数学人教版九年级上册二次函数复习课
课题：二次函数图象和性质的复习课
雅居乐中学黄庆滨
一、【教学目标】
1、会识别二次函数，能画出二次函数的大致图象，并会看图象写出函数的开口、对称轴、顶点坐标、
函数最值、函数的增减性；（概念性知识的理解）
2、会判断二次函数与X轴的交点个数，能求二次函数与坐标轴的交点坐标；（概念性知识的理解）
3、会用待定系数法求函数解析式；（概念性知识的理解）
4、能用二次函数上述知识解决三角形面积问题和最短路径问题；（程序性知识的运用）
5、能整理知识，形成知识网络，提升解题能力。
（元认知知识的分析）
二、【目标分析】
三、【任务分析】
1、起点能力分析：
学生已掌握了函数基本性质。
2、目标中的学习结果类型：
智慧技能的学习
3、支持性条件：学生已掌握转化的能力。
4、重点：熟悉二次函数的图象和性质，并应用这些知识解决一些相关的题目。
5、难点：不能运用思维导图去分析问题并解决问题。
四、【目标、教学与测评的一致性分析】
表：目标、教学活动和测评在分类表中的位置
设计过程：
【前置知识点】提示学生回忆原有知识
1、一般地，如果y=____________ （其中是常数，a≠），那么y叫做x的二次函数。
通过配方得到顶点式y=________________________________
2、填表
设计意图：课前热身可让学生熟悉本章书的大致结构和相关知识点，要求课前完成，达到温故的效果。
环节一: 【以题点知】引起注意与告知目标（5分钟）。
1、抛物线y ＝－(x ＋2)2－3的顶点坐标是（ ）．
A （2，－3）；
B （－2，3）；
C （2，3）；
D （－2，－3）
2、（2014四川成都）将二次函数y=x 2－2x+3化为y= (x-h)2+k 的形式，结果为（ ） A y=（x+1）2+4 B y=（x+1）2+2 C y=（x －1）2+4
3、抛物线22
-+=x x y 与y 轴的交点坐标是________________________；
4、函数()2
231y x =--的图象可由函数2
2y x =的图象沿x 轴向 平移再沿y 轴向 平移 个单位得到。
5、已知二次函数()2
0y ax bx c a =++≠的图象如图，下列说法错误的是．．．．
( A ．函数()2
0y ax bx c a =++≠的最小值是-4
B ．图象关于直线x =1对称
C ．当x ＜1时，y 随x 的增大而增大
D ．-1和3是方程()2
00ax bx c a ++=≠的两个根
环节二：【例题精析】提供复习策略指导（10分钟）
例题：已知抛物线2
3y x ax a =++-（a 是常数），抛物线经过点（1，2）。
图象与y轴交于C点，顶点为P，坐标原点为O。
（1）求抛物线的解析式；
（2）当x为何值时，函数有最小值，该值为多少？
（3）求出△OCP的面积。
设计意图：根据大纲精选例题，符合不同层次的学生的发展。
第一问代入法求函数式，要求全体过关，第二问最值问题可转化为公式法或配方法求顶点坐标，教师批改提点。
第三问求三角形的面积，要求学生独立思考，画出大致图象，并使用思维导图，寻找解题路径。
环节三【变式练习】变式综合，促进知识转化为技能，并促进知识的运用与迁移（10分钟）
(2013广东). 已知二次函数y=x2-2mx+m2-1.
