2021届宁夏固原市一中高三下学期3月一模考试数学(理)试卷及答案
2021年宁夏固原一中高考数学一模试卷(理科)
2021年宁夏固原一中高考数学一模试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={y|y =2x ,x ∈R}，B ={y|y =x 2,x ∈R}，则( )A. A ⊆BB. A ⊇BC. A =BD. A ∩B =⌀ 2. 已知复数z =21−i ，则|z|等于( )A. 1B. √2C. 2D. 2√23. 已知命题p ：∀x >0，ln(x +1)>0；命题q ：若a >b ，则a 2>b 2，下列命题为真命题的是( ) A. p ∧q B. p ∧¬q C. ¬p ∧q D. ¬p ∧¬q4. 已知tan(π+α)=43，则cos2α=( )A. −725B. 725 C. −15 D. 35 5. 已知a ⃗ ，b ⃗ 是非零向量且满足(a ⃗ −2b ⃗ )⊥a ⃗ ，(b ⃗ −2a ⃗ )⊥b ⃗ ，则a ⃗ 与b ⃗ 的夹角是( )A. π6B. π3 C. 2π3 D. 5π6 6. 已知直线x +y −2=0经过拋物线y =mx 2的焦点，则m =( )A. 116B. 12C. 14D. 187. 《算数书》竹筒与上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍．其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算器体积V ≈136L 2ℎ的近似公式．它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3，那么近似公式V ≈3112L 2ℎ相当于圆锥体积公式中的圆周率近似取为( )A. 227B.15750C. 289D. 3371158. 已知函数f(x)=22x +1−1，且f(4x −1)>f(3)，则实数x 的取值范围是( )A. (2,+∞)B. (−∞,2)C. (1,+∞)D. (−∞,1)9. 正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 是棱CC 1的中点，点A ，B ，D ，M 都在球O 的球面上，则球O 的表面积为( )A. 32πB. 3πC. 94πD. 9π10. 已知等差数列{a n }的公差不为0，{a n }中的部分项a k 1,a k 2, a k 3,…a k n …成等比数列，若k 1=1，k 2=9，k 3=49，则k 2019=( )A. 2×52018−1B. 2×52019−1C. 2×52020−1D. 2×52021−111. F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线l 与双曲线的左右两支分别交于A ，B 两点，若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为( )A. √2B. √3C. √5D. √712. 已知定义在[1e ,e]上的函数f(x)满足f(x)=f(1x )，且当x ∈[1e ,1]时，f(x)=xlnx +1，若方程f(x)−12x −a =0有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( )A. (13e ,1−1e ] B. (13e ,1−32e ]C. (1−e −12,1−1e] D. (1−e −12,1−32e ]二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件{2x+y≤3x−y≤0x+2≥0，则z=x−2y的最大值为______．14.曲线f(x)=xlnx+x在点x=1处的切线方程为______ ．15.已知双曲线C的渐近线方程为y=±52x，且过点(3,8)，则双曲线C的方程为______ ．16.设α，β，γ为平面，m，n，l为直线，则对于下列条件：①α⊥β，α∩β=l，m⊥l；②α∩γ=m，α⊥β，γ⊥β；③n⊥α，n⊥β，m⊥α；④α⊥γ，β⊥γ，m⊥α．其中为m⊥β的充分条件的是______ (将你认为正确的所有序号都填上)．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知各项均为正数的等比数列{a n}前n项和为S n，且S3=7，a5=3a3+4a1．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若S n=255，求n．18.已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边．(1)若△ABC面积S△ABC=√32，c=2，A=60°，求a、b的值；(2)若a=ccosB，且b=csinA，试判断△ABC的形状．19.已知四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD为正三角形，M是PC的中点，过M的平面α平行于平面PAB，且平面α与平面PAD的交线为ON，与平面ABCD的交线为OE．(1)在图中作出四边形MNOE(不必说出作法和理由)；(2)若PC=√2AB，求平面α与平面PBC形成的锐二面角的余弦值．20.在平面直角坐标系中，已知圆心为点Q的动圆恒过点F(1,0)，且与直线x=−1相切，设动圆的圆心Q的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)设M为直线l：x=−1上任意一点，过点M作C的切线，切点为N，证明：MF⊥NF．21.已知函数f(x)=e x−x−axln(x+1)−1．(Ⅰ)若a=0，求f(x)的最小值；(Ⅱ)函数f(x)在x=0处有极大值，求a的取值范围．22.已知曲线C的参数方程为{x=√3cosθy=sinθ(θ为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换{x′=√3 3xy′=y 得到曲线C′，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设A点的极坐标为(32,π)．(1)求曲线C′的极坐标方程；(2)若过点A且倾斜角为π6的直线l与曲线C′交于M，N两点，求|AM|⋅|AN|的值．23.已知函数f(x)=|x+1|+2|x−1|．(1)在下面平面直角坐标系中作出两数f(x)的图象；(2)若当x∈(−∞,0]时，不等式f(x)≤ax+b(a,b∈R)恒成立，求a−b的最大值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由已知可得当x∈R时，2x>0，则A={y|y>0}，当x∈R时，x2≥0，所以B={y|y≥0}，则A⊆B，故选：A．根据指数函数和二次函数的性质求出集合A，B，进而可以判断集合A，B的关系．本题考查了集合间的包含关系，涉及到指数函数以及二次函数的性质，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵z=21−i =2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i，∴|z|=√2．故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘法运算，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查命题的真假判定，复合命题的判定，属于基础题．由题意，可知命题p为真命题，则¬p为假命题，命题q是假命题，则¬q是真命题，即可得解．【解答】解：命题p：∀x>0，ln(x+1)>0，可知：命题p为真命题，则¬p为假命题，取a=−1，b=−2，a>b，但a2<b2，则命题q是假命题，则¬q是真命题，∴p∧q是假命题，p∧¬q是真命题，¬p∧q是假命题，¬p∧¬q是假命题．故选B．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查诱导公式，同角三角函数关系式的变换，二倍角公式的应用，属于基础题．利用诱导公式得tanα=43，再利用二倍角公式和同角三角函数的关系化弦为切可得答案．【解答】解：已知tan(π+α)=43，所以tanα=43，所以．故选A．5.【答案】B【解析】解：∵(a ⃗ −2b ⃗ )⊥a ⃗ ，(b ⃗ −2a ⃗ )⊥b ⃗ ，∴(a ⃗ −2b ⃗ )⋅a ⃗ =a ⃗ 2−2a ⃗ ⋅ b⃗ =0， (b ⃗ −2a ⃗ )⋅b ⃗ =b ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ =0，∴a ⃗ 2=b ⃗ 2=2a ⃗ ⋅b ⃗ ，设a⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ， 则由两个向量的夹角公式得cosθ=a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅ |b⃗ |=a ⃗ ⋅b ⃗ a⃗ 2=a⃗ ⋅b ⃗⃗⃗ 2a ⋅⃗⃗⃗⃗⃗ b⃗ =12，∴θ=60°，故选：B ．利用两个向量垂直，数量积等于0，得到a ⃗ 2=b ⃗ 2=2a ⃗ ⋅b ⃗ ，代入两个向量的夹角公式得到夹角的余弦值，进而得到夹角．本题考查两个向量垂直的性质，两个向量的夹角公式的应用． 6.【答案】D【解析】解：拋物线y =mx 2的焦点在y 轴，直线x +y −2=0经过拋物线y =mx 2的焦点， 所以抛物线的焦点坐标(0,2)． 所以14m =2，解得m =18．故选：D ．判断抛物线的开口方向，判断焦点坐标的位置，然后求解焦点坐标，即可求解m ． 本题考查抛物线的简单性质的应用，焦点坐标的求法，是基础题． 7.【答案】C【解析】解：设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ， 依题意，L =2πr ，13πr 2ℎ=3112⋅(2πr)2ℎ， ∴13π=12112π2，即π=289．即π的近似值为289．故选：C ．设圆锥底面圆的半径r ，高h ，写出底面周长L ，写出圆锥体积，代入近似公式即可求出π的近似值． 本题考查π的近似值的计算，考查计算能力，是基础题． 8.【答案】D【解析】解：∵x 增大时，2x +1增大，22x +1减小，∴f(x)是R 上的减函数，且f(4x −1)>f(3)， ∴4x −1<3，解得x <1， ∴x 的取值范围是(−∞,1)． 故选：D ．可看出f(x)是R 上的减函数，从而可根据f(4x −1)>f(3)可得出4x −1<3，然后解出x 的范围即可． 本题考查了指数函数的单调性，减函数的定义，考查了计算能力，属于基础题． 9.【答案】C【解析】解：取BD 的中点E ，则E 为△ADB 的外心； 由题意可得外接球的球心直线EO 上，设球心为O ，连接MO ，OB 可得都是外接球的半径，过O 作OH ⊥MC 与H ；则OB 2=OE 2+EB 2=OE 2+(√22)2 ①OM 2=OH 2+MH 2=CE 2+MH 2=(√22)2+(12−OE)22②由①②可得：R 2=OB 2=916； ∴则球O 的表面积为：4πR 2=9π4；故选：C ．由题意可得底面外接圆的圆心为对角线BD 的中点E ，过E 做底面的垂线在垂线上取O 使OM =OB ，则O 为外接球的球心，画图可得(详见解答)在两个三角形中求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积．本题考查三棱锥的外接球的半径与棱长的关系，及球的表面积公式，属于中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 10.【答案】A【解析】[分析]本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属于中档题．设等差数列{a n }的公差为d ，则d ≠0，由等比数列的性质列式求得a 1=2d.然后再由等差数列与等比数列的通项公式列式求得k 2019． [解答]解：设等差数列{a n }的公差为d ，则d ≠0．由已知a k 22=a k 1⋅a k 3，∴a 92=a 1⋅a 49， 即(a 1+8d)2=a 1⋅(a 1+48d)，得a 1=2d ． 于是，在等比数列a k 1，a k 2，a k 3，…，a k n …中，公比q =a9a 1=a 1+8d a 1=5，由a k n 为数列{a k n }的第n 项，知a k n =2d ×5n−1；由a k n 为数列{a n }的第k n 项，知a k n =a 1+(k n −1)d =d(k n +1)， ∴2d ×5n−1=d(k n +1)，故k n =2×5n−1−1， ∴k 2019=2×52018−1． 故选：A ． 11.【答案】D【解析】【试题解析】解：因为△ABF 2为等边三角形，则AB =BF 2=AF 2，A 为双曲线上一点，F 1A −F 2A =F 1A −AB =F 1B =2a ，B 为双曲线上一点，则BF 2−BF 1=2a ，BF 2=4a ，F 1F 2=2c ， 由∠ABF 2=60°，则∠F 1BF 2=120°，在△F 1BF 2中应用余弦定理得：4c 2=4a 2+16a 2−2⋅2a ⋅4a ⋅cos120°， 得c 2=7a 2，则e 2=7，解得e =√7． 故选：D ．由双曲线的定义，可得F 1A −F 2A =F 1A −AB =F 1B =2a ，BF 2−BF 1=2a ，BF 2=4a ，F 1F 2=2c ，再在△F 1BF 2中应用余弦定理得，a ，c 的关系，由离心率公式，计算即可得到所求．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：因为f(x)=f(1x )，且当x ∈[1e ,1]时，f(x)=xlnx +1， 所以当x ∈(1,e]时，f(x)=f(1x )=−1x lnx +1， 则f(x)={xlnx +1,x ∈[1e,1]−1x lnx +1,x ∈(1,e], 当x ∈[1e ,1]时，f′(x)=1+lnx ≥0，则f(x)在[1e ,1]上单调递增， 当x ∈(1,e]时，f′(x)=1x 2(lnx −1)≤0，则f(x)在(1,e]上单调递减， 因为方程f(x)−12x −a =0有三个不同的实数根， 所以函数f(x)的图像和直线y =12x +a 有三个不同的交点， 作出函数f(x)的大致图像如图所示，当直线y =12x +a 和f(x)的图像相切时，结合图像，设切点为(x 0,y 0)，由方程f′(x 0)=1+lnx 0=12，可得x 0=e −12,y 0=1−12⋅e −12，代入方程y =12x +a ，可得a =1−e −12， 当直线y =12x +a 过点(1e ,1−1e )时，a =1−32e ， 由图可知，实数a 的取值范围为(1−e −12,1−32e]．故选：D ．利用关系式f(x)=f(1x )，求出函数f(x)在[1e ,e]上的解析式，作出函数大致的图像，将方程根的问题转化为函数图像的交点问题，结合函数的图像即可求解．本题考查了函数的零点与方程根的关系，解决此类问题一般会运用转化法，即将方程的根转化为两个函数图像的交点进行研究，由数形结合法进行分析，属于中档题． 13.【答案】2【解析】解：由z =x −2y 得y =12x −12z ，作出x ，y 满足约束条件{2x +y ≤3x −y ≤0x +2≥0对应的平面区域如图(阴影部分)：平移直线y =12x −12z ，由图象可知当直线y =经过点C 时，直线y =12x −12z 的截距最小， 此时z 最大，由{x =−2x −y =0，得B(−2,−2)． 代入目标函数z =x −2y ， 得z =−2−2×(−2)=2， 故答案为：2．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．14.【答案】y =2x −1【解析】 【分析】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，求出切线的斜率是关键，属于基础题． 求导函数，确定切线的斜率，求得切点坐标，进而可求切线方程． 【解答】解：求导函数，可得， x =1时，y =1，切点为(1,1)，斜率，∴曲线y =xlnx +1在点x =1处的切线方程是y −1=2(x −1) 即y =2x −1．故答案为：y =2x −115.【答案】4y 231−25x 231=1【解析】解：根据题意，双曲线C 的两条渐近线方程为y =±52x ，设其方程为25x 2−4y 2=λ，(λ≠0)， 又由双曲线C 过点(3,8)，则有225−256=λ，解可得λ=−31，双曲线的焦点在y 轴上． 则双曲线方程为：4y 231−25x 231=1．故答案为：4y 231−25x 231=1．根据题意，设出双曲线的方程为25x 2−4y 2=λ，(λ≠0)，将点(3,8)代入双曲线的方程，可得λ，即可得到双曲线方程．本题考查双曲线的几何性质，关键是设出双曲线的标准方程，属于基础题． 16.【答案】②③【解析】解：①若直线m ⊂α时，当满足α⊥β，α∩β=l ，m ⊥l 时，m ⊥β成立，否则不成立，故①错误． ②设α∩β=a ，γ⊥β=b ，若α⊥β，γ⊥β，则m ⊥a ，m ⊥b ，∴此时m ⊥β成立，∴②正确． ③若n ⊥α，n ⊥β，则α//β，当m ⊥α时，m ⊥β成立，∴③正确．④若α⊥γ，β⊥γ，则α，β关系不确定，∴m ⊥β不一定成立，∴④错误． 故答案为：②③根据线面垂直的判定定理和定义分别进行判断即可．本题主要考查空间直线和平面之间位置关系的判断，要求熟练掌握相应的判定定理． 17.【答案】解：(1)各项均为正数的等比数列{a n }中，S 3=7，a 5=3a 3+4a 1， {a 1(1+q +q 2)=7a 1q 4=3a 1q 2+4a 1，解得q =2，a 1=1， 数列{a n }的通项公式a n =2n−1； (2)S n =1−2n 1−2=255，则n =8．