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高三数学专题总复习
高考数学复习专题专题一会合、逻辑与不等式会合看法及其基本理论，是近代数学最基本的内容之一，会合的语言、思想、看法浸透于中学数学内容的各个分支．有关简略逻辑的知识与原理一直贯串于数学的剖析、推理与计算之中，学习对于逻辑的有关知识，能够使我们对数学的有关看法理解更透辟，表达更准确．不等式是高中数学的重点内容之一，是工具性很强的一部分内容，解不等式、不等式的性质等都有很重要的应用．关注本专题内容在其余各专题中的应用是学习这一专题内容时要注意的．§1－1集合【知识重点】1．会合中的元素拥有确立性、互异性、无序性．2．会合常用的两种表示方法：列举法和描绘法，此外还有大写字母表示法，图示法 ( 韦恩图 ) ，一些数集也能够用区间的形式表示．3．两类不一样的关系：(1)附属关系——元素与会合间的关系；(2)包含关系——两个会合间的关系 ( 相等是包含关系的特别情况) ．4．会合的三种运算：交集、并集、补集．【复习要求】1．对于给定的会合能认识它表示什么会合．在中学常有的会合有两类：数集和点集．2．能正确划分和表示元素与会合，会合与会合两类不一样的关系．3．掌握会合的交、并、补运算．能使用韦恩图表达会合的关系及运算．4．把会合作为工具正确地表示函数的定义域、值域、方程与不等式的解集等．【例题剖析】例 1给出以下六个关系：(1)0 ∈N*(2)0{ －1，1}(3)∈{0}(4){0}(5){0}∈{0 ，1}(6){0}{0}此中正确的关系是 ______．解答： (2)(4)(6)【评析】 1．熟习会合的常用符号：不含任何元素的会合叫做空集，记作；N表示自然数集； N＋或 N*表示正整数集； Z 表示整数集；Q表示有理数集； R表示实数集．2．明确元素与会合的关系及符号表示：假如a是会合A的元素，记作： a∈A；假如 a 不是会合 A 的元素，记作： a A．3．明确会合与会合的关系及符号表示：假如会合 A 中随意一个元素都是会合 B 的元素，那么会合A叫做会合 B的子集．记作： A B 或B A．假如会合 A 是会合 B 的子集，且 B 中起码有一个元素不属于 A，那么，会合 A 叫做会合 B 的真子集． A B 或 B A．4．子集的性质：①任何会合都是它自己的子集： A A；②空集是任何会合的子集：A；提示：空集是任何非空会合的真子集．③传达性：假如 A B，B C，则 A C；假如 A B，B C，则 A C．例 2已知全集U＝{小于10的正整数}，其子集A，B知足条件( U A) ∩( U B) ＝{1 ，9} ，A∩B＝{2} ，B∩( U A) ＝{4 ，6，8} ．求会合A，B．解：依据已知条件，获得如图1－1 所示的韦恩图，图 1－1于是，韦恩图中的暗影部分应填数字3，5，7．故 A＝{2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．【评析】 1、明确会合之间的运算对于两个给定的会合 A、B，由既属于 A 又属于 B 的全部元素构成的会合叫做 A、B 的交集．记作： A∩B．对于两个给定的会合A、B，把它们全部的元素并在一同组成的会合叫做 A、B 的并集．记作： A∪B．假如会合 A 是全集 U的一个子集，由 U中不属于 A 的全部元素组成的会合叫做 A 在 U中的补集．记作U A．2、会合的交、并、补运算事实上是较为复杂的“且”、“或”、“非”的逻辑关系运算，而韦恩图能够将这种复杂的逻辑关系直观化，是解决会合运算问题的一个很好的工具，要习惯使用它解决问题，要存心识的利用它解决问题．例 3设会合M＝{x｜－1≤x＜2}，N＝{x｜x＜a}．若M∩N＝，则实数 a 的取值范围是 ______．答： ( －∞，－ 1] ．【评析】本题能够经过数轴进行剖析， 要特别注意当 a 变化时是否能够取到区间端点的值． 象韦恩图相同， 数轴相同是解决会合运算问题的一个特别好的工具．例 4 设 a ，b ∈R ，会合 { 1, a, }{ 0, b, b} ，则－＝．b aab a______【剖析】 因为 {1,a b,a}{ 0, b, b} ，所以 a ＋b ＝0 或 a ＝0( 舍去，a不然 b没存心义 ) ，a所以， a ＋b ＝0， ba＝－ 1，所以－ 1∈{1 ，a ＋b ，a } ，a ＝－ 1，联合 a ＋b ＝0，b ＝1，所以 b －a ＝2．练习 1－1一、选择题1．给出以下关系： ①1R ；② 2Q ；③｜－ 3｜ N * ；④|3 | Q ．其2中正确命题的个数是 ()(A)1 (B)2(C)3(D)42．以下各式中， A 与 B 表示同一会合的是 ()(A) A ＝{(1 ，2)} ，B ＝{(2 ，1)}(B) A ＝{1 ，2} ，B ＝{2 ，1}( C ) A ＝{0} ，B ＝(D) A ＝ { y ｜ y ＝x 2＋1} ，B ＝{ x ｜y ＝x 2＋1}3．已知 M ＝{( x ，y ) ｜x ＞0 且 y ＞0} ，N ＝{( x ，y ) ｜xy ＞0} ，则 M ，N的关系是 ( )(A) M N (B) N M (C) M ＝N(D) M ∩N ＝4．已知全集U＝N，会合 A＝{ x｜x＝2n，n∈N}，B＝{ x｜x＝4n，n ∈N} ，则下式中正确的关系是( )(A) U＝A∪B(B) U＝( U A) ∪B(C) U＝A∪( U B) (D) U＝ (U A)∪( U B)二、填空题5．已知会合A＝{ x｜x＜－ 1 或 2≤x＜3} ，B＝{ x｜－2≤x＜4} ，则A ∪B＝______．6．设M＝{1 ，2} ，N＝{1 ，2，3} ，P＝ { c｜c＝a＋b，a∈M，b∈N} ，则会合 P 中元素的个数为______．7．设全集U＝R，A＝{ x｜x≤－ 3 或x≥2} ，B＝{ x｜－ 1＜x＜5} ，则(U A)∩B＝______.8．设会合S＝{ a0，a1，a2，a3}，在S 上定义运算为： a i a j＝a k，此中k为i＋j被4除的余数，i，j ＝0，1，2，3．则a2a3＝______；知足关系式( x x)a2＝a0的x( x∈S)的个数为______．三、解答题9．设会合A＝{1 ，2} ，B＝{1 ，2，3} ，C＝{2 ，3，4} ，求( A∩B) ∪C．10．设全集U＝{ 小于 10 的自然数 } ，会合A，B知足A∩B＝{2} ，( U A) ∩ B＝{4，6，8}，(U A)∩(U B)＝{1，9}，求会合 A和 B．11．已知会合A＝{ x｜－ 2≤x≤4} ，B＝{ x｜x＞a} ，①A∩B≠，务实数 a 的取值范围；② A∩B≠A，务实数 a 的取值范围；③ A∩B≠，且 A∩B≠A，务实数 a 的取值范围．§ 1－ 2常用逻辑用语【知识重点】1．命题是能够判断真假的语句．2．逻辑联络词有“或”“且”“非”．不含逻辑联络词的命题叫简单命题，由简单命题和逻辑联络词组成的命题叫做复合命题．能够利用真值表判断复合命题的真假．3．命题的四种形式原命题：若 p 则 q．抗命题：若 q 则 p．否命题：若p，则q．逆否命题：若q，则p．注意差别“命题的否认”与“否命题”这两个不一样的看法．原命题与逆否命题、抗命题与否命题是等价关系．4．充要条件假如p q，则p 叫做q 的充足条件，q 叫做p 的必需条件．假如p q且q p，即q p则p叫做q的充要条件，同时，q 也叫做 p 的充要条件．5．全称量词与存在量词【复习要求】1．理解命题的看法．认识“若p，则 q”形式的命题的抗命题、否命题与逆否命题，会剖析四种命题的互相关系．理解必需条件、充分条件与充要条件的意义．2．认识逻辑联络词“或”、“且”、“非”的含义．3．理解全称量词与存在量词的意义．能正确地对含有一个量词的命题进行否认．【例题剖析】例 1 分别写出由以下命题组成的“p∨q”“p∧q”“p”形式的复合命题，并判断它们的真假．(1)p：0∈N，q：1 N；(2)p：平行四边形的对角线相等， q：平行四边形的对角线互相均分．解： (1) p∨q：0∈N，或 1 N；p∧q：0∈N，且1N；p：0N．因为p 真， q 假，所以p∨q 为真， p∧q 为假，p 为假．(2) p∨q：平行四边形的对角线相等或互相均分．p∧q：平行四边形的对角线相等且互相均分．p：存在平行四边形对角线不相等．因为p 假， q 真，所以p∨q 为真， p∧q 为假，p 为真．【评析】判断复合命题的真假能够借助真值表．