（1）当二次函数的图象经过坐标原点O(0,0)时,求二次函数的解析式;
(2)如图,当m=2时,该抛物线与y轴交于点C,顶点为D,求C、D两点的坐标;
(3)在(2)的条件下,x轴上是否存在一点P,使得PC+PD最短?若P点存在,
求出P点的坐标;若P点不存在,请说明理由。
设计意图：前面的（1）（2）问主要检测基本性质，要求全面达标，教师落实课内批改，第（3）问重点关注学生的思维过程，注重方法的多样性。
环节四【小结提升】呈现知识结构图（5分钟）
设计意图：学生说收获，教师点评，通过不断循环，加深同学对性质的记忆，对整章书结构的理解，以及提升学生解题的策略。
环节五【达标训练】及时反馈（10分钟）。
【练习A 组】1、二次函数y=（x-1）2+3图象的顶点坐标是（ ） A ．（-1，3） B ．（1，3） C ．（-1，-3） D ．（1，-3） 2、抛物线2
21y x x =-+的对称轴是（ ） A ．直线X=1 B ．直线X=－1
C ．直线X=2
D ．直线X=－2
3、抛物线342+-=x x y 与x 轴的交点坐标是 与y 轴的交点坐标是 ；
4、将抛物线2
2x y =向左平移1个单位，在向上平移3各单位，得到抛物线的解析式是（ ）。
（A ）3)1(22
++=x y （B ）3)1(22
--=x y
（C ）3)1(22
-+=x y （D ）3)1(22
+-=x y
5、利用抛物线图象求：
（1）方程02
=++c bx ax 的根为___________；
（2）方程2
3ax bx c ++=-的根为__________； （3）方程2
4ax bx c ++=-的根为__________；
6、若A （-4，y 1），B （-3，y 2），C （1，y 3）为二次函数y=x 2+4x-5的图象上的三点，则 y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）
A.y 1＜y 2＜y 3
B.y 2＜y 1＜y 3
C.y 3＜y 1＜y 2
D.y 1＜y 3＜y 2 7、已知抛物线y=x 2-2x+m （a 是常数），抛物线经过点（0，-3）。
图象与x 轴交于A 、B 点（A 在B 的左侧），顶点为P 。
(1)求抛物线的解析式；
（2）当x 为何值时，函数有最小值，该值为多少？ （3）求出△ABP 的面积。
【课外拓展】:
1、已知二次函数的图象开口向上，且对称轴在y 轴的右侧，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式_________________________________。
2、（2014年广州16题）若关于x 的方程2
2
2320x mx m m +++-=有两个实
数根1x 、2x ，则2
1212()x x x x ++的最小值为______．
3、如图，已知二次函数 的图像经过点A 和点B ．
（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点P(m ，m)与点Q 均在该函数图像上(其中m ＞0)，且这 两点关于抛物线的对称轴对称， 求P 坐标及点Q 到x 轴的距离．
【点评】:
这节课的学习结果类型属于智慧技能的学习，由于这是复习课，学生已经学习了二次函数的性质，所以本节课要求学生熟悉性质，并能运用相关知识点解决问题。
本节课教学目标的设置和陈述规范准确，要求学生形成知识网络，也注重学生的思维过程。
教学设计的活动符合复习课的学习规律，如：前置作业（课前完成）可让学生熟悉本章书的大致结构和相关知识点，从而提升学生学习的效率，并能通过学习修正自己的误区。
通过环节一的练习，达到以题点知，并能完成目标1和2。
通过环节二（例题），第（3）问重点训练学生的画图能力和思维分析能力，然后再通过变式训练环节三，检测学生的转化技能。
在解答的过程中，学生先独立思考，然后经过学生相互交流、展示及教师点评，从而落实目标3和4.通过环节五及时反馈本节课的达成情况。
整节课的设计都是围绕教学目标而展开，每个环节紧密相扣。
人教版九年级数学《二次函数》总复习课件(公开课)
解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同
a=1或-1 又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,
顶点为(1,5)或(1,-5)
所以其解析式为:
(1) y=(x-1)2+5
(2) y=(x-1)2-5
(3) y=-(x-1)2+5
(4) y=-(x-1)2-5
(3)一元二次方程 3x2+x-10=0的两个根是x1= -
2 ,x2=5/3, 那么二次函数y= 3x2+x-10与x轴的交点
坐标是＿＿.
（-2、0）（5/3、0）
7二次函数的综合运用
1.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的 形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离 为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.
