2第二讲 三角函数与平面向量 理科

第二讲 三角函数与平面向量第一节 三角函数的化简、求值及证明三角函数的化简、求值及证明涉及恒等变换，而三角函数的恒等变换是历年高考命题的热点. 它既可以出现小题（选择或者填空），也可以与三角函数的性质，解三角形，向量等知识结合，参杂、渗透在解答题中，它们的难度值一般控制在0.5-0.8之间. 提高三角变换能力, 要学会设置条件, 灵活运用三角公式, 掌握运算、化简及证明的方法和技能.考试要求 ⑴理解同角三角函数的基本关系式；（2）会推导两角和与差、二倍角的余弦、正弦、正切公式，了解它们的内在联系，能运用上述公式进行简单的恒等变换；（3）掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；(4)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.题型一 已知三角函数的值求角问题例1 （１）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若22a b -=，sin C B =，则A =（ ）．Ａ．30︒ B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒（２）若),0(,πβα∈，31tan ,507cos -=-=βα，求α+2β= .点拨 本题（１）应先利用正弦定理进行角化边，然后利用余弦定理求角A . 题（２）首先应求α+2β的函数值，为了使角的范围好控制，这里选用正切值好一点，然后根据条件依次找出所需的条件，要注意角的范围. 解三角形的问题关键是灵活运用正弦定理和余弦定理，正确进行边化角、角化边，探寻解答. 题（２）最困难的地方在于确定α+2β的范围，一般地，根据已知条件，把角的范围限制得越精确，结果也越准确.解（１）由sin C B =及正弦定理，得c =，代入22a b -=，得2226a b b -=⋅=，即227a b =，又2212c b =，（为什么从角化边入手？）由余弦定理222222cos 2b c a A bc +-====，（选用余弦定理合理否？） 所以30A =︒．故选Ａ．（２）∵),0(,πβα∈，507cos -=α，∴),0,33(71tan -∈-=α),0,33(31tan -∈-=β∴),65(,ππβα∈，（为什么要把角的范围定得这样精确？） α+2β)3,25(ππ∈,又tan2β=43tan 1tan 22-=-ββ, ∴12tan tan 12tan tan )2tan(-=-+=+βαβαβα,∴α+2β=411π.易错点 题（１）记错公式、忘记讨论角的范围或者代数运算不熟练是造成这类解三角形问题的出错的主要原因.这里选用余弦定理求角是正确的，如果选用正弦定理求角就不合理，一是出现2个角，二是要讨论舍弃1个角，更容易出错；题（２）中，角的范围容易忽略或放大，导致错误. 变式与引申1：已知α，β为锐角，tanα=17，sinβ=1010,求2α+β的值. 题型二 三角函数化简、求值问题例2 （2011江西卷文科第17题）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边是a ,b ,c ,已知3cos cos cos a A c B b C =+ （1）求cos A 的值（2）若a =1, cos cos B C +=,求边c 的值.点拨(1)合理且灵活运用正弦定理和余弦定理,选择是从角化边入手还是边化角入手；（2）关键是如何利用已知条件cos cos B C +=sin C ,再利用正弦定理求出c . 解：（1）由 C b B c A a cos cos cos 3+=正弦定理得： )sin(cos sin cos sin cos sin 3C B C B B C A A +=+=及：A A A sin cos sin 3=所以31cos =A 。

（2）由332cos cos =+C B332cos )cos(=+--C C A π展开易得：36sin 3sin 2cos =⇒=+C C C正弦定理：23sin sin =⇒=c C c A a 易错点 本题涉及到正弦定理、诱导公式及三角形内角和为180°这两个知识点的考查, 不知道利用A B C π++=将已知条件cos cos 3B C +=中的角化成同角,从而利用恒等变形得出sin C .再由正弦定理求出c 变式与引申2：（2011江西卷文理科科第17题）在△ABC 中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知2sin1cos sin CC C -=+. （1）求C sin 的值；（2）若8)(422-+=+b a b a ，求边c 的值.