例 2分别写出以下命题的抗命题、否命题和逆否命题，并判断其真假．(1)若 a2＋b2＝0，则 ab＝0；(2)若 A∩B＝A，则 A B．解： (1) 抗命题：若ab＝0，则a2＋b2＝0；是假命题．22否命题：若 a ＋b ≠0，则 ab≠0；是假命题．22逆否命题：若 ab≠0，则 a ＋b ≠0；是真命题．(2)抗命题：若 A B，则 A∩B＝A；是真命题．否命题：若 A∩B≠A，则 A不是 B 的真子集；是真命题．逆否命题：若 A 不是 B 的真子集，则 A∩B≠A．是假命题．评论：原命题与逆否命题互为逆否命题，同真同假；抗命题与逆否命题也是互为逆否命题．例 3指出以下语句中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．(1)p：( x－2)( x－3)＝0；q：x＝2；(2)p：a≥2；q：a≠0．【剖析】由定义知，若 p q 且 q p，则 p 是 q 的充足不用要条件；若 p q 且q p，则p 是q 的必需不充足条件；若 p q 且q p，p与q互为充要条件．于是可得(1) 中p是q的必需不充足条件；q是p的充足不用要条件．(2)中 p 是 q 的充足不用要条件； q 是 p 的必需不充足条件．【评析】判断充足条件和必需条件，第一要搞清楚哪个是条件哪个是结论，剩下的问题就是判断p 与 q 之间谁能推出谁了．例 4 设会合M＝{ x｜x＞2} ，N＝{ x｜x＜3} ，那么“x∈M或x ∈N”是“ x∈M∩N”的( )(A) 充足非必需条件(B) 必需非充足条件( C) 充要条件(D) 非充足条件也非必需条件解：条件 p：x∈M或 x∈N，即为 x∈R；条件 q：x∈M∩N，即为{ x∈R｜2＜x＜3} ．又 R { x∈R｜2＜x＜3} ，且 { x∈R｜2＜x＜3}R，所以p是q的必需非充足条件，选B．【评析】当条件 p 和 q 以会合的形式表现时，可用下边的方法判断充足性与必需性：设知足条件p 的元素组成会合 A，知足条件 q 的元素组成会合B，若 A B 且 B A，则 p 是 q 的充足非必需条件；若A B 且 B A，则 p 是 q 的必需非充足条件；若A＝B，则 p 与 q 互为充要条件．例 5命题“对随意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否认是()(A) 不存在x∈R，x3－x2＋1≤0，(B) 存在x∈R，x3－x2＋1≤0( C) 存在x∈R，x3－x2＋1＞0(D) 对随意的x∈R，x3－x2＋1＞0【剖析】这是一个全称命题，它的否认是一个特称命题．其否认为“存在 x∈R，x3－x2＋1＞0．”答：选 C．【评析】注意全 ( 特) 称命题的否认是将全称量词改为存在量词( 或将存在量词改为全称量词) ，并把结论否认．练习 1－2一、选择题1．以下四个命题中的真命题为( )(A)x∈Z，1＜4x＜3(B)x∈Z，3x－1＝0( C)x∈R，x2－1＝0(D)x∈R，x2＋2x＋2＞02．假如“p 或q”与“非p”都是真命题，那么()(A) q必定是真命题(B) q不必定是真命题( C) p不必定是假命题(D) p与q 的真假相同3．已知a 为正数，则“a＞b”是“ b 为负数”的()(A) 充足不用要条件(B) 必需不充足条件( C) 充要条件(D) 既不充足也不用要条件4．“A是B的子集” 能够用以下数学语言表达：“若对随意的x∈A x ∈B，则称 A B”．那么“ A 不是 B 的子集”可用数学语言表达为( )(A)若 x∈A 但 x B，则称 A 不是 B 的子集(B)若 x∈A 但 x B，则称 A 不是 B 的子集(C)若 x A 但 x∈B，则称 A 不是 B 的子集(D)若 x A 但 x∈B，则称 A 不是 B 的子集二、填空题5．“p 是真命题” 是“p∨q 是假命题的”__________________条件．6．命题“若x＜－ 1，则｜x｜＞ 1”的逆否命题为 _________．7．已知会合A，B是全集U的子集，则“A B”是“U B U A”的______条件．8．设A、B为两个会合，以下四个命题：①A B对随意x∈A，有x B② A B A∩B＝③A B A B④ A B存在x∈A，使得x B此中真命题的序号是 ______．( 把切合要求的命题序号都填上)三、解答题9．判断以下命题是全称命题仍是特称命题并判断其真假：(1)指数函数都是单一函数；(2)起码有一个整数，它既能被 2 整除又能被 5 整除；(3)x∈{ x｜x∈Z}，log2x＞0；(4)x R, x2x 10. 410．已知实数a，b∈R．试写出命题：“a2＋b2＝0，则ab＝0”的抗命题，否命题，逆否命题，并判断四个命题的真假，说明判断的原由．§ 1－3不等式(含推理与证明)【知识重点】1．不等式的性质．(1)假如 a＞b，那么 b＜a；(2)假如 a＞b，且 b＞c，那么 a＞ c；(3)假如 a＞b，那么 a＋c＞b＋c(假如 a＋c＞b，那么 a＞b－c)；(4)假如 a＞b，c＞d，那么 a＋c＞b＋d；(5)假如 a＞b，c＞0，那么 ac＞bc；假如 a＞b，c＜0，那么 ac＜b c；(6)假如 a＞b＞0，c＞d＞0，那么 ac＞bd；(7)假如 a＞b＞0，那么 a n＞b n( n∈N＋，n＞1)；(8) 假如＞＞0，那么n a n b x n；a b(N ,1)2．进行不等式关系判断经常用到的实数的性质：若 a∈R，则a20;| a | 0. a 0(a R ) ．3．会解一元一次不等式，一元二次不等式，简单的分式不等式、绝对值不等式．简单的含参数的不等式．4．均值定理：假如a、b∈R＋，那么a b ab.当且仅当a＝b 时，2式中等号建立．其余常用的基本不等式：假如a、b∈R，那么 a2＋b2≥2ab，( a －b)2≥0．假如 a、b 同号，那么b a2.a b5．合情推理之概括推理与类比推理；演绎推理；综合法、剖析法与反证法．【复习要求】1．运用不等式的性质解决以下几类问题：(1)依据给定的条件，判断给出的不等式可否建立；(2)利用不等式的性质，实数的性质以及函数的有关性质判断实数值的大小关系；(3)利用不等式的性质等判断不等式变换中条件与结论间的充足必需关系．2．娴熟掌握一元一次不等式，一元二次不等式、简单的分式不等式、绝对值不等式的解法．并会解简单的含参数的不等式．3．认识合情推理和演绎推理的含义，能利用概括和类比等进行简单的推理．认识演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．能较为灵巧的运用综合法、剖析法与反证法证明数学识题．娴熟运用比较法比较数与式之间的大小关系．比较法：常有“作差比较法”和“作商比较法”；综合法：从已知推致使结果的思想方法；剖析法：从结果追忆到产生这一结果的原由的思想方法；反证法：由证明 p q 转向证明q r t ，而 t 与假定矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判断q 为假，从而推出q 为真的方法，叫做反证法．一般来讲，由剖析法获得的证明思路常常用综合法的方式来书写．【例题剖析】例 1若a＞b＞c，则必定建立的不等式是( )A．a｜c｜＞b｜c｜－｜ c｜D．B．ab＞ac C．a－｜c｜＞b1 11a b c【剖析】对于选项 A．当c＝0 时，a｜c｜＞b｜c｜不建立．对于选项 B．当a＜0 时，ab＞ac不建立．对于选项 C．因为a＞b，依据不等式的性质a－｜ c｜＞ b－｜ c｜，正确．对于选项 D．当a＞b＞0＞c时，111不建立．所以，选 C．a b c例 2a，b∈R，以下命题中的真命题是( )A．若a＞b，则｜a｜＞｜b｜B．若a＞b，则11 a bC．若a＞b，则a3＞b3D．若a＞b，则a1b【剖析】对于选项 A．当a＝－ 1，b＝－ 2 时，｜a｜＞｜b｜不建立．对于选项B．当a＞0，b＜0时，11不建立．a b对于选项 C．因为a＞b，依据不等式的性质a3＞b3，正确．对于选项D．当b＜0时，a1不建立．所以，选C．b【评析】判断不等关系的正误，其一要掌握判断的依照，依照有关的理论判断，切忌仅凭感觉进行判断；其二要掌握判断的方法．判断不等式的理论依照参看本节的知识重点，此外，后边专题讲到的函数的有关知识特别是函数的单一性也是解决不等式问题的特别重要的方法．判断一个不等式是正确的，就应当给出一个合理的证明( 或说明) ，就像例 1、例 2 对正确的选项判断那样．判断一个不等式是不正确的，应举出反例．