2020版高考数学一轮复习课后限时集训60离散型随机变量及其分布列理北师大版
北师大版版高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布离散型随机变量及其分布列教学案理
一、知识梳理１．随机变量的有关概念（１）随机变量：将随机现象中试验（或观测）的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量，通常用大写的英文字母如X，Y来表示．（２）离散型随机变量：随机变量的取值能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量．２．离散型随机变量的分布列及其性质（１）概念：设离散型随机变量X的取值为a１，a２，…，随机变量X取a i的概率为p i（i＝１，２，…），记作：P（X＝a i）＝p i（i＝１，２，…），或把上式列成表：X＝a i a１a２…P（X＝a i）p１p２…称为离散型随机变量X（２）离散型随机变量的分布列的性质１p i＞0（i＝１，２，…）；２p１＋p２＋…＝１．３．超几何分布一般地，设有N件产品，其中M（M≤N）件次品，从中任取n（n≤N）件产品，用X表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P（X＝k）＝错误!（其中k为非负整数）．如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为N，M，n的超几何分布．常用结论１．随机变量的线性关系若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量．２．分布列性质的两个作用（１）利用分布列中各事件概率之和为１可求参数的值．（２）随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．二、教材衍化１．设随机变量X的分布列如下：X１２３４５P错误!错误!错误!错误!p则p＝________．解析：由分布列的性质知，错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋p＝１，所以p＝１—错误!＝错误!.答案：错误!２．有一批产品共１２件，其中次品３件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是________．解析：因为次品共有３件，所以在取到合格品之前取到次品数为0，１，２，３．答案：0，１，２，３３．设随机变量X的分布列为X１２３４P错误!m错误!错误!则P（|X—３|解析：由错误!＋m＋错误!＋错误!＝１，解得m＝错误!，P（|X—３|＝１）＝P（X＝２）＋P（X＝４）＝错误!＋错误!＝错误!.答案：错误!一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映射为实数．（）（２）抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．（）（３）离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．（）（４）离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．（）（５）从４名男演员和３名女演员中选出４人，其中女演员的人数X服从超几何分布．（）（6）由下表给出的随机变量X的分布列服从两点分布．（）答案：（１）√（２）√（３）√（6）×二、易错纠偏错误!错误!（１）随机变量的概念不清；（２）超几何分布类型掌握不准；（３）分布列的性质不清致误．１．袋中有３个白球、５个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是（）Ａ．至少取到１个白球Ｂ．至多取到１个白球Ｃ．取到白球的个数Ｄ．取到的球的个数解析：选Ｃ．A，B两项表述的都是随机事件，D项是确定的值２，并不随机；C项是随机变量，可能取值为0，１，２．故选Ｃ．２．一盒中有１２个乒乓球，其中9个新的、３个旧的，从盒中任取３个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P（X＝４）＝________．解析：{X＝４}表示从盒中取了２个旧球，１个新球，故P（X＝４）＝错误!＝错误!.答案：错误!３．设某项试验的成功率是失败率的２倍，用随机变量X去描述１次试验的成功次数，则P（X＝0）＝________．解析：由已知得X的所有可能取值为0，１，且P（X＝１）＝２P（X＝0），由P（X＝１）＋P（X ＝0）＝１，得P（X＝0）＝错误!.答案：错误!离散型随机变量的分布列的性质（典例迁移）设离散型随机变量X的分布列为X0１２３４P0．２0．１0．１0．３m求：（１）２X（２）P（１＜X≤４）．【解】由分布列的性质知：0．２＋0．１＋0．１＋0．３＋m＝１，解得m＝0．３．（１）２X＋１的分布列：２X＋１３５79１P0．２0．１0．１0．３0．３（２）P（１＜X0．３＋0．３＝0．7．【迁移探究】（变问法）在本例条件下，求|X—１|的分布列．解：|X—１|的分布列：|X—１|0１２３P0．１0．３0．３0．３错误!离散型随机变量分布列的性质的应用（１）利用分布列中各概率之和为１可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负值．（２）若X为随机变量，则２X＋１仍然为随机变量，求其分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．１．设X是一个离散型随机变量，其分布列为X—１0１P错误!２—３qq２则q的值为（）Ａ．１Ｂ．错误!±错误!C.错误!—错误!Ｄ．错误!＋错误!解析：选Ｃ．由分布列的性质知错误!解得q＝错误!—错误!.２．离散型随机变量X的概率分布规律为P（X＝n）＝错误!（n＝１，２，３，４），其中a是常数，则P（错误!<X<错误!）的值为________．解析：由错误!×a＝１，知错误!a＝１，得a＝错误!.故P错误!＝P（X＝１）＋P（X＝２）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.答案：错误!超几何分布（典例迁移）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A１，A２，A３，A４，A５，A6和４名女志愿者B１，B２，B３，B４，从中随机抽取５人接受甲种心理暗示，另５人接受乙种心理暗示．（１）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A１但不包含B１的概率；（２）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列．【解】（１）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A１但不包含B１的事件为M，则P（M）＝错误!＝错误!.（２）由题意知X可取的值为0，１，２，３，４，则P（X＝0）＝错误!＝错误!，P（X＝１）＝错误!＝错误!，P（X＝２）＝错误!＝错误!，P（X＝３）＝错误!＝错误!，P（X＝４）＝错误!＝错误!.因此X的分布列为【迁移探究１】X的分布列．解：由题意可知X的取值为１，２，３，４，５，则P（X＝１）＝错误!＝错误!，P（X＝２）＝错误!＝错误!，P（X＝３）＝错误!＝错误!，P（X＝４）＝错误!＝错误!，P（X＝５）＝错误!＝错误!.因此X的分布列为X的分布列．解：由题意可知X的取值为３，１，—１，—３，—５，则P（X＝３）＝错误!＝错误!，P（X＝１）＝错误!＝错误!，P（X＝—１）＝错误!＝错误!，P（X＝—３）＝错误!＝错误!，P（X＝—５）＝错误!＝错误!.因此X的分布列为X３１—１—３—５P错误!错误!错误!错误!错误!错误!（１）超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．（２）超几何分布的特征是：１考察对象分两类；２已知各类对象的个数；３从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布．（３）超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．（２0２0·郑州模拟）为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共２00名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示．（１）求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；（２）从这２00名司机中任选两人，设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的分布列．解：（１）由统计图得２00名司机中送考１次的有２0人，送考２次的有１00人，送考３次的有80人，所以该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为错误!＝２．３．（２）从该公司任选两名司机，记“这两人中一人送考１次，另一人送考２次”为事件A，“这两人中一人送考２次，另一人送考３次”为事件B，“这两人中一人送考１次，另一人送考３次”为事件C，“这两人送考次数相同”为事件D，由题意知X的所有可能取值为0，１，２，P（X＝１）＝P（A）＋P（B）＝错误!＋错误!＝错误!，P（X＝２）＝P（C）＝错误!＝错误!，P（X＝0）＝P（D）＝错误!＝错误!，所以X的分布列为X0１２P错误!错误!错误!求离散型随机变量的分布列（师生共研）（２0２0·安阳模拟）某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调查：先销售该产品５0天，统计发现每天的销售量x分布在[５0，１00）内，且销售量x的分布频率f（x）＝错误!（１）求a的值并估计销售量的平均数；（２）若销售量大于或等于70，则称该日畅销，其余为滞销．在畅销日中用分层抽样的方法随机抽取8天，再从这8天中随机抽取３天进行统计，设这３天来自X个组，求随机变量X的分布列及数学期望（将频率视为概率）．【解】（１）由题意知错误!解得５≤n≤9，n可取５，6，7，8，9，结合f（x）＝错误!得错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝１，则a＝0．１５．可知销售量分别在[５0，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，１00）内的频率分别是0．１，0．１，0．２，0．３，0．３，所以销售量的平均数为５５×0．１＋6５×0．１＋7５×0．２＋8５×0．３＋9５×0．３＝8１．（２）销售量分布在[70，80），[80，90），[90，１00）内的频率之比为２∶３∶３，所以在各组抽取的天数分别为２，３，３．X的所有可能取值为１，２，３，P（X＝１）＝错误!＝错误!＝错误!，P（X＝３）＝错误!＝错误!＝错误!，P（X＝２）＝１—错误!—错误!＝错误!.X的分布列为X１２３P错误!错误!错误!数学期望EX＝１×错误!错误!求离散型随机变量X的分布列的步骤（１）理解X的意义，写出X可能取的全部值；（２）求X取每个值的概率；（３）写出X的分布列．求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于１２月４日到１２月３１日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出行．市政府为了了解民众低碳出行的情况，统计了该市甲、乙两个单位各２00名员工１２月５日到１２月１４日共１0天的低碳出行的人数，画出茎叶图如图所示：（１）若甲单位数据的平均数是１２２，求x；（２）现从图中的数据中任取４天的数据（甲、乙两个单位中各取２天），记抽取的４天中甲、乙两个单位员工低碳出行的人数不低于１３0的天数分别为ξ１，ξ２，令η＝ξ１＋ξ２，求η的分布列．解：（１）由题意知错误!＝１２２，解得x＝8．（２）由题得ξ１的所有可能取值为0，１，２，ξ２的所有可能取值为0，１，２，因为η＝ξ１＋ξ２，所以随机变量η的所有可能取值为0，１，２，３，４．因为甲单位低碳出行的人数不低于１３0的天数为３，乙单位低碳出行的人数不低于１３0的天数为４，所以P（η＝0）＝错误!＝错误!；P（η＝１）＝错误!＝错误!；P（η＝２）＝错误!＝错误!；P（η＝３）＝错误!＝错误!；P（η＝４）＝错误!＝错误!.所以η的分布列为η0１２３４P错误!错误!错误!错误!错误![基础题组练]１．（２0２0·河北保定模拟）若离散型随机变量X的分布列如下表，则常数c的值为（）X0１P9c２—c３—8cＡ．错误!或错误!C.错误!Ｄ．１解析：选Ｃ．由随机变量的分布列的性质知，0≤9c２—c≤１，0≤３—8c≤１，9c２—c＋３—8c＝１，解得c＝错误!.故选Ｃ．２．（２0２0·陕西咸阳模拟）设随机变量ξ的概率分布列为P（ξ＝k）＝a错误!错误!，其中k＝0，１，２，那么a的值为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｄ．因为随机变量ξ的概率分布列为P（ξ＝k）＝a错误!错误!，其中k＝0，１，２，所以P（ξ＝0）＝a错误!错误!＝a，P（ξ＝１）＝a错误!错误!＝错误!，P（ξ＝２）＝a错误!错误!＝错误!，所以a＋错误!＋错误!＝１，解得a＝错误!.故选Ｄ．３．在１５个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选１0个村庄，用X表示这１0个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于错误!的是（）Ａ．P（X＝２）Ｂ．P（X≤２）Ｃ．P（X＝４）Ｄ．P（X≤４）解析：选Ｃ．X服从超几何分布，P（X＝k）＝错误!，故k＝４，故选Ｃ．４．一袋中装有５个球，编号为１，２，３，４，５，在袋中同时取出３个，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解析：选Ｃ．随机变量ξ的可能取值为１，２，３，P（ξ＝１）＝错误!＝错误!，P（ξ＝２）＝错误!＝错误!，P（ξ＝３）＝错误!＝错误!，故选Ｃ．５．已知在１0件产品中可能存在次品，从中抽取２件检查，其中次品数为ξ，已知P（ξ＝１）＝错误!，且该产品的次品率不超过４0%，则这１0件产品的次品率为（）Ａ．１0% Ｂ．２0%Ｃ．３0% Ｄ．４0%解析：选Ｂ．设１0件产品中有x件次品，则P（ξ＝１）＝错误!＝错误!＝错误!，所以x＝２或8．因为次品率不超过４0%，所以x＝２，所以次品率为错误!＝２0%.6．在含有３件次品的１0件产品中，任取４件，X表示取到的次品数，则P（X＝２）＝________．解析：由题意知，X服从超几何分布，其中N＝１0，M＝３，n＝４，故P（X＝２）＝错误!＝错误!.答案：错误!7．从４名男生和２名女生中任选３人参加演讲比赛，则所选３人中女生人数不超过１人的概率是________．解析：设所选女生人数为X，则X服从超几何分布，则P（X≤１）＝P（X＝0）＋P（X＝１）＝错误!＋错误!＝错误!.答案：错误!8．随机变量X的分布列如下：其中a，b，c成等差数列，则P（|d的取值范围是________．解析：因为a，b，c成等差数列，所以２b＝a＋c.又a＋b＋c＝１，所以b＝错误!，所以P（|X|＝１）＝a＋c＝错误!.又a＝错误!—d，c＝错误!＋d，根据分布列的性质，得0≤错误!—d≤错误!，0≤错误!＋d≤错误!，所以—错误!≤d≤错误!.答案：错误![—错误!，错误!]9．（２0２0·宿州模拟）某市某超市为了回馈新老顾客，决定在元旦来临之际举行“庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动．为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案，该超市面向该市某高中学生征集活动方案，该中学某班数学兴趣小组提供的方案获得了征用．方案如下：将一个４×４×４的正方体各面均涂上红色，再把它分割成6４个相同的小正方体．经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记它们的着色面数之和为ξ，记抽奖一次中奖的礼品价值为η.（１）求P（ξ＝３）．（２）凡是元旦当天在该超市购买物品的顾客，均可参加抽奖．记抽取的两个小正方体着色面数之和为6，设为一等奖，获得价值５0元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为５，设为二等奖，获得价值３0元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为４，设为三等奖，获得价值１0元的礼品，其他情况不获奖．求某顾客抽奖一次获得的礼品价值的分布列与数学期望．解：（１）6４个小正方体中，三面着色的有8个，两面着色的有２４个，一面着色的有２４个，另外8个没有着色，所以P（ξ＝３）＝错误!＝错误!＝错误!.（２）ξ的所有可能取值为0，１，２，３，４，５，6，η的取值为５0，３0，１0，0，P（η＝５0）＝P（ξ＝6）＝错误!＝错误!＝错误!，P（η＝３0）＝P（ξ＝５）＝错误!＝错误!＝错误!，P（η＝１0）＝P（ξ＝４）＝错误!＝错误!＝错误!，P（η＝0）＝１—错误!—错误!—错误!＝错误!.所以η的分布列如下：所以Eη＝５0×错误!＋３0×错误!＋１0×错误!＋0×错误!＝错误!.１0．（２0２0·三明模拟）为了防止受到核污染的产品影响民众的身体健康，某地要求这种产品在进入市场前必须进行两轮苛刻的核辐射检测，只有两轮检测都合格才能上市销售，否则不能销售．已知该产品第一轮检测不合格的概率为错误!，第二轮检测不合格的概率为错误!，每轮检测结果只有“合格”、“不合格”两种，且两轮检测是否合格相互之间没有影响．（１）求该产品不能上市销售的概率；（２）如果这种产品可以上市销售，则每件产品可获利５0元；如果这种产品不能上市销售，则每件产品亏损80元（即获利为—80元）．现有这种产品４件，记这４件产品获利的金额为X元，求X的分布列．解：（１）记“该产品不能上市销售”为事件A，则P（A）＝１—错误!错误!＝错误!，所以该产品不能上市销售的概率为错误!.（２）由已知可知X的取值为—３２0，—１90，—60，70，２00．P（X＝—３２0）＝C错误!错误!错误!错误!错误!＝错误!，P（X＝—１90）＝C错误!错误!错误!错误!错误!＝错误!，P（X＝—60）＝C错误!错误!错误!错误!错误!＝错误!＝错误!，P（X＝70）＝C错误!错误!错误!错误!错误!＝错误!，P（X＝２00）＝C错误!错误!错误!错误!错误!＝错误!.所以X的分布列为[综合题组练]１．（２0２0·唐山模拟）我国城市空气污染指数范围及相应的空气质量类别如下表：数00000000000空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重污染为C类天．某市从全年空气污染指数的监测数据中随机抽取了１8天的数据制成如下茎叶图（百位为茎）：（１）从这１8天中任取３天，求至少含２个A类天的概率；（２）从这１8天中任取３天，记X是达到A类天或B类天的天数，求X的分布列．解：（１）从这１8天中任取３天，取法种数为C错误!＝8１6，３天中至少有２个A类天的取法种数为C错误!C错误!＋C错误!＝４6，所以这３天至少有２个A类天的概率为错误!.（２）X的所有可能取值是３，２，１，0．当X＝３时，P（X＝３）＝错误!＝错误!，当X＝２时，P（X＝２）＝错误!＝错误!，当X＝１时，P（X＝１）＝错误!＝错误!＝错误!，当X＝0时，P（X＝0）＝错误!＝错误!＝错误!.所以X的分布列为X３２１0P错误!错误!错误!错误!２．（２0了“这个冬天不再冷”冬衣募捐活动，共有５0名志愿者参与．志愿者的工作内容有两项：１到各班宣传，倡议同学们积极捐献冬衣；２整理、打包募捐上来的衣物．每位志愿者根据自身实际情况，只参与其中的某一项工作，相关统计数据如下表所示：到班级宣传整理、打包衣物总计人是参与班级宣传的志愿者的概率；（２）若参与班级宣传的志愿者中有１２名男生，8名女生，从中选出２名志愿者，用X表示女生人数，写出随机变量X的分布列及数学期望．解：（１）用分层抽样的方法，抽样比是错误!＝错误!，所以５人中参与班级宣传的志愿者有２0×错误!＝２（人），参与整理、打包衣物的志愿者有３0×错误!＝３（人），故所求概率P＝１—错误!＝错误!.（２）X的所有可能取值为0，１，２，则P（X＝0）＝错误!＝错误!，P（X＝１）＝错误!＝错误!，P（X＝２）＝错误!＝错误!，所以X的分布列为所以X的数学期望EX３．（２0２0·安徽宿州三调）为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，安徽省推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期、月度滚动使用．第一阶梯：年用电量在２１60度以下（含２１60度），执行第一档电价0．５6５３元/度；第二阶梯：年用电量在２１6１度到４２00度内（含４２00度），超出２１60度的电量执行第二档电价0．6１５３元/度；第三阶梯：年用电量在４２00度以上，超出４２00度的电量执行第三档电价0．86５３元/度．某市的电力部门从本市的用户中随机抽取１0户，统计其同一年度的用电情况，列表如下：（２）现要在这１0户中任意选取４户，对其用电情况进行进一步分析，求取到第二阶梯的户数的分布列与数学期望．解：（１）因为第二档电价比第一档电价每度多0．0５元， 第三档电价比第一档电价每度多0．３元， 编号为１0的用户一年的用电量是４ 600度， 所以该户该年应交电费４ 600×0．５6５ ３＋（４ ２00—２ １60）×0．0５＋（４ 600—４ ２00）×0．３＝２ 8２２．３8（元）．（２）设取到第二阶梯的户数为X ，易知第二阶梯的有４户，则X 的所有可能取值为0，１，２，３，４．P （X ＝0）＝错误!＝错误!， P （X ＝１）＝错误!＝错误!， P （X ＝２）＝错误!＝错误!， P （X ＝３）＝错误!＝错误!， P （X ＝４）＝错误!＝错误!，故X 的分布列是所以EX ＝0×错误。
高考数学一轮专项复习练习卷-北师大版-离散型随机变量及其分布列、数字特征(含解析)
