分段函数修改稿
湖北省武汉市八年级数学下册 19.2 一次函数 19.2.2 分段函数教学设计 新人教版
分段函数课程标准描述考试大纲描述教材内容分析学情分析学生已有函数概念、函数图象的知识作为准备，会画函数图象和依据图像解决简单的问题基础上学习本节知识难度并不是很大。
学习目标会写简单的分段函数的解析式，会用一次函数解决实际问题.重点会写简单的分段函数的解析式难点从各种问题情境中寻找条件，确定一次函数的表达式；确定分段函数的解析式评价任务导学过程师生活动问题预设导知识回顾：1、已知一次函数的图象经过点（1，-1）和点（-1，2）。
求这个函数的解析式。
2、如何求出如图所示的直线解析式？1把以上两种情况合起来就可以写成如下的分段函数表达式：{________________(02)________________(2)x x y ≤≤>=议 你能由上面的函数解析式解决下列问题吗？由函数图像也能解决这些问题吗？（1）一次购买1.5kg 种子，需付款多少元？（2）一次购买3kg 种子，需付款多少元？展1、小明家距学校3千米，星期一早上，小明步行按每小时5千米的速度去学校，行走1千米时,遇到学校送学生的班车，小明乘坐班车以每小时20千米的速度直达学校，则小明上学的行程s 关于行驶时间t 的函数的图像大致是下图中的( )2、如图，折线ABC 是在某市乘出租车所付车费y(元)与行车里程x (km)之间的函数关系图象．(1)根据图象，写出当x ≥3时该图象的函数关系式；(2)某人乘坐2．5 km ，应付多少钱?(3)某人乘坐13 km ，应付多少钱?(4)若某人付车费30．8元，出租车行驶了多少千米?评 分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论。
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关于几何画板分段函数的处理
几何画板中函数和分段函数定义域处理郑 明 淮(福建尤溪文公高级中学，365100)几何画板是数学新课程推荐使用信息技术软件。
它作出的几何图形、函数图象非常精确，运算功能也十分强大，更重要的是它拥有用动态方式揭示几何图形中的元素间关系保持不变的特点。
这些特点对于学生认清问题的本质，弥补空间想像力不足，对相关问题进行验证、探索提供了易于操作的平台。
正因为如此，几何画板相对于其他常用软件倍受数学教师的青睐。
当然，任何一款软件都不可能做到十全十美，几何画板也是如此。
虽然它的版本已经升级到5.0，我们在使用过程中仍然发现有许多方面不尽如人意。
例如：新建一个函数后，利用绘制函数图象功能画出来的是其完整定义域上的图象。
而在高中数学中很多函数是限定定义域的，而几何画板不具备直接限定定义域的作图像功能，我们只能另想方法以达到这一目的。
这一问题以及分段函数是高中数学中的重点内容，在使用几何画板辅助教学中必需突破这一瓶颈。
本文就此两个问题在几何画板环境下做一个探索，希望能有效地、可操作地解决这一问题。
一、几何画板中限定定义域函数的图像处理方案例1、作函数822--=x x y(53≤≤-x )的图像分析：822--=x x y 的定义域是R ，要去掉 53≤≤-x 之外的图像只能改变原函数的表达式，使其对应关系与原函数相同，但定义域为53≤≤-x 。
构造如下：)5)(3(082)(2x x x x x f -+⋅+--=然后绘制函数f(x) 效果如图。
函数f(x) 中的)5)(3(0x x -+⋅把函数定义域限定在53≤≤-x ，并且在定义域范围内其值恒为0，因此不改变原函数的值。
一般地，限定函数定义域的构造有以下八种情况：1、限定函数f(x)定义域为[a ，b]构造函数：))((0)(x b a x x f y --⋅+=2、限定函数f(x)定义域为(a ，b]构造函数：ax x b x f y --⋅+=0)( 3、限定函数f(x)定义域为[a ，b)构造函数：xb a x x f y --⋅+=0)( 4、限定函数f(x)定义域为(a ，b)构造函数：)))(log((0)(x b a x x f y --⋅+=5、限定函数f(x)定义域为(a ，+∞)构造函数：)log(0)(a x x f y -⋅+=6、限定函数f(x)定义域为[a ，+∞)构造函数：a x x f y -⋅+=0)(7、限定函数f(x)定义域为(-∞，b)构造函数：)log(0)(x b x f y -⋅+=8、限定函数f(x)定义域为(-∞，b]构造函数：x b x f y -⋅+=0)(二、几何画板中分段函数的图像处理例2．作分段函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<≤--<+=)4........(63)42.....(..........)2.........(83)(2x x x x x x x f 的图像。
第四节 分段函数
x x0
f (x)
f ( x0 )
微积分讲义
2/14/2020 12:18 AM
设计制作
