第24讲矩形菱形正方形

(B)仅小亮对
(D)两人都不对
【解析】选C.作AG∥EF交BC于G,作BH∥MN交CD于H,
∵EF=MN,∴AG=BH,
∴Rt△AGB≌Rt△BHC,∴∠BAG=∠CBH. ∵∠CBH+∠ABH=90°, ∴∠BAG+∠ABH=90°, ∴MN⊥EF.反之也成立.
5.(2010·台州中考)如图，矩形ABCD中， AB＞AD，AB=a，AN平分∠DAB，DM⊥AN于 点M，CN⊥AN于点N.则DM+CN的值为(用含 a的代数式表示)( )
【解析】选C.由中位线定理可得水池的四边分别平行且等于
等腰梯形两条对角线的一半，等腰梯形的对角线相等，故水
池四边相等，所以是菱形.
3.如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的
中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=( (A)35° (B)45° )
(C)50°
Hale Waihona Puke (D)55°【解析】选D.延长PF交AB的延长线于G, 由AB∥CD得∠GBF=∠C 又因为BF=FC,∠BFG=∠PFC, ∴△GBF≌△PCF,∴GF=PF.
∵∠GEP=90°,∴EF=FP，
∴∠FEP=∠FPE, ∴∠FPC=∠BEF=55°.
4．如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF，M、N、E、F
分别在边AB、CD、AD、BC上．小明认为：若MN=EF，则MN⊥EF； 小亮认为:若MN⊥EF，则MN=EF．你认为( )
(A)仅小明对
(C)两人都对
【解析】∵矩形ABCD，∴AB=CD=6,∴B所对应的数是5.
答案：5
7.如图，菱形ABCD的周长为8，高AE平分
BC,菱形的面积为_____．
【解析】菱形ABCD的周长为8，高AE平分BC.
∵AB=AC=BC=2， ∴AE= 3 ， ∴菱形的面积为2 3 . 答案： 2 3
8.已知一个四边形的对角线互相垂直，那么顺次连结这个四 边形的四边中点所得的四边形是_____． 【解析】四边形的对角线互相垂直,那么中点四边形的一组邻 边互相垂直，所以中点四边形是矩形. 答案：矩形
∴OE=OF， ∵OM=OA， ∴四边形AEMF是平行四边形. ∵AE=AF，
∴平行四边形AEMF是菱形.
12.(12分)(2010·宁波中考)如图1，有一张菱形纸片ABCD，
AC＝8，BD＝6.
(1)请沿着AC剪一刀，把它分成两部分， 把剪开的两部分分拼成一个平行四边形，
在图2中用实线画出你所拼成的平行四边
一、选择题(每小题6分，共30分) 1.下列四边形：①正方形、②矩形、③菱形，对角线一定相 等的是( (A)①②③ (C)①③ ) (B)①② (D)②③
【解析】选B.正方形、矩形的对角线相等.
2.(2010·烟台中考)如图，小区的一角有一块形状为等腰梯 形的空地，为了美化小区，社区居委会计划在空地上建一个 四边形的水池，使水池的四个顶点恰好在梯形各边的中点上， 则水池的形状一定是( (A)等腰梯形 (C)菱形 ) (B)矩形 (D)正方形
长线上一点，且DF＝BE． (1)求证：CE＝CF；
(2)在图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成
立吗？为什么？
(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图 2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC(BC＞AD)，∠B＝90°，AB＝ BC＝12，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，求DE的长．
【解析】(1)在正方形ABCD中， ∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF， ∴△CBE ≌△CDF．∴CE＝CF． (2)GE＝BE＋GD成立．
理由是：∵△CBE ≌△CDF，∴∠BCE＝∠DCF．
∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD即∠ECF＝∠BCD＝90°， 又∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°． ∵CE＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC，∴△ECG≌△FCG．∴GE ＝GF．∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD．
【解析】选C.设AN交DC于点P，由于AN平分∠DAB，DM⊥AN，
则△ADP和△CNP是等腰直角三角形,又DM垂直AP，所以DM=
2 DP，NC= 2 CP，则DM+CN= 2 2 2 2
DP+ 2 CP= 2 (DP+CP)= 2 CD,
2
2 2
因为CD=AB=a，故DM+CN= 2 a.
2
二、填空题(每小题6分，共24分) 6.(2010·河北中考)矩形ABCD的顶点A，B在数轴上，CD=6， 点A对应的数为-1，则点B所对应的数为_____.
∵BE⊥DE，OF⊥DE，∴BE∥OF,
∴OF为△DBE的中位线，∴OF= 1 BE=5.
2
11.(12分)(2010·青岛中考)已知：如图，在正方形ABCD中，
点E、F分别在BC和CD上，AE=AF.
(1)求证：BE=DF；
(2)连接AC交EF于点O，延长OC至点M， 使OM=OA，连接EM、FM.判断四边形 AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论.
(3)过C作CG⊥AD，交AD延长线于G．
在直角梯形ABCD中， ∵AD∥BC，∴∠A＝∠B＝90°， 又∠CGA＝90°，AB＝BC， ∴四边形ABCD为正方形．∴AG＝BC＝12． 已知∠DCE＝45°， 根据(1)(2)可知，ED＝BE＋DG． 设DE＝x，则DG＝x－4，∴AD＝16－x． 在Rt△AED中，∵DE2=AD2+AE2， 即x2=(16-x)2+82． 解这个方程，得x＝10．∴DE＝10．
形；若沿着BD剪开，请在图3中用实线画出拼成的平行四边形； 并直接写出这两个平行四边形的周长.
(2)沿着一条直线剪开，拼成与上述两种都不全等的平行四边
形，请在图4中用实线画出拼成的平行四边形.
(注：上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等)
【解析】
13.(12分)如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延
9.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的动点， PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为_____. 【解析】取特殊位置，P在A的位置时， PE+PF就等于△ABD中BD边上的高h， 由 1 AB·AD= 1 ·BD·h得h=2.4.
2 2
答案：2.4
三、解答题(共46分) 10.(10分)如图，在矩形ABCD中，对角线 AC、BD交于点O，BE⊥DE于点E，OF⊥DE于 F，BE=10，求OF的长. 【解析】∵BD是矩形ABCD的对角线，∴OB=OD，
【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD,∠B=∠D=90°. ∵AE=AF， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF. ∴BE＝DF. (2)四边形AEMF是菱形.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCA=∠DCA=45°，BC=DC. ∵BE＝DF，
∴BC-BE=DC-DF，即CE=CF.