一、单项选择题1．已知离散型随机变量X 的分布列为X 123P35a110则X 的均值EX 等于()A.32B ．2C.52D ．32．已知甲、乙两种产业收益的分布列分别为：甲产业收益分布列收益X /亿元－102概率0.10.30.6乙产业收益分布列收益Y /亿元012概率0.30.40.3则下列说法正确的是()A ．甲产业收益的期望大，风险高B ．甲产业收益的期望小，风险小C ．乙产业收益的期望大，风险小D ．乙产业收益的期望小，风险高3．(2023·南宁模拟)已知随机变量X 的分布列为X －101P121316且Y ＝aX ＋3，E (Y )＝73，则a 为()A ．1B ．2C ．3D ．44．现有3道单选题，学生李明对其中的2道题有思路，1道题完全没有思路，有思路的题答对的概率为45，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为14，若每题答对得5分，不答或答错得0分，则李明这3道题得分的均值为()A.93 10B.374C.394D.211205．(2023·洛阳模拟)随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝ck2＋k，k＝1,2,3，其中c是常数，则D(9ξ－3)的值为()A．10B．117C．38D．356．(2024·桂林模拟)设0<a<1.随机变量X的分布列为X0a1P 131313当a在(0,1)上增大时，则()A．EX不变B．EX减小C．DX先增大后减小D．DX先减小后增大二、多项选择题7．已知随机变量X和Y，其中Y＝12X＋7，且EY＝34，若X的分布列如表：X1234P 14m n112则下列正确的是()A．EX＝12B．EX＝94C．m＝13D．n＝138．某校欲举办运动会，为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛会志愿者队伍，运动会组织委员会欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长．下列说法正确的有()A．设事件A：“抽取的3人中既有男志愿者，也有女志愿者”，则P(A)＝67B．设事件A：“抽取的3人中至少有一名男志愿者”，事件B：“抽取的3人中全是男志愿者”，则P(B|A)＝2 17C．用X表示抽取的3人中女志愿者的人数，则E(X)＝127D．用Y表示抽取的3人中男志愿者的人数，则D(Y)＝2449三、填空题9．已知离散型随机变量ξ的分布列如表所示．ξ－202P a b 1 2若随机变量ξ的均值Eξ＝12，则D(2ξ＋1)＝________.10．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如表所示：降水量X X<300300≤X<700700≤X<900X≥900工期延误天数Y02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9，则工期延误天数Y的均值为________．11．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为p(0<p<1)，发球次数为X，若X的均值EX>1.75，则p的取值范围为________．12．(2024·稽阳模拟)已知甲盒中有3个红球2个白球，乙盒中有4个红球1个白球，从甲盒中随机取1球放入乙盒，然后再从乙盒中随机取2球，记取到红球的个数为随机变量X，则X的均值为________．四、解答题13．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，求：(1)“所选3人中女生人数X≤1”的概率；(2)X的均值与方差．14．(2023·泰安模拟)某公司为活跃气氛、提升士气，年终拟通过抓阄兑奖的方式对所有员工进行奖励．规定：每位员工从一个装有4个标有面值的阄的袋中一次性随机摸出2个阄，阄上所标的面值之和为该员工获得的奖励金额．(1)若袋中所装的4个阄中有1个所标的面值为800元，其余3个均为200元，求：①员工所获得的奖励金额为1000元的概率；②员工所获得的奖励金额的分布列及均值；(2)公司对奖励金额的预算是人均1000元，并规定袋中的4个阄只能由标有面值200元和800元的两种阄或标有面值400元和600元的两种阄组成．为了使员工得到的奖励金额尽可能符合公司的预算且每位员工所获得的奖励金额相对均衡，请对袋中的4个阄的面值给出一个合适的设计，并说明理由．15．(多选)(2023·武汉模拟)已知随机变量X的取值为不大于n(n∈N+)的非负整数，它的分布列为X0123…nP p0p1p2p3…p n定义由X生成的函数f(x)＝p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＋…＋p i x i＋…＋p n x n，g(x)为函数f(x)的导函数，EX为随机变量X的均值．现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有1,2,3,4四个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为X，此时由X生成的函数为f1(x)，则() A．EX＝g(2)B．f1(2)＝152C．EX＝g(1)D．f1(2)＝225416．(多选)(2023·山东省实验中学模拟)随机变量ξ的分布列如表，其中xy≠0，下列说法正确的是()ξ012P x y32y3A．x＋y＝1B．Eξ＝5y3C．Dξ有最大值D．Dξ随y的增大而减小§10.5离散型随机变量及其分布列、数字特征1．A 2.A3.B4.B5.C6．D [EX ＝0×13＋a ×13＋1×13＝a ＋13，∴当a 在(0,1)上增大时，EX 增大，DX ×13＋×13＋×13＝127[(a ＋1)2＋(2a －1)2＋(2－a )2]＝29(a 2－a ＋1)＋16，∴当a 在(0,1)上增大时，DX 先减小后增大．]7．BCD[根据分布列可知m ＋n ＝1－14－112＝23，①因为Y ＝12X ＋7，所以EY ＝12EX ＋7＝34，解得EX ＝94，又由分布列可得EX ＝1×14＋2×m ＋3×n ＋4×112＝94，整理得2m ＋3n ＝53，②联立①②解得m ＝13，n ＝13.]8．ABD[所有可能的情况有C 37＝35(种)，其中既有男志愿者，也有女志愿者的情况有C 14C 23＋C 24C 13＝30(种)，故P (A )＝3035＝67，故A 正确；P (AB )＝C 34C 37＝435，P (A )＝C 14C 23＋C 24C 13＋C 34C 37＝3435，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝434＝217，故B 正确；X 的所有可能取值为0,1,2,3，则P (X ＝0)＝C 34C 37＝435，P (X ＝1)＝C 13C 24C 37＝1835，P (X ＝2)＝C 23C 14C 37＝1235，P (X ＝3)＝C 33C 37＝135，所以EX ＝0×435＋1×1835＋2×1235＋3×135＝97，故C 错误；由C 知，DX ＝435×＋1835×＋1235×＋135×＝2449，因为Y ＝3－X ，所以DY ＝DX ＝2449，故D 正确．]9．1110.311．0<p <12解析由题意知P (X ＝1)＝p ，P (X ＝2)＝p (1－p )，P (X ＝3)＝(1－p )2，所以EX ＝p ＋2p (1－p )＋3(1－p )2>1.75，解得p >52或p <12，又p ∈(0,1)，所以p 12.2315解析若从甲盒中随机取到的为红球且概率为35，则X 的可能取值为1,2，则P 1(X ＝1)＝C 15C 11C 26＝13，P 1(X ＝2)＝C 25C 26＝23，若从甲盒中随机取到的为白球且概率为25，则X 的可能取值为0,1,2，则P 2(X ＝0)＝C 22C 26＝115，P 2(X ＝1)＝C 14C 12C 26＝815，P 2(X ＝2)＝C 24C 26＝25，综上，P (X ＝0)＝25×P 2(X ＝0)＝275，P (X ＝1)＝35×P 1(X ＝1)＋25×P 2(X ＝1)＝3175，P (X ＝2)＝35×P 1(X ＝2)＋25×P 2(X ＝2)＝1425，故EX ＝0×275＋1×3175＋2×1425＝2315.13．解(1)“所选3人中女生人数X ≤1”的概率P ＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 34C 36＋C 24C 12C 36＝15＋35＝45.(2)因为从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，随机变量X 表示所选3人中女生的人数，所以X 的可能取值为0,1,2，P (X ＝0)＝C 34C 36＝15，P (X ＝1)＝C 24C 12C 36＝35，P (X ＝2)＝C 14C 22C 36＝15，所以X 的分布列为X 012P153515所以EX ＝0×15＋1×35＋2×15＝1.DX ＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.14．解(1)设员工所获得的奖励金额为X ，①P (X ＝1000)＝C 13C 24＝12，∴员工所获得的奖励金额为1000元的概率为12.②X 所有可能的取值为400,1000，P (X ＝400)＝C 23C 24＝12，∴X 的分布列为X 4001000P1212∴员工所获得的奖励金额的均值为EX ＝400×12＋1000×12＝700(元)．(2)根据公司预算，每个员工的平均奖励金额为1000元，∴先寻找均值为1000元的可能方案，对于面值由800元和200元组成的情况，如果选择(200,200,200,800)的方案，∵1000元是面值之和的最大值，∴均值不可能为1000元，如果选择(800,800,800,200)的方案，∵1000元是面值之和的最小值，∴均值不可能为1000元，因此可能的方案是(800,800,200,200)，记为方案1；同理，对于面值由600元和400元组成的情况，排除(600,600,600,400)和(400,400,400,600)的方案，∴可能的方案是(400,400,600,600)，记为方案2.对于方案1，设员工所获得的奖励金额为X 1，X 1可取400,1000,1600，P (X 1＝400)＝C 22C 24＝16，P (X 1＝1000)＝C 12C 12C 24＝23，P (X 1＝1600)＝C 22C 24＝16，∴EX 1＝400×16＋1000×23＋1600×16＝1000，DX 1＝(400－1000)2×16＋(1000－1000)2×23＋(1600－1000)2×16＝120000；对于方案2，设员工所获得的奖励金额为X 2，X 2可取800,1000,1200，P (X 2＝800)＝C 22C 24＝16，P (X 2＝1000)＝C 12C 12C 24＝23，P (X 2＝1200)＝C 22C 24＝16，∴EX 2＝800×16＋1000×23＋1200×16＝1000，DX 2＝16×(800－1000)2＋23×(1000－1000)2＋16×(1200－1000)2＝400003，由于两种方案的奖励金额都符合预算要求，但方案2的方差比方案1小，∴应选择方案2.15．CD[因为f (x )＝p 0＋p 1x ＋p 2x 2＋p 3x 3＋…＋p i x i ＋…＋p n x n ，则g (x )＝f ′(x )＝p 1＋2p 2x 1＋3p 3x 2＋…＋ip i x i －1＋…＋np n x n －1，EX ＝p 1＋2p 2＋3p 3＋…＋ip i ＋…＋np n ，当x ＝1时，EX ＝g (1)，故A 错误，C 正确；连续抛掷两次骰子，向下点数之和为X ，则X 的分布列为X 2345678P116216316416316216116f 1(x )＝116x 2＋216x 3＋316x 4＋416x 5＋316x 6＋216x 7＋116x 8，f 1(2)＝116×22＋216×23＋316×24＋416×25＋316×26＋216×27＋116×28＝2254，故B 错误，D 正确．]16．ABC[由题意可知x ＋y 3＋2y3＝1，即x ＋y ＝1，故A 正确；Eξ＝0×x ＋1×y 3＋2×2y 3＝5y3，故B 正确；Dξ＝＋＝(1－y ＝－259y 2＋3y ，因为xy ≠0，x ＋y ＝1，易得0<y <1，而函数f (y )＝－259y 2＋3y 的图象开口向下，对称轴为y ＝2750，所以f (y )故f(y)在y＝2750处取得最大值，所以Dξ随着y的增大先增大后减小，当y＝2750时取得最大值，故C正确，D错误．]。
北师大版高三理科数学课后习题(含答案)课时规范练62离散型随机变量的均值与方差
课时规范练62离散型随机变量的均值与方差基础巩固组1.某地区一模考试数学成绩X服从正态分布N(90,σ2),且P(X<70)=0.2.从该地区参加一模考试的学生中随机抽取10名学生的数学结果,数学成绩在[70,110]的人数记作随机变量ξ.则ξ的方差为( )A.2B.2.1C.2.4D.3剖析由正态分布知,每个人数学成绩在[70,110]的概率为2×(0.5-0.2)=0.6,所以10个学生数学成绩在[70,110]的人数服从二项分布B(10,0.6),所以方差为10×0.6×(1-0.6)=2.4,故选C.2.(2019浙江宁波六校联考,5)设随机变量X的分布列如下:则方差DX=()A.0B.1C.2D.31-0.1-0.3-0.4=0.2,EX=1×0.2+2×0.3+3×0.4=2,EX 2=1×0.2+4×0.3+9×0.4=5,DX=EX 2-[EX ]2=5-4=1,故选B .3.(2019北京西城模仿,4)若某科技小制作课的模型制作规则是:每位学生最多制作3次,一旦制作乐成,则制止制作,否则可制作3次.设某学生一次制作成功的概率为p(p≠0),制作次数为X,若X 的均值EX>,则p 的取值范围是( ) A .(0,712)B .(712,1) C .(0,12)D .(12,1)P (X=1)=p ,P (X=2)=(1-p )p ,P (X=3)=(1-p )2p+(1-p )3=(1-p )2,则EX=P (X=1)+2P (X=2)+3P (X=3)=p+2(1-p )p+3(1-p )2=p 2-3p+3>74,解得p>52或p<12.又p ∈(0,1],所以p ∈(0,12),故选C .4.(2019广东中山模仿,6)已知随机变量X 满足E(1-X)=5,D(1-X)=5,则下列说法正确的是( ) A.EX=-5,DX=5 B.EX=-4,DX=-4 C.EX=-5,DX=-5D.EX=-4,DX=5X满足E(1-X)=5,D(1-X)=5,所以E(1-X)=1-EX=5,12×D(X)=5,解得EX=-4,DX=5,故选D.5.(2019江西吉安模仿,6)已知甲盒子中有m个红球,n个蓝球,乙盒子中有m-1个红球,n+1个蓝球(m≥3,n≥3),同时从甲乙两个盒子中取出i(i=1,2)个球举行互换,(a)交换后,从甲盒子中取1个球是红球的概率记为pi(i=1,2).(b)交换后,乙盒子中含有红球的个数记为ξi(i=1,2).则( )A.p1>p2,Eξ1<Eξ2B.p1<p2,Eξ1>Eξ2C.p1>p2,Eξ1>Eξ2D.p1<p2,Eξ1<Eξ2剖析凭据题意有,要是互换一个球,有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球互换的乙盒的红球,红球的个数就会出现m,m-1,m+1三种情况;要是互换的是两个球,有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝一红换两蓝,对应的红球的个数就是m-2,m-1,m,m+1,m+2五种情况,所以分析可以求得p1>p2,Eξ1<Eξ2,故选A.6.记5个互不相等的正实数的平均值为,方差为A,去掉此中某个数后,记余下4个数的平均值为,方差为B,则下列说法中一定正确的是( )A.若x=y,则A<BB.若x=y,则A>BC.若x<y,则A<BD.若x<y,则A>B解析根据平均值与方差的界说,能够确定其时,去掉的谁人数便是,那么就有A=[(x1-)2+(x2-)2+(x3-)2+(x4-)2+0],B=[(x1-)2+(x2-)2+(x3-) 2+(x4-)2],所以可以得到A<B,而当时.对于所去掉的那个数对平均数的差距不明白.故选A.7.已知5台机器中有2台存在妨碍,现需要通过逐台检测直至区分出2台妨碍呆板为止.若检测一台机器的费用为1 000元,则所需检测费的均值为( )A.3 200B.3 400C.3 500D.3 600x,则x的所有可能取值为2,3,4.P (x=2)=A 22A 52=110,P (x=3)=A 21C 31A 22+A 33A 53=310,P (x=4)=C 21C 31A 32C 21A 54=35,所以E (x )=2×110+3×310+4×35=3.5,所以所需的检测费用的均值为1 000×3.5=3 500.8.(2019山东济南模仿,14)设0<P<1,若随机变量ξ的分布列是:则当P 变化时,D ξ的极大值是 .解析因为E ξ=0×p 2+1×12+2×1-p 2=3-2p 2,所以D ξ=p 20-3-2p 22+12(1-3-2p 2)2+1-p 22-3-2p 22=14[2-(2p-1)2]≤12.当且仅当p=12时取等号,因此D (ξ)的极大值是12.综合提升组9.(2019湖北黄冈模仿,9)已知随机变量ξ(i=1,2)的分布列如表所示:若0<p 1<12<p 2<23,则( )A.E ξ1<E ξ2,D ξ1<D ξ2 B .E ξ1<E ξ2,D ξ1>D ξ2C.E ξ1>E ξ2,D ξ1>D ξ2 D .E ξ1>E ξ2,D ξ1>D ξ2E ξi =p i +2(23-p i )=43-p i .∵0<p 1<12<p 2<23, ∴E ξ1>E ξ2.∵D ξi =13[0-E ξi ]2+p i [1-E ξi ]2+(23-p i )[2-E ξi ]2,∴D ξi =13(p i -43)2+p i p i -132+(23-p i )(p i +23)2=-p i2−13p i +89.设f(x)=-x2-x+,则f(x)在上是淘汰的.∵0<p 1<12<p 2<23, ∴D ξ1>D ξ2,故选D .10.(2019浙江台州调研,6)一个不透明袋中放有大小、形状均雷同的小球,其中红球3个、黑球2个,现随机等大概取出小球.当有放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为ξ1,则Eξ1= ;若第一次取出一个小球后,放入一个红球和一个黑球,再第二次随机取出一个小球.记取出的红球总数为ξ2,则Eξ2= .761可取值为0,1,2,P (ξ1=0)=C 21C 21C 51C 51=425,P (ξ1=1)=C 31C 21+C 21C 31C 51C 51=1225,P (ξ1=2)=C 31C 31C 51C 51=925,所以E ξ1=1×1225+2×925=65;ξ2可取值为0,1,2,P (ξ2=0)=C 21C 21C 51C 61=215,P (ξ2=1)=C 31C 31+C 21C 41C 51C 61=1730,P (ξ2=2)=C 31C 31C 51C 61=310,所以E ξ2=1×1730+2×310=76.11.(2019河南八市联考,19)有一名高二学生盼望2020年进入某名牌大学学习,假设该名牌大学有以下条件之一均可录取:①2020年2月通过考试进入国家数学奥赛集训队(集训队从2019年10月省数学竞赛一等奖中选拔);②2020年3月自主招生考试通过并且达到2020年6月高考重点分数线;③2020年6月高考达到该校录取分数线(该校录取分数线高于重点线).该学生具备参加省数学竞赛、自主招生和高考的资格且估计自己通过各种考试的概率如下表:若该学生数学比赛获省一等奖,则该学生估计进入国家集训队的概率是0.2.若进入国家集训队,则提前登科,若未被登科,则再按②、③次序依次登科,前面已经被登科后,不得参加背面的测验或登科.(注:自主招生考试通过且高考达重点线才能录取)(1)求该学生参加自主招生考试的概率;(2)求该学生参加考试的次数X的分布列及均值;(3)求该学生被该校登科的概率.设该学生参加省数学竞赛获一等奖、参加国家集训队的事件分别为A,B,则P(A)=0.5,P(B)=0.2,P1=P(+P(A=1-0.5+0.5×(1-0.2)=0.9.即该学生参加自主招生考试的概率为0.9.(2)该学生参加考试的次数X的可能取值为2,3,4,P(X=2)=P(A)P(B)=0.5×0.2=0.1;P(X=3)=P(=1-0.5=0.5;P(X=4)=P(A)P()=0.5×0.8=0.4.所以X的分布列为EX=2×0.1+3×0.5+4×0.4=3.3.(3)设该学生自主招生通过并且高考到达重点分数线登科,自主招生未通过但高考达到该校录取分数线录取的事件分别为C,D.P(AB)=0.1,P(C)=0.9×0.6×0.9=0.486,P(D)=0.9×0.4×0.7=0.25 2,所以该学生被该校录取的概率为P2=P(AB)+P(C)+P(D)=0.838.创新应用组12.(2019江西吉安模仿,7)如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为64个同样巨细的小正方体,颠末搅拌后,从中随机取出一个小正方体,记它的油漆面数为X,则X的均值EX=( )A.4532B.54C.32D.2X=0,1,2,3,P (X=0)=2×2×264=18;P (X=1)=2×2×664=38;P (X=2)=2×1264=38;P (X=3)=864=18,所以EX=0×18+1×38+2×38+3×18=32.故选C .13.或人共有五发子弹,他射击一次掷中目的的概率是,击中目标后射击制止,射击次数X 为随机变量,则EX= .(X=1)=12,P (X=2)=(12)2=14,P (X=3)=(12)3=18, P (X=4)=(12)4=116,P (X=5)=(12)4×1=116,列表所以EX=1×12+2×14+3×18+4×116+5×116=3116.14.(2019安徽六安二中、霍邱一中联考,19)甲将要到场某决赛,赛前A,B,C,D 四位同学对冠军得主举行竞猜,每人选择一名选手,已知A,B 选择甲的概率均为m,C,D 选择甲的概率均为n(m<n),且四人同时选择甲的概率为,四人均未选择甲的概率为 (1)求m ,n 的值;(2)设四位同学中选择甲的人数为X,求X 的漫衍列和均值.