题型三 三角函数的取值范围问题例3 已知函数()()21cot sin sin sin 44f x x x m x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）当0m =时，求()f x 在区间3,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围； （2）当tan 2α=时，()35f α=，求m 的值. 点 拨 （1）首先把()f x 变换成()()sin f x A x B ωϕ=++的形式，要特别注意在限定区间上求()f x 的取值范围；（2）如何把正切值转换为已知的三角函数值，从而求出m 的值.解 (1) 当，()2sin sin cos f x x x x =+()11sin 2cos 222x x =-+1242x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.由x ∈3,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦520,44x ππ⎡⎤⇒-∈⎢⎥⎣⎦，得sin 24x π⎡⎤⎛⎫-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，从而()f x 在区间3,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围是⎡⎢⎣⎦. （2）()2sin sin cos cos 22m f x x x x x =+-=1cos 21sin 2cos 2222x m x x -+- =()11sin 21cos 222x m x -++⎡⎤⎣⎦ . 由tan 2α=，得 2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos 1tan 5ααααααα===++ ，222222cos sin 1tan 3cos 2sin cos 1tan 5ααααααα--===-++ .所以，由()143312555m ⎡⎤⎛⎫-+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ，求得 -2m =. 在高考中，本题第（2）小题还出现一些新的解法，同学们不妨一试：解法思路：由22sin cos 1,sin 2cos αααα⎧+=⎨=⎩ ⇒21cos 5α=，从而有四条思路：（1）()2sin sin cos cos 22m f ααααα=+-23cos α=，化成关于2cos α的等式，求出m =-2;（2）()2sin sin cos cos 22m f ααααα=+-()223sin cos 5αα=+，同（1），求出m =-2.（3）()2231sin cos sin cos 225m m f ααααα⎛⎫=+-+= ⎪⎝⎭，同（1），求出m =-2.（4）由sin 2cos αα=，()f α=()()22232cos 2cos 2cos 125m ααα+--=，求出m =-2.易错点 记错二倍角公式；不会在区间3,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，联系三角函数图像求函数的取值范围；或运用公式不合理，产生错误.例如用tan 2α=，去求sin ,cos αα，容易出现符号处理带来的麻烦等等.变式与引申3：已知向量),(b c a m +=，),(a b c a n --=，且m n ⊥，其中A 、B 、C 是∆ABC 的内角，c b a ,,分别是角A ，B ，C 的对边．（1）求角C 的大小；（2）求B A sin sin +的取值范围．题型四 三角函数化简、求值的综合应用例4 已知角,,A B C 是三角形的ABC ∆三内角，向量(1m =- ,(cos ,sin )n A A =,1m n ⋅= ，且221sin 2cos sin 3B B B+-=-.（1）求角A ； （2）求tan C ；（3）若AC ，求ABC ∆的面积S ．点拨 本题难在第（2）题，若整理成关于角B 的二次式或齐次式，运算则相对简单；第（3）题也要注意选择运算简单的思路.解（1）∵1m n ⋅= , ∴()(cos ,sin 1A A -⋅= , cos 1A A -=.122(sin cos )1A A ⋅=,162sin()A π-=.∵0A π<<,∴5666A πππ-<-<,∴66A ππ-=, ∴3A π=. （2）由题知2212sin cos 3cos sin B B B B+=--，整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --=，∴cos 0B ≠, ∴2tan tan 20B B --=.∴tan 2B =或tan 1B =-.而tan 1B =-使22cos sin 0B B -=，舍去. ∴tan 2B =.∴tan tan tan tan[()]tan()1tan tan A B C A B A B A B π+=-+=-+=-==-.