2021届重庆市渝中区巴蜀中学高三“一诊”模拟测试题数学(理)试题Word版含解析

2021届重庆市渝中区巴蜀中学高三“一诊”模拟测试题数学（理）试题一、单选题 1．已知复数()131i i z i-=+，则其共轭复数z 的虚部为（ ）A ．-1B ．1C ．-2D ．2【答案】B【解析】利用复数乘法、除法运算化简z ，由此求得z 的共轭复数z ，进而求得z 的虚部. 【详解】 依题意()()()()3134221112i i i iz i i i i +-+-====-++-，故2z i =+，其虚部为1. 故选：B. 【点睛】本小题主要考查复数乘法、除法的运算，考查共轭复数的概念，考查复数虚部，属于基础题. 2．已知集合1|0x A x x -⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，集合(){}|lg 21B x y x ==-，则A B =（ ） A ．(]0,1 B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】C【解析】解分式不等式求得集合A ，求函数定义求得集合B ，由此求得两个集合的交集. 【详解】 由10x x -≥解得01x <≤，由210x 解得12x >，故1,12A B ⎛⎤= ⎥⎝⎦， 故选：C. 【点睛】本小题主要考查交集的概念和运算，考查分式不等式的解法，考查对数函数的定义域，属于基础题. 3．设a ，e 均为单位向量，当a ，e 的夹角为23π时，a 在e 方向上的投影为（ ）A ．B ．12-C ．12D ．【答案】B【解析】根据向量投影计算公式，计算出所求的投影. 【详解】a 在e 上的投影为21cos ,cos32a a e π<>==-， 故选：B. 【点睛】本小题主要考查向量投影的概念和运算，考查单位向量，属于基础题.4．已知等差数列{}n a 满足3243a =a ，则数列{}n a 中一定为零的项是（ ） A ．6a B ．7aC ．8aD ．9a【答案】A【解析】将已知条件转化为1,a d 的形式，由此判断出一定为零的项. 【详解】设公差为d ，由3243a =a 得15a d =-，∴6150a a d =+=， 故选：A. 【点睛】本小题主要考查等差数列的基本量计算，属于基础题.5．新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A 、B 、C 、D 、E 五个等级.某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到如下图表：针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是（ ） A ．获得A 等级的人数减少了B ．获得B 等级的人数增加了1.5倍C ．获得D 等级的人数减少了一半 D ．获得E 等级的人数相同【答案】B【解析】设出两年参加考试的人数，然后根据图表计算两年等级为A,B,C,D,E 的人数，由此判断出正确选项. 【详解】设2016年参加考试x 人，则2018年参加考试2x 人，根据图表得出两年各个等级的人数如下图所示： 年份 ABCDE2016 0.28x 0.32x 0.30x 0.08x 0.02x2018 0.48x 0.8x0.56x 0.12x 0.04x由图可知A,C,D 选项错误，B 选项正确，故本小题选B. 【点睛】本小题主要考查图表分析，考查数据分析与处理能力，属于基础题. 6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为( )A ．201921-B ．201922-C ．202022-D ．202021-【答案】C【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量2320192222S =+++⋯+的值，利用等比数列的求和公式即可计算得解．【详解】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量2320192222S =+++⋯+的值， 由于()2019232019202021222222212S -=+++⋯+==--．故选：C ． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 7．设函数()23cos 2sin 232f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，将函数()f x 的图像向左平移()0ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图像，若()g x 为偶函数，则ϕ的最小值是（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】A【解析】利用诱导公式、辅助角公式化简()f x ，求得()f x 向左平移ϕ个单位后的()g x 的解析式，根据()g x 为偶函数，求得ϕ的表达式，由此求得ϕ的最小值.