由已知可得{m 2n 2=481,(1-m )2(1-n )2=481,1>n >m >0,解得{m =13,n =23.(2)X 可能的取值为0,1,2,3,4, P (X=0)=23×23×13×13=481,P (X=1)=C 21×13×(1-13)×(1-23)2+(1-13)2×C 21×23×(1-23)=2081,P (X=2)=C 21×13×(1-13)×C 21×23×(1-23)+(13)2×1-232+(1-13)2×(23)2=3381=1127,P (X=3)=C 21×23×(1-23)×(23)2+(13)2×C 21×23×(1-23)=2081,P (X=4)=13×13×23×23=481. X 的分布列如下表:EX=0×484+1×2081+2×1127+3×2081+4×481=2.15.(2019四川内江模仿,19)现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度举行观察,随机抽调了50人,他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”同意人数如下表.(1)由以上统计数据填下面2×2列联表,并问是否有99%的把握认为“月收入以5 500元为分界点”对“楼市限购令”的态度有差异;(2)若对在[15,25)、[25,35)的被调查者中各随机选取两人举行追踪调查,记选中的4人中不赞成“楼市限购令”的人数为ξ,求随机变量ξ的漫衍列及均值.参考公式:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.参考值表:×2列联表:所以χ2=50(3×11-7×29)210×40×32×18≈6.27<6.635,则没有99%的把握认为月收入以5 500元为分界点对“楼市限购令”的态度有差别.(2)ξ的所有可能取值有0,1,2,3.所以P(ξ=0)=C42C52×C82C102=610×2845=84225,P(ξ=1)=C41C52×C82C102+C42C52×C81×C21C102=410×2845+610×1645=104225,P(ξ=2)=C41C52×C81C21C102+C42C52×C22C102=410×1645+610×145=35225,P(ξ=3)=C41C52×C22C102=410×145=2225.则ξ的分布列如下表:则ξ的均值是Eξ=0×84225+1×104225+2×35225+3×2225=45.16.(2019江苏宿迁模仿,17)已知某盒子中共有6个小球,编号为1号至6号,其中有3个红球、2个黄球和1个绿球,这些球除颜色和编号外完全相同.(1)若从盒中一次随机取出3个球,求取出的3个球中恰有2个颜色相同的概率;(2)若从盒中逐一取球,每次取后立刻放回,共取4次,求恰有3次取到黄球的概率;(3)若从盒中逐一取球,每次取后不放回,记取完黄球所需次数为X,求随机变量X的分布列及均值EX.从盒中一次随机取出3个球,记取出的3个球中恰有2个颜色相同为事件A,则事件A 包含事件“3个球中有2个红球”和事件“3个球中有2个黄球”,由古典概型的概率公式和互斥事件的概率加法公式得P (A )=C 32C 31+C 22C 41C 63=1320.答:取出的2个球颜色相同的概率为1320.(2)盒中逐一取球,取后立刻放回,每次取到黄球的概率为,记“取4次恰有3次黄球”为事件B,则P (B )=C 43·(13)3·(1-13)=881.答:取4次恰有3次黄球的概率为881. (3)X 的可能取值为2,3,4,5,6, 则P (X=2)=A 22A 62=115,P (X=3)=C 21C 41A 22A 63=215,P (X=4)=C 21C 42A 33A 64=15, P (X=5)=C 21C 43A 44A 65=415,P (X=6)=C 21A 55A 66=13,所以随机变量X 的分布列为:所以,随机变量X 的均值为EX=2×115+3×215+4×15+5×415+6×13=143.。
2020版高考数学北京版大一轮精准复习精练：11.2离散型随机变量及其分布列、均值与方差含解析
11.2离散型随机变量及其分布列、均值与方差挖命题【考情探究】分析解读 1.会求简单的离散型随机变量的分布列,理解超几何分布.2.理解数学期望与方差的概念,熟练掌握期望与方差的求解方法.3.分布列、期望及方差均为高考的必考内容.本节在高考中一般以解答题形式出现,分值约为13分,属中高档题.破考点【考点集训】考点一离散型随机变量及其分布列1.(2015重庆,17,13分)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.(1)求三种粽子各取到1个的概率;(2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望.解析(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有P(A)==.(2)X的所有可能值为0,1,2,且P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==.综上知,X的分布列为X012故E(X)=0×+1×+2×=(个).2.春节期间,受烟花爆竹集中燃放的影响,我国多数城市空气中PM2.5浓度快速上升,特别是在大气扩散条件不利的情况下,空气质量在短时间内会迅速恶化.2017年除夕18时和初一2时,国家环保部门对8个城市空气中PM2.5浓度监测的数据如下表(单位:微克/立方米):(1)求这8个城市除夕18时空气中PM2.5浓度的平均值;(2)环保部门发现:除夕18时到初一2时空气中PM2.5浓度上升不超过100的城市都是“禁止燃放烟花爆竹”的城市, 浓度上升超过100的城市都未禁止燃放烟花爆竹.从以上8个城市中随机选取3个城市组织专家进行调研,记选到“禁止燃放烟花爆竹”的城市个数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.解析(1)8个城市除夕18时空气中PM2.5浓度的平均值为=70微克/立方米.(2)8个城市中“禁止燃放烟花爆竹”的有太原,上海,南京,杭州4个城市,随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.所以X的分布列为X的数学期望EX=0×+1×+2×+3×==.考点二离散型随机变量的均值与方差3.已知离散型随机变量X的分布列为X123则X的数学期望E(X)=()A. B.2 C. D.3答案 A4.(2014浙江,12,4分)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ=0)=,E(ξ)=1,则D(ξ)=.答案炼技法【方法集训】方法1离散型随机变量分布列的求法1.某次有600人参加的数学测试,其成绩的频数分布表如下,规定85分及其以上为优秀.(1)现用分层抽样的方法从这600人中抽取20人进行成绩分析,求其中成绩为优秀的学生人数;(2)在(1)中抽取的20名学生中,要随机选取2名学生参加活动,记“其中成绩为优秀的人数”为X,求X的分布列与数学期望.解析(1)设其中成绩为优秀的学生人数为x,则=,解得x=15.所以其中成绩为优秀的学生人数为15.(2)依题意,随机变量X所有可能的取值为0,1,2.P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==.所以X的分布列为所以数学期望E(X)=0×+1×+2×=.2.(2015福建,16,13分)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定.(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X,求X的分布列和数学期望.解析(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A,则P(A)=××=.(2)依题意得,X所有可能的取值是1,2,3.P(X=1)=,P(X=2)=×=,P(X=3)=××1=,所以X的分布列为X123P所以E(X)=1×+2×+3×=.方法2求离散型随机变量ξ的期望与方差的方法3.(2018浙江,7,4分)设0<p<1,随机变量ξ的分布列是ξ012P则当p在(0,1)内增大时,(A.D(ξ)减小B.D(ξ)增大C.D(ξ)先减小后增大D.D(ξ)先增大后减小答案 D4.(2014重庆,18,13分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片.(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X的分布列与数学期望.(注:若三个数a,b,c满足a≤b≤c,则称b为这三个数的中位数)解析(1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为P==.(2)X的所有可能值为1,2,3,且P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,故X的分布列为X123P从而E(X)=1×+2×+3×=.评析本题考查概率的计算,随机变量的分布列及数学期望.其中概率的计算要求较高,不过整体难度不大,属中等偏易题.过专题【五年高考】A组自主命题·北京卷题组(2017北京,17,13分)为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成下图,其中“*”表示服药者,“+”表示未服药者.(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值小于60的概率;(2)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人,记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数,求ξ的分布列和数学期望E(ξ);(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论)解析本题考查古典概型,离散型随机变量的分布列与数学期望,方差等知识.(1)由题图知,在服药的50名患者中,指标y的值小于60的有15人,所以从服药的50名患者中随机选出一人,此人指标y的值小于60的概率为=0.3.(2)由题图知,A,B,C,D四人中,指标x的值大于1.7的有2人:A和C.所以ξ的所有可能取值为0,1,2.P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==.所以ξ的分布列为ξ012P故ξ的期望E(ξ)=0×+1×+2×=1.(3)在这100名患者中,服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差.方法总结①在求解离散型随机变量的分布列与数学期望时,先确定随机变量的取值及各个取值对应的概率,利用期望的公式求其数学期望;②在比较数据的方差时,可以根据两组数据的集中或分散程度进行比较.B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一离散型随机变量及其分布列1.(2018天津,16,13分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;(ii)设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.解析本题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.(1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.(2)(i)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=k)=·-(k=0,1,2,3).所以,随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.(ii)设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=B∪C,且B与C互斥.由(i)知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=.所以,事件A发生的概率为.导师点睛超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到某类个体的个数.超几何分布的特点:(1)考察对象分两类;(2)已知各类对象的个数;(3)从中抽取若干个个体,考察某类个体个数X的概率分布.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典概型.2.(2017课标Ⅲ,18,12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?解析本题考查随机变量的分布列,数学期望.(1)由题意知,X所有可能取值为200,300,500,由表格数据知P(X=200)==0.2,P(X=300)==0.4,P(X=500)==0.4.因此X的分布列为X200300500P0.20.40.4(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500瓶,至少为200瓶,因此只需考虑200≤n≤500.当300≤n≤500时,若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n;若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2(n-300)-4n=1 200-2n;若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.因此EY=2n×0.4+(1 200-2n)×0.4+(800-2n)×0.2=640-0.4n.当200≤n<300时,若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n;若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n.所以n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元.名师点拨求离散型随机变量的分布列、均值与方差需过四关:①“题目的理解关”.要抓住题中关键字句,尽可能转化为自己熟悉的模型.②“随机变量的取值关”.准确无误地找出随机变量的所有可能取值.③“事件的类型关”.概率问题中的事件涉及等可能事件、互斥事件、对立事件、相互独立事件等,在计算相应的概率前要先确定事件的类型.④“概率的运算关”.运用公式P(A)=,P(A+B)=P(A)+P(B),P(A·B)=P(A)·P(B),P(ξ=k)=p k(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)时,要注意准确无误.3.(2017山东,18,12分)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望EX.解析本题考查离散型随机变量的分布列,期望.(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M,则P(M)==.(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4,则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,P(X=4)==.因此X的分布列为X01234PX的数学期望是EX=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)=0+1×+2×+3×+4×=2.解后反思(1)求离散型随机变量X的分布列的步骤:①理解X的含义,写出X所有可能的取值.②求X取每个值时的概率;③写出X的分布列.(2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量取各个值时对应的概率,在求解时,要注意应用计数原理,古典概型概率公式等知识.4.(2017天津,16,13分)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为,,.(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.解析本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望,事件的相互独立性,互斥事件的概率加法公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=-×-×-=,P(X=1)=×1-×1-+1-××1-+-×-×=,P(X=2)=-××+×-×+××-=,P(X=3)=××=.所以,随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)=P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0)=×+×=.所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为.5.(2015天津,16,13分)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.解析(1)由已知,有P(A)==.所以,事件A发生的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X=k)=-(k=1,2,3,4).所以,随机变量X的分布列为X 1 2 3 4P随机变量X的数学期望E(X)=1×+2×+3×+4×=.6.(2014天津,16,13分)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.解析(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A,则P(A)=··=.所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为.(2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.P(X=k)=·-(k=0,1,2,3).所以随机变量X的分布列是随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.考点二离散型随机变量的均值与方差1.(2017浙江,8,4分)已知随机变量ξi满足P(ξi=1)=p i,P(ξi=0)=1-p i,i=1,2.若0<p1<p2<,则()A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)B.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)答案 A2.(2018课标Ⅰ,20,12分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1),且各件产品是不是不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0;(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX;(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?解析(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=p2(1-p)18.因此f '(p)=[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=2p(1-p)17(1-10p).令f '(p)=0,得p=0.1,当p∈(0,0.1)时, f '(p)>0;当p∈(0.1,1)时, f '(p)<0.所以f(p)的最大值点为p0=0.1.(2)由(1)知,p=0.1,(i)令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y,所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.(ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于EX>400,故应该对余下的产品作检验.C组教师专用题组考点一离散型随机变量及其分布列1.(2013课标Ⅰ,19,12分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件做检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件做检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件做检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为,且各件产品是不是优质品相互独立. (1)求这批产品通过检验的概率;(2)已知每件产品的检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品做质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.解析(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)∪(A2B2),且A1B1与A2B2互斥,所以P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)=×+×=.(2)X可能的取值为400,500,800,并且P(X=400)=1--=,P(X=500)=,P(X=800)=.所以X的分布列为EX=400×+500×+800×=506.25.思路分析(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件全是优质品为事件B1,第二次取出的1件是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)∪(A2B2)且A1B1与A2B2互斥,进而求解.