（3）由（1）知， 得sin A =tan 2B =，故sin B B ==, 由正弦定理sin sin AC BC B A =，∴sin 15A BC AC =⋅=.∴1sin sin[()]sin()2C A B A B π=-+=+==.故三角形的面积190216sin S AC BC C +=⋅=.易错点 求解本题，易错点有二：一是本题有点运算量,很容易由于选择的解法运算繁琐而算错；二是不会根据条件回避讨论.由角的范围或其它隐含条件去讨论甄别函数值至关重要，也很容易出错．其它解法思路：化简2212sin cos 3cos sin B BB B+=--时，也有很多的思路，如： ⑴由2(sin cos )sin cos 3(cos sin )(sin cos )cos sin B B B BB B B B B B++==--+-,得tan 2B =；⑵由222222cos sin 2sin cos 1tan 2tan 3,cos sin 1tan B B B B B B B B B++++==---得tan 2B =等.变式与引申4：在例4题（3）中，若内角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，且a =求边c 的长.本节主要考查 ⑴三角函数的公式及其在化简、求值和证明中的运用；⑵ 恒等变换的能力和运算能力；⑶三角形中的边、角、面积等关系（正余弦定理）；（4）等价转化的数学思想方法等等.点评 高考试题中的三角函数题相对比较传统，难度较低，位置靠前，重点突出.因此，在复习过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质.以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识.本节涉及的知识与技能主要有:（1）三角函数式的化简问题，在最后所得到的结果中，要求所含函数和角的名称或种类最少,三角函数名称尽可能统一，各项的次数尽可能地低，出现的项数最少，一般应使分母和根号不含三角函数式，对能求出具体数值的，要求出值．（2）三角函数的求值问题，是训练三角恒等变换的基本题型，求值的关键是熟练掌握公式及应用, 掌握公式的逆用和变形.在化简和求值中，重视角的范围对三角函数值的影响，对角的范围尤其要注意讨论.（3）证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，在进行三角函数的化简和三角恒等式的证明时，需要仔细观察题目的特征，灵活、恰当地选择公式.证明时常用的方法有：①从一边开始，证明它等于另一边；②证明左右两边同等于同一个式子；③证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立；④分析法等.（4）近年的考纲明确提出要加强对正余弦定理的考查，且常结合三角形内的三角恒等变换进行考查．解三角形这类题目的解答程序是：一是看方向（是从角化边入手还是边化角入手）；二是用定理（合 理且灵活运用正弦定理和余弦定理）；三是定答案（根据取值范围讨论并确定答案）.还要特别注意三角形中三个角A 、B 、C ，三条边a 、b 、c ，中线m a ，角平分线AD ，外接圆半径R ，内切圆半径r ，三角形面积S 之间的关系和三角形的形状.（5）三角函数的综合问题常常与向量，二次函数等有关，但着力点还是三角知识，尤其是利用二倍角公式、“切化弦”、同角三角函数的基本关系、两角和与差等进行恒等变形，是高考考查的重中之重. 解答这类综合问题的原则是三点：降次——化次数较高的三角式为次数较低的三角式； 减元——化多种三角函数为单一的三角函数； 变角——化多角的三角函数为单角的三角函数. 还要特别注意：①1的变化：22221sin cos tan cot cos 22sin 2cos cos 2x x x x x x x x =+=⋅=+=-sincos 0tan24ππ===②角的变化：()()()(),2,2,βαβαααβαβαβαβα=+-=++--=-+③化切为弦、升幂公式、降幂公式的合理运用；④在理解的基础上熟记和灵活运用各种公式，包括正用公式、反用公式和变用公式.习题2－11. 已知cos α+sin β=3，sin α+cos β的取值范围是D ，x ∈D ，则函数y =10432log 21++x x 的最小值为( ).A.8B.52C.12- 2.在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，6cos b a C a b +=，则tan tan tan tan C CA B+=________．3.已知3177cos ,45124x x πππ⎛⎫+=<<⎪⎝⎭，求2sin 22sin 1tan x x x +-的值． 4. 在ABC ∆中，角C B A ,,满足.02cos 2coscos 42=++B C A B (1)求角B 的大小；(2)求C A sin sin +的取值范围.5.