例 3解以下不等式：(1)x2－x－1＞0；(2) x2－3x＋2＞0；(3)2 x2－3x＋1≤0；(4)x10; (5)｜2x－1｜＜3；(6)2x 1 1.x2x 2解：(1) 方程x2－x－1＝0 的两个根是x1, x2 1 5联合函数 y＝x22－ x －1的图象，可得不等式x2－ x －1＞0的解集为{ x | x15或 x 1 5}. 22(2)不等式 x2－3x＋2＞0等价于( x－1)( x－2)＞0，易知方程 ( x－1)( x－2) ＝0 的两个根为x1＝1，x2＝2，联合函数 y＝x2－3x＋2的图象，可得不等式 x2－3x＋2＞0的解集为 { x｜x＜1 或x＞2} ．(3)不等式 2x2－3x＋1≤0 等价于 (2 x－1)( x－1) ≤0，以下同 (2) 的解法，可得不等式的解集为11}.{ x |x(4) x120 等价于(x－1)(x－2)＞0，以下同(2)的解法，可得不x2等式的解集为 { x｜x＜1 或x＞2} ．(5)不等式｜ 2x－1｜＜ 3 等价于－ 3＜2x－1＜3，所以－ 2＜ 2x＜4，即－ 1＜x＜2，所以不等式｜ 2x－1｜＜ 3 的解集为 { x｜－ 1≤x＜2} ．(6) 不等式2x11能够整理为x10, x2x2x10, 等价于x10或x 10. 以下同(4)的解法，可得不等式x2x2x 2的解集为 { x｜－ 1≤x＜2} ．【评析】一元一次不等式、一元二次不等式的解法要娴熟掌握．其他不等式的解法合适掌握．1．利用不等式的性质能够解一元一次不等式．2．解一元二次不等式要注意函数、方程、不等式三者之间的联系，经过研究与一元二次不等式相对应的一元二次方程的根的状况、从而联合相应的二次函数的图象便可以解决一元二次不等式解集的问题了．所以，解一元二次不等式的步骤为：计算二次不等式相应的方程的鉴别式；求出相应的一元二次方程的根( 或依据鉴别式说明无根 ) ；画出相应的二次函数的简图；依据简图写出二次不等式的解集．3、不等式xa0 与(x－a)(x－b)＞0同解；不等式xa0 与(x x b x b－a)( x－b)＜0同解；4*、不等式｜f ( x) ｜＜c与－c＜f ( x) ＜c同解；不等式｜f ( x) ｜＞c与“ f ( x)＞c 或 f ( x)＜－ c”同解．在解简单的分式不等式时要注意细节，比如 (5) 题对于“≤”号的办理．例 4解以下对于x的不等式；(1)ax＋3＜2；(2) x2－6ax＋5a2≤0．解： (1) 由ax＋3＜2 得ax＜－ 1，当 a＝0时，不等式解集为；当 a＞0时，不等式解集为 { x | x 1} ；a当 a＜0时，不等式解集为 { x | x 1} ．a(2)x2－6ax＋5a2≤0等价于不等式( x－a)( x－5a)≤0，当 a＝0时，不等式解集为{ x｜x＝0}；当 a＞0时，不等式解集为{ x｜a≤x≤5a}；当 a＜0时，不等式解集为{ x｜5a≤x≤a}．【评析】含参数的不等式的解法与不含参数的不等式的解法、步骤是完整一致的．要注意的是，当进行到某一步骤拥有不确立性时，需要进行分类议论．如 (2) 的解决过程中，当解出方程 ( x－a)( x－5a) ＝0 的两根为x1＝a，x2＝5a 以后，需要画出二次函数 y＝x2－6ax＋5a2的草图，这时两根 a 与5a 的大小不定，需要议论，当分a＝0，a＞0，a＜0三种情况以后，便可以在各自状况下确立 a 与5 a 的大小，画出二次函数 y ＝x2－6ax＋5a2的草图写出解集了．例 5 已知a＞b＞0，c＜d＜0，m＜0．求证：m ma cb d证明：方法一 ( 作差比较 )由已知 b－a＜0，c－d＜0，又 m＜0，所以 m[( b－a)＋( c－d)]＞0，因为 a＞b＞0，c＜d＜0，所以 a－c＞0，b－d＞0，所以 m[(b a) (c d )]0 ，所以mm0,即mm(a c)(b d ) a c b d a c b d方法二因为 c＜d＜0，所以 c－d＜0，又 a＞b＞0，所以 a－b＞0，所以 a－b＞c－d，所以 a－c＞b－d ＞0，所以11，又因为 m＜0，所以mma cb d ac b d例 6已知 a＋b＋c＝0，a＞b＞c，求证：(1)a＞0；(2)c2. a证明： (1) 假定a≤0，因为a＞b＞c，所以b＜0，c＜0．所以 a＋b＋c＜0，与 a＋b＋c＝0矛盾．(2)因为 b＝－ a－c，a＞b，所以，所以 2a＞－c，又a＞0，所以2c，所以c2.a a例 7已知a，b，c∈(0，1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c) a 中起码有一个不大于 1 .4证明：假定 (1 －a) b，(1 －b) c，(1 －c) a均大于1，4即 (1 a)b 1, (1 b)c1,(1 c)a 1 , 444因为 a，b，c∈(0，1)，所以1－a，1－b，1－c∈(0，1)，所以 (1 a) b 2 (1 a)b 1 ，同理(1－b)＋c＞1，(1－c)＋a＞1，所以 (1 －a) ＋b＋(1 －b) ＋c＋(1 －c) ＋a＞3，即 0＞0，矛盾．所以 (1 －a) b，(1 －b) c，(1 －c) a中起码有一个不大于1．4【评析】证明常用的方法有比较法、综合法、剖析法与反证法等．证明不等式也是这样．1、例 5 中的方法一所用到的比较法从思想、书写的角度都较为简单，也相对易于掌握，要娴熟掌握．2、例 5 中的方法二所用到的综合法是一般证明题常用的方法，其书写方法简洁、易读，但要注意的是，这样的题的思路经常是剖析法．比方，例 5 中的方法二的思路我们能够以为是这样获得的：欲证m m, 只要证明m(b－d)＞m(a－c)(因为b－d＞0，a－c＞0)，a c b d即只要证明 b－d＜a－c，即只要证明 a－b＞c－d，而由已知a－b＞0，c－d＜0，所以能够循着这个思路依照相反的次序书写．所以，在好多状况下，剖析法更是思虑问题的方法，而综合法更是一种书写方法．3、适适用反证法证明的常有的命题一般是特别不言而喻的问题( 如例 6(1)) 、否认式的命题、存在性的命题、含至多起码等字样的高三数学专题总复习命题 ( 如例 7) 等等．证明的步骤一般是： (1) 假定结论的反面是正确的； (2) 推出矛盾的结论； (3) 得出本来命题正确的结论．例 8 依据图中图形及相应点的个数找规律，第 8 个图形相应的点数为 ______．【剖析】第一个图有 1 行，每行有 1＋2 个点；第二个图有 2 行，每行有 2＋2 个点；第三个图有 3 行，每行有 3＋2 个点；第八个图有 8 行，每行有 8＋2 个点，所以共有 8×10＝80 个点．答： 80．练习 1－3一、选择题1．若110 则以下各式正确的选项是()a b11(A) a＞b(B) a＜b22(D)(C) a＞b a2b22．已知a，b为非零实数，且a＜b，则以下命题建立的是 () 222211b a(A) a＜b(B) a b＜ab(C)ab2a2b(D)a b3．已知A＝{ x｜｜x｜＜a} ，B＝{ x｜x＞1} ，且A∩B＝，则 a 的取值范围是 ()(A){ a｜a≤1}(B){ a｜0≤a≤1}(C){ a｜a＜ 1}(D){ a｜0＜a＜1}4．设会合M＝{1 ，2，3，4，5，6} ，S1，S2，，S k都是M的含有两个元素的子集，且知足：对随意的S i＝{ a i，b i}、S j＝{ a j，b j }(i≠j ，i ，j∈{1 ，2，3，，k}) 都有min{ai,bi}min{aj ,bj }，，b i a i b j(min{ xa jy}表示两个数 x，y 中的较小者)，则 k 的最大值是()(A)10(B)11(C)12(D)13二、填空题5．已知数列 { a n} 的第一项a1＝1，且a n 1an (n1,2,3,) ，请计算出1 a n这个数列的前几项，并据此概括出这个数列的通项公式a n＝______．6．不等式x2－5x＋6＜0 的解集为 ____________．7．设会合A＝{ x∈R｜｜ x｜＜4}，B＝{ x∈R｜x2－4x＋3＞0}，则集合{ x∈R｜x∈A，且x A∩B} ＝____________．8．设a∈R且a≠0，给出下边 4 个式子：①a3＋1；② a2－2a＋2；③a 1；④ a21 a a2此中恒大于 1 的是 ______．( 写出全部知足条件式子的序号)三、解答题9．解以下不等式：2＋x＞0；(2)2x0；(4)｜2－x｜＜ 3；(1)2 x x ＋3x＋1＜0；(3)(5) 1 x2x32.x10．