(2)X可能的取值为400,500,800,分别求其对应的概率,进而可得分布列、期望.2.(2013课标Ⅱ,19,12分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1 t该产品获利润500元,未售出的产品,每1 t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如下图所示.经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品,以X(单位:t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.(1)将T表示为X的函数;(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率;(3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量X∈[100,110),则取X=105,且X=105的概率等于需求量落入[100,110)的频率),求T的数学期望.解析(1)当X∈[100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39 000,当X∈[130,150]时,T=500×130=65 000.所以T=-(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T的分布列为思路分析(1)经分段讨论(分X∈[100,130)和X∈[130,150])得函数解析式.(2)先求出利润T不少于57 000元时X的范围,然后根据直方图得到概率的估计值.(3)T可能的取值是45 000,53 000,61 000,65 000,由此结合题意列出分布列,进而得期望.易错警示(1)中容易忽略100≤X≤500而导致出错.3.(2013山东,19,12分)甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立.(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率;(2)若比赛结果为3∶0或3∶1,则胜利方得3分、对方得0分;若比赛结果为3∶2,则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分X的分布列及数学期望.解析(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1,“甲队以3∶1胜利”为事件A2,“甲队以3∶2胜利”为事件A3,由题意,各局比赛结果相互独立,故P(A1)==,P(A2)=-×=,P(A3)=-×=.所以,甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为,以3∶2胜利的概率为.(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4,由题意,各局比赛结果相互独立,所以P(A4)=-××-=.由题意,随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3.P(X=0)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=.又P(X=1)=P(A3)=,P(X=2)=P(A4)=,P(X=3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=,故X的分布列为所以EX=0×+1×+2×+3×=.4.(2013陕西,19,12分)在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列及数学期望.解析(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”,B表示事件“观众乙选中3号歌手”,则P(A)==,P(B)==. ∵事件A与B相互独立,∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(A)=P(A)·P()=P(A)·[1-P(B)].=×=.或··(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”,则P(C)==,∵X可能的取值为0,1,2,3,且取这些值的概率分别为P(X=0)=P()=××=,P(X=1)=P(A)+P(B)+P(C)=××+××+××=,P(X=2)=P(AB)+P(A C)+P(BC)=××+××+××=,P(X=3)=P(ABC)=××=,∴X的分布列为∴X的数学期望EX=0×+1×+2×+3×==.考点二离散型随机变量的均值与方差1.(2014浙江,9,5分)已知甲盒中仅有1个球且为红球,乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3,n≥3),从乙盒中随机抽取i(i=1,2)个球放入甲盒中.(a)放入i个球后,甲盒中含有红球的个数记为ξi(i=1,2);(b)放入i个球后,从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i(i=1,2).则()A.p1>p2,E(ξ1)<E(ξ2)B.p1<p2,E(ξ1)>E(ξ2)C.p1>p2,E(ξ1)>E(ξ2)D.p1<p2,E(ξ1)<E(ξ2)答案 A2.(2017江苏,23,10分)已知一个口袋中有m 个白球,n 个黑球(m,n ∈N *,n ≥2),这些球除颜色外完全相同.现将口袋中的球随机地逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,…,m+n 的抽屉内,其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉(k=1,2,3,…,m+n).123…m+n(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率P;(2)随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是X 的数学期望,证明:E(X)<-.解析 本小题主要考查古典概率、随机变量及其分布、数学期望等基础知识,考查组合数及其性质,考查运算求解能力和推理论证能力.(1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率P=- -=. (2)随机变量X 的概率分布为:E(X)=·--=· - - - .所以E(X)<-- -= --- -= - (1+ - - + - +…+ - -)= -( - - + - - + - +…+ - -) =-( - + - +…+ - -) =…=-( - - + - -)=---= - , 即E(X)<-.3.(2014福建,18,13分)为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额. (1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元,求: (i)顾客所获的奖励额为60元的概率; (ii)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;(2)商场对奖励总额的预算是60 000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成,或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.解析(1)设顾客所获的奖励额为X元.(i)依题意,得P(X=60)==,即顾客所获的奖励额为60元的概率为.(ii)依题意,得X的所有可能取值为20,60.P(X=60)=,P(X=20)==,即X的分布列为X 20 60P 0.5 0.5所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)=20×0.5+60×0.5=40(元).(2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为60元.所以,先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.以下是对两个方案的分析:对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为X1元,则X1的分布列为X1的期望为E(X1)=20×+60×+100×=60,X1的方差为D(X1)=(20-60)2×+(60-60)2×+(100-60)2×=.对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励额为X2元,则X2的分布列为X2的期望为E(X2)=40×+60×+80×=60,X2的方差为D(X2)=(40-60)2×+(60-60)2×+(80-60)2×=.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求,但方案2奖励额的方差比方案1的小,所以应该选择方案2.4.(2014湖南,17,12分)某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.解析记E={甲组研发新产品成功},F={乙组研发新产品成功},由题设知P(E)=,P()=,P(F)=,P()=,且事件E 与F,E与,与F,与都相互独立.(1)记H={至少有一种新产品研发成功},则=,于是P()=P()P()=×=,故P(H)=1-P()=1-=.(2)设企业可获利润为X(万元),则X的可能取值为0,100,120,220,因为P(X=0)=P()=×=,P(X=100)=P(F)=×=,P(X=120)=P(E)=×=,P(X=220)=P(EF)=×=,故所求的分布列为E(X)=0×+100×+120×+220×===140.5.(2014大纲全国,20,12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用设备相互独立.(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;(2)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.解析记A i表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备,i=0,1,2,B表示事件:甲需使用设备,C表示事件:丁需使用设备,D表示事件:同一工作日至少3人需使用设备.(1)D=A1·B·C+A2·B+A2··C,P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(A i)=×0.52,i=0,1,2,(3分)所以P(D)=P(A1·B·C+A2·B+A2··C)=P(A1·B·C)+P(A2·B)+P(A2··C)=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P()P(C)=0.31.(6分)(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,则P(X=0)=P(·A0·)=P()P(A0)P()=(1-0.6)×0.52×(1-0.4)=0.06,P(X=1)=P(B·A0·+·A0·C+·A1·)=P(B)P(A0)P()+P()P(A0)P(C)+P()P(A1)P()=0.6×0.52×(1-0.4)+(1-0.6)×0.52×0.4+(1-0.6)×2×0.52×(1-0.4)=0.25,P(X=4)=P(A2·B·C)=P(A2)P(B)P(C)=0.52×0.6×0.4=0.06,P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25,P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38,(10分)数学期望EX=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)=0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2.(12分) 6.(2013浙江,19,14分)设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分.(1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和,求ξ的分布列;(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若Eη=,Dη=,求a∶b∶c.解析(1)由题意得ξ=2,3,4,5,6.P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,P(ξ=4)==,P(ξ=5)==,P(ξ=6)==.所以ξ的分布列为(2)由题意知η的分布列为所以E(η)=++=,D(η)=-·+-·+-·=,化简得---解得a=3c,b=2c,故a∶b∶c=3∶2∶1.【三年模拟】解答题(共85分)1.(2018北京东城二模,16)某银行的工作人员记录了3月1日到3月15日上午10:00在该银行取号后等待办理业务的人数,如图所示:。
2020版高考数学一轮复习课后限时集训60离散型随机变量及其分布列理
课后限时集训(六十) 离散型随机变量及其分布列(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( ) A ．0 B.12 C.13D.23C [由已知得X 的所有可能取值为0,1， 且P (X ＝1)＝2P (X ＝0)，由P (X ＝1)＋P (X ＝0)＝1，得P (X ＝0)＝13.]2．若离散型随机变量X 的分布列为X 0 1 P9c 2－c3－8cA.23或13B.23C.13D ．1C [根据离散型随机变量分布列的性质知 ⎩⎪⎨⎪⎧9c 2－c ≥0，3－8c ≥0，9c 2－c ＋3－8c ＝1，解得c ＝13.]3．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P (ξ≤1)等于( ) A.15 B.25 C.35D.45D [P (ξ≤1)＝1－P (ξ＝2)＝1－C 14C 22C 36＝45.]4．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)C [X 服从超几何分布，故P (X ＝k )＝C k 7C 10－k8C 1015，k ＝4.]5．若随机变量X 的分布列为A ．(－∞，2]B ．[1,2]C ．(1,2]D ．(1,2)C [由随机变量X 的分布列知P (X ＜－1)＝0.1，P (X ＜0)＝0.3，P (X ＜1)＝0.5，P (X ＜2)＝0.8，P (X ＝2)＝0.1，则当P (X ＜a )＝0.8时，实数a 的取值范围是(1,2]．]二、填空题6．(2019·洛阳模拟)袋中有4只红球，3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P (ξ≤6)＝________. 1335 [P (ξ≤6)＝P (取到3只红球1只黑球)＋P (取到4只红球)＝C 34C 13C 47＋C 44C 47＝1335.] 7．已知随机变量X 的概率分别为p 1，p 2，p 3，且依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 [由已知得p 1＝p 2－d ，p 3＝p 2＋d ，由分布列性质知 (p 2－d )＋p 2＋(p 2＋d )＝1，得p 2＝13，又⎩⎪⎨⎪⎧13－d ≥0，13＋d ≥0，得－13≤d ≤13.]8．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)．若X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X 的所有可能取值是________．－1,0,1,2,3 [X ＝－1，甲抢到一题但答错了．X ＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时一对一错． X ＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题， 且1错2对． X ＝2时，甲抢到2题均答对． X ＝3时，甲抢到3题均答对．]三、解答题9．有编号为1,2,3，…，n 的n 个学生，入坐编号为1,2,3，…，n 的n 个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X ，已知X ＝2时，共有6种坐法． (1)求n 的值；(2)求随机变量X 的概率分布列．[解] (1)因为当X ＝2时，有C 2n 种坐法， 所以C 2n ＝6，即n n －2＝6，n 2－n －12＝0，解得n ＝4或n ＝－3(舍去)，所以n ＝4.(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X ， 由题意知X 的可能取值是0,2,3,4， 所以P (X ＝0)＝1A 44＝124，P (X ＝2)＝C 24×1A 44＝624＝14，P (X ＝3)＝C 34×2A 44＝824＝13，P (X ＝4)＝1－124－14－13＝38，所以X 的概率分布列为：X 0 2 3 4 P124141338件产品中任取3件，求：(1)取出的3件产品中一等品件数X 的分布列；(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．[解] (1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C 310，从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的结果数为C k 3C 3－k7，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的概率为P (X ＝k )＝C k 3C 3－k7C 310，k ＝0,1,2,3.所以随机变量X 的分布列为(2)2件三等品”为事件A 1，“恰好取出2件一等品”为事件A 2，“恰好取出3件一等品”为事件A 3.由于事件A 1，A 2，A 3彼此互斥，且A ＝A 1∪A 2∪A 3， 而P (A 1)＝C 13C 23C 310＝340，P (A 2)＝P (X ＝2)＝740， P (A 3)＝P (X ＝3)＝1120.∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝340＋740＋1120＝31120.B 组 能力提升1．若P (X ≤x 2)＝1－β，P (X ≥x 1)＝1－α，其中x 1＜x 2，则P (x 1≤X ≤x 2)等于( ) A ．(1－α)(1－β) B ．1－(α＋β) C ．1－α(1－β)D ．1－β(1－α)B [显然P (X ＞x 2)＝β，P (X ＜x 1)＝α.由概率分布列的性质可知P (x 1≤X ≤x 2)＝1－P (X ＞x 2)－P (X ＜x 1)＝1－α－β＝1－(α＋β)．]2．一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X 个白球，下列概率等于n －m2mA 3n的是( )A ．P (X ＝3)B ．P (X ≥2)C ．P (X ≤3)D ．P (X ＝2)D [由超几何分布知P (X ＝2)＝n －m2mA 3n.]3．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的分布列为________．P (ξ＝0)＝8C 23C 212＝411，P (ξ＝2)＝6C 212＝111.P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)＝1－411－111＝611.所以随机变量ξ的分布列为]4．(2019·安庆模拟)为了了解高一学生的体能情况，某校随机抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出了频率分布直方图如图所示，已知次数在[100,110)间的频数为7，次数在110以下(不含110)视为不达标，次数在[110,130)间的视为达标，次数在130以上视为优秀．(1)求此次抽样的样本总数为多少人？(2)在样本中，随机抽取一人调查，则抽中不达标学生、达标学生、优秀学生的概率分别是多少？(3)将抽样的样本频率视为总体概率，若优秀成绩记为15分，达标成绩记为10分，不达标成绩记为5分，现在从该校高一学生中随机抽取2人，他们的分值和记为X ，求X 的分布列． [解] (1)设样本总数为n ，由频率分布直方图可知：次数在[100,110)间的频率为：0.014×10＝0.14， 所以7n＝0.14，解得n ＝50.(2)记抽中不达标学生的事件为C ，抽中达标学生的事件为B ，抽中优秀学生的事件为A .P (C )＝0.006×10＋0.014×10＝0.20； P (B )＝0.028×10＋0.022×10＝0.50； P (A )＝1－P (B )－P (C )＝0.30.(3)在高一学生中随机抽取2名学生的成绩和X ＝10,15,20,25,30.P (X ＝10)＝0.2×0.2＝0.04；P (X ＝15)＝2×0.2×0.5＝0.2；P (X ＝20)＝0.52＋2×0.2×0.3＝0.37；P (X ＝25)＝2×0.3×0.5＝0.3；P (X ＝30)＝0.32＝0.09. X 的分布列为。
北师版高考总复习一轮数学精品课件 第十一章 第六节 离散型随机变量的分布列、均值与方差
4
(1)若一、二等奖的获奖概率之和不大于 9 ,求n的最小值;
(2)规定一等奖返还现金108元,二等奖返还现金60元,三等奖返还现金18元,
在n取(1)中的最小值的情况下,求顾客在一次抽奖中获奖金额的分布列和
数学期望.