已知向量m 4x ，1），n ＝(cos 4x ，2cos 4x ). （1）若m •n =1,求2cos()3x π-的值; （2）记f (x )= m •n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ,b ,c ，且满足（2a -c ）cos B =b cos C ，求函数f (A )的取值范围.第二节 三角函数的图像、性质及其变换近几年高考对“三角函数”一章三角的考查要求略有降低，而对三角函数的图像、性质的考查有逐步加强的趋势. “考试大纲”将三角函数的图象和性质，由“了解”改为“理解”，提高了一个层次.因此，考生在复习中要作出相应的调整.它们的难度值一般控制在0.5-0.8之间，且在解答题中大多需要利用三角函数的变换和性质求解.考试要求 ⑴理解正弦函数、余弦函数的定义、性质,理解正切函数的单调性；⑵了解函数的物理意义，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，了解参数 对函数图像变化的影响. 题型一 由“参”定“形”，由“形”定“参” 【例1】点拨：（1）在函数y ＝A sin （ωx ＋ϕ）的有关问题中，只要确定了这三个参数A ，ω，φ，则该函数的图像、性质等就出来了；同理，（2）中，已知图像求解析式问题，关键也是确定三个参数A ，ω，φ，最困难的就是求φ.于是，本题的答案为②、③．例2.已知函数sin()(0,0,||)y A x A ωϕωϕπ=+>><的图象如图所示, 则它的解析式为_______.点拨：已知图像求解析式问题，关键也是确定三个参数A ，ω，φ， 尤其是求φ. 解析:由图知以下求ϕ的值有多种方法可供选择：易错点 例（１）中，选项“”的含义容易被误解；例（2）中，已知图像求解析式中的φ时，常常由于方法不当或范围不清晰而不能求出准确值.点评：三角函数的图像由若干个参数确定(即由“参”定“形”)，同时，已知三角函数的图像也能够确定这若干个参数（即由“形”定“参”).本例所用的方法带有普遍性，用来求解有关函数y ＝A sin （ωx ＋ϕ）的图象问题十分奏效.变式与引申1：若将函数()cos 04y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度后，与函数cos 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像重合，则ω的最小值为（ ）A ．16B . 14C . 13D .12题型二 利用图像的性质解题【例3】设函数f (x )的图象与直线x =a ，x =b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f (x )在[a ，b ]上的面积，已知函数y ＝sin nx 在[0，nπ]上的面积为n 2（n ∈N * ），（1）y ＝sin3x 在[0,32π]上的面积为 ；（2）y ＝sin （3x －π）＋1在[3π，34π]上的面积为 . 点拨：本题解题的关键是审题，可以画个草图帮助理解题意，如图222--.第（1）问简单，第（2）问的函数图像有了变化：向右移动3π个单位，再向上移动1个单位；其所求的面积就是图中直线3x π=,43x π=，x 轴以及y ＝sin （3x －π）＋1的图像 所围成图形的面积. 可以把直线y =1上方的两 个“波峰”拿一个填入“波谷”，得到一个矩形 和一个“波峰”，其面积容易求出. 【解析】（1）T=32π, n =3,一个周期的面积为43.（2）S=1×(34π-3π)+23=32+π. 易错点: 第（2）问审题容易出问题，结合图像能够帮助理解题意.点评：本题主要考查了正弦函数的图象的平移变换、对称变换及其应用，解题时要注意观察题目函数图像的特点随机应变，如本题可利用图像的对称性解题.变式与引申2：已知函数x y cos 2=，x ∈[0, π2]的图象和直线y =2围成一个封闭的平面图形，求该图形的面积.题型三 三角函数性质的应用 【例4】已知函数()b x a x x x f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛+=cos 6sin 6sin ππ（,R a b ∈，且均为常数）， （1）求函数()x f 的最小正周期； （2）若()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,3π上单调递增，且恰好能够取到()x f 的最小值2，试求b a ,的值． 点拨 研究三角函数的性质（如周期、最值、单调性、奇偶性等）时，首先应该对所给的函数关系式进行化简，最好化为一个角（形如ϕ+wx ）、一种三角函数的形式． 