2019届北师大版(文科数学) 柯西不等式 单元测试
柯西不等式单元测试题
《柯西不等式》单元测试题（1）班级 姓名一、选择题：1．已知a ，b ∈R，a 2＋b 2＝4，则3a ＋2b 的最大值为( )A ．4B ．213C ．8D ．92．设x ，y ，m ，n >0，且m x ＋n y＝1，则u ＝x ＋y 的最小值是( ) A ．(m ＋n )2 ＋n C ．m ＋n D ．(m ＋n )23．若a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝10，则a －b 的取值范围是( )A ．[－25，25]B ．[－210，210]C ．[－10，10]D ．[－5，5]4．已知4x 2＋5y 2＝1，则2x ＋5y 的最大值是 ( )B ．1C ．3D ．95．已知x ，y ∈R ＋，且xy ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y 的最小值为( ) A ．4 B ．2 C ．16．设a 、b ∈R ＋，且a ≠b ，P ＝a 2b ＋b 2a ，Q ＝a ＋b ，则( )A ．P >QB ．P ≥QC ．P <QD ．P ≤Q二、填空题：7．已知a ，b >0，且a ＋b ＝1，则12a ＋1b的最小值为________； 8．函数y ＝x －5＋26－x 的最大值是________；9．设a ，b ，c ，d ，m ，n 都是正实数，P ＝ab ＋cd ，Q ＝ma ＋nc · b m ＋dn，则P 与Q 的大小________；10．函数y ＝2cos x ＋31－cos 2x 的最大值为________；11．函数y ＝21－x ＋2x ＋1的最大值为________.三、解答题： 12．若2x ＋3y ＝1，求4x 2＋9y 2的最小值，并求出最小值点．13．设a ，b ∈R ＋，若a ＋b ＝2，求1a ＋1b的最小值． 14．已知a 1－b 2＋b 1－a 2＝1，求证：a 2＋b 2＝1.15．设a ＋b ＝12，求证：a 8＋b 8≥127. 参考答案：一、选择题：1．已知a ，b ∈R，a 2＋b 2＝4，则3a ＋2b 的最大值为( )A ．4B ．213 C ．8 D ．9 答案：B2．设x ，y ，m ，n >0，且m x ＋n y＝1，则u ＝x ＋y 的最小值是( ) A ．(m ＋n )2 ＋n C ．m ＋n D ．(m ＋n )2答案：A3．若a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝10，则a －b 的取值范围是( )A ．[－25，25]B ．[－210，210]C ．[－10，10]D ．[－5，5] 解析： ∵(a 2＋b 2)[12＋(－1)2]≥(a －b )2，∴|a －b |≤20＝25，∴a －b ∈[－25，25]．答案： A4．已知4x 2＋5y 2＝1，则2x ＋5y 的最大值是 ( ) B ．1 C ．3 D ．9解析： ∵2x ＋5y ＝2x ·1＋5y ·1≤ 2x 2＋5y 2·12＋12＝1·2＝ 2. ∴2x ＋5y 的最大值为2. 答案： A5．已知x ，y ∈R ＋，且xy ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y 的最小值为( ) A ．4 B ．2 C ．1解析： ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋1xy 2＝4，故选A. 答案： A6．设a 、b ∈R ＋，且a ≠b ，P ＝a 2b ＋b 2a ，Q ＝a ＋b ，则( )A ．P >QB ．P ≥QC ．P <QD ．P ≤Q解析： ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a (a ＋b ) ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b a 2[(a )2＋(b )2] ≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a b ·b ＋b a ·a 2＝(a ＋b )2 ∵a >0，b >0，∴a ＋b >0.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a ≥a ＋b 2a ＋b ＝(a ＋b )． 又∵a ≠b ，而等号成立的条件是ab ·b ＝b a ·a ，即a ＝b ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a >a ＋b .即P >Q . 答案： A二、填空题：7．已知a ，b >0，且a ＋b ＝1，则12a ＋1b 的最小值为________；解析：∵12a ＋1b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋1b ＝[(a )2＋(b )2]⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1b 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ·12a ＋b ·1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＋12 ＝32＋ 2. 答案：32＋2 8．函数y ＝x －5＋26－x 的最大值是________；解析：根据柯西不等式，知y ＝1×x －5＋2×6－x ≤12＋22×x －52＋6－x 2＝ 5. 答案： 5 9．设a ，b ，c ，d ，m ，n 都是正实数，P ＝ab ＋cd ，Q ＝ma ＋nc · bm ＋dn ，则P 与Q 的大小________；解析： 由柯西不等式，得P ＝am ·b m＋nc ·d n ≤am 2＋nc 2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫d n 2＝am ＋nc ·b m ＋d n ＝Q .答案： P ≤Q 10．函数y ＝2cos x ＋31－cos 2x 的最大值为________； 解析： y ＝2cos x ＋31－cos 2x ＝2cos x ＋32sin 2 x ≤cos 2 x ＋sin 2 x [22＋322]＝22. 当且仅当cos x sin 2 x ＝232，即tan x ＝±322时，函数有最大值22. 答案： 2211．函数y ＝21－x ＋2x ＋1的最大值为________. 解析： y ＝21－x ＋2x ＋1＝22－2x ＋1·2x ＋1 ≤22＋12·2－2x 2＋2x ＋12＝3·3＝3. 当且仅当2－2x ·1＝2·2x ＋1取等号．即2－2x ＝4x ＋2，∴x ＝0时取等号． 答案： 3三、解答题：12．若2x ＋3y ＝1，求4x 2＋9y 2的最小值，并求出最小值点． 解： 由柯西不等式(4x 2＋9y 2)(12＋12)≥(2x ＋3y )2＝1，∴4x 2＋9y 2≥12. 当且仅当2x ·1＝3y ·1，即2x ＝3y 时取等号． 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝3y ，2x ＋3y ＝1 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝14，y ＝16.∴4x 2＋9y 2的最小值为12，最小值点为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，16. 13．设a ，b ∈R ＋，若a ＋b ＝2，求1a ＋1b 的最小值．解： ∵(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝[(a )2＋(b )2]⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1b 2 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ·1a ＋b ·1b 2＝(1＋1)2＝4.∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥2. 当且仅当a ·1b ＝b ·1a ，即a ＝b 时取等号，∴当a ＝b ＝1时，1a ＋1b的最小值为2. 14．已知a 1－b 2＋b 1－a 2＝1，求证：a 2＋b 2＝1.证明：由柯西不等式，得(a1－b 2＋b 1－a 2)2≤[a 2＋(1－a 2)][b 2＋(1－b 2)]＝1. 当且仅当b 1－a 2＝1－b 2a 时，上式取等号， ∴ab ＝1－a 2·1－b 2，a 2b 2＝(1－a 2)(1－b 2)． 于是a 2＋b 2＝1. 15．设a ＋b ＝12，求证：a 8＋b 8≥127. 证明：a 8＋b 8＝12(12＋12)[(a 4)2＋(b 4)2] ≥12(1×a 4＋1×b 4)2 ＝12(a 4＋b 4)2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1212＋12a 4＋b 42 ＝12×14{(12＋12)[(a 2)2＋(b 2)2]}2 ≥123(1×a 2＋1×b 2)2＝123(a 2＋b 2)2 ＝123⎣⎢⎡⎦⎥⎤1212＋12a 2＋b 22 ≥123×122(a ＋b )2＝127.∴原不等式成立．。
2019届北师大版(文科数学) §7.1 不等关系与不等式 单元测试