王新心
§1.4 分段函数
分段函数
2/14/2020 12:18 AM
第一章 函数
用两个或两个以上的算式表示的一个函
数，称为分段函数。例如
x x0 y x x x 0
x1 x 0
y
0
x0
x 1 x 0
y
y
1
O
x
1
1
O
x
1
2/14/2020 12:18 AM
第一章 函数
说明 分段函数是由几个算式表示的一个
函数，而不是几个函数。
下面讨论几个分段函数
例1
设
y
f
(
x
)
x
2
1 1
x
2
1
x x
1 2
求函数的定义域并作出其图形。
解 函数在 x 1 时无意义，定义域为
x1 1 x 3 ( x 1)2 3 x 5
2/14/2020 12:18 AM
内容小结
第一章 函数
分段函数
对分段函数，很多时候需要讨论分界点的 情况。
作业 P42 29--33
2/14/2020 12:18 AM
第一章 函数
备用题
1 x0
1.函数
sgn x
0
x 0 称为符号函数
1 x 0
它的作用相当与正负号，即 x sgn xgx ，讨论
其定义域、值域并作出函数的图形。
分段函数（范文模版）
分段函数（范文模版）第一篇：分段函数（范文模版）RD辅导Feel good Feel dream Feel hope 心存美好心存梦想心存希望主题一函数分段函数专篇在新课标中，对分段函数的要求有了进一步的提高，在近几年的高考试题中，考察分段函数的题目频频出现，分段函数已经成为高考的必考内容。
一.分段函数的定义在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。
例：1.已知函数y=f(x)的定义域为区间[0,2]，当x∈[0,1]时，对应法则为y=x，当x∈(1,2]时，对应法则为y=2-x，试用解析式法与图像法分别表示这个函数。
2.写出下列函数的解析表达式，并作出函数的图像：（1）设函数y=f(x)，当x<0时，f(x)=0；当x≥0时，f(x)=2（2）设函数y=f(x)，当x≤-1时，f(x)=x+1；当-1<x<1时，f(x)=0；当x≥1时，f(x)=x-1-1RD辅导Feel good Feel dream Feel hope 心存美好心存梦想心存希望三、分段函数的应用例：1.在某地投寄外埠平信，每封信不超过20g付邮资80分，超过20g不超过40g付邮资160分，超过40g不超过60g付邮资240分，依此类推，每封xg(0<x≤100)的信应付多少分邮资（单位：分）？写出函数的表达式，作出函数的图像，并求出函数的值域。
2.某市的空调公共汽车的票价制定的规则是：（1）乘坐5km以内，票价2元；（2）乘坐5km以上，每增加5km，票价增加1元（不足5km的按5km计算）。
已知两个相邻的公共汽车站之间相距约1km，如果在某条路线上（包括起点站和终点站）设21个汽车站，请根据题意写出这条路线的票价与里程之间的函数解析式，并作出函数的图像。
3.如图所示，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点（起点）向A点（终点）移动，设P点移动的路程为x，∆ABP的面积为y=f(x)。
(word完整版)八年级一次函数分段函数经典讲解
认清分段函数, 解决收费问题定义：一般地，如果有实数a1，a2，a3⋯⋯k1,k, 2k3⋯⋯b1,b 2, b3⋯⋯且a1≤a2≤a3⋯⋯函数Y 与自变量X 之间存在k1x+b1 x ≤a1k 2x+b2 a 1≤x≤a2 ① 的函数解析式，则称该函数解析式为X 的分K3x+b3 a 2≤x≤a3应该指出:（一）, 函数解析式① 这个整体只是一个函数, 并非是Y=K1X+b1Y=K2X+b2⋯⋯等几个不同函数的简单组合, 而k1x+b1, k2x+b2 ⋯⋯是函数Y 的几种不同的表达式. 。
所以上例中Y={ 这个整体只是一个函数，不能认为它是两个不同的函数，只能说110X和110×80%X是同一函数中的自变量X在两种不同取值范围内的不同表达式。
（二）, 由于k1,k 2,k 3⋯⋯b1,b 2,b 3是实数,所以函数Y在X的某个范围内的特殊函数,如正比例函数和常数函数。
（三）, 由于问题的不同，当然分段函数也可能在自变量某范围内不是一次函数而是其他形式的函数，在这里我们不予讨论。
（四）, 一次函数的分段函数是简单的分段函数。
分段函数应用题分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论。
在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型。
