高中数学知识点练兵检测试题22

第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1． 复数iiz -+=23的虚部为 A ．1 B ．1- C ． i D ． i - 2． ︒15sin ︒+165cos 的值为A ．22 B ．22- C ．26 D ． 26- 3． 已知等差数列{}n a 满足32=a ，)3( 513>=--n S S n n ，100=n S ，则n 的值为A ．8B ．9C ．10D ．11 4． 在ABC ∆中，AD 为BC4===，=A ．3B ．2 C ．6 D ．3 5．A ．21B ．1C ．23D ．26． 已知命题P A ．P ⌝：有的三角形不是等边三角形B ．P ⌝：有的三角形是不等边三角形C ．P ⌝：所有的三角形都是等边三角形D ．P ⌝：所有的三角形都不是等边三角形侧视俯视7． 阅读右面的程序框图，若输入6,5==q p ，则输出i a ,的值分别为 A ．1,5==i a B ．2,5==i a C ．3,15==i a D ．6,30==i a 8． 函数x xx f 21log 2cos3)(-=π的零点的个数是A ．2B ．3C ．4D ．59． 某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD （边长为3个单位）的顶点A 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i （6,2,1 =i ），则棋子就按逆时针方向行走i 个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到 点A 处的所有不同走法共有A ．22种B ．24种C ．25种D ．36种10．设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥1y x y x y 表示的平面区域为A ，不等式b ax y +≥2（0<b ，b 为常数）表示的平面区域为B ，),(y x P 为平面上任意一点，p ：点),(y x P 在区域A 内，q ：点),(y x P 在区域B 内，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是A BC DA ．b a -<≤10B ．b a -≤<10C ．b a -≤≤10D ．b a -≤111．已知二面角βα--l 的平面角为θ，点P 在二面角内，α⊥PA ，β⊥PB ，B A ,为垂足，且,5,4==PB PA 设B A ,到棱l 的距离分别为y x ,，当θ变化时，点),(y x 的轨迹方程是A ．)0(922≥=-x y xB ．)0,0(922≥≥=-y x y xC ．)0(922≥=-y x yD ．)0,0(922≥≥=-y x x y 12． 已知抛物线)0(22>=p px y ，F 为其焦点，l 为其准线，过F 任作一条直线交抛物线于A 、B 两点，A '、B '分别为A 、B 在l 上的射影，M 为B A ''的中点，给出下列命题： ①F B F A '⊥'； ②BM AM ⊥； ③F A '∥BM ；④F A '与AM 的交点在y 轴上； ⑤B A '与B A '交于原点． 其中真命题的个数为A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题后的横线上．）13. 某市有三类医院，甲类医院有4000病人，乙类医院有2000病人，丙类医院有3000病人，为调查三类医院的服务态度，利用分层抽样的方法抽取900人进行调查，则从乙类医院抽取的人数为_____________人．14. 已知三棱锥ABC O -，︒=∠90BOC ，⊥OA 平面BOC ，其中,13,10==BC AB 5=AC ，C B A O ,,,四点均在球S 的表面上，则球S 的表面积为____________．15. 已知集合}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x M 表示的区域为A ，集合}10,10,),{(2≤≤≤≤≤=y x x y y x N 表示的区域为B ，向区域A 内随机抛掷一粒豆子，则豆子落在区域B 内的概率为___________．16. 若)()()(x g b ax x h x f ≥+=≥，则定义)(x h 为曲线)(),(x g x f 的ψ线．已知)2,0[,tan )(π∈=x x x f ，)2,0[,sin )(π∈=x x x g ，则)(),(x g x f 的ψ线为________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）已知函数43)3cos(sin 3)(++=πx x x f ．(Ⅰ) 求函数)(x f 的单调递增区间；(Ⅱ) 已知A BC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，若0)(=A f ，2,3==b a ，求ABC ∆的面积S ．18．（本小题满分12分）已知三棱柱111C B A ABC -，底面三角形ABC 为正三角形，侧棱11AA ⊥底面ABC ，4,21==AA AB ，E 为1AA 的中点，F 为BC 中点． (Ⅰ) 求证：直线//AF 平面1BEC ；（Ⅱ）求平面1BEC 和平面ABC 所成的锐二面角的余弦值．19． （本小题满分12分）改革开放以来，我国高等教育事业有了突飞猛进的发展，有人记录了某村2001 到2010年十年间每年考入大学的人数.