图形计数(及问题详解)
三年级上册数学《几何图形计数问题》竞赛试题-人教版(含答案)
几何图形计数问题☆基础题1、数一数下图中有多少条线段？2、从郑州到上海的一列火车，中间要停5站，那么在此次列车上，铁路部门要为旅客准备多少种不同的火车票？3、下图中有多少个三角形？4、下图中有多少个正方形？5、下图中有多少个长方形？☆☆提高题1、有20个钉子如图摆放，以钉子为顶点围成一个正方形，可以围成多少个正方形？2、下图中有多少个正方形？多少个三角形？3、下图中有多少个三角形？4、下图中，有多少个包含“★”的长方形。
5、下图中，有多少个长方形同时包含“★”和“☆”。
6、下图中梯形的个数与三角形的个数的差是多少？☆☆☆竞赛题1、如下图，边界上各条线段的长度依次是5厘米、12厘米、8厘米、1厘米、2厘米、4厘米、7厘米、3厘米。
（1）图中一共有多少个长方形？（2）这些长方形的面积和是多少平方厘米？2、下图中的正方形被分成了9个相同的小正方形，它们有16个顶点（共同的顶点算一个），以其中不在一条直线上的3个点为顶点，可以构成三角形，在这些三角形中，与阴影三角形的面积一样大的三角形有多少个？3、下图中有多少个正方形？4、一张长方形纸片，长是宽的2倍，先对折成正方形，再对折成长方形，再对折成正方形，……，共对折7次，将纸打开展平，数一数用折痕分割成的正方形共有多少个？参考答案☆基础题1、答案：36条解析：基本线段是指：只有一条线段组成的线段叫做基本线段，本题中基本线段的条数是8条，所有线段的条数是：8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36（条）2、答案：42种解析：去时要准备：6＋5＋4＋3＋2＋1＝21（种）一共要准备：21×2＝42（种）3、答案：12个解析：可以把这个三角形分成两部分来看，上层红色部分有：3＋2＋1＝6（个），下层蓝色部分有：3＋2＋1＝6（个），所以一共有：6×2＝12（个）4、答案：32个解析：如下图，把原长方形分成两个同样大小的正方形，（3×3＋2×2＋1×1）×2＝28（个）在蓝色部分的长方形中，还有2个正方形，以蓝色长方形的长为边的正方形还有2个，所以正方形的总个数是：28＋2＋2＝32（个）5、答案：150个解析：先沿着长的方向数：基本线段的条数数是5个，则所有线段的条数是：5＋4＋3＋2＋1＝15（条）；再沿着宽的方向数：基本线段的条数是4个，则所有线段的条数是：4＋3＋2＋1＝10（条），则在这个图中所有长方形的个数：15×10＝150（个）☆☆提高题1、答案：21个解析：如下图，①形如玫红色正方形有：5＋4＝9（个）；②形如黄色正方形有：4个；③形如黑色正方形有：4个；④形如蓝色正方形有：2个；⑤形如红色正方形有2个，所有正方形的总个数是：9＋4＋4＋2＋2＝21（个）2、答案：正方形个数：10个；三角形个数：44个。
小四数学第17讲：图形计数进阶(教师版)
第十七讲图形计数进阶一、乘法原理我们在完成一件事时往往要分为多个步骤，每个步骤又有多种方法，当计算一共有多少种完成方法时就要用到乘法原理.乘法原理：一般地，如果完成一件事需要n个步骤，其中，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，则完成这件事一共有N=m1×m2×…×m n种不同的方法．乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响．．．．来完成，这几步是完．．．．的独立步骤成这件任务缺一不可的．．．．．，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”.二、乘法原理解题三部曲1、完成一件事分N个必要步骤；2、每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）；3、步步相乘三、乘法原理的考题类型1、路线种类问题——比如说从A地到B地有三种交通方式，从B地到C地有2种交通方式，问从A地到C地有多少种乘车方案；2、字的染色问题——比如说要3个字，然后有5种颜色可以给每个字然后，问3个字有多少种染色方法；3、地图的染色问题——同学们可以回家看地图，比如中国每个省的染色情况，给你几种颜色，问你一张包括几个部分的地图有几种染色的方法；4、排队问题——比如说6个同学，排成一个队伍，有多少种排法；5、数码问题——就是对一些数字的排列，比如说给你几个数字，然后排个几位数的偶数，有多少种排法．1.掌握加法乘法原理2.熟练运用加乘方法3.解决加乘及计数综合性题目1.联欢会上有一则数字谜语，谜底是一个八位数。
现已猜出：□54□7□39，主持人提示：“这个无重复数字的八位数中，最小的数是2。
”要猜出这个谜语，最多还要猜次。
