材料力学课件(哈工大)5章轴向拉压1
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《材料力学轴向拉压》PPT课件
拉压杆的内力
FN FN(x)
FNAFNAFA
dFN(x) p(x) dx
• 拉压杆各横截面上的内力只有轴力，可用截面法求得，约
定使杆件受拉的轴力为正。
• 轴力是截面位置的函数，其表达式称为轴力方程。函数的 图形直观反映了轴力沿杆轴线的分布，称为轴力图。
• 轴力图要画在与受力图对应的位置。
• 集中力作用处两侧截面的轴力值发生突变，改变量的大小 与集中力的大小相等。
FxFN(x)F0 xg 4(d1d2 ld1)2d0
FN(x)Fg 4[d12xd1(d2ld1)x2(d23l2 d1)2x3]
叠加原理适用
F N ( 0 ) FF N ( l) ( F P )
d d N ( x F ) x g 4[ d 1 2 2 d 1 ( d 2 l d 1 )x (d 2 ld 1 ) 2 x 2 ] g 4( d 1 d 2 ld 1 x ) 2 p ( x )
• 轴力对截面位置坐标的一阶导数的大小等于外载分布集度 的大小。
• 小变形下，叠加原理适用于内力计算。即多个力同时作用 引起的内力等于各个力单独作用引起的内力叠加结果。
2.2 拉压杆的应力
F F
x
σ
FN
一、平面假设 横截面上的应力
几何分析：根据实验观测，假设变形后横截 F 面仍保持为平面且与轴线垂直，即拉压的平
2.3
F
F
b b1
拉压杆的变形
l l1
F/ A
F 二、拉压杆的横向变形
bb1b
b
b
横向变形
横向线应变
实验表明，在胡克定律适用的范围时，有：
or
即 横向线应变与轴向线应变恒异号，两者之 比的绝对值为一常数，称为泊松比。
轴向拉伸和压缩及连接件的强度计算PPT课件
特点
轴向拉伸和压缩时，杆件只承受 轴向力，不受其他外力作用，杆 件横截面保持为平面，无剪切和 扭转。
轴向拉伸和压缩的应用场景
01
02
03
机械制造
轴、螺栓、螺母等连接件 的设计和强度计算。
建筑行业
钢结构的稳定性分析和设 计，如钢梁、钢柱等。
石油化工
管道、压力容器等承受内 压的元件设计和安全评估。
轴向拉伸和压缩的基本原理
准确性。
材料性能研究
深入研究材料的力学性能，特别是 其非线性行为，为强度计算提供更 准确的基础数据。
设计优化与验证
结合实际应用案例，不断优化设计， 并通过实验验证来确保设计的有效 性。
05 轴向拉伸和压缩及连接件 的未来发展与展望
当前研究的热点与难点
材料性能的极限挑战
随着对高性能材料需求的增加，如何准确预测材料在轴向 拉伸和压缩下的行为以及连接件的强度成为当前研究的热 点。
但是，在实际应用中，由于材料的不 均匀性、表面粗糙度等因素的影响， 拉伸强度和压缩强度可能会有所差异 。
强度计算中的注意事项
01
材料的不均匀性
在计算强度时，需要考虑材料的不均匀性。即使是同一种材料，不同部
位的力学性能也可能存在差异。
02 03
温度的影响
温度对材料的力学性能有很大影响。在高温下，材料的屈服强度和抗拉 强度都会降低。因此，在高温环境下工作的零件，需要考虑温度对强度 的影响。
复杂应力状态
轴向拉伸和压缩及连接件在实际应用中可能面临复杂的应力状态， 如弯曲、剪切等，增加了强度计算的难度。
连接件设计
连接件的设计对整体结构的强度和稳定性至关重要，设计不当可能 导致失效或安全事故。
应用案例分析
轴向拉伸和压缩时，杆件只承受 轴向力，不受其他外力作用，杆 件横截面保持为平面，无剪切和 扭转。
轴向拉伸和压缩的应用场景
01
02
03
机械制造
轴、螺栓、螺母等连接件 的设计和强度计算。
建筑行业
钢结构的稳定性分析和设 计，如钢梁、钢柱等。
石油化工
管道、压力容器等承受内 压的元件设计和安全评估。
轴向拉伸和压缩的基本原理
准确性。
材料性能研究