为方便计算，2001年编号为1，2002年编号为2，…，2010年编号为10.数据如下:（Ⅰ）从这10年中随机抽取两年，求考入大学人数至少有1年多于15人的概率；年份人数(y) 12 3 456789103 5811 13 14 122 30 31（Ⅱ）根据前5年的数据，利用最小二乘法求出y 关于x 的回归方程a x by ˆˆ+=，并计算第8年的估计值和实际值之间的差的绝对值．20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x ，21,F F 分别为左，右焦点，离心率为21，点A 在椭圆C 2=F AF 122⋅-= ，过2F 与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆于Q P ,两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）在线段2OF 上是否存在点)0,(m M ,使得以线段MQ MP ,为邻边的四边形是菱形？若存在,求出实数m 的取值范围；若不存在，说明理由．21.（本小题满分12分）已知函数x a ax x x f ln 22)(2--=（0>x ，R a ∈），212ln )(22++=a x x g ．（Ⅰ）证明：当0>a 时，对于任意不相等的两个正实数1x 、2x ，均有)2(2)()(2121x x f x f x f +>+成立； （Ⅱ）记2)()()(x g x f x h +=，（ⅰ）若)(x h y '=在[)+∞,1上单调递增，求实数a 的取值范围； （ⅱ）证明：21)(≥x h .请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且,,CB CA OB OA ==⊙O 交直线OB 于E ，D ，连接CD EC ,． （Ⅰ）求证：直线AB 是⊙O 的切线；（Ⅱ）若,21tan =∠CED ⊙O 的半径为3，求OA 的长．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，圆锥曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 3cos 2y x （θ为参数），定点)3,0(-A ，21,F F 是圆锥曲线C 的左，右焦点．ACB（Ⅰ）以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点1F 且平行于直线2AF 的直线l 的极坐标方程；（Ⅱ）在（I ）的条件下，设直线l 与圆锥曲线C 交于F E ,两点，求弦EF 的长．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数212)(--+=x x x f ． （Ⅰ）求不等式2)(>x f 的解集； （Ⅱ）若R x ∈∀，t t x f 211)(2-≥恒成立，求实数t 的取值范围．参考答案一、选择题：（每小题5分，共计60分）二、填空题：（每小题5分，共计20分）13. 200 14. π14 15. 3116.x y =三、解答题：17．（本小题满分12分） （Ⅰ）43)3sin sin 3cos (cos sin 3)(+-=ππx x x x f 43sin 23cos sin 232+-=x x x x x 2cos 432sin 43+=)32sin(23π+=x ……………………………………………… 3分 令Z k k x k ∈+≤+≤-,223222πππππ，得Z k k x k ∈+≤≤-,12125ππππ， 所以函数)(x f 的单调递增区间为Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,12,125ππππ…… 6分（Ⅱ） 0)(=A f ，0)32sin(23=+∴πA ，解得3π=A 或65π=A ， 又b a <，故3π=A (8)分由B b A a sin sin =，得1sin =B ，则2π=B ,6π=C ,………… 10分所以23sin 21==C ab S ．……………………………………12分18．（本小题满分12分）法一（Ⅰ）取1BC 的中点为R ，连接RF RE ,，则1//CC RF ，1//CC AE ，且RF AE =，…………………………3分则四边形AFRE 为平行四边形，则RE AF //，即//AF 平面1REC ．………………………………6分（Ⅱ）延长E C 1交CA 延长线于点Q ，连接QB ， 则QB 即为平面1BEC 与平面ABC 的交线， 且BQ B C BQ BC ⊥⊥1,，则BC C 1∠为平面1BEC 和平面ABC 所成的锐二面角的平面角．……8分在1BCC ∆中，55522cos 1==∠BC C ．…………………………12分法二 取11C B 中点为S ，连接FS ，以点F 为坐标原点，FA 为x 轴，FB 为y 轴，FS 为z 轴建立空间直角坐标系，则)0,1,0(),0,0,0(),0,1,0(),0,0,3(-C F B A ，)2,0,3(),4,1,0(),4,1,0(),4,0,3(11E C B A -，……………………2分（Ⅰ）则)0,0,3(-=AF ，)4,2,0(),2,1,3(1-=-=BC BE ， 设平面1BEC 的法向量为),,(111z y x m =， 则0,01=⋅=⋅BC ，即⎩⎨⎧=+-=+-04202311111z y z y x (4)分令21=y ，则1,011==z x ，即)1,2,0(=，所以0=⋅， 故直线//AF 平面1BE C．