【详解】()πππcos 2cos 2sin 2cos 2626f x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦12cos 22x x =+sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，向左平移()0ϕϕ>，得()sin 226g x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，又()g x 为偶函数，令π2π62k πϕ+=+，得26k ππϕ=+，由于0ϕ>，k Z ∈，∴ϕ最小值为6π， 故选：A. 【点睛】本小题主要考查诱导公式、辅助角公式，考查三角函数图像变换，考查根据三角函数的奇偶性求参数，属于中档题.8．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()112nn n nS a =-+，则135S S S ++=（ ） A ．0 B ．564C ．1764 D ．2164【答案】D【解析】根据题目所给已知条件，求得135,,S S S 的值，进而求得它们的和. 【详解】()()()11122nn n n n S S S n -=--+≥，若n 为偶数，则112n nS -=，∴112k k S +=（k 为奇数）. 则135111214166464S S S ++=++=，故选：D. 【点睛】本小题主要考查()12n n n a S S n -=-≥的运用，属于基础题.9．已知抛物线C ：()220y px p =>，过其焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，记AOB∆的面积为S ，且满足32AB FB S ==，则p =（ ） A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】D【解析】结合抛物线的定义，计算出三角形OAB 的面积S ，由此列方程，解方程求得p 的值. 【详解】设FB a =， ()()1122,,,A x y B x y ，则211122AOB S p y y ∆=⨯⨯-，根据抛物线的定义可知21y y -==.依题意32AB FB S ==，则11322a p =⨯⨯，∴2p =， 故选：D. 【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查与抛物线有关的三角形面积的计算，考查方程的思想，属于基础题. 10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ）A．287πB．287πC．282127πD．28219π【答案】C【解析】将三视图还原为原图，几何体是底面为边长为2的等边三角形，高为2的三棱锥.根据等边三角形外接圆的半径，计算出外接球的半径，进而求得外接球的体积.【详解】将三视图还原为原图如图，可得几何体是底面为边长为2的等边三角形，高为2的三棱锥.等比三角形的外接圆半径为123π3sin3==222237133R⎛⎫=+=⎪⎪⎝⎭，21R=.则3428213V Rππ==球，故选：C.【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查三棱锥外接球体积有关计算，属于基础题.11．已知函数()2ln2,03,02x x x xf xx x x->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的关于直线1y=-对称的点在()1g x kx=-的图像上，则k的取值范围是( )A．13 (,) 34B．13(,)24C．1(,1)3D．1(,1)2【答案】D【解析】根据对称关系可将问题转化为()f x与1y kx=--有且仅有四个不同的交点；利用导数研究()f x 的单调性从而得到()f x的图象；由直线1y kx=--恒过定点()0,1A-，通过数形结合的方式可确定(),AC ABk k k-∈；利用过某一点曲线切线斜率的求解方法可求得ACk和ABk，进而得到结果.【详解】()1g x kx=-关于直线1y=-对称的直线方程为：1y kx=--∴原题等价于()f x与1y kx=--有且仅有四个不同的交点由1y kx=--可知，直线恒过点()0,1A-当0x>时，()ln12ln1f x x x'=+-=-()f x∴在()0,e上单调递减；在(),e+∞上单调递增由此可得()f x图象如下图所示：其中AB、AC为过A点的曲线的两条切线，切点分别为,B C由图象可知，当(),AC ABk k k-∈时，()f x与1y kx=--有且仅有四个不同的交点设(),ln2C m m m m-，0m>，则ln21ln1ACm m mk mm-+=-=-，解得：1m=1ACk∴=-设23,2B n n n⎛⎫+⎪⎝⎭，0n≤，则23132220ABn nk nn++=+=-，解得：1n=-31222AB k ∴=-+=- 11,2k ⎛⎫∴-∈-- ⎪⎝⎭，则1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭本题正确选项：D 【点睛】本题考查根据直线与曲线交点个数确定参数范围的问题；涉及到过某一点的曲线切线斜率的求解问题；解题关键是能够通过对称性将问题转化为直线与曲线交点个数的问题，通过确定直线恒过的定点，采用数形结合的方式来进行求解.12．在ABC ∆中，A 、B 、C 为其三内角，满足tan A 、tan B 、tan C 都是整数，且A B C >>，则下列结论中错误的是（ ） A ．