深入研究材料的力学性能，特别是 其非线性行为，为强度计算提供更 准确的基础数据。
设计优化与验证
结合实际应用案例，不断优化设计， 并通过实验验证来确保设计的有效 性。
05 轴向拉伸和压缩及连接件 的未来发展与展望
当前研究的热点与难点
材料性能的极限挑战
随着对高性能材料需求的增加，如何准确预测材料在轴向 拉伸和压缩下的行为以及连接件的强度成为当前研究的热 点。
但是，在实际应用中，由于材料的不 均匀性、表面粗糙度等因素的影响， 拉伸强度和压缩强度可能会有所差异 。
强度计算中的注意事项
01
材料的不均匀性
在计算强度时，需要考虑材料的不均匀性。即使是同一种材料，不同部
位的力学性能也可能存在差异。
02 03
温度的影响
温度对材料的力学性能有很大影响。在高温下，材料的屈服强度和抗拉 强度都会降低。因此，在高温环境下工作的零件，需要考虑温度对强度 的影响。
复杂应力状态
轴向拉伸和压缩及连接件在实际应用中可能面临复杂的应力状态， 如弯曲、剪切等，增加了强度计算的难度。
连接件设计
连接件的设计对整体结构的强度和稳定性至关重要，设计不当可能 导致失效或安全事故。
应用案例分析
轴向拉压、第一讲
m F3 m m FN
一、轴力FN (axial force)—— 拉压杆的内力
m
截面法步骤：1、在所求内力的截面假象截开；2、 选取其中一部分作为平衡对象；3、用可能的内力 代替丢弃部分对选取部分的作用力；4、由平衡条 件求出该内力 。 ∑Fx = 0 FN－F1+F2 = 0 ∴ FN = F1－F2
45°
A
FN1 141.4 103 1 A1 1000 141.4 MPa
x
y
A F
FN2
FN 2 100 10 2 A2 20000 5 MPa
3
三、斜截面的应力 拉压杆横截面上没有切应力， 只有正应力，斜截面上是否也是 这样？
F F F k
k α α k α k pα
1. 变形特点
F
F
纵向线——仍为直线，平行于轴线 横向线——仍为直线，且垂直于轴线
2. 平面假设
plane cross-section assumption
杆件的任意横截面在杆件受力变形后 仍保持为平面，且与轴线垂直。
3. 应变分布
由平面假设，横截面上各点轴向线应变分布是 均匀的。
4. 应力分布
作业
2-1（b）(d) 2-3 2-5 2-6
再 见
上节回顾
注意事项
计算约束力或内力时，可将平衡对 象视为刚体； 计算其他问题时则应将研究对象视 为变形体。
2
内容 Chp.2 轴向拉伸与压缩 1. 概念 2. 轴力 轴力图 3. 应力 要求 熟练截面法 掌握应力计算
第二章
§2.1
实例
木杆
轴向拉伸和压缩
压杆 钢杆
实例及轴向拉、压的概念
拉杆
一、轴力FN (axial force)—— 拉压杆的内力
m
截面法步骤：1、在所求内力的截面假象截开；2、 选取其中一部分作为平衡对象；3、用可能的内力 代替丢弃部分对选取部分的作用力；4、由平衡条 件求出该内力 。 ∑Fx = 0 FN－F1+F2 = 0 ∴ FN = F1－F2
45°
A
FN1 141.4 103 1 A1 1000 141.4 MPa
x
y
A F
FN2
FN 2 100 10 2 A2 20000 5 MPa
3
三、斜截面的应力 拉压杆横截面上没有切应力， 只有正应力，斜截面上是否也是 这样？
F F F k
k α α k α k pα
1. 变形特点
F
F
纵向线——仍为直线，平行于轴线 横向线——仍为直线，且垂直于轴线
2. 平面假设
plane cross-section assumption
杆件的任意横截面在杆件受力变形后 仍保持为平面，且与轴线垂直。
3. 应变分布
由平面假设，横截面上各点轴向线应变分布是 均匀的。
4. 应力分布
作业
2-1（b）(d) 2-3 2-5 2-6
再 见
上节回顾
注意事项