解析：根据题意三个方框只能从2,6,8中选，根据乘法原理最多还要猜3×2×1=6答案：62.在右面每个方格中各放1枚围棋子(黑子或白子)，有（）种放法．解析：由于每个方格有2种填法，依此根据乘法原理进行解答。
初一数学奥数培优练习(1)图形计数及线段-答案
泉州五中初一数学奥数培优练习（1）——图形的计数及线段班级______ 座号________ 姓名______________1、计算下列各图中线段的总条数．2、计算下列各图中三角形的总个数．3、计算下列各图中正方形的总个数．4、如图所示，平面上有16个点，在每个点上钉上钉子，如以这些钉子为顶点，用线把它们围起来，你能围出几个正方形？5、请计算图中所示的正五边形ABCDE 中三角形的个数．6、计算图中长方体（包括正方体）的个数．A B C D E A B C D E FA B C DE F P GHQ 甲 乙7、如图，一只甲虫从A 点出发，沿图中线段爬到F 点，如果爬行时， 同一个点或同一条线段只能经过一次，那么这只甲虫最多有多少种 不同的爬行方法？8、上图是由小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形的数字表示在该位置的小立方块的个数，再根据左视图所提供的信息，确定x 和y 的值，并画出主视图．9、图中8条直线最多能把平面分成多少部分？10．在一条直线上有四个不同的点依次是A ，B ，C ，D ，那么到A ，B ，C ，D 的距离之和最小的点是（）A ．可以是直线AD 外的某一点B ．只有点B 或点C C ．只是线段AD 的中点 D ．有无穷多个11．如图，B 、C 、D 依次是AE 上的三点，已知AE = 8.9cm ，BD = 3cm ，则图中以A 、B 、C 、D 、E 这5个点为端点的所有线段长度的和为 cm ．12．如图，已知B 是线段AC 上的一点，M 是线段AB 的中点，N 是线段AC 的中点，Pl 4 l 3l 2l 1（1） x 2 1 y 2俯视图 左视图A B C D EABCQ P MN为NA 的中点，Q 为MA 的中点，则MN ：PQ = ．泉州五中初一数学奥数培优练习（1） ——图形的计数及线段参考答案1、解：图甲中的线段上共有4条基本线段AB ，BC ，CD ，DE ；由两条基本线段组成的线段有3条：AC ，BD ，CE ；由三条基本线段组成的线段有2条：AD ，BE ；由四条基本线段组成的线段有1条：AE ．所以，图甲中线段的总条数是4+3+2+1=10．用同样的方法，我们可以求得图乙中线段的总条数是5+4+3+2+1=15．2、解： 数三角形的总个数的规律与数线段方法类似，如图（a ），三角形的总个数为1+2+3+4+ (7)2)17(7+=28． 图(b)是一个复合图形，可采用分类的方法去数：先看在ABC ∆中三角形的个数，应为1+2+3+4=10个，显然在ACD ∆中也应有10个三角形．另外，以BD 为底边的三角形有4个．因此共有10+10+4=24个三角形．请数出图(c)中三角形的个数．3、解： 为方便起见，假设每个小方格的边长为1个单位，并称为基本线段．在（1）中，每边有两条基本线段，所以长为1个长度单位的正方形有2×2=4（个），边长为2个长度单位的正方形有1×1=1（个），即1×1+2×2=52122=+（个）． 在（2）中，每边有3条基本线段，有2条2个长度单位的线段，有1条3个长度单位的线段，所以边长为1个长度单位的正方形有3×3=9（个），边长为2个长度单位的正方形有2×2=4（个），边长为3个长度单位的正方形有1×1=1（个），即1×1+2×2+3×3=14321322=++（个）． 在（3）中，3043212222=+++（个）． 在（4）中，555432122222=++++（个）．4、解： 这个问题与前面数正方形个数是不同的．这个问题的正方形的边不是先画好的，而是要我们自己去定．我们知道，正方形是四个角都是直角，四条边都相等的四边形．所以，只要四个顶点选得好，就可用线围出一个正方形来． 很明显，我们能围出14个图甲那样的正向的正方形．除此之外，我们还能围出如图乙和图丙所示的斜向正方形来，但不能围出更小或更大的斜向正方形．图乙中所示的斜向正方形有4个；图丙中所示的斜向正方形2个，因此，在图中共可围出20个正方形．5、解：在正五边形ABCDE 中，根据三角形的形状和大小可分如下六类：如△ABE 的有5个；如△ABP 的有10个；如△ABF 的有5个；如△AFP 的有5个； 如△ACD 的有5个；如△AGD 的有5个.所以，图中共有35个三角形． 6、解：长方体的长AB 棱上共有线段：15256=⨯条．长方体的宽棱上共有线段3223=⨯条．而长方体的高棱共有线段：6234=⨯条．15×3×6＝270个．因此，图中共有长方体270个．7、解：从点A 出发，有三条路可走：AB ，AE ，AD ．因此，可以分成三类计算不同的爬法数： 沿AB 出发，共有3种爬法；沿AE 出发，共有3种爬法；沿AD 出发，共有3种爬法．