3.5kN;FBY 剪力图：如图，将梁分为三段
AC：q=0,FQC= FAY CB：q<0,FQB BD：q<0,FQB=6kN 弯矩图：
正应力、切应力
应力的概念
❖ 单位面积上内力的大小， 称为应力
❖ 平均应力Pm，如图所示
△F
Pm= △A
正应力σ
单位面积上轴力的大小，称为正应力；
切应力τ
单位面积上剪力的大小，称为切应力
应力单位为：1Pa=1N/m2 （帕或帕斯卡) 常用单位：MPa（兆帕），1MPa=106 Pa=1N/mm2
A—截面面积
❖ 当： 0≤x3≤a时（原点在B点，方 D点x： 3a,M3D7 6qa2M2D
,,
∑Fx=0 FP =FN
例13-1
已知小型压力机机架受力F的作用，如图，试求立柱截面 m-n上的内力
解： 1、假想从m-n面将机架截 开（如图）； 2、取上部，建立如图坐标 系，画出内力FN，MZ （方 向如图示）。
（水平部分/竖直部分的变形？）
3.当： 0≤x3≤a (起点在B点）
FQ3
内力图----弯矩图
❖ 当：0≤x1≤a 时， M11/6为直线
A点： x10M1A0； C点： x1aM1C56qa2
❖ 当：a≤x2≤2a 时，为二次曲线； M2=5qax2-q(x2-a)2/2
C点： x2 a,M2C65q.2a D点： x2 2a,M2D76q.2a
q(x)>0,抛物线，上凹 q(x)<0,抛物线，下凹 FQ =0,抛物线有极值
斜率由突变 图形成折线
有突变 突变量=M
❖ M=3kN.m,q=3kN/m,a=2m
解：求A、B处支反力
FAY=3.5kN;FBY 剪力图：如图，将梁分为三段
AC：q=0,FQC= FAY CB：q<0,FQB BD：q<0,FQB=6kN 弯矩图：
正应力、切应力
应力的概念
❖ 单位面积上内力的大小， 称为应力
❖ 平均应力Pm，如图所示
△F
Pm= △A
正应力σ
单位面积上轴力的大小，称为正应力；
切应力τ
单位面积上剪力的大小，称为切应力
应力单位为：1Pa=1N/m2 （帕或帕斯卡) 常用单位：MPa（兆帕），1MPa=106 Pa=1N/mm2
A—截面面积
❖ 当： 0≤x3≤a时（原点在B点，方 D点x： 3a,M3D7 6qa2M2D
哈工大材料力学(完整版)第1-8讲
7
§1.2 变性固体的概念及理想模型
（3）小变形前提保证叠加法成立：(叠加法是材料力学中常 用的方法)
– 叠加法指构件在多个载荷作用下产生的变形——可以看作为各个 载荷单独作用产生的变形之代数和
4. 变形固体基本假设
连续性 假设 均匀性 假设 各向同 性假设
第1章 绪论
认为变形固体整个体积内都被物质连续地充满，没 有空隙和裂缝 认为变形固体整个体积内各点处的力学性质相同 认为变形固体沿各个方向的力学性质相同（不适合 所有的材料）
外效应——使物体的动态发生改 变（物体的位置、速度、加速度 变化） 内效应——使物体的形态发 生改变（物体的形状、尺寸 大小改变）
• 理论力学研究力产生的外效应，研 究力与机械运动之间的普遍规律， 研究对象抽象为——刚体
• 材料力学研究力产生的内效应，研 究力与物体的变形及破坏规律，研 究对象抽象为——变形固体
4.课程的研究方法:理论分析和实验手段相结合
• 材料的力学性质需要通过实验获得 • 一些理论以实验结果得出的某些假设为前提
第1章 绪论 4
§1.2 变性固体的概念及理想模型
1.变形固体
– 弹性变形：外力去掉后可消失的变形，弹性：变形固 体在外力去掉后能恢复原来形状和尺寸的性质 – 塑性变形：残余变形
– 变形特点：沿轴线方向将发生伸长 或缩短变形,对应横截面尺寸减小或 增大。
F1
B
桁架中的杆件
A C
第1章 绪论
F1 F2 F2
26
F
§2.1 轴向拉伸和压缩
F m
沿m-m截开
F
2.1.3 轴力和轴力图
左端：∑X = 0, – F = 0 FN = F
F
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第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-1 弹塑性变形与极限载荷法概念
2）极限载荷法
图中所示的一次静不定结构，各杆的横截面相同并均为理想
弹塑性材料，a >b 。设各杆均处于弹形变形状态时，杆1、杆2、
杆3的内力分别为 FN1、FN2、FN3 ，可以分析得到，在外力一定 时， FN1 FN2 FN3 。
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-2 应力-应变关系曲线的简化 1）理想弹塑性材料 2）理想刚塑性材料 3）线性强化材料 4）幂函数强化材料
ss
m
(14-6)
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-3 静不定桁架的极限载荷
由对14-1节中一次静不定桁架的分析可知，当其中一根杆 （多余约束的杆）屈服时，便变为静定杆件结构。此时增大载荷， 若再有一根杆屈服，结构便处于塑性极限状态。以此类推，对于 n 次静不定桁架，如果有 n+1 根杆屈服，该结构便处于塑性极限 状态。
14-1 弹塑性变形与极限载荷法概念 1）弹塑性变形 2）极限载荷法
上述分析可知，对塑性材料制成的静不定结构或应力非均匀 分布的构件，当其危险点一点处相当应力达到材料屈服强度时， 整个构件或结构仍能继续承受更大的载荷。这样，极限应力法在 此已无法分析构件或结构发生弹塑性变形后的承载能力，需要研 究新的分析方法。