已知a＋b＋c＝0，求证：ab＋bc＋ca≤0．11．解以下对于x的不等式：(1)x2－2ax－3a2＜0；(2) ax2－x＞0；习题 1一、选择题1．命题“若x是正数，则x＝｜x｜”的否命题是 ( )(A)若 x 是正数，则 x≠｜ x｜(B)若 x 不是正数，则 x＝｜ x｜(C)若 x 是负数，则 x≠｜ x｜(D)若 x 不是正数，则 x≠｜ x｜2．若会合M、N、P是全集U的子集，则图中暗影部分表示的会合是()(A)(M∩N)∪P(B)(M∩N)∩P(C)(M∩N)∪(U P)(D)(M ∩N)∩(U P)3．“a 1 ”是“对随意的正数x,2x a1”的()8x(A) 充足不用要条件(B) 必需不充足条件(C) 充要条件(D) 既不充足也不用要条件4．已知会合P＝{1 ，4，9，16，25，} ，若定义运算“ &”知足：“若a∈P，b∈P，则 a&b∈P”，则运算“&”能够是()(A) 加法(B) 减法(C) 乘法(D) 除法5．已知a，b，c知足c＜b＜a，且ac＜0，那么以下选项中不必定成．．．立的是( )(A) ab＞ac(B) c( b－a) ＜0 (C) cb2＜ab2(D) ac( a－c) ＜0二、填空题6．若全集U＝{0 ，1，2，3} 且U A＝{2} ，则会合A＝______．7．命题“x∈A，但 x A∪B”的否认是____________．8．已知A＝{－2，－1，0，1}，B＝{ y｜y＝｜ x｜， x∈A}，则 B＝____________．9．已知会合A＝{ x｜x2－3x＋2＜0} ，B＝{ x｜x＜a} ，若A B，则实数 a 的取值范围是____________．10．设a，b是两个实数，给出以下条件：①a＋b＞1；② a＋b＝2；③ a＋b＞2；④ a2＋b2＞2；⑤ ab＞1，此中能推出“ a，b 中起码有一个大于1”的条件是______．(写出全部正确条件的序号)三、解答题11．解不等式12. x12．若 0＜a＜b且a＋b＝1．(1)求 b 的取值范围；(2)试判断 b 与 a2＋b2的大小．13．设a≠b，解对于x的不等式：a2x＋b2(1 －x) ≥[ ax＋b(1－x)]2．14．设数集A知足条件：①A R；②0 A且 1A；③若 a∈A，则1 A.1a(1)若 2∈A，则A中起码有多少个元素；(2)证明： A 中不行能只有一个元素．专题一会合、逻辑与不等式参照答案练习 1－1一、选择题1．B 2．B3．A4．C提示：4．会合A表示非负偶数集，会合 B 表示能被4整除的自然数集，所以{ 正奇数 } ( U B) ，从而U＝A∪( U B) ．二、填空题5．{ x｜x＜4} 6．4个7．{x｜－1＜x＜2}8．a1；2个(x为 a1或a3)．三、解答题9．( A∩B) ∪C＝{1 ，2，3，4}10．剖析：画以下图的韦恩图：得A＝{0，2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8} ．11．答：①a＜4；②a≥－ 2；③－ 2≤a＜4提示：画数轴剖析，注意 a 可否取到“临界值”．练习 1－2一、选择题1．D 2．A3．B4．B二、填空题5．必需不充足条件6．若｜x｜≤ 1，则x≥－ 1 7．充要条件8 ．④提示：8．因为A B，即对随意x∈A，有x∈B．依据逻辑知识知，A B，即为④．此外，也能够经过文氏图来判断．三、解答题9．答： (1) 全称命题，真命题． (2) 特称命题，真命题．(3)特称命题，真命题； (4) 全称命题，真命题．10．略解：答：抗命题：若ab＝0，则 a2＋b2＝0；是假命题；比如a ＝0，b＝1否命题：若 a2＋b2≠0，则 ab≠0；是假命题；比如 a＝0，b＝1逆否命题：若 ab≠0，则 a2＋b2≠0；是真命题；因为若 a2＋b2＝0，则a＝b＝0，所以ab＝0，即原命题是真命题，所以其逆否命题为真命题．练习 1－3一、选择题1．B2．C3．A4．B二、填空题5．16 ．{ x｜2＜x＜3} 7．{ x∈R｜1≤x≤3｜ 8 ．④n三、解答题9．答： (1){ x | x或1} ；(2)3535}；0 x2{ x |2x2(3) { x | 0 x 3} ；(4){x｜－1＜x＜5}；(5){ x | 0x1} ．2310．证明：ab＋bc＋ca＝b( a＋c) ＋ac＝－ ( a＋c)( a＋c) ＋ac＝－a2－a c－c2所以 ab＋bc＋ca≤0．11．解： (1) 原不等式( x＋a)( x－3a) ＜0．分三种状况议论：①当a＜0时，解集为{ x｜3a＜x＜－a} ；②当a＝0时，原不等式x2＜0，解集为；③当 a ＞0 时，解集为 { x ｜－ a ＜x ＜3a } ．(2) 不等式 ax 2 －x ＞0 x ( ax －1) ＞0．分三种状况议论：①当 a ＝0 时，原不等式－x ＞0，解集为 { x ｜x ＜0} ；② 当 a ＞ 0 时， x ( ax － 1) ＞ 0x ( x － 1) ＞ 0 ， 解集为a1{ x | x 0或 x} ；③ 当 a ＜ 0 时， x ( ax － 1) ＞ 0 x ( x － 1a) ＜0，解集为{ x | 1x 0} ．a习题 1一、选择题1．D 2 ．D3 ．A4 ．C5 ．C提示：5．A 正确． B 不正确． D ．正确．当 b ≠0 时， C 正确；当 b ＝0 时， C 不正确，∴ C 不必定建立．二、填空题6．{0 ，1，3} 7． x ∈A ，x ∈A ∪B 8 ．{0 ，1，2} 9 ．{ a ｜a ≥2} 10．③．提示：10、均可用举反例的方式说明①②④⑤不正确．对于③：若 a 、b 均小于等于 1．即， a ≤ 1，b ≤1，则 a ＋b ≤2，与 a ＋b ＞2 矛盾，所以③正确．三、解答题11．解：不等式12 即12 0,12x0,所以 2x 1x x x1 ，0，此不等式等价于 x(2 x－1)＞0，解得 x＜0或xx1} ．2所以，原不等式的解集为 { x｜x＜0 或x2 12．解： (1) 由a＋b＝1 得a＝1－b，因为 0＜a＜b，所以 1－b＞0 且 1－b＜b，所以1b 1.231(2) a2＋b2－b＝(1 －b) 2＋b2－b＝2b2－3b＋1＝2(b)2因为13)2148b 1 ，所以 2(b0,248即 a2＋b2＜b．13．解：原不等式化为 ( a2－b2) x＋b2≥( a－b) 2x2＋2b( a－b) x＋b2，移项整理，得 ( a－b) 2( x2－x) ≤0．因为 a≠b，故( a－b)2＞0，所以 x2－x≤0．故不等式的解集为 { x｜0≤x≤1} ．14．解： (1) 若 2∈A，则11 A,11A,12 A.1 21( 1)2112∴ A中起码有－1，12，2 三个元素．(2) 假定A中只有一个元素，设这个元素为a，由已知1A ，则1 aa1．即a2－a＋1＝0，此方程无解，这与A中有一个元素a 1a矛盾，所以 A 中不行能只有一个元素．专题二函数函数是中学数学中的重点内容，是描绘变量之间依靠关系的重要数学模型．本章内容有两条主线：一是对函数性质作一般性的研究，二是研究几种详细的基本初等函数——一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数．研究函数的问题主要环绕以下几个方面：函数的看法，函数的图象与性质，函数的有关应用等．§2－1函数【知识重点】要认识映照的看法，映照是学习、研究函数的基础，对函数看法、函数性质的深刻理解在好多状况下要借助映照这一看法．1、设A，B是两个非空会合，假如依照某种对应法例 f ，对 A 中的随意一个元素 x，在 B 中有一个且仅有一个元素y 与 x 对应，则称f是会合 A 到会合 B的映照．记作 f ：A→B，此中 x 叫原象， y 叫象．2、设会合A是一个非空的数集，对A中的随意数x，依照确立的法例 f ，都有独一确立的数y 与它对应，则这种映照叫做会合 A 上的一个函数．记作y＝f ( x)，x∈A．此中 x 叫做自变量，自变量取值的范围( 数集A) 叫做这个函数的定义域．全部函数值组成的会合 { y｜y＝f ( x) ，x∈A} 叫做这个函数的值域．函数的值域由定义域与对应法例完整确立．3、函数是一种特别的映照．其定义域和值域都是非空的数集，值域中的每一个元素都有原象．组成函数的三因素：定义域，值域和对应法例．此中定义域和对应法例是中心．【复习要求】1．认识映照的意义，对于给出对应关系的映照会求映照中指定元素的象与原象．