2019-2020学年 山西省忻州市第一中学北校 高一下学期4月月考数学试题(解析版)

2019-2020学年山西省忻州市第一中学北校高一下学期4月月考数学试题一、单选题1．下列角α位于第三象限的是（ ） A ．3α= B ．23πα=C ．210α=-︒D ．3α=-【答案】D【解析】根据第三象限角度的范围，结合选项，进行分析选择. 【详解】第三象限的角度范围是32,2,2k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭. 对A ：18033172απ⎛⎫==⨯︒≈︒ ⎪⎝⎭，是第二象限的角，故不满足题意； 对B ：23πα=是第二象限的角度，故不满足题意； 对C ：210α=-︒是第二象限的角度，故不满足题意； 对D ：18033172απ⎛⎫=-=-⨯︒≈-︒ ⎪⎝⎭，是第三象限的角度，满足题意. 故选：D. 【点睛】本题考查角度范围的判断，属基础题. 2．若2παπ<<，则点(cos ,sin )Q αα位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】由角在第二象限知，余弦小于零，正弦大于零，因此对点来说横坐标小于零纵坐标大于零，故可以确定点位于第二象限 【详解】2απ<<πQcos <0sin 0αα∴>，∴点Q 在第二象限. 故选:B .【点睛】本题考查三角函数值的符号,难度容易. 3．下列说法正确的是( ) A ．单位向量都相等B ．若a b ≠r r，则a b ≠r rC ．若a b r r ＝，则//a b r rD ．若a b ≠r r ，则a b ≠r r【答案】D【解析】根据向量的概念，向量的两个要素：大小和方向性，即可判断各选项. 【详解】对于A ，单位向量的大小都相等，但方向不一定相同，所以单位向量不一定都相等，所以A 错误；对于B ，两个向量不相等，可以大小相等，方向不同，因而当a b ≠r r时可能a b r r ＝，所以B 错误；对于C ，两个向量的模相等，但方向可以不同，因而当a b r r ＝时a r 和b r不一定平行，所以C 错误；对于D ，若两个向量的模不相等，则两个向量一定不相同，所以若a b ≠r r ，则a b ≠r r成立，所以D 正确.综上可知，D 为正确选项， 故选：D 【点睛】本题考查了向量的概念，向量的两个要素：大小和方向性，属于基础题. 4．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足：当[0,)x ∈+∞时，()2020x f x =，若()10.32(ln 3),0.2,3a f e b f c f -⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．<b a c <B ．<c b a <C ．<b c a <D ．<c a b <【答案】C【解析】根据()f x 是定义在R 上的偶函数，结合指数函数与对数函数的图像与性质化简,a c ，即可由[0,)x ∈+∞时，函数()f x 的单调性比较大小. 【详解】因为()f x 是定义在R 上的偶函数所以1233322c f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由对数的运算及对数函数的图像与性质可知ln31ln32e =+> 由指数函数的图像与性质可知0.300.21<< 因而0.300.ln 2332e <<< 当[0,)x ∈+∞时，()2020x f x =为递增函数所以()10.320.2(ln 3)3f f f e -⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即<b c a < 故选：C 【点睛】本题考查了偶函数的图像与性质，指数函数与对数函数图像与性质应用，中间值法比较大小，属于基础题.5．已知函数 f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0， ω＞0，0ϕ＜≤2π)的图象如下，则点(,)P ωϕ的坐标是( )A ．(13，6π) B ．(13，3π) C ．(3π，6π) D ．(3π，3π) 【答案】C【解析】由函数f （x ）的部分图象求得A 、T 、ω和φ的值即可． 【详解】由函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）的部分图象知，A ＝2，T ＝2×（4﹣1）＝6，∴ω23T ππ==， 又x ＝1时，y ＝2，∴3π+φ2π=+2k π，k ∈Z ； ∴φ6π=+2k π，k ∈Z ；又0＜φ2π≤，∴φ6π=，∴点P （3π，6π）．故选C ． 【点睛】已知函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式(1)max min maxmin,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ.6．平面上有三点A ，B ，C ，设m AB BC =+u r u u u r u u u r ，n AB BC =-r u u u r u u u r ，若m u r 与n r的长度恰好相等，则有( )A ．,,ABC 三点必在同一直线上 B ．ABC ∆必为等腰三角形且B Ð为顶角 C ．ABC ∆必为直角三角形且90B ∠=︒D ．