解 (1)设“获三等奖”为事件 A,
由题意得
又
5
P(A)≥9,
A 3
P(A)= 3
解 (1)记甲学校获得冠军为事件A,则P(A)=0.5×0.4×(1-0.8)+0.5×(1-0.4)
×0.8+(1-0.5)×0.4×0.8+0.5×0.4×0.8=0.6,所以甲学校获得冠军的概率
是0.6.
(2)X的可能取值为0,10,20,30,则P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16,
采用方案1,无论有无洪水,都损失3 800元.
因此,P(X1=3 800)=1.
采用方案2,遇到大洪水时,总损失为2 000+60 000=62 000时;没有大洪水时,
总损失为2 000元.
因此P(X2=62 000)=0.01,P(X2=2 000)=0.99.
采用方案3,P(X3=60 000)=0.01,P(X3=10 000)=0.25,P(X3=0)=0.74.
于是,E(X1)=3 800,E(X2)=62 000×0.01+2 000×0.99=2 600,E(X3)=60
000×0.01+10 000×0.25+0×0.74=3 100.
因此,从期望损失最小的角度,应采取方案2.
研考点 精准突破
考点一
离散型随机变量分布列的性质
例题设随机变量 X 的分布列为 P X=
高考数学一轮专项复习讲义-离散型随机变量及其分布列、数字特征(北师大版)
§10.5离散型随机变量及其分布列、数字特征课标要求 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.理解并会求离散型随机变量的数字特征．知识梳理1．离散型随机变量在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得样本空间的每一个样本点都用一个确定的数值表示．在这个对应关系下，数值随着试验结果的变化而变化．像这种取值随着试验结果的变化而变化的量称为随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．取值能够一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列若离散型随机变量X的取值为x1，x2，…，x n，…，随机变量X取x i的概率为p i(i＝1,2，…，n，…)，记作P(X＝x i)＝p i(i＝1,2，…，n，…)．①①式也可以列成表，如表：x i x1x2…x n…P(X＝x i)p1p2…p n…表或①式称为离散型随机变量X的分布列，简称为X的分布列．3．离散型随机变量分布列的性质(1)p i>0(i＝1,2，…，n，…)；(2)p1＋p2＋...＋p n＋ (1)4．离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n(1)均值则称EX＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为随机变量X的均值或数学期望(简称期望)．它反映了离散型随机变量X取值的平均水平．(2)方差称DX＝E(X－EX)2＝错误!(x i－EX)2p i为随机变量X的方差，其算术平方根DX为随机变量X的标准差，记作σX ，它们都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度．5．均值与方差的性质(1)E (aX ＋b )＝aEX ＋b .(2)D (aX ＋b )＝a 2DX (a ，b 为常数)．常用结论1．Ek ＝k ，Dk ＝0，其中k 为常数．2．E (X 1＋X 2)＝EX 1＋EX 2.3．DX ＝EX 2－(EX )2.4．若X 1，X 2相互独立，则E (X 1X 2)＝EX 1·EX 2.自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(×)(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(√)(3)随机试验的结果与随机变量是对应关系，即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应．(√)(4)方差或标准差越小，则随机变量的偏离程度越小．(√)2．已知随机变量X 的分布列为X －101P121316设Y ＝2X ＋3，则EY 的值为()A.73B ．4C ．－1D ．1答案A解析EX ＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13，EY ＝E (2X ＋3)＝2EX ＋3＝－23＋3＝73.3．(2023·辽阳模拟)已知随机变量X 满足P (X ＝1)＝P (X ＝2)＝0.4，P (X ＝4)＝0.2，则EX ＝________，DX ＝________.答案21.2解析EX ＝(1＋2)×0.4＋4×0.2＝2，DX ＝(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.4＋(4－2)2×0.2＝1.2.4．甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X ，Y ，其分布列分别为X 0123P0.40.30.20.1Y 012P0.30.50.2若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________．答案乙解析EX ＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，EY ＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，∵EY <EX ，∴乙技术较好.题型一分布列的性质例1(1)(多选)已知随机变量X 的分布列如表(其中a 为常数)：X 01234P0.10.20.40.2a则下列计算结果正确的是()A ．a ＝0.1B ．P (X ≤2)＝0.7C ．P (X ≥3)＝0.4D ．P (X ≤1)＝0.3答案ABD解析因为0.1＋0.2＋0.4＋0.2＋a ＝1，解得a ＝0.1，故A 正确；由分布列知P (X ≤2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝0.1＋0.2＋0.4＝0.7，故B 正确；P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝0.2＋0.1＝0.3，故C 错误；P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝0.1＋0.2＝0.3，故D 正确．(2)离散型随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P X ()A.23B.34C.45D.56答案D解析因为P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，所以a 2＋a 6＋a 12＋a 20＝1，即a ＝54，所以X P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝54×12＋54×16＝56.思维升华离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值．(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率．(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．跟踪训练1(1)若随机变量X 的分布列为X －101Pa13c则P (|X |＝1)等于()A.12B.13C.23D.16答案C解析由随机变量X 的分布列得P (|X |＝1)＝P (X ＝－1)＋P (X ＝1)＝a ＋c ＝1－13＝23.(2)设随机变量X 满足P (X ＝i )＝k2i (i ＝1,2,3)，则k ＝________；P (X ≥2)＝________.答案8737解析由已知得随机变量X 的分布列为X 123Pk 2k 4k 8∴k 2＋k 4＋k 8＝1，∴k ＝87.∴随机变量X 的分布列为X 123P472717∴P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝27＋17＝37.题型二离散型随机变量的分布列及数字特征命题点1求离散型随机变量的分布列及数字特征例2(1)(2024·杭州模拟)已知甲、乙两名员工分别从家中赶往工作单位的时间互不影响，经统计，甲、乙一个月内从家中到工作单位所用时间在各个时间段内的频率如下：时间/分钟10～2020～3030～4040～50甲的频率0.10.40.20.3乙的频率0.30.60.1某日工作单位接到一项任务，需要甲在30分钟内到达，乙在40分钟内到达，用X 表示甲、乙两人在要求时间内从家中到达单位的人数，用频率估计概率，则X 的均值和方差分别是()A ．EX ＝1.5，DX ＝0.36B ．EX ＝1.4，DX ＝0.36C ．EX ＝1.5，DX ＝0.34D ．EX ＝1.4，DX ＝0.34答案D解析设事件A 表示甲在规定的时间内到达，B 表示乙在规定的时间内到达，P (A )＝0.5，P (B )＝0.9，A ，B 相互独立，∴P (X ＝0)＝P (A B )＝P (A )P (B )＝(1－0.5)×(1－0.9)＝0.05，P (X ＝1)＝P (A B )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝(1－0.5)×0.9＋0.5×(1－0.9)＝0.5，P (X ＝2)＝P (AB )＝P (A )P (B )＝0.5×0.9＝0.45，∴EX ＝0×0.05＋1×0.5＋2×0.45＝1.4，DX ＝(0－1.4)2×0.05＋(1－1.4)2×0.5＋(2－1.4)2×0.45＝0.34.(2)(2023·沈阳模拟)已知某离散型随机变量X 的分布列如表：X －1012Pabc13若EX ＝34，P (X ≥1)＝712，则DX 等于()A.1516B.98C.1916D.54答案C解析由题意，得a ＋b ＋c ＋13＝1，所以a ＋b ＋c ＝23.①因为EX ＝(－1)×a ＋0×b ＋1×c ＋2×13＝34，所以－a ＋c ＝112.②由P (X ≥1)＝c ＋13＝712，得c ＝14，代入①②解得a ＝16，b ＝14.所以DX1×16＋×14＋×14＋×13＝1916.均值、方差的大小比较、最值(范围)问题关于随机变量的均值与方差，近几年均以选择题的形式考查，除考查均值、方差的直接计算，还经常从下列几个角度进行考查：(1)均值、方差及概率的大小比较；(2)均值、方差的增减性分析；(3)均值、方差的最值；(4)解均值、方差的不等式求字母的范围．典例(1)设随机变量X 的分布列如下(其中0<p <1)，DX 表示X 的方差，则当p 从0增大到1时()X 012P1－p212p 2A ．DX 增大B ．DX 减小C ．DX 先减后增D ．DX 先增后减答案D解析由分布列可得EX ＝0×1－p 2＋1×12＋2×p2＝12＋p ，则DXp －p －＝－p2＋p ＋14＝－＋12，因为0<p <1，所以DX 先增后减．(2)(多选)已知某商场销售一种商品的单件销售利润为X ＝0，a ,2，根据以往销售经验可得0<a <2，随机变量X 的分布列为X 0a 2P12b16下列结论正确的是()A ．b ＝13B ．若该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为516C ．(DX )min ＝12D ．当(DX )min 最小时，EX ＝13答案ABC解析由题意12＋b ＋16＝1，∴b ＝13，故选项A 正确；该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为C 35＝516，故选项B 正确；随机变量X 的均值EX ＝0×12＋a ×13＋2×16＝13(a ＋1)，可知方差DX ＝0－13(a ＋1)2×12＋a －13(a ＋1)2×13＋2－13(a ＋1)2×16＝154×(12a 2－12a ＋30)＝154×12＋27，当a ＝12时，(DX )min ＝12，故选项C 正确；当(DX )min ＝12时，EX ＝13×＝12，故选项D 错误．命题点2均值(数学期望)与方差的性质应用例3设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝ak ＋1(k ＝1,2,5)，a ∈R ，EX ，DX 分别为随机变量X 的均值与方差，则下列结论正确的是()A ．P (0<X <3.5)＝23B ．E (3X ＋2)＝7C ．DX ＝2D ．D (3X ＋1)＝6答案C解析因为随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝ak ＋1(k ＝1,2,5)，由分布列的性质可知，P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝5)＝a 2＋a 3＋a6＝1，解得a ＝1.P (0<X <3.5)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝12＋13＝56，故A 不正确；因为EX ＝1×12＋2×13＋5×16＝2，所以E (3X ＋2)＝3EX ＋2＝3×2＋2＝8，故B 不正确；由DX ＝12×(1－2)2＋13×(2－2)2＋16×(5－2)2＝2，故C 正确；因为DX ＝2，所以D (3X ＋1)＝9DX ＝18，故D 不正确．思维升华求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤(1)理解ξ的意义，写出ξ的所有可能取值．(2)求ξ取每个值的概率．(3)写出ξ的分布列．(4)由均值、方差的定义求Eξ，Dξ．跟踪训练2(1)(多选)已知随机变量X 的分布列为X －101P13m3m下列结论正确的有()A ．m ＝16B ．EX ＝16C ．E (2X －1)＝13D ．DX ＝2936答案ABD解析由分布列的性质得13＋4m ＝1，解得m ＝16，故A 正确；EX ＝－1×13＋0×16＋1×12＝16，故B 正确；E (2X －1)＝2EX －1＝－23，故C 不正确；DX ＝13×1＋16×＋12×＝2936，故D 正确．(2)学习强国新开通一项“争上游答题”栏目，其规则是比赛两局，首局胜利积3分，第二局胜利积2分，失败均积1分，某人每局比赛胜利的概率为14，设他参加一次答题活动得分为ξ，则Dξ＝________.答案1516解析由题意知，ξ的所有可能取值为5,4,3,2，P (ξ＝5)＝14×14＝116，P (ξ＝4)＝14×＝316，P (ξ＝3)×14＝316，P (ξ＝2)＝916，则Eξ＝5×116＋4×316＋3×316＋2×916＝114，Dξ×116＋×316＋×316＋×916＝1516.题型三均值与方差中的决策问题例4(2023·上海七宝中学模拟)随着五一黄金周的到来，各大旅游景点热闹非凡，为了解A ，B 两个旅游景点游客的满意度，某研究性学习小组采用随机抽样的方法，获得关于A 旅游景点的问卷100份，关于B 旅游景点的问卷80份．问卷中，对景点的满意度等级划分为：非常满意、满意、一般、不满意，对应分数分别为：4分、3分、2分、1分，数据统计如下：非常满意满意一般不满意A 景点5030515B 景点353078假设用频率估计概率，且游客对A ，B 两个旅游景点的满意度评价相互独立．(1)从所有(人数足够多)在A 旅游景点的游客中随机抽取2人，从所有(人数足够多)在B 旅游景点的游客中随机抽取2人，估计这4人中恰有2人给出“非常满意”的概率；(2)根据上述数据，你若旅游，你会选择A ，B 哪个旅游景点？说明理由．解(1)设“这4人中恰有2人给出‘非常满意’的评价”为事件C ，由表中数据可知，游客在A 景点给出“非常满意”评价的概率为50100＝12，游客在B 景点给出“非常满意”评价的概率为3580＝716，则P (C )＋C 1212＝191512.(2)设一位游客对A 景点的满意度评分为X ，一位游客对B 景点的满意度评分为Y ，由数表中数据得X 的分布列为X 4321P12310120320Y 的分布列为Y 4321P71638780110则EX ＝4×12＋3×310＋2×120＋1×320＝3.15，DX ＝0.852×12＋(－0.15)2×310＋(－1.15)2×120＋(－2.15)2×320＝1.1275，EY ＝4×716＋3×38＋2×780＋1×110＝3.15，DY ＝0.852×716＋(－0.15)2×38＋(－1.15)2×780＋(－2.15)2×110＝0.9025，显然EX ＝EY ，DX >DY ，所以选择B 景点．思维升华随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．跟踪训练3(2021·新高考全国Ⅰ)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．(1)若小明先回答A 类问题，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列；(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．