1.(2015浙江文,6,5分)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且x<y<z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m2)分别为a,b,c,且a<b<c.在不同的方案中,最低的总费用(单位:元)是()A.ax+by+czB.az+by+cxC.ay+bz+cxD.ay+bx+cz答案B2.(2014浙江文,7,5分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,则()A.c≤3B.3<c≤6C.6<c≤9D.c>9答案C3.(2013浙江文,10,5分)设a,b∈R,定义运算“∧”和“∨”如下:a∧b=a∨b=若正数a,b,c,d满足ab≥4,c+d≤4,则()A.a∧b≥2,c∧d≤2B.a∧b≥2,c∨d≥2C.a∨b≥2,c∧d≤2D.a∨b≥2,c∨d≥2答案C4.(2017山东,7,5分)若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是()A.a+<<log2(a+b)B.<log2(a+b)<a+C.a+<log2(a+b)<D.log2(a+b)<a+<答案B5.(2016课标全国Ⅰ,8,5分)若a>b>1,0<c<1,则()A.a c<b cB.ab c<ba cC.alog b c<blog a cD.log a c<log b c答案C6.(2014四川,4,5分)若a>b>0,c<d<0,则一定有()A.>B.<C.>D.<答案D教师用书专用(7)7.(2013陕西,10,5分)设[x]表示不大于x的最大整数,则对任意实数x,y,有()A.[-x]=-[x]B.[2x]=2[x]C.[x+y]≤[x]+[y]D.[x-y]≤[x]-[y]答案D三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点不等关系与不等式的性质1.(2018浙江镇海中学阶段性测试,3)已知a,b,c,d∈R,则“a+c>b+d”是“a>b且c>d”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B2.(2018浙江“七彩阳光”联盟期初联考,4)若a,b∈R,则使|a|+|b|>4成立的一个充分不必要条件是()A.|a+b|≥4B.|a|≥4C.|a|≥2且|b|≥2D.b<-4答案D由b<-4可得|a|+|b|>4,但由|a|+|b|>4得不到b<-4,如a=1,b=5,故选D.3.(2017浙江“七彩阳光”新高考研究联盟测试,2)若a,b为实数,则“3a<3b”是“a<b+1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A4.(2017浙江金华十校联考(4月),12)在lg2,(lg2)2,lg(lg2)中,最大的是,最小的是答案lg2;lg(lg2)5.(2016浙江名校(诸暨中学)交流卷一,14)已知正数a,b,c满足a+b=ab,a+b+c=abc,则c的取值范围是.答案B组2016—2018年模拟·提升题组一、选择题1.(2018浙江浙东北联盟期中,4)已知a∈R,则“a>2”是“a2>2a”成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A2.(2017浙江“超级全能生”3月联考,3)若a=logπe,b=,c=log3sin,则()A.b>a>cB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b答案A3.(2017浙江高考模拟训练冲刺卷四,3)已知a>0且a≠1,则“a b>a”是“(a-1)(b-1)>0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A由a b>a,得或又由(a-1)(b-1)>0,得或故选A.二、填空题4.(2018浙江镇海中学阶段测试,7)已知a>b>c,且3a+2b+c=0,则的取值范围是.答案-5<<-15.(2017浙江湖州、衢州、丽水联考(4月),17)已知函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),若存在实数a∈[1,2],对任意x∈[1,2],都有f(x)≤1,则7b+5c的最大值是.答案-66.(2016浙江镇海中学测试卷一,14)已知a>b>c,且a+2b+3c=0,则的取值范围是.答案--C组2016—2018年模拟·方法题组方法1用不等式性质研究不等关系的解题策略1.(2016浙江模拟训练卷(四),3)已知互不相等的实数a,b,c,d,若a+b=c+d,且a<b,c<d,则有()A.ac+bd>ab+cd>ad+bcB.ac+bd>ad+bc>ab+cdC.ab+cd>ac+bd>ad+bcD.ad+bc>ac+bd>ab+cd答案B方法2用不等式性质研究参变量的取值范围的解题策略2.(2016浙江新高考研究卷二(慈溪中学),15)函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),若f(0)∈[-1,1],f(1)∈[0,2],则ab+a+b的取值范围为. 答案-。
2019届北师大版(理科数学) 一般形式的柯西不等式 单元测试
一、基础达标1.已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是( ) A.1B.2C.3D.4解析 (a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2≤(a 21＋a 22＋…＋a 2n )·(x 21＋x 22＋…＋x 2n )＝1×1＝1.当且仅当a i ＝x i ＝nn (i ＝1，2，…，n )时，等号成立. 故a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是1. 答案 A2.n 个正数的和与这n 个正数的倒数的和的乘积的最小值是( ) A.1B.nC.n 2D.1n解析 设n 个正数是x 1，x 2，…，x n ， 由柯西不等式，得(x 1＋x 2＋…＋x n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＋…＋1x n≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1·1x 1＋x 2·1x 2＋…＋x n ·1x n 2＝(1＋1＋…＋1)2＝n 2.当且仅当x 1＝x 2＝…＝x n 时，等号成立. 答案 C3.若则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝5，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＋a n a 1的最小值为( )A.－25B.－5C.5D.25解析 由柯西不等式，得(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(a 22＋a 23＋…＋a 2n ＋a 21)≥(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＋a n a 1)2，∴|a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＋a n a 1|≤5. ∴－5≤a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＋a n a 1≤5，故所求最小值为－5.选B. 答案 B4.若实数x ＋y ＋z ＝1，则2x 2＋y 2＋3z 2的最小值为( ) A.1 B.6 C.11D.611解析 ∵(2x 2＋y 2＋3z 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1＋13≥⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ·12＋y ·1＋3z ·132＝(x ＋y ＋z )2＝1. ∴2x 2＋y 2＋3z 2≥112＋1＋13＝611，当且仅当x ＝311，y ＝611，z ＝211时，等号成立. ∴2x 2＋y 2＋3z 2的最小值为611. 答案 D5.设a ，b ，c 为正数，则(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋9b ＋36c 的最小值是________.解析 (a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋9b ＋36c＝[(a )2＋(b )2＋(c )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6c 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·2a ＋b ·3b ＋c ·6c 2＝(2＋3＋6)2＝121.当且仅当a 2＝b 3＝c6时，等号成立. 答案 1216.设x ，y ，z ∈R ，2x ＋2y ＋z ＋8＝0，则(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2的最小值为________.解析 2x ＋2y ＋z ＋8＝0⇒2(x －1)＋2(y ＋2)＋(z －3)＝－9.考虑以下两组向量：u ＝(2，2，1)，v ＝(x －1，y ＋2，z －3)，由柯西不等式，得(u·v )2≤|u |2·|v |2；即[2(x －1)＋2(y ＋2)＋(z －3)]2≤(22＋22＋12)·[(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2].所以(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2≥（－9）29＝9，当且仅当x ＝－1，y ＝－4，z ＝2时，等号成立，此时取得最小值9. 答案 97.已知α1，α2，…，αn 是平面凸n 边形的内角的弧度数，求证：1α1＋1α2＋…＋1αn≥n 2（n －2）π. 证明 由柯西不等式，得(α1＋α2＋…＋αn )⎝ ⎛⎭⎪⎫1α1＋1α2＋…＋1αn≥⎝⎛⎭⎪⎫α1·1α1＋α2·1α2＋…＋αn ·1αn 2＝n 2. ∵α1＋α2＋…＋αn ＝(n －2)π， ∴1α1＋1α2＋…＋1αn ≥n 2（n －2）π， 当且仅当α1＝α2＝…＝αn ＝n －2n π时，等号成立. 二、能力提升8.已知a ，b ，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，则3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值为( ) A.3 B.3 2 C.18D.9解析 由柯西不等式得 (3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2≤(1＋1＋1)·(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)＝3[3(a ＋b ＋c )＋3]. ∵a ＋b ＋c ＝1，∴(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2≤3×6＝18，∴3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1≤32，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立.答案 B9.