圆的垂径定理应用精选讲解学习
垂径定理—知识讲解(基础)
垂径定理—知识讲解（基础）责编：康红梅【学习目标】1.理解圆的对称性；2.掌握垂径定理及其推论；3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.如图，几何语言为：CD是直径AC BC=AD BD=要点诠释：2.推论定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.要点诠释：（1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.（2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝6 cm，OD＝4 cm，则DC的长为（）.A．5 cm B．2.5 cm C．2 cm D．1 cmCD⊥ABAE=BE【思路点拨】欲求CD的长，只要求出⊙O的半径r即可，可以连结OA，在Rt△AOD中，由勾股定理求出OA. 【答案】D；【解析】连OA，由垂径定理知13cm2AD AB==，所以在Rt△AOD中，5AO==（cm）．所以DC＝OC－OD＝OA－OD＝5－4＝1（cm）.【总结升华】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.）构成的直角三角形.举一反三：【变式1】已知AB，用直尺和圆规作这条弧的中点.【答案】如图.(1)连结AB.(2)作AB的垂直平分线CD，交AB于点E.点E就是所求作的AB的中点.【变式2】如图，⊙O中，弦AB⊥弦CD于E，且AE=3cm，BE=5cm，求圆心O到弦CD 距离。
典中点圆专训2 垂径定理的四种应用技巧
典中点圆专训2 垂径定理的四种应用技巧
◐名师点金◑
圆的半径和圆心到弦的垂线段三条线段组成的直角三角形,然后借助勾股定理,,在这三个量中知道任意两个,可求出第三个。
技巧1：巧用垂径定理求点的坐标
1.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(10，0)，点B的坐标是(8，0)，点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，求点C的坐标。
技巧2：巧用垂径定理解决最值问题(对称法)
2.如图,AB，CD是半径为5的⊙0的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点
F，P为直线EF上的任意一点，求PA+PC的最小值。
技巧3：巧用垂径定理计算
3.如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连结CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD。
(1)求证：E是OB的中点； (2)若AB=8，求CD的长。
技巧4：巧用垂径定理解决实际问题(建模思想)
4.某地有一座拱桥，它的桥拱是圆弧形，桥下的水面宽度为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部截面为长方形并高出水面2m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？。
九年级圆垂径定理知识点
九年级圆垂径定理知识点圆垂径定理是数学中的一个重要定理，它是研究圆的性质和应用的基础。
本文将详细介绍九年级圆垂径定理的相关知识点，帮助你更好地理解和应用这一定理。
一、圆垂径定理的概述圆垂径定理是指：在一个圆中，如果一条直径垂直于另一条弦，那么它一定是这条弦的垂直平分线。
二、圆垂径定理的证明为了证明圆垂径定理，我们可以采用几何证明和代数证明两种方法。
1. 几何证明假设圆的中心为O，半径为r，直径AB垂直于弦CD。
我们需要证明AO = BO。
首先，连接AC和BC，并设AC = x，BC = y。
根据圆的性质，我们知道AO = r，BO = r，AC = BC = r。
又因为AO垂直于CD，所以∠ACO = ∠BCO = 90°。
由三角形的性质可知，AO² = AC² - CO²，BO² = BC² - CO²。
代入已知条件，我们可以得到r² = x² - CO²，r² = y² - CO²。
通过这两个等式，我们可以得到x² - CO² = y² - CO²，即x² = y²。
进而，我们可以得知x = y，即AC = BC。
所以，根据直角三角形的特性，AO = BO，也就是说AO = BO = r。
因此，根据圆的定义，我们可以得出圆垂径定理的结论。
2. 代数证明我们也可以采用代数方法证明圆垂径定理。
设圆的方程为x² + y² = r²（其中，O为坐标原点）。
直径AB垂直于弦CD，且AB的斜率k存在。
根据直线的斜率公式，可以得到直线AB的方程为y = kx。
将直线AB的方程代入圆的方程中，我们可以得到x² + (kx)² =r²。
简化这个方程，可以得到x² + k²x² = r²。
第24章圆-第九讲圆的垂径定理及运用(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了圆的垂径定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这个定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
最后，我认识到，教学不仅仅是传授知识，更重要的是引导学生学会思考、学会学习。在今后的教学中，我将更加关注学生的个体差异，尽量满足不同学生的学习需求，帮助他们建立自信，培养解决问题的能力。