收费问题与我们的生活息息相关, 如水费问题、电费问题、话费问题等，这些收费问题往往根据不同的用量，采用不同的收费方式.以收费为题材的数学问题多以分段函数的形式出现在中考试题中，下面请看几例.一、话费中的分段函数例 1 （四川广元）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x （分钟）与相应话费y （元）之间的函数图象如图 1 所示：１）月通话为 100 分钟时，应交话费 元； ２）当 x ≥100 时，求 y 与 x 之间的函数关系式； 3）月通话为 280 分钟时，应交话费多少元？分析：本题是一道和话费有关的分段函数问题，通过图象可观察到，在 0 到 100 分钟之间月话费 y （元）是月通话时间 x （分钟）的正比例函数 ,当 x ≥100 时, 月话费 y（元） 是月通话时间 x （分钟 ）的一次函数 .解：（1）观察图象可知月通话为 100 分钟时，应交话费 40 元；（2）设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b 由图上知： x=100 时,y=40 ； x=200 时 ,时， y=6040 100k b k,解之得60 200k bb1所求函数关系式为 y 15x 20..即月通话为 280 分钟时，应交话费 76 元．二、水费中的分段函数例 2（广东） 某自来水公司为了鼓励居民节约用水， 采取了按月用水量分段收费办法， 某户居民应交水费 y （元 ）与用水量 x （吨 ）的函数关系如图 2.（1） 分别写出当 0≤x ≤15和 x ≥15时,y 与 x 的函数关系式 ;（2）若某户该月用水 21 吨 ,则应交水费多少元 ?分析:本题是一道与收水费有关的分段函数问题 .观察图象可知 , 0≤x ≤15 时 y 是 x的正比例函数 ; x ≥15时,y 是 x 的一次函数 .1 5 20则有3）把 x=280 代入关系式 y20,得y 1280 20 76527 9解: (1)当 0≤x ≤15 时,设 y=kx,把 x=15,y=27 代入,得 27=15k,所以 k=,所以15 5y= x;当 x ≥ 15 时 ,设 y=ax+b,将 x=15,y=27 和5x=20,y=39.5 代入 ,得15a b 27, 20a b 39.5解得 a=2.5,b=-10.5 所以 y=2.5x-10.5(2) 当该用户该月用 21 吨水时 ,三、电费中分段函数 例 3 （ 广东 ） 今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电， 采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费 y （元）与用电量 x （度） 的函数图象是一条折线（如图 3 所示），根据图象解下列问题：（ 1）分别写出当 0≤x ≤100 和 x ≥ 100时， y 与 x 的函数关系式； （2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；（3）若该用户某月用电 62 度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费 105 元时，则 该用户该月用了多少度电？分析:从函数图象上看图象分为两段 ,当 0≤x ≤100时,电费 y 是电量 x 的正比例函数 当x ≥100时,y 是 x 的一次函数 ,且函数图象经过点 （100,65）和（130,89）,设出相应的函数关系式 ,将点的坐标代入即可确定函数关系式 ,根据函数关系式可解决问题 . 解: （1）设当 0≤x ≤100 时,函数关系式为 y=kx,将 x=100,y=65 代入 ,得 k=0.65,所以 y=0.65x; 设当 x ≥100 时,函数关系式为 y=ax+b,将 x=100,y=65 和 x=130,y=89 代入,得100a b 65,解得 a=0.8,b=-15. 所以 y=0.8x-15130a b 89.图242综上可得y0.65x(0≤ x ≤100)0.8x 15(x ≥100)（2）用户月用电量在 0 度到 100 度之间时 ,每度电的收费的标准是 0.65 元 ;超出 100 度 时,每度电的收费标准是 0.80 元.（3）用户月用电 62 度时,用户应缴费 40.3 元,若用户月缴费 105 元时,该户该月用了 150度电.谈谈中考中的分段函数分段函数，是近几年中考数学中经常遇到的题型。
(完整word版)分段函数专题非常全面
分段函数的性质与应用分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不相同范围的值时所使用的 解析式不相同，所以在解决分段函数的问题时要时辰盯着自变量的范围可否在发生变化。
即“分段函数——分段看” 一、基础知识：1、分段函数的定义域与值域——各段的并集2、分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，若是单调性相同，则需判断函数是连续 的还是断开的， 若是函数连续， 则单调区间可以合在一起，若是函数不连续，则要依照函数 在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定可否将单调区间并在一起。