已知a ＋b ＋c ＝1，且a ，b ，c ＞0，则2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a 的最小值为( ) A.1B.3C.6D.9解析 ∵a ＋b ＋c ＝1，∴2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a＝2(a ＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ＝[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥(1＋1＋1)2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立. 答案 D10.已知2x ＋3y ＋z ＝8，则x 2＋y 2＋z 2取得最小值时，x ，y ，z 形成的点(x ，y ，z )＝________.解析 由柯西不等式，得(22＋32＋12)(x 2＋y 2＋z 2)≥(2x ＋3y ＋z )2，即x 2＋y 2＋z 2≥8214＝327，当且仅当x 2＝y3＝z 时，等号成立.又2x ＋3y ＋z ＝8，解得x ＝87，y ＝127，z ＝47， 故所求点为⎝ ⎛⎭⎪⎫87，127，47.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫87，127，4711.在△ABC 中，设其各边长分别为a ，b ，c ，外接圆半径为R ，求证：(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C ≥36R 2.证明 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ， ∴(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫asin A ＋b sin B ＋c sin C 2＝36R 2.∴原不等式成立. 12.已知二次三项式f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的所有系数均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：对于任何正数x 1，x 2，当x 1x 2＝1时，必有f (x 1)f (x 2)≥1.证明 f (x 1)f (x 2)＝(ax 21＋bx 1＋c )(ax 22＋bx 2＋c )≥[a (x 1x 2)2＋b x 1x 2＋c ]2 ＝f 2(x 1x 2)＝f 2(1)＝1. 故f (x 1)f (x 2)≥1. 三、探究与创新13.设x 1，x 2，x 3，…，x n 都是正实数，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n ＝S . 求证：x 21S －x 1＋x 22S －x 2＋…＋x 2n S －x n ≥S n －1.证明 法一 根据柯西不等式，得 不等式左边＝x 21S －x 1＋x 22S －x 2＋…＋x 2nS －x n＝[(S －x 1)＋(S －x 2)＋…＋(S －x n )]·1（n －1）S ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 21S －x 1＋x 22S －x 2＋…＋x 2n S －x n ＝1（n －1）S [(S －x 1)2＋(S －x 2)2＋…＋(S －x n )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x 1S －x 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2S －x 22＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫x nS －x n 2≥1（n －1）S ⎣⎢⎡⎝⎛⎭⎪⎫S －x 1·x 1S －x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫S －x 2·x 2S －x 2＋…＋⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫S －x n ·x nS －x n 2＝1（n －1）S(x 1＋x 2＋…＋x n )2 ＝1（n －1）S ·S 2＝Sn －1＝不等式右边. 故原不等式成立.法二 ∵a ＞0，∴a ＋1a ≥2，∴a ≥2－1a ，当且仅当a ＝1时，等号成立.∴x 2iS －x i ＝x in －1·（n －1）x i S －x i ≥x i n －1·⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－S －x i （n －1）x i ＝2x i n －1－S －x i （n －1）2，i ＝1，2，…，n .n 个式子相加，有x 21S －x 1＋x 22S －x 2＋…＋x 2nS －x n ≥2x 1n －1＋2x 2n －1＋…＋2x nn －1－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤S －x 1（n －1）2＋S －x 2（n －1）2＋…＋S －x n （n －1）2＝2S n －1－nS －S （n －1）2＝S n －1.。
2019-2020学年数学北师大版选修4-5检测：2.1 柯西不等式
第二章DIERZHANG几个重要的不等式§1 柯西不等式课后篇巩固探究A 组1.若a 2+b 2=2,则a+b 的最大值为( ) A.1B. C.2D.42解析:由柯西不等式可得(a 2+b 2)(12+12)≥(a+b )2,即(a+b )2≤4,当且仅当a=b=1时等号成立,所以-2≤a+b ≤2,即a+b 的最大值为2.答案:C2.若x 2+y 2+z 2=1,则x+y+z 的最大值等于( )2A.2B.4C. D.82解析:由柯西不等式可得[12+12+()2](x 2+y 2+z 2)≥(x+y+z )2,即(x+y+z )2≤4,当且仅当x=,y=,z=2221212时等号成立,因此x+y+z ≤2,即x+y+z 的最大值等于2.2222答案:A3.设a ,b ,c 均为正数,且a+b+c=9,则的最小值为( )4a +9b +16c A.81B.49C.9D.7解析:由柯西不等式可得(a+b+c )·81=9,当4a +9b +16c =19(4a +9b +16c )≥19(a ·2a+b ·3b+c ·4c)2=19且仅当,即a=2,b=3,c=4时等号成立,故所求最小值为9.a 2=b 3=c 4答案:C4.函数y=+2的最大值是( )x -56-x A. B. C.3 D.535解析:根据柯西不等式,知y=1×+2×x -56-x≤,12+22×(x -5)2+(6-x )2=5当且仅当=2,即x=时,等号成立.6-x x -5265答案:B5.设a ,b ∈R ,且a 2+b 2=5,则3a+b 的最小值为( )A.5B.-5210C.-50D.-52解析:令α=(a ,b ),β=(3,1),则α·β=3a+b ,|α|=,|β|=.a 2+b 2=510由柯西不等式的向量形式可得|α·β|≤|α||β|,所以|3a+b|≤=5,当且仅当a=,b=时5×10232222等号成立,因此-5≤3a+b ≤5,即3a+b 的最小值为-5.222答案:D6.设a ,b ,c 是正实数,且a+b+c=9,则的最小值为 .2a +2b +2c 解析:因为(a+b+c )=[()2+()2+()2](2a +2b +2c)a b c [(2a)2+(2b)2+(2c)2]≥(a ·2a+=18,当且仅当a=b=c=3时等号成立,所以≥2,故的最小值为2.b ·2b+c ·2c )22a +2b +2c 2a +2b +2c 答案:27.设a ,b ,c ,d ,m ,n 都是正实数,P=,Q=,则P 与Q 的大小关系是 .ab +cd ma +ncb m +d n 解析:P=am ·b m+nc ·d n≤(am )2+(nc )2·(b m)2+(d n)2==Q 当且仅当时,等号成立.am +ncb m +d n ( am ·d n=nc ·b m )答案:P ≤Q8.已知a ,b ,m ,n 均为正实数,且a+b=1,mn=2,则(am+bn )(bm+an )的最小值为 .解析:由柯西不等式,得(am+bn )(bm+an )≥()2=mn (a+b )2=2,当且仅当m=n=时,等am ·an +bm ·bn 2号成立.故(am+bn )(bm+an )的最小值为2.答案:29.已知a ,b ,c 为正实数,且满足a cos 2θ+b sin 2θ<c ,求证:cos 2θ+sin 2θ<.a b c 证明由柯西不等式,得cos 2θ+sin 2θa b ≤(acosθ)2+(bsinθ)2·cos 2θ+sin 2θ=.(acosθ)2+(bsinθ)2=acos 2θ+bsin 2θ<c 故原不等式成立.10.导学号35664033设a ,b ∈R +,且a+b=2.求证:≥2.a 22-a +b 22-b 证明由柯西不等式,得[(2-a )+(2-b )](a 22-a +b 22-b )=[()2+()2]2-a 2-b [(a2-a)2+(b2-b)2]≥(2-a ·a 2-a+2-b ·b 2-b)2=(a+b )2=4.因为a ,b ∈R +,且a+b=2,所以2-a>0,2-b>0,所以=2,当且仅当a=b=1时a 22-a +b 22-b ≥4(2-a )+(2-b )等号成立.故原不等式成立.B 组1.若实数x+y+z=1,则2x 2+y 2+3z 2的最小值为( )A.1B.6C.11D.611解析:∵(2x 2+y 2+3z 2)(12+1+13)≥(2x ·12+y ·1+3z ·13)2=(x+y+z )2=1,∴2x 2+y 2+3z 2≥,当且仅当x=,y=,z=时,等号成立.112+1+13=611311611211∴2x 2+y 2+3z 2的最小值为.611答案:D2.若长方形ABCD 是半径为R 的圆的内接长方形,则长方形ABCD 周长的最大值为( )A.2RB.2RC.4RD.4R22解析:如图,设内接长方形ABCD 的长为x ,则宽为,于是ABCD 的周长l=2(x+)4R 2-x 24R 2-x 2=2(1·x+1·).4R 2-x 2由柯西不等式得l ≤2[x 2+()2(12+12=2×2R×=4R ,当且仅当x ·1=·1,即4R 2-x 2]12)12224R 2-x 2x=R 时等号成立.2此时R ,即四边形ABCD 为正方形,故周长为最大的内接长方形是4R 2-x 2=4R 2-(2R )2=2正方形,其周长为4R.2答案:D3.已知a ,b ,c 为正实数,且a+2b+3c=9,则的最大值等于( )3a +2b +cA. B. C.13D.183913解析:,当且仅当a=,b=3a +2b +c =3a +2b +133c ≤(3+1+13)(a +2b +3c )=398113,c=时等号成立,故最大值为.272631339答案:A4.