计算约束力或内力时，可将平衡对 象视为刚体； 计算其他问题时则应将研究对象视 为变形体。
2
内容 Chp.2 轴向拉伸与压缩 1. 概念 2. 轴力 轴力图 3. 应力 要求 熟练截面法 掌握应力计算
第二章
§2.1
实例
木杆
轴向拉伸和压缩
压杆 钢杆
实例及轴向拉、压的概念
拉杆
材料力学轴向拉压PPT课件
74.6MPa
DC段
2019/9/20
DC
FN3 A3
110.5MPa
FN1 =20kN FN2 =-15kN FN3 =-50kN
max = 176.8MPa 发生在AB段。
23
Ⅲ
FRD
DⅢ l3
Ⅱ
F3
C
Ⅱ
l2
Ⅰ
F1 F2
B
A Ⅰ
l1
（3） B截面的位移及AD杆的变 形
Δl AB
F1 FN1 0
FN1
FN1 20kN
2019/9/20
F1
20
Ⅲ
FRD
DⅢ l3
Ⅱ
F3
C
Ⅱ
l2
Ⅰ
F1 F2
B
A Ⅰ
l1
FRD
FN3
FN2
F1 F2
FN3 FRD 0 F 2019/9/20 N3 50kN
F1 F2 FN2 0
FN2 15kN
21
Ⅲ
FRD
DⅢ l3
Ⅱ
F3
C
Ⅱ
l2
15
—
2019/9/20
50
Ⅰ
F1 F2
B
A Ⅰ
l1
20 +
FN1 =20kN
FN2 =-15kN
FN3 =-50kN
22
Ⅲ
FRD
DⅢ l3
Ⅱ
F3
C
Ⅱ
l2
Ⅰ
F1 F2
B
A Ⅰ
l1
（2） 杆的最大正应力max
AB段 BC段
AB
第五章-杆件轴向拉伸与压缩
拉压受力特点：作用于杆件两端的外力大小相等，方向相反， 作用线与杆件轴线重合，即称轴向力。
拉压变形特点：杆件变形是沿轴向方向的伸长或缩短。
此类受轴向外力作用的等截面直杆称为拉杆或压杆。
F
FF
F
拉压计算简图
4
建筑力学
❖ 内力 内力：构件内部所产生的力。 外力：构件之外其他物体作用于构件上的力。
内力—由于物体受外力作用而引起的其内部各质点间相互作 用的力的改变量。因此可以说，内力是该构件内力系的合成。 需要注意的是：(1)内力是连续分布的；(2)内力与外力组成 平衡力系。杆件构件截面上内力变化随着外力的变化而改变。 ❖ 内力的正负号规则
l
l1
P
P
(a) 变形前
(b) 变形后
则杆件的长度改变量为： Dll1l Dl就是该杆件的线变形，又称为绝对变形。当杆件伸长，
l1＞l，则 Dl 是正值；当杆件缩短时，l1＜l，则 Dl 是负值。
23
建筑力学
纵向伸长△l只反映杆的总变形量，而无法说明沿杆长度方向 上各段的变形程度。由于拉杆各段的伸长是均匀的，因此，其
s as a a p aco 0 s c2 os
tapasian s0ca ossa ins20 sin2a
pa
ta
讨论： （1） a0
s s max 0
（横截面）
a90
sa 0
（纵截面）
（2） a45
tt s a m a0 x /2
tt s a45
a m in 0 /2
14
建筑力学
❖ 应力集中的概念 在实际工程中，由于结构和工艺上的要求，构件的截面尺寸
建筑力学
第五章 轴向拉伸和压缩
轴向拉伸与压缩—轴向拉(压)杆的内力与轴力图(工程力学课件)
例题2 设一直杆AB 沿轴向受力如图示。 已知P1=2kN，P2=3kN，P3=1kN，试做轴力图。
P1
1
P2 2
P3
N
1
2kN
+
2
-
x
1kN
➢ 2.内力：由外力引起杆件内部之间的相互作用力。
➢ 3.截面法：截面法是显示和确定内力的基本方法。
截面法求内力的步骤
截取
用一个假想的截面，将 杆件沿需求内力的截面 处截为两部分；取其中 任一部分为研究对象。
代替
用内力来代替弃去部分 对选取部分的作用。
平衡
用静力平衡条件，根 据已知外力求出内力。
轴力N——轴向拉压时横截面上的内力。规定拉力为正，压力为负。
用截面法求1-1截面上的轴力：
P
N
X 0
NP0
x
N P(拉力)
例题1