【解析】(1)由已知结合等比数列的通项公式可求q ，a 1，然后结合等比数列的通项公式可求； (2)利用等比数列的求和公式即可直接求解．本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式，考查了数学运算的核心素养，属于基础题．18.【答案】解：(1)∵S △ABC =12bcsinA =√32， ∴12b ⋅2sin60°=√32，得b =1，由余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2bccosA =12+22−2×1×2⋅cos60°=3， 所以a =√3．(2)由余弦定理得：a =c ⋅a 2+c 2−b 22ac，∴a 2+b 2=c 2，所以∠C =90°；在Rt △ABC 中，sinA =ac ，所以b =c ⋅ac =a ， 所以△ABC 是等腰直角三角形．【解析】(1)由A 的度数求出sin A 和cos A 的值，再由c 及三角形的面积，利用三角形的面积公式求出b 的值，然后由b ，c 及cos A 的值，利用余弦定理即可求出a 的值；(2)由三角形的三边a ，b 及c ，利用余弦定理表示出cos B ，代入已知的a =ccosB ，化简可得出a 2+b 2=c 2，利用勾股定理的逆定理即可判断出三角形为直角三角形，在直角三角形ABC 中，利用锐角三角函数定义表示出sin A ，代入b =csinA ，化简可得b =a ，从而得到三角形ABC 为等腰直角三角形．此题考查了三角形的面积公式，余弦定理，正弦定理，以及特殊角的三角函数值，考查了勾股定理的逆定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握定理及公式是解本题的关键． 19.【答案】解：(1)如图，四边形MNOE 即为所求， 其中N 为PD 中点，O 为AD 中点，E 为BC 中点． (2)连结OP ，依题意，PC =√2CD =√2PD ， ∴PC 2=DC 2+PD 2，∴DC ⊥PD ，∵DC ⊥AD ，且PD ∩AD =D ，∴DC ⊥平面PAD ，则DC ⊥PO ，∵△PAD 为正三角形，且O 为AD 中点，∴PO ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥OA ，PO ⊥OE ，OA ⊥OE ，以O 为原点，建立如图空间直角坐标系，∵AB =4，∴B(2,4，0)，E(0,4，0)，N(−1,0，√3)，M(−1,2，√3)，则NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)，ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2，−√3)，EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，0)，设平面α的一个法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2y =0m⃗⃗⃗ ⋅ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x +2y −√3z =0，取z =1，得m ⃗⃗⃗ =(√3,0,1)， 设平面BME 的一个法向量n⃗ =(a,b ，c)， 则{n ⃗ ⋅EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a =0n ⃗ ⋅ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a +2b −√3c =0，取c =2，得n ⃗ =(0,√3,2)， 则cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=2√7=√77． ∴平面α与平面PBC 形成的锐二面角的余弦值为√77．【解析】(1)四边形MNOE 即为所求，其中N 为PD 中点，O 为AD 中点，E 为BC 中点．(2)连结OP ，推导出DC ⊥PD ，DC ⊥AD ，DC ⊥平面PAD ，DC ⊥PO ，从而PO ⊥平面ABCD ，PO ⊥OA ，PO ⊥OE ，OA ⊥OE ，以O 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量能求出平面α与平面PBC 形成的锐二面角的余弦值． 本题考查平面的作法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间思维能力，是中档题．20.【答案】解：(1)由题意，设Q(x,y)，因为圆心为点Q 的动圆恒过点F(1,0)，且与直线x =−1相切，可得|x +1|=√(x −1)2+y 2，化简得y 2=4x ．所以抛物线的方程为：y 2=4x ；(2)证明：由题意可得直线MN 的斜率存在且不为0，设M(−1,y 0)，设MN 的方程为：y =k(x +1)+y 0，联立{y =k(x +1)+y 0y 2=4x，整理可得：ky 2−4y +4(y 0+k)=0 △=16−4k ⋅4(y 0+k)=0，可得：y 0+k =1k ，y 0=1k −k ，ky 2−4y +4(y 0+k)=k 2y 2−4ky+4k =0， 解得：y =2k ， 将y =2k 代入C 的方程：x =1k 2， 即点N(1k 2,2k )，所以FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,y 0)，FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1k 2−1,2k )， 所以FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,y 0)⋅(1k 2−1,2k )=2−2k 2+y 0⋅2k =2−2k 2+(1k −k)2k=0， 所以可证得：MF ⊥NF ．【解析】(1)设圆Q 的坐标，由到圆心的距离等于到直线的距离可得Q 的轨迹方程；(2)设直线MN 的方程，与抛物线联立，由题意判别式为0，求出N 的纵坐标，代入抛物线的方程可得N 的横坐标，求出向量MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，NF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的数量积，可得为0，证得MF ⊥NF ． 本题考查求轨迹方程，直线与抛物线相切的性质，直线的垂直的证法，属于中档题．21.【答案】解：(1)∵a =0，∴f(x)=e x −x 2−1，则f′(x)=e x −1，当x ∈(−1,0)时，f′(x)<0；当x ∈(0,+∞)时，f′(x)>0；∴f(x)在(−1,0)上递减，在(0,+∞)上递增．∴f(x)min =f(0)=0．(Ⅱ)f′(x)=e x −1−a[ln(x +1)+x x+1](x >−1)．设g(x)=f′(x)，则g′(x)=e x −a[1x+1+1(x+1)2]．当a ≤0时，g′(x)>0，g(x)在(−1,+∞)上单调递增，∴x ∈(−1,0)时，g(x)<g(0)=0；x ∈(0,+∞)时，g(x)>g(0)=0，∴f(x)在(−1,0)上递减，在(0,+∞)上递增，∴x =0是f(x)的极小值点，与题意矛盾；当a >0时，g′(x)=e x −a[1x+1+1(x+1)2]在(−1,+∞)上是增函数，且g′(0)=1−2a ，①当0<a ≤12时、x ∈(0,+∞)时，g′(x)>g′(0)=1−2a ≥0．从而f′(x)在(0,+∞)上是增数，故有f′(x)>f′(0)=0．∴f(x)在(0,+∞)上是增函数，与题意矛盾；②当a >12时，若x ∈(−1,0)，则g′(x)<g′(0)=1−2a <0，从而f′(x)在(−1,0)上是减函数，故有f′(x)>f′(0)=0，∴f(x)在(−1,0)上是增函数，若x ∈(0,a)，由(1)知，e a >a +1，则g′(a)=e a −a[−1a+1+1(a+1)2]>a +1−a[1a+1+1(a+1)]=a 3+2a 2+a+1(a+1)>0，又g′(0)=1−2a <0，∴存在x 0∈(0,a)使得g′(x 0)=0．当x ∈(0,x 0)时，g′(x)<0，∴f′(x)=g(x)在(0,x 0)上是减函数，∴f′(x)<f′(0)=0，f(x)在(0,x 0)上减函数，故x =0是f(x)的极大值点，符合题意．综上，实数a 的取值范围为(12,+∞)．【解析】(1)将a =0代入f(x)中，对f(x)求导后判断f(x)的单调性，再求出f(x)的最小值；(2)对f(x)求导后，设g(x)=f′(x)，然后分a ≤0，0<a ≤12和a >12三种情况，结合f(x)在x =0处有极大值，求出a 的取值范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值和利用函数的极值求参数的范围，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题．22.【答案】解：(1)曲线C 的参数方程为{x =√3cosθy =sinθ(θ为参数)，利用平方关系可得：曲线C 的普通方程为：x 23+y 2=1， 将曲线C 上的点按坐标变换{x′=√33x y′=y 得到{x =√3x′y =y′，代入得曲线C′的方程为：x 2+y 2=1． 化为极坐标方程为：ρ=1．(2)A 点的极坐标为(32,π).可得点A 在直角坐标的坐标为(−32,0)，因为直线l 过点A 且倾斜角为π6，设直线l 的参数方程为{x =−32+√32t y =12t ，(t 为参数)， 代入方程：x 2+y 2=1.得：t 2−3√32t +54=0． 设M ，N 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1+t 2=3√32，t 1t 2=54． 所以|AM|⋅|AN|=|t 1t 2|=54．【解析】(1)曲线C 的参数方程为{x =√3cosθy =sinθ(θ为参数)，利用平方关系可得曲线C 的普通方程．将曲线C 上的点按坐标变换{x′=√33x y′=y得到{x =√3x′y =y′，代入得曲线C′的方程． 化为极坐标方程．(2)A 点的极坐标为(32,π).可得点A 在直角坐标的坐标为(−32,0)，设直线l 的参数方程为{x =−32+√32t y =12t ，(t 为参数)，代入方程：x 2+y 2=1.得：t 2−3√32t +54=0.设M ，N 两点对应的参数分别为t 1，t 2，l 利用根与系数的关系可得：|AM|⋅|AN|=|t 1t 2|.本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程及其参数的意义、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.【答案】解：(1)f(x)=|x +1|+2|x −1|={−3x +1,x <−1−x +3,−1≤x ≤13x −1,x >1，其图象如下图：(2)若x ∈(−∞,0]，由(1)知函数f(x)的图象与y 轴的交点的纵坐标为3，各部分所在直线的斜率的最小值为−3，故当且仅当a ≤−3且b ≥3时，x ∈(−∞.0]，不等式f(x)≤ax +b 恒成立，所以−b ≤−3，所以a −b ≤−6．故a −b 的最大值为−6．【解析】(1)去绝对值变成分段函数后，再分段作图；(2)结合x ≤0时两个函数的图象分析可得．本题考查了不等式恒成立问题，属中档题．。
2020-2021学年宁夏银川市高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题及答案解析
高考数学模拟试题一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．复数1a ii+-为纯虚数，则它的共轭复数是( ) A. 2i B. 2i - C. i D. i - 2. 下列函数中，同时具有性质：(1)图象过点(0,1)；(2)在区间(0，＋∞)上是减函数； (3)是偶函数.这样的函数是 ( )A. y ＝x 3＋1 B. y ＝log 2(|x|＋2) C. y ＝(12)|x|D. y ＝2|x|3．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1=3，前三项和为21，则a 3+a 4+a 5= （ ） A.33B.72C.84D.1894．角α的终边经过点A (3,)a -，且点A 在抛物线214y x =-的准线上，则sin α=（ ） A ．12- B ．12 C ．32-D ．325．某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x 值为31，则a 等于（ ） A ．1- B ．0 C ．2 D ．16.—个几何体的三视图及其尺寸如右图所示，其中正（主)视图是直角三角形,侧(左)视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的体积是(单位cm 3)（ ） A ． B ．C ．D ．7．已知实数m 是2，8的等比中项，则圆锥曲线22y x m+＝1的离心率为（ ）A ．32 B ．5 C ．5 与32D ．以上都不对 8．曲线y=11x x -+在点（0，一1）处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为（ ） A ．41B ．－12C ．43D ．189.为了测算如图所示的阴影部分的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷600个点.已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是 （ ）A.4B.3C.2D.110．设函数()3cos(2)sin(2)(||)2f x x x πϕϕϕ=+++<，且其图象关于直线0x =对称，则（ ）A ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为增函数B ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为减函数C ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为增函数D ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为减函数11.已知正方形ABCD 的边长为2，点P,Q 分别是边AB ，BC 边上的动点且,AQ DP ⊥ ，则QP CP ⊥的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．412. 已知⎩⎨⎧>-≤-=0,230,2)(2x x x x x f ,若ax x f ≥|)(|在]1,1[-∈x 上恒成立,则实数a 的取值范围是( )A.),0[]1(+∞--∞YB.]0,1[-C.]1,0[D.)0,1[-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．各题答案必须填写在答题卡上（只填结果，不要过程） 13.已知点P 在抛物线y 2=4x 上，那么点P 到点Q （2，-1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为 .14. 已知圆C ：x 2+y 2-6x-4y+8=0.以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 .15． 如图,为了测得河的宽度CD ，在一岸边选定两点A 、B ，使A 、B 、D 在同一直线上.现测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120 m ，则河的宽度是 .16.球内接正六棱锥的侧棱长与底面边长分别为22和2，则该球的体积为 ；三、解答题：本大题共解答5题，共60分．各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）．17.（本小题满分12分）已知函数22()2(1)57f x x n x n n =-+++-．（Ⅰ）设函数()y f x =的图像的顶点的纵坐标构成数列{}n a ，求证：{}n a 为等差数列； （Ⅱ）设函数()y f x =的图像的顶点到x 轴的距离构成数列{}n b ，求{}n b 的前n 项和n S ．18. （本小题满分12分）为了解某商场旅游鞋的日销售情况，现抽取部分顾客购鞋的尺码，将所得数据绘成如图所示频率分布直方图，已知图中从左到右前三组的频率之比为1：2：3，第二组的频数为10. （1）用频率估计概率，求尺码落在区间（37.5，43.5】的概率约是多少？（2）从尺码落在区间（37.5，43.5】和（43.5，45.5】的顾客中任意选取两人，记在区间（43.5，45.5】内的人数为X ，求X 的分布列及数学期望EX 。
高三数学下学期一模考试试题 理 试题
卜人入州八九几市潮王学校宁夏第三2021届高三数学下学期一模考试试题理本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，其中第二卷第22～23题为选考题，其它题为必考题。
考生答题时，将答案答在答题卡上，在套本套试卷上答题无效。
在在考试完毕之后以后，将本套试卷和答题卡一起交回。