设a ,b ,c 为正数,则(a+b+c )的最小值是 .(4a +9b +36c )解析:(a+b+c )=[()2+()2+()2]·(4a +9b +36c)a b c [(2a)2+(3b )2+(6c)2]≥=(2+3+6)2=121.(a ·2a+b ·3b+c ·6c )2当且仅当时等号成立.a 2=b 3=c 6答案:1215.已知a ,b ∈R +,且a+b=1,则的最小值是 .12a +1b 解析:因为a ,b ∈R +,且a+b=1,所以=(a+b ),由柯西不等式得(a+b )12a +1b (12a +1b),当且仅当且a+b=1,即a=-1,b=2-时,(12a +1b )≥(a ·12a+b ·1b)2=(2+1)2=32+2a b =b2a 22取最小值.12a +1b 32+2答案:32+26.已知x 2+y 2=2,且|x|≠|y|,求的最小值.1(x +y )2+1(x -y )2解令u=x+y ,v=x-y ,则x=,y=.u +v2u -v 2∵x 2+y 2=2,∴(u+v )2+(u-v )2=8,∴u 2+v 2=4.由柯西不等式,得(u 2+v 2)≥4,(1u2+1v 2)当且仅当u 2=v 2=2,即x=±,y=0或x=0,y=±时,的最小值是1.221(x +y )2+1(x -y )27.导学号35664034已知x ,y ,z ∈R ,且x-2y-3z=4,求x 2+y 2+z 2的最小值.解由柯西不等式得[x+(-2)y+(-3)z ]2≤[12+(-2)2+(-3)2](x 2+y 2+z 2),即(x-2y-3z )2≤14(x 2+y 2+z 2),所以16≤14(x 2+y 2+z 2).因此x 2+y 2+z 2≥,当且仅当x=,即当x=,y=-,z=-时,x 2+y 2+z 2的最小值为.87y -2=z -3274767878.导学号35664035求函数y=的最小值.x 2-2x +3+x 2-6x +14解y=.(x -1)2+2+(3-x )2+5根据柯西不等式,有y 2=(x-1)2+2+(3-x )2+5+2≥(x-1)2+2+(3-x )[(x -1)2+2][(3-x )2+5]2+5+2[(x-1)(3-x )+]=[(x-1)+(3-x )]2+()2=11+2.102+510当且仅当(x-1)=(3-x ),即x=时,等号成立.5232+52+5此时y min =+1.11+210=(10+1)2=10。
2019届北师大版(文科数学) 不等式 (2) 单元测试
2019届北师大版（文科数学） 不等式 (2) 单元测试一、选择题1．不等式(x －2)(2x －3)<0的解集是( ) A ．⎝⎛⎭⎫－∞，32∪(2，＋∞) B ．R C ．⎝⎛⎭⎫32，2D ．∅解析：选C.因为不等式(x －2)(2x －3)<0，解得32<x <2，所以不等式的解集是⎝⎛⎭⎫32，2. 2．不等式－2x 2＋x <－3的解集为( ) A ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－32<x <1 B.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－1<x <32 C ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <－32或x >1 D.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <－1或x >32 解析：选D.－2x 2＋x <－3，即为2x 2－x －3>0，Δ＝25>0，方程2x 2－x －3＝0的两实根为x 1＝－1，x 2＝32，所以2x 2－x －3>0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <－1或x >32. 3．已知不等式ax 2－5x ＋b >0的解集为{x |－3<x <2}，则不等式bx 2－5x ＋a >0的解集是( )A ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－13<x <12B.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－12<x <13 C ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <－13或x >12 D.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <－12或x >13 解析：选C.由题意得方程ax 2－5x ＋b ＝0的两根分别为－3，2，于是⎩⎨⎧－3＋2＝－－5a，－3×2＝ba，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝30. 则不等式bx 2－5x ＋a >0，即为30x 2－5x －5>0， 即(3x ＋1)(2x －1)>0，⇒x <－13或x >12.故选C.4．规定符号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为非负实数)，若1⊙k 2<3，则k 的取值范围是( )A ．(－1，1)B ．(0，1)C ．(－1，0)D ．(0，2) 解析：选A.因为定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为非负实数)，1⊙k 2<3，所以k 2＋1＋k 2<3，化为(|k |＋2)(|k |－1)<0，所以|k |<1，所以－1<k <1.5．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4，3]的子集，则a 的取值范围是( ) A ．[－4，1] B ．[－4，3] C ．[1，3] D ．[－1，3]解析：选B.原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a ，1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.6．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－2，＋∞) C ．(－6，＋∞) D ．(－∞，－6)解析：选A.不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max .令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1，4)，所以g (x )<g (4)＝－2，所以a <－2，故选A.二、填空题7．若关于x 的不等式ax >b 的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a >0的解集为________．解析：由已知ax >b 的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，15，可知a <0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx －45a >0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45<0，即x 2＋15x －45<0，即5x 2＋x －4<0，解得－1<x <45，故所求解集为⎝⎛⎭⎫－1，45. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，45 8．若关于x 的不等式x 2－ax ＋1≤0的解集中只有一个整数，且该整数为1，则a 的取值范围为________．解析：令f (x )＝x 2－ax ＋1，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≤0f （2）＞0，解得2≤a ＜52.答案：[2，52)9．当且仅当a ∈(m ，n )时，2－ax ＋x 21－x ＋x 2<3对x ∈R 恒成立，则m ＋n ＝________．解析：因为1－x ＋x 2>0恒成立，所以原不等式等价于2－ax ＋x 2<3(1－x ＋x 2)， 即2x 2＋(a －3)x ＋1>0恒成立．所以Δ＝(a －3)2－8<0，3－22<a <3＋2 2.依题意有m ＝3－22，n ＝3＋22，所以m ＋n ＝6. 答案：610．在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对x ∈R 恒成立，则实数a 的最大值为________．解析：原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1，即x 2－x －1≥(a －2)(a ＋1)对x ∈R 恒成立，因为x 2－x －1＝⎝⎛⎭⎫x －122－54≥－54，所以(a －2)(a ＋1)≤－54，解得－12≤a ≤32，所以a max ＝32.答案：32三、解答题11．已知函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )<0，当x ∈(－3，2)时，f (x )>0.(1)求f (x )在[0，1]内的值域；(2)若ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R ，求实数c 的取值范围． 解：(1)因为当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )<0， 当x ∈(－3，2)时，f (x )>0.所以－3，2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根，所以⎩⎨⎧－3＋2＝8－b a，－3×2＝－a －aba ，所以a ＝－3，b ＝5.所以f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3⎝⎛⎭⎫x ＋122＋754. 因为函数图象关于x ＝－12对称且抛物线开口向下，所以f (x )在[0，1]上为减函数，所以f (x )max ＝f (0)＝18，f (x )min ＝f (1)＝12， 故f (x )在[0，1]内的值域为[12，18]．(2)由(1)知不等式ax 2＋bx ＋c ≤0可化为－3x 2＋5x ＋c ≤0，要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3<0，Δ＝b 2－4ac ≤0，即25＋12c ≤0，所以c ≤－2512， 所以实数c 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－2512. 12．解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2<0(a ∈R )．