3、分段函数对称性的判断：若是可以将每段的图像作出，则优先采用图像法，经过观察图 像判断分段函数奇偶性。
若是不便作出，则只能经过代数方法比较 f x , f x 的关系，要注意 x, x 的范围以代入到正确的解析式。
4、分段函数解析要注意的几个问题（ 1）分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判断的方法为将界线值代入每一段函数（其中一段是函数值，别的一段是临界值），若两个值相等，那么分段函数是连续的。
否2x 1,x3 3代入两段解析式，计算结果相同，那则是断开的。
比方： f x4, x，将 xx 2 32 x 1,x3 么此分段函数图像即为一条连续的曲线，其性质便于解析。
再比方 f x1,x中，x 2 3两段解析式结果不相同，进而分段函数的图像是断开的两段。
（2）每一个含绝对值的函数，都可以经过绝对值内部的符号谈论，将其转变成分段函数。
x 1 3,x 1 比方： fx x 1 3，可转变成： f x1 x 3,x 15、遇到分段函数要时辰盯住变量的范围，并依照变量的范围选择合适的解析式代入，若变 量的范围其实不完幸亏某一段中，要注意进行分类谈论6、若是分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将分段函数的图像作出，以便必要时进行数形结合。
二、典型例题例 1：已知函数 f ( x)2x1 x 1f 04a ，则实数 a _____x 2 ax x，若 f1思路：从里向外一层层求值，f 0 20 1 2f f 0f 24 2a所以 4 2a 4a a2答案： a2例 2：设函数 fxcos x, x 0 ，则 f10 的值为 _________f x 11,x3思路：由f x 解析式可知，只有 x 0 ，才能获取详尽的数值，x 0 时只能依靠f xf x 11向 x 0 正数进行靠拢。
分段函数的性质、图象以及应用 (1)
热点分段函数的性质、图象以及应用新课标下高考数学题中以分段函数为载体，考查函数的图像、性质等知识的习题倍受青睐.所谓的分段函数是指自变量 X 在不同的取值范围内对应关系不同的函数，由分段函数本身的特点，使得一个函数在各段上有不同的解析式，所以可将一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、抽象函数融合在一个题目之中，考查多个知识点.因而分段函数已 成为高考命题的一个热点.纵观近几年高考对于分段函数的性质、图象的考查，重点放在函数的奇偶性、周期性以及函数的零点问题与分段函数结合上； 要求学生有较强的抽象思维能力、作图能力以及准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握比较模糊，看到 就头疼的题目.分析原因，除了这类题目本身就是压轴题确实不易之外，主要是学生的作图能力普遍较弱，还有就是没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理. 本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.1 分段函数与函数值分段函数:定义域中各段的 x 与 y 的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的.分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集.分段函数中的问题一般是求解析式、值域或最值，讨论奇偶性、单调性等.分段函数的处理方法:分段函数分段研究.一般将具体函数或与抽象函数结合，通过考查对数、指数的运算形成的函数求值问题．例 1【2018 届辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍ft 一中、东北育才学校高三上学期期末】设e x , x ≤ 0⎡ ⎛ 1 ⎫⎤ f (x ) = { lnx , x > 0，则 f ⎢ f e ⎪⎥ = ． 1 【答案】e⎡⎛ 1 ⎫⎤⎣ ⎝ ⎭⎦ ⎛1 ⎫-11 【解析】 f ⎢ f e⎪⎥ = f ln e ⎪ = f (-1)= e = e⎣ ⎝ ⎭⎦⎝ ⎭2 分段函数与图象：分段函数的图象分段画.例 2【2017 届湖南省长沙市第一中学高考模 拟卷一】已知函数 f (x ）={e x, x ≤ elnx , x > e，则函数 y =f (e - x )的大致图象是 （ ）A. B.C. D.【答案】B3分段函数与方程已知函数值求自变量x或其它参数的值的问题，一般按自变量x的取值范围分类讨论，通过解方程而得到.1-x, x < 0例3【2018 届北京市东城区高三上学期期中】已知函数f (x)= { xlnx , x > 0，则关于x的方程⎡⎣f(x)⎤⎦2+f(x)+a=0(a∈R)的实根个数不可能为（）．