【解析】（1） ()b x a x x x f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛+=cos 6sin 6sin ππ b x a x ++=cos 6cossin 2πb x a x ++=cos sin 3()b x a +++=θsin 32（其中tanθ=）， 所以，函数()x f 的最小正周期为π2．（2） 由（1）可知：()x f 的最小值为b a ++-32，所以，232=++-b a ．……… ①另外，由()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,3π上单调递增，可知()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,3π上的最小值为⎪⎭⎫⎝⎛-3πf ， 所以，2,273f a b π⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭得，……… ② 联立①②232=++-b a 解得：1,4a b =-=.易错点: 在题（2）中，不能利用隐含条件”()x f 的最小值2”正确列出方程组，还有计算1,4a b =-=时也容易出错.变式与引申3：已知函数)0,0)(sin()(πϕωϕω<<>+=x x f 的图象与直线b y =)01(<<-b 的三个相邻交点的横坐标分别是1，2，4.（1）求)(x f 的解析式，并写出)(x f 的单调递减区间； （2）设)()2()(x f x f x g +=，求函数)(x g 的值域. 题型四 三角函数的图象和性质的综合应用【例4】已知函数c x b x a y ++=cos sin 的图象上有一个最低点)1,611(π，将图象上的各点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的π3倍，然后再向左平移1个单位得到)(x f y =的图象，且方程3)(=x f 的所有正根构成一个以3为公差的等差数列，求)(x f y =的解析式及其最小正周期、单调递减区间.点拨 本题比较难，首先难在审题上，要理清各层题目意思；其次，原题中的函数不但有a ,b ,c 三个 参数，而且图像也不在标准位置上；第三难在通过图像变换后，会得到什么样的函数图像，还有方程的根正好构成等差数列又怎么理解.解题思路分析如下：第一步，要化成同名函数；其次是利用转化的思想，把“三元”化为“一元”，这可以通过图象上有一个最低点)1,611(π来转化得到；然后处理图像变换，得出y =f (x )的含参解析式；最后利用等差数列求出参数c .此题是三角函数图象的综合应用题，要正确解答必须对三角函数图象变换的基本特性有较深刻的认识，考查综合应用知识的能力，和数形结合、转化的数学思想.解决三角函数的图象变换问题，要注意以下两方面：首先要化为同名函数；其次是周期变换发生在相位变换之前时，应明确平移的量是什么.还要充分运用数形结合、转化等数学思想解题.【解析】将函数化为abc x b a y =+++=ϕϕtan ,)sin(22其中，由条件得117227623(1)sin(2)311k k y c x k c c c πππϕπϕπππ⎧⎧+=-=-⎪⎪⇒⇒=-+-+⎨⎪==-⎩ c x c y +--=⇒)3sin()1(π，下一步是关键是求出参数c ，显然)(x f y =的周期263T ππ==，其半周期的长度恰好为3.而3)(=x f 可看成)(x f y =的图象与直线3=y 的交点的横坐标，且由半 周期的长度为3可知，相邻交点间的距离也为3，从而由 三角函数图象的特征知道，3=c ，否则无法满足半周期为3. )(x f y =的图象与与直线3=y 的交点只可能是在)(x f y =的各 对称中心),3(c k ，对称轴向上平移了3个单位，即3=c ，如图223--.从而33sin2)(+==xx f y π,单调递减区间为39[6,6]()22k k k Z ++∈. 易错点 本题易出错的地方是平移、伸缩时，解析式的变化，再就是用等差数列的条件时讨论不全． 变式与引申4：函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等，请选择适当的探究顺序，研究函数f (x )= 1－sin x +1＋sin x 的性质，并在此基础上，作出其在[,]ππ-的草图． 本节主要考查 ⑴三角函数的图象，包括：①y =sin x 、y =cos x 、y =tan x 的图象；②“五点法”画出y =A sin （ωx +φ）的简图；③利用平移和伸缩变换画出y =A sin （ωx +φ）的图象；⑵三角函数性质，包括奇偶性，单调性，周期性，最值；⑶三角函数的图象和性质的综合应用；（4）等价转化，数形结合等数学思想方法.点评 高考对三角函数的图象和性质一向是考查的重点，在复习过程中要注意与三角函数的化简、求值等基础知识，以及三角函数的恒等变形等结合起来，还要注意与代数、几何、向量的综合联系.复习的重点是正、余弦函数的图象变换及其应用，掌握它们的性质,其中单调性又是本节的一个难点.1.