ABC ∆必为等腰直角三角形 【答案】C【解析】根据向量的模相等及向量表示形式，平方后化简即可得0AB BC ⋅=u u u r u u u r，即可判断选项. 【详解】m AB BC =+u r u u u r u u u r ，n AB BC =-r u u u r u u u r ，若m u r 与n r的长度恰好相等即m n =u r r所以AB BC AB BC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r两边同时平方，展开可得222222AB AB BC BC AB AB BC BC +⋅+=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r即0AB BC ⋅=u u u r u u u r所以ABC ∆必为直角三角形且90B ∠=︒ 故选：C【点睛】本题考查了平面向量模的求法，平面向量数量积的定义，属于基础题.7．执行如图的程序框图，依次输入123451719202123x x x x x =====，，，，，则输出的S 值及其意义分别是（ ）A ．4S =，即5个数据的方差为4B ．4S =，即5个数据的标准差为4C ．20S =，即5个数据的方差为20D ．20S =，即5个数据的标准差为20 【答案】A【解析】根据程序框图，输出的S 是123451719202123x x x x x =====，，，，这5个数据的方差，先求这5个数的均值，然后代入方差公式计算即可． 【详解】根据程序框图，输出的S 是123451719202123x x x x x =====，，，，这5个数据的方差，∵15x =（17+19+20+21+23）＝20， ∴由方差的公式得S ＝15[（17﹣20）2+（19﹣20）2+（20﹣20）2+（21﹣20）2+（23﹣20）2]＝4． 故选：A ． 【点睛】本题通过程序框图考查了均值和方差，解决问题的关键是通过程序框图能得出这是一个求数据方差的问题，属于基础题．8．设函数sin()0,,22y x ππωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+>∈-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期为π，且其图象关于直线12x π=对称，则在下面结论中正确的个数是（ ）①图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称；②图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称； ③在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数；④在,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；⑤由()()120f x f x ==可得12x x -必是π的整数倍. A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】根据最小正周期及对称轴，可求得函数解析式，由正弦函数的图象与性质即可判断选项. 【详解】因为函数sin()0,,22y x ππωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+>∈-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期为π， 则22πωπ==，所以sin(2)y x ϕ=+ 函数图象关于直线12x π=对称，则2,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈则,3k k Z πϕπ=+∈因为,22ππϕ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以当0k =时得3πϕ=，即sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 由正弦函数的图像与性质可知，对称中心为2,3x k k Z ππ+=∈，解得,26k x k Z ππ=-∈ 当1k =时，,3x π=所以对称中心为,03π⎛⎫⎪⎝⎭，故②正确，①错误； 由正弦函数的图像与性质可知，当222,232k x k k πππ-+π≤+≤+π∈Z 时，函数单增， 解得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，当0k =时，单调递增区间为5,,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦因为5,,,3121212ππππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦⊆51212,,ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以④正确，③错误； 因为最小正周期为π，若()()120f x f x ==，可得12x x -必是2π的整数倍，所以⑤错误.综上可知，正确的为②④， 故选：C 【点睛】本题考查了函数解析式的求法，正弦函数图象与性质的综合应用，属于基础题. 9．如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y ，我们把1x叫做α的正割，记作sec α；把1y 叫做α的余割，记作csc α. 