A.2 B.3 C.4 D. 5【答案】A【解析】当x < 0时， f '(x)=-1x2∴ f (x)在(-∞, 0)上是减函数，-1 < 0，当x > 0时， f (x)= ln x = {-lnx, 0 <x < 1，lnx, x ≥ 1∴ f (x)在(0,1)上是减函数，在[1, +∞)上是增函数，作出f (x)的大致图像如图所示：2 ⎭⎝ ⎭⎝设 f (x ) = t ，则当t < 0时，方程 f (x ) = t 有一解，当t = 0时，方程 f (x ) = t 有两解， 当t > 0时，方程 f (x ) = t 有三解，有 ⎡ f (x )⎤2- f (x ) + a = 0，得t 2 - t + a = 0，若方程t 2 - t + a = 0，有两解t ， t ，则t + t= 1，⎣ ⎦∴方程t 2- t + a = 0不可能有两个实数根，∴方程 ⎡⎣ f (x )⎤⎦2- f (x ) + a = 0不可能有2个解． 故选A ．4 分段函数与不等式1 2 12将分段函数与不等式结合，考查函数单调性及解不等式知识，体现分类讨论思想.例 4【2018 届福建省厦门市高三上学期期末】已知函数 f (x ) = {log 2 x , 0 < x ≤ 2,log 2 (4 - x ), 2 < x < 4,f (a ) ≥ f ⎛a + 1 ⎫，则a 的取值范围是（ ）2 ⎪ ⎝ ⎭A. ⎛ 0, 1 ⎤ ⋃ ⎡2, 7 ⎫B. ⎛ 0, 1 ⎤ ⋃ ⎡ 7 , 7 ⎫2 ⎥⎦ ⎢⎣⎪ 2 ⎥⎦ ⎢⎣4 2 ⎪⎛ 17 -1⎤ ⎡ 7 ⎫ ⎛ 17 -1⎤ ⎡ 7 7 ⎫C. 0, 4 ⎥ ⋃ ⎢2, 2 ⎪D. 0, 4⎥ ⋃ ⎢ , ⎪ ⎝ ⎦ ⎣ ⎭ ⎝⎦ ⎣ 4 2 ⎭【答案】D【解析】画出函数 y =f (x )的图象（图中黑色部分），则函数 y =f (x )的图象向左平移 1个长度单位，得 2到函数 y = ⎛ + 1 ⎫的图象（图中红色部分），设两图象交于点 A , B ，且横坐标分别为 a , a ．由图象可得f x 2 ⎪ 1 2⎝ ⎭若-1+ 17 满足 f (a ) ≥ f ⎛a +1 ⎫的实数a 的取值范围为⎛0, a ]⋃[a ,7 ⎫．2 ⎪ 1 22 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝⎭对于 a ，由-log a = log ⎛a + 1 ⎫，解得 1= a + 1，所以2a 2 - a - 2 = 0，解得 a = 或1 2 1 2 1 2 ⎪ a 1 2 1 1 14 a 1 =⎝ ⎭ 1（舍去）． 4⎡ ⎛ 1 ⎫⎤ 7对于a 2，由log 2a 2 = log 2 ⎢4 - a 2 + 2 ⎪⎥，解得 a 2 = 4．⎣ ⎝ ⎭⎦综上可得实数a 的取值范围为⎛ 0, -1+ 17 ]⋃[ 7 , 7 ⎫．选 D ． 4 4 2 ⎪⎝ ⎭ 5 分段函数与零点解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围 问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．x + 2, x > a 例 5【2018 届四川省成都实验中学高三上学期 1 月月考】已知函数 f(x)＝{x 2 + 5x + 2, x ≤ a函数 g(x)＝f(x)－2x 恰有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是( )A. [－1，1)B. [0，2]C. [－2，2)D. [－1，2) 【答案】D-1- 176 分段函数与解析式分段函数是定义域中各段的 x 与 y 的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的.因此求解析式时， 也是分段求解析式的.例 6【2018 届湖南省株洲市高三教学质量统一检测（一）】已知 f (x )是定义在 R 上的奇函数.当 x > 0时，f (x ) = x 2 - x ，则不等式 f (x ) > 0的解集用区间表示为（ ）A. (-1,1)B. (-∞, -1)⋃ (1, +∞)C. (-∞, -1)⋃ (0,1)D. (-1, 0)⋃ (1, +∞) 【答案】D7分段函数与周期和最值分段函数的值域是各段值域的并集，最大值是各段最大值中的最大者是函数的最大值，最小值是各段最小值中的最小者，一般可借助于图像来解决.例 7【2018 届ft 西省太原十二中高三 1 月月考】已知-8 < m < n ，函数 f (x ) = {3log 8 (-x ), -8 ≤ x < m ,x 2- 2x , m ≤ x ≤ n ,若 f (x )的值域为[-1, 3]，则 n - m 的最大值与最小值之积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B【解析】 f (x )= {log 2 (-x ), -8 ≤ x < m x 2 - 2x , m ≤ x ≤ n，分别作出 y = log 2 (-x )和 y = x 2 - 2x 的图像， f (x )在[-8, m )是减函数且log 2 (-m ) < f (x ) ≤ 3 ，因 f (x )的值域是[-1, 3]，故 f (x )只能在[m , n ]上取最小值-1，所以1 ≤ n ≤ 3. 