所以，最多有9种不同的爬法．8、解：结合俯视图和左视图，可得x ＝1或2；y ＝3，所以主视图有两种，如图9、1条直线最多将平面分成2个部分；2条直线最多将平面分成4个部分；3条直线最多将平面分成7个部分；现在添上第4条直线，它与前面的3条直线最多有3个交点，这个3交点将第4条直线分成4段，其中第一段原来所在平面部分一分为二．所以，4条直线最多将平面分成7+4＝11个部分．完全类似地，5条直线最多将平面分成11+5＝16个部分；6条直线最多将平面分成16+6＝22个部分；7条直线最多将来面分成22+7＝29个部分；8条直线最多将平面分成29+8＝37个部分；8条直线最多将平面分成37个部分． 一般地，n 条直线最多将平面分成)2(213222++=++++n n n 个部分． 10．在一条直线上有四个不同的点依次是A ，B ，C ，D ，那么到A ，B ，C ，D 的距离之和最小的点是（D ）A ．可以是直线AD 外的某一点B ．只有点B 或点C C ．只是线段AD 的中点D ．有无穷多个解：在线段BC 上的点到A 、B 、C 、D 距离和最少为AD + BC ，而BC 上的点有无穷多个甲 乙 丙 或11．如图，B、C、D依次是AE上的三点，已知AE = 8.9cm，BD = 3cm，则图中以A、B、C、D、E这5个点为端点的所有线段长度的和为41.6 cm．解：其长度总和= 4AB + 6BC + 6CD + 4DE= 4(AB + DE) + 6(BC + CD)= 4(AE–BD) + 6BD= 4AE + 2BD= 41.6cm12．如图，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P 为NA的中点，Q为MA的中点，则MN：PQ = 2：1 ．解：MN = AN–AMPQ = P A–QA=12(AN–AM)A B C D EA B CQ P M N。
图形的计数（四年级奥数秋季思维训练教程）
图形的计数（四年级奥数秋季思维训练教程）教学内容：第二讲图形的计数（四年级秋季思维训练教程）课时：第一、二课时课型：新授课教学目的：知识与技能理解并掌握数线段的两种方法：基本线段法、定端点法。
学会灵活地将数图形（三角形、正方形、长方形等）问题转化为数线段问题。
过程与方法通过引导学生复习旧知，鼓励学生总结归纳数线段的基本方法，培养学生的观察能力、抽象概括能力，增强学生探究问题的本领。
在观察、分析图形的过程中，要逐步培养学生掌握从特殊到一般的研究问题的方法。
情感态度与价值观在观察、总结归纳数线段的基本方法的过程中，体会探索新知的乐趣，养成善于思考，勇于探索，乐于交流的习惯。
在数图形个数时，要求按一定的顺序去做，做到不遗漏，不重复，提高学生的逻辑思维能力，养成严密的数学思维习惯。
教学重、难点：重点：通过观察、分析复杂图形并数出其中基本图形的个数的过程中，促进学生掌握类比转化的方法，培养学生分析和解决问题的能力。
难点：如何将复杂图形的计数问题转化为线段的计数问题教具、学具准备：教学过程：复习旧知，凝疑导入同学们，看看我左手上是什么？（粉笔）数数有几只？（三只）。
再看看老师右手上拿了什么？（纸）瞅瞅它们共有几张呢？我们两三岁时家人就开始教我们数数了，所以刚刚那两个问题对同学们来说都是小菜一碟，有没有？但是，不知，同学们还是否记得我们之前学过一种稍微复杂一点的数数问题---数线段。
下面我们来简单地复习一下：问题一：数一数下面图形中共有多少条线段？(10条)线段：有两个端点的直线组成的图形要求：不遗漏不重复展示与总结：定端点法：4+3+2+1=10（条）基本线段法：有4条基本线段由两条基本线段组成的线段：3条由三条基本线段组成的线段：2条由四条基本线段组成的线段：1条共有4+3+2+1=10（条）这道题有没有唤起同学们对以前学过知识的记忆呢？同学们应该都知道，学习是一个连续且不断发展的过程，随着我们年龄和年级的不断增加，我们会对同一个大问题进行更深入的研究，所以，理所当然，数数问题也需要我们对它进行更深一步的探究。
图形计数2
在几何中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．例1如图1－65所示，数一数图中有多少条不同的线段？解对于两条线段，只要有一个端点不同，就是不同的线段，我们以左端点为标准，将线段分5类分别计数：(1)以A为左端点的线段有AB，AC，AD，AE，AF共5条；(2)以B为左端点的线段有BC，BD，BE，BF共4条；(3)以C为左端点的线段有CD，CE，CF共3条；(4)以D为左端点的线段有DE，DF共2条；(5)以E为左端点的线段只有EF一条．所以，不同的线段一共有5+4+3+2+1=15(条)．