五、教学反思
在上完这节课之后，我思考了很多。首先，关于圆的垂径定理的教学，我发现学生们对于定理的理解和掌握程度超出了我的预期。他们能够通过直观的图形和简单的例子，快速抓住定理的核心。特别是在实践活动中，学生们通过分组讨论和实验操作，将理论知识与实际应也注意到，在定理的证明部分，有一部分学生还是感到有些困惑。我意识到，几何证明对于他们来说是一个难点，需要更多的引导和练习。在接下来的教学中，我打算多花一些时间，通过逐步引导和反复练习，帮助学生克服这个难题。
-举例：在圆中，若AB为弦，O为圆心，OD垂直于AB，则OD平分AB，并且AD=BD，同时弧AC和弧BC相等。
2.教学难点
-理解并证明垂径定理：学生需要理解定理背后的几何逻辑，并能够通过作图和逻辑推理来证明定理的正确性。
-定理在实际问题中的灵活应用：学生在面对具体问题时，可能会难以找到合适的入手点，不知道如何将定理应用到解题过程中。
针对这些教学难点和重点，教师应采用以下策略：
-使用直观的动画或实物模型来展示垂径定理的证明过程，帮助学生理解。
-通过典型例题的讲解，展示定理在实际问题中的应用方法，并指导学生进行步骤分解。
圆的垂径定理课件
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
③AM=BM,
⌒ ⌒ ④AC=BC,
⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
圆的垂径定理
做一做P90
5
垂径定理
驶向胜利 的彼岸
• 如图,小明的理由是: • 连接OA,OB, 则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
圆的垂径定理
想一想P91
8
垂径定理的逆定理
驶向胜利 的彼岸
• 如图,在下列五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
C
A
B
M└
●O
你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!
D
圆的垂径定理
• 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
以A,B两点为端点的弧.记作 A⌒B ,读作“弧AB”.
连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).
经过圆心弦叫做直径(如直径AC).
B
m • 直半径圆将(如圆弧分A成BC两⌒).部分,每一部分都叫做
A
●O
小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 A⌒B (用
C 两个字母).
试一试P93 15
挑战自我画一画
• 4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、 H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
A
H
G
D
驶向胜利 的彼岸
BE
·
F
C
0
圆的垂径定理
独立作业P91 16
挑战自我
• P94:习题3.2
垂径定理的应用课件
若一条直线过圆心且垂直于给定 直径，则该直线被直径分为两段 ，其中一段长度是另一段长度的 两倍。
定理的证明
证明方法一
利用圆的性质和勾股定理进行证 明。
证明方法二
利用相似三角形的性质进行证明。
证明方法三
利用三角形的中线性质进行证明。
定理的重要性
01
在几何学中，垂径定理是基础且 重要的定理之一，广泛应用于解 决与圆和直线相关的问题。
在椭圆中的应用
总结词：推广应用
详细描述：在椭圆中，垂径定理也有其应用。我们可以利用垂径定理找到椭圆的中心和长轴、短轴。这对于解决与椭圆相关 的几何问题非常有帮助，如求面积、周长等。
在其他图形中的应用
总结词：拓展应用
详细描述：除了圆和椭圆，垂径定理还可以应用于其他一些图形中。例如，在抛物线、双曲线等中， 垂径定理可以帮助我们找到与图形中心相关的信息，从而解决一些复杂的几何问题。此外，在一些更 复杂的组合图形中，垂径定理也可以发挥重要作用。
案例三：机械制造中的垂径定理应用
总结词
机械零件的精确性与垂径定理
详细描述
在机械制造中，垂径定理被广泛应用于确定机械零件 的位置和尺寸，以确保机械零件的精确性和稳定性。 通过应用垂径定理，可以计算出零件的最佳位置和尺 寸，从而提高机械设备的效率和精度。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
详细描述
在解决与圆相关的几何问题时，垂径定理与 三角函数经常一起使用。垂径定理可以确定 直径与弦的关系，而三角函数则可以用于计 算角度和弧长等几何量。通过结合这两个知 识点，可以方便地计算出圆上任意两点之间 的角度、弧长等几何量。
与解析几何的结合应用
总结词
解析几何提供了一种用代数方法研究几何的 方法，垂径定理与解析几何的结合，使得几 何问题可以通过代数方法求解。
垂径定理习题课课件
提升练习题
提升练习题1
已知圆O的直径为10，弦AB=8， 点P是AB上一点，且OP垂直于AB ，求AP的长。
提升练习题2
在圆O中，过直径AB上一点P作 线段PC与圆O相切于点C，且 PC=12，PB=4，则圆O的半径为 多少。
综合练习题
综合练习题1
在圆O中，过直径AB上一点P作线段 PC与圆O相切于点C，且PC=12， PB=4，求弦AC的长。
定理应用二
解决与圆相关的最值问题。
定理应用三
证明与圆相关的几何命题。
02
经典习题解析
Chapter