设一直杆 AB 沿轴向受力如图示。
已知P1=2kN，P2=3kN，P3=1kN, 试求杆各段的轴力。
P1
1
P2 2
P3
P1
1NБайду номын сангаас
1
2
x
x
N2
P3
1-1截面： X 0, N1 P1 0,
2-2截面： X 0, N2 P3 0,
第一节 轴向拉（压）杆的内力与轴力图 第二节 轴向拉（压）杆横截面上的正应力 第三节 轴向拉（压）杆的强度计算 第四节 轴向拉（压）杆的变形计算 第五节 材料在拉伸和压缩时的力学性能
➢ 1.轴向拉（压）杆件
• 受力特点：作用在杆件上的外力（或外力的合力）作用线与杆轴线重合。 • 变形特点：杆件沿轴向发生伸长或缩短。 • 外力：外力作用在杆件上的荷载和约束反力。
材料力学轴向拉伸和压缩第1节 杆的内力和应力
2、轴向拉压杆横截面上的应力
• 平面假设：杆变形后各横截面仍保持为平面，这个 假设称为平面截面假设。
• 正应力：横截面上应力的方向垂直于横截面，称为
“正应力”并以“ ”表示：
正应力 说明
FN
A
式中 为横截面上的正应力，FN为横截面上的轴力，
A为横截面面积。
当轴力为正时， 为拉应力取正号；当轴力为负时， 为压应力，取负号。
解1计算各段内轴力并绘制轴力图bc段2确定应力kn81n?fkn152n??f1122ab段bc段mpa159211n1??df??ab段mpa151222n2???df??压力当作用在杆端的轴向外力沿横截面非均匀分布时外力作用点附近各截面的应力也为非均匀分布
内燃机燃气爆发冲程中的连杆、进排气顶杆
• 杆的受力特点：外力（或外力的合力）的作用线与 杆件的轴线重合。
应力的国际单位为Pa（1Pa=1N/m2）、kPa、MPa、GPa：
1kPa 103 Pa 1MPa 106 Pa 1GPa 109 Pa
ห้องสมุดไป่ตู้
例2-2 一阶梯轴的载荷如图所示，AB 段直径为：
d1 = 10mm，BC 段直径为d2 = 18mm，试求：各段杆横 截面上的正应力。
解（1） 计算各段内
• 约定：拉伸引起的轴力为正值，方向背离横截面； 压缩引起的轴力为负值，指向向着横截面。
截面法求轴力 的一般步骤
二、轴力图
• 假截留半； • 内力代换； • 内外平衡。
为了直观地表示整个杆件各横截面轴力的变化
情况，用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置， 用垂直于杆轴线的坐标按选定的比例表示对应截面 轴力的正负及大小。这种表示轴力沿轴线方向变化 的图形称为轴力图。
材料力学轴向拉压(1)
第二章 轴向拉伸和压缩
钢拉杆
A
F
连杆
A
B
F
B
F
F
F
F
F
F
F
F
F
受力(简)图
受力变形特点: 外力或其合力的作用线沿杆件的轴线(轴载),
主要变形为轴向伸缩。这样的杆件称拉压杆。
编辑ppt
1
2.1 拉压杆的内力 轴力及轴力图
横截面是杆件内最有代表性的截面，
其上的内力可用截面法求出。
F
Ⅰm Ⅱ
F
x
由隔离体的平衡条件截面上只 有截面法向的内力分量 FN(x), 称为轴力。
FN
拉应力为正
F
A
压应力为负
拉压杆横截面上正应力计算公式
F 公式适用于轴载作用的杆件。
变截面杆或分布轴载作 (x) FN (x)
编辑用p下pt 横截面正应力计算
A(x) 6
2.2 拉压杆的应力
二、斜截面上的应力
σ
σ
F
2
2
2
单向(单轴)应力状态
2
n
m
F
α
F
mm
F
p Fα
m
n
m
α
p
m
t
2
F
2
2
2
x
切讨力应的论规力定关任以方系一使位，方隔角位斜离α体截截以有面面x轴作上上为顺各的起时处应始针力法边转向及逆动时线与的针横应趋转势变截为为和面正正上切；。应应
变横相截同面，上 即变形是m 均a 匀x0 的 。因此内0力均0匀分