一般地，如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)，那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1=n(n+1)/2例2图1－66中有多少个三角形？解以OA为一边的三角形有△OAB，△OAC，△OAD，△OAE，△OAF共5个；以OB为一边的三角形还有4个(前面已计数过的不再数，下同)，它们是△OBC，△OBD，△OBE，△OBF；以OC为一边的三角形有△OCD，△OCE，△OCF共3个；以OD为一边的三角形有△ODE，△ODF共2个；以OE为一边的三角形有△OEF一个．所以，共有三角形5+4+3+2+1=15(个)．说明其实，不同的三角形数目等于线段AF中不同线段的条数．一般地，当原三角形的一条边上有n+1个点(包括两端点)时，它们与另一顶点的连线所构成的三角形总数为n+(n-1)+…+2+1=n(n+1)/2.例3(1)图1－67中一共有多少个长方形？(2)所有这些长方形的面积和是多少？解(1)图中长的一边有5个分点(包括端点)，所以，长的一边上不同的线段共有1+2+3+4=10(条)．同样，宽的一边上不同的线段也有10条．所以，共有长方形10×10=100(个)．(2)因为长的一边上的10条线段长分别为5，17，25，26，12，20，21，8，9，1，宽的一边上的10条线段长分别为2，6，13，16，4，11，14，7，10，3．所以，所有长方形面积和为(5×2+5×6+…+5×3)+(17×2+17×6+…+17×3)+…+(1×2+1×6+…+1×3)=(5+17+...+1)×(2+6+ (3)= 144×86=12384．例4图1－68中共有多少个三角形？解显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类，两类中三角形的个数相等．尖向上的三角形又可分为6类：最大的三角形1个(即△ABC)，第二大的三角形有1+2=3(个)，第三大的三角形有1+2+3=6(个)，第四大的三角形有1+2+3+4=10(个)，第五大的三角形有1+2+3+4+5=15(个)，最小的三角形有1+2+3+4+5+6+3=24(个)．我们的计数是有规律的．当然，要注意在△ABC外面还有三个最小的尖向上的三角形(左、右、下各一个)，所以最小的三角形不是21个而是24个．于是尖向上的三角形共1+3+6+10+15+24=59(个)．图中共有三角形59×2=118(个)．例6(1)图1－70(a)中有多少个三角形？(2)图1－70(b)中又有多少个三角形？解(1)图1－70(a)中有6条直线．一般来说，每3条直线能围成一个三角形，但是这3条直线如果相交于同一点，那么，它们就不能围成三角形了．从6条直线中选3条，有种选法(见说明)，每次选出的3条直线围成一个三角形，但是在图1－70(a)中，每个顶点处有3条直线通过，它们不能围成三角形，因此，共有20-3=17个三角形．(2)图1－70(b)中有7条直线，从7条直线中选3条，有7×6×5/6=35种选法．每不过同一点的3条直线构成一个三角形．图1－70(b)中，有2个顶点处有3条直线通过，它们不能构成三角形，还有一个顶点有4条直线通过，因为4条直线中选3条有4种选法，即能构成4个三角形，现在这4个三角形没有了，所以，图1－70(b)中的三角形个数是35-2-4=29(个)．说明从6条直线中选2条，第一条有6种选法，第二条有5种选法，共有6×5种选法．但是每一种被重复算了一次，例如l1l2与l2l1实际上是同一种，所以，不同的选法是6×5÷2=15种．从6条直线中选3条，第一条有6种选法，第二条有5种选法，第三条有4种选法，共有6×5×4种选法．但是每一种被重复计算了6次，例如，111213，111312，121113，121311，131112，131211实际上是同一种，所以，不同的选法应为6×5×4/6=20种．下面我们利用递推的方法来计算一些图形区域问题．例7问8条直线最多能把平面分成多少部分？解 1条直线最多将平面分成2个部分；2条直线最多将平面分成4个部分；3条直线最多将平面分成7个部分；现在添上第4条直线．它与前面的3条直线最多有3个交点，这3个交点将第4条直线分成4段，其中每一段将原来所在平面部分一分为二，如图1－71，所以4条直线最多将平面分成7+4=11个部分．完全类似地，5条直线最多将平面分成11+5=16个部分；6条直线最多将平面分成16+6=22个部分；7条直线最多将平面分成22+7=29个部分；8条直线最多将平面分成29+8=37个部分．所以，8条直线最多将平面分成37个部分．说明一般地，n条直线最多将平面分成个部分．例8平面上5个圆最多能把平面分成多少个部分？解 1个圆最多能把平面分成2个部分；2个圆最多能把平面分成4个部分；3个圆最多能把平面分成8个部分；现在加入第4个圆，为了使分成的部分最多，第4个圆必须与前面3个圆都有两个交点．