25A π>B ．3B π>C ．49A π<D ．512B π<【答案】A【解析】首先判断出,,A B C 均为锐角，根据tan A 、tan B 、tan C 都是整数，求得tan A 、tan B 、tan C 的值，进而判断出结论错误的选项. 【详解】由于0C B A π<<<<，所以B 、C 都是锐角，又tan B 、tan C 都是正整数，这样()ta ta n tan 0tan tan n 1tan B CA CBC B +=+-->=，可见A 也是锐角.这时，tan 1C ≥，tan 2B ≥，tan 3A ≥.有tan tan tan 1tan tan 1A BC A B +=≥-，即()()tan 1tan 12A B --≤.但是tan 12A -≥，tan 11B -≤，比较可知只可能tan 3A =，tan 2B =，tan 1C =.由tan B >3B π>，选项B 是正确的.至于选项C 和D ，由5tan 2tan 12A π=+>，可知512A π<，又54129ππ<，故选项C 正确； 又由512A B π>>，选项D 正确、A 选项错误. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式，考查三角形内角和定理，考查分析、思考与解决问题的能力，属于中档题.二、填空题13．已知()()()()52501252111x a a x a x a x +=+++++++，则2a =______.【答案】10【解析】将二项式等价变形为()()55211x x +=++⎡⎤⎣⎦，根据变形后的二项式展开式的通项公式，求得2a 的值. 【详解】()()55211x x +=++⎡⎤⎣⎦，其通项公式为()151r r r T C x +=+，故()22351T C x =+，所以22510a C ==. 故答案为：10 【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.14．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，以线段12F F 为直径的圆交C的一条渐近线于点P （P 在第一象限内），若线段1PF 的中点Q 在C 的另一条渐近线上，则C 的离心率e =______.【答案】2【解析】根据垂直平分线的性质和渐近线的性质，求得1260FOQ POQ POF ∠=∠=∠=︒，由此求得3b a =，进而利用21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭计算出双曲线的离心率. 【详解】由图可知，OQ 是线段1F P 的垂直平分线，又OP 是12Rt F PF ∆斜边的中线，∴OP c =，且1260FOQ POQ POF ∠=∠=∠=︒，∴tan 603ba=︒=，所以2e =. 故答案为：2【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查双曲线的渐近线，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 15．中国光谷（武汉）某科技公司生产一批同型号的光纤通讯仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，若元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则该部件正常工作.由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布()210000,10N ，且各个元件能否正常工作相互独立.现从这批仪器中随机抽取1000台检测该部件的工作情况（各部件能否正常工作相互独立），那么这1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值为______台.【答案】375【解析】先求得元件1和2并联电路正常工作的概率，乘以元件3正常工作的概率，由此求得部件正常工作超过10000小时的概率.利用二项分布均值计算计算公式，计算出1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值.【详解】由正态分布可知，每个元件正常工作超过10000小时的概率为12，则部件正常工作超过10000小时的概率为21131228⎡⎤⎛⎫-⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 又1000台仪器的该部件工作服从二项分布，所以平均值为310003758⨯=台. 故答案为：375 【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，考查二项分布的识别和二项分布期望的计算，属于基础题. 16．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 为体对角线1BD 上的一点，且()()10,1BP BD λλ=∈，现有以下判断：①11A D C P ⊥；②若1BD ⊥平面PAC ，则13λ=；③PAC ∆周长的最小值是2223④若PAC ∆为钝角三角形，则λ的取值范围为20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中正确判断的序号为______. 