则22sec csc 33ππ÷= （ ）A 3B ．3C 3D ．3【答案】B【解析】分析：由题意结合新定义的知识整理计算即可求得最终结果.详解：由题意结合新定义的知识可得：1sec tan 1csc yx x xyαα===， 则2233sec csc ππ÷2tan 33π==-本题选择B 选项.点睛：本题主要考查三角函数的定义，三角函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．已知5sin()cos(2)sin 2()3cos()cos 2f ππαπαααππαα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭，则253f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．12-B ．12C． D【答案】B【解析】由已知利用诱导公式化简，代入即可求得. 【详解】()()5sin()cos(2)sin sin cos cos 2()cos 3cos sin cos()cos 2cos c 252513332os f f ππαπαααααααπααπααπππ⎛⎫--- ⎪⎝⎭===⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=⎪ ⎪--⎛ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎫--- ⎪⎝⎭∴⎭Q 故选：B . 【点睛】本题考查诱导公式的运用，三角函数求值，难度较易.11．平行四边形ABCD 中，若点,M N 满足BM MC =u u u u v u u u u v ，2DN NC =u u u v u u u v，设MN AB AD λμ=+u u u u v u u u v u u u v，则λμ-=（ ）A ．56B ．56-C ．16D ．16-【答案】B【解析】画出平行四边形ABCD ，在CD 上取点E ，使得13DE DC =u u u vu u uv ，在AB 上取点F ，使得23AF AB =u u u v u u u v，由图中几何关系可得到()11122223MN FD FA AD AB AD ⎛⎫==+=-+ ⎪⎝⎭u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，即可求出,λμ的值，进而可以得到答案． 【详解】画出平行四边形ABCD ，在CD 上取点E ，使得13DE DC =u u u v u u u v，在AB 上取点F ，使得23 AF AB=u u u v u uu v，则()11112112222332MN BE FD FA AD AB AD AB ADu u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v⎛⎫===+=-+=-+⎪⎝⎭，故13λ=-，12μ=，则56λμ-=-.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了平面向量基本定理的应用，考查了平行四边形的性质，属于中档题．12．已知函数()()22,12ln1,1xxf xx x⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩，若()()()223F x f x af x=-+的零点个数为4个时，实数a的取值范围为（）A．2657,333⎛⎤⎛⎫⎥ ⎪⎝∞⎦+⎭⎝U B．6373⎛⎫⎪⎪⎝⎭C．53,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．()265233,⎛⎤+∞⎥⎝⎦U【答案】A【解析】作出函数()f x的大致图象，令()f x t=，由图可知，当0t<时，()f x t=无解，当0t=时，()f x t=有一解，当01t<≤，或2t>时，()f x t=有两解，当12t<≤时，()f x t=有3解，由题意可得223t at-+=有两不相等的非零实根，设为1t，()212t t t<，则1201t t<<≤或122t t<<或101t<≤,22t>，再结合二次函数图象分类讨论即可得出结论．【详解】解：作出函数()f x的大致图象得，令()f x t =，由图可知， 当0t <时，()f x t =无解， 当0t =时，()f x t =有一解，当01t <≤，或2t >时，()f x t =有两解， 当12t <≤时，()f x t =有3解， ∵函数()()()223F xf x af x =-+有4个零点， ∴2203t at -+=有两不相等的非零实根，设为1t ，()212t t t <， 则1201t t <<≤或122t t <<或101t <≤,22t >， 令()223g t t at =-+，()3002g =>，①当1201t t <<≤时，由图可知()100120g a ⎧≥⎪⎪<<⎨⎪∆>⎪⎩，即22103012803a a a ⎧-+≥⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪->⎪⎩2653a <≤；②当122t t <<时，由图可知()2022ga⎧>⎪⎪>⎨⎪∆>⎪⎩，即2242032283aaa⎧-+≥⎪⎪⎪>⎨⎪⎪->⎪⎩，无解；③当101t<≤，22t>时，由图可知()()1020gg⎧≤⎪<⎨⎪∆>⎩，即221032420383aaa⎧-+≤⎪⎪⎪-+<⎨⎪⎪->⎪⎩，解得73a>，综上：2657,,33a⎛⎤⎛⎫∈⋃+∞⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，故选：A．