本卷须知：2．选择题答案使需要用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性〔签字〕笔或者碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)答题,写在草稿纸上、超出答题区域或者非题号对应的答题区域之答案一律无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求答题，并需要用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I卷一、选择题:本大题一一共12小题,每一小题5分,一共60分,在每一小题给出的四个选项里面,只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．1.设全集，集合，，那么A. B. C. D.在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限A. B. C. D.分别为8、2，那么输出的A．2B．3 C．5D．45．关于函数，以下表达正确的选项是A．关于直线对称B．关于点对称C ．最小正周期D ．图象可由的图像向左平移个单位得到6．函数x xx x f sin ||)(•=在的图象大致为A ．B ．C ．D ．7.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如下列图，那么 三棱锥的外接球的外表积为A.B. C.D.π138．在中，角所对的边分别为，表示的面积，假设，那么A ．90B ．60C ．45D ．30 9．数列的首项为，第2项为，前项和为，当整数时，恒成立，那么等于A ．B ．C ．D ．10.某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，那么不同排课法的种数是A.24B.16C.8D.12 11．点是抛物线上的动点，以点为圆心的圆被轴截得的弦长为，那么该圆被轴截得的弦长的最小值为A ．B ．C ．D ．12. 定义在R 上的偶函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，且当x∈[1，2]时，f(x)＝lnx －x ＋1，假设函数g(x)＝f(x)＋mx 有7个零点，那么实数m 的取值范围为A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋃⎪⎭⎫⎝⎛--62ln 1,82ln 1812ln ,612ln B.⎪⎭⎫⎝⎛--812ln ,612ln C.⎪⎭⎫⎝⎛--62ln 1,82ln 1 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛--82ln 1,612ln第二卷本卷包括必考题和选考题两局部．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分.，满足约束条件，那么的最小值为________.14.单位向量，的夹角为，那么向量与的夹角为__________．15.()()611x ax -+展开式中含2x 项的系数为0，那么正实数a=________.16．为双曲线的右焦点，假设直线与交于，两点，且，那么的离心率等于______.三、(本大题一一共6小题,一共70分,解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤) 17．〔本小题总分值是12分〕 等差数列的公差d>0，其前n 项和为成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)令11+•=n n na ab ，求数列的前n 项和.18．(本小题总分值是12分) 为迎接年冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费HY 是：滑雪时间是不超过小时免费，超过小时的局部每小时收费HY 为元(缺乏小时的局部按小时计算).有甲、乙两人互相HY 地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过小时分开的概率分别为，；小时以上且不超过小时分开的概率分别为，；两人滑雪时间是都不会超过小时.〔1〕求甲、乙两人所付滑雪费用一样的概率；〔2〕设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望．19．〔本小题总分值是12分〕在如下列图的多面体中，平面，，，，，，，是的中点.〔1〕求证：； 〔2〕求平面与平面所成锐二面角的余弦值.20．〔本小题总分值是12分〕椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右顶点分别为A ，B ，其离心率21=e ，点M 为椭圆上的一个动点，MAB ∆面积的最大值是32．(1)求椭圆的方程；(2)假设过椭圆C 右顶点B 的直线l 与椭圆的另一个交点为D ，线段BD 的垂直平分线与y 轴交于点P ，当0=⋅PD PB 时，求点P 的坐标．21．〔本小题总分值是12分〕函数()f x 是奇函数，()f x 的定义域为(,)-∞+∞．当0x <时，()f x ln()ex x-=． (e 为自然对数的底数)．(1)假设函数()f x 在区间1(,)(0)3a a a +>上存在极值点，务实数a 的取值范围；(2)假设当x ≥1时，不等式()1kf x x ≥+恒成立，务实数k 的取值范围． 请考生在第22-23题中任选一题答题，假设多做，那么按所做的第一题计分． 22．选修4－4：坐标系与参数方程(此题总分值是10分)在平面直角坐标系中，将曲线向左平移2个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，的极坐标方程为． 〔1〕求曲线的参数方程；〔2〕点在第一象限，四边形是曲线的内接矩形，求内接矩形周长的最大值，并求周长最大时点的坐标．23. 选修4-5：不等式选讲〔此题总分值是10分〕．函数.〔1〕当时，求关于的不等式的解集；〔2〕假设关于的不等式有解，求的取值范围.三中2021届第一次模拟考试(理科)数学才能测试题答案一、选择题〔包括12小题，每一小题5分，一共60分〕1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ADDCCACDDBBA二、 填空题〔包括4小题，每一小题5分，一共20分〕13．；14.；1552；16.。
宁夏固原市第一中学高三下学期第二次模拟考试(图片)——数学理数学(理)
参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D D A A D A B C C B B D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. ．14．722．15.1.16.跑步.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18.解：（Ⅰ）取的中点，连接，则∥∥,且，所以四边形为平行四边形 (2)分21教育网所以∥，又平面，平面，则∥平面. ……4分（Ⅱ）取中点，连接，则因为平面平面，交线为，则平面 (6)分作∥，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，...7分则，，...9分而平面的法向量为，...10分设直线与平面所成角为，于是……11分于是, . ……12分19.解：(Ⅰ)所以随机选取3件产品，至少有一件通过检测的概率为. ……5分（Ⅱ）由题可知可能取值为., , , . ……9分则随机变量的分布列为0 1 2 3……10分……12分20.解：（1）∵椭圆C：+ =1（a＞b＞0）焦点在x轴上，且过点，∴…（1分）设△PF1F2内切圆的半径为r，点P的坐标为（x0，y0），则△PF1F2重心G的坐标为，∵IG∥F1F2，∴|y0|=3r．…（2分）由△PF1F2面积可得）r= ，即a=2c，，…（4分）则解得，即所求的椭圆方程为则椭圆方程为…6分（2）设M（x1，y1），A（x2，y2），B（x3，y3）则切线MA，MB的方程分别为，．…（7分）∵点M在两条切线上，∴，，故直线AB的方程为．…（9分）又∵点M为直线x﹣y=4上，∴y1=x1﹣4即直线AB的方程可化为，整理得（3x+4y）x1=16y+12，由解得，因此，直线AB过定点．…（12分）21:(I) 且,函数的图象在点处的切线方程为,, ,联立计算得出. ...4分当时, , ,, , .,, . ...6分存在, ,使成立⇔ , , ...7分(1)当时, , 在上为减函数,则,计算得出.(2)当时,由在上的值域为.(i)当即时, 在上恒成立,因此在上为增函数,,不和题意,舍去.当时,即时,由的单调性和值域可以知道:存在唯一,使得, 且满足当, , 为减函数;当时, , 为增函数., .,与矛盾. ...11分综上可得:a的最小值为. ...12分22.(1)5分（2）5分：.23.（1)5分: （2）5分: .。
宁夏银川一中2021届高三三模数学(理)试题
【详解】
试题分析：如图所示，连接 ，因为 平分 ，即 为 的中点，所以 为 的中位线，所以 ，所以 ，即 ，所以 ，故选A.
考点：椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用.
【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用、离心率的而求解，属于中档试题，解题时注意认真审题，同时注意椭圆对称性和三角形中位线的灵活运用，同时着重考查了数形结合的思想方法的应用，本题的解答中，推得 为 的中点，得出 为 的中位线，从而 ，在借助三角形相似的比例关系，即可得到 的关系式，从而求解离心率的值.
设平面 的一个法向量为 ， ， ，
， ， ， ，
，取 ，得 ， ， ，
，
由图知二面角 是锐二面角，所以二面角 的余弦值为 ．
【点睛】
本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，注意向量法的合理运用．
20．（1） ；（2） .
【分析】
（1）由椭圆 的离心率 ，焦点的最短距离为 ，列出方程组，求得 的值，即可求解；
二、填空题
13．已知 ， ， 、 均为锐角，则 ______________.
14．双曲线 的顶点到其渐近线的距离等于__________.
15．已知向量 是单位向量，向量 ，若 ，则 , 的夹角为___________.
16．已知函数 是奇函数，当 时， .若不等式 （ 且 ）对任意的 恒成立，则实数 的取值范围是__________.
A． B． C． D．
10．设 ， ，点O为坐标原点，动点 满足 ， ，则 的最大值是（）
A．－1B．1C．－2D．
11． 是定义在非零实数集上的函数， 为其导函数，且 时， ，记 ，则（）
A． B． C． D．
宁夏高三模拟考试(理科)数学试卷-附带答案解析
宁夏高三模拟考试(理科)数学试卷-附带答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知全集{1,2,3,4,5},{1,3,5},{1,4,5}U A B ===，则()A B =U（ ）A ．∅B ．{2}C ．{2,3,4}D ．{1,2,3,4,5}2．如果复数()()22356i m m m m -+-+是纯虚数，则实数m 的值为（ ）A ．0B ．2C ．0或3D ．2或33．命题p ：若x y >，则tan tan x y >；命题：222x y xy +≥下列命题为假命题的是A ．p q ∧ B ．qC ．p q ∨D ．p ⌝4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若954S =，11121327a a a ++=则16S =（ ） A ．120B ．60C ．160D ．805．下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是①已知0ab ≠，由2ab b a +≥，求得a b b a +的最小值为2②由2y =≥，求得2y =的最小值为2③已知1x >，由21y x x =+≥-21x x =-即2x =时等号成立，把2x =代入y 的最小值为4. A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．以下哪个函数在定义域内既是奇函数，又是增函数（ ） A ．y x x =B ．1y x=-C ．3log y x =D ．3x y =7．2021年1月18日，国家航天局探月与航天工程中心组织完成了我国首辆火星车全球征名活动的初次评审．初评环节遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、风火轮、追梦、天行、星火共10个名称，作为我国首辆火星车的命名范围．某同学为了研究这些初选名字的内涵，计划从中随机选取4个依次进行分析，若同时选中哪吒、赤兔，则哪吒和赤兔连续被分析，否则随机依次分析，则所有不同的分析情况有（ ） A ．4704种B ．2800种C ．2688种D ．3868种8．用数学归纳法证明“223122221n n ++++++=-”，验证n =1时，则左边计算所得式子为 A ．1 B ．1+2C ．2122++D ．231222+++9．第24届冬奥会于2022年2月4日在国家体育场鸟巢举行了盛大开幕式．在冬奥会的志愿者选拔工作中，某高校承办了面试工作，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩并分为五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是（每组数据以区间的中点值为代表）（ ）A ．直方图中b 的值为0.025B ．候选者面试成绩的中位数约为69.4C ．在被抽取的学生中，成绩在区间[)65,75之间的学生有30人D ．估计候选者的面试成绩的平均数约为69.5分10．设函数()()2log 4,22,2x x x f x x ⎧-+<=⎨>⎩，则()()24log 5f f -+=（ ）A ．5B ．6C ．7D ．811．已知函数()sin (,06f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭）的最小正周期为π，将()f x 的图象向右平移φ(φ0)>个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的一个值是 A ．23πB ．3π C ．4π D ．8π12．已知实数x ，y 满足13y yx x -=6y --的取值范围是（ ）A ．)6⎡⎣ B ．)6⎡⎣C ．3⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭D ．3⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭二、填空题13．若单位向量1e ，2e 的夹角为120°，则21e e -=______．14．已知a ，b 表示两条直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列命题： ①若α∩γ=a ，β∩γ=b ，且a //b ，则α//β；②若a ，b 相交且都在α，β外，a //α，b //β，则α//β； ③若a //α，a //β，则α//β； ④若a ⊂α，a //β，α∩β=b ，则a //b . 其中正确命题的序号是________.15．设m ∈R ，圆22:260M x y x y +--=，若动直线1:20l x my m +--=与圆M 交于点A 、C ，动直线2210:mx y l m --+=与圆M 交于点B 、D ，则AC BD +的最大值是________．三、双空题 16．已知成等比数列，且1234123a a a a e a a a +++=++.若11a >，则1a ___________3a （填“>”或“<”）；2a ___________4a （填“>”或“<”）四、解答题17．在ABC 中，延长BA 到C ，使AC BA =，在OB 上取点D ，使13DB OB =(1)设OA a =，OB b =用a ，b 表示向量OC 及向量DC .(2)若π4OCB ∠=，2OC =和OB =OCB 的面积.18．在正方体1111ABCD A B C D －中，M N P ，，分别是1,AD BD 和1B C 的中点．(1)求异面直线MN 和AB 所成角的大小； (2)求证：平面//MNP 平面11CC D D .19．已知焦点在x 轴上的双曲线Γ经过点(,M N -.（1）求双曲线Γ的离心率e ；（2）若直线:1l y x =-与双曲线Γ交于,A B 两点，求弦长AB . 20．某商场拟在年末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券“的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子（形状为正方体，六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），若向上点数不超2点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为19分，则游戏结束，可得到200元礼券，若累计得分为20分，则游戏结束，可得到纪念品一份，最多进行20轮游戏． （1）当进行完3轮游戏时，则总分为X ，求X 的期望；（2）若累计得分为i 的概率为i p ，（初始得分为0分，01p =）． ①证明数列{}1i i p p --，（i ＝1，2，…，19）是等比数列； ②求活动参与者得到纪念品的概率． 21．已知函数211()ln 2f x x x x a a ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，(0)a ≠. （1）当12a =时，则求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （2）令2()()F x af x x =-，若()12F x ax <-在()1,x ∈+∞恒成立，求整数a 的最大值.