【答案】①②④【解析】利用线面垂直证明线线垂直，由此判断①正确.在直角三角形中，利用射影定理求得13PB BD =，由此判断②正确.将1ABD ∆和1CBD ∆展开成平面，由此求得AP CP +的最小值，进而求得三角形PAC ∆周长的最小值，由此判断③错误.先求得APC ∆为直角三角形时λ的值，由此确定λ的取值范围 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，1A D ⊥平面11ABC D ，又1C P ⊂平面11ABC D ，故11A D C P ⊥，①正确； 由1BD ⊥平面PAC ，在1Rt ABD ∆中，212,22,23AB AD BD ===,由于1BD AP ⊥，由射影定理得21AB BP BD =⋅,即423,3PB PB =⋅=，13323PB BD ==,可得13λ=，故②正确； 将1ABD ∆和1CBD ∆展开，可得AP CP +的最小值为463，又22AC =，故③错误； 利用1BD ⊥平面11AC D ，可得当APC ∆为直角三角形时，23λ=，故当APC ∆为钝角三角形时，λ的取值范围为20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，④正确. 所以正确判断为①②④. 故答案为：①②④【点睛】本小题主要考查正方体中的线线、线面垂直有关命题真假性判断，考查距离和的最值的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.三、解答题17．在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的内角平分线，点D 在线段BC 上，且2BD CD =. （1）求sin B 的值；（2）若1AD =，求ABC ∆的面积.【答案】（1）sin 5B =；（2）98ABC S ∆=【解析】（1）利用正弦定理列方程，求得1sin cos 2B B =，两边平方后利用同角三角函数的基本关系式求得sin B 的值.（2）首先求得cos B 的值，利用两角和的正弦公式求得sin BDA ∠，然后求得AB ，进而求得AC ，从而求得三角形ABC 的面积. 【详解】（1）在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD AD BAD B =∠，即sin 45sin BD ADB︒=，在ACD ∆中，由正弦定理得()sin sin 90CD AD CAD B =∠︒-，即sin 45cos CD AD B=︒， 两式相除得sin 1cos 2B CD B BD ==，即1sin cos 2B B =，∴()22211sin cos 1sin 44B B B ==-，即21sin 5B =，又0B π<<，所以sin 0B >，故sin 5B =.（2）由90BAC ∠=︒，得B 是锐角，于是cos B =，所以()sin sin 45sin cos45cos sin 45BDA B B B ︒︒∠=+=+︒=，在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BDA AB ADB ∠==tan AC AB B ==，所以11922248ABC S AB AC ∆=⋅=⋅=. 【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的正弦公式，属于基础题.18．如图，等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD AB BC ===，2CD =，E 为CD 中点，以AE 为折痕把ADE ∆折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）.（Ⅰ）证明：AE PB ⊥；（Ⅱ）若直线PB 与平面ABCE 所成的角为4π，求二面角A PE C --的余弦值. 【答案】（I ）见解析；（II ）5-. 【解析】（I ）先证明AE POB ⊥平面，再证明AE PB ⊥；（II ）在平面POB 内作PQ ⊥OB,垂足为Q ， 证明OP ⊥平面ABCE ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角A PE C --的余弦值. 【详解】（I ）证明：在等腰梯形ABCD 中，连接BD ，交AE 于点O ， ∵AB||CE,AB=CE ，∴四边形ABCE 为平行四边形，∴AE=BC=AD=DE ， ∴△ADE 为等边三角形，∴在等腰梯形ABCD 中，3C ADE π∠=∠=，23DAB ABC π∠=∠=, ∴在等腰ADB ∆中，6ADB ABD π∠=∠=∴2362DBC πππ∠=-=,即BD ⊥BC ， ∴BD ⊥AE ，翻折后可得：OP ⊥AE,OB ⊥AE ，又,,OP POB OB POB OP OB O ⊂⊂=平面平面，AE POB ∴⊥平面，,PB POB AE PB ⊂∴⊥平面；（II ）解：在平面POB 内作PQ ⊥OB,垂足为Q ， 因为AE ⊥平面POB ，∴AE ⊥PQ ，因为OB ⊂平面ABCE, AE ⊂平面ABCE,AE ∩OB=O∴PQ ⊥平面ABCE ，∴直线PB 与平面ABCE 夹角为4PBQ π∠=，又因为OP=OB ，∴OP ⊥OB ，∴O 、Q 两点重合，即OP ⊥平面ABCE ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为3131313(,0,0),(0,(,0,),(,2222222P E C PE EC ∴=-=, 设平面PCE 的一个法向量为1(,,)n x y z =，则1113002,,01302x z PE n EC n x y ⎧=⎪⎧⋅=⎪⎪∴⎨⎨⋅=⎪⎩⎪+=⎪⎩ 设3x =y=-1,z=1， ∴1(3,-1,1)n =，由题意得平面PAE 的一个法向量2(0,1,0)n =， 设二面角A-EP-C 为α，1212||5|cos |=||||5n n n n α⋅==.易知二面角A-EP-C 为钝角，所以5cos α.【点睛】本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，考查二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象转化分析推理能力.19．已知点233M ⎝⎭在椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上，且点M 到C 的左、右焦点的距离之和为2（1）求C 的方程；（2）设O 为坐标原点，若C 的弦AB 的中点在线段OM （不含端点O ，M ）上，求OA OB ⋅的取值范围.【答案】（1）2212x y +=；（2）45,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】（1）根据椭圆的定义和椭圆上点的坐标，求得椭圆的标准方程.（2）设出,A B 的坐标，求得AB 中点的坐标，由OM 的斜率得到()12122x x y y +=+，利用点差法求得AB 的斜率，设出直线AB 的方程并代入椭圆方程，写出判别式以及韦达定理，利用平面向量的坐标运算，化简求得OA OB ⋅的取值范围. 【详解】 （1）由条件知2241133a b +=，222a =，所以2a =1b =， ∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设点A 、B 的坐标为()11,A x y ，()22,B x y ，则AB 中点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭在线段OM 上，且12OMk =， ∴()12122x x y y +=+，又221112x y +=，222212x y +=，两式相减得()()()()1212121202x x x x y y y y -++-+=，易知120x x -≠，120y y +≠，所以()1212121212y y x x x x y y -+=-=--+，即1AB k =-. 设AB 方程为y x m =-+，代入2212xy +=并整理得2234220x mx m -+-=.由()2830m ∆=->解得23m <，又由1220,233x x m +⎛=∈ ⎪⎝⎭，∴03m <<. 由韦达定理得1243m x x +=，()212213m x x -=，故()()12121212OA OB x x y y x x x m x m ⋅=+=+-+-+()()22221212414233m m x x m x x m m-=-++=-+243m =-. 而03m <<，所以OA OB ⋅的取值范围是45,33⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查椭圆的定义和标准方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查点差法，考查向量数量积的坐标运算，考查运算求解能力，属于中档题.20．武汉有“九省通衢”之称，也称为“江城”，是国家历史文化名城.其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风景区等等.（1）为了解“五·一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000人，制成了如图的频率分布直方图：现从年龄在[]42,52内的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人，记4人中年龄在[]47,52内的人数为ξ，求()3P ξ=；（2）为了给游客提供更舒适的旅游体验，该旅游景点游船中心计划在2020年劳动节当日投入至少1艘至多3艘A 型游船供游客乘坐观光.由2010到2019这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量X （单位：万人）都大于1.将每年劳动节当日客流量数据分成3个区间整理得表：以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节当日客流量相互独立.