单一问题解析
总结词
考察垂径定理的基本应用
详细描述
通过单一问题的解析，让学生掌握垂径定理的基本应用，包括如何利用垂径定 理解决与圆相关的计算问题。
综合问题解析
总结词
考察垂径定理与其他知识的结合
详细描述
解题思路分析
垂径定理的应用场景
首先明确题目中涉及到的几何图形和 已知条件，判断是否符合垂径定理的 应用场景。
垂径定理的推导
解题思路的总结
在解题过径定理的推导过程，逐步推导 出与题目相关的结论。
常用解题方法
代数法
通过代数运算，将问题转 化为方程或不等式求解。
通过综合问题的解析，让学生了解如何将垂径定理与其他数学知识结合，如勾股 定理、全等三角形等，解决复杂的几何问题。
实际应用问题解析
总结词
将垂径定理应用于实际问题
详细描述
通过实际应用问题的解析，让学生了解垂径定理在日常生活和生产实践中的应用，如建筑设计、机械制造等领域 。
03
习题解答技巧
Chapter
3
学习进阶内容
3.52垂径定理—知识讲解(提高)
3.52垂径定理—知识讲解（提高）【学习目标】1．理解圆的对称性；2．掌握垂径定理及其推论；3．学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题．【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.（4）圆的两条平行弦所夹的弧相等.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1. 如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则⊙O的半径是．【答案】5.【解析】作OM⊥AB于M、ON⊥CD于N，连结OA，∵AB=CD，CE=1，ED=3，∴OM=EN=1，AM=2，∴.【点评】对于垂径定理的使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算(配合勾股定理)问题.举一反三：【变式1】如图所示，⊙O两弦AB、CD垂直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径．【答案】如图所示，过点O分别作OM⊥AB于M，ON ⊥CD于N，则四边形MONH为矩形，连结OB，∴12MO HN CN CH CD CH==-=-11()(38)3 2.522CH DH CH=+-=+-=，111()(46)5222BM AB BH AH==+=+=，∴在Rt△BOM中，OB==【变式2】如图，AB为⊙O的弦，M是AB上一点，若AB＝20cm，MB＝8cm，OM＝10cm，求⊙O的半径. 【答案】14cm.2.已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离.【思路点拨】在⊙O中，两平行弦AB、CD间的距离就是它们的公垂线段的长度，若分别作弦AB、CD的弦心距，则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离.【答案与解析】(1)如图1，当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，作OM⊥AB于点M，并延长MO，交CD于N点.分别连结AO、CO.∵AB∥CD∴ON⊥CD，即ON为弦CD的弦心距.∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm，=8+6=14(cm)图 1 图2(2)如图2所示，当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间(即弦AB、CD在圆心O的同侧)时，同理可得：MN=OM-ON=8-6=2(cm)∴⊙O中，平行弦AB、CD间的距离是14cm或2cm.【点评】解这类问题时，要按平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，千万别丢解.举一反三：【变式】在⊙O中，直径MN⊥AB，垂足为C，MN=10，AB=8，则MC=_________．【答案】2或8．类型二、垂径定理的综合应用3. 要测量一个钢板上小孔的直径，通常采用间接的测量方法．如果用一个直径为10mm的标准钢珠放在小孔上，测得钢珠顶端与小孔平面的距离h＝8mm(如图所示)，求此小孔的直径d．【思路点拨】此小孔的直径d就是⊙O中的弦AB．根据垂径定理构造直角三角形来解决．【答案与解析】过O作MN⊥AB，交⊙O于M、N，垂足为C，则1105mm2OA=⨯=，OC＝MC－OM＝8－5＝3mm．在Rt△ACO中，AC4mm =，∴ AB＝2AC＝2×4＝8mm．答：此小孔的直径d为8mm．【点评】应用垂径定理解题，一般转化为有关半径、弦、弦心距之间的关系与勾股定理的运算问题.4. 不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l于E，BF⊥l于F．(1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OA＝OB除外)(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．【答案与解析】(1)如图所示，在图①中AB、CD延长线交于⊙O外一点；在图②中AB、CD交于⊙O内一点；在图③中AB∥CD．(2)在三个图形中均有结论：线段EC＝DF．(3)证明：过O作OG⊥l于G．由垂径定理知CG＝GD．∵ AE⊥l于E，BF⊥l于F，∴ AE∥OG∥BF．∵ AB为直径，∴ AO＝OB，∴ EG＝GF，∴ EC＝EG－CG＝GF－GD＝DF．