对三角函数图象要从对称轴和有界性这两个角度去把握，对称性包括对称轴和对称中心两个关键要素，要熟记y =sin x 、y =cos x 、y =tan x 的对称轴和对称中心．2．对三角函数性质的研究要首先建立在定义域的基础之上．而求三角函数的定义域往往要解三角不等式，解三角不等式的方法一般表现为图象法或三角函数线法．对三角函数性质的考查总是与三角变换相结合．一般解题规律是先对三角函数关系式进行三角变换，使之转化为一个角的三角函数的形式，再利用换元法转化为对基本三角函数性质的研究．3. 求三角函数的最值问题属于常见题型，主要利用正、余弦函数的有界性，一般通过三角变换和换元化为一次函数或二次函数在闭区间[1,1]t ∈-上的最值问题,或引入辅助角ϕ,或采用“不等式”法,或“数形结合”等基本类型处理.4.对函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)＋k (A ＞0, ω＞0, ϕ≠0, k ≠0),其图象的基本变换是个难点，各种变换的实质要熟练掌握，不能单从形式上简单判断．5．“五点法”是三角函数作简图的有力武器,要熟练掌握.最基本的三角函数图象的形状和位置特征，要准确掌握，它是利用数形结合思想解决三角函数问题的关键．6.主要题型：求三角函数的定义域、值域、周期，判断奇偶性，求单调区间，利用单调性比较大小，图象的平移和伸缩，图象的对称轴和对称中心，利用图象解题，根据图象求解析式. 7．常用方法：(1)求三角函数的值域、最值：利用正弦、余弦函数的有界性，通过变换转化为代数最值问题；π−−−−−−−−−−→3所有点的横坐标缩小到原来的倍(1)sin()33y c x c ππ=--+1−−−−−−−−→所有点向左平移个单位长度(1)sin[(1)](1)sin 333xy c x c y c c ，p p p =-+-+?-+图223--(2)求周期：将函数式化为一个三角函数的一次方的形式，再利用公式，利用图象判断.习题2－21.如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为2. 函数xxy sin 2cos 3+=的值域是3.函数f (x )=a +b sin2x +c cos2x 的图象经过点A （0，1），B （4π，1）,且当x ∈［0, 4π］时，f (x )取得最大值22－1．（1）求f (x )的解析式；（2）是否存在向量m ，使得将f (x )的图象按向量m 平移后可以得到一个奇函数的图象？若存在，求出满足条件的一个m ;若不存在，说明理由.4.已知函数()sin(),(0,0,,)2f x A x A x R πωϕωϕ=+>><∈的图像的一部分如图2-2-5所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）当2[6,]3x --∈时，求函数()(2)y f x f x =++的最大值与最小值及相应的x 的值.5．设函数f(x)=a ·b ，其中向量a =(2cos x ，1)，b =(cos x ，3sin2x )，x ∈R. （1）若f(x)=1－3且x ∈[－3π，3π]，求x ； （2）试作出函数f (x )在一个周期内的简图；(3) 设函数f(x)的最大值为M ，若有10个互不相等的正数,)(M x f x i i =满足且)10,,2,1(10 =<i x i π，求1021x x x +++ 的值.第三节 平面向量与代数的综合应用平面向量与代数的综合应用为每年高考必考内容，以选择题（填空题）形式出现，或作为题设条件与三角函数（解三角形）、数列、函数不等式形成综合解答题的形式出现，分值在4～12分左右；向量具有代数形式与几何形式的“双重身份”，这使它成为中学数学知识的一个交汇点，也成为多项内容的媒介，在高考中主要考查有关的基础知识，突出向量的工具作用，难度系数在0.4～0.8之间.考试要求 ⑴理解平面向量的概念，理解两个向量相等及向量共线的含义；⑵掌握向量的加法、减法及数乘运算；⑶了解平面向量基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，理解用坐标表示向量的加法和减法运算及数乘运算，理解用坐标表示的平面向量共线的条件；⑷理解平面向量的数量积的含义及其物理意义，掌握数量积的坐标表达式并会进行数量积的运算，能用数量积表示两向量的夹角，图224--图225--会用数量积判断两向量的垂直关系. 题型一 平面向量的有关概念及应用 例1定义平面向量之间的一种运算“ ”如下，对任意的=(m,n)a ，(p,q)b =，令a b =mq np -，下面说法错误的是（ ）（A ）若a 与b 共线，则a 0b = （B ）a b =b a（C ）对任意的R λ∈，有()a λ (b a λ= )b （D ）(a 2222)()||||b a b a b +⋅= 点拨：仿照平面向量的线性运算规则及数量积的性质进行“ ”运算.