解：原不等式可化为(ax －1)(x －2)<0.(1)当a >0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝⎛⎭⎫x －1a <0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎝⎛⎭⎫x －1a <0. 因为方程(x －2)⎝⎛⎭⎫x －1a ＝0的两个根分别是2，1a ，所以当0<a <12时，2<1a ，则原不等式的解集是⎩⎨⎧x⎪⎪⎭⎬⎫2<x <1a ；当a ＝12时，原不等式的解集是∅； 当a >12时，1a <2，则原不等式的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫1a <x <2. (2)当a ＝0时，原不等式为－(x －2)<0，解得x >2，即原不等式的解集是{x |x >2}．(3)当a <0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝⎛⎭⎫x －1a <0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎝⎛⎭⎫x －1a >0， 由于1a <2，故原不等式的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <1a 或x >2. 综上所述，当a <0时，不等式的解集为{x |x <1a 或x >2}；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x >2}；当0<a <12时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫2<x <1a ； 当a ＝12时，不等式的解集为∅；当a >12时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫1a <x <2.。
【2019-2020】高中数学第2章几个重要的不等式学业分层测评10简单形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式北师
教学资料范本【2019-2020】高中数学第2章几个重要的不等式学业分层测评10简单形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式北师大版选修4_5编辑：__________________时间：__________________第2章 几个重要的不等式 学业分层测评10 简单形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式 北师大版选修4-5(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1．已知a ，b 为正数，且a ＋b ＝1，则P ＝(ax ＋by )2与Q ＝ax 2＋by 2的关系是( )A．P ≤QB．P ＜Q C．P ≥Q D．P ＞Q【解析】 设m ＝(a x ，b y )，n ＝(a ，b )，则|ax ＋by |＝|m·n |≤|m||n|＝ a b ·a b＝ax2＋by2·a＋b＝ax2＋by2，所以(ax ＋by )2≤ax 2＋by 2.即P ≤Q .【答案】 A2．已知x ＋y ＝1，那么2x 2＋3y 2的最小值是( )A.56B．65 C.2536 D．3625【解析】 2x 2＋3y 2＝(2x 2＋3y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13·65≥65⎝ ⎛⎭⎪⎫2x·22＋3y·332＝65(x ＋y )2＝65. 【答案】 B3．已知x ，y ，z 均大于0，且x ＋y ＋z ＝1，则1x ＋4y ＋9z的最小值为( ) A．24B．30 C．36D．48【解析】 (x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋9z≥⎝⎛⎭⎪⎫x ·1x ＋y ·2y ＋z ·3z 2＝36， ∴1x ＋4y ＋9z≥36. 【答案】 C4．设x ，y ，m ，n >0，且m x ＋n y＝1，则u ＝x ＋y 的最小值是( ) A．(m ＋n)2B．m C.n D．(m ＋n )2【解析】 根据柯西不等式，得x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫m x ＋n y ≥⎝⎛⎭⎪⎫x ·m x ＋y ·n y 2＝(m ＋n)2， 当且仅当x m ＝y n时，等号成立， 这时u 取最小值为(m ＋n)2.【答案】 A5．函数y ＝x－5＋26－x的最大值是( )A. 3B． 5 C．3 D．5【解析】 根据柯西不等式，知y ＝1×x－5＋2×6－x≤12＋22×x－56－x ＝ 5.【答案】 B二、填空题6．函数y ＝x ＋3－x的最大值为__________．【解析】 由x ，3－x非负且(x)2＋(3－x )2＝3，所以x ＋3－x≤x 3－x ＝2×3＝ 6.【答案】 67．设x ，y 为正数，且x ＋2y ＝8，则9x ＋2y的最小值为__________. 【导学号：94910031】【解析】 (x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫9x ＋2y ＝(x)2＋(2y)2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫x ·3x ＋2y ·2y 2＝25， 又x ＋2y ＝8，∴9x ＋2y ≥258. 【答案】 258 8．设a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝25，x 2＋y 2＋z 2＝36，ax＋by ＋cz ＝30，则a＋b＋c x＋y＋z＝________. 【解析】 由柯西不等式，得25×36＝(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2＝302.当且仅当a x ＝b y ＝c z＝k 时取“＝”， 由k 2(x 2＋y 2＋z 2)2＝25×36，解得k ＝56， 所以a＋b＋c x＋y＋z ＝k ＝56. 【答案】56 三、解答题9．已知实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋z ＝1，求t ＝x 2＋4y 2＋z 2的最小值．【解】 由柯西不等式得(x 2＋4y 2＋z 2)(1＋1＋1)≥(x ＋2y ＋z )2.∵x ＋2y ＋z ＝1，∴3(x 2＋4y 2＋z 2)≥1，即x 2＋4y 2＋z 2≥13. 当且仅当x ＝2y ＝z ＝13，即x ＝13，y ＝16，z ＝13时等号成立． 故x 2＋4y 2＋z 2的最小值为13. 10．已知θ为锐角，a ，b 均为正数．求证：(a ＋b )2≤a2cos2θ＋b2sin2θ. 【证明】 设m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a cos θ，b sin θ， n ＝(cos θ，sin θ)，则|a ＋b |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a cos θ·cos θ＋b sin θ·sin θ ＝|m ·n |≤|m ||n |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a cos θ2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b sin θ2· 1 ＝ a2cos2θ＋b2sin2θ， ∴(a ＋b )2≤a2cos2θ＋b2sin2θ. 能力提升] 1．已知x ，y 为正数，且xy ＝1，则⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y 的最小值为( ) A．4B．2 C．1D．14【解析】 ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1×1＋1x ×1y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1xy 2＝22＝4.【答案】 A2．设a 1，a 2，…，a n 为正数，P ＝a1＋a2＋…＋an n ，Q ＝n 1a1＋1a2＋…＋1an ，则P ，Q 间的大小关系为( )A．P >QB．P ≥Q C．P <Q D．P ≤Q【解析】 ∵(a 1＋a 2＋…＋a n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a1＋1a2＋…＋1an ≥(1＋1＋…＋1)2n个＝n 2，∴a1＋a2＋…＋an n ≥n 1a1＋1a2＋…＋1an. 即P ≥Q .【答案】 B3．已知函数y ＝3x－5＋46－x，则函数的定义域为__________，最大值为__________．【解析】 函数的定义域为5,6]，且y ＞0，y ＝3x－5＋46－x≤32＋42×x－56－x ＝5，当且仅当36－x＝4x－5，即x ＝13425时取等号． ∴y max ＝5.【答案】 5,6] 54．△ABC 的三边长为a ，b ，c ，其外接圆半径为R .求证：(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin2A ＋1sin2B ＋1sin2C ≥36R 2. 【证明】 由三角形中的正弦定理得：sin A ＝a 2R ，所以1sin2A ＝4R2a2，同理1sin2B ＝4R2b2，1sin2C ＝4R2c2， 于是由柯西不等式可得左边＝(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫4R2a2＋4R2b2＋4R2c2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a·2R a ＋b·2R b ＋c·2R c 2＝36R 2， 所以原不等式得证．。
完整版柯西不等式单元测试题1