斜FA 布p纵α切截=。截应±c面面力o45A上FA上成so截的对p面全上A dFA应Ac力mmm oia 可nxp9s i分0AAn 4α4 解5——A59 ——为d0 2c 正斜 横Ao20 截截应s面面力p面面9 和积积A0 4切4 550 应2F力2
钢拉杆
A
F
连杆
A
B
F
B
F
F
F
F
F
F
F
F
F
受力(简)图
受力变形特点: 外力或其合力的作用线沿杆件的轴线(轴载),
主要变形为轴向伸缩。这样的杆件称拉压杆。
编辑ppt
1
2.1 拉压杆的内力 轴力及轴力图
横截面是杆件内最有代表性的截面，
其上的内力可用截面法求出。
F
Ⅰm Ⅱ
F
x
由隔离体的平衡条件截面上只 有截面法向的内力分量 FN(x), 称为轴力。
FN
拉应力为正
F
A
压应力为负
拉压杆横截面上正应力计算公式
F 公式适用于轴载作用的杆件。
变截面杆或分布轴载作 (x) FN (x)
编辑用p下pt 横截面正应力计算
A(x) 6
2.2 拉压杆的应力
二、斜截面上的应力
σ
σ
F
2
2
2
单向(单轴)应力状态
2
n
m
F
α
F
mm
F
p Fα
m
n
m
α
p
m
t
2
F
2
2
2
x
切讨力应的论规力定关任以方系一使位，方隔角位斜离α体截截以有面面x轴作上上为顺各的起时处应始针力法边转向及逆动时线与的针横应趋转势变截为为和面正正上切；。应应
变横相截同面，上 即变形是m 均a 匀x0 的 。因此内0力均0匀分
斜FA 布p纵α切截=。截应±c面面力o45A上FA上成so截的对p面全上A dFA应Ac力mmm oia 可nxp9s i分0AAn 4α4 解5——A59 ——为d0 2c 正斜 横Ao20 截截应s面面力p面面9 和积积A0 4切4 550 应2F力2
材料力学拉压PPT课件
3、理论分析
横截面上应力为均匀分布，以
表示。
F
F
F
FN=F
F
根据静力平衡条件： 即
4、 实验验证
材料力学
FN dF Ad A A
FN
A
§3 拉压杆内的应力
正负号规定：拉应力为正，压应力为负。
FN 的适用条件:
A
1、只适用于轴向拉伸与压缩杆件，即杆端处力的合 力作用线与杆件的轴线重合。
100N
33 -160
686
35 143
98 103
§3 拉压杆内的应力
50N 50N
1mm
材料力学
50N 50N
855 -244
33 167 29
99.5 101. 7
§3 拉压杆内的应力
100MPa
材料力学
1mm
厚度为1mm
100MPa
100MPa 100MPa 100MPa
§3 拉压杆内的应力
D
B 3
3
FN 3
F
3
B
X 0
F FN 3 0 FN 3 F
§2 横截面上的内力
1
2
F
2F
3
2F
F
A 1
C
2
D
B 3
2
F
2F
FN 2
X 0
A
C
2
FN 2 2F F 0 FN 2 2F F F
X 0
F 2F FN 2 0 FN 2 2F F F
2
FN 2
2
2F D
F B
义
②确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，
即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。
横截面上应力为均匀分布，以
表示。
F
F
F
FN=F
F
根据静力平衡条件： 即
4、 实验验证
材料力学
FN dF Ad A A
FN
A
§3 拉压杆内的应力
正负号规定：拉应力为正，压应力为负。
FN 的适用条件:
A
1、只适用于轴向拉伸与压缩杆件，即杆端处力的合 力作用线与杆件的轴线重合。
100N
33 -160
686
35 143
98 103
§3 拉压杆内的应力
50N 50N
1mm
材料力学
50N 50N
855 -244
33 167 29
99.5 101. 7
§3 拉压杆内的应力
100MPa
材料力学
1mm
厚度为1mm