如图1－72所示．因此得6个交点，这6个交点将第4个圆的圆周分成6段圆弧，而每一段圆弧将原来的部分一分为二，即增加了一个部分，于是，4个圆最多将平面分成8+6=14个部分．同样道理，5个圆最多将平面分成14+8=22个部分．所以，5个圆最多将平面分成22个部分．说明用上面类似的方法，我们可以计算出n个圆最多分平面的部分数为2+1×2+2×2+…+(n-1)×2=2+2［1+2+…+(n-1)］=n2-n+2．例9平面上5个圆和一条直线，最多能把平面分成多少个部分？解首先，由上题可知，平面上5个圆最多能把平面分成22个部分．现在加入一条直线．由于一条直线最多与一个圆有两个交点，所以，一条直线与5个圆最多有10个交点．10个点把这条直线分成了11段，其中9段在圆内，2条射线在圆外．9条在圆内的线段把原来的部分一分为二，这样就增加了9个部分；两条射线把圆外的平面一分为二，圆外只增加了一个部分．所以，总共增加了10个部分．因此，5个圆和1条直线，最多将平面分成22+10=32个部分．例10平面上5条直线和一个圆，最多能把平面分成多少个部分？解首先，由例7知，5条直线最多将平面分成16个部分．现在加入一个圆，它最多与每条直线有两个交点，所以，与5条直线最多有10个交点．这10个交点将圆周分成10段圆弧，每一段圆弧将原来的部分一分为二，所以，10段圆弧又把原来的部分增加了10个部分．因此，5条直线和一个圆，最多能把平面分成16+10=26个部分．例11三角形ABC内部有1999个点，以顶点A，B，C和这1999个点为顶点能把原三角形分割成多少个小三角形？解设△ABC内部的n-1个点能把原三角形分割成a n-1个小三角形，我们考虑新增加一个点P n之后的情况：(1)若点P n在某个小三角形的内部，如图1－73(a)，则原小三角形的三个顶点连同P n将这个小三角形一分为三，即增加了两个小三角形；(2)若点P n在某两个小三角形公共边上，如图1－73(b)．则这两个小三角形的顶点连同点P n将这两个小三角形分别一分为二，即也增加了两个小三角形．所以，△ABC内部的n个点把原三角形分割成的小三角形个数为a n=a n-1+2．易知a0=1，于是a1=a0+2，a2=a1+2，…，a n＝a n-1+2．将上面这些式子相加，得a n=2n+1．所以，当n=1999时，三个顶点A，B，C和这1999个内点能把原三角形分割成2×1999+1=3999个小三角形．练习十九1．填空：(1)在圆周上有7个点A，B，C，D，E，F和G，连接每两个点的线段共可作出______条．(2)已知5条线段的长分别是3，5，7，9，11，若每次以其中3条线段为边组成三角形，则最多可构成互不全等的三角形_____个．(3)三角形的三边长都是正整数，其中有一边长为4，但它不是最短边，这样不同的三角形共有_____个．(4)以正七边形的7个顶点中的任意3个为顶点的三角形中，锐角三角形的个数是_______．(5)平面上10条直线最多能把平面分成_____个部分．(6)平面上10个圆最多能把平面分成_____个区域．2．有一批长度分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11厘米的细木条，它们的数量足够多，从中适当选取3根木条作为三条边，可围成一个三角形，如果规定底边是11厘米长，你能围成多少个不同的三角形？3．图1－74中有多少个三角形？4．图1－75中有多少个梯形？5．在等边△ABC所在平面上找到这样一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点的个数有多少？6．平面上有10条直线，其中4条直线交于一点，另有4条直线互相平行，这10条直线最多有几个交点？它们最多能把平面分成多少个部分？。
平面图形计数-第十讲的计数和面积教师版
第十讲 平面图形的计数和面积一、 基础知识本讲的主要内容包括两部分：平面图形计数和平面图形面积计算。
（一）平面图形计数平面图形计数是指求满足一定条件的某种几何图形的个数。
解决这类问题常用方法是穷举（枚举）计数法，分类计数法，归纳递推法，应用原理（加法原理和乘法原理）。
这里为同学总结常用的一些公式。
1．数线段：一条线段上有n 个点（包括最两边端点），则共有线段条。
数角和三角形可借用此公式。
2．数长方形：长边有n 个点，宽边有m 个点，则共有长方形（包括正方形）·个。
3. 数正方形：每边有n 个点，则共有正方形（n-1）2+（n －2）2+（n －3）2+···+22+124. 直线分平面：平面上有n 条直线，则最多可把平面分成1+n （n+1）/2 类似的还有圆、三角形等分平面。