（参考数据：4ln 33<，5ln 44<）. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 过原点且倾斜角为02παα⎛⎫< ⎪⎝⎭.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=.在平面直角坐标系xOy 中，曲线2C 与曲线1C 关于直线y x =对称.（Ⅰ）求曲线2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线2l 过原点且倾斜角为3πα+，设直线1l 与曲线1C 相交于O ，A 两点，直线2l 与曲线2C 相交于O ，B 两点，当α变化时，则求AOB 面积的最大值.23．已知函数()f x x =（1）求不等式()()1212f x f x x -+-≤的解集；（2）若0a >，0b >和0c >，且1491a b c++=，证明：()()36f x a f x b c ++--≥.参考答案与解析1．B【分析】根据集合的交并补运算即可求解. 【详解】{}1,3,4,5A B =,所以(){2}A B =U故选：B 2．A【分析】由纯虚数的概念求得m 值，注意虚部不能为0． 【详解】根据纯虚数的概念可知: 230m m -=且2560m m -+≠解230m m -=，得0m =或3m =； 当0m =时，则2566m m -+=符合题意 当3m =时，则2560m m -+=（舍） 所以0m =. 故选：A. 3．A【分析】先判断命题p ，q 的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，可得答案． 【详解】若x 为钝角，y 为锐角，则x ＞y ，tanx ＜tany 故命题p ：若x ＞y ，则tanx ＞tany ，为假命题；（x ﹣y ）2≥0恒成立，故命题q ：x 2+y 2≥2xy 为真命题；故命题p ∨q ，￢p 均为真命题p ∧q 为假命题 故选A ．【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，正切函数，不等式的证明等知识点，难度基础． 4．A【分析】首先根据等差数列通项公式和前n 项和公式将题干条件中的等式转化成基本量1a 和d ，然后联立方程组解出1a 和d ，最后根据公式求解16S 即可. 【详解】{}n a 为等差数列，911989936542Sa d a d ⨯∴=+=+= 111213111110111233327a a a a d a d a d a d ++=+++++=+=119+36=543+33=27a d a d ⎧⎨⎩，解得130=73=7a d ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩. 16116153031616120120277S a d ⨯=+=⨯+⨯=. 故选：A. 5．A【解析】根据基本不等式求最值得条件：一正、二定、三相等逐一判断即可. 【详解】对于①，当a 与b同号时，则2ab ba+≥； 当a 与b异号时，则2a b a b b a b a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--+-≤-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故①不正确.对于②，2y =≥，即23x =-，等号成立的条件不存在，故②不正确.对于③，211111y x x =-++≥=-当且仅当1x取等号，由于21y x x =+≥- 故选：A【点睛】本题考查了基本不等式使用的条件：一正、二定、三相等，属于基础题. 6．A【分析】探讨函数的奇偶性首先研究函数的定义域是否关于原点对称，由此排出C ，根据图象排除B 、D ，即可得到答案.【详解】对于A ，()()f x x x f x -=-=-，所以y x x =为奇函数.又当0x >时，则2yx ，函数单调递增；当0x <，2y x =-，也单调递增；且2y x 与2y x =-在0x =处都为0.所以y x x =在定义域内为增函数，所以A 对.对于B ，1y x=-在其定义域上不是单调函数，所以B 错.对于C ，函数3log y x =的定义域()0,∞+不关于原点对称，所以C 错. 对于D ，3x y =图象既不关于原点对称也不关于y 轴对称，所以D 错. 故选：A. 7．A【分析】将所有情况分成三种，利用排列组合的知识分别计算每种情况的情况种数，由分类加法计数原理计算可得结果.【详解】①同时选中哪吒和赤兔，则只需从剩余的8个初选名字中选出2个，再进行排列即可，有223823336C A A =种情况；②哪吒和赤兔有一个入选，则需从剩余的8个初选名字中选出3个，再进行排列，有1342842688C C A =种情况；③哪吒和赤兔都不选，则需从剩余的8个初选名字中选出4个，再进行排列，有481680A =种情况；∴不同的分析情况共有336268816804704++=种．故选：A.【点睛】方法点睛：本题主要考查排列组合的应用，常见的排列组合问题求法为： （1）相邻问题采取“捆绑法”； （2）不相邻问题采取“插空法”； （3）有限制元素采取“优先法”；（4）平均分组问题先选好人后，平均分了n 组，则除以nn A ；（5）定序问题采取“缩倍法”. 8．D【详解】当1n =时,左边计算的式子为231222+++，故选D. 9．C【分析】利用频率之和为1求得b ，由此判断A 选项的正确性，根据中位数、平均数的求法判断BD 选项的正确性，通过计算成绩在区间[)65,75之间的频数来判断C 选项的正确性.【详解】对于A ，∵()0.0050.0450.020.005101b ++++⨯=，∴0.025b =，故A 正确；对于B ，设候选者面试成绩的中位数为x ，则()()0.0050.02510650.0450.5x +⨯+-⨯=，解得69.4x ≈，故B 正确；对于C ，成绩在区间[)65,75的频率为0.045100.45⨯=，故人数有800.4536⨯=，故C 错误； 对于D ，500.00510600.02510700.04510800.0210900.0051069.5⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=故D 正确． 故选：C 10．D【分析】根据给定的分段函数，判断自变量取值区间，再代入计算作答.【详解】因23252<<，则22log 53<<，而()()2log 4,22,2x x x f x x ⎧-+<=⎨>⎩ 所以()()2log 5224log 5log (44)2358f f -+=++=+=.故选：D 11．B【分析】首先求得ω的值，然后结合三角函数的性质和图象确定ϕ的值即可. 【详解】由函数的最小正周期公式可得：222T ππωπ=== 则函数的解析式为()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭将()f x 的图象向右平移ϕ个单位长度或所得的函数解析式为：()()sin 2sin 2266g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭函数图象关于y 轴对称，则函数()g x 为偶函数，即当0x =时： ()222662x k k Z πππϕϕπ-+=-+=+∈则()26k k Z ππϕ=--∈， ① 令1k =-可得：3πϕ=其余选项明显不适合①式. 本题选择B 选项.【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，三角函数的平移变换，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．B【分析】实数x ，y 满足13y yx x -=，通过讨论x ，y 得到其图象是椭圆、双曲线的一部分组成的图形，6y --60y --=距离范围的2倍，求出切线方程根据平行直线距离公式算出最小值，和最大值的极限值即可得出答案. 【详解】因为实数x ，y 满足13y yx x -= 所以当0,0x y ≥≥时，则2213y x -=，其图象是位于第一象限，焦点在x 轴上的双曲线的一部分（含点()1,0） 当0,0x y ><时，则22+13y x =其图象是位于第四象限，焦点在y 轴上的椭圆的一部分当0,0x y <>时，则2213y x --=其图象不存在 当0,0x y <<时，则2213y x -=其图象是位于第三象限，焦点在y 轴上的双曲线的一部分作出椭圆和双曲线的图象，其中13y yx x -=图象如下：任意一点(,)x y 60y --=的距离d =62y d --=6y --60y --=距离范围的2倍双曲线2213y x -=，2213y x -=0y -=60y --=平行通过图形可得当曲线上一点位于P 时，则2d 取得最小值，无最大值，2d 0y -=与60y --=之间的距离3的2倍0(0)y c c -+=<与2213y x +=其图像在第一象限相切于点P由2222063013y c x c y x -+=⇒++-=⎨+=⎪⎩因为()()224630x c c ∆=-⨯⨯-=⇒=c0y -60y --=62=6y d --=6y --的取值范围是)6⎡⎣． 故选：B ．【点睛】三种距离公式： （1）两点间的距离公式：平面上任意两点111222(,),(,),P x y P x y间的距离公式为12||PP =（2）点到直线的距离公式：点111(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离d =（3）两平行直线间的距离公式：两条平行直线10Ax By C ++=与20Ax By C ++=间的距离d =13【解析】通过平方结合数量积公式即可求解.【详解】222122121211211cos1203e e e e e e ︒-=+-⋅=+-⨯⨯⨯=，故123e e -=． 14．④【分析】根据线线、线面、面面之间的位置关系即可得出结果. 【详解】解析：①错误，α与β也可能相交； ②错误，α与β也可能相交； ③错误，α与β也可能相交； ④正确，由线面平行的性质定理可知.故答案为：④15．【分析】求出圆的圆心和半径，求出两条直线位置关系和经过的定点，作出图像，设圆心到其中一条直线的距离为d ，根据几何关系表示出AC BD +，利用基本不等式即可求出其最大值. 【详解】2222260(1)(3)10x y x y x y +--=⇒-+-=圆心M (1，3)，半径r()120210x my m x m y l +--=⇒-+-=⇒过定点E (2,1)()2210210mx y m m x y l --+=⇒--+=⇒过定点E (2,1) 且1l ⊥2l如图，设AC 和BD 中点分别为F 、G ，则四边形EFMG 为矩形设MF d =，0d ME ≤≤MG ==则AC BD +＝2=(2210-22105d d -=+即d =时取等号.故答案为：16． > <【分析】根据式子的结构构造函数()()ln 1f x x x =--，判断出41231231a a a a a a a ++++≤+-，得到41a -≤，求出0q <.对q 进行分类讨论：1q <-和1q =-不合题意矛盾，得到10q -<<，即可比较大小.【详解】因为1234123a a a a e a a a +++=++，所以()1234123ln a a a a a a a +++=++.记()()ln 1f x x x =--，则()11f x x '=-. 令()0f x '<，得：01x <<；令0fx，得：1x >；函数()f x 在()0,1上单增，在()1,+∞上单减所以对任意0x >，都有()()10f x f ≤=，即ln 1≤-x x 恒成立 所以()123123ln 1a a a a a a ++≤++-，即41231231a a a a a a a ++++≤+-所以41a -≤，所以311a q ≤-.因为11a >，所以0q <.当1q =-时，则则124341230,e 1a a a aa a a a ++++++==，12131a a a a +=+>与题意矛盾，故舍去；当1q <-时,则()()()2321231141101a a a a a q q a q q q ++=++=+++<+即2413e 1a a a a +++<.又()()2321110a a a q a q q +=+=+>,所以1231a a a ++>,与题意矛盾,故舍去；所以10q -<<,从而2311a a q a =<,即13a a >；()242110a a a q q -=-> ,故42a a >，即24a a <. 故答案为：>,<【点睛】数列中比较大小的方法：（1）根据通项公式，利用函数的单调性比较大小； （2）利用作差法（作商法）比较. 17．(1)2OC a b =- 523DC a b =-(2)1OCB S =△【分析】（1）根据向量的线性运算，利用基底表示向量即可； （2）由正弦定理求出B ，再由三角形的面积公式求解. 【详解】（1）∵A 是BC 的中点，则2OC OB BC OB BA =+=+ ()222OB OA OB OA OB a b =+-=-=-故2OC a b =- 22522333DC OC OD OCOB a b b a b （2）由正弦定理可得πsin sin 4OB OCB =，解得1sin 2B = 由OC OB <可知，π4B <，故π6B =所以ππππsin sin[π()]sin()4646BOC ∠=-+=+=所以n 1221si 12OCB B S OC C OB O ∠==⨯⋅⋅⋅=△.18．(1)45︒ (2)证明见解析.【分析】（1）根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，再利用向量的夹角公式，结合异面直线所成角与向量夹角的关系即可求解；（2）根据（1）的坐标系，求出相关点的坐标，分别求出平面MNP 、平面11CC D D 的法向量，结合两平面的法向量平行即可求解. （1）由题意可知，不妨设正方体的棱长为2，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示所以()()()()1,0,1,1,1,0,2,0,0,2,2,0M N A B ()()0,1,1,0,2,0MN AB =-= 则cos ,0MN AB MN AB MN AB⋅<>====设异面直线MN 和AB 所成角为θ，则 cos cos ,MN AB θ=<>=所以异面直线MN 和AB 所成角为45︒.（2）由（1）知()()()()()1,0,1,1,1,0,1,2,1,0,0,0,2,0,0M N P D A()2,0,0DA =，()0,2,0MP =和()0,1,1MN =-由题意可知，DA ⊥平面11CC D D ,所以平面11CC D D 的法向量为()1,0,0n =. 设平面MNP 的法向量为(),,m x y z =，则m MP m MN ⋅=⋅⎧⎪⎨⎪⎩=，即200y y z =-=⎧⎨⎩，令1x =，则0y =，0z =所以()1,0,0m = 由n m =，得平面//MNP 平面11CC D D . 19．（1）e =（2）8. 【解析】（1）设双曲线方程，用待定系数法可求；（2）联立双曲线Γ和直线l 的方程，表示出两根之和，两根之积，利用弦长公式可求.【详解】解：（1）设双曲线Γ的方程为22221x ya b -=，则((2222222211a b a b ⎧⎪-=⎪⎨⎪-⎪-=⎩ 2223b a ⎧=⎨=⎩ 所以2225c a b =+=c e a =（2）由（1）得双曲线Γ的方程为22132x y -=，设()()1122,,,A x y B x y221321x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，290x +-=和12129x x x x +=-⋅=-8AB =弦长AB 为8.【点睛】考查双曲线离心率的求法以及弦长的求法，中档题.20．（1）5；（2）①证明见解析；②1922153⎡⎤⎛⎫⨯+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．【分析】（1）由题意可知每轮游戏获得1分的概率为13，获得2分的概率为23，而每轮游戏的结果互相独立，设进行完3轮游戏时，则得1分的次数为Y ，所以13,3YB ⎛⎫⎪⎝⎭，6X Y =-即可求出X 的期望； （2）①根据累计得分为i 的概率为i p ，分两种情形讨论得分情况，从而得到递推式2121(2,3,,19)33i i i P P P i --=+=⋯，再根据构造法即可证出数列{}1i i p p --是等比数列； ②根据①可求出12()3ii i p p --=-，再根据累加法即可求出(2,3,,19)i p i =⋯，然后由20182P 3P =从而解出．【详解】（1）由题意可知每轮游戏获得1分的概率为13，获得2分的概率为23，设进行完3轮游戏时，则得1分的次数为Y ，所以13,3YB ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()3312,0,1,2,333k kk P Y k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭而()236X Y Y Y =+-=-，即随机变量X 可能取值为3，4，5，6∴X 的分布列为：E （X ）＝12483456279927⨯+⨯+⨯+⨯＝5． （2）①证明：n ＝1，即累计得分为1分，是第1次掷骰子，向上点数不超过2点113P =，则1023P P -=-，累计得分为i 分的情况有两种：（Ⅰ）i ＝（i ﹣2）＋2，即累计得i ﹣2分，又掷骰子点数超过2点，其概率为223i P -（Ⅱ）累计得分为i ﹣1分，又掷骰子点数没超过2点，得1分，其概率为113i P -＝1，2，…，19）是首项为﹣23，公比为﹣23的等比数列．