解：若a 与b 共线，则有a b =mq np=0-，故A 正确；因为b a=pn qm -， 而a b =mq np -，所以有a b ≠b a，故选项B 错误，选B.易错点：把定义的运算“a b =mq np -”混同与“a b⇔mq np=0-”，认同选项B 正确.变式与引申1：已知两个非零向量,m n ，定义运算“#”：#||||sin m n m n θ=⋅ ，其中θ为,m n的夹角．有两两不共线的三个向量,,a b c，下列结论：①若##a b a c = ，则b c = ；②##a b b a = ；③若#0a b = ；则a b ；④()###a b c a c b c +=+ ；⑤#()#a b a b =-．其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个题型二 平面向量与三角函数的综合应用例2：已知向量(sin ,1)a x =- ，3(cos ,)2b x = ． (1)当a b 时，求2cos 3sin 2x x -的值；(2)求()()f x a b b =+⋅的最小正周期和单调递增区间．点拨：(1)由向量平行列方程解出tan x 的值，所求式子转化成正切单角名称的三角代数式，代入可求解；(2)进行向量坐标形式的数量积运算得到()f x 的解析式，转化为sin()y A x b ωϕ=++函数结构.解：(1)由a b 得3sin cos 02x x +=，即tan x 2=3-，所以2cos 3sin 2x x -222cos 6sin cos sin cos x x x x x-=+216tan 1tan x x -=+4513=. (2) 因为(sin ,1)a x =- ，3(cos ,)2b x = ；所以a b + =1(sin cos ,)2x x +；()()f x a b b =+⋅3(sin cos )cos 4x x x =++15(sin2cos2)24x x =++5)244x π=++；所以最小正周期为π;由222242k x k πππππ-++<<得388k x k ππππ-+<<，故单调递增区间为3(,)88k k ππππ-+(k Z ∈).易错点：计算tan x 的值出错；()f x 转化为sin()y A x b ωϕ=++形式出错；下结论时遗漏k Z ∈.变式与引申2：【2010•辽宁理数】平面上O,A,B 三点不共线，设OA a =uu r r ，OB b =u u u r r，则△OAB 的面积等于D . 题型三 平面向量与数列的综合应用例3在平面直角坐标系中已知(,)n n A n a 、(,)n n B n b 、(1,0)n C n -()n N +∈,满足向量1n n A A + 与向量n n B C共线，且点(,) ()n n B n b n N +∈都在斜率为6的同一条直线上.若116,12a b ==.考资(1) 求数列{}n a 的通项公式n a ； (2) 求数列{1na }的前n 项和n T ..点拨：利用点(,) ()n n B n b n N +∈都在斜率为6的同一条直线上和1n n A A + 与n n B C共线分别得出数列递推公式16n n b b +-=和1n n n a a b +-=，求出n b 后再求n a 的通项公式. DB 点拨解：(1)因为点(,) ()n n B n b n N +∈都在斜率为6的同一条直线上，所以1=6(1)n n b b n n +-+-，即16n n b b +-=于是数列{}n b 是等差数列，故126(1)66n b n n =+-=+；因为11(1,)n n n n A A a a ++=- ，(1,)n n n B C b =-- ；又因为n n 1n n A A B C + 与共线，所以11()(1)()0,n n n b a a +⨯----= 即1n n n a a b +-=，当n≥2时，121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-…11231n a b b b b -=+++++…11(1)3(1)(2)a b n n n =+-+--3(1)n n =+ ，当n=1时，上式也成立, 所以n a 3(1)n n =+.高 (2)1111()31n a n n =-+, 111111(1)32231n T n n =-+-++-+ 1113133n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 易错点：错误理解点(,) ()n n B n b n N +∈都在斜率为6的同一条直线上的含义,无法求得n b 的通项公式；由1n n A A + 与n n B C 共线错列方程11()(1)()0,n n n b a a +⨯-+--=得到结果1n n n a a b +-=-.