2.当m_______时,函数y=(m+1)χ 是二次函数？
- 2χ+1
2、二次函数的图像及性质
y
y
0
x
0
x
抛物线 顶点坐标 对称轴
位置 开口方向
增减性 最值
y=ax2+bx+c(a>0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2a
由a,b和c的符号确定
a>0,开口向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac ≥0
判别式： b2-4ac
b2-4ac＞0
九年级上册数学人教版第22单元复习教学设计 教案
第22章二次函数复习教案一、知识网络二、知识梳理+经典例题知识点一：二次函数的概念定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a,b,c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。
知识点三：二次函数y=ax2+k的图像和性质二次函数y=ax2+k（a≠0）的图像是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，k），它与y=ax2的图像形状相同，只是位置不同.函数y=ax2+k（a≠0）的图像是由抛物线y=ax2向上（或下）平移|k|个单位长度得到的.二次函数y=ax2+k（a≠0）与y=ax2（a≠0）的图像之间的关系如下表所示：y=ax2（a≠0）向上平移|k|个单位长度向下平移|k|个单位长度二次函数y=ax2+k的图像和性质如下:a的符号a>0a<0图像开口方向向上向下对称轴y轴y轴最值当x=h时，y有最小值y最小值=0当x=h时，y有最大值y最大值=0知识点五：二次函数y=a(x-h)2+k(a,h，k是常数，a≠0)的图像和性质1、二次函y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴是x=h，顶点坐标为(h,k)，是由抛物线y=ax2(a≠0)向右（左）平移|h|个单位长度，再向上（下）平移|k|个单位长度得到的2、性质a的符号a>0a<0图像开口方向向上向下对称轴x=h x=h顶点坐标(h,k)(h,k)增减性当x<h时，y随x的增大而减小；当x>h时，y随x的增大而增大当x<h时，y随x的增大而增大；当x>h时，y随x的增大而减小最值当x=h时，y有最小值，y最小值=k 当x=h时，y有最大值，y最大值=k例5已知二次，函数y=a（x-1）2-c的图像如图所示，则一次函数y=ax+c 的大致图像可（）a a>0开口向上a<0开口向下b ab=0对称轴为y轴ab>0(a,b同号)对称轴在y轴左侧ab<0(a,b异号)对称轴在y轴右侧c c=0图像过原点c>0与y轴正半轴相交c<0与y轴负半轴相交b2-4ac b2-4ac=0与x轴有唯一一个交点b2-4ac>0与x轴有两个交点b2-4ac<0与x轴没有交点例7、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则abc，b2-4ac，2a+b，a+b+c这四个式子中，值为正数的有（）A.4个B.3个C.2个D.1个知识点八：二次函数与一元二次方程的联系1、二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.那么一元二次方程的根就是二次函数的图像与x轴交点的横坐标，因此，二次函数的图像与x轴的交点情况决定了一元二次方程根的情况.（1）当二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图像与x轴有两个交点时，b2-4ac>0,方程ax2＋bx＋c=0（a知识点九：二次函数与一元二次不等式的关系1、抛物线y=ax2＋bx＋c（a≠0）在x轴上方的部分点的纵坐标为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c >0（a≠0）的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c<0（a≠0）的解集，不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号2、二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）与一元二次不等式ax2＋bx＋c >0（a≠0）及ax2＋bx＋c<0（a≠0）之间的关系如下：例9、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数值y＞0时，x的取值范围是（）A.x＜-1B.x＞3C.-1＜x＜3D.x＜-1或x＞3知识点十：二次函数与实际问题1、二次函数的应用：二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型，这就需要认真审题，理解题意，利用二次函数解决实际问题，应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题2、建立平面直角坐标系，用二次函数的图象解决实际问题：建立平面直角坐标系，把代数问题与几何问题进行互相转化，充分结合三角函数、解直角三角形、相似、全等、圆等知识解决问题，求二次函数的表达式是解题关键。
人教九年级上册数学2二次函数图像与性质复习课件
2.抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移2个单位,再向下
平移3个单位,所得图象的函数解析式为y=(x-1)2-4,则
b,c的值为( Ｂ )
A.b=2,c=-6
B.b=2,c=0
C.b=-6,c=8
D.b=-6,c=2
【知识延伸】
1.把抛物线y=(x-1)2-4绕着它的顶点旋转1800 ，得到：
植物每天高度 增长量y(mm)
… -4 … 41
-2 0 2 49 49 41
4 4.5 … 25 19.75 …
由这些数据,科学家估计出植物每天高度增长量y是温度x的函数,且这种函 数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种. (1)请你选择一种适当的函数,求出它的函数关系式,并简要说明不选择另外 两种函数的理由. (2)温度为多少时,这种植物每天高度增长量最大?