②∵数列{}1i i p p --，（i ＝1，2，…，19）是首项为﹣23，公比为﹣23的等比数列∴12()3ii i p p --=-∴活动参与者得到纪念品的概率为：1919201822222P 1135353P ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⨯--=⨯+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．【点睛】本题第一问解题关键是明确得1分的次数为Y 服从二项分布，从而找到所求变量X 与Y 的关系，列出分布列，求得期望；第二问①主要是递推式的建立，分析判断如何得到i 分的情况，进而得到212133i i i P P P --=+，利用数列知识即可证出，②借由①的结论，求出(2,3,,19)i p i =⋯，分析可知20182P 3P =，从而解出．21．（1）30x y --=； （2）3. 【分析】（1）（1）当12a =时，则得到2()2ln 4f x x x x =+-，求得1()44f x x x'=+-，得出(1)1f '=，且(1)2f =-，结合直线的点斜式方程，即可求解. （2）把()12F x ax <-在()1,+∞转化为1ln x a x+<在()1,x ∈+∞恒成立，令1()ln x h x x +=，利用导数求得函数的额单调性，零点的存在定理得到()h x 在0(1,)x 上递减，在0(,)x +∞上递增，从而求得min 0()a h x x <=，即可求得整数a 的最大值. 【详解】（1）（1）当12a =时，则可得2()2ln 4f x x x x =+-，则1()44f x x x'=+- 可得(1)1f '=，且(1)2ln142f =+-=- 即函数()f x 在点1,2处的切线的斜率1k = 所以切线方程为(2)1y x --=-，即30x y --= 函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程30x y --=. （2）由2()()ln (21)F x af x x a x a x =-=-+因为()12F x ax <-在()1,+∞恒成立，即ln (21)12a x a x ax -+<-在()1,+∞恒成立即1ln x a x+<在()1,x ∈+∞恒成立 令1(),1ln x h x x x+=>，可得21ln 1()ln x x h x x--'= 令1()ln 1(1)t x x x x=-->，可得()t x 在()1,+∞上单调递增，且(3)0,(4)0t t <> 所以存在0(3,4)x ∈，使得001()ln 10t x x x =--= 从而()h x 在0(1,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增所以00min 000011()()(3,4)1ln 1x x h x h x x x x ++====∈+ 因为1ln x a x+<在()1,+∞恒成立，所以min 0()a h x x <= 所以整数a 的最大值为3.【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立求解参数的取值时，则一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大. 22．(Ⅰ) 2sin ρθ= (Ⅱ34【分析】(Ⅰ)法一：将1C 化为直角坐标方程，根据对称关系用2C 上的点表示出1C 上点的坐标，代入1C 方程得到2C 的直角坐标方程，再化为极坐标方程；法二：将y x =化为极坐标方程，根据对称关系将1C 上的点用2C 上的点坐标表示出来，代入1C 极坐标方程即可得到结果；(Ⅱ)利用1l 和2l 的极坐标方程与12,C C 的极坐标方程经,A B 坐标用α表示，将所求面积表示为与α有关的三角函数解析式，通过三角函数值域求解方法求出所求最值.【详解】(Ⅰ)法一：由题可知，1C 的直角坐标方程为：2220x y x +-= 设曲线2C 上任意一点(),x y 关于直线y x =对称点为()00,x y所以00x y y x=⎧⎨=⎩又因为2200020x y x +-=，即2220x y y +-=所以曲线2C 的极坐标方程为：2sin ρθ= 法二：由题可知，y x =的极坐标方程为：4πθ= ()R ρ∈设曲线2C 上一点(),ρθ关于4πθ=()R ρ∈的对称点为()00,ρθ所以0024ρρθθπ=⎧⎪⎨+=⎪⎩又因为002cos ρθ=，即2cos 2sin 2πρθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以曲线2C 的极坐标方程为：2sin ρθ=(Ⅱ)直线1l 的极坐标方程为：θα=直线2l 的极坐标方程为：3πθα=+设()11,A ρθ (),B ρθ22所以2cos θαρθ=⎧⎨=⎩解得12cos ρα=，32sin πθαρθ⎧=+⎪⎨⎪=⎩解得22sin 3πρα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1211sin sin sin 2332AOB S ππρρααααα∆⎛⎫⎛⎫∴=⋅=⋅+=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23πααα⎛⎫==+ ⎪⎝⎭ 因为02πα≤<，所以42333πππα≤+<当232ππα+=即12πα=时，则sin 213πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，AOB S ∆34【点睛】本题考查轨迹方程的求解、三角形面积最值问题的求解，涉及到三角函数的化简、求值问题.求解面积的关键是能够明确极坐标中ρ的几何意义，从而将问题转化为三角函数最值的求解.23．（1）225x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）证明见解析.【分析】（1）先分段讨论去绝对值，解不等式，再求并集即可；（2）先利用绝对值不等式求得()()f x a f x b c a b c ++--≥++，再妙用“1”进行代换()149149a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求得14936a b c++≥即可. 【详解】解：（1）()()121121f x f x x x -+-=-+-当1x >时，则121121322x x x x x x -+-=-+-=-≤，则2x ≤，所以12x <≤当112x ≤≤时，则1211212x x x x x x -+-=-+-=≤，则0x ≥，所以112x ≤≤ 当12x <时，则121112232x x x x x x -+-=-+-=-≤，则25x ≥，所以2152x ≤< 综上：不等式()()1212f x f x x -+-≤的解集为225x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）由绝对值不等式的性质可得()()()()f x a f x b c x a x b c x a x b c a b c ++--=++--≥+---=++因为0a >，0b >和0c >，且1491a b c ++=，所以()149a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭44991491436b c a c a b a a b b c c =++++++++≥+= 当且仅当2b a =，3c a =时，则等号成立. 故()()36f x a f x b c ++--≥.。
高三数学一模考试试题 理含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校宁夏第三2021届高三数学一模考试试题理〔含解析〕第一卷〔选择题〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.1.实数集R ，集合{|13}A x x =<<，集合|B x y ⎧==⎨⎩，那么()R A C B ⋂=〔〕 A.{|12}x x <≤ B.{|13}x x << C.{|23}x x ≤<D.{|12}x x <<【答案】A 【解析】 【分析】0>可得集合B ,求出补集R C B ,再求出()R A C B ⋂即可.0>,得2x >,即(2,)B =+∞,所以R C B (,2]=-∞,所以()R A C B ⋂=(1,2].应选:A【点睛】此题考察了集合的补集和交集的混合运算,属于根底题. 2.复数(2)1ai iz i+=-是纯虚数，其中a 是实数，那么z 等于〔〕A.2iB.2i -C.iD.i -【答案】A 【解析】 【分析】对复数z 进展化简，由于z 为纯虚数，那么化简后的复数形式中，实部为0，得到a 的值，从而得到复数z .【详解】()()()()()221222111122ai i a i i a i a a z ii i i i +-+--+-+====+-++-因为z 为纯虚数，所以202a-=，得2a = 所以2zi =.应选A 项【点睛】此题考察复数的四那么运算，纯虚数的概念，属于简单题. 3.假设θ是第二象限角且sin θ=1213，那么tan()4πθ+= A.177-B.717-C.177D.717【答案】B 【解析】由θ是第二象限角且sin θ=1213知：5cos 13θ==-，5t n 1a 2θ-=． 所以tan tan 457tan()41tan tan 4517πθθθ+︒+==--︒． 4.设M 是ABC ∆边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，假设AN AB AC λμ=+，那么λμ+的值是()A.1B.12C.13D.14【答案】B 【解析】 【分析】 设BMtBC=，通过12AN AM =，再利用向量的加减运算可得122t tAN AB AC -=+，结合条件即可得解. 【详解】设BM tBC =，那么有()()11111122222222t t t AN AM AB BM AB tBC AB AC AB AB AC -==+=+=+-=+. 又AN AB AC λμ=+，所以122t t λμ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，有11222t t λμ-+=+=. 应选B.【点睛】此题考察了向量一共线及向量运算知识，利用向量一共线及向量运算知识，用基底向量向量来表示所求向量，利用平面向量表示法唯一来解决问题. 5.空间两不同直线m 、n ，两不同平面α，β〕 A.假设mα且n α，那么m nB.假设m β⊥且m n ⊥，那么n βC.假设m α⊥且m β，那么αβ⊥D.假设m 不垂直于α，且n⊂α，那么m 不垂直于n 【答案】C 【解析】因答案A 中的直线m n ，可以异面或者相交，故不正确；答案B 中的直线n ⊂β也成立，故不正确；答案C 中的直线m 可以平移到平面β中，所以由面面垂直的断定定理可知两平面αβ，互相垂直，是正确的；答案D 中直线m 也有可能垂直于直线n ，故不正确．应选答案C ．6.近年来，随着4G 网络的普及和智能 的更新换代，各种方便的app 相继出世，其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用app 的主要用处，随机抽取了56290名大学生进展调查，各主要用处与对应人数的结果统计如下列图，现有如下说法：①可以估计使用app 主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数； ②可以估计缺乏10%的大学生使用app 主要玩游戏；③可以估计使用app 主要找人聊天的大学生超过总数的14. 其中正确的个数为〔〕 A.0 B.1C.2D.3【答案】C 【解析】 【分析】根据利用app 主要听音乐的人数和使用app 主要看社区、新闻、资讯的人数作大小比较，可判断①的正误；计算使用app 主要玩游戏的大学生所占的比例，可判断②的正误；计算使用app 主要找人聊天的大学生所占的比例，可判断③的正误.综合得出结论.【详解】使用app 主要听音乐的人数为5380，使用app 主要看社区、新闻、资讯的人数为4450，所以①正确；使用app 主要玩游戏的人数为8130，而调查的总人数为56290，81300.1456290≈，故超过10%的大学生使用app 主要玩游戏，所以②错误；使用app 主要找人聊天的大学生人数为16540，因为165401562904>，所以③正确.应选：C. 【点睛】. 7.p ：任意4x ≥，都有2log 2x ≥q ：a b >，那么有22a b >〕A.p q ∧B.()p q ∧⌝C.()()p q ⌝∧⌝D.()p q ⌝∨【答案】B 【解析】 【分析】,p q .【详解】pq 0a b >>,或者=12a b =-，时，那么22a b >不成立.那么p q ∧，()()p q ⌝∧⌝，()p q ⌝∨均为假.应选:B 【点睛】.8.双曲线C 的一个焦点为()0,5，且与双曲线2214x y -=的渐近线一样，那么双曲线C 的HY 方程为()A.2214y x -=B.221520y x -= C.221205x y -=D.2214x y -=【答案】B 【解析】 【分析】根据焦点所在坐标轴和渐近线方程设出双曲线的HY 方程，结合焦点坐标求解.【详解】∵双曲线C 与2214x y -=的渐近线一样，且焦点在y 轴上，∴可设双曲线C 的方程为2214y x k k-=，一个焦点为0,5，∴425k k +=，∴5k =，故C 的HY 方程为221520y x -=. 应选：B【点睛】此题考察根据双曲线的渐近线和焦点求解双曲线的HY 方程，易错点在于漏掉考虑焦点所在坐标轴导致方程形式出错. 9.数列{}n a 满足()12347324n a a a n a n ++++-=，那么23342122a a a a a a +++=〔〕A.58B.34C.54D.52【答案】C 【解析】 【分析】 利用()32n n a -的前n 项和求出数列(){}32n n a -的通项公式，可计算出n a ，然后利用裂项法可求出23342122a a a a a a +++的值.【详解】()12347324n a a a n a n ++++-=.当1n =时，14a =； 当2n ≥时，由()12347324n a a a n a n ++++-=，可得()()1231473541n a a a n a n -++++-⋅=-，两式相减，可得()324n n a -=，故432n a n =-，因为14a =也适宜上式，所以432na n =-.依题意，()()12161611313433134n n a a n n n n ++⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，故233421221611111111161153477101013616434644a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 应选：C.【点睛】此题考察利用n S 求n a ，同时也考察了裂项求和法，考察计算才能，属于中等题.1C ：22(1)(1)1x y -++=，圆2C ：22(4)(5)9x y -+-=，点M 、N分别是圆1C 、圆2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，那么PN PM-的最大值是〔〕A.4B.9C.7D.2【解析】试题分析：圆()()221111C x y -++=：的圆心(11)E -，，半径为1，圆()()222459C x y -+-=：的圆心(45)F ，，半径是3．要使PN PM-最大，需PN最大，且PM最小，PN最大值为3,PF PM +的最小值为1PE -，故PN PM-最大值是()() 314PF PE PF PE +--=-+;(45)F ，关于x轴的对称点(45)F '-，，5PF PE PF PE EF -='-≤'==，故4PF PE -+的最大值为549+=，应选B ．考点：圆与圆的位置关系及其断定．【思路点睛】先根据两圆的方程求出圆心和半径，要使|PN PM -最大，需PN最大，且PM最小，PN最大值为3,PF PM+的最小值为1PE -，故PN PM-最大值是()() 314PF PE PF PE +--=-+，再利用对称性，求出所求式子的最大值．11.在三棱锥D ABC -中，1AB BC CD DA ====，且,,,AB BC CD DA M N ⊥⊥分别是棱BC ，CD 的中点，下面四个结论：①AC BD ⊥；②//MN 平面ABD ；③三棱锥A CMN -；④AD 与BC 一定不垂直.〕 A.①②③ B.②③④C.①④D.①②④【答案】D 【解析】①通过证明AC ⊥平面OBD ，证得AC BD ⊥；②通过证明//MN BD ，证得//MN 平面ABD ；③求得三棱锥A CMN -体积的最大值，由此判断③的正确性；④利用反证法证得AD 与BC 一定不垂直. 【详解】设AC 的中点为O ，连接,OB OD ，那么AC OB ⊥，AC OD ⊥，又OB OD O =，所以AC ⊥平面OBD ，所以AC BD ⊥，故①正确；因为//MN BD ，所以//MN 平面ABD ，故②正确；当平面DAC与平面ABC垂直时，A CMNV -最大，最大值为1134A CMN N ACM V V --=⨯==AD 与BC 垂直，又因为AB BC ⊥，所以BC ⊥平面ABD ，所以BC BD ⊥，又BD AC ⊥，所以BD ⊥平面ABC ，所以BD OB ⊥，因为OB OD =，所以显然BD 与OB 不可能垂直，故④正确.应选：D 【点睛】. 12.