【点评】在运用垂径定理解题时，常用的辅助线是过圆心作弦的垂线，构造出垂径定理的基本图形.【巩固练习】一、选择题1.如图所示，三角形ABC的各顶点都在⊙O上，AC=BC，CD平分∠ACB，交圆O于点D，下列结论：①CD是⊙O的直径；②CD平分弦AB；③AC BC=；④AD BD=；⑤CD⊥AB．其中正确的有（）A．2个 B．3个 C．4个D．5个2．下面四个命题中正确的是( )．A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心3．如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且COBDACD=，则AB的长为（）A．2 B.3 C.4D.5第3题第5题第6题4．⊙O的半径OA＝1，弦AB、AC，则∠BAC的度数为( )．A．15° B．45° C．75°D．15°或75°5．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用现在的数学语言表述是：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE为1寸，AB为10寸，求直径CD的长.依题意，CD长为( )．A．252寸 B．13寸 C．25寸D．26寸6．如图，EF是⊙O的直径，AB是弦，EF=10cm，AB=8cm，则E、F两点到直线AB的距离之和为（）．A．3cm B．4cm C．8cmD．6cm二、填空题7．如图，⊙O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE=3，BE=7，则圆心O到CD的距离是______．8．如图，P为⊙O的弦AB上的点，P A=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=______．7题图8题图9题图9．如图，⊙O的弦AB垂直于AC，AB=6cm，AC=4cm，则⊙O的半径等于______cm．10．圆心都在y轴上的两圆相交于A、B两点，如果A点的坐标为(2，那么B点的坐标为____________．11．在图11中，半圆的直径AB=4cm，O为圆心，半径OE⊥AB，F为OE的中点，CD∥AB，则弦CD的长为．(第12题)12．如图，点A、B是⊙O上两点，AB=10，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合）连结AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于点F，则EF= .三、解答题13.如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CD=15，35OE OC=∶∶，求弦AB和AC的长．14．如图所示，C为ACB的中点，CD为直径，弦AB 交CD于P点，PE⊥BC于E，若BC=10cm，且CE：BE=3：2，求弦AB的长．15．如图所示，已知O是∠MPN的平分线上的一点，以O为圆心的圆与角的两边分别交于点A、B和C、D.⑴求证：PB=PD.⑵若角的顶点P在圆上或圆内，⑴中的结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明.16.如图，点M，N分别是AB、AC的中点，且MN 交AB于D，交AC于E，求证：△ADE是等腰三角形.【答案与解析】一、选择题1．【答案】D．【解析】由圆的对称性、等腰三角形的三线合一的性质可得到5个结论都是正确的.2．【答案】D．【解析】根据垂径定理及其推论来判断.3．【答案】B．【解析】由垂径定理得HD=，由勾股定理得HB=1，设圆O的半径为R，在Rt△ODH中，则()2221R R=+-，由此得R=32，所以AB=3.故选 B.4.【答案】D．【解析】分弦AB、AC在圆心的同侧和异侧讨论. 5．【答案】D．【解析】连结AO，∵ CD为直径，CD⊥AB，∴152AE AB==．设⊙O半径为R，则OE＝R－1．Rt△AOE中，OA2＝AE2+OE2，∴ R2＝52+(R-1)2，P∴ R ＝13，∴ CD ＝2R ＝26(寸)． 故选D ．6．【答案】D ．【解析】E 、F 两点到直线AB 的距离之和为圆心O 到AB 距离的2倍. 二、填空题 7．【答案】2． 8．【答案】.13 9．【答案】.13 10．【答案】(2-．【解析】因为y 轴是两圆的对称轴，所以两圆的交点关于y 轴对称，则B (2-. 11．【答案】.【解析】连接OC,易求CD=. 12.【答案】5.【解析】易证EF 是△APB 的中位线，EF=15.2AB = 三、解答题13.【答案与解析】连结OA ，∵CD=15，35OE OC =∶∶， ∴OA=OC=7.5，OE=4.5，CE=3，∴6212AE AB AE AC ========，14.【答案与解析】因为C 为ACB 的中点，CD 为直径，弦AB 交CD 于P 点，所以 CD ⊥AB.由BC=10cm ，且CE ：BE=3：2，得CE=6cm ，BE=4cm ，设,,BP a CP b ==则22222221046a b a b ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩解得a =，2AB a ==.15.【答案与解析】（1）证明：过O 作OE ⊥PB 于E ，OF ⊥PD 于F. ∵ PO 平分∠MPN∴ OE=OF ，PE=PF ∴ AB=CD ，BE=DF ∴ PE+BE=PF+DF ∴ PB=PD（2）上述结论仍成立.如下图所示.证明略. 16.【答案与解析】连结OM 、ON ，分别交AB 、AC 于F 、G 点．∵ M 、N 分别为AB 、AC 中点，∴ ∠MFD ＝90°＝∠EGN ． ∵ OM ＝ON ，有∠M ＝∠N ，知∠MDB ＝∠NEC ， 而∠MDB ＝∠1，∠NEC ＝∠2，于是∠l ＝∠2，故AD ＝AE ．所以△ADE 是等腰三角形.。