若 y1 ＞ y2 ＞ yo ,则x0的取值范围是（ B ）
A．x0 ＞-5 ; C．-5＜ x0 ＜-1;
B． x0 ＞-1 ; D．-2 ＜x0 ＜3
[回顾一般式与顶点式关系]
y＝ax2＋bx＋c -—→y＝a(x＋ b )2＋ 4ac b2
2a
4a
主题2 二次函数的平移
【主题训练2】将抛物线y=3x2向上平移3个单位,再向左平移2个
【自主解答】(1)选择二次函数.设抛物线的解析式为
y=ax2+bx+c,
4a 2b c 49, a 1,
根据题意,得 4a 2b c 41, 解得 b 2,
c 49,
c 49，
∴y关于x的函数解析式为y=-x2-2x+49.
不选另外两个函数的理由:点(0,49)不可能在任何反比例函数图 象上,所以y不是x的反比例函数;点(-4,41),(-2,49),(2,41)不在 同一直线上,所以y不是x的一次函数.
九年级数学上册第22章二次函数小结与复习课件新版新人教版
针对训练
11.一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个月的 利润情况如图所示，该图可以近似看作为抛物线的一部分，请 结合图象，解答以下问题：
(1)求该抛物线对应的二次函数解析式； (2)该公司在经营此款电脑过程中，第 几月的利润最大？最大利润是多少？ (3)若照此经营下去，请你结合所学的 知识，对公司在此款电脑的经营状况 (是否亏损？何时亏损？)作预测分析．
【解析】
方法一：配方，得y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，则
顶点坐标为(1,2)．
方法二代入公式
x2ba2211，y4ac4ab2
41322
41
2，
则顶点坐标为(1,2)．
方法归纳解决此类题目可以先把二次函数y＝ax2＋bx ＋c配方为顶点式y＝a(x－h)2＋k的形式，得到：对称 轴是直线x＝h，最值为y＝k，顶点坐标为(h，k)；也 可以直接利用公式求解.
解得, a=2,b=－3,c=5.
待定系数法
∴ 所求的二次函数为y＝2x2－3x＋5.
针对训练 5.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=－x2－3x+7
的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离
为5,请写出满足此条件的抛物线的表达式.
解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=－x2－3x+7的形状
＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=－x2
＋2bx＋c的对称轴
x b b 2(1)
，即b≤1，故选择D .
考点四 抛物线的几何变换
例4 将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移 2个单位长 度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线 解析式是( )
人教版数学九年级上册 第二十二章《二次函数》章节知识点归纳复习总结
人教版数学九年级上学期《二次函数》章节知识点归纳总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：（1）一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数。
（2）这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a ≠0，而b c ，可以为零．二次函数的定义域(x)是全体实数．2. 二次函数 2y ax bx c =++ 的结构特征：（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． （2）a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．3. 二次函数解析式的几种形式（1）一般式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0） （2）顶点式：y=a(x-h)2+k [抛物线的顶点P （ h ，k ）]（3）交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2)[仅限于与x 轴有交点A （x 1，0）和 B （x 2，0）的抛物线]其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的两个根，a ≠0. x 1,x 2 = (-b ±ac 4b 2-)/2a在三种形式的互相转化中，有如下关系:h= -b / 2a ； k=(4ac-b 2) / 4a ； x 1,x 2 = (-b ±ac 4b 2-) / 2a说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)；(2) 当h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点；(3) 如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax2；如果对称轴是y轴，但不过原点，则设y=ax2+k4.抛物线的性质（1）.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线 x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
人教版九年级上册数学《二次函数》说课研讨教学复习课件
（Байду номын сангаас）x的取值范围是 任意实数 .
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)
的函数，叫做二次函数.
二次项
系数
常数项
自变
量
一次项系
数
探究新知
二次函数的形式
二次函数的一般形式:
y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)
例 一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，
和墙垂直的一边长为xm，菜园的面积为ym2，求y与x之间
的函数关系式，并说出自变量的取值范围.当x=12m时，
计算菜园的面积.
xm
解：由题意得： y=x(40-2x).
2
xm
y
m
即 y=-2x2+40x. (0<x<20)
当x＝12m时，菜园的面积为
c＝
．
• 2．已知两个变量x，y之间的关系式为y＝(a－2)x2＋(b＋2)x－3.