该游船中心希望投入的A 型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日A 型游船最多使用量（单位：艘）要受当日客流量X （单位：万人）的影响，其关联关系如下表：若某艘A 型游船在劳动节当日被投入且被使用，则游船中心当日可获得利润3万元；若某艘A 型游船劳动节当日被投入却不被使用，则游船中心当日亏损0.5万元.记Y （单位：万元）表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润，Y 的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大，问该游船中心在2020年劳动节当日应投入多少艘A 型游船才能使其当日获得的总利润最大？ 【答案】（1）()4353P ξ==；（2）投入3艘A 型游船使其当日获得的总利润最大 【解析】（1）首先计算出在[)42,47，[]47,52内抽取的人数，然后利用超几何分布概率计算公式，计算出()3P ξ=.（2）分别计算出投入1,2,3艘游艇时，总利润的期望值，由此确定当日游艇投放量. 【详解】（1）年龄在[)42,47内的游客人数为150，年龄在[]47,52内的游客人数为100；若采用分层抽样的方法抽取10人，则年龄在[)42,47内的人数为6人，年龄在[]47,52内的人数为4人.可得()31464103435C C C P ξ===. （2）①当投入1艘A 型游船时，因客流量总大于1，则()3E Y =（万元）. ②当投入2艘A 型游船时，若13X <<，则30.5 2.5Y =-=，此时()521132105P Y P X ⎛⎫==<<== ⎪⎝⎭； 若3X ≥，则326Y =⨯=，此时()()()463555P Y P X P X ==≤≤+>=； 此时Y 的分布列如下表：此时()142.56 5.355E Y =⨯+⨯=（万元）. ③当投入3艘A 型游船时，若13X <<，则312Y =-=，此时()()21213105P Y P X ==<<==； 若35X ≤≤，则320.5 5.5Y =⨯-=，此时()()25.5355P Y P X ==≤≤=；若5X >，则339Y =⨯=，此时()()2955P Y P X ==>=；此时Y 的分布列如下表：此时()1222 5.59 6.2555E Y =⨯+⨯+⨯=（万元）. 由于6.2 5.33>>，则该游船中心在2020年劳动节当日应投入3艘A 型游船使其当日获得的总利润最大. 【点睛】本小题主要考查分层抽样，考查超几何分布概率计算公式，考查随机变量分布列和期望的求法，考查分析与思考问题的能力，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 21．已知函数21()(1)2,2xf x x e ax ax a R =+++∈. (1)讨论()f x 极值点的个数；(2)若00(2)x x ≠-是()f x 的一个极值点，且-2(2)>e f -，证明: 0()<1f x .【答案】(1) 当2a e -=-时，()f x 无极值点；当0a ≥时，()f x 有1个极值点；当2a e -<-或20e a --<<时，()f x 有2个极值点；(2)证明见解析【解析】（1）求导得到()()()2xf x x e a '=++；分别在0a ≥、2a e -<-、2a e -=-和20e a --<<四种情况下根据()f x '的符号确定()f x 的单调性，根据极值点定义得到每种情况下极值点的个数；（2）由（1）的结论和()22f e -->可求得()2,a e-∈-∞-，从而得到()0ln xa =-，代入函数解析式可得()0f x ；令()()ln 2,t a =-∈-+∞可将()0f x 化为关于t 的函数()g t ，利用导数可求得()g t 的单调性，从而得到()1g t ≤，进而得到结论.【详解】（1）()()()()222xxf x x e ax a x e a '=+++=++①当0a ≥时，0x e a +>∴当(),2x ∈-∞-时，()0f x '<；当()2,x ∈-+∞时，()0f x '>()f x ∴在(),2-∞-上单调递减；在()2,-+∞上单调递增2x ∴=-为()f x 的唯一极小值点，无极大值点，即此时()f x 极值点个数为：1个②当0a <时，令()0f x '=，解得：12x =-，()2ln x a =- ⑴当2a e -<-时，12x x <()1,x x ∴∈-∞和()2,x +∞时，()0f x '>；()12,x x x ∈时，()0f x '<()f x ∴在()1,x -∞，()2,x +∞上单调递增；在()12,x x 上单调递减1x x ∴=为()f x 的极大值点，2x x =为()f x 的极小值点，即()f x 极值点个数为：2个⑵当2a e -=-时，12x x =，此时()0f x '≥恒成立且不恒为0()f x ∴在R 上单调递增，无极值点，即()f x 极值点个数为：0个⑶当20e a --<<时，12x x >()2,x x ∴∈-∞和()1,x +∞时，()0f x '>；()21,x x x ∈时，()0f x '<()f x ∴在()2,x -∞，()1,x +∞上单调递增；在()21,x x 上单调递减2x x ∴=为()f x 的极大值点，1x x =为()f x 的极小值点，即()f x 极值点个数为：2个综上所述：当2a e -=-时，()f x 