专题22 圆锥曲线中的垂径定理(解析版)
专题22： 圆锥曲线中的垂径定理一、知识框架二、概念及相关典型例题 (一) 圆中的垂径定理（问题背景：直线斜率存在）图1 图2 图3 （1）如图1，在圆O 中，E 为弦AB 中点，则OE ⊥AB ，即1-=⋅AB OE k k （2）如图2，在圆O 中，l 与圆O 相切于E 点，则OE ⊥l ，即1-=⋅AB OE k k .（若切点坐标为),(00y x E ，可得切线l 方程：200r y y x x =+）（3）如图3，AB 为圆O 直径，E 圆上异于A 、B 两点的动点，则BE ⊥AE ，即1-=⋅BE AE k k .（二）圆锥曲线中的垂径定理（问题情景假设：假设下列问题讨论所涉及的直线斜率都存在情况下）1.椭圆中的垂径定理（以焦点在x 轴的椭圆方程)0(12222>>=+b a b y a x 为例）图1 图2 图3 （1）如图1，在椭圆C 中，E 为弦AB 的中点，则22ab k k ABOE -=⋅;（证明：用点差法）（2）如图2，在椭圆C 中，l 与椭圆相切于E 点，则22ab k k l OE -=⋅;（证明：法一：极限思想，当A 无穷接近B 点；法二：换元法变换为122='+'y x 证明即可；法三：导数）（3）如图3,l 过中心O,交椭圆于A,B 两点,E 是椭圆上异于A 、B 点的动点则22ab k k AEBE -=⋅.（证明：取AE 重点M ，连接OM ，即可用（1）证明）2.双曲线中的垂径定理（以焦点在x 轴的双曲线方程)00(12222>>=-b a by a x ，为例）图1 图2 图3 图4 图5（1）如图1或图2，E 为弦AB 的中点，则22ab k k ABOE =⋅; （2）如图3，l 与双曲线相切于E 点，则22ab k k l OE =⋅;（3）如图4，过O 点的l 交双曲线于A,B 两点，E 是双曲线上异于A 、B 点的动点,则22abk k AEBE =⋅. （4）如图5，l 交上双曲线两渐近线于A,B 两点，E 为线段AB 的中点，则22ab k k ABOE =⋅. 【注意：若焦点在y 轴上的双曲线方程)00(12222>>=-b a b x a y ，，则上面斜率乘积结论变为：22ba ，即=⋅AB OE k k =⋅l OE k k 22ba k k AEBE =⋅】（三）例题点评1.例题初探【例1】过点M(1,1)作斜率为21-的直线与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x C ：相交于A,B 两点，若M 是线段AB的中点，则该椭圆的离心率为 .【解析】方法一：点差法 方法二：由垂径定理，22)21(11a b k k ABOM -=-⨯=⋅，2122222=-=a c a a b ，即2112=-e ，因为0<e<1,所以圆、椭圆与双曲线中的垂径定理可以归结为（统称为有心圆锥曲线）：（1）若方程，且00(122>>=+n m ny m x 或0<mn ）存在以上关系，则上述结论可表述为：m n -， 即=⋅AB OE k k =⋅l OE k k mn k k AE BE -=⋅，其中n m ，分别是22,y x 系数的倒数. （2）若方程)0,00(122<>>=+AB B A By Ax 或且存在以上关系，则上述结论可表述为：BA -， 即=⋅AB OE k k =⋅l OE k k BA k k AE BE -=⋅，其中B A ，分别是22,y x 系数.解的22=e 【例2】已知A 、B 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右顶点，P 为椭圆上异于A 、B 的点，PA 、PB 的斜率分别为21,k k ，且4321-=k k ，则该椭圆的离心率为 【解析】答案为21=e【例3】设双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的顶点为21,A A ，P 为双曲线上一点，直线1PA 交双曲线C 的一条渐近线于M 点，直线M A 2和P A 2的斜率分别为21,k k ，若12PA M A ⊥且0421=+k k ，则双曲线C 离心率为（ ） A 、2 B 、25C 、5D 、4【解析】利用双曲线过中心弦结论2221a b k k PA PA =，即22114141ab k k ==⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- 答案：B 【例4】已知A 、B 是双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 的两个顶点，P 是双曲线上异于A 、B 的另一点，P 关于y 轴的对称点为Q ，记直线AP 、BQ 的斜率分别为21,k k ，且5421-=k k ，则双曲线的离心率为【解析】1k k AQ -=，由垂径定理得235411221=⇒=-=-e e k k 答案：23【例5】过双曲线)0(12222>>=-b a by a x 的左焦点F 且斜率为1的直线与双曲线的两条渐近线交于A 、B 两点，记线段AB 的中点为M ，且FM 等于半焦距，则双曲线的离心率=e【解析】 0>>b a ，∴双曲线的开口较小，渐近线斜率的绝对值比1小，故直线与双曲线的交点都位于y 轴左侧，当直线竖起来时中点即F ，而直线斜率为1，故中点M 位于第三象限，由 135=∠MFO ，FO FM =（O 为坐标原点），∴125.22tan -== OM k由垂径定理得21122=⇒-=⋅e e k OM 答案：42【例6】已知直线l 的斜率为1，且与双曲线2212x y -=相切于第一象限于点A ，则点A 的坐标为______.