（二）平面图形面积计算1．图形面积是平面几何的重要内容之一．常用的面积公式有： (1)三角形面积公式：，其中a 为三角形的边长，a h 为边a 上的高．(2)平行四边形面积公式：..a b S a h b h ==，其中a 、b 分别为平行四边形的两条邻边的长，a h ﹑b h 分别为平行四边形a 、b 边上的高． (3)梯形面积公式：S 梯形=，其中a 、b 和h 分别为梯形的上底、下底和高.(4)圆面积公式：S 圆=兀R 2，其中R 为圆的半径．2．图形面积的有关性质：(1)一个图形的面积等于其各部分面积的和．(2)等底(同底)等高(同高)的两个三角形面积相等．(3)等底(同底)等高(同高)的三角形面积是平行四边形面积的一半． (4)等底(高)的两个三角形面积之比等于对应高(底)的比.3．面积问题通常包括两方面的内容：一是几何图形的面积计算与证明：二县用面积法解题．本讲重点介绍如何计算面积，一般有下面两种方法：(1)把一个不规则图形分割成三角形、平行四边形、梯形等规则图形，利用面积的和、差来计算； (2)利用等积变换进行代换．求一个图形的面积，关键在于如何转化为三角形的面积或规则图形的面积；证明面积之间的关系重点在于运用面积公式及等积变换进行比较、转化二、活题巧解（一）平面图形计数例1．在同一平面内有4点，过每2点画一条直线，则直线的条数是( )．A ．1条B ．4条C ．6条D ．1条或4条或6条解: D 若4点在同一直线上，则直线仅有一条；若4点中有3点在同一直线上，则符合条件的直线有4条;若4点中任3点都不在同一直线上，则直线有6条。
(完整版)四年级奥数第一讲_图形的计数问题
第一讲图形的计数问题一、知识点：几何图形计数问题常常没有不言而喻的次序，并且要数的对象往常是重叠交织的，要正确计数就需要一些智慧了．实质上，图形计数问题，往常采纳一种简单原始的计数方法－一列举法．详细而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证列举时无一重复、．无一遗漏，而后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培育同学们思想的有序性和优秀的学习习惯．二、典例解析：例（ 1）数出右图中总合有多少个角解析：在∠ AOB内有三条角分线 OC1、OC2、OC3，∠ AOB被这三条角分线分红 4 个基本角，那么∠ AOB内总合有多少个角呢？第一有这 4 个基本角，其次是包括有 2 个基本角构成的角有 3 个（即∠ AOC2、∠ C1OC3、∠ C2OB），而后是包括有 3 个基本角构成的角有 2 个（即∠ AOC3、∠C1OB），最后是包括有 4 个基本角构成的角有 1 个（即∠ AOB），因此∠ AOB内总合有角：4＋3＋2＋1＝10（个）解：4＋3＋ 2＋ 1＝10（个）答：图中总合有10 个角。
方法 2：用公式计算：边数×（边数—1）÷ 25 ×（ 5-1 ）÷ 2=10练一练：数一数右图中总合有多少个角？例（ 2 ）数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？解析：①要数多少条线段：先看线段 AB、AD、AE、AF、AC纵向线段，再看 BC、MN、 GH 这 3 条横向线段：（4×3÷2）×5+（5×4÷2）×3=60（条）②要数有多少个三角形，先看在△ ABC中，被 GH和 MN分红了三层，每一层的三角形同样多，因此只需算出一层三角形个数就能够了。
(5 ×4÷2)×3=30(个)答：在△ ABC中共有线段60 条，共有三角形30 个。
练一练：图中共有多少个三角形？例（ 3）数一数图中长方形的个数解析：长边线段有：6× 5÷ 2=15宽边线段有： 4 ×3÷2=6共有长方形： 15×6 = 90（个）答：共有长方形90 个。
图形计数及最短路线新
最短路线这一讲里，我们将会解决这个特殊的计数问题：最短路线问题。
怎样计数从A到B的最短路线的条数呢？我们将介绍一种非常巧妙的方法——对角线法（也叫标号法）。
一、长方形方格标号：【例1】咱们先做个游戏：在方格纸上任取一点A作为起点，再在A的右上方任取一点B 作为终点划一条由A到B的最短路线。
聪明的小朋友，你能划出来吗？总共能划出几条呢？分析：教师可提问如ACIHGFB是最短路线吗？为什么不是？如果要划从A到B的最短路线，那么从A点出发只能向上或向右（每一条都是横划2格竖划2格），可以是ACDEB、ACIEB、ACIFB、AHGFB、AHIEB、AHIFB这六条路线。
在上面这个游戏中，你是用什么方法找到从A到B的最短路线呢？如果A、B两点变成图1、2、3的位置，那么从A到B的最短路线有几条呢？分析：图1、2、3中从A到B的最短路线均为6条。