• (1)当
时，x，y之间是二次函数关系；
• (2)当
时，x，y之间是一次函数关系．
例题
• 3．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价．若每件商品售
价为x元，则可卖出(350－10x)件商品，那么商品所赚钱数y元与售价x元的函数关系式为
二次函数的特殊形式:
当b＝0时， y＝ax2＋c.（只含有二次项和常数项）
当c＝0时， y＝ax2＋bx.（只含有二次项和一次项）
当b＝0，c＝0时， y＝ax2.（只含有二次项）
探究新知
素养考点 1
九年级数学《二次函数》总复习教案
教材：初中数学九年级上册复习目标：1.理解二次函数的概念和特征。
2.掌握二次函数的基本性质和图像的特点。
3.熟练运用二次函数解决实际问题。
4.理解抛物线的性质及其与二次函数的关系。
一、概念复习1.二次函数：通过变量的平方项表达的函数。
2.顶点：二次函数图像的最高点或最低点，表示为（a，b）。
3.对称轴：二次函数图像的对称轴，表示为x=a。
4.开口方向：二次函数图像的开口方向，由二次项的系数决定。
二、性质复习1.零点：二次函数与x轴交点的横坐标。
2.判别式：用来判断二次函数的零点个数的式子。
当Δ=b^2-4ac＞0时，二次函数有两个不相等的零点。
当Δ=b^2-4ac=0时，二次函数有两个相等的零点。
当Δ=b^2-4ac＜0时，二次函数没有实数零点。
3.最大值与最小值：当二次函数开口向上时，最小值是顶点的纵坐标。
当二次函数开口向下时，最大值是顶点的纵坐标。
三、图像特点复习1.开口方向：当a＞0时，二次函数开口向上。
当a＜0时，二次函数开口向下。
2.对称轴：对称轴与顶点的横坐标相等。
3.零点：零点是二次函数与x轴交点的横坐标。
零点的个数由判别式Δ决定。
四、实际问题复习1.利用二次函数解决实际问题的步骤：（1）明确问题中有关条件。
（2）设出二次函数的表达式。
（3）求出二次函数的最值或零点。
（4）用解出的最值或零点回答问题。
2.举例：问题：商场的营业额可以用二次函数y=2x^2+3x+4来表示，其中x表示时间（以小时计），y表示营业额（以万元计）。
求该商场的最大营业额，并在什么时间实现。
解答：（1）根据题目，得到二次函数的表达式为y=2x^2+3x+4（2）通过求导数或将二次函数表示为顶点形式，得到该二次函数的顶点为（-3/4，23/8）。
（3）所以，该商场的最大营业额为23/8万元，实现时间为-3/4小时。
五、抛物线的性质复习1. 加入二次函数的f(x)=ax^2+bx+c。
若a＞0，抛物线开口向上；若a＜0，抛物线开口向下。
人教版九级上册数学优质课件二次函数复习优质课件
人教版九级上册数学优质课件二次函 数复习 优质课 件
思维导图 例题示范
例1
如图，已知二次函数 y 1 x2 bx c 的图象经过A（2，0）、 2
B（0，-6）两点。
（1）求这个二次函数的解析式；
解：（1）将点A（2，0）、B（0，-6）代入得：c226b c 0 ，
解得：bc
4 6
解：（3）存在，点P的坐标为 (0, 2) 。 3
AD长度固定，只需找到点P使AP+PD最小即可，找到点A关于y轴的 对称点A'，连接A'D，则A'D与y轴的交点即是点P的位置。
人教版九年 级级 上上 册册 数学数优学质课课件件二第次二函十数二复章习 优二质次课函件数 复习课件(共20张PPT)
人教版九年 级级 上上 册册 数学数优学质课课件件二第次二函十数二复章习 优二质次课函件数 复习课件(共20张PPT)
人教版九年 级级 上上 册册 数学数优学质课课件件二第次二函十数二复章习 优二质次课函件数 复习课件(共20张PPT)
人教版九年 级级 上上 册册 数学数优学质课课件件二第次二函十数二复章习 优二质次课函件数 复习课件(共20张PPT)
思维导图 例题示范
例2
某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/ 千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量 就减少10千克。 （1）写出月销售利润y与售价x之间的函数关系式。
人教版九年级上册 数学 课件 第二十二章 二次函数 复习课件(共20张PPT)
思维导图 例题示范
例2
某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/ 千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量 就减少10千克。 （2）销售单价定为55元时，计算月销售量与销售利润。
人教版数学九年级上册第二十二章《二次函数》课件(共22张)
2.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式．
解：由圆柱的表面积=2×圆柱的底面积+圆柱的侧面积， 得 S=2πr2+2πr•r=4πr2．
3.如图，矩形绿地的长、宽各增加 x m，写出扩充后的绿地的面 积 y 与 x 的关系式．