《柯西不等式》单元测试题（1）班级_______________ 姓名_________________一、选择题：1.已知a, beR, a2+b2= 4,则3a+ 2b的最大值为（）A. 4 B・2皈.8 D・9m n2•设x, y, m , n>0,且x+y = l，则u=x+y 的最小值是（）A .④$ B. y/in -bjn C . m + n D . （m + n）23.若a, beR ,且a2+ b2= 10,则a— b的取值范围是（）A.[-恥，矯]B . [- C • [ — *s/~^0，V^]D .[-点迁4.已知4x?+5y2=l,则2x + p 5y的最大值是（）B . 1C . 3D . 9+ 1+- 1+一15.已知x, ye R，且xy= 1,贝ij x y的最小值为（）1A. 4 B ・ 2 C ・ 1 D. 742 2a b6.设a、b£R+,且aHb, P=b +a，Q = a+b，则（）A. P>Q B ・ P$Q C ・ P〈Q D・ PW Q二、填空题：1 17.已知a, b>0,且a+ b= 1 ,则2a+ b的最小值为_____________________ ;8.函数y= （x— 5+ — x的最大值是__________ :9•设，，,,, 都是正实数，— +J —, 珂—干a b c d m n P aocd 、Q m*a nc的大小 ________10.函数y=2cos x + 3 pl — cos 2 x的最大值为________________11.函数y= 1—x+Q 2x+ 1的最大值为 _________________ .三、解答题：12.若2x+3y=l,求4x24- 9y2的最小值，并求出最小值点.1 113.设&, be R+ ,若a+b=2,求a+ b的最小值.14.已知a^Jl— b2+b^Jl— a2 = l,求证：a2+ b2= 1.1 8 8 115.设a+b= 2，求证：a +bM2「参考答案:一、选择题：1.已知d, beR , a2+b2= 4,则3a+ 2b的最大值为( )A. 4 B . 2 . 8 D . 9答案：Bm n2.设x, y, m , n>0,且x+y = l，则u=x+y 的最小值是( )A .価 +申 $ B. yjm ~hjn C . m + n D . (m + n)2答案：A3•若, WR,且2+ 2=10,则一的取值范围是( )a b a b a bA.[一亦，2^5]B . [- 2^/10, 2^/10]C .[一厂0,厂10]D .苛5,护]9 9 0 9 9■ ■ ■M M解析：V(a + b)[l + (-l)]>(a-b),| a — b W-^20 = 2-^5, /. a — b w [ —2^5, 2寸.答案： A4.已知4x?+5护=1,则2x+两y的最大值是( )A.才B . 1 C . 3 D . 9解析：V2x+ V 5y= 2x • 1#" 5y • 12+^f A• l2 + l/=斗2孑2.2x+ 的最大值为答案: A1 15.已知x, ye R +,且=1,则 1 + 一1 + 一的最小值为0X y1A. 4 B ■2C . ID.41 1 1 9T解析：1+ X 1+y A 1 + xy =4, 故选A.答案： A+ ¥6.设a、beR ,且dH b, P=b + a，Q = &+b，则( )A. P>Q B ・ P$Q C. P<Q D・ PW Qa2 b2解析：•・• b+ a (a+ b)a b=Vb 2+ 石[(乂 + ( b)^]a +b }2>0,・•・a + >0.・・・ 亠+b —a hua 2b 2即 a= b, b + a >a+ b.即 P>Q . 答案： A 二、填空题:7. 已知a, b>0,且a+ b= 1 ,则2a+ b 的最小值为解析：・・・1 +1= ( + )1+1 2a b2a 寸T )/0,又••• a^b,而等号成立的条件是=[(2+ ( b)2]2=2 +b123 =+ -石 3 答案：对弋2.8.函数 y= x — 5+ 2 6 — x 的最大值是解析：根据尊面不等式，知y=lX x'^5 + 2 X 6—xW 124- 22X x — 5答案:都是正实数,= +P abed= +Q m a nc答案： PWQ厂m nam + nc • d m n+ =Q ・m na b4ncmn10.函数y=2cos x + 3\/ 1— cos 2 x 的最大值为 y= 2cos x+ 3 寸 1— cos 2 斗 cos 2 x + sin 2 x [2 2+ 3 2 2] = 22.解析:=2cos x+ 3 2sin 2xWcos x 2 3^2 _当且仅当即x=土卫一时，函数有最大值厂Vsh2 x S/ 2 1an 2 22 答案：^2211・函数=2寸+ 的最大值为_________ .yx x_____ ____________解析：y= 2\ll-x+ \] 2x+ \=^寸2-2x+l • p2x+ 1W 2. 寸2 — 2x 2+ 寸2x+ 1 =©•萨3.当且仅当＜2—2x • 1 = ^/2 • Qx+ 1取等号.即2- 2x=4x+ 2,・•・x= 0时取等号.答案：3三、解答题：12.若2x+3y=l,求4x2+ 9y2的最小值，并求出最小值点.解：由柯西不等式@/+9y2)(l 2 + ]2)鼻仪x + 3y) 2=1,2 2 1A4x + 9y 三2当且仅当2x • 1= 3y • 1,即2x=3y时取等号.rh 2x= 3y,力2x+ 3y= 1y=-6A4x2 + 9y2的最小值为乩最小值点为13.设a, bWR+,若a+b= 2,求1+ 1的最小值.a b(a+ b) a+ b・：2 a+ b 24,即a + b 22.・••当a= b= 1时，a+ b的最小值为2.当且仅当时取等号,14.已知a^yi— b2+b-^l— a2 = 1,求证：a2+ b2= 1.证明：由柯西不等式，得(a 1—b 2+ b 1 —^2)[a 2(1 _ a 2)][b 2 + (1 —b 2)]= b -/l — b 2当且仅、"l / _ =、 i 寸，上式取等号，y 1 — 3,2 3/. ab=^/— a 2 • ft/- b 2, a 2b 2= (1 - a 2)(l — b 2)・于是 a 2+b 2= 1.1 8 8 115・设 a+b= 2，求证：a + b 2 2? •11 2 2 2I=23 2 1 +1 a + b2 1— — —1 12sX 22(a+b) = 2仁 .••原不得式成立.证明：芒+异已1（12 + "F 2）［（2a 4) 2 + (b 4)2]14 4 2^2(1X a +1X b )1=(-4+4 2_1 1)—_ — ' r2 i a b 2 211222 9 ■4 421 + 1a+b2 2 2 2 2= 2X41(1 + 1)[( a)+ (b)]}2。
北师大版(文科数学) 不等式测试 单元测试(含答案)
不等式测试一、单选题(共10道，每道10分)1.如果不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：一元二次不等式的性质2.若不等式的解集为，则的值为( )A.5B.-5C.7D.-7答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：一元二次不等式的解法3.设函数，则不等式的解集是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值不等式的解法4.不等式，对任意实数恒成立，则实数的取值范围为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值三角不等式5.若，且，则下列不等式恒成立的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：基本不等式6.若，，则的取值范围为( )A. B.C. D.不确定答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：柯西不等式7.若实数满足，则的取值范围是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：线性规划问题8.不等式组的解集为，下列命题中正确的是( )A.，B.，C.，D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：线性规划问题9.某个命题与自然数有关，若时命题成立，那么可推得当时该命题也成立.现已知当时，该命题不成立，那么可推得( )A.当时，该命题不成立B.当时，该命题成立C.当时，该命题不成立D.当时，该命题成立答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：数学归纳法10.用数学归纳法证明：，则当时，左端应在的基础上加上( )A. B.C. D.答案：D解题思路：由数学归纳法，归纳递推可得，选D.试题难度：三颗星知识点：数学归纳法。
2019年高考数学一轮复(北师大版文科)： 单元评估检测6 不等式、推理与证明 文 北师大版
单元评估检测(六) 不等式、推理与证明(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( )A ．1ab ≥12 B ．1a ＋1b≤1C ．ab ≥2D ．1a 2＋b 2≤18D2．(2017·新乡模拟)若集合A ＝{x |x 2－7x ＋10＜0}，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜2x＜8，则A ∩B ＝( ) 【导学号：00090397】A ．(－1,3)B ．(－1,5)C ．(2,5)D ．(2,3)D3．已知a ，b ，x ，y 都是正实数，且1a ＋1b＝1，x 2＋y 2＝8，则ab 与xy 的大小关系为( )A ．ab ＞xyB ．ab ≥xyC ．ab ＜xyD ．ab ≤xyB4．(2017·唐山模拟)不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，则a ＋b 的值是( )A ．10B ．－10C ．14D ．－14D5．(2017·济宁模拟)在坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥2|x |－1，y ≤x ＋1所表示的平面区域的面积为( )A ．2 2B ．83C ．223D ．2B6．若－1＜a ＜0，则关于x 的不等式(x －a )·⎝⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0的解集是( )A ．{x |x ＞a }B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞1aC ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞a 或x ＜1a D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞1a 或x ＜aC7．已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝nb －man －m.类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n ＞0，n ∈N *)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N *)，则可以得到b m ＋n ＝( ) A ．