例2、按图中箭头所示的方向行走，从A点走到B点的不同路线共有多少条?AB421 1 1 1 11 14 422 3 4 52 5 9 145 14 28【分析】如下图，为了方便叙述，我们将某些点边标上字母， 按箭头所示，走1A 有一条路，到1B 有2种办法；再往下到2A 有从1A 走和2B 走两种方法，这样到2A 有3条路线；到2B 可从2A 、1B 走，有5种方法到2B ．过3A 可从2A 、2B 走，共有8条路线；到3B 可走3A 、2B ，这样共有13种走法；经过4A 可从3A 、3B 两条路走，有21种方法都到4B ；到达4B 可以走4A 和3B ，因而有34种路线到达4B ．这样由A 到B ，可经过4A 和4B 两个交叉点，共有34+21=55条路线 ，如图所示．因此，从A 点到B 点的不同路线共有55条．例3：动物园的门票1元1张，每人限购1张。
现在有10个小朋友排队买票，其中5个小朋友只有1元的钞票，另外5个小朋友只有2元的钞票.售票员没有准备零钱，问有多少种排队的方法能够使售票员找得开零钱？分析与解答：假设拿1元的5个小朋友无差别,拿2元的5个小朋友也无差别.用标数法求共有多少种排队方法.如图用横线表示拿1元的小朋友,用竖线表示拿2元的小朋友,从A 到B 只能向右或向上走(从任何一个持有2元钞票的小朋友向前看，持1元钞票的小朋友都要多一些),共有42种走法,即有42种排队方法.我们再考虑拿1元的小朋友有差别，共有 55P =5×4×3×2×1＝120（种）, 同理拿2元的小朋友有差别，共有 55P =5×4×3×2×1＝120（种）. 根据乘法原理排队方法共有42×120×120=604800（种）.二、不规则图形标号：【例4】下图是小明家和学校的示意图，你们觉得小明从家到学校一共有几条最短路线呢？分析：我们采用对角线法（如图），但本题图形有变化，，例如D点：从学校到C点有2种走法，再到D点最短路线的选择只能从C点走，所以从学校到D点有2 种走法。
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解：（4+3+2+1）×（3+2+1）=60 个
NO2. 数一数下图共有多少个正方形？ 解：4×7+3×6+2×5+1×4=60 个
NO3. 下图中,AB、CD、EF、MN 互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少？
解：梯形：（4+3+2+1）×（3+2+1）=60 个 三角形：（4+3+2+1）×4 =40 个 相差：20 个
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解：显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类，两类中三角形的个数相等．尖向上的三角形又可分为 6 类 （1）最大的三角形 1 个(即△ABC)， （2）第二大的三角形有 3 个 （3）第三大的三角形有 6 个 （4）第四大的三角形有 10 个 （5）第五大的三角形有 15 个 （6）最小的三角形有 24 个 所以尖向上的三角形共有 1+3+6+10+15+24=59（个）
NO8. 下图中共有____个正方形。
解：每个 4 4 正方形中有：边长为 1 的正方形有 42 个；边长为 2 的正方形有 32 个； 边长为 3 的正方形有 22 个；边长为 4 的正方形有12 个；总共有 42 32 22 12 30 (个)正方形．现有 5 个 4 4 的正方形，它们 重叠部分是 4 个 2 2 的正方形．因此，图中正方形的个数是 305 54 130 。
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图形计数
姓名：
日期：
【专项训练】
NO1. 下图中一共有多少个长方形？
NO2. 数一数下图共有多少个正方形？
NO3. 下图中,AB、CD、EF、MN 互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少？
NO4. 图中共有多少条线段？
O
A
B
C
D
E
F
M
N
A1
A2
A3
A4
…
A48
A49
A50
NO5. 如图所示，图中共有
NO9. 由 20 个边长为 1 的小正方形拼成一个 45 长方形中有一格有“☆”图中含有“☆”的所有长方形(含
正方形)共有
个，它们的面积总和是
。
☆
解：含☆的一行内所有可能的长方形有：(八种)
☆
☆
☆
☆
☆
☆
含☆的一列内所有可能的长方形有：(六种)
☆
☆
☆
☆
☆
☆
☆
☆
所以总共长方形有 68 48 个，面积总和为 (1 2 2 3 3 4 4 5) (1 2 2 3 3 4) 360 。 NO10. 图中共有多少个三角形？
NO4. 图中共有多少条线段？
O
A
B
C
D
E
F
M
N
A1
A2
A3
A4
…
A48
A49
A50
解：49+48+47+……+1=1225 条
NO5. 如图所示，图中共有
个三角形。
解： （3+2+1）×6-6=30 个（注：有 6 个重复的，所以减 6） 加上 2 个大三角：30+2=32 个