解(1)由题意得，X 的所有可能取值为0,20,100，P (X ＝0)＝1－0.8＝0.2，P (X ＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，P (X ＝100)＝0.8×0.6＝0.48，所以X 的分布列为X 020100P0.20.320.48(2)当小明先回答A 类问题时，由(1)可得EX ＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.当小明先回答B 类问题时，记Y 为小明的累计得分，则Y 的所有可能取值为0,80,100，P (Y ＝0)＝1－0.6＝0.4，P (Y ＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，P (Y ＝100)＝0.6×0.8＝0.48，所以Y 的分布列为Y 080100P0.40.120.48EY ＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.因为57.6>54.4，即EY >EX ，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B 类问题．课时精练一、单项选择题1．已知离散型随机变量X 的分布列为X 123P35a110则X 的均值EX 等于()A.32B ．2 C.52D ．3答案A解析由题意得35＋a ＋110＝1，解得a ＝310，故EX ＝1×35＋2×310＋3×110＝32.2．已知甲、乙两种产业收益的分布列分别为：甲产业收益分布列收益X /亿元－12概率0.10.30.6乙产业收益分布列收益Y /亿元012概率0.30.40.3则下列说法正确的是()A ．甲产业收益的期望大，风险高B ．甲产业收益的期望小，风险小C ．乙产业收益的期望大，风险小D ．乙产业收益的期望小，风险高答案A解析由题意可得EX ＝－1×0.1＋0×0.3＋2×0.6＝1.1，DX ＝(－1－1.1)2×0.1＋(0－1.1)2×0.3＋(2－1.1)2×0.6＝1.29；EY ＝0×0.3＋1×0.4＋2×0.3＝1，DY ＝(0－1)2×0.3＋(1－1)2×0.4＋(2－1)2×0.3＝0.6，故EX >EY ，DX >DY ，即甲产业收益的期望大，风险高．3．(2023·南宁模拟)已知随机变量X 的分布列为X －101P121316且Y ＝aX ＋3，EY ＝73，则a 为()A ．1B ．2C ．3D ．4答案B解析EX ＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13，由Y ＝aX ＋3得EY ＝aEX ＋3，∴73＝a 3，解得a ＝2.4．现有3道单选题，学生李明对其中的2道题有思路，1道题完全没有思路，有思路的题答对的概率为45，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为14，若每题答对得5分，不答或答错得0分，则李明这3道题得分的均值为()A.9310B.374C.394D.21120答案B解析记李明这3道题的得分为随机变量X ，则X 的所有可能取值为0,5,10,15，P (X ＝0)×34＝3100，P (X ＝5)＝C 12×45×15×34＋×14＝14，P (X ＝10)＝C 12×45×15×14＋×34＝1425，P (X ＝15)×14＝425，所以EX ＝0×3100＋5×14＋10×1425＋15×425＝374.5．(2023·洛阳模拟)随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝ck 2＋k ，k ＝1,2,3，其中c 是常数，则D (9ξ－3)的值为()A ．10B ．117C ．38D ．35答案C解析∵P (ξ＝k )＝ck 2＋k，k ＝1,2,3，∴c 2＋c 6＋c12＝1，解得c ＝43，∴Eξ＝1×23＋2×29＋3×19＝139，∴Dξ×23＋×29＋×19＝3881，∴D (9ξ－3)＝92Dξ＝81Dξ＝38.6．(2024·桂林模拟)设0<a <1.随机变量X 的分布列为X 0a 1P131313当a 在(0,1)上增大时，则()A ．E (X 不变B ．E (X )减小C ．D (X )先增大后减小D ．D (X )先减小后增大答案D解析EX ＝0×13＋a ×13＋1×13＝a ＋13，∴当a 在(0,1)上增大时，EX 增大，DX ×13＋×13＋×13＝127[(a ＋1)2＋(2a －1)2＋(2－a )2]＝29(a 2－a ＋1)＋16，∴当a 在(0,1)上增大时，DX 先减小后增大．二、多项选择题7．已知随机变量X 和Y ，其中Y ＝12X ＋7，且EY ＝34，若X 的分布列如表：X 1234P14mn112则下列正确的是()A ．EX ＝12B ．EX ＝94C ．m ＝13D ．n ＝13答案BCD解析根据分布列可知m ＋n ＝1－14－112＝23，①因为Y ＝12X ＋7，所以EY ＝12EX ＋7＝34，解得EX ＝94，又由分布列可得EX ＝1×14＋2×m ＋3×n ＋4×112＝94，整理得2m ＋3n ＝53，②联立①②解得m ＝13，n ＝13.8．某校欲举办运动会，为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛会志愿者队伍，运动会组织委员会欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长．下列说法正确的有()A ．设事件A ：“抽取的3人中既有男志愿者，也有女志愿者”，则P (A )＝67B ．设事件A ：“抽取的3人中至少有一名男志愿者”，事件B ：“抽取的3人中全是男志愿者”，则P (B |A )＝217C ．用X 表示抽取的3人中女志愿者的人数，则E (X )＝127D ．用Y 表示抽取的3人中男志愿者的人数，则D (Y )＝2449答案ABD解析所有可能的情况有C 37＝35(种)，其中既有男志愿者，也有女志愿者的情况有C 14C 23＋C 24C 13＝30(种)，故P (A )＝3035＝67，故A 正确；P (AB )＝C 34C 37＝435，P (A )＝C 14C 23＋C 24C 13＋C 34C 37＝3435，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝434＝217，故B 正确；X 的所有可能取值为0,1,2,3，则P (X ＝0)＝C 34C 37＝435，P (X ＝1)＝C 13C 24C 37＝1835，P (X ＝2)＝C 23C 14C 37＝1235，P (X ＝3)＝C 33C 37＝135，所以EX ＝0×435＋1×1835＋2×1235＋3×135＝97，故C 错误；由C 知，DX ＝435×＋1835×＋1235×＋135×＝2449，因为Y ＝3－X ，所以DY ＝DX ＝2449，故D 正确．三、填空题9．已知离散型随机变量ξ的分布列如表所示．ξ－202Pab12若随机变量ξ的均值Eξ＝12，则D (2ξ＋1)＝________.答案11解析由表中数据得E (ξ)＝－2a ＋0×b ＋2×12＝12，解得a ＝14，又a ＋b ＋12＝1，所以b ＝14，所以Dξ2×14＋×14＋×12＝114，所以D (2ξ＋1)＝22Dξ＝11.10．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm)对工期的影响如表所示：降水量X X <300300≤X <700700≤X <900X ≥900工期延误天数Y2610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X 小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9，则工期延误天数Y 的均值为________．答案3解析由题意可知P (X <300)＝0.3，P (300≤X <700)＝P (X <700)－P (X <300)＝0.7－0.3＝0.4，P (700≤X <900)＝P (X <900)－P (X <700)＝0.9－0.7＝0.2，P (X ≥900)＝1－P (X <900)＝1－0.9＝0.1.所以随机变量Y 的分布列为Y 02610P0.30.40.20.1所以EY ＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3，所以工期延误天数Y 的均值为3.11．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为p (0<p <1)，发球次数为X ，若X 的均值EX >1.75，则p 的取值范围为________．答案0<p <12解析由题意知P (X ＝1)＝p ，P (X ＝2)＝p (1－p )，P (X ＝3)＝(1－p )2，所以EX ＝p ＋2p (1－p )＋3(1－p )2>1.75，解得p >52或p <12，又p ∈(0,1)，所以p 12．(2024·稽阳模拟)已知甲盒中有3个红球2个白球，乙盒中有4个红球1个白球，从甲盒中随机取1球放入乙盒，然后再从乙盒中随机取2球，记取到红球的个数为随机变量X ，则X 的均值为________．答案2315解析若从甲盒中随机取到的为红球且概率为35，则X 的可能取值为1,2，则P 1(X ＝1)＝C 15C 11C 26＝13，P 1(X ＝2)＝C 25C 26＝23，若从甲盒中随机取到的为白球且概率为25，则X 的可能取值为0,1,2，则P 2(X ＝0)＝C 22C 26＝115，P 2(X ＝1)＝C 14C 12C 26＝815，P 2(X ＝2)＝C 24C 26＝25，综上，P (X ＝0)＝25×P 2(X ＝0)＝275，P (X ＝1)＝35×P 1(X ＝1)＋25×P 2(X ＝1)＝3175，P (X ＝2)＝35×P 1(X ＝2)＋25×P 2(X ＝2)＝1425，故EX ＝0×275＋1×3175＋2×1425＝2315.四、解答题13．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X 表示所选3人中女生的人数，求：(1)“所选3人中女生人数X ≤1”的概率；(2)X 的均值与方差．解(1)“所选3人中女生人数X ≤1”的概率P ＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 34C 36＋C 24C 12C 36＝15＋35＝45.(2)因为从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，随机变量X 表示所选3人中女生的人数，所以X 的可能取值为0,1,2，P (X ＝0)＝C 34C 36＝15，P (X ＝1)＝C 24C 12C 36＝35，P (X ＝2)＝C 14C 22C 36＝15，所以X 的分布列为X 012P153515所以EX ＝0×15＋1×35＋2×15＝1.DX ＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.14．(2023·泰安模拟)某公司为活跃气氛、提升士气，年终拟通过抓阄兑奖的方式对所有员工进行奖励．规定：每位员工从一个装有4个标有面值的阄的袋中一次性随机摸出2个阄，阄上所标的面值之和为该员工获得的奖励金额．(1)若袋中所装的4个阄中有1个所标的面值为800元，其余3个均为200元，求：①员工所获得的奖励金额为1000元的概率；②员工所获得的奖励金额的分布列及均值；(2)公司对奖励金额的预算是人均1000元，并规定袋中的4个阄只能由标有面值200元和800元的两种阄或标有面值400元和600元的两种阄组成．为了使员工得到的奖励金额尽可能符合公司的预算且每位员工所获得的奖励金额相对均衡，请对袋中的4个阄的面值给出一个合适的设计，并说明理由．解(1)设员工所获得的奖励金额为X ，①P (X ＝1000)＝C 13C 24＝12，∴员工所获得的奖励金额为1000元的概率为12.②X 所有可能的取值为400,1000，C 242∴X 的分布列为X 4001000P1212∴员工所获得的奖励金额的均值为EX ＝400×12＋1000×12＝700(元)．(2)根据公司预算，每个员工的平均奖励金额为1000元，∴先寻找均值为1000元的可能方案，对于面值由800元和200元组成的情况，如果选择(200,200,200,800)的方案，∵1000元是面值之和的最大值，∴均值不可能为1000元，如果选择(800,800,800,200)的方案，∵1000元是面值之和的最小值，∴均值不可能为1000元，因此可能的方案是(800,800,200,200)，记为方案1；同理，对于面值由600元和400元组成的情况，排除(600,600,600,400)和(400,400,400,600)的方案，∴可能的方案是(400,400,600,600)，记为方案2.对于方案1，设员工所获得的奖励金额为X 1，X 1可取400,1000,1600，P (X 1＝400)＝C 22C 24＝16，P (X 1＝1000)＝C 12C 12C 24＝23，P (X 1＝1600)＝C 22C 24＝16，∴EX 1＝400×16＋1000×23＋1600×16＝1000，DX 1＝(400－1000)2×16＋(1000－1000)2×23＋(1600－1000)2×16＝120000；对于方案2，设员工所获得的奖励金额为X 2，X 2可取800,1000,1200，P (X 2＝800)＝C 22C 24＝16，P (X 2＝1000)＝C 12C 12C 24＝23，C 246∴EX 2＝800×16＋1000×23＋1200×16＝1000，DX 2＝16×(800－1000)2＋23×(1000－1000)2＋16×(1200－1000)2＝400003，由于两种方案的奖励金额都符合预算要求，但方案2的方差比方案1小，∴应选择方案2.15．(多选)(2023·武汉模拟)已知随机变量X 的取值为不大于n (n ∈N +)的非负整数，它的分布列为X 0123…n Pp 0p 1p 2p 3…p n定义由X 生成的函数f (x )＝p 0＋p 1x ＋p 2x 2＋p 3x 3＋…＋p i x i ＋…＋p n x n ，g (x )为函数f (x )的导函数，EX 为随机变量X 的均值．现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有1,2,3,4四个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为X ，此时由X 生成的函数为f 1(x )，则()A ．EX ＝g (2)B ．f 1(2)＝152C ．EX ＝g (1)D ．f 1(2)＝2254答案CD解析因为f (x )＝p 0＋p 1x ＋p 2x 2＋p 3x 3＋…＋p i x i ＋…＋p n x n ，则g (x )＝f ′(x )＝p 1＋2p 2x 1＋3p 3x 2＋…＋ip i x i －1＋…＋np n x n －1，EX ＝p 1＋2p 2＋3p 3＋…＋ip i ＋…＋np n ，当x ＝1时，EX ＝g (1)，故A 错误，C 正确；连续抛掷两次骰子，向下点数之和为X ，则X 的分布列为X 2345678P116216316416316216116f 1(x )＝116x 2＋216x 3＋316x 4＋416x 5＋316x 6＋216x 7＋116x 8，f 1(2)＝116×22＋216×23＋316×24＋416×25＋316×26＋216×27＋116×28＝2254，故B 错误，D 正确．16．(多选)(2023·山东省实验中学模拟)随机变量ξ的分布列如表，其中xy ≠0，下列说法正确的是()ξ012P x y32y3A．x＋y＝1B．Eξ＝5y3C．Dξ有最大值D．Dξ随y的增大而减小答案ABC解析由题意可知x＋y3＋2y3＝1，即x＋y＝1，故A正确；Eξ＝0×x＋1×y3＋2×2y3＝5y3，故B正确；Dξ＝＝(1－y＝－259y2＋3y，因为xy≠0，x＋y＝1，易得0<y<1，而函数f(y)＝－259y2＋3y的图象开口向下，对称轴为y＝2750，所以f(y)故f(y)在y＝2750处取得最大值，所以Dξ随着y的增大先增大后减小，当y＝2750时取得最大值，故C正确，D错误．。
2020版高考数学北师大版(理)一轮复习课件：12.3 离散型随机变量及其分布列 .pdf
例2(2019届河南商丘二模,19)2018年2月22日,在韩国平昌冬奥会 短道速滑男子500米比赛中,中国选手武大靖以连续打破世界纪录 的优异表现,为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌,也创造 了中国男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破.根据短道速滑男 子500米的比赛规则,运动员自出发点出发进入滑行阶段后,每滑行 一圈都要依次经过4个直道与弯道的交接口Ak(k=1,2,3,4).已知某男 子速滑运动员顺利通过每个交接口的概率均为
(2)离散型随机变量的分布列的性质
-4-
知识梳理 考点自诊
4.常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布:若随机变量X服从两点分布,其分布列为
其中p=P(X=1)称为成功概率.