来源学科网ZXXK]【解析】法一：因为直线l 的斜率为1，所以设:l y x m =+代入双曲线2212x y -=得224220x mx m +++=因为直线与双曲线相切，所以0∆=，即()22164220m m -+=，解得1m =±当1m =时，22112y x x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得21x y =-⎧⎨=-⎩，当1m =-时，22112y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩ 因为切点A 在第一象限，所以点()2,1A .故答案为：()2,1. 法二：设切点坐标为()00,y x A ，由垂径定理得：212200===⋅a b x y K K l OA ，又因为点()00,y x A 在双曲线上，可得：122020=-y x ，解得10=y ，所以20=x ， 所以点()2,1A .故答案为：()2,1.2.提高与巩固例题【例1】已知直线l 交椭圆805422=+y x 于M 、N 两点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，若△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点，则直线l 的方程为【解析】设),(11y x M ，),(22y x N ，)4,0(B ，由重心公式得6021=++x x ，0421=++y y【三角形ABC 重心的坐标公式为)3,3(321321y y y x x x ++++，其中),(),,(),,(332211y x C y x B y x A 】 ∴线段MN 的中点为)2,3(-D ，由垂径定理得5412-=-=⋅e k k MN OD （O 为坐标原点）∴56=MN k ，∴直线l 的方程为02856=--y x【例2】已知椭圆1422=+y x ，P 是椭圆的上顶点，过P 作斜率为)0(≠k k 的直线l 交椭圆于另一点A ，设点A 关于原点的对称点为B ， （1）求△PAB 面积的最大值（2）设线段PB 的中垂线与y 轴交于点N ，若点N 在椭圆内部，求斜率k 的取值范围【解析】（1）B PAB x x x S =-=∆2121，∴面积最大为2 （2）方法一（与椭圆联立）：4122-=-=a b k k BP AP ，∴k k kk BP 441=⇒-=中垂线，N 刚到下顶点)1,0(-时，中垂线14-=kx y ，PB ：141+-=x k y 与椭圆联立可求得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+1414,148222k k k k B ∴PB 中点为⎪⎪⎭⎫⎝⎛++144,144222k k k k M 在中垂线上，代入得42±=k 方法二（与直线联立）：由垂径定理得4112-=-=e kk BP ，∴PB ：141+-=x ky 与边AP 平行的中位线kx y =联立得PB 中点为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++144,144222k k k k M ，由M 与)1,0(-构成的中垂线斜率k k k k k 41441144222=+++，解得42±=k 【例3】设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 两条渐近线分别交于A ，B ，若点)0,(m P 满足PB PA =，则该双曲线的离心率是【解析】方法一（垂径定理）：记M 为PM 的中点，则PM ：033=-+m y x 与直线AB 联立，容易得)53,54(m m M由垂径定理得141122-=⇒-=e e k k PM AB 答案：25方法二（暴力计算）直线分别与两条渐近线联立得)3,3(a b bm a b am A --，)3,3(ba bmb a am B ++-∴AB 的中点为)93,9(222222a b m b a b m a --，所以线段AB 的中垂线斜率为3923222-=-=ba b k 方法三（渐近线点差法）：设AB 中点为),(00y x ，则由点差法知310202==y a x b k又中点在直线上，故0300=+-m y x ①，由PB PA =得300-=-mx y ②由①②得34333000000=⇒+=-=x y x y x y m ，∴4122=a b 【例4】已知某椭圆的焦点是)0,4(),0,4(21F F -，过点2F 并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且三、自我素养养成练习与思考1.如图，已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，过原点的直线交椭圆于点P 、A 两点（其中点P 在第一象限），过点P 作x 轴的垂线，垂线为C ，连AC 并延长交椭圆于B ，若PB PA ⊥，则椭圆的离心率为【解析】记1k k PB =，2k k AB =，延长PC 交椭圆于D ，连AD ，由初中几何知识得22k k AP =，由PBPA ⊥得1221-=k k ，由垂径定理得1221-=e k k 答案：222.