无极值点；当0a ≥时，()f x 有1个极值点；当2a e -<-或20e a --<<时，()f x 有2个极值点（2）由（1）知，若()002x x ≠-是()f x 的一个极值点，则()()22,,0a e e--∈-∞-⋃-又()2222f e a e ---=-->，即2a e -<- ()2,a e-∴∈-∞-02x ≠- ()0ln x a ∴=-()()()()()()()()ln 22011ln 1ln 2ln ln 2ln 222a f x a e a a a a a a a -⎡⎤∴=-++⋅-+-=-+--⎣⎦令()()ln 2,t a =-∈-+∞，则t a e =- ()()21222t g t e t t ∴=-+-，()2,t ∈-+∞则()()()2114422t tg t e t t t t e '=-+=-+当2t >-时，40t +>，0t e >∴当()2,0t ∈-时，()0g t '>；当()0,t ∈+∞时，()0g t '<()g t ∴在()2,0-上单调递增；在()0,∞+上单调递减 ()()max 01g t g ∴==，即()1g t ≤ ()01f x ∴≤【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用问题，涉及到利用导数讨论函数极值点的个数、证明不等式的问题；本题中证明不等式的关键是能够通过换元的方式将()0f x 转化为关于t 的函数，利用导数求得函数最值之后即可证得结论；易错点是换元时忽略自变量的取值范围，导致定义域错误.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为3cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点()1,0P - ，直线l 和曲线C 交于,A B 两点，求||||PA PB +的值． 【答案】（1）22193x y +=，10x y -+=；（2）2. 【解析】(1)利用三角恒等式消参得到曲线C 的普通方程，利用极坐标公式得到直线l 的直角坐标方程；（2）先证明点P 在直线l 上，再利用直线参数方程t 的几何意义解答.【详解】（1）因为曲线C的参数方程为3cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）， 所以曲线C 的普通方程为22193x y +=.因为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以sin cos 1,10x y ρθρθ-=∴-+=.所以直线l 的直角坐标方程为10x y -+=.（2）由题得点()1,0P -在直线l 上，直线l的参数方程为12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入椭圆的方程得2280t -=，所以1212+402t t t t ==-<，所以12|PA|+|PB|=||t t -==. 【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线参数方程t 的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.23．已知函数()()210f x x a x a =++->.（1）当1a =时，求不等式()4f x >的解集；（2）若不等式()42f x x >-对任意的[]3,1x ∈--恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）5|13x x x >⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或；（2）()5,+∞【解析】（1）利用零点分段法去绝对值，将不等式()4f x >转化为不等式组来求解得不等式()4f x >的解集.（2）化简不等式()42f x x >-为2x a +>，由此得到2a x >-或2a x <--，结合恒成立知识的运用，求得a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，()121f x x x =++-，故()4f x >等价于1314x x ≤-⎧⎨-+>⎩或1134x x -<≤⎧⎨-+>⎩或1314x x >⎧⎨->⎩，解得1x <-或53x >. 故不等式()4f x >的解集为5|13x x x >⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或.（2）当[]3,1x ∈--时，由()42f x x >-得22240x a x x ++-+->， 即2x a +>，即2a x >-或2a x <--对任意的[]3,1x ∈--恒成立.又()max 25x -=，()min 21x --=-，故a 的取值范围为()(),15,-∞-+∞. 又0a >，所以5a >，综上，a 的取值范围为()5,+∞.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查含有绝对值的不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.。