知识梳理 考点自诊
-5-
1.若X是随机变量,则Y=aX+b(a,b是常数)也是随机变量. 2.随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的.
2.离散型随机变量
所有取值可以一一列出的随机变量,称为 离 散 型 随机变
量.
知识梳理 考点自诊
-3-
3.离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为 x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,则表
称为离散型随机变量X的 概 率 分 布 列 ,简称为X的分布列.
假定运动员只有在摔倒或到达终点时才停止滑行,现在用X表示该 运动员滑行最后一圈时在这一圈内已经顺利通过的交接口数.
考点1
考点2
考点3
-16-
(1)求该运动员停止滑行时恰好已顺利通过3个交接口的概率; (2)求X的分布列及均值EX.
2020版高考数学北京版大一轮精准复习精练：11.2离散型随机变量及其分布列、均值与方差含解析
11.2 离散型随机变量及其分布列、均值与方差挖命题 【考情探究】分析解读 1.会求简单的离散型随机变量的分布列,理解超几何分布.2.理解数学期望与方差的概念,熟练掌握期望与方差的求解方法.3.分布列、期望及方差均为高考的必考内容.本节在高考中一般以解答题形式出现,分值约为13分,属中高档题.破考点 【考点集训】考点一 离散型随机变量及其分布列1.(2015重庆,17,13分)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个. (1)求三种粽子各取到1个的概率;(2)设X 表示取到的豆沙粽个数,求X 的分布列与数学期望.解析 (1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有P(A)==.(2)X 的所有可能值为0,1,2,且 P(X=0)==,P(X=1)==, P(X=2)==. 综上知,X 的分布列为故E(X)=0×+1×+2×=(个).2.春节期间,受烟花爆竹集中燃放的影响,我国多数城市空气中PM2.5浓度快速上升,特别是在大气扩散条件不利的情况下,空气质量在短时间内会迅速恶化.2017年除夕18时和初一2时,国家环保部门对8个城市空气中PM2.5浓度监测的数据如下表(单位:微克/立方米):(1)求这8个城市除夕18时空气中PM2.5浓度的平均值;(2)环保部门发现:除夕18时到初一2时空气中PM2.5浓度上升不超过100的城市都是“禁止燃放烟花爆竹”的城市, 浓度上升超过100的城市都未禁止燃放烟花爆竹.从以上8个城市中随机选取3个城市组织专家进行调研,记选到“禁止燃放烟花爆竹”的城市个数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.解析(1)8个城市除夕18时空气中PM2.5浓度的平均值为=70微克/立方米.(2)8个城市中“禁止燃放烟花爆竹”的有太原,上海,南京,杭州4个城市,随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.所以X的分布列为X的数学期望EX=0×+1×+2×+3×==.考点二离散型随机变量的均值与方差3.已知离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望E(X)=()A. B.2 C. D.3答案 A4.(2014浙江,12,4分)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ=0)=,E(ξ)=1,则D(ξ)=.答案炼技法【方法集训】方法1离散型随机变量分布列的求法1.某次有600人参加的数学测试,其成绩的频数分布表如下,规定85分及其以上为优秀.(1)现用分层抽样的方法从这600人中抽取20人进行成绩分析,求其中成绩为优秀的学生人数;(2)在(1)中抽取的20名学生中,要随机选取2名学生参加活动,记“其中成绩为优秀的人数”为X,求X的分布列与数学期望.解析(1)设其中成绩为优秀的学生人数为x,则=,解得x=15.所以其中成绩为优秀的学生人数为15.(2)依题意,随机变量X所有可能的取值为0,1,2.P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==.所以X的分布列为所以数学期望E(X)=0×+1×+2×=.2.(2015福建,16,13分)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定.(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X,求X的分布列和数学期望.解析(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A,则P(A)=××=.(2)依题意得,X所有可能的取值是1,2,3.P(X=1)=,P(X=2)=×=,P(X=3)=××1=,所以X的分布列为X123P所以E(X)=1×+2×+3×=.方法2求离散型随机变量ξ的期望与方差的方法3.(2018浙江,7,4分)设0<p<1,随机变量ξ的分布列是ξ012P则当p在(0,1)内增大时,()A.D(ξ)减小B.D(ξ)增大C.D(ξ)先减小后增大D.D(ξ)先增大后减小答案 D4.(2014重庆,18,13分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片.(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X的分布列与数学期望.(注:若三个数a,b,c满足a≤b≤c,则称b为这三个数的中位数)解析(1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为P==.(2)X的所有可能值为1,2,3,且P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,故X的分布列为X123P从而E(X)=1×+2×+3×=.评析本题考查概率的计算,随机变量的分布列及数学期望.其中概率的计算要求较高,不过整体难度不大,属中等偏易题.过专题【五年高考】A组自主命题·北京卷题组(2017北京,17,13分)为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成下图,其中“*”表示服药者,“+”表示未服药者.(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值小于60的概率;(2)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人,记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数,求ξ的分布列和数学期望E(ξ);(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论)解析本题考查古典概型,离散型随机变量的分布列与数学期望,方差等知识.(1)由题图知,在服药的50名患者中,指标y的值小于60的有15人,所以从服药的50名患者中随机选出一人,此人指标y的值小于60的概率为=0.3.(2)由题图知,A,B,C,D四人中,指标x的值大于1.7的有2人:A和C.所以ξ的所有可能取值为0,1,2.P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==.所以ξ的分布列为ξ012P故ξ的期望E(ξ)=0×+1×+2×=1.(3)在这100名患者中,服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差.方法总结①在求解离散型随机变量的分布列与数学期望时,先确定随机变量的取值及各个取值对应的概率,利用期望的公式求其数学期望;②在比较数据的方差时,可以根据两组数据的集中或分散程度进行比较.B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一离散型随机变量及其分布列1.(2018天津,16,13分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;(ii)设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.解析本题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.(1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.(2)(i)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=k)=·(k=0,1,2,3).所以,随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.(ii)设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=B∪C,且B与C互斥.由(i)知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=.所以,事件A发生的概率为.导师点睛超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到某类个体的个数.超几何分布的特点:(1)考察对象分两类;(2)已知各类对象的个数;(3)从中抽取若干个个体,考察某类个体个数X的概率分布.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典概型.2.(2017课标Ⅲ,18,12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?解析本题考查随机变量的分布列,数学期望.(1)由题意知,X所有可能取值为200,300,500,由表格数据知P(X=200)==0.2,P(X=300)==0.4,P(X=500)==0.4.因此X的分布列为X200300500P0.20.40.4(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500瓶,至少为200瓶,因此只需考虑200≤n≤500.当300≤n≤500时,若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n;若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2(n-300)-4n=1 200-2n;若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.因此EY=2n×0.4+(1 200-2n)×0.4+(800-2n)×0.2=640-0.4n.当200≤n<300时,若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n;若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n.所以n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元.名师点拨求离散型随机变量的分布列、均值与方差需过四关:①“题目的理解关”.要抓住题中关键字句,尽可能转化为自己熟悉的模型.②“随机变量的取值关”.准确无误地找出随机变量的所有可能取值.③“事件的类型关”.概率问题中的事件涉及等可能事件、互斥事件、对立事件、相互独立事件等,在计算相应的概率前要先确定事件的类型.④“概率的运算关”.运用公式P(A)=,P(A+B)=P(A)+P(B),P(A·B)=P(A)·P(B),P(ξ=k)=p k(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)时,要注意准确无误.3.(2017山东,18,12分)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望EX.解析本题考查离散型随机变量的分布列,期望.(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M,则P(M)==.(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4,则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,P(X=4)==.因此X的分布列为X01234PX的数学期望是EX=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)=0+1×+2×+3×+4×=2.解后反思(1)求离散型随机变量X的分布列的步骤:①理解X的含义,写出X所有可能的取值.②求X取每个值时的概率;③写出X的分布列.(2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量取各个值时对应的概率,在求解时,要注意应用计数原理,古典概型概率公式等知识.4.(2017天津,16,13分)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为,,.(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.解析本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望,事件的相互独立性,互斥事件的概率加法公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=××=,P(X=1)=×1-×1-+1-××1-+××=,P(X=2)=××+××+××=,P(X=3)=××=.所以,随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)=P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0)=×+×=.所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为.5.(2015天津,16,13分)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.解析(1)由已知,有P(A)==.所以,事件A发生的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X=k)=(k=1,2,3,4).所以,随机变量X的分布列为X 1 2 3 4P随机变量X的数学期望E(X)=1×+2×+3×+4×=.6.(2014天津,16,13分)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.解析(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A,则P(A)=··=.所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为.(2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.P(X=k)=·(k=0,1,2,3).所以随机变量X的分布列是随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.考点二离散型随机变量的均值与方差1.(2017浙江,8,4分)已知随机变量ξi满足P(ξi=1)=p i,P(ξi=0)=1-p i,i=1,2.若0<p1<p2<,则()A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)B.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)答案 A2.(2018课标Ⅰ,20,12分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1),且各件产品是不是不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0;(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX;(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?解析(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=p2(1-p)18.因此f '(p)=[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=2p(1-p)17(1-10p).令f '(p)=0,得p=0.1,当p∈(0,0.1)时, f '(p)>0;当p∈(0.1,1)时, f '(p)<0.所以f(p)的最大值点为p0=0.1.(2)由(1)知,p=0.1,(i)令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y,所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.(ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于EX>400,故应该对余下的产品作检验.C组教师专用题组考点一离散型随机变量及其分布列1.(2013课标Ⅰ,19,12分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件做检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件做检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件做检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为,且各件产品是不是优质品相互独立.(1)求这批产品通过检验的概率;(2)已知每件产品的检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品做质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.解析(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)∪(A2B2),且A1B1与A2B2互斥,所以P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)=×+×=.(2)X可能的取值为400,500,800,并且P(X=400)=1--=,P(X=500)=,P(X=800)=.所以X的分布列为EX=400×+500×+800×=506.25.思路分析(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件全是优质品为事件B1,第二次取出的1件是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)∪(A2B2)且A1B1与A2B2互斥,进而求解.(2)X可能的取值为400,500,800,分别求其对应的概率,进而可得分布列、期望.2.(2013课标Ⅱ,19,12分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1 t该产品获利润500元,未售出的产品,每1 t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如下图所示.经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品,以X(单位:t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.(1)将T表示为X的函数;(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率;(3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量X∈[100,110),则取X=105,且X=105的概率等于需求量落入[100,110)的频率),求T的数学期望.解析(1)当X∈[100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39 000,当X∈[130,150]时,T=500×130=65 000.所以T=-≤(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T的分布列为所以ET=45 000×0.1+53000×0.2+61000×0.3+65000×0.4=59 400.思路分析(1)经分段讨论(分X∈[100,130)和X∈[130,150])得函数解析式.(2)先求出利润T不少于57 000元时X的范围,然后根据直方图得到概率的估计值.(3)T可能的取值是45 000,53 000,61 000,65 000,由此结合题意列出分布列,进而得期望.易错警示(1)中容易忽略100≤X≤500而导致出错.3.(2013山东,19,12分)甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立.(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率;(2)若比赛结果为3∶0或3∶1,则胜利方得3分、对方得0分;若比赛结果为3∶2,则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分X的分布列及数学期望.解析(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1,“甲队以3∶1胜利”为事件A2,“甲队以3∶2胜利”为事件A3,由题意,各局比赛结果相互独立,故P(A1)==,P(A2)=×=,P(A3)=×=.所以,甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为,以3∶2胜利的概率为.(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4,由题意,各局比赛结果相互独立,所以P(A4)=××=.由题意,随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3.P(X=0)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=.又P(X=1)=P(A3)=,P(X=2)=P(A4)=,P(X=3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=,故X的分布列为所以EX=0×+1×+2×+3×=.4.(2013陕西,19,12分)在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列及数学期望.解析(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”,B表示事件“观众乙选中3号歌手”,则P(A)==,P(B)==. ∵事件A与B相互独立,∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(A)=P(A)·P()=P(A)·[1-P(B)].=×=.或··(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”,则P(C)==,∵X可能的取值为0,1,2,3,且取这些值的概率分别为P(X=0)=P()=××=,P(X=1)=P(A)+P(B)+P(C)=××+××+××=,P(X=2)=P(AB)+P(A C)+P(BC)=××+××+××=,P(X=3)=P(ABC)=××=,∴X的分布列为∴X的数学期望EX=0×+1×+2×+3×==.考点二离散型随机变量的均值与方差1.(2014浙江,9,5分)已知甲盒中仅有1个球且为红球,乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3,n≥3),从乙盒中随机抽取i(i=1,2)个球放入甲盒中.(a)放入i个球后,甲盒中含有红球的个数记为ξi(i=1,2);(b)放入i个球后,从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i(i=1,2).则()A.p1>p2,E(ξ1)<E(ξ2)B.p1<p2,E(ξ1)>E(ξ2)C.p1>p2,E(ξ1)>E(ξ2)D.p1<p2,E(ξ1)<E(ξ2)答案 A2.(2017江苏,23,10分)已知一个口袋中有m 个白球,n 个黑球(m,n ∈N *,n ≥2),这些球除颜色外完全相同.现将口袋中的球随机地逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,…,m+n 的抽屉内,其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉(k=1,2,3,…,m+n).123…m+n(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率P;(2)随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是X 的数学期望,证明:E(X)<-.解析 本小题主要考查古典概率、随机变量及其分布、数学期望等基础知识,考查组合数及其性质,考查运算求解能力和推理论证能力.(1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率P=- -=. (2)随机变量X 的概率分布为:E(X)=·--=· - - - .所以E(X)<-- -= --- -= - (1+ - - + - +…+ - -)= -( - - + - - + - +…+ - -) =-( - + - +…+ - -) =…=-( - - + - -)=---= - , 即E(X)<-.3.