解：由图可得，扩充后的绿地的面积y(m2)与 x(m) 之间的函数关系式是y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600， 即 y=x2+50x+600.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变量x的最高次数是2． 这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数．
合作探究
n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
分析：每个球队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙
队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为
形如 y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数．其中 x 是自变量，a，b，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但 不能没有二次项．
人教版九年级数学上册第22章二次函数《复习课》导学案
人教版九年级数学上册第22章二次函数《复习课》导学案第二十二章复课1.知道二次函数的概念、图象和性质,能根据解析式判断抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和函数的增减性.2.知道抛物线与对应的一元二次方程的关系,会用待定系数法求二次函数的解析式.3.能够运用二次函数解决一些实际问题,从中体会数学建模思想.4.重点:二次函数解析式的求法,二次函数的图象、性质和应用.◆体系构建◆核心梳理1.一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程的关系:(1)当b2-4ac>时,抛物线与x轴有2个交点,对应的一元二次方程有两个不相等的实数解;(2)当b2-4ac=时,抛物线与x轴有1个交点,对应的一元二次方程有两个相等的实数解;(3)当b2-4ac<时,抛物线与x轴无交点,对应的一元二次方程无实数解.3.填表:特征函数启齿偏向对称轴极点坐标(0,0)(0,k)(h,0)(h,k)最值最小值最大值最小值k最大值k最小值最大值最小值k最大值k最小值y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+k a>时启齿向上a<时开口向下a>时开口向上a<时启齿向下a>时启齿向上a<时启齿向下a>时开口向上a<时开口向下a>时启齿向上y轴y轴x=hx=hy=ax2+bx+ca<时开口向下x=-(-,)最大值专题一:二次函数的概念、图象和性质1.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么abc,b2-4ac,2a+b,a+b+c这四个代数式中,值为正数的有(B)A.4个B.3个C.2个D.1个2.二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c在同一坐标系中的图象可能是(C)3.如图,已知二次函数y 1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m的图象相交于A(-2,4),B(8,2),则能使y1>y2成立的x的取值范围是x<-2或x>8.【方法归纳交流】根据抛物线的开口方向判断a的正负;根据抛物线与y轴的交点判断c的值;若抛物线的对称轴在y 轴左侧,则a与b同号,若抛物线的对称轴在y轴右侧,则a与b异号;根据抛物线与x轴交点的个数判断b2-4ac的符号.专题二:求抛物线的顶点和对称轴4.求抛物线y=x2-4x+5的开口方向、对称轴及顶点坐标.(用两种方法)解:(1)y=(x2-8x+10)=[(x2-8x+16)-16+10]=(x-4)2-3,所以抛物线的开口向上,对称轴是x=4,顶点坐标是(4,-3).(2)对称轴:x=-=4,y最小==-3,顶点坐标为(4,-3).【方法归纳交流】求抛物线的顶点和对称轴一般有两种方法:配方法和公式法.专题三:抛物线的平移5.申明抛物线y=-3x2-6x+8通过如何的平移,可获得抛物线y=-3x2.解:配方:y=-3x2-6x+8=-3(x2+2x-)=-3[(x2+2x+1)-1-]=-3(x+1)2+11,∴抛物线的顶点坐标是(-1,11),∴把抛物线y=-3x2-6x+8先向右平移1个单位长度,再向下平移11个单位长度得到y=-3x2.6.如图,抛物线y=ax2-5ax+4a与x轴相交于点A、B,且过点C(5,4).(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标;(2)请你设计一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在第二象限,并写出平移后抛物线的解析式.解:(1)把C(5,4)代入y=ax2-5ax+4a,得25a-25a+4a=4。