定义在R 上函数()f x 满足()()f x f x -=，且对任意的不相等的实数[)12,0,x x ∈+∞有()()12120f x f x x x -<-成立，假设关于x 的不等式()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++在[]1,3x ∈上恒成立，那么实数m 的取值范围是〔〕A.1ln6,126e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ B.1ln3,126e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦C.1ln3,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D.1ln6,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】 结合题意可知()f x 是偶函数,且在[)0,+∞单调递减,化简题目所给式子,建立不等式,结合导函数与原函数的单调性关系,构造新函数()(),h x g x ,计算最值,即可.【详解】结合题意可知()f x 为偶函数,且在[)0,+∞单调递减,故()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++可以转换为()()2ln 33f mx x f --≥对应于[]1,3x ∈恒成立,即2ln 33mx x --≤即02ln 6mx x ≤-≤对[]1,3x ∈恒成立即ln 6ln 22x xm m x x +≥≤且对[]1,3x ∈恒成立 令()ln x g x x =,那么()[)1ln '1,xg x e x -=在上递增,在(],3e 上递减,所以()max1g x e = 令()()26ln 5ln ,'0x xh x h x x x+--==<,在[]1,3上递减 所以()min 6ln33hx +=.故1ln3,126m e ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦,应选B. 【点睛】本道题考察了函数的根本性质和导函数与原函数单调性关系,计算范围,可以转化为函数,结合导函数,计算最值,即可得出答案.第二卷〔非选择题〕二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分.13.7(3)x -的展开式中，x 5的系数是_________．〔用数字填写上答案〕【答案】-189 【解析】 由二项式定理得717(1)3C r r r rr T x -+=-，令r =5得x 5的系数是2573C 189-=-．14.数列{}n a 满足：点(),n n a 在直线210x y -+=上，假设使1a 、4a 、m a 构成等比数列，那么m =______【答案】13 【解析】【分析】根据点在直线上可求得n a ，由等比中项的定义可构造方程求得结果. 【详解】(),n n a 在210x y -+=上，21n a n ∴=+，14,,m a a a 成等比数列，241m a a a ∴=，即()81321m =+，解得：13m =.故答案为：13.【点睛】此题考察根据三项成等比数列求解参数值的问题，涉及到等比中项的应用，属于根底题. 15.函数()314sin 3f x x x =+在0x =处的切线与直线60nx y --=平行，那么n 为________.【答案】4 【解析】 【分析】 根据题意得出()0n f '=，由此可得出实数n 的值.【详解】()314sin 3f x x x =+，()24cos f x x x '∴=+，直线60nx y --=的斜率为n ，由于函数()314sin 3f x x x =+在0x =处的切线与直线60nx y --=平行，那么()04n f '==.故答案为：4.【点睛】此题考察利用函数的切线与直线平行求参数，解题时要结合两直线的位置关系得出两直线斜率之间的关系，考察计算才能，属于根底题. 16.定义在R 上的偶函数()f x 满足()()f e x f e x +=-，且()00f =，当(]0,x e ∈时，()ln f x x =.方程()1sin 22x x e f π⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间[],3e e -上所有的实数根之和为3ea .将函数()23sin 14x x g π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移a 个单位长度，得到函数()h x 的图象，那么a =__________，()8h =__________.【答案】(1).2(2).4 【解析】 【分析】根据函数()f x 为偶函数且()()f e x f e x +=-，所以()f x 的周期为2e ，()1sin 22x x e f π⎛⎫=⎪⎝⎭的实数根是函数()f x 和函数1sin 22y x e π⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点的横坐标，在平面直角坐标系中画出函数图象，根据函数的对称性可得所有实数根的和为6e ，从而可得参数a 的值，最后求出函数()h x 的解析式，代入求值即可. 【详解】解：因为()f x 为偶函数且()()f e x f e x +=-，所以()f x 的周期为2e .因为(]0,x e ∈时，()ln f x x =，所以可作出()f x 在区间[],3e e -上的图象，而方程()1sin 22x x e f π⎛⎫= ⎪⎝⎭的实数根是函数()f x 和函数1sin 22y x e π⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点的横坐标，结合函数()f x 和函数1sin 22y x e π⎛⎫=⎪⎝⎭在区间[],3e e -上的简图，可知两个函数的图象在区间[],3e e -上有六个交点.由图象的对称性可知，此六个交点的横坐标之和为6e ，所以63e ea =，故2a=.因为()2353sin 1cos 4222x x gx ππ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，所以()()35cos 2222x hx π⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦35cos 222x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故()()35cos 44228h π=+=.故答案为：2；8【点睛】此题考察函数的奇偶性、周期性、对称性的应用，函数方程思想，数形结合思想，属于难题. 三、解答题：〔本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕 17.高铁和航空的飞速开展不仅方便了人们的出行,更带动了我国经济的宏大开展.据统计,在2021年这一年内从A 到B 乘坐高铁或者飞机出行的成年人约为50万人次.为了解乘客出行的满意度,现从中随机抽取100人次作为样本,得到下表(单位:人次):〔1〕在样本中任取1个,求这个出行人恰好不是青年人的概率; 〔2〕在2021年从A 到B 乘坐高铁的所有成年人中,随机选取2人次,记其中老年人出行的人次为X .以频率作为概率,求X的分布列和数学期望;〔3〕假设甲将要从A 出发到B ,那么根据表格中的数据,你建议甲是乘坐高铁还是飞机并说明理由.【答案】〔1〕2950〔2〕分布列见解析，数学期望25〔3〕建议甲乘坐高铁从A 到B .见解析【解析】 【分析】〔1〕根据分层抽样的特征可以得知，样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，即可按照古典概型的概率计算公式计算得出； 〔2〕依题意可知X 服从二项分布，先计算出随机选取1人次，此人为老年人概率是151755=，所以12,5XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()2211155k kk P x k C -⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求出X 的分布列和数学期望；〔3〕可以计算满意度均值来比较乘坐高铁还是飞机．【详解】〔1〕设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人〞为M ，由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42， 所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率193929()10050P M +==． 〔2〕由题意，X的所有可能取值为：012.，，因为在2021年从A 到B 乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人为老年人概率是151755=， 所以022116(0)C (1)525P X ==⨯-=，12118(1)C (1)5525P X ==⨯⨯-=， 22211(2)C ()525P X ==⨯=， 所以随机变量X的分布列为：1 21625825125故16812()0122525255E X =⨯+⨯+⨯=． 〔3〕答案不唯一，言之有理即可．如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下：由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：521012511011652121115⨯+⨯+⨯=++乘坐飞机的人满意度均值为：410145702241475⨯+⨯+⨯=++因为11622155>， 所以建议甲乘坐高铁从A 到B ．【点睛】此题主要考察了分层抽样的应用、古典概型的概率计算、以及离散型随机变量的分布列和期望的计算，解题关键是对题意的理解，概率类型的判断，属于中档题．18.设ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c .设S 为ABC 的面积，满足)222S a c b =+-. (1)求B ； (2)假设b=)12a c +的最大值.【答案】(1)3π；(2) 【解析】 【分析】(1)根据条件形式选择1sin 2S ac B =，然后利用余弦定理和正弦定理化简，即可求出； (2)由(1)求出角3Bπ=，利用正弦定理和消元思想，可分别用角A 的三角函数值表示出,a c ，即可得到))21221sin 4sin 3a c A A π⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，再利用三角恒等变换，化简为)124a c A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即可求出最大值．【详解】(1)∵1sin 2S ac B =，222cos 2a c b B ac+-=即2222cos a c b ac B =+-，∴)2224Sa cb =+-变形得：1sin 2cos 24ac B ac B =，整理得：tan B =又0B π<<，∴3B π=；(2)∵A B C π++=，∴203A π<<，由正弦定理知sin 2sin sin sin 3b A Aa A B π===，sin 22sin sin 3b Cc A B π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，∴))21221sin 4sin 3a c A A π⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭4A π⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭4A π=时取最大值．故)12a c +的最大值为【点睛】此题主要考察正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，以及利用三角恒等变换求函数的最值，意在考察学生的转化才能和数学运算才能，属于根底题 19.如图1，四边形BCDE 为直角梯形，90B ∠=，//BE CD ，且222BE CD BC ===，A 为BE 的中点.将EDA 沿AD 折到PDA 位置(如图2)，连结PC ，PB 构成一个四棱锥P ABCD -． 〔Ⅰ〕求证AD PB ⊥；〔Ⅱ〕假设PA ⊥平面ABCD ．①求二面角B PC D --的大小； ②在棱PC 上存在点M ，满足()01PM PC λλ=≤≤，使得直线AM 与平面PBC 所成的角为45，求λ的值．【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)①120，② 0λ=或者23λ=． 【解析】 【分析】(Ⅰ)可以通过证明出AD ⊥平面PAB ，这样就可以证明出AD PB ⊥；(Ⅱ)?①以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，可以求出相应点的坐标，求出平面PBC 的法向量为n 、平面PCD 的法向量m ，利用空间向量的数量积，求出二面角B PC D --的大小；②求出平面PBC 的法向量，利用线面角的公式求出λ的值.【详解】证明：(Ⅰ)在图1中，//AB CD ，AB CD =，ABCD ∴为平行四边形，//AD BC ∴，90B ∠=，AD BE ∴⊥，当EDA 沿AD 折起时，AD AB ⊥，AD AE ⊥，即AD AB ⊥，AD PA ⊥，又AB PA A ⋂=，,AB PAB PA PAB AD 面面⊂⊂∴⊥平面PAB ， 又PB ⊂平面PAB ，AD PB ∴⊥．解：(Ⅱ)①以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，由于PA ⊥平面ABCD 那么(0,A 0，0)，(1,B 0，0)，(1,C 1，0)，(0,P 0，1)，(0,D 1，0)(1,PC =1，1)-，(0,BC =1，0)，(1,DC =0，0)，设平面PBC 的法向量为(,nx =y ，)z ，那么00PC n x y z BC n y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅==⎪⎩，取1z =，得(1,n =0，1)，设平面PCD 的法向量(,m a =b ，)c ，那么00m PC a b c m DC a ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅==⎪⎩，取1b =，得(0,m =1，1)，设二面角B PC D --的大小为θ，可知为钝角，那么1cos 222m n m nθ⋅=-=-=-⋅⨯，120θ∴=．∴二面角B PC D --的大小为120．②设AM 与面PBC 所成角为α，(0,AM AP PM =+=0，1)(1λ+，1，1)(λ-=，λ，1)λ-，平面PBC 的法向量(1,n=0，1)，直线AM 与平面PBC 所成的角为45，22212sin cos ,2(1)AM n AM n AM nλλαλλλ⋅+-∴====⋅⋅++-，解得0λ=或者23λ=． 【点睛】此题考察了利用线面垂直证明线线垂直，考察了利用向量数量积，求二面角的大小以及通过线面角公式求定比分点问题.20.椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，离心率为12，点P 为椭圆C 上一动点，且12PF F △，O 为坐标原点.(1)求椭圆C 的方程； (2)设点()11,M x y ，()22,N x y 为椭圆C 上的两个动点，当1212x x y y +为多少时，点O 到直线MN 的间隔为定值.【答案】〔1〕22143x y +=；〔2〕当1212x x y y +＝0时，点O 到直线MN的间隔为定值7. 【解析】 【分析】〔1〕12PF F △的面积最大时，P 是短轴端点，由此可得bc =再由离心率及222a b c =+可得,a b ，从而得椭圆方程；〔2〕在直线MN 斜率存在时，设其方程为y kx m =+，现椭圆方程联立消元〔y 〕后应用韦达定理得1212,x x x x +，注意>0∆，一是计算1212x x y y +，二是计算原点到直线MN 的间隔，两者比较可得结论．【详解】〔1〕因为P 在椭圆上，当P 是短轴端点时，P 到x 轴间隔最大，此时12PF F ∆面积最大，所以122c b bc ⨯⨯==22212bc c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆方程为22143x y +=．〔2〕在12x x ≠时，设直线MN 方程为y kx m =+，原点到此直线的间隔为d =，即2221m d k =+，由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(34)84120k x kmx m +++-=， 2222644(34)(412)0k m k m ∆=-+->，2243m k <+，所以122834kmx x k +=-+，212241234m x x k-=+， 22222222224128712(1)(1)343434m k m m k k m k k k--+=+⋅-+=+++， 所以当12120x x y y +=时，2212(1)7m k =+，2221217m d k ==+，d = 假设12x x =，那么12y y =-，221212110x x y y x y +=-=，2211x y =，2127x =，7d x ==， 综上所述，当1212x x y y +＝0时，点O 到直线MN的间隔为定值7.【点睛】此题考察求椭圆方程与椭圆的几何性质，考察直线与椭圆的位置关系，考察运算求解才能．解题方法是“设而不求〞法．在直线与圆锥曲线相交时常用此法通过韦达定理联络式与待求式． 21.函数f (x )＝x －ln x ，g (x )＝x 2－ax .