(n －m )(nd －mc )B ．(nd －mc )n －mC ．n －m d n c mD ．n －md n ·c mC8．已知函数f (x )＝16x 2－28x ＋114x －5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＜54，则函数f (x )的最大值为( )A ．114B ．54C ．1D ．14C9．(2017·临汾模拟)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则ω＝y －1x ＋1的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1 D10．当x ＞0时，x 2＋1≥2x ，在用分析法证明该不等式时执果索因，最后索的因是( )A ．x ＞0B ．x 2≥0 C ．(x －1)2≥0 D ．(x ＋1)2≥0C11．已知实数x ，y 满足x ＞y ＞0且x ＋y ＝14，则2x ＋3y ＋1x －y 的最小值为( )A ．1B ．2C ．6＋4 2D ．8＋4 2C12．(2017·南昌模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若C ＝120°，c ＝2a ，则( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知a ＞b ＞0，则a ，b ，ab ，a ＋b2四个数中最大的一个是________．a14．已知a ＞0，b ＞0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值．415．(2017·福州模拟)设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝________；当n ＞4时，f (n )＝________(用n 表示)． 12(n ＋1)(n －2) 16．已知A (－1,0)，B (0，－1)，C (a ，b )三点共线，若a ＞－1，b ＞－1，则1a ＋1＋1b ＋1的最小值为________． 4三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－n .(1)证明{a n }是等差数列． (2)若b n ＝1a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，试证明T n ＜14. 【导学号：00090398】 【证明】 (1)因为S n ＝2n 2－n . 所以a 1＝S 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－n －2(n －1)2＋(n －1)＝4n －3. 对n ＝1也成立．所以a n ＝4n －3.a n ＋1－a n ＝4(n ＋1)－3－4n ＋3＝4，是常数．所以数列{a n }是以1为首项，4为公差的等差数列． (2)由(1)得b n ＝1n －n ＋＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －3－14n ＋1所以T n ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫19－113＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －3－14n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n ＋1＜14. 18．(12分)如图1，在四棱锥P ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E ，F 分别是AP ，AB 的中点．图1求证：(1)直线EF ∥平面PBC ． (2)平面DEF ⊥平面PAB ． 略19．(12分)已知f (x )＝x 2＋ax ＋B ．(1)求f (1)＋f (3)－2f (2)．(2)求证：|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.[解] (1)因为f (1)＝a ＋b ＋1，f (2)＝2a ＋b ＋4，f (3)＝3a ＋b ＋9，所以f (1)＋f (3)－2f (2)＝2. (2)假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12，则－12＜f (1)＜12，－12＜f (2)＜12，－12＜f (3)＜12.所以－1＜－2f (2)＜1，－1＜f (1)＋f (3)＜1， 所以－2＜f (1)＋f (3)－2f (2)＜2， 这与f (1)＋f (3)－2f (2)＝2矛盾， 所以假设错误，即所证结论成立．20．(12分)已知变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y ≤25，z ＝2x ＋y .x －1≥0，设z 的最大值、最小值分别为M ，m .(1)若a ＞0，b ＞0，且1a ＋1b＝m ，试求12a ＋36b ＋5的最小值．(2)若m ≤a ＋b ≤M ，试求a 2＋b 2的最小值． (1)21＋8 3 (2)9221．(12分)(2017·保定模拟)给定数列a 1，a 2，…，a n .对i ＝1,2，…，n －1，该数列前i 项的最大值记为A i ，后n －i 项(a i ＋1，a i ＋2，…，a n )的最小值记为B i ，d i ＝A i －B i . (1)设数列{a n }为3,4,7,1，写出d 1，d 2，d 3的值．(2)设a 1，a 2，…，a n (n ≥4)是公比大于1的等比数列，且a 1＞0，证明：d 1，d 2，…，d n －1是等比数列． [解] (1)d 1＝A 1－B 1＝3－1＝2，d 2＝A 2－B 2＝4－1＝3，d 3＝A 3－B 3＝7－1＝6.(2)由a 1，a 2，…，a n (n ≥4)是公比大于1的等比数列，且a 1＞0，可得{a n }的通项为a n ＝a 1·q n －1且为单调递增数列．于是当k ＝2,3，…，n －1时，d k d k －1＝a k －a k ＋1a k －1－a k ＝a 1q k －1－a 1q ka 1q k －2－a 1q k －1＝q 为定值．因此d 1，d 2，…，d n －1构成首项d 1＝a 1－a 2，公比为q 的等比数列．22．(12分)据市场分析，某绿色蔬菜加工点，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y (万元)可以看成月产量x (吨)的二次函数．当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元．(1)写出月总成本y (万元)关于月产量x (吨)的函数解析式．(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获得最大利润．(3)若x ∈[10，c ](10＜c ≤25)，当月产量为多少吨时，每吨平均成本最低，最低成本是多少万元？ [解] (1)由题意，设y ＝a (x －15)2＋17.5(a ＞0)，把x ＝10，y ＝20代入，得25a ＝20－17.5，a ＝110，所以y ＝110(x －15)2＋17.5＝110x 2－3x ＋40，x ∈[10,25]．(2)设月利润为g (x )，则g (x )＝1.6x －⎝ ⎛⎭⎪⎫110x 2－3x ＋40＝－110(x 2－46x ＋400)＝－110(x －23)2＋12.9，因为x ∈[10,25]，所以当x ＝23时，g (x )max ＝12.9. 即当月产量为23吨时，可获最大利润． (3)每吨平均成本为y x ＝110x ＋40x－3≥24－3＝1. 当且仅当x 10＝40x，即x ＝20时“＝”成立．因为x ∈[10，c ]，10＜c ≤25，所以①当20≤c ≤25时，x ＝20时，每吨平均成本最低，最低为1万元．②当10＜c ＜20时，y x ＝110x ＋40x－3在[10，c ]上单调递减，所以当x ＝c 时，⎝ ⎛⎭⎪⎫y xmin ＝c10＋40c－3. 故当20≤c ≤25时，月产量为20吨时，每吨平均成本最低，最低为1万元； 当10＜c ＜20时，月产量为c 吨时，每吨平均成本最低，最低为⎝⎛⎭⎪⎫c 10＋40c －3万元．。
2019高中数学 第二章 几个重要的不等式 2.1.1 简单形式的柯西不等式活页作业8 北师大版选修4-5
活页作业(八) 简单形式的柯西不等式一、选择题1．已知a ，b ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＝1，则P ＝(ax ＋by )2与Q ＝ax 2＋by 2的大小关系是( ) A ．P ≤Q B ．P <Q C ．P ≥QD ．P >Q解析：设m ＝(ax ，by )，n ＝(a ，b )， 则|ax ＋by |＝|m·n|≤|m||n|＝ax2＋by2·a2＋b2＝ax 2＋by 2·a ＋b ＝ax 2＋by 2，∴(ax ＋by )2≤ax 2＋by 2，即P ≤Q . 答案：A2．设x >0，y >0，m >0，n >0，且m x ＋n y＝1，则u ＝x ＋y 的最小值是( ) A ．(m ＋n )2 B ．m C ．nD ．(m ＋n )2解析：根据柯西不等式，得x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎪⎫m x ＋ny≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·m x ＋y ·n y 2＝(m ＋n )2， 当且仅当x m ＝yn时，等号成立， 这时u 取最小值为(m ＋n )2. 答案：A3．已知x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝1，则⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1y 的最小值为( )A ．4B ．2C ．1D ．14解析：⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2≥ ⎝⎛⎭⎪⎫1×1＋1x ·1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1xy 2＝22＝4.答案：A4．已知θ∈R ，则42＋sin 2θ＋2cos θ的最大值是( ) A ．2 3B ．3 6解析：42＋sin 2θ＋2cos θ≤42＋22·2＋sin 2θ2＋cos 2θ＝36，当且仅当 4cos θ＝＋sin 2θ，即sin θ＝±63，cos θ＝33时等号成立． 