2．能依据函数三因素判断两个函数能否为同一函数．3．掌握函数的三种表示法( 列表法、图象法和分析法) ，理解函数符号 f ( x)(对应法例)，能依照必定的条件求出函数的对应法例．4．理解定义域在三因素的地位，并会求定义域．【例题剖析】例 1 设会合A和B都是自然数会合 N．映照f：A→B把会合A中的元素 x 映照到会合 B 中的元素2x＋x，则在映照 f 作用下，2的象是______；20 的原象是 ______．【剖析】由已知，在映照 f 作用下 x 的象为2x＋x．所以， 2 的象是 22＋2＝6；设象 20 的原象为x，则x的象为 20，即 2x＋x＝20．因为 x∈N，2x＋x 跟着 x 的增大而增大，又能够发现24＋4＝20，所以 20 的原象是 4．例 2 设函数f (x)x 1, x0,则f (1)＝；若f (0)x22x 2, x0,______＋f ( a)＝－2，则 a 的全部可能值为______．【剖析】从映照的角度看，函数就是映照，函数分析式就是映照的法例．所以 f (1)＝3．又 f (0)＝－1，所以 f ( a)＝－1，当a≤0时，由 a－1＝－1得 a＝0；当 a＞0时，由－ a2＋2a＋2＝－1，即 a2－2a－3＝0得 a＝3或 a ＝－1( 舍)．综上， a＝0或 a＝3．例 3以下四组函数中，表示同一函数的是( )(A) (C)y x2 , y ( t )2yx21, y x 1x 1(B)(D)y| x |, y t 2y x, yx2x【剖析】 (A)(C)(D) 中两个函数的定义域均不一样，所以不是同一函数．(B) 中两个函数的定义域相同，化简后为y＝｜x｜及y＝｜t｜，法例也相同，所以选 (B) ．【评析】判断两个函数能否为同一函数，就是要看两个函数的定义域与法例能否完整相同．一般有两个步骤： (1) 在不对分析式进行变形的状况下求定义域，看定义域能否一致． (2) 对分析式进行合理变形的状况下，见解例是否一致．例 4求以下函数的定义域(1)y x 1 1;(2)y1;x22x 3(3)y lg( 3x)( x 1)0 ;(4)y1x2;x|2 x|2解：(1) 由｜x－1｜－ 1≥0，得｜x－1｜≥ 1，所以x－1≥1 或x －1≤－ 1，所以x≥2 或x≤0．所以，所求函数的定义域为{ x｜x≥2 或x≤0} ．(2)由 x2＋2x－3＞0得， x＞1或 x＜－3．所以，所求函数的定义域为{ x｜x＞1 或x＜－ 3} ．3 x0,(3) 由x0,得x＜3，且x≠0，x≠1，x 10,所以，所求函数的定义域为{ x| x＜3，且x≠0，x≠1}(4) 由1 x2，得 1 x2， 1 x1,00 即且| 2 x | 2 0,， x0,x 4,| 2 x | 2所以－ 1≤x≤1，且x≠0．所以，所求函数定义域为{ x｜－1≤x≤1，且x≠0} ．例 5 已知函数f ( x) 的定义域为 (0 ，1) ，求函数f ( x＋1) 及f ( x2) 的定义域．【剖析】本题的题设条件中未给出函数 f ( x)的分析式，这就要求我们依据函数三因素之间的互相限制关系明确两件事情：①定义域是指 x 的取值范围；②受对应法例 f 限制的量的取值范围在“已知”和“求”中间是一致的．那么由 f ( x)的定义域是(0，1)可知法例f限制的量的取值范围是 (0 ，1) ，而在函数f ( x＋1) 中，受f直接限制的是 x＋1，而定义域是指 x 的范围，所以经过解不等式0＜x＋1＜1得－ 1＜x＜0，即f ( x＋1) 的定义域是 ( －1，0) ．同理可得f ( x2) 的定义域为 { x｜－ 1＜x＜1，且x≠0} ．例6 如图，用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形的底边长为 2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并指出定义域．解：依据题意， AB＝2x．所以， y 2x l2xπ1πx2(2π2lx.x) x222x0,l依据问题的实质意义． AD＞0，x＞0．解l 2 x πx得 0 x.20, 2 π所以，所求函数定义域为 { x | 0x l}2π【评析】求函数定义域问题一般有以下三种种类问题．(1)给出函数分析式求定义域( 如例4) ，这种问题就是求使分析式存心义的自变量的取值范围．正确的解不等式或不等式组在解决这种问题中是重要的．中学数学中常有的对变量有限制的运算法例有：①分式中分母不为零；②偶次方根下被开方数非负；③零次幂的底数要求不为零；④对数中的真数大于零，底数大于零且不等于1；⑤y＝ tan x，则x kππ，k∈Z．2(2)不给出 f ( x)的分析式而求定义域(如例5)．其解决方法见例5的剖析．(3)在实质问题中求函数的定义域 ( 如例 6) ．在这种问题中除了考虑分析式对自变量的限制，还应试虑实质问题对自变量的限制．此外，在办理函数问题时要有一种随时关注定义域的意识，这是极其重要的．比方在研究函数单一性、奇偶性、最值等问题时，第一要考虑的就是函数的定义域．例 71x(1) 已知f ()x 1 x2，求 f ( x)的分析式；(2) 已知f ( x 1 ) x21x x2，求 f (3)的值；(3) 假如f ( x) 为二次函数，f (0) ＝2，而且当x＝1 时，f ( x) 获得。
数学总复习高考教案七篇
数学总复习高考教案七篇数学总复习高考教案篇1一教材分析本节知识是必修五第一章《解三角形》的第一节内容，与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系与判定三角形的全等也有密切联系，在日常生活和工业生产中也时常有解三角形的问题，而且解三角形和三角函数联系在高考当中也时常考一些解答题。
因此，正弦定理和余弦定理的知识非常重要。
根据上述教材内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征及原有知识水平，制定如下教学目标：认知目标：在创设的问题情境中，引导学生发现正弦定理的内容，推证正弦定理及简单运用正弦定理与三角形的内角和定理解斜三角形的两类问题。
能力目标：引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，培养学生的创新意识和观察与逻辑思维能力，能体会用向量作为数形结合的工具，将几何问题转化为代数问题。
情感目标：面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，激发学生学习的兴趣。
教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及基本应用。
教学难点：正弦定理的探索及证明，已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
二教法根据教材的内容和编排的特点，为是更有效地突出重点，空破难点，以学业生的发展为本，遵照学生的认识规律，本讲遵照以教师为主导，以学生为主体，训练为主线的指导思想，采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以生活实际为参照对象，让学生的思维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推导，并逐步得到深化。
突破重点的手段：抓住学生情感的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想，积极探索，以及及时地鼓励，使他们知难而进。
另外，抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给以适当的提示和指导。
突破难点的方法：抓住学生的能力线联系方法与技能使学生较易证明正弦定理，另外通过例题和练习来突破难点三学法：指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法，采取个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的探究。
数学复习指导
数学复习指导数学复习指导15篇数学复习指导1一、制定切实可行的复习计划，并认真执行计划。
为使复习具有针对性，目的性和可行性，找准重点、难点，大纲（课程标准）是复习依据，教材是复习的蓝本。
复习时要弄清学习中的难点、疑点及各知识点易出错的原因，这样做到复习有针对性，可收到事半功倍的效果。