100MPa
100MPa 100MPa 100MPa
§3 拉压杆内的应力
D
B 3
3
FN 3
F
3
B
X 0
F FN 3 0 FN 3 F
§2 横截面上的内力
1
2
F
2F
3
2F
F
A 1
C
2
D
B 3
2
F
2F
FN 2
X 0
A
C
2
FN 2 2F F 0 FN 2 2F F F
X 0
F 2F FN 2 0 FN 2 2F F F
2
FN 2
2
2F D
F B
义
②确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，
即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。
材料力学 轴向拉压1
FN4= F
FN1 2F , FN2= –3F， FN3= 5F，FN4= F 。
FN1 2F , FN2= –3F， FN3= 5F，FN4= F 。
轴力图如下图示 D
FD
O
A FA
B FB
C FC
FN
2F
5F F x 3F
9
例 等直杆BC , 横截面面积为A , 材料密度为ρ , 画 杆的轴力图，求最大轴力
16
3、斜截面上最大应力值的确定
cos , sin 2
2
F
p
2
( 1 ) max :
0,
max ,横截面上。 ( 0)
max
(
(2) max :
45
0
2
,450斜截面上。
的轴力图。
O A FA FN1 A FA B FB B FB C FC C FC D FD D FD
解： 求OA段内力FN1：设截面如图
X 0
FD FC FB FA FN1 0
FN1 2F
7
F 4F 8F 5F FN1 0
O
A
FA
B
FB B FB FN3
opt 45
29
例 图示石柱桥墩，压力F=1000kN，石料重度ρ g =25kN/m3，许用 应力[σ ]=1MPa。试比较下列三种情况下所需石料面积（1）等截面 石柱；（2）三段等长度的阶梯石柱；（3）等强度石柱（柱的每个 截面的应力都等于许用应力[σ ]）
F 5m F
F
15m
5m
由
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第5章 轴向拉伸与压缩 章
5-4 轴向拉压杆的变形 变形能 1）轴向变形 ） 轴向变形
∆l = l1 −l
FN σx = A
σx
横截面应力
FN = x方向线应变 εx = E EA 取dx微段，其轴向变形为
FN d(∆l) = εxdx = dx EA
l 整个杆件的 轴向变形为 ∆l = 0 d(∆l) =
以轴向拉伸杆为例，用截面法求得任一横截面 上内力量 以轴向拉伸杆为例，用截面法求得任一横截面n-n上内力量 轴力(normal force)的正负号 轴力 的正负号 只有 轴力 一个 内力 分量
第5章 轴向拉伸与压缩 章
5-２ 轴向拉压杆的应力 ２ １）平面假设 plane assumption
假设：变形前的横截面（为平面）变形后仍为平面 假设：变形前的横截面（为平面）变形后仍为平面, 只是两截面的距离发生了改变。 只是两截面的距离发生了改变。
第5章 轴向拉伸与压缩 章
5-1 轴向拉压杆的内力 轴向拉伸与压缩变形 tension compression
第5章 轴向拉伸与压缩 章
5-1 轴向拉压杆的内力 受力特点： 受力特点： 直杆， 直杆，所受外力或其合力与杆轴线重合 。 变形特点： 沿轴线方向将发生伸长或缩短变形。 变形特点： 沿轴线方向将发生伸长或缩短变形。
FNAB = −2.62 kN FNBC = −1.32 kN
解： 2. 分段求正应力
σx =
AB
FNAB AAB
=
4FNAB πd 2
4 ×(−2.62) ×103 = = −33.3MPa −3 2 π(10 ×10 )
σx =
BC
FNBC ABC
=