(2014福建,18,13分)为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额. (1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元,求: (i)顾客所获的奖励额为60元的概率; (ii)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;(2)商场对奖励总额的预算是60 000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成,或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.解析(1)设顾客所获的奖励额为X元.(i)依题意,得P(X=60)==,即顾客所获的奖励额为60元的概率为.(ii)依题意,得X的所有可能取值为20,60.P(X=60)=,P(X=20)==,即X的分布列为X 20 60P 0.5 0.5所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)=20×0.5+60×0.5=40(元).(2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为60元.所以,先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.以下是对两个方案的分析:对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为X1元,则X1的分布列为X1的期望为E(X1)=20×+60×+100×=60,X1的方差为D(X1)=(20-60)2×+(60-60)2×+(100-60)2×=.对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励额为X2元,则X2的分布列为X2的期望为E(X2)=40×+60×+80×=60,X2的方差为D(X2)=(40-60)2×+(60-60)2×+(80-60)2×=.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求,但方案2奖励额的方差比方案1的小,所以应该选择方案2.4.(2014湖南,17,12分)某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.解析记E={甲组研发新产品成功},F={乙组研发新产品成功},由题设知P(E)=,P()=,P(F)=,P()=,且事件E 与F,E与,与F,与都相互独立.(1)记H={至少有一种新产品研发成功},则=,于是P()=P()P()=×=,故P(H)=1-P()=1-=.(2)设企业可获利润为X(万元),则X的可能取值为0,100,120,220,因为P(X=0)=P()=×=,P(X=100)=P(F)=×=,P(X=120)=P(E)=×=,P(X=220)=P(EF)=×=,故所求的分布列为E(X)=0×+100×+120×+220×===140.5.(2014大纲全国,20,12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用设备相互独立.(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;(2)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.解析记A i表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备,i=0,1,2,B表示事件:甲需使用设备,C表示事件:丁需使用设备,D表示事件:同一工作日至少3人需使用设备.(1)D=A1·B·C+A2·B+A2··C,P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(A i)=×0.52,i=0,1,2,(3分)所以P(D)=P(A1·B·C+A2·B+A2··C)=P(A1·B·C)+P(A2·B)+P(A2··C)=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P()P(C)=0.31.(6分)(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,则P(X=0)=P(·A0·)=P()P(A0)P()=(1-0.6)×0.52×(1-0.4)=0.06,P(X=1)=P(B·A0·+·A0·C+·A1·)=P(B)P(A0)P()+P()P(A0)P(C)+P()P(A1)P()=0.6×0.52×(1-0.4)+(1-0.6)×0.52×0.4+(1-0.6)×2×0.52×(1-0.4)=0.25,P(X=4)=P(A2·B·C)=P(A2)P(B)P(C)=0.52×0.6×0.4=0.06,P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25,P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38,(10分)数学期望EX=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)=0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2.(12分) 6.(2013浙江,19,14分)设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分.(1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和,求ξ的分布列;(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若Eη=,Dη=,求a∶b∶c.解析(1)由题意得ξ=2,3,4,5,6.P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,P(ξ=4)==,P(ξ=5)==,P(ξ=6)==.所以ξ的分布列为(2)由题意知η的分布列为所以E(η)=++=,D(η)=·+·+·=,化简得---解得a=3c,b=2c,故a∶b∶c=3∶2∶1.【三年模拟】解答题(共85分)1.(2018北京东城二模,16)某银行的工作人员记录了3月1日到3月15日上午10:00在该银行取号后等待办理业务的人数,如图所示:。
高三数学一轮 12.4 离散型随机变量及其分布列课时检测 理 (含解析)北师大版
12.4 离散型随机变量及其分布列一、选择题1．已知随机变量X X 1 2 3 4 5P 115 215 m 415 13则m 的值为( ) A.115 B.215 C.15 D.415解析 利用概率之和等于1，得m ＝315＝15.答案 C2．抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ≥5”表示的试验结果是( ) A ．第一枚6点，第二枚2点 B ．第一枚5点，第二枚1点 C ．第一枚1点，第二枚6点 D ．第一枚6点，第二枚1点解析 第一枚的点数减去第二枚的点数不小于5，即只能等于5，故选D . 答案 D3．离散型随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝an n ＋1(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P (12＜X ＜52)的值为( )A.23 B.34C.45D.56解析 由(11×2＋12×3＋13×4＋14×5)×a ＝1.知45a ＝1 ∴a ＝54. 故P (12＜X ＜52)＝P (1)＋P (2)＝12×54＋16×54＝56.答案 D4．设某项试验的成功率为失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)的值为( )．A ．1 B.12 C.13 D.15解析 设X 的分布列为：即“X ＝0”表示试验失败，“X p ，成功的概率为2p .由p ＋2p ＝1，则p ＝13，因此选C.答案 C5．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X 次球，则P (X ＝12)等于( )．A ．C 1012⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582B ．C 912⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫58238C ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫589⎝ ⎛⎭⎪⎫382D ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582解析 “X ＝12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白球，因此P (X ＝12)＝38C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫582＝C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582.答案 D6．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P (ξ≤1)等于( )．A.15B.25C.35D.45 解析 P (ξ≤1)＝1－P (ξ＝2)＝1－C 14C 22C 36＝45.答案 D7．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为 ( )． A.1220 B.2755 C.27220 D.2155解析 用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量．当X ＝4时，说明取出的3个球有2个旧球，1个新球，∴P (X ＝4)＝C 19C 23C 312＝27220，故选C.答案 C 二、填空题8．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝______. 解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.答案 239.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至少命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为____________． 解析 由251612=-p 得53=p答案 3510．设随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝i 10，(i ＝1,2,3,4)，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜X ＜72＝________.解析 P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜X ＜72＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝35.答案 3511．如图所示，A 、B 两点5条连线并联，它们 在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2. 现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信 息总量为ξ，则P (ξ≥8)＝________. 解析 法一 由已知ξ的取值为7,8,9,10， ∵P (ξ＝7)＝C 22C 12C 35＝15，P (ξ＝8)＝C 22C 11＋C 22C 12C 35＝310， P (ξ＝9)＝C 12C 12C 11C 35＝25，P (ξ＝10)＝C 22C 11C 35＝110，∴ξ的概率分布列为ξ 7 8 9 10 P1531025110∴P (ξ≥8)＝P (ξ＝8)＋P (＝310＋25＋110＝45. 法二 P (ξ≥8)＝1－P (ξ＝7)＝1－C 22C 12C 35＝45.答案 4512．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机抽取2个球，则取出的红球个数X 的取值集合是________．解析 甲袋中取出的红球个数可能是0,1,2，乙袋中取出的红球个数可能是0,1，故取出的红球个数X 的取值集合是{0,1,2,3}． 答案 {0,1,2,3} 三、解答题13．口袋中有n (n ∈N *)个白球，3个红球，依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X .若P (X ＝2)＝730，求： (1)n 的值； (2)X 的分布列．解析 (1)由P (X ＝2)＝730知C 13C 1n ＋3×C 1n C 1n ＋2＝730，∴90n ＝7(n ＋2)(n ＋3)． ∴n ＝7. (2)X ＝1,2,3,4且P (X ＝1)＝710，P (X ＝2)＝730，P (X ＝3)＝7120，P (X ＝4)＝1120. ∴X 的分布列为14.袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个．从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X 表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量X 的分布列；(3)计分介于20分到40分之间的概率．解析 (1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，则P (A )＝C 35C 12C 12C 12C 310＝23. (2)由题意知，X 有可能的取值为2,3,4,5，取相应值的概率分别为． P (X ＝2)＝C 22C 12＋C 12C 22C 310＝130； P (X ＝3)＝C 24C 12＋C 14C 22C 310＝215； P (X ＝4)＝C 26C 12＋C 16C 22C 310＝310； P (X ＝5)＝C 28C 12＋C 18C 22C 310＝815. 所以随机变量X 的分布列为：P (C )＝P (X ＝3或X ＝4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝215＋310＝1330.15．在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X 元的概率分布列．解析 (1)该顾客中奖，说明是从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张，由于是等可能地抽取，所以该顾客中奖的概率 P ＝C 14C 16＋C 24C 210＝3045＝23. ⎝ ⎛⎭⎪⎫或用间接法，即P ＝1－C 26C 210＝1－1545＝23. (2)依题意可知，X 的所有可能取值为0,10,20,50,60(元)，且 P (X ＝0)＝C 04C 26C 210＝13，P (X ＝10)＝C 13C 16C 210＝25，P (X ＝20)＝C 23C 210＝115，P (X ＝50)＝C 11C 16C 210＝215，P (X ＝60)＝C 11C 13C 210＝115.所以X 的分布列为：【点评】 解题的一般步骤为：,第一步：理解以实际问题为背景的概率问题的题意，确定离散型随机变量的所有可能值；,第二步：利用排列、组合知识或互斥事件，独立事件的概率公式求出随机变量取每个可能值的概率；,第三步：画出随机变量的分布列；,第四步：明确规范表述结论；16.某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9.求在一年内李明参加驾照考试次数X 的分布列，并求李明在一年内领到驾照的概率． 解析 X 的取值分别为1,2,3,4.X ＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P (X ＝1)＝0.6.X ＝2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故P (X ＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.X ＝3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故P (X ＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.X ＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P (X ＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024. ∴李明实际参加考试次数X 的分布列为1－(1－0.6)(1－0.7)(1－0.8)(1－0.9)＝0.997 6.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课后限时集训(六十) 离散型随机变量及其分布列
(建议用时：60分钟) A 组 基础达标
一、选择题
1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则
P (X ＝0)等于( )
A ．0
B ．12 C.13
D ．23
C [由已知得X 的所有可能取值为0,1， 且P (X ＝1)＝2P (X ＝0)，
由P (X ＝1)＋P (X ＝0)＝1，得P (X ＝0)＝1
3.]
2．若离散型随机变量X 的分布列为
A.23或13 B ．23 C.13
D ．1
C [根据离散型随机变量分布列的性质知 ⎩⎪⎨⎪
⎧
9c 2
－c ≥0，3－8c ≥0，9c 2－c ＋3－8c ＝1，
解得c ＝1
3
.]
3．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P (ξ≤1)等于( )
A.15 B ．25 C.35
D ．45
D [P (ξ≤1)＝1－P (ξ＝2)＝1－C 14C 2
2C 36＝4
5
.]
4．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个
村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 6
8
C 1015
的是( )
A ．P (X ＝2)
B ．P (X ≤2)
C ．P (X ＝4)
D ．P (X ≤4)
C [X 服从超几何分布，故P (X ＝k )＝C k 7C 10－k
8
C 1015，k ＝4.]
5．若随机变量X 的分布列为
A ．(－∞，2]
B ．[1,2]
C ．(1,2]
D ．(1,2)
C [由随机变量X 的分布列知P (X ＜－1)＝0.1，P (X ＜0)＝0.3，P (X ＜1)＝0.5，P (X ＜2)＝0.8，P (X ＝2)＝0.1，则当P (X ＜a )＝0.8时，实数a 的取值范围是(1,2]．]
二、填空题
6．(2019·洛阳模拟)袋中有4只红球，3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P (ξ≤6)＝________.
1335 [P (ξ≤6)＝P (取到3只红球1只黑球)＋P (取到4只红球)＝C 34C 1
3C 47＋C 4
4C 47＝1335.] 7．已知随机变量X 的概率分别为p 1，p 2，p 3，且依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________．
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－13，13 [由已知得p 1＝p 2－d ，p 3＝p 2＋d ，由分布列性质知 (p 2－d )＋p 2＋(p 2＋d )＝1，得p 2＝13，
又⎩⎪⎨⎪⎧
13－d ≥0，13＋d ≥0，
得－13≤d ≤1
3
.]
8．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)．若
X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X 的所有可能取值是________．
－1,0,1,2,3 [X ＝－1，甲抢到一题但答错了．
X ＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时一对一错． X ＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题， 且1错2对． X ＝2时，甲抢到2题均答对．
X ＝3时，甲抢到3题均答对．]
三、解答题
9．有编号为1,2,3，…，n 的n 个学生，入坐编号为1,2,3，…，n 的n 个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X ，已知X ＝2时，共有6种坐法．
(1)求n 的值；
(2)求随机变量X 的概率分布列． [解] (1)因为当X ＝2时，有C 2
n 种坐法， 所以C 2
n ＝6，即
n n －
2
＝6，
n 2－n －12＝0，解得n ＝4或n ＝－3(舍去)，所以n ＝4.
(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X ， 由题意知X 的可能取值是0,2,3,4， 所以P (X ＝0)＝1A 44＝1
24，
P (X ＝2)＝C 2
4×1A 44＝624＝1
4，
P (X ＝3)＝C 34×2A 44＝824＝1
3
，
P (X ＝4)＝1－124－14－13＝38
，
所以X 的概率分布列为：
10件产品中任取3件，求：
(1)取出的3件产品中一等品件数X 的分布列；
(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．
[解] (1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C 3
10，从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的结果数为C k 3C 3－k
7，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的概率为P (X ＝k )＝C k 3C 3－k
7
C 310
，k ＝0,1,2,3.
所以随机变量X 的分布列为
品和2件三等品”为事件A 1，“恰好取出2件一等品”为事件A 2，“恰好取出3件一等品”为事件A 3.
由于事件A 1，A 2，A 3彼此互斥，且A ＝A 1∪A 2∪A 3， 而P (A 1)＝C 13C 2
3C 310＝3
40
，
P (A 2)＝P (X ＝2)＝740
， P (A 3)＝P (X ＝3)＝
1120
. ∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为
P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝340＋740＋
1120＝31
120.
B 组 能力提升
1．若P (X ≤x 2)＝1－β，P (X ≥x 1)＝1－α，其中x 1＜x 2，则P (x 1≤X ≤x 2)等于( ) A ．(1－α)(1－β) B ．1－(α＋β) C ．1－α(1－β)
D ．1－β(1－α)
B [显然P (X ＞x 2)＝β，P (X ＜x 1)＝α.由概率分布列的性质可知P (x 1≤X ≤x 2)＝1－P (X ＞x 2)－P (X ＜x 1)＝1－α－β＝1－(α＋β)．]
2．一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X 个白球，下列概率等于
n －m
2
m
A 3
n
的是( )
A ．P (X ＝3)
B ．P (X ≥2)
C ．P (X ≤3)
D ．P (X ＝2)
D [由超几何分布知P (X ＝2)＝
n －m
2
m
A 3
n
.]
3．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量
ξ的分布列为________．
P (ξ＝0)＝8C 2
3C 212＝411，P (ξ＝2)＝6C 212＝1
11
.
P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)＝1－411－111＝611
.
所以随机变量ξ的分布列为
4．(2019·安庆模拟)为了了解高一学生的体能情况，某校随机抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出了频率分布直方图如图所示，已知次数在[100,110)间的频数为7，次数在110以下(不含110)视为不达标，次数在[110,130)间的视为达标，次数在130以上视为优秀．
(1)求此次抽样的样本总数为多少人？
(2)在样本中，随机抽取一人调查，则抽中不达标学生、达标学生、优秀学生的概率分别是多少？
(3)将抽样的样本频率视为总体概率，若优秀成绩记为15分，达标成绩记为10分，不达标成绩记为5分，现在从该校高一学生中随机抽取2人，他们的分值和记为X ，求X 的分布列．
[解] (1)设样本总数为n ，
由频率分布直方图可知：次数在[100,110)间的频率为：0.014×10＝0.14， 所以7
n
＝0.14，解得n ＝50.
(2)记抽中不达标学生的事件为C ，抽中达标学生的事件为B ，抽中优秀学生的事件为A.
P (C )＝0.006×10＋0.014×10＝0.20； P (B )＝0.028×10＋0.022×10＝0.50； P (A )＝1－P (B )－P (C )＝0.30.
(3)在高一学生中随机抽取2名学生的成绩和X ＝10,15,20,25,30.
P (X ＝10)＝0.2×0.2＝0.04；P (X ＝15)＝2×0.2×0.5＝0.2；P (X ＝20)＝0.52＋
2×0.2×0.3＝0.37；
P (X ＝25)＝2×0.3×0.5＝0.3；P (X ＝30)＝0.32＝0.09.
X的分布列为。