又-1 ≤ m ≤ -1， 否则 m < -1时， f (x ) > 3， - 1< m < 0时， f (x ) < -1，22m ≥ 0时， log 2 B.(-x )在0 ≤ x ≤ m 上无意义. 故 n - m 的最小值为3，最大值为4，它们的乘积为6，选2点睛：这是一个动态变化的问题，注意到函数在区间[-8, m )有最大值3，但无最小值，故函数的最小值-1 只能在[m , n ]取得，但是 y = x 2 - 2x = (x -1)2-1 ≥ -1，因此1∈[m , n ]且 m ≤ - 1，再根据 f (x )的最大2值为 3，得到 m ≥ -1, n ≥ 3，所以 n - m 的最小值为 3，最大值为4，它们的乘积为 6.2例 8【2018 届贵州省贵阳市第一中学高三 12 月月考】已知 f (x )是定义在 R 上的奇函数，满足f (x +1) = - f (x )，当 x ∈ ⎡0, 1 ⎤时， f (x ) = 4x -1，则函数 h (x ) = (x -1) f (x )-1在区间 ⎡- 3 , 3⎤上⎣⎢ 2 ⎥⎦⎣⎢2 ⎥⎦所有零点之和为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1 【答案】A【解析】由已知 f (x )是定义在 R 上的奇函数，所以 f (-x ) = - f (x )，又 f (x +1) = - f (x )，所以 f (x )的周期是 2，且 f (x +1) = f (-x )得 x = 1是其中一条对称轴，又当 x ∈ ⎡0,1 ⎤时， f (x ) = 4x-1， 于是2f (x )图象如图所示，⎣⎢ 2 ⎥⎦又函数h (x)=(x -1)f (x)-1零点即为y =f (x)图象与y =1x -1的图象的交点的横坐标，四个交点分别关于(1, 0)对称，所以x1 +x4 = 2, x2 +x3 = 2，所以零点之和为x1 +x2 +x3 +x4 = 4.故选 A．8 分段函数的单调性例9 已知函数f (x)= {a x , x < 0, 满足对任意x ≠x,都有 f (x1 )- f (x2 )< 0成立,则a的范(a -3)x+ 4a, x ≥ 0 1 2 x1- x2围是( )A.⎛0,1 ⎤B. (0,1)C. ⎡1 ,1⎫D. (0, 3)4 ⎥⎢4 ⎪⎝⎦⎣⎭【答案】A点睛：解分段函数单调性问题时，需要考虑两段函数都是增函数或减函数，其次考虑两段函数的分界点，如果是增函数，则左侧函数的最大值要小于等于右侧函数的最小值，反之，左侧函数的最小值要大于等于右侧函数的最大值.【反思提升】综合上面的八种类型，解决分段函数函数问题类型，涉及到很多数学思想主、方法；分段函数首先是函数，且是一个函数，不是多个函数；分段函数的处理方法:分段函数分段研究；解题中务必看清自变量在哪一段，该代哪个解析式，这样就要分段讨论、求解，即要重视分类讨论思想在解题过程中的应用.。
分段函数(职业中学教材)
《分段函数》（第一课时）教案设计一、设计思想(1) 贯彻启发式教学原则，通过学生自主探索培养学生获取知识、解决问题的能力；(2) 通过对分段函数的学习与理解，进一步深化函数的表示法，培养学生分类讨论的数学思想方法。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解分段函数的概念（2）会用解析式表示分段函数（3）会根据解析式求分段函数的函数值（4）会根据解析式画出分段函数的图象2、过程与方法（1）通过实例引入分段函数的概念，明确分段函数存在的现实意义（2）初步掌握解决分段函数数形结合、分类讨论的数学思想方法3、情感、态度、价值观培养学生勇于探究的精神、严谨的学习态度，以及初步具备应用数学知识分析、解决实际问题的意识三、教学重点与难点1、重点：分段函数的表示；分段函数的图象2、难点：；分段函数的图象;求分段函数的函数值四、教材处理1、本次课一开始不宜先讲例1的应用题进而介绍分段函数，否则学生会在理解上造成困难，造成难点过多、过于分散，不利于重点的掌握，因此书上例1分段函数的应用题安排在第二课时；2、本节内容分2课时处理，第一课时主要是给出分段函数的概念，并求函数值及会作它的图象，第二课时处理书上例1的应用题及绝对值函数。
五、学情分析学生在初中阶段已经学过了一次函数、二次函数等函数及其图象。
在本课时前刚刚学习了函数的概念，函数的表示法及函数的性质。
在此基础上进一步研究分段函数解析式的建立及其图象，对学生在认知方面和心理方面都有着较为充分的准备。
但分段函数解析式的建立仍是学生学习的一个难点，因为学生刚进入高一不久，学习基础不好，分析问题的能力不够强，考虑问题往往不全面。
结合本课教学内容，教师应加强对学生该方面能力的培养。