NO6. 把一个长方体分割如下图。这图中有多少个长方体（包括正方体）？多少个正方体？
＝66666600000－100000 ＝66666500000 2、 计算：
解：原式=1
1
1 3
1 3
1 6
1 6
1 10
1 45
1 55
1 55
3、甲、乙两队学生参加郊外夏令营，只有一辆车接送，坐不下。甲队学生坐车从学校出发的同 时，乙队学生开始步行，车到途中某处让甲队学生下车步行去营地，车立即返回接乙队学生并直 接开到营地，结果是两队学生同时到达。已知学生步行速度为 4 千米／小时，汽车载学生时的速 度为 40 千米／小时，空车速度为 50 千米／小时，那么甲队学生步行路程与全程的比是________。 解：两队学生同时出发同时到达，所以两队学生步行的时间相同，乘车的时间也相同。
123 被 123“吃掉”，但是 240 和 223 互相都不能被“吃掉”。现请你设计出 6 个三位数，它们
中的任何一个都不能被另外 5 个“吃掉”，并且它们的百位数字只允许取 1，2；十位数字只允许
取 1，2，3；个位数字只允许取 1，2，3，4，那么这 6 个三位数之和是
。
图形计数（答案）
【专项训练】
图中共有三角形 2×59=118（个）。
【实战训练】
1、 计算：55555×666667＋44445×666666－155555＝________。
解：原式＝55555×566666＋55555＋44445×666666－155555 ＝(55555＋44445)×666666－(155555－55555)
正方形)共有
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个，它们的面积总和是
。
☆
NO10. 图中共有多少个三角形？
【实战训练】 1、计算：55555×666667＋44445×666666－155555＝________。
2、计算：
3、甲、乙两队学生参加郊外夏令营，只有一辆车接送，坐不下。甲队学生坐车从学校出发的同 时，乙队学生开始步行，车到途中某处让甲队学生下车步行去营地，车立即返回接乙队学生并直
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接开到营地，结果是两队学生同时到达。已知学生步行速度为 4 千米／小时，汽车载学生时的速
度为 40 千米／小时，空车速度为 50 千米／小时，那么甲队学生步行路程与全程的比是
。
4、一个三位数，如果它的每一位数字都不超过另一个三位数对应数位上的数字，那么就称它被
另一个三位数“吃掉”。又规定“任何数都可以被它相同的数吃掉”。比如，241 被 342“吃掉”，
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解：（4+3+2+1）×（4+3+2+1）×（3+2+1）=600 个
NO7. 用小方块搭成的一个几何体，从不同的方向观察得到三视图如下图，试确定该几何体用了多少块小
方块．
主视图
左视图
13 2
1 俯视图
解：2 1 3 1=7(块) 最多：7 2 2 2=13(块) 最少：7 11 2=11(块)
解：符合题意的六个三位数只有 114，123，132，213，222，231，所以 114＋123＋132＋213＋ 2队学生从 A 处乘车到 B 处下车，此时乙队学生走到 C 处，汽车从 B 处返回， 在 D 处遇到乙队学生。
，
，
，
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因为甲队学生步行的路程与乙队相同，即长度等于 AD，所以甲队步行路程与全程的比为 l∶(6＋1)3＝1∶7。
4、一个三位数，如果它的每一位数字都不超过另一个三位数对应数位上的数字，那么就称它被 另一个三位数“吃掉”。又规定“任何数都可以被它相同的数吃掉”。比如，241 被 342“吃掉”， 123 被 123“吃掉”，但是 240 和 223 互相都不能被“吃掉”。现请你设计出 6 个三位数，它们 中的任何一个都不能被另外 5 个“吃掉”，并且它们的百位数字只允许取 1，2；十位数字只允许 取 1，2，3；个位数字只允许取 1，2，3，4，那么这 6 个三位数之和是________。
个三角形。
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NO6. 把一个长方体分割如下图。这图中有多少个长方体（包括正方体）？多少个正方体？
NO7. 用小方块搭成的一个几何体，从不同的方向观察得到三视图如下图，试确定该几何体用了多少块小 方块．
主视图
左视图
俯视图
NO8. 下图中共有____个正方形。
NO9. 由 20 个边长为 1 的小正方形拼成一个 45 长方形中有一格有“☆”图中含有“☆”的所有长方形(含