答案：B 二、填空题5．若x ＋2y ＝5，则x 2＋y 2的最小值为________.解析：由柯西不等式，得(x 2＋y 2)(12＋22)≥(x ＋2y )2，当且仅当x ＝y2时取等号．所以5(x 2＋y 2)≥25.所以x 2＋y 2≥5. 答案：56．已知a 2＋b 2＝4，则|a cos θ＋b sin θ|的最大值是________.解析：因为(a cos θ＋b sin θ)2≤(a 2＋b 2)(cos 2θ＋sin 2θ)＝4，当且仅当a sin θ＝b cos θ时等号成立， 所以|a cos θ＋b sin θ|≤2. 答案：2 三、解答题7．已知函数y ＝3x －5＋46－x ，求函数的定义域和最大值． 解：易知函数的定义域为[5,6]，且y >0. ∴y ＝3x －5＋46－x ≤32＋42·x －52＋6－x2＝5，当且仅当36－x ＝4x －5，即x ＝13425时取等号．故函数的定义域为[5,6]，最大值为5. 8．若0<x <1,0<y <1，求证：x 2＋y 2＋x 2＋－y2＋－x2＋y 2＋－x2＋－y2≥2 2.证明：如图，设P (x ，y )，O (0,0)，A (0,1)，B (1,0)，C (1,1)，其中点P (x ，y )为以1为边长的正方形OBCA 内任一点，则x 2＋y 2＋x 2＋－y2＋－x2＋y 2＋－x2＋－y2＝|OP →|＋|AP →|＋|BP →|＋|CP→|≥|AB →|＋|OC →|＝2 2.一、选择题1．已知θ为锐角，a ，b 均为正实数．则下列不等式成立的是( ) A ．(a ＋b )2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ B ．(a ＋b )2≥a 2cos 2θ＋b 2sin 2θC ．a 2＋b 2＝a 2cos 2θ＋b 2sin 2θD ．(a ＋b )2<a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ解析：设m ＝⎝⎛⎭⎪⎫a cos θ，b sin θ，n ＝(cos θ，sin θ)， 则|a ＋b |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a cos θ·cos θ＋b sin θ·sin θ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a cos θ2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b sin θ2·1＝a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ，当且仅当a sin 2θ＝b cos 2θ时取等号． 所以(a ＋b )2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ.答案：A2．若长方形ABCD 是半径为R 的圆的内接长方形，则长方形ABCD 的周长的最大值为( ) A ．2R B ．22R C ．4RD ．42R解析：如图，设内接长方形ABCD 的长为x ，则宽为4R 2－x 2.于是长方形ABCD 的周长l ＝2(x ＋4R 2－x 2)＝2(1·x ＋1·4R 2－x 2)．由柯西不等式，得l ≤2[x 2＋(4R 2－x 2)2]12(12＋12)12＝2×2R ·2＝42R ，当且仅当x ·1＝4R 2－x 2·1，即x ＝2R 时等号成立． 此时，4R 2－x 2＝4R 2－2R2＝2R ，即长方形ABCD 为正方形．故周长最大的内接长方形是正方形，其周长为42R . 答案：D 二、填空题3．函数y ＝3sin x ＋2＋cos 2x 的最大值是_________.解析：y ＝3sin x ＋2＋cos 2x ＝3sin x ＋4cos 2x ≤2＋422x ＋cos 2x ＝5，当且仅当4sin x ＝3cos 2x 时取等号，∴y max ＝5. 答案：5解析：∵x ＋4xy ＋4y ＝(x ＋2y )2≤(12＋22)[(x )2＋(y )2]＝5(x ＋y )＝5×2＝10，当且仅当1·y ＝ 2·x ，即y ＝4x (x >0)时等号成立， ∴x ＋4xy ＋4y ≤10. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，x ＋y ＝2，得x ＝25，符合x >0.∴x ＋4xy ＋4y 的最大值为10. 答案：10 三、解答题5．已知a 1，a 2，b 1，b 2为正实数．求证：(a 1b 1＋a 2b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2≥(a 1＋a 2)2.证明：()a 1b 1＋a 2b 2⎝⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b2＝ []a 1b 12＋a 2b 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫ a 1b 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ a 2b 22≥ ⎝⎛⎭⎪⎫a 1b 1·a 1b 1＋a 2b 2·a 2b 22＝(a 1＋a 2)2. 6．已知x ，y 为正实数，且x 1－y 2＋y 1－x 2＝1， 求x 2＋y 2的值．解：法一 依题意，有0<x <1,0<y <1.令x ＝sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，y ＝sin β，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则x 1－y 2＋y 1－x 2＝sin αcos β＋sin βcos α ＝sin(α＋β)＝1. ∵0<α＋β<π， ∴α＋β＝π2，即β＝π2－α.∴x 2＋y 2＝sin 2α＋sin 2β＝sin 2α＋sin 2π2－α＝sin 2α＋cos 2α＝1. 法二 有1＝x 1－y 2＋y 1－x 2≤x 2＋y 21－y22＋1－x22]＝x 2＋y 2－x 2＋y2，令t ＝x 2＋y 2(t >0)， 则有t (2－t )≥1，即t 2－2t ＋1≤0⇔(t －1)2≤0.∵t>0，∴t－1＝0，即t＝1.∴x2＋y2＝1.。
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2019届北师大版（文科数学）柯西不等式单元测试
1.函数y=的最小值是()
A.
B.2
C.11+2
D.
解析:y=.
根据柯西不等式,得y2=(x-1)2+2+(3-x)2+5+2
≥(x-1)2+2+(3-x)2+5+2[(x-1)·(3-x)+]=[(x-1)+(3-x)]2+()2=11+2, 当且仅当,即x=时等号成立.
此时,y min=.
答案:D
2.函数f(x)=的最大值是()
A. B.
C.2
D.3
解析:函数的定义域为[6,12],且f(x)>0.
由柯西不等式,得
()2≤(12+12)[()2+()2]=12,即≤2, 故当,即x=9时,函数f(x)取得最大值,最大值为2.
答案:C
3.若实数a,b,c,d,e满足a+b+c+d+e=8,且a2+b2+c2+d2+e2=16,则e的最大值是()
A. B. C.5 D.16
解析:由已知,得a+b+c+d=8-e,a2+b2+c2+d2=16-e2,
所以(8-e)2=(a+b+c+d)2≤(a2+b2+c2+d2)·(12+12+12+12)=4(16-e2),
当且仅当a=b=c=d=2或a=b=c=d=时等号成立.
化简得5e2-16e≤0⇒0≤e≤,所以e max=.
答案:A
4.设a,b∈R,且a2+b2=5,则3a+b的最小值为()
A.5
B.-5
C.-50
D.-5
解析:令α=(a,b),β=(3,1),则α·β=3a+b,|α|=,|β|=.
由柯西不等式的向量形式可得|α·β|≤|αβ|,
所以|3a+b|≤=5.
因此-5≤3a+b≤5(当且仅当向量a与b共线时,等号成立),即3a+b的最小值为-
5.
答案:D
5.边长为a,b,c的三角形,其面积S=,外接圆半径R=1,若S=,t=,则S与t的大小关系是.
解析:S=,即abc=1,
所以t=ab+bc+ca,则t2=(ab+bc+ca)·≥()2=S2,
当且仅当a=b=c=1时等号成立.
又因为a,b,c>0,所以S≤t.
答案:S≤t
6.设x,y,∈R,且满足x2+y2+ 2=5,则x+2y+3的最大值为.
解析:根据柯西不等式,知(x+2y+3)2≤(x2+y2+ 2)·(12+22+32)=5×14=70,当且仅当,即x=,y=, =时等号成立,∴x+2y+3的最大值为.
答案:
7.若a2+b2=4,x2+y2=8,则ax+by的最大值为.
解析:∵(ax+by)2≤(a2+b2)(x2+y2)=4×8,
∴ax+by≤4,
当且仅当ay=bx时等号成立,
此时解得
∴当x=a,y=b时等号成立.
答案:4
8.已知a+b=1,求证:a2+b2=1.
分析利用柯西不等式,把式子进行调整、变形.
证明由柯西不等式,得(a+b)2≤[a2+(1-a2)]·[(1-b2)+b2]=1,
当且仅当时取等号.
故ab=,即a2b2=(1-a2)·(1-b2),于是a2+b2=1.
9.已知定义在R上的函数f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值为a.
(1)求a的值;
(2)若p,q,r是正实数,且满足p+q+r=a,求证:p2+q2+r2≥3.
(1)解因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,
当且仅当-1≤x≤2时,等号成立,
所以f(x)的最小值等于3,即a=3.
(2)证明由(1)知p+q+r=3,又因为p,q,r是正实数,
所以(p2+q2+r2)(12+12+12)≥(p×1+q×1+r×1)2=(p+q+r)2=9,即p2+q2+r2≥3.
10.在△ABC中,三边长分别为a,b,c,其外接圆半径为R,求证:(a2+b2+c2)≥36R2.证明由三角形中的正弦定理知:
sin A=,∴.
同理.
于是由柯西不等式可得
左边=(a2+b2+c2)
≥=36R2.
∴原不等式成立.
★11.已知a1,a2,…,a n都是正实数,且a1+a2+…+a n=1.
求证:+…+.
证明根据柯西不等式,得
+…+
=[(a1+a2)+(a2+a3)+(a3+a4)+…+(a n-
+a n)+(a n+a1)]×+…+
1
=[()2+()2+…+()2+()2]×
+…+
≥+…+
=(a1+a2+…+a n)2×.
∴原不等式成立.。