4FNBC π(D2 − d1 )
2
4 ×(−1.32 ×103) = = −22.4MPa π(102 − 52 ) ×10−6
∑Fx = 0
F + FNAB = 0 1
FNAB = −F = −2.62 kN 1
∑Fx = 0 F − F2 + FNBC = 0 1
FNBC = F2 − F = −1.32 kN 1
第5章 轴向拉伸与压缩 章
5-２ 轴向拉压杆的应力 ２ 例5-1 图a为一双压手铆机的示意图。作用于活塞杆上的力 分别简化为F1=2.62kN，F2=1.3kN，F3=1.32kN，计算简图如图b 所示。AB段为直径d=10mm的实心杆，BC段是外径D=10mm,内径 d1=5mm的空心杆。求活塞杆各段横截面上的正应力。
v ε y = εz = − x = − σx νε E
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5-4 轴向拉压杆的变形 变形能 1）轴向变形 ） 2）横向变形 ） 3）变形能 ） 单向应力状态的应变能密度 2 1 σx e = σxε x = 2 2E dx 微段的变形能
2 FN de = eAdx = Adx = dx 2E 2EA 整个杆件的变形能 2 σx
FNBC = FA − FB = −10kN
2）端面A与D-D截面间的相对位移uAD 端面 与 截面间的相对位移 FNAB l FNBC l + uAD = ∆lAD = EAAB EA BC
10×103 ×100 ×10−3 −10 ×10−3 ×100×10−3 m = 2.5×10−5 m = + 200 ×109 ×100 ×10−6 200 ×109 × 200×10−6
FNAB = FA = 10kN
第5章 轴向拉伸与压缩 章
5-4 轴向拉压杆的变形 变形能 例5-3 在图所示的阶梯形杆中，右端固定。已知：FA =10kN, FB=20kN, l=100mm,AB段与BC段横截面面积分别为AAB=100mm2 ， ABC=200mm2 ，材料的弹性模量E=200GPa。试求：1）杆的轴向变 形；2）端面A与D-D截面间的相对位移；3）杆的变形能。 段与BC 段的轴力 解：AB 段与
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5-２ 轴向拉压杆的应力 ２ 例5-2 直径为 d 长为 l 的圆截面直杆，铅垂放置，上端固定， 如下图所示。若材料单位体积质量为 ρ ，试求因自重引起的杆的 轴力和最大正应力。 解： 2
πd FN (x) = qx = ρg x 4
轴力方程
作轴力图 最大轴力
最大应力
πd 2 FNmax = ρg l 4 FNmax σxmax = = ρgl A
FNBC = FA − FB = −10kN
3）变形能 Eε
Eε = Eε AB + EεBC =
2 FNAB l
FNAB = FA = 10kN
2EAAB
+
2 FNBC 2l
2EA BC
(10 ×103)2 ×100 ×10−3 (−10 ×10−3)2 × 2 ×100 ×1−6 + 2 × 200 ×109 × 200 ×10−6 J = 0.5 J
∫
FN ∫0 EAdx
l
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5-4 轴向拉压杆的变形 变形能 1）轴向变形 ）
FN ∆l = ∫ dx 0 EA
l
FN、 A 为常数时
FNl ∆l = EA
EA为杆的抗拉刚度 抗拉刚度 当轴力为负值时，计 算得到的∆l为负值，表示为 缩短变形。
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5-4 轴向拉压杆的变形 变形能 1）轴向变形 ） 2）横向变形 ）