变式与引申3：数列{}n a 中1=1a ，513a =，21n n n a a a +++=2，数列{}n b 中，26b =，33b =，212n n n b ++=b b 在直角坐标平面内，已知点列111222333()()()()n n n P a b P a b P a b P a b ⋯⋯，，，，，，，，，则向量12PP +34P P + (20112012)P 的坐标为( ). A.100512(3015,8[()1])- B.100612(3018,8[()1])- C.201012(3015,8[()1])- D.201212(3018,8[()1])- 题型四 平面向量与函数的综合应用例4已知平面向量a = 1)，b = (21, 23).高考资源网 (1) 若存在实数k 和t ，使得x = a ＋2(3)t -b , y = ka tb + ，且x y ⊥ ，试求函数的关系式()k f t =；高(2) 根据(1)的结论，确定()k f t =的单调区间. 点拨：第(1)问先分别求得x 与y 的坐标，再用x y ⊥ 的充要条件或是直接利用x y ⊥ 的充要条件，进行向量的代数运算,其过程将用到向量的数量积公式及求模公式，得到函数的关系式()k f t =；第(2)问中求函数的单调区间运用的是求导的方法.资源解：（1）方法一：由题意知x = 223232--t ), y = 1()2t k +，又x y ⊥ 高故x y ⋅ （12t ）＋223232--t ×k +)＝0，整理得：3340t t k --=，即 31344k t t =-. 高考资源网 方法二：因为a = (3，－1)，b = (21, 23),所以a ＝2，b ＝1且a b ⊥ ，又x y ⊥ 故x y ⋅ ＝0. 即222(3)0k a t t b = -＋－，化简得3340t t k --=, 所以31344k t t =-. (2) 由(1)知：()k f t =31344t t =-，求导()k f t ''==23344t -，令k '＜0得－1＜t ＜1；令k '＞0得 t ＜－1或t ＞1. 故()k f t =的单调递减区间是(－1, 1 )，单调递增区间是（－∞，－1）和（1，＋∞）. 易错点：字母运算出错不能正确得到,x y 的坐标形式；没能通过简单的心算判断出0a b ⋅= ，使得x y ⋅ 的展开式中无法消去含有a b ⋅ 的项.变式与引申4：1.已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝(21，23)，若存在不为零的实数k 和角α，使向量c ＝a ＋(sin 3α-)b , d ＝k -a ＋sin α⋅b ,且c ⊥d ，试求实数k 的取值范围；2.已知两个向量)log ,log 1(22x x a +=，),(log 2t x b = )0(≠x .（1）若1t =且b a ⊥，求实数x 的值； （2）对t R ∈写出函数b a x f ⋅=)(具备的性质.本节主要考查（1）知识点有平面向量的有关概念、加减法的几何意义、向量共线定理、平面向量的基本定理、坐标表示、垂直关系、向量的数量积；（2）演绎推理能力、运算能力、创新意识；（3）函数与方程的思想、数形结合思想和待定系数法.点评（1）掌握平面向量的基础知识，正确地进行向量的各种运算来处理向量与代数的综合应用问题（如例1），要善于利用向量“数”与“形”两方面的特征；（2）向量共线的充要条件中应注意只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，向量共线的坐标表示不能与向量垂直的坐标表示相混淆；（3）理解向量的数量积的定义、运算律、性质并能灵活应用，向量的数量积的结果是实数而不是向量，注意数量积与实数乘法运算律的差异；（4）向量的坐标运算使得向量运算完全代数化，向量与函数、数列、解三角形、不等式等相结合形成了代数的综合问题（如例2、例3、例4），在知识的交汇点处命题来考查了向量的工具性及学生分析问题、解决问题的能力.习题2—3 1.（2011年湖南理数）在边长为1的正三角形ABC 中，设2,3BC BD CA CE == ，则________AD BE ⋅= .2. 关于平面向量有下列四个命题：①若⋅=⋅a b a c ，则=b c ； ②已知(,3),(2,6)k ==-a b ．若a b ∥，则1k =-；③非零向量a 和b ，满足||=|a |=|b |a -b ，则a 与a +b 的夹角为30 ；④()()0||||||||+⋅-=a b a b a b a b ．其中正确的命题为___________．（写出所有正确命题的序号）3.已知向量21(,1),(,)1a mxb x mx =-=- (m 是常数), (1)若1()f x a b =⋅ 是奇函数，求m 的值; 高考资源网(2)若向量,a b 的夹角,a b <> 为[0,)2π中的值，求实数x 的取值范围. 4.在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。