【点睛】本题主要考查复合函数的零点问题，二次方程根的分布问题，数形结合思想的应用，属于难题．二、填空题13．向量,a brr在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则以向量,a b rr为邻边的平行四边形的面积是_________.【答案】3【解析】将向量平移至相同的起点，写出向量对应的坐标，计算向量的夹角，从而求得面积.根据题意，将两个向量平移至相同的起点，以起点为原点建立坐标系如下所示：则()()2,1,1,2a b ==r r，故4,?555a b cos a b a b⋅===⨯r r r rr r. 又两向量的夹角为锐角，故3,?5sin a b =r r ，则该平行四边形的面积为3,?5535S a b sin a b ==⨯⨯=r rr r . 故答案为：3. 【点睛】本题考查用向量解决几何问题的能力，涉及向量坐标的求解，夹角的求解，属基础题. 14．函数的定义域为________.【答案】【解析】解不等式即可得定义域.【详解】解:要使函数有意义,则必有,即.结合正弦曲线或单位圆,如图所示,可知当时,.(1) (2) 故函数的定义域为.故答案为:.本题考查函数定义域，是基础题.15．已知函数()2()log 28a f x x ax =-+在区间[1,2]上是减函数，则实数a 的取值范围是_____.【答案】()[)0,12,3⋃【解析】根据复合函数单调性的性质，结合二次函数单调性与对数定义域要求，分类讨论01a <<与1a >两种情况，即可求得a 的取值范围. 【详解】函数()2()log 28a f x x ax =-+，所以0a >且1a ≠， 令()228t x a a =-+-，则()log a f t t =当01a <<时，因为函数()log a f t t =在()0,∞+内单调递减，而函数()f x 在区间[1,2]上是减函数，由复合函数单调性的性质可知，()228t x a a =-+-在区间[1,2]上是增函数，由二次函数对称轴及单调性可得1a <.且满足对数函数定义域要求，即()11280t a =-+>，解得92a <，所以由以上可得01a <<； 当1a >时，因为函数()log a f t t =在()0,∞+内单调递增，而函数()f x 在区间[1,2]上是减函数，由复合函数单调性的性质可知，()228t x a a =-+-在区间[1,2]上是减函数，由二次函数对称轴及单调性可得2a ≥.且满足对数函数定义域要求，即()24480t a =-+>，解得3a <，所以由以上可得23a ≤<.综上可知，a 的取值范围为()[)0,12,3⋃. 故答案为：()[)0,12,3⋃. 【点睛】本题考查了复合函数单调性性质应用，对数函数定义域要求，二次函数的对称性及单调性，分类讨论思想的综合应用，属于中档题. 16．若1cos sin 4x y +=，则2sin sin x y -的取值范围是_____. 【答案】9,116⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】根据等式，结合三角函数的值域，可求得3cos 14x -≤≤.由同角三角函数式化简所求整式，即可由二次函数性质求得值域. 【详解】因为1cos sin 4x y += 则1sin cos 4y x =- 因为1sin 1y -≤≤所以11cos 141cos 1x x ⎧-≤-≤⎪⎨⎪-≤≤⎩，解得3cos 14x -≤≤ 所以由同角三角函数关系式，并代入1sin cos 4y x =-化简可得 2sin sin x y -211cos cos 4x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭221cos 1x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，3cos 14x -≤≤所以当3cos 4x =-时，2sin sin x y -取得最小值为916-；当1cos 2x =时，2sin sin x y -取得最大值为1； 综上可知，2sin sin x y -的取值范围为9,116⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为：9,116⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了三角函数的值域应用，二次型余弦函数的值域求法，同角三角函数关系式的应用，属于基础题.三、解答题17．已知sin 2cos 0θθ-=.（1）若0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin θ、cos θ及tan θ的值；（2）求21cos 2sin cos θθθ+的值. 【答案】(1)255cos si tan 255n =θθθ==，，;(2)1 . 【解析】（1）根据同角三角函数关系求解出sin θ、cos θ及tan θ的值；（2）利用同角三角函数的基本关系化简，即可求出. 