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5-4 轴向拉压杆的变形 变形能 例5-3 在图所示的阶梯形杆中，右端固定。已知：FA =10kN, FB=20kN, l=100mm,AB段与BC段横截面面积分别为AAB=100mm2 ， ABC=200mm2 ，材料的弹性模量E=200GPa。试求：1）杆的轴向变 形；2）端面A与D-D截面间的相对位移；3）杆的变形能。 段与BC 段的轴力 解：AB 段与
第5章 轴向拉伸与压缩 章
5-２ 轴向拉压杆的应力 ２ １）平面假设 简述平面假设的正确性
第5章 轴向拉伸与压缩 章
5-２ 轴向拉压杆的应力 ２ １）平面假设 ２） 横截面上的应力公式
∆u εx = ∆x
线应变在横截 面上均匀分布
单向应 单向应力状态 力状态 的胡克定律
σx = Eε x
第5章 轴向拉伸与压缩 章
FNAB = FA = 10kN
FNBC = FA − FB = −10kN
1）杆的轴向变形 FNAB l FNBC 2l ∆l = ∆lAB + ∆lBC = + EAAB EA BC
10 ×103 ×100 ×10−3 −10×10−3 × 2 ×100×10−3 = 200 ×109 ×100×10−6 + 200×109 × 200 ×10−6 m = 0m
5-２ 轴向拉压杆的应力 ２ １）平面假设 ２） 横截面上应力公式
FN σx = A
轴力为正值时，正应力得正值，为拉应力。反之， 轴力为正值时，正应力得正值，为拉应力。反之，正 应力得负值，为压应力。 应力得负值，为压应力。
第5章 轴向拉伸与压缩 章
5-２ 轴向拉压杆的应力 ２ 例5-1 图a为一双压手铆机的示意图。作用于活塞杆上的力 分别简化为F1=2.62kN，F2=1.3kN，F3=1.32kN，计算简图如图b 所示。AB段为直径d=10mm的实心杆，BC段是外径D=10mm,内径 d1=5mm的空心杆。求活塞杆各段横截面上的正应力。 解：1. 分段求轴力
F Eε = ∫ de = ∫ dx 0 0 2EA
l l
2 N
2 FNl Eε = 2EA
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5-4 轴向拉压杆的变形 变形能 例5-3 在图所示的阶梯形杆中，右端固定。已知：FA =10kN, FB=20kN, l=100mm,AB段与BC段横截面面积分别为AAB=100mm2 ， ABC=200mm2 ，材料的弹性模量E=200GPa。试求：1）杆的轴向变 形；2）端面A与D-D截面间的相对位移；3）杆的变形能。 段与BC 段的轴力 解：AB 段与
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5-3 圣维南原理 应力集中 2）应力集中（stress concentration） ）应力集中（ ）
σx k= σx
max
理论应力集中系数
截面尺寸改变得越急剧， 截面尺寸改变得越急剧， 角越尖，孔越小， 角越尖，孔越小，应力集 中的程度就越严重。 中的程度就越严重。
m
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5-3 圣维南原理 应力集中 1）圣维南原理（Saint-Venant principle） ）圣维南原理（ ） 根据圣维南原理， 根据圣维南原理 ， 对弹性 体某一局部区域的外力系，若 体某一局部区域的外力系， 用静力等效的力系来代替；则 用静力等效的力系来代替 ； 力的作用点附近区域的应力分 布将有显著改变， 布将有显著改变 ， 而对略远处 其影响可忽略不计。 其影响可忽略不计。 理论分析与实验证明， 理论分析与实验证明 ， 影 响区的轴向范围约为杆件一个 横向尺寸的大小。 横向尺寸的大小。