二、分类整理、梳理，强化复习的系统性。
复习的重要特点就是在系统原理的指导下，对所学知识进行系统的整理，使之形成一个较完整的知识体体系，这样有利于知识的系统化和对其内在联系的把握，便于融合贯通。
做到梳理训练拓展，有序发展，真正提高复习的效果。
三、辨析比较，区分弄清易混概念。
对于易混淆的概念，首先抓住意义方面的比较，再者是对易混概念的分析，这样能全面把握概念的本质，避免不同概念的干扰，另外对易混的方法也应进行比较，以明确解题方法。
四、一题多解，多题一解，提高解题的灵活性。
有些题目，可以从不同的角度去分析，得到不同的解题方法。
一题多解可以培养分析问题的能力。
灵活解题的能力。
不同的解题思路，列式不同，结果相同，收到殊途同归的效果。
同时也给其他同学以启迪，开阔解题思路。
有些应用题，虽题目形式不同，但它们的解题方法是一样的，故在复习时，要从不同的角度去思考，要对各类习题进行归类，这样才能使所所学知识融会贯通，提高解题灵活性。
数学复习指导2第一轮复习，即基础复习阶段，这个阶段的复习是整个高考复习中最关键的环节，一般从8月份到第二年的三月份，历时8个月，这一阶段的复习效果直接影响整个高考的成败，因此同学们应该高度重视，在第一轮复习中我们必须严格按照《复习大纲》的要求，把《大纲》中所有的考点逐个进行突破，全面落实，形成完整的知识体系。
这就需要考生要对课本中的基本概念，基本公式，基本方法重点掌握，在复习中应淡化特殊技巧的训练，重视数学思想和方法的作用。
常用的数学思想方法有：(1)函数思想方法：根据问题的特点构建函数将所要研究的问题，转化为对构建函数的性质如定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、最值、对称性、范围和图像的交点个数等的研究;(2)方程思想方法：通过列方程(组)建立问题中的已知数和未知数的关系，通过解方程(组)实现化未知为已知，从而实现解决问题的目的;(3)数形结合的思想：它可以把抽象的数学语言与直观图形相对应，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，(4)分类讨论的思想：此思想方法在解答题中越来越体现出其重要地位，在解题中应明确分类原则：标准要统一，不重不漏。
XX届高考数学考点知识专题总复习数列的极限
XX届高考数学考点知识专题总复习数列的极限本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址数列的极限.数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an}的项an无限地趋近于某个常数a（即|an－a|无限地接近于0），那么就说数列{an}以a为极限.注：a不一定是｛an｝中的项.2.几个常用的极限：①c=c（c为常数）;②=0;③qn=0（|q|＜1）.3.数列极限的四则运算法则：设数列｛an｝、｛bn｝，当an=a,bn=b时，（an±bn）=a±b;（an•bn）=a•b;=（b≠0）.●点击双基.下列极限正确的个数是①=0（α＞0）②qn=0③=－1④c=c（c为常数）A.2B.3c.4D.都不正确解析:①③④正确.答案:B2.［n（1－）（1－）（1－）…（1－）］等于A.0B.1c.2D.3解析:［n（1－）（1－）（1－）…（1－）］=［n××××…×］==2.答案:c●典例剖析【例1】求下列极限：（1）;（2）（－n）;（3）（++…+）.剖析:（1）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n2后再求极限；（2）因与n都没有极限，可先分子有理化再求极限；（3）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限.解:（1）==.（2）（－n）===.（3）原式===（1+）=1.评述:对于（1）要避免下面两种错误：①原式===1,②∵（2n2+n+7）,（5n2+7）不存在，∴原式无极限.对于（2）要避免出现下面两种错误：①（－n）=－n=∞－∞=0;②原式=－n=∞－∞不存在.对于（3）要避免出现原式=++…+=0+0+…+0=0这样的错误.【例2】已知数列｛an｝是由正数构成的数列，a1＝3，且满足lgan＝lgan－1＋lgc，其中n是大于1的整数，c是正数．（1）求数列｛an｝的通项公式及前n和Sn；（2）求的值．解:（1）由已知得an＝ｃ•an－1,∴｛an｝是以a1＝3，公比为c的等比数列，则an＝3•ｃn－1.∴Sn＝（2）＝.①当c=2时，原式＝－;②当ｃ＞2时，原式＝＝－;③当0＜ｃ＜2时，原式=＝.评述:求数列极限时要注意分类讨论思想的应用.【例3】已知直线l:x－ny=0（n∈N*）,圆m:（x+1）2+（y+1）2=1,抛物线:y=（x－1）2,又l与m交于点A、B，l 与交于点c、D，求.剖析:要求的值，必须先求它与n的关系.解:设圆心m（－1,－1）到直线l的距离为d,则d2=.又r=1,∴|AB|2=4（1－d2）=.设点c（x1,y1）,D（x2,y2），由nx2－（2n+1）x+n=0,∴x1+x2=,x1•x2=1.∵（x1－x2）2=（x1+x2）2－4x1x2=,（y1－y2）2=（－）2=,∴|cD|2=（x1－x2）2+（y1－y2）2=（4n+1）（n2+1）.∴===2.评述:本题属于解析几何与数列极限的综合题.要求极限，需先求,这就要求掌握求弦长的方法.【例4】若数列{an}的首项为a1=1,且对任意n∈N*,an 与an+1恰为方程x2－bnx+cn=0的两根,其中0＜|c|＜1,当（b1+b2+…+bn）≤3,求c的取值范围.解:首先,由题意对任意n∈N*,an•an+1=cn恒成立.∴===c.又a1•a2=a2=c.∴a1,a3,a5,…,a2n－1,…是首项为1,公比为c的等比数列,a2,a4,a6,…,a2n,…是首项为c,公比为c的等比数列.其次,由于对任意n∈N*,an+an+1=bn恒成立.∴==c.又b1=a1+a2=1+c,b2=a2+a3=2c,∴b1,b3,b5,…,b2n－1,…是首项为1+c,公比为c的等比数列,b2,b4,b6,…,b2n,…是首项为2c,公比为c的等比数列,∴（b1+b2+b3+…+bn）=（b1+b3+b5+…）+（b2+b4+…）=+≤3.解得c≤或c＞1.∵0＜|c|＜1,∴0＜c≤或－1＜c＜0.故c的取值范围是（－1,0）∪（0,］.评述:本题的关键在于将题设中的极限不等式转化为关于c的不等式,即将{bn}的各项和表示为关于c的解析式,显然“桥梁”应是一元二次方程根与系数的关系,故以根与系数的关系为突破口.●闯关训练夯实基础.已知a、b、c是实常数，且=2,=3,则的值是A.2B.3c.D.6解析:由=2,得a=2b.由=3,得b=3c,∴c=b.∴=6.∴===6.答案:D2.（XX年北京）若数列{an}的通项公式是an=,n=1,2,…,则（a1+a2+…+an）等于A.B.c.D.解析:an=即an=∴a1+a2+…+an=（2－1+2－3+2－5+…）+（3－2+3－4+3－6+…）.∴（a1+a2+…+an）=+=答案:c3.（XX年春季上海）在数列{an}中，a1=3，且对任意大于1的正整数n,点（,）在直线x－y－=0上，则=__________________.解析:由题意得－=（n≥2）.∴{}是公差为的等差数列，=.∴=+（n－1）•=n.∴an=3n2.∴===3.答案:34.（XX年上海,4）设等比数列{an}（n∈N）的公比q=－,且（a1+a3+a5+…+a2n－1）=,则a1=_________________.解析:∵q=－,∴（a1+a3+a5+…+a2n－1）==.∴a1=2.答案:25.（XX年湖南,理8）数列{an}中,a1=,an+an+1=,n∈N*,则（a1+a2+…+an）等于A.B.c.D.解析:2（a1+a2+…+an）=a1+［（a1+a2）+（a2+a3）+（a3+a4）+…+（an－1+an）］+an=+[++…+]+an.∴原式=［++an］=（++an）.∵an+an+1=,∴an+an+1=0.∴an=0.答案:c6.已知数列｛an｝满足（n－1）an+1=（n+1）（an－1）且a2=6,设bn=an+n（n∈N*）.（1）求{bn}的通项公式；（2）求（+++…+）的值.