〔1〕求函数f (x )在区间[t ，t ＋1](t ＞0)上的最小值m (t )；〔2〕令h (x )＝g (x )－f (x )，A (x 1，h (x 1))，B (x 2，h (x 2))(x 1≠x 2)是函数h (x )图像上任意两点，且满足1212()()h x h x x x --＞1，务实数a 的取值范围；〔3〕假设∃x ∈(0,1]，使f (x )≥()a g x x-成立，务实数a 的最大值． 【答案】〔1〕m (t )＝ln ,11,01t t t t -≥⎧⎨<<⎩〔2〕a－2.〔3〕a－2.【解析】【分析】〔1〕是研究在动区间上的最值问题，这类问题的研究方法就是通过讨论函数的极值点与所研究的区间的大小关系来进展求解．〔2〕注意到函数h (x )的图像上任意不同两点A ，B 连线的斜率总大于1，等价于h (x 1)－h (x 2)＜x 1－x 2(x 1＜x 2)恒成立，从而构造函数F (x )＝h (x )－x 在(0，＋∞)上单调递增，进而等价于F ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立来加以研究．〔3〕用处理恒成立问题来处理有解问题，先别离变量转化为求对应函数的最值，得到a ≤22ln 1x x xx -+，再利用导数求函数M (x )＝22ln 1x x xx -+的最大值，这要用到二次求导，才可确定函数单调性，进而确定函数最值．【详解】〔1〕f ′(x )＝1－1x，x ＞0，令f ′(x )＝0，那么x ＝1.当t ≥1时，f (x )在[t ，t ＋1]上单调递增，f (x )的最小值为f (t )＝t －lnt ；当0＜t ＜1时，f (x )在区间(t,1)上为减函数，在区间(1，t ＋1)上为增函数，f (x )的最小值为f (1)＝1.综上，m (t )＝ln ,11,01t t t t -≥⎧⎨<<⎩〔2〕h (x )＝x 2－(a ＋1)x ＋lnx ， 不妨取0＜x 1＜x 2，那么x 1－x 2＜0，那么由1212()()1h x h x x x ->-，可得h (x 1)－h (x 2)＜x 1－x 2，变形得h (x 1)－x 1＜h (x 2)－x 2恒成立． 令F (x )＝h (x )－x ＝x 2－(a ＋2)x ＋lnx ，x ＞0， 那么F (x )＝x 2－(a ＋2)x ＋lnx 在(0，＋∞)上单调递增，故F′(x)＝2x－(a＋2)＋1x≥0在(0，＋∞)上恒成立，所以2x＋1x≥a＋2在(0，＋∞)上恒成立．因为2x＋1x，当且仅当x＝2时取“＝〞，所以a－2.〔3〕因为f(x)≥()a g xx-，所以a(x＋1)≤2x2－xlnx.因为x∈(0,1]，那么x＋1∈(1,2]，所以∃x∈(0,1]，使得a≤22ln1x x xx-+成立．令M(x)＝22ln1x x xx-+，那么M′(x)＝2223ln1(1)x x xx+--+.令y＝2x2＋3x－lnx－1，那么由y′＝(1)(41)x xx+-＝0可得x＝14或者x＝－1(舍)．当x∈1(0,)4时，y′＜0，那么函数y＝2x2＋3x－lnx－1在14上单调递减；当x∈1(,)4+∞时，y′＞0，那么函数y＝2x2＋3x－lnx－1在1(,)4+∞上单调递增．所以y≥ln4－18＞0，所以M′(x)＞0在x∈(0,1]时恒成立，所以M(x)在(0,1]上单调递增．所以只需a≤M(1)，即a≤1.所以实数a的最大值为1.【点睛】此题考察了函数与导数综合问题，考察了学生综合分析，转化与划归，数学运算才能，属于难题.请考生在22，23，题中任选一题答题，假设多做，那么按所做的第一题记分.做答时，需要用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos (0)a a ρθθ=>，过点()24P --，的直线l的参数方程为2242x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩〔为参数〕，直线l 与曲线C 交于M 、N 两点．〔1〕写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程：〔2〕假设| |,| |,| |P M M N P N 成等比数列，求a 的值．【答案】〔1〕l 的普通方程2y x =-；C 的直角坐标方程 2y ax =；〔2〕1a =. 【解析】【分析】〔1〕利用极坐标与直角坐标的互化公式即可把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，利用消去参数t 即可得到直线l 的直角坐标方程；〔2〕将直线l 的参数方程，代入曲线C 的方程，利用参数的几何意义即可得出||||PMPN ⋅，从而建立关于a 的方程，求解即可． 【详解】〔1〕由直线l的参数方程2242x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去参数t 得, 42y x =-++，即2y x =-为l 的普通方程由2sin 2cos a ρθθ=，两边乘以ρ得22sin 2cos a ρθρθ=2y ax ∴=为C 的直角坐标方程.〔2〕将242x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入抛物线22y ax得24)3280t a t a -+++= 由| |,| |,| |P M M N P N 成等比数列，即21212t t t t -=⋅，()21212124t t t t t t +-=，()212125t t t t +=，24))5(328)a a +=+整理得2340a a +-=4a =-〔舍去〕或者1a =.【点睛】纯熟掌握极坐标与直角坐标的互化公式、方程思想、直线l 的参数方程中的参数的几何意义是解题的关键．选修4—5；不等式选讲.23.函数()|2||3|f x x x =++-.〔1〕解不等式()32f x x ≤-； 〔2〕假设函数()f x 最小值为M ，且23(0,0)a b M a b +=>>，求13211a b +++的最小值. 【答案】〔1〕7,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭〔2〕169 【解析】【分析】〔1〕利用零点分段法，求得不等式的解集.〔2〕先求得()5f x ≥，即235(0,0)a b a b +=>>，再根据“1的代换〞的方法，结合根本不等式，求得13211a b +++的最小值. 【详解】〔1〕当2x <-时，2332x x x ---+≤-，即35x≥，无解； 当23x -≤≤时，2332x x x +-+≤-，即73x ≤，得733x ≤≤； 当3x >时，2332x x x ++-≤-，即1x ≥，得3x >. 故所求不等式的解集为7,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 〔2〕因为()|2||3||(2)(3)|5f x x x x x =++-≥+--=，所以235(0,0)a b ab +=>>，那么213(1)9a b +++=，1311313(1)3(21)16[213(1)]10211921192119b a a b a b a b a b ++⎛⎫⎡⎤+=++++=++≥ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎣⎦. 当且仅当211,235,0,0,a b a b a b +=+⎧⎪+=⎨⎪>>⎩即5,854a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等号. 故13211a b +++的最小值为169. 【点睛】本小题主要考察零点分段法解绝对值不等式，考察利用根本不等式求最值，考察化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。
2021年高三3月统一练习(一模)数学(理)试题 含解析
2021年高三3月统一练习（一模）数学（理）试题含解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（1，﹣1） B．（﹣1，1） C． D．【考点】：复数的代数表示法及其几何意义．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解析】：解：∵=，∴复数对应的点的坐标为（1，﹣1），故选：A．【点评】：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．2．（5分）在等比数列{an }中，a3+a4=4，a2=2，则公比q等于（）A．﹣2 B．1或﹣2 C． 1 D．1或2【考点】：等比数列的通项公式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：由题意可得q的一元二次方程，解方程可得．【解析】：解：∵等比数列{a n}中，a3+a4=4，a2=2，∴a3+a4=2q+2q2=4，∴q2+q﹣2=0，解得q=1或q=﹣2故选：B【点评】：本题考查等比数列的通项公式，涉及一元二次方程的解法，属基础题．3．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点坐标为（2，0），则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】：双曲线的标准方程．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：直接利用双曲线的渐近线方程以及焦点坐标，得到关系式，求出a、b，即可得到双曲线方程．【解析】：解：双曲线的一条渐近线方程是，可得，它的一个焦点坐标为（2，0），可得c=2，即a2+b2=4，解得a=1，b=，所求双曲线方程为：．故选：C．【点评】：本题考查双曲线的方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．4．（5分）当n=5时，执行如图所示的程序框图，输出的S值是（）A．7 B．10 C．11 D．16【考点】：程序框图．【专题】：图表型；算法和程序框图．【分析】：模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，m的值，当m=5时，不满足条件m ＜5，退出循环，输出S的值为11，从而得解．【解析】：解：模拟执行程序，可得n=5，m=1，S=1满足条件m＜5，S=2，m=2满足条件m＜5，S=4，m=3满足条件m＜5，S=7，m=4满足条件m＜5，S=11，m=5不满足条件m＜5，退出循环，输出S的值为11．故选：C．【点评】：本题主要考查了程序框图和算法，考查了循环结构和条件语句，依次写出每次循环得到的S，m的值是解题的关键，属于基本知识的考查．5．（5分）在极坐标系中，曲线ρ2﹣6ρcosθ﹣2ρsinθ+6=0与极轴交于A，B两点，则A，B两点间的距离等于（）A．B．C．D． 4【考点】：简单曲线的极坐标方程．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：首先把极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步利用在x轴上的两根和与两根积的关系式，利用两点间的距离公式求出结果．【解析】：解：曲线ρ2﹣6ρcosθ﹣2ρsinθ+6=0转化成直角坐标方程为：x2+y2﹣6x﹣2y+6=0．由于曲线与极轴交于A，B两点，设交点坐标为：A（x1，0），B（x2，0），令y=0，则：x2﹣6x+6=0，所以：x1+x2=6，x1x2=6．则：|AB|=|x1﹣x2|==2．故选：B【点评】：本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，两点角的距离公式的应用，及相关的运算问题．6．（5分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是（）A． 4 B． 5 C．D．【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：三视图复原的几何体是放倒的直四棱柱，底面是直角梯形，利用三视图的数据直接求解几何体的体积即可【解析】：解：三视图复原的几何体是直三棱柱与三棱锥的组合体，直三棱柱底面是等腰直角三角形，腰长为3，高为3，三棱锥的底面是等腰直角三角形，腰长为3，高为1，所以该几何体任意两个顶点间距离的最大值是=3．故选：D．【点评】：本题考查几何体任意两个顶点间距离的最大值，三视图复原的几何体的形状是解题的关键．7．（5分）将函数图象向左平移个长度单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（）A．B．C．y=cosx D．【考点】：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：根据“左加右减，上加下减”图象变换规律求出函数解析式即可．【解析】：解：将函数图象向左平移个长度单位，得到的函数解析式为：y=cos[（x+）﹣]=cos；再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是：y=cosx．故选：C．【点评】：本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，“左加右减，上加下减”，熟练记忆平移规律是解题的关键，属于基本知识的考查．8．（5分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点B，C分别在x轴和y轴非负半轴上，点A在第一象限，且∠BAC=90°，AB=AC=4，那么O，A两点间距离的（）A．最大值是，最小值是4 B．最大值是8，最小值是4C．最大值是，最小值是2 D．最大值是8，最小值是2【考点】：两点间距离公式的应用．【专题】：计算题；直线与圆．【分析】：设A（x，y），B（b，0），C（0，c），由条件∠BAC=90°，可得x2﹣bx+y2﹣cy=0，又b2+c2=32，可得A的轨迹方程为（x﹣）2+（y﹣）2=8，运用圆的参数方程，结合两角和的正弦公式和正弦函数的值域，即可得到最值．【解析】：解：设A（x，y），B（b，0），C（0，c），则由∠BAC=90°，可得x（x﹣b）+y（y﹣c）=0，即为x2﹣bx+y2﹣cy=0，又|BC|=4，即有b2+c2=32，即有A的轨迹方程为（x﹣）2+（y﹣）2=8，设x=+2cosα，y=+2sinα，（0），则有x2+y2=（b2+c2）+8+2bcosα+2csinα=16+2（bcosα+csinα），令b=4sinθ，c=4cosθ（0），则有x2+y2=16（cosαsinθ+sinαcosθ）=16+16sin（α+θ），当α+θ=时，取得最大值32，即有|AO|最大为4，当α+θ=0时，取得最小值16，即有|AO|最小为4，故选：A．【点评】：本题考查轨迹方程的求法，主要考查圆的参数方程的运用：求最值，同时考查两点的距离公式和正弦函数的最值求法，注意三角函数的公式的灵活运用．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）定积分．【考点】：定积分．【专题】：导数的概念及应用．【分析】：根据定积分的计算法则计算即可．【解析】：解：（x2+sinx）|=故答案为：．【点评】：本题主要考查了定积分的计算，关键是求原函数，属于基础题．10．（5分）已知二项式的展开式中各项二项式系数和是16，则n=4，展开式中的常数项是24．【考点】：二项式系数的性质．【专题】：计算题；二项式定理．【分析】：由题意知：得2n=16，即可求出n；利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0，求出r的值，将r的值代入通项求出常数项．【解析】：解：由题意知：得2n=16，∴n=4；展开式的通项为T r+1=，令4﹣2r=0得r=2∴展开式中的常数项为24故答案为：4，24【点评】：本题考查二项式系数和问题、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．11．（5分）若变量x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值是6．【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解析】：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（2，2）将C（2，2）的坐标代入目标函数z=2x+y，得z=2×2+2=6．即z=2x+y的最大值为6．故答案为：6．【点评】：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，如果函数g （x）=f（x）﹣m（m∈R）恰有4个零点，则m的取值范围是（﹣1，0）．【考点】：根的存在性及根的个数判断．【专题】：计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】：函数g（x）=f（x）﹣m（m∈R）恰有4个零点可化为函数f（x）与y=m恰有4个交点，作函数f（x）与y=m的图象求解．【解析】：解：函数g（x）=f（x）﹣m（m∈R）恰有4个零点可化为函数f（x）与y=m恰有4个交点，作函数f（x）与y=m的图象如下，故m的取值范围是（﹣1，0）；故答案为：（﹣1，0）．【点评】：本题考查了函数的零点与函数图象的交点的关系应用，属于基础题．13．（5分）如图，AB是圆O的直径，CD与圆O相切于点D，AB=8，BC=1，则CD=3；AD=．【考点】：与圆有关的比例线段．【专题】：选作题；立体几何．【分析】：由切割线定理可得CD2=CB•CA，求出CD，再利用余弦定理求出AD．【解析】：解：∵CD与圆O相切于点D，AB=8，BC=1，∴由切割线定理可得CD2=CB•CA=1×9，∴CD=3；连接OD，则OD⊥DC，∴cos∠COD=，∴cos∠AOD=﹣，∴AD==．故答案为：3，．