若设信函的重量为元，能否建立函数本节课以实际问题引入，帮助学生自主探究，明确了分段函数的概念、表示方法以及图象，同时考虑了学生实际，设计了学生课堂学习任务书，有较强的针对性，较好地帮助学生完成了本课时的学习任务。
函数专题之分段函数
A函数专题—分段函数知识点梳理一、定义：分段函数是指自变量在不同范围内，有不同对应法则的函数。
二、注意：1、分段函数是一个函数，而不是几个函数；2、分段函数的定义域是自变量各段取值的并集；3、分段函数的值域是各段函数值的并集。
4、解决分段函数的方法：先分后合三、涉及的内容及相应的常用方法：1、求解析式： 利用分段中递推关系，如平移、周期、对称关系，已知其中一段的解析式，得到整个定义域的解析式；2、求值、解不等式：注意只有自变量在相应的区间段才可以代入对应的解析式。
不能确定时常需要分情况讨论；3、单调性： 各段单调（如递增）+连接处不等关系。
（如()()()12,(,],[,)f x x a f x f x x a ∈-∞⎧⎪=⎨∈+∞⎪⎩在R 上是增函数，则()()()()1212(,)[,)f x a f x a f a f a ⎧-∞↑⎪⎪+∞↑⎨⎪≤⎪⎩①在上②在上③）；4、奇偶性： 分段讨论，各段均符合相同的定义中的恒等式，才有奇偶性，否则为非奇非偶函数；5、图像性质或变换等： 作图、赋值等，注意变量的范围限制；6、最值： 求各段的最值或者上下界再进行比较；7、图像： 分类讨论，如零点分段法得到各段解析式再作图；例题讲解：题型一、分段函数的图像。
1.作出函数()1y x x =+的图象 2. 函数ln |1|xy ex =--的图象大致是 （ ）1、判断函数(1)(0),()(1)(0).x x x f x x x x -<⎧=⎨+>⎩的奇偶性2、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,且当20,()2 3.x f x x x>=-+时求f(x)的解析式。
题型三、分段函数的最值 1、对定义域分别是,fgD D的函数(),()y f x y g x ==.规定：函数()(),,()(),(),f gf g g f f x g x x x h x f x x x g x x x D D D D D D ⎧∈∈⎪⎪=∈∉⎨⎪∈∉⎪⎩当且当且当且 （I ）若函数21(),()1f xg x x x ==-，写出函数()h x 的解析式； （II ）求问题（I ）中函数()h x 的值域；题型四、与分段函数有关的不等式与方程 1、已知1(0)()1(0)x f x x ≥⎧=⎨-<⎩ ，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集是________2、已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩若关于x 的方程f(x)=k 有两个不同的实根，则数k 的取值范围是_______3、设20lg ,0()3,0a x x f x x t dt x >⎧=⎨+⎰≤⎩，若((1))1f f =，则a =1、定义运算⎩⎨⎧>≤=*)()(y x yy x x y x ，若,11-=*-m m m 则m 的取值范围是（ ）A.21≥m B. 1≥m C. 21<m D. 0>m 2、对实数a 与b ，定义新运算“⊗”：,1,,1.aa b a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩ 设函数()()22()2,.f x x x x x R =-⊗-∈若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（ ）A ．(]3,21,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭B ．(]3,21,4⎛⎫-∞-⋃-- ⎪⎝⎭C ．11,,44⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. 3.定义符号函数,0,10,00,1sgn ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=x x x 设[],1,0),(21)21sgn()(2)21sgn()(21∈⋅+-+⋅-=x x f x x f x x f其中),1(2)(,21)(21x x f x x f -=+=若,21,0))((⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈a f f 则实数a 的取值范围是 。
关于分段函数定积分的计算
0
0
ln2
ln7
2
Q Q [ ex ] dx + [ ex ] dx =
ln6
ln7
ln2
ln3
ln7
2
Q Q Q Q 1dx + 2dx + ,+ 6dx + 7dx =
0
ln2
ln6
ln7
14 - ln7! .