这样，静不定桁架的极限载荷可根据塑性极限状态时平衡条件求 得。
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-3 静不定桁架的极限载荷
例 图示的静不定结构，由刚性梁 BE 与横截面面积分别为 的 A1、A2、 的A杆3 1、杆2、杆3组成，且， A 1A 3A 。,各A 2杆2 的A材料相 同，其拉、压屈服强度均为 。试求该 结s 构的极限载荷。
当外力增大使杆3屈服时，杆3已失去承载能力。由于杆2和 杆1尚未屈服，它们组成一静定结构，仍可继续承受增加的载荷。
直到杆2也 屈服，该结 构才去抵 抗变形能力 而成为几何 可变“机构”
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-1 弹塑性变形与极限载荷法概念
2）极限载荷法 由于塑性变形所形成的几何可变“机构”，称为塑性机构。 使构件或结构变成塑性机构时的载荷称为极限载荷。 与塑性机构相应的状态称为塑性极限状态。 若以塑性极限状态作为构件或结构的危险状态，并用 Fu 表 示极限载荷，那么相应的强度条件应为
14-3 静不定桁架的极限载荷
例 图示的静不定结构，由刚性梁 BE 与横截面面积分别为 的 A1、A2、 的A杆3 1、杆2、杆3组成，且， A 1A 3A 。,各A 2杆2 的A材料相 同，其拉、压屈服强度均为 。试求该 结s 构的极限载荷。
杆3的轴力超过其屈服值 FN，3s 故这种状态不可能出现。 未屈2）服设。杆此1时与，杆载3已荷屈F服有 ，使杆刚2 性梁绕C点转动的趋势。
当其危险点一点处相当应力达到材料的屈服强度 s或0.2 时，
便认为整个构件或结构已处于极限状态而不能继续承受更大的载 荷。
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-1 弹塑性变形与极限载荷法概念
1）弹塑性变形
事实上，对塑性材料制成的应力非均匀 分布的构件或静不定结构，例如图中所示的
简支梁，当危险截面Ⅰ-Ⅰ上危险点A或B处
14-2 应力-应变关系曲线的简化 1）理想弹塑性材料 2）理想刚塑性材料
0s
(p 0) (p 0)
(14-4)
p 为塑性应变
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-2 应力-应变关系曲线的简化 1）理想弹塑性材料 2）理想刚塑性材料 3）线性强化材料
E E(s)s
(s) (s)
(14-5)
EE
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-1 弹塑性变形与极限载荷法概念
1）弹塑性变形
以前我们所研究的问题是限制在材料始终保持在线性弹性范 围内，外力、内力、应力、应变、变形与位移各量间不仅成线性 关系，而且还单值对应。对某一构件或结构在一定外力作用下必 产生确定的内力、应力、应变、变形与位移。这就是说，如果外 力增大n倍，其对应的内力、应力、应变、变形与位移也增大n倍。 这样，力作用的最终效果（例如产生的应变与变形等）只决定于 力的最终值，而与力作用的先后次序无关。在对构件或结构进行 强度计算时，采用极限应力法，即对塑性材料制成的构件或结构，
n次静不定结构的求解，需要n个补充条件。这里再加上欲 求的极限载荷，则共需要 n+1个补充条件。而当n次静不定桁架 处 于 塑 性 极 限 状 态 时 ， 已 屈 服 的 n+1 根 杆 的 内 力 成 为 已 知
（ F N i A i s (i 1 ,2 ,3 ,n 1 )），这恰好提供了n+1个补充条件。
解：一次静不定结构，有两根 杆屈服才进入塑性极限状态。 故有三种可能的极限状态。
1）设杆1与杆2已屈服，杆3 未屈服。此时，载荷 F有 使刚 性梁绕E点转动的趋势。
M E 0, M D 0
F3F N 1s2F N2s7As F N32F N 1sF N2s4As>F N3s
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
应力等于材料的屈服强度 s或0.2 时，便
出现塑性变形。但是，由于Ⅰ-Ⅰ截面上应
力线性分布，整个截面除 A、B 两点外，其
它各点应力并没有达到 s或0.2 ，仍处于
弹形变性状态。此时，可继续增大载荷，梁 上会有更多的点进入塑性变形状态，形成了 塑性区域，梁进入了弹塑性变形状态。
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
F [F u ]
(1 -14 )
式中 n 为安全系数
[F u]F n u
(1 -24)
采用式(14-1)来计算构件或结构发生塑性变形时的强度的方
法，称为极限载荷法。
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-2 应力-应变关系曲线的简化 1）理想弹塑性材料
Es
(s) (s)
(14-3)
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-1 弹塑性变形与极限载荷法概念
1）弹塑性变形
材料进入塑性状态后，应力与应变之间不仅成非线性关系， 而且不一一对应。力对构件的作用效果不只取决于力的最终值， 而且还与力的作用历史以及作用的先后顺序有关。
以轴向拉压杆为例 先加 F1 后加 F2
先加 F 2 后加 F1
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析