解:（1）n=1时，由（n－1）an+1=（n+1）（an－1）,得a1=1.n=2时，a2=6代入得a3=15.同理a4=28,再代入bn=an+n,有b1=2,b2=8,b3=18,b4=32,由此猜想bn=2n2.要证bn=2n2,只需证an=2n2－n.①当n=1时，a1=2×12－1=1成立.②假设当n=k时，ak=2k2－k成立.那么当n=k+1时，由（k－1）ak+1=（k+1）（ak－1）,得ak+1=（ak－1）=（2k2－k－1）=（2k+1）（k－1）=（k+1）（2k+1）=2（k+1）2－（k+1）.∴当n=k+1时，an=2n2－n正确，从而bn=2n2.（2）（++…+）=（++…+）=［++…+］=［1－+－+…+－］=［1+－－］=.培养能力7.已知数列{an}、{bn}都是无穷等差数列,其中a1=3,b1=2,b2是a2与a3的等差中项,且=,求极限（++…+）的值.解:{an}、{bn}的公差分别为d1、d2.∵2b2=a2+a3,即2（2+d2）=（3+d1）+（3+2d1）,∴2d2－3d1=2.又===,即d2=2d1,∴d1=2,d2=4.∴an=a1+（n－1）d1=2n+1,bn=b1+（n－1）d2=4n－2.∴==（－）.∴原式=（1－）=.8.已知数列｛an｝、{bn}都是由正数组成的等比数列，公比分别为p、q,其中p＞q且p≠1,q≠1,设cn=an+bn,Sn为数列{cn}的前n项和，求.解:Sn=+,当p＞1时，p＞q＞0,得0＜＜1,上式分子、分母同除以pn－1，得∴=p.当p＜1时，0＜q＜p＜1,==1.探究创新9.已知数列{an}满足a1=0,a2=1,an=,求an.解:由an=,得2an+an－1=2an－1+an－2,∴{2an+an－1}是常数列.∵2a2+a1=2,∴2an+an－1=2.∴an－=－（an－1－）.∴{an－}是公比为－,首项为－的等比数列.∴an－=－×（－）n－1.∴an=－×（－）n－1.∴an=.●思悟小结.运用数列极限的运算法则求一些数列的极限时必须注意以下几点：（1）各数列的极限必须存在；（2）四则运算只限于有限个数列极限的运算.2.熟练掌握如下几个常用极限：（1）c=c（c为常数）;（2）（）p=0（p＞0）;（3）=（k∈N*,a、b、c、d∈R且c≠0）;（4）qn=0（|q|＜1）.●教师下载中心教学点睛.数列极限的几种类型：∞－∞,,0－0,等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限，另外还有先求和，约分后再求极限，对含参数的题目一定要控制好难度，不要太难了.2.重视在日常学习过程中化归思想、分类讨论思想和极限思想的运用.拓展题例【例题】已知等比数列{an}的首项为a1,公比为q,且有（－qn）=,求首项a1的取值范围.解:（－qn）=,∴qn一定存在.∴0＜|q|＜1或q=1.当q=1时，－1=,∴a1=3.当0＜|q|＜1时，由（－qn）=得=,∴2a1－1=q. ∴0＜|2a1－1|＜1.∴0＜a1＜1且a1≠.综上,得0＜a1＜1且a1≠或a1=3.。
高考数学一轮总复习 第十章 排列与组合
组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数
(1)从中任取4张，共有________种不同取法；
(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？
• 拓直展接提法高 求把解符排合列条应件用的问排题列的数主直要接方列法式计算
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
故共有 C16C25C33＝60(种)．
(2)有序不均匀分组问题． 由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)题基础上，还应考虑 再分配，共有 C16C25C33A33＝360(种)． (3)无序均匀分组问题． 先分三步，则应是 C26C24C22种方法，但是这里出现了重复．不 妨记六本书为 A，B，C，D，E，F，若第一步取了 AB，第二步 取了 CD，第三步取了 EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则 C26C24C22种分法中还有(AB，EF，CD)，
拓展提高 组合问题常有以下两类题型：
法二 (特殊位置优先法)首尾位置可安排另 6 人中的两人， 拓展提高 均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型．解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还
是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数，还要充分考虑到是否与顺序有关；
正难则有反、A等价26种转化排的方法法 ，其他有 A55种排法，共有 A26A55＝3 600(种)．
• 思路点拨 要注意分析特殊元素是“含”、“不含”、“至少”、 “至多”．
[解] (1)共有 C318＝816(种)． (2)共有 C518＝8 568(种)． (3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有 C12C418＋C318＝6 936(种)． (4)(间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是 外科医生的选法种数，得 C520－(C512＋C58)＝14 656(种)．
高三数学总复习的计划及策略指导模板
高三数学总复习的计划及策略指导模板1、全面复习夯实基础打好基础，首先必须重视数学基本概念、基本定理(公式、法则)的复习，在理解上下功夫，整体把握数学知识。
这部分内容的复习要做到，不打开课本，能选择适当途径将它们一一回忆出来，它们之间的脉络框图，能在自己大脑中勾画出来。
如函数可以利用框图的形式由粗到细进行回忆。
概念要抓住关键及注意点，公式及法则要理解它们的来源，要理解公式法则中每一个字母的含义，即它们分别表示什么，这样才能正确使用公式。
在平时的学习时，不要满足这个问题我们会解出答案就行了，而其他的方法却不去研究了，尤其课堂上，老师通过一个典型的例题介绍处理这种问题有哪些方法，可以从哪些不同的角度来思考问题。
事实上，从宏观上讲，方法没有好坏之分，只是在解决具体的问题时才有优劣之分，更重要的是要关注通性、通法的掌握，而不能仅关注此问题特殊的、简单的方法。
因此课堂上，每一种方法我们都应积极思考，认真研究并掌握，这样在解决具体问题时才能游刃有余。
2.突出重点在考试说明的要求中，对知识的考查要求依次为了解、理解和掌握、灵活和综合运用几个层次。
一般地说，要求理解的内容，要求掌握的方法，是考试的重点。
在历年考试中，这方面考题出现的概率较大;在同一份试卷中，这方面试题所占有的分数也较多。
突出重点，不仅要在主要内容和方法上多下功夫，更重要的是要去寻找重点内容与次要内容间的联系，以主带次。
主要内容理解透了，其他的内容和方法就迎刃而解。
3.不断"内化"提高分析和解决问题的能力多做练习，但不能仅满足于得到问题的答案，要对做过的类似问题放在一起及时进行比较总结，将问题解决方法进行总结，解决的步骤程序化，以更好指导自己以后的解题，再在应用的过程中不断调整，这样可以"事半功倍"，从而提高自己分析、解决问题的能力，这是获得优异成绩的关键所在。
4、强化数学思想方法数学不仅仅是一种重要的工具，更重要的是一种思维模式，一种思想。
2023年人教版高考数学总复习第一部分考点指导第八章立体几何第一节基本立体图形
3π 27
·x3，
V球 V圆锥
4 ＝
273π·x3
＝75m.06
，解得 m＝33.36 克．
33π·x3
5．(求几何体的体积)某校开展社会实践活动，学生到工厂制作一批景观
灯箱(如图，在直四棱柱上加工，所有顶点都在棱上)，灯箱最上面是正
方形，与之相邻的四个面都是全等的正三角形，灯箱底部是边长为 a 的
【解析】选 D.如图，过 C′作 C′M′∥y′轴，交 x′轴于 M′，
在△C′M′B′中，因为 B′C′与 x′轴垂直且 B′C′＝2 2 ，
∠C′M′B′＝45°，所以 C′M′＝siBn′C45′ ° ＝2
2 2
＝4.由斜二测
2
画法知 CM＝2C′M′＝8，所以△ABC 的边 AB 上的高为 8.