2. 2 分段有界有无限个间断点函数的情况
E Q n
2kP+
P 2
cosx
k= 0 2kP
f ( x) =
, ,, ,, ,, ,, ,,
f n( x),
x n- 1 [ x [ x n = b,
而 F( x ) 是 f ( x ) 任一原函数, F( x ) 为连续函数, 且
F1( x), a = x 0 [ x < x1,
F2( x), x1 [ x < x2 ,
F( x) =
, ,, ,, ,, ,, ,,
sinx - 1,
- 1 [ x [ 0, 0 < x [ 1.
解 因为 f ( x ) 在[ - 1, 1] 上有界且只有一个
间断点, 由定理 4 及定积分的性质, 有
1
0
1
Q Q Q f ( x ) dx = x dx + ( sinx - 1) dx =
-1
-1
0
x2 2
0
+ (-
-1
cosx -
Keywords: def init e int egral, piecew ise cont inuous f unct io n, piecew ise bounded funct io n
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x 0, 2 x 2, 4 x 4, 6
6
x
分段函数
问题背景：
水果店：西瓜 购买10斤以内 2元/斤 购买10斤以上（含10斤） 1.9元/斤 问题：买X斤应该付多少钱？ (钱数用y表示）
x x 0,10 分析 : y 2x 2 y 1.9x x x 10, y 1.9
3.分段函数的解析式的一般步骤： (1).确定自变量和它的取值范围 (2).对自变量进行分段 (3).分段写出函数解析式
作业：课本P 63 1.2.3
分段函数——例题讲解
x2 例1.如图所示，是分段函数y 6 x 2
x 0, 2 x 2, 4 x 4, 6
的图像，试求其定义域、值域,最大值、 最小值。 0,6 解： 定义域:_______
y
4
2 o 2 4 6
0,4 值域：_______
分析：
解：
自变量是？ x 自变量是路程 函数定义域： 函数 ? 0,
y
x0,3 12 12 2.4( x - 3) x 3,
元
y
12 4.8 2.4x ,
x 0,3 x 3,
12 8 4
x
1 2
公里
1.分段函数的概念
2.分段函数图像的作法
y x
思考2：画出函数 y x 2 的图像， x 0 x 并求f (5),f (-3).
x
x0
分段函数——例题讲解
y
2 x 1 x , 0 函数y f ( x) 的图像 2 x 1 x 0,
3 2 1 -3 -2 -1 1 2 3 -1 -2
复习：
函数的三种表示方法： 解析法、列表法、图像法
用描点法画函数图象的步骤：
列表、描点、连线 （视其定义域决定是否连线）
画出下列函数的图像：
yx
y 4 2 2 x
2
y 6 x
y 6 4 2 y 6 4 2 x4
4 x6
2
4
6 x
x2 y 6 x 2
x
y
2 x 1 x 2, 0 x 0, 2 函数y f x 1 x 1 x 2,5
6 4 2 -2 -2 2 4 6 x
分段函数——例题讲解
y
函数y x 的图像
x x , 0 y x 0, x
-2 -1
3 2 1 1 2 3 x
函数y x 2 的图像
x 2 x , 2 y x 2, x 2
y 3 2 1 -3 -2 -1 1 2 3 -1 x
分段函数的应用
——出租车计价问题
我市出租汽车收费标准如下：在3公里以内 （含3公里）路程按起步价12元收费，超过 3公里以外的路程按2.4元／公里收费．试 写出收费额y关于路程x的函数解析式．
x
ymax 4 ymin 0
f 5
思考：
f
f 1
? 1 1
2
? 2
? 5 6
5
分段函数——例题讲解
x 1 例2.画出函数 y f x x 1 并求f (2),f (-1).
x 0, 的图像, x0
2 x 1 x , 0 Ex ：画出函数 y f ( x) y x 的图像， 的图像， 思考 1：画出函数 2 x 1 x 0, (2), 并求出并求 f (3), ff(-1) 。 f (-2).