【点评】：本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理，考查余弦定理，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．14．（5分）已知平面上的点集A及点P，在集合A内任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到集合A的距离，记作d（P，A）．如果集合A={（x，y）|x+y=1（0≤x≤1）}，点P的坐标为（2，0），那么d（P，A）=1；如果点集A所表示的图形是边长为2的正三角形及其内部，那么点集D={P|0＜d（P，A）≤1}所表示的图形的面积为6+π．【考点】：两点间距离公式的应用．【专题】：新定义；直线与圆；集合．【分析】：如果集合A={（x，y）|x+y=1（0≤x≤1）}，设Q（x，y），运用两点的距离公式，结合二次函数的最值，即可得到最小值；讨论P的位置，得到点集D={P|0＜d（P，A）≤1}所表示的图形为三个边长分别为2，1的矩形和三个半径为1，圆心角为120度的扇形以及内部，运用面积公式计算即可得到．【解析】：解：如果集合A={（x，y）|x+y=1（0≤x≤1）}，设Q（x，y），点P的坐标为（2，0），则|PQ|====，由于0≤x≤1，即有x=1取得最小值1，那么d（P，A）=1；如果点集A所表示的图形是边长为2的正三角形及其内部，若P在正三角形及其内部，则面积为0，若P∉A，则点集D={P|0＜d（P，A）≤1}所表示的图形为三个边长分别为2，1的矩形和三个半径为1，圆心角为120度的扇形以及内部，即有面积为3×2×1+3×π=6+π，故答案为：1，6+π．【点评】：本题考查新定义：点P到集合A的距离的理解和运用，考查集合的含义和运算能力，属于中档题．二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的最大值和最小值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的单调性．【专题】：常规题型；三角函数的图像与性质．【分析】：先利用倍角公式及两角和的正弦公式将函数f（x）化成标准形式，然后利用周期公式求出ω的值，根据正弦函数的最值求出函数f（x）的最大值和最小值；根据正弦函数的单调区间求出函数f（x）的单调区间．【解析】：解：（Ⅰ）f（x）=cos2+sin﹣===sin（）．因为T=，ω＞0，所以ω=2．因为f（x）=sin（2x+），x∈R，所以．所以函数f（x）的最大值为1，最小值为﹣1．（Ⅱ）令2kπ，k∈Z，得2k，k∈Z，所以k，k∈Z．所以函数f（x）的单调递增区间为[，k∈Z．【点评】：本题考查了三解函数式的化简及三角函数的图象与性质，解决这类问题的关键是把三角函数式利用三角公式化成标准形式．16．（13分）（xx•高密市模拟）甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召，决定各购置一辆纯电动汽车．经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车，按续驶里程数R（单位：公里）可分为三类车型，A：80≤R＜150，B：150≤R＜250，C：R≥250．甲从A，B，C三类车型中挑选，乙从B，C两类车型中挑选，甲、乙二人选择各类车型的概率如下表：若甲、乙都选C类车型的概率为．（Ⅰ）求p，q的值；（Ⅱ）求甲、乙选择不同车型的概率；（Ⅲ）某市对购买纯电动汽车进行补贴，补贴标准如下表：记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和为X，求X的分布列．【考点】：离散型随机变量及其分布列；概率的应用．【专题】：概率与统计．【分析】：（Ⅰ）利用已知条件列出方程组，即可求解p，q的值．（Ⅱ）设“甲、乙选择不同车型”为事件A，分情况直接求解甲、乙选择不同车型的概率．（Ⅲ）X 可能取值为7，8，9，10．分别求解概率，即可得到分布列．【解析】：解：（Ⅰ）由题意可得解得，．…（4分）（Ⅱ）设“甲、乙选择不同车型”为事件A，分三种情况，甲选车型A，甲选车型B，甲选车型C，满足题意的概率为：P（A）=．答：所以甲、乙选择不同车型的概率是．…（7分）（Ⅲ）X 可能取值为7，8，9，10．P（X=7）==，P（X=8）==，P（X=9）==；P（X=10）==．所以X的分布列为：…（13分）【点评】：本题考查离散型随机变量的分布列的求法，概率的应用，考查分析问题解决问题的能力．17．（14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，AB=PA=4，BE=2．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD；（Ⅱ）求PD与平面PCE所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF⊥平面PCE？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由．【考点】：点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．【专题】：探究型；空间位置关系与距离．【分析】：（Ⅰ）设PA中点为G，连结EG，DG，可证四边形BEGA为平行四边形，又正方形ABCD，可证四边形CDGE为平行四边形，得CE∥DG，由DG⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，即证明CE∥平面PAD．（Ⅱ）如图建立空间坐标系，设平面PCE的一个法向量为=（x，y，z），由，令x=1，则可得=（1，1，2），设PD与平面PCE所成角为a，由向量的夹角公式即可得解．（Ⅲ）设平面DEF的一个法向量为=（x，y，z），由，可得，由•=0，可解a，然后求得的值．【解析】：（本小题共14分）解：（Ⅰ）设PA中点为G，连结EG，DG．因为PA∥BE，且PA=4，BE=2，所以BE∥AG且BE=AG，所以四边形BEGA为平行四边形．所以EG∥AB，且EG=AB．因为正方形ABCD，所以CD∥AB，CD=AB，所以EG∥CD，且EG=CD．所以四边形CDGE为平行四边形．所以CE∥DG．因为DG⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，所以CE∥平面PAD．…（4分）（Ⅱ）如图建立空间坐标系，则B（4，0，0），C（4，4，0），E（4，0，2），P（0，0，4），D（0，4，0），所以=（4，4，﹣4），=（4，0，﹣2），=（0，4，﹣4）．设平面PCE的一个法向量为=（x，y，z），所以，可得．令x=1，则，所以=（1，1，2）．设PD与平面PCE所成角为a，则sinα=|cos＜，＞|=|=||=．．所以PD与平面PCE所成角的正弦值是．…（9分）（Ⅲ）依题意，可设F（a，0，0），则，=（4，﹣4，2）．设平面DEF的一个法向量为=（x，y，z），则．令x=2，则，所以=（2，，a﹣4）．因为平面DEF⊥平面PCE，所以•=0，即2++2a﹣8=0，所以a=＜4，点．所以．…（14分）【点评】：本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角，点、线、面间的距离计算，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．18．（13分）设函数f（x）=e x﹣ax，x∈R．（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：f（x）＞0；（Ⅲ）当a＞1时，求函数f（x）在[0，a]上的最大值．【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】：函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）求出当a=2时的f（x），求出导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；（Ⅱ）求出导数，求得单调区间，极小值也为最小值，判断它大于0，即可得证；（Ⅲ）求出导数，令导数为0，可得极值点x=lna，比较a与lna的大小，再求得f（0），f（a）作差比较，即可得到最大值．【解析】：解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=e x﹣2x，f（0）=1，f′（x）=e x﹣2，即有f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为f′（0）=e0﹣2=﹣1，即有f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣1=﹣（x﹣0），即为x+y﹣1=0；（Ⅱ）证明：f′（x）=e x﹣2，令f′（x）=0，解得x=ln2，当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）递减，当x＞n2时，f′（x）＞0，f（x）递增．即有x=ln2处f（x）取得极小值，也为最小值，且为e ln2﹣2ln2=2﹣2ln2＞0，即有f（x）＞0；（Ⅲ）由于f（x）=e x﹣ax，f′（x）=e x﹣a，令f′（x）=0，解得x=lna＞0，当a＞1，令M（a）=a﹣lna，M′（a）=1﹣=＞0，M（a）在（1，+∞）递增，又M（1）=1﹣ln1=0，M（a）=a﹣lna＞0，即有a＞1，a＞lna，当0＜x＜lna时，f′（x）＜0，f（x）递减，lna＜x＜a时，f′（x）＞0，f（x）递增．即有x=lna处f（x）取得最小值；f（0）=e0﹣0=1，f（a）=e a﹣a2，令h（a）=f（a）﹣f（0）=e a﹣a2﹣1，a＞1时，h′（a）=e a﹣2a＞0，h（1）=e﹣1﹣1=e﹣2＞0，h（a）=e a﹣a2﹣1＞0，当a＞1时，f（a）＞f（0），则有当a＞1时，f（x）在[0，a]上的最大值为f（a）=e a﹣a2．【点评】：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，同时考查构造函数运用导数判断单调性，进而判断大小，考查运算化简能力，属于中档题．19．（14分）已知椭圆C：的离心率为，右顶点A是抛物线y2=8x的焦点．直线l：y=k（x﹣1）与椭圆C相交于P，Q两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如果，点M关于直线l的对称点N在y轴上，求k的值．【考点】：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（Ⅰ）确定椭圆的几何量，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l：y=k（x﹣1）与椭圆C联立，确定M的坐标，进一步可得MN中点坐标，由于M，N关于直线l对称，所以M，N所在直线与直线l垂直，即可求k的值．【解析】：解：（Ⅰ）抛物线y2=8x，所以焦点坐标为（2，0），即A（2，0），所以a=2．又因为e==，所以c=．所以b=1，所以椭圆C的方程为．…（4分）（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），因为，所以=（x1+x2﹣4，y1+y2），所以M（x1+x2﹣2，y1+y2）．由直线l：y=k（x﹣1）与椭圆C联立，得（4k2+1）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0，得x1+x2﹣2=﹣，y1+y2=，即M（﹣，）．设N（0，y3），则MN中点坐标为（﹣，），因为M，N关于直线l对称，所以MN的中点在直线l上，所以=k（﹣﹣1），解得y3=﹣2k，即N（0，﹣2k）．由于M，N关于直线l对称，所以M，N所在直线与直线l垂直，所以，解得k=±．…（14分）【点评】：本题考查抛物线的几何性质，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．20．（13分）如果数列A：a1，a2，…，a m（m∈Z，且m≥3），满足：①a i∈Z，（i=1，2，…，m）；②a1+a2+…+a m=1，那么称数列A为“Ω”数列．（Ⅰ）已知数列M：﹣2，1，3，﹣1；数列N：0，1，0，﹣1，1．试判断数列M，N是否为“Ω”数列；（Ⅱ）是否存在一个等差数列是“Ω”数列？请证明你的结论；（Ⅲ）如果数列A是“Ω”数列，求证：数列A中必定存在若干项之和为0．【考点】：数列的应用．【专题】：新定义；探究型；等差数列与等比数列．【分析】：（Ⅰ）根据定义直接判断即可得解．（Ⅱ）假设存在等差数列是“Ω”数列，由a1+a2+…+a m=1，得a1+am=∉Z，与a i∈Z矛盾，从而可证不存在等差数列为“Ω”数列．（Ⅲ）将数列A按以下方法重新排列：设S n为重新排列后所得数列的前n项和（n∈Z且1≤n≤m），任取大于0的一项作为第一项，则满足﹣+1≤S1≤，然后利用反证法，证明即可．【解析】：（本小题共13分）解：（Ⅰ）数列M不是“Ω”数列；数列N是“Ω”数列．…（2分）（Ⅱ）不存在一个等差数列是“Ω”数列．证明：假设存在等差数列是“Ω”数列，则由a1+a2+…+a m=1 得a1+am=∉Z，与a i∈Z矛盾，所以假设不成立，即不存在等差数列为“Ω”数列．…（7分）（Ⅲ）将数列A按以下方法重新排列：设S n为重新排列后所得数列的前n项和（n∈Z且1≤n≤m），任取大于0的一项作为第一项，则满足﹣+1≤S1≤，假设当2≤n≤m时，若S n﹣1=0，则任取大于0的一项作为第n项，可以保证﹣+1≤S n≤，若S n﹣1≠0，则剩下的项必有0或与S n﹣1异号的一项，否则总和不是1，所以取0或与S n﹣1异号的一项作为第n项，可以保证﹣+1≤S n≤．如果按上述排列后存在S n=0成立，那么命题得证；否则S1，S2，…，S m这m个整数只能取值区间[﹣+1，]内的非0整数，因为区间[﹣+1，]内的非0整数至多m﹣1个，所以必存在S i=S j（1≤i＜j≤m），那么从第i+1项到第j项之和为S i﹣S j=0，命题得证．综上所述，数列A中必存在若干项之和为0．…（13分）【点评】：本题主要考查了新定义和数列的应用，解答新定义的试题的关键是把题目中的定义转化已经学过的知识进行解决，属于中档题．u•L34253 85CD 藍25939 6553 敓26216 6668 晨H8&24430 5F6E 彮aj35593 8B09 謉22644 5874 塴y。
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2021届宁夏固原市一中高三下学期3月一模考试
数学（理）试卷
★祝考试顺利★
(含答案)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合{}{}2|2,,|,x A y y x B y y x x ==∈==∈R R ,则( )
A.A B ⊆
B.A B ⊇
C.A B =
D.A B ⋂=∅
2.已知复数21z i
=-,则||z 等于（ ）
A.1
B.2
C.2
D.3.已知命题:0,ln(1)0p x x ∀>+>；命题q ：若a b >，则22a b >，下列命题为真命题的是( )
A.p q ∧
B.q p ∧⌝)(
C.)(q p ⌝∧
D.)()q p ⌝∧⌝（ 4.已知4
tan(π)3α+=，则cos2α=( )
A ． 725
B ．725-
C ．3
5 D ．1
5
- 5.已知a b ，
是非零向量且满足(2)(2)a b a b a b -⊥-⊥，，则a 与b 的夹角是( ) A.6π
B.3π
C.23π
D.56
π 6.已知直线20x y +-=经过拋物线2y mx =的焦点，则 m =（ ）
A.116
B.1
2 C.1
4 D.1
8
7.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“困盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积2136V L h ≈
的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式23112V L h ≈
相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为( ) A.227 B.15750 C.289 D.337115
8.已知函数2()121
x f x =-+，且()41(3)x f f ->，则实数x 的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞ B ．(,2)-∞ C ．(1,)+∞ D ．(,1)-∞
9.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,点M 是棱1CC 的中点,点,,,A B D M 都在球O 的球面上,则
球O 的表面积为( ) A.3
π2 B.3π C.9
π4 D.9π
10.已知等差数列{}n a 的公差不为0，{}n a 中的部分项123......n
k k k k a a a a ，，，成等比数列.若1231949k k k ===，，，则2019k =（ ）
A. 2018251⨯-
B. 2019251⨯-
C. 2020251⨯-
D. 2021251⨯-
11.已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点，过点1F 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于,A B 两点.若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线C 的离心率为( )
C.2
D.3。