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点为21,F F ，右顶点为A ，P 为双曲线右支上一点，1PF 交双曲线的左支于点Q ，与渐近线x aby =交于点R ，线段PQ 的中点为M ，若12PF RF ⊥，1PF AM ⊥，则双曲线的离心率为【解析】由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得c OR =，故),(b a R ∴ca b k PQ += 由垂径定理得2222)(1a c a b k a b e k k OM PQOM +=⇒=-=⋅联立直线PQ ：)(c x c a b y ++=与直线OM ：x ac a b y 2)(+=得)2)(,2(2c a c a b c a a M +++，)0,(a A 由2)(ac a b b c a k AM +=+-=得0202222=--⇒=+-e e ac c a ，解得2=e 答案：23.如图，已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右顶点分别为A 、B ，P 为第一象限内一点，且AB PB ⊥，连接PA 交椭圆于点C ，连BC 、OP ，若BC OP ⊥，则椭圆的离心率为【解析】1k k PA =，2k k BC =，由初中几何知识得12k k OP =， 1221-=k k ，∴由垂径定理得211221-=-=e k k22=⇒e 答案：22 4.如图，1F ，2F 分别是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点，B 是虚轴的端点，直线B F 1与C的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线MN 与x 轴交于点M ，若212F F MF =，则C 的离心率是 。
(完整版)圆的垂径定理及推论知识点与练习
圆的垂径定理及其推论知识点与练习（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。
若直径AB ⊥弦CD 于点E ，则CE=DE ，⌒AC =⌒ AD ；⌒ BC =⌒ BD （2）推论：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
若CE=DE ，AB是直径，则⌒ AC =⌒ AD ；⌒ BC =⌒ BD②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
若AB ⊥CD ，CE=DE ，则CD 是直径，⌒ AC =⌒ AD ；⌒ BC =⌒ BD③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
若⌒ AC =⌒AD ，AB 是直径，则AB ⊥CD ，CE=DE ，⌒ BC =⌒ BD④圆的两条平行弦所夹的弧相等。
若CD ∥FG ，CD 、FG 为弦，则⌒ FC =⌒ GD特别提示：①垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦直径 平分弦 知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧②垂径定理可改写为：如果一条直线垂直于一条弦，并且过圆心，那么这条直线平分弦并且平分弦所对的两条弧．其中有四个条件：直线垂于于弦，直线平分弦，直线过圆心，直线平分弦所对的弧．它的三个推论可看作“如果四个条件中有两个成立，那么另外两个也成立”．（3）垂径定理及推论的应用：它是证明圆内线段相等、角相等、垂直关系及利用勾股定理计算有关线段的长度提供了依据，也为圆中的计算、证明和作图提供了依据、思路和方法。
①垂径定理中的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线、线段，其本质是“过圆心”；②在圆的有关计算中常用圆心到弦垂线段、弦的一半、半径构造出垂径定理的条件和直角三角形，从而应用勾股定理解决问题；例：如图，在⊙O 中，弦AB 所对的劣弧为圆的31，圆的半径为2cm ，求AB 的长。
解：如图，连接OB ，过点O 作OD ⊥AB 交AB 于点C ，由题意得，∵⌒ AB = 31×360º=120º ∴∠AOB=120º，∴∠AOC=60º,在Rt △AOC 中，∵∠AOC=60º，OA=2，∴OC =21OA=1，∴AB=2AC=222OC AO =23 故AB 的长为23 练习一、选择题1、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不一定成立的是（ ）A 、CM=DMB 、∠ACB=∠ADBC 、AD=2BD D 、∠BCD=∠BDCGA A（1题图） （2题图） （3题）2、圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，AB=8m ，∠CAD=30°，则大棚高度CD 约为（ ）A 、2.0mB 、2.3mC 、4.6mD 、6.9m3、如图，在⊙O 中，AB 、AC 是互相垂直的两条弦，OD ⊥AB 于D ，OE ⊥AC 于E ，且AB=8cm ，AC=6cm ，那么⊙O 的半径OA 长为（） A 、4cm B 、5cm C 、6cm D 、8cm4、半径为2cm 的圆中，有一条长为2cm 的弦，则圆心到这条弦的距离为（ ）A 、1cmB 、 cmC 、 cmD 、2cm5、如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，则下列结论中不一定成立的是（ ）A 、∠COE=∠DOEB 、CE=DEC 、OE=BED 、⌒ BC =⌒BD（题5） （题6）6、如图所示，在⊙O 中，OD ⊥AB 于P ，AP=4cm ，PD=2cm ，则OP 的长等于（ ）A 、9cmB 、6cmC 、3cmD 、1cm 二、填空题有 条相等的弧。