棱柱、棱锥、棱台的侧面分别是平行四边形、三角形、梯形． 判断棱台的方法：侧棱延长后是否交于一点．
2．旋转体的结构特征
(1)圆柱：矩形绕其__任__一__边__所在的直线旋转一周形成的轨迹围成的几何体． (2)圆锥：直角三角形绕其_直__角__边__所在的直线旋转一周形成的轨迹围成的几何体． (3)圆台：直角梯形绕其_垂__直__于__底___边__的__腰__所在的直线旋转一周形成的轨迹围成的
表面积 S 表面积＝S 侧＋2S 底
锥体(棱锥和圆锥)
S 表面积＝S 侧＋S 底
台体(棱台和圆台) S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下
球
S＝_4_π_R_2_
体积
V＝_S_h_ V＝13 _S_h_
V＝13 (S 上＋S 下
＋ S上S下 )h
4 R3
V＝__3_______
1.必修二 P106T8
2023年人教版高考数学总复习第一部分考点指导第八章立体几何第五节空间向量的运算及其坐标表示
3．空间向量有关运算
(1)坐标运算：设a＝x1，y1，z1 ，b＝x2，y2，z2 ， 则a＋b＝ (x1 x2,y1 y2,z1 z2 ) ； a－b＝ (x1 x2,y1 y2,z1 z2 ) ； λa＝ (x1, y1,z1) ．
(2)数量积运算：a·b＝ x1x2＋y1y2＋z1z2 ＝ |a||b|cos〈a，b〉．
B．共面 C．共线 D．不共线
②对空间中四点 A，B，C，P，若A→P ＝81 A→B ＋18 A→C ，则 P，A，B，C 四点( )
A．不共面
B．共面 C．共线 D．不共线
பைடு நூலகம்
③对空间中四点 A，B，C，P，若空间任意一点 O 都有O→P ＝43 O→A ＋81 O→B ＋
1 8
O→ C
，则 P，A，B，C 四点(
(2)已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三向量共
面，则实数λ等于(
A．672
B．673
) C．674
D．675
【解析】选D.由a，b，c三向量共面，设a＝mb＋nc，
则(2，－1，3)＝m(－1，4，－2)＋n(7，5，λ)，
2＝－m＋7n
即 －1＝4m＋5n ，解得λ＝675 . 3＝－2m＋nλ
＝12
O→ A
＋23
1 (2
O→ B
＋12
O→ C
－21
O→ A
)＝61
O→ A
＋13
O→ B
＋13
O→ C
，
所以x＝16 ，y＝13 ，z＝13 .
答案：16 ，31 ，13
2．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点． ①化简 A1O －12 A→B －21 A→D ＝________． ②用A→B ，A→D ， AA1 表示 OC1 ，则 OC1 ＝________．
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高考数学总复习指导
2017高考数学总复习指导
一、严格遵循高考大纲
所谓纲，主要指《考试说明》和《教学大纲》。
简单地说，《考试说明》就是对考什么、考多难、怎样考这3个问题的具体规定和解说。
《教学大纲》则是编写教科书和进行教学的主要依据，也是检查和评定学生学业成绩、衡量教师教学质量的重要标准。
研究《考试说明》和《教学大纲》，既要关心《考试说明》中调整的内容，又要重视今年数学5种版本《考试说明》的比较。
我们可以结合上一年的高考数学评价报告，对《考试说明》进行横向和纵向的分析，发现命题的变化规律。
今年对新、旧教材中都有的内容和交叉的内容要多加注意。
数学高考的《评价报告》指出：今后的教学和复习中首先要扎实学好基础知识，并在此基础上，注意各部分知识在各自发展过程中的纵向联系，以及各部分知识之间的横向联系，理清脉络，抓住知识主干，构建知识网络。
在总复习中要充分重视主干知识的支撑作用。
今年全国就读普通高中的新生已全部使用数学新课程教材。
今后数学命题应该更加关注高中数学课程改革的进程，了解使用新课程考生的实际情况; 吸收新课程中的新思想、新理念，使高考数学科考查更加反映数学教育改革的发展方向。
因此，我们要把好方向，就必须吃透《考试说明》，才能少做无用功。
二、强化通性通法
近几年高考数学试题坚持新题不难、难题不怪的命题方向，强调注意通性通法，淡化特殊技巧。
正如教育部考试中心命题处处长任子朝所说的，不能借口能力考查和理论联系实际而弱化、淡化基础知识、基本理论。
有的知识点看起来在课本中没有出现过，但它属于一捅就破的情况，出现的可能也是有的。
注意通性通法，淡化特殊技巧，就是说高考最重视的是具有普遍意义的方法和相关的知识。
例如，将直线方程代入圆锥曲线方
程，整理成一元二次方程，再利用根的判别式、求根方式、韦达定理、两点间距离公式等可以编制出很多精彩的试题。
这些问题考查了解析几何的基本方法，也体现了考试中心提出的应更多地从知识网络的交汇点上设计题目，从学科的整体意义、思想含义上考虑问题的思想。
尽管剩下的复习时间已经不多，但我们仍然要注意回归课本。
只有吃透课本上的例题、习题，才能全面、系统地掌握基础知识和基本方法，构建数学的知识网络，以不变应万变。
在求活、求新、求变的命题的指导思想下，高考数学试题虽然不可能考查单纯背诵、记忆的内容，也不会考查课本上的原题，但对高考试卷进行分析就不难发现，许多题目都能在课本上找到影子，不少高考题就是对课本原题的变型、改造及综合。
回归课本，不是要强记题型、死背结论，而是要抓纲悟本，对着课本目录回忆和梳理知识，把重点放在掌握例题涵盖的知识及解题方法上，选择一些针对性极强的题目进行强化训练、复习才有实效。