【详解】（1）sin 2cos 0tan 2θθθ-=∴=Q 又因为22sin cos 1θθ+=，25cos =021,πθθ⎛⎫∈∴ ⎪⎝⎭Qs 525cos .in =θθ∴=， (2) 222221sin +cos tan +141==1cos 2sin cos cos 2sin cos 12tan 14θθθθθθθθθθ+==++++ 【点睛】本题考查同角三角函数基本关系的运用,难度较易. 18．如图，已知ABC ∆中，D 为BC 的中点，12AE EC =，AD BE ，交于点F ，设AC a =u u u r r ，AD b =u u u r r．（1）用,a b r r 分别表示向量AB u u u r ，EB u u u r；（2）若AF t AD =u u u r u u u r，求实数t 的值．【答案】（1）2AB b a =-u u r r u r ，423EB a b -+=u u u r rr ；（2）12t =．【解析】（1）根据向量线性运算，结合线段关系，即可用,a b r r 分别表示向量AB u u u r ，EB u u u r；（2）用,a b r r 分别表示向量FB u u u r ，EB u u ur ，由平面向量共线基本定理，即可求得t 的值.【详解】（1）由题意，D 为BC 的中点，12AE EC =，可得13AE AC =u u u r u u u r ，AC a =u u u r r ，AD b =u u u r r ．∵2AB AC AD +=u u u r u u u r u u u r ，∴2AB b a =-u u r r u r， ∴–EB AB AE =u u u r u u u r u u u r123b a a =--r r r423a b =-+rr（2）∵AD A tb F t ==u u u u r u u r r， ∴–FB AB AF =u u u r u u u r u u u r()2a t b =-+-r r∵423EB a b -+=u u u r r r ，FB u u u r ，EB u u u r 共线，由平面向量共线基本定理可知满足12423t --=-，解得12t =． 【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量共线基本定理的应用，属于基础题. 19．半期考试后，班长小王统计了50名同学的数学成绩，绘制频率分布直方图如图所示．()1根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学平均成绩；()2用分层抽样的方法从成绩低于115的同学中抽取6名，再在抽取的这6名同学中任选2名，求这两名同学数学成绩均在[)105,115中的概率．【答案】（1）123.6（2）23【解析】⑴用频率分布直方图中的每一组数据的平均数乘以对应的概率并求和即可得出结果；⑵首先可通过分层抽样确定6人中在[)95105，分数段以及[)105115，分数段中的人数，然后分别写出所有的基本事件以及满足题意中“两名同学数学成绩均在[)105115，中”的基本事件，最后两者相除，即可得出结果． 【详解】⑴由频率分布表，估计这50名同学的数学平均成绩为：()101000.0041100.0201200.0281300.0321400.016123.6x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；⑵由频率分布直方图可知分数低于115分的同学有()100.004100.025012⨯+⨯⨯=人，则用分层抽样抽取6人中，分数在[)95105，有1人，用a 表示， 分数在[)105115，中的有5人，用1b 、2b 、3b 、4b 、5b 表示， 则基本事件有()1,a b 、()2,a b 、()3,a b 、()4,a b 、()5,a b 、()12,b b 、()13,b b 、()14,b b 、()15,b b 、()23,b b 、()24,b b 、()25,b b 、()34,b b 、()35,b b 、()45,b b ，共15个，满足条件的基本事件为()12,b b 、()13,b b 、()14,b b 、()15,b b 、()23,b b 、()24,b b 、()25,b b 、()34,b b 、()35,b b 、()45,b b ，共10个，所以这两名同学分数均在[)105115，中的概率为102153P ==． 【点睛】本题考查了频率分布直方图以及古典概型的相关性质，解决本题的关键是对频率分布直方图的理解以及对古典概型概率的计算公式的使用，考查推理能力，是简单题．20．已知函数()62f x sin x ⎛⎫- ⎝π=-⎪⎭，将函数()f x 的图象纵坐标不变，横坐标缩短原来的一半，再向左平移6π个单位，再向上平移2个单位，得到函数()g x 的图象.（1）求函数()g x 的解析式； （2）求函数()g x 在,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【答案】（1）()26g x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）1，12-. 【解析】（1）根据函数图像平移伸缩变换，即可求得函数()g x 的解析式； （2）根据自变量的范围，结合正弦函数的图像与性质，即可求得函数()g x 在,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的的最大值和最小值. 