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圆的垂径定理应用精
选
圆的垂径定理应用精选
一、双基导学：
1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。
垂径定理推论的规律：对于一个圆和一条直线来说，如果具备下列五个条
时，“弦”不能是直径。
）
2、运用垂径定理的注意事项：
（1）牢记基本图形及变式图形（如右图）
（2）半径r、弦长a、弦心距d
和弓形高h四者的关系是：
①d+h=r；②r2=d2+(
2
a
)2
当不能用勾股定理直接计算时，要用勾股定理列方程求解。
(3)当弦是特殊的直径时，有的推论不成立。
(4)常用辅助线：连接与弦的端点、过圆心作弦的垂线。
二、垂经定理的应用
1、利用平分弦，解有关线段问题
（1）证明线段间的关系（相等、和、差、倍、分等）
例：如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，过C、D分别作CN⊥CD、DM•⊥CD，•AN与BM是否相等，说明理由．
（2）求半径
例.高速公路的隧道和桥梁最多．图3是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=10米，净高CD=7米，求圆的半径OA
析解：由垂径定理可知△AOD是直角三角形，解决本题关键是根据勾股定理列出方程.设半径OA=x米，则OD=CD－OC=7－x（米）.因为OD⊥AB,所以
AD=
1
2
AB=5（米）.在Rt△AOD中，因为222
AD OD OA
+=，所以222
5(7)x x
+-=，解这个方程得：
37
7
x=
图3
图2
（3）求弦长
例.工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，如图4所示，则这个小孔的直径AB ＿＿＿＿mm ．
析解：要求小孔的直径AB ，关键是根据垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理来解决.如图5，设圆心为O ，连接OA ,过点O 作OC ⊥AB ,交劣弧于D ，
C 为垂足，则AC=CB ，OA=O
D =11052
⨯=mm ，OC =8－5=3mm ，在Rt △AOC 中，AC =22OA OC -22534=-=，所以AB =2AC =2×4=8(mm). （4）、求弦心距
例.如图6，⊙O 的半径为5，弦8AB =，OC AB ⊥于C ，则OC 的长等于 ．
析解：连接OA ,因为OC AB ⊥于C ，所以由垂径定理可得AC =
11
8422
AB =⨯=.在Rt △AOC 中，由勾股定理可得OC =2222543OA AC -=-=. 2、利用垂径定理，构造直角三角形，利用勾股定理解题
例：有一座圆弧形拱桥，桥下水面AB 宽24m ，拱顶高出水面8m.。
现有一
艘高出水面部分的截面为长方形的船要经过这里，长方形的长为8m 、高为7m 。
此船能顺利通过这座桥吗?
D C
A
O
B
图8
图
C
O
A
B
D
C
O A
B
图
B
A
8m
图4 O
F
E
D
C B
A
例.兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图5所示，已知AB =16m ，半径
OA =10m ，高度CD 为_____m ． 析解：由垂径定理可得AD =
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16822
AB =⨯=.在Rt △AOC 中，OD =22221086OA AD -=-=,所以CD=OC －OD=10－6=4(m). 3、利用弦所对的弧等，进行角的计算与证明
例： 如图，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，∠EOD ＝40°。
求∠DCF 的度数。
例：.如图10，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠AOC =60º，则∠B = ．
析解：因为CD ⊥AB ，AB 为直径，所以由垂径定理可知»
»AD AC =，利用“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”定理可得：
∠B =12AOC ∠=1
60302
⨯︒=︒.
4、探究线段的最小值
例6.如图7，⊙O 的半径OA =10cm ，弦AB =16cm ，P 为AB 上一动点，则点P 到圆心O 的最短距离为 cm ．
析解：因为连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，所以需作出弦AB 的弦心距.过点O 作OC ⊥AB , C 为垂足，则AC=
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AB =⨯=.C
O
D A B
图
C O
A
B
P
图7
=.故点P到圆心在Rt△AOC中，由勾股定理可得OC6
O的最短距离为6cm．。