【详解】（1）函数()6sin 2f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭π，将函数()f x 的图象纵坐标不变，横坐标缩短原来的一半，再向左平移6π个单位，再向上平移2个单位，可得()sin 22266g x x ππ⎡⎤⎛⎫=+--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 化简得()sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）∵122x ππ≤≤，可得72366x πππ≤+≤， ∴1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭. 当6x π=时，函数()g x 有最大值1； 当2x π=时，函数()g x 有最小值12-【点睛】本题考查了三角函数图像平移变换及应用，正弦函数图像与性质的应用，属于基础题. 21．已知函数()Asin()A 0,0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求函数()y f x =的解析式； （2）当,124x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，不等式|()|1f x m -≤有解，求实数m 的取值范围. 【答案】(1) ()2sin(2)3f x x π=+;(2) 03m ≤≤【解析】（1）利用函数的图像得A ，T ，可求出ω得值，代入点(,0)6π-可得函数()y f x =的解析式；（2）当,124x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，可得()f x 得取值范围，将|()|1f x m -≤化简列出不等式组可得实数m 的取值范围. 【详解】解：(1)由函数图像可得：2A =,41264T πππ=+=,T π=, 由2T ππω==，0>ω，可得=2ω，所以()2sin(2)f x x ϕ=+(||2ϕπ<), 代入点(,0)6π-，可得02sin[2()]6πϕ=⨯-+，可得3πϕ=，故()2sin(2)3f x x π=+；(2) 当,124x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,52,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦, []()1,2f x ∈,由不等式|()|1f x m -≤有解，可得1()1f x m -≤-≤，1()1m f x m -+≤≤+，由[]()1,2f x ∈，可得1112m m +≥⎧⎨-+≤⎩，可得03m ≤≤， 实数m 的取值范围为：03m ≤≤. 【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求法及利用三角函数的性质求参数，考查计算能力，转化思想.22．已知函数24,02()(2)2,2x x f x x x a x a x ⎧-<≤⎪=⎨⎪-++->⎩，其中a 为实数．（1）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求a 的取值范围．（2）若7a <，满足不等式()0f x a ->成立的正整数解有且仅有一个，求a 的取值范围．【答案】（1）2a ≤（2）03a ≤<【解析】（1）分析当02x <≤时的单调性，可得2x >的单调性，由二次函数的单调性，可得a 的范围；（2）分别讨论当0a <，当02a ≤≤时，当23a <<时，当37a ≤<，结合函数的单调性和最值，即可得到所求范围． 【详解】（1）由题意，当02x <≤时，4()f x x x=-为减函数， 当2x >时，()()222f x x a x a =-++-，若2a ≤时，()()222f x x a x a =-++-也为减函数，且()()20f x f <=，此时函数()f x 为定义域上的减函数，满足条件； 若2a >时，()()222f x x a x a =-++-在22,2a +⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则不满足条件． 综上所述，2a ≤．（2）由函数的解析式，可得()()13, 20f f ==， 当0a <时，()()20, 13f a f a =>=>，不满足条件；当02a ≤≤时，()f x 为定义域上的减函数，仅有()13f a =>成立，满足条件； 当23a <<时，在02x <≤上，仅有()13f a =>，对于2x >上，()f x 的最大值为22(2)1244a a f a +-⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭， 不存在x 满足()0f x a ->，满足条件；当37a ≤<时，在02x <≤上，不存在整数x 满足()0f x a ->，第 21 页 共 21 页 对于2x >上，22(2)(4)123444a a a ----=<-， 不存在x 满足()0f x a ->，不满足条件；综上所述，03a ≤<．【点睛】本题主要考查了分段函数的运用，以及函数的单调性的判断和不等式有解问题，其中解答中熟练应用函数的单调性，以及把函数的有解问题转化为函数的最值问题是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档题．。