………………………………………………6分 （Ⅱ）设平面ABC 的法向量)1,0,0(=n ，则55cos ==θ．………………………………………………12分 19．（本小题满分12分）（Ⅰ）设考入大学人数至少有1年多于15人的事件为A 则321)(21026=-=C C A P ;……………………………………………4分（Ⅱ）由已知数据得8,3==y x ，1466544241031=++++=∑=ni i i y x ，55251694112=++++=∑=ni ix，………………………………7分 则6.29555835146ˆ=⨯-⨯⨯-=b，2.036.28ˆ=⨯-=a，……………9分 则回归方程为2.06.2+=x y ，……………………………………10分则第8年的估计值和真实值之间的差的绝对值为1222.086.2=-+⨯．……12分20．（本小题满分12分）解：（1）由已知21=e ，所以a c =22=22-=a 又因为AF AF 122⋅-=，所以21co s 21=∠AF F ，--------------------------------2分由余弦定理204421)22(22)22(4222=⇒=+-⇒⨯-⨯--+=a a a a a a ，----4分 所以1=c ，3222=-=c a b ，所以椭圆方程为13422=+y x ．-------------------------------5分 （2）假设存在点)0,(m M 满足条件，设),(11y x P ，),(22y x Q ，直线l 的方程为)1(-=x k y ， 联立：01248)43(1243)1(222222=-+-+⇒⎩⎨⎧=+-=k x k x k y x x k y ，则2221222143124438k k x x k k x x +-=+=+，----------------------------------------------------------------------------7分),,(11y m x MP -=),,(22y m x MQ -=),,(1212y y x x PQ --= ),,2(1212y y m x x MQ MP +-+=+由题知0))(())(2()(12121212=-++--+=⋅+y y y y x x m x x ， 因为012≠-x x ，所以0)(21212=++-+y y k m x x ，即0)2(212212=-++-+x x k m x x ，则0)2438(243822222=-++-+kk k m k k ， 所以2243k k m +=，---------------------------------------------------------------------10分41004132<<⇒>-=m m m k ，又)0,(m M 在线段2OF 上，则10<<m ， 故存在)41,0(∈m 满足题意．-----------------12分21．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：)ln()(22)()(2121222121x x a x x a x x x f x f -+-+=+ ，22121221212ln )(2)2(⎪⎭⎫⎝⎛+-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x x a x x a x x x x f ，()04222212212221>-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+x x x x x x ，则221222122⎪⎭⎫⎝⎛+>+x x x x ① 0,2ln )ln(22121<-⎪⎭⎫ ⎝⎛+<a x x x x ，则221212ln )ln(⎪⎭⎫⎝⎛+->-x x a x x a ，② 由①②知⎪⎭⎫⎝⎛+>+22)()(2121x x f x f x f ．………………………………3分 （Ⅱ）（ⅰ）()()[]41ln 21)(22+-+-=a x a x x h ， a x xx a x x h -+-='ln )(， 令a xxx a x x F -+-=ln )(，则)(x F y =在[)+∞,1上单调递增． 221ln )(xa x x x F ++-='，则当1≥x 时，01ln 2≥++-a x x 恒成立， 即当1≥x 时，1ln 2-+-≥x x a 恒成立． …………………………… 5分令1ln )(2-+-=x x x G ，则当1≥x 时，021)(2<-='xx x G ， 故1ln )(2-+-=x x x G 在[)+∞,1上单调递减，从而2)1()(max -==G x G ， 故2)(max -=≥x G a ．……………………………………………………７分 （ⅱ）法一：()()[]41ln 21)(22+-+-=a x a x x h ， 令()()22ln )(a x a x x H -+-=，则)(x H 表示x y ln =上一点()x x ln ,与直线x y =上一点()a a ,距离的平方．… 8分令x x x M ln 1)(--=，则xx M 11)(-='，可得)(x M y =在(]1,0上单调递减，在[)+∞,1上单调递增，故0)1()(min ==M x M ，则x x x ln 1≥->，…………………………………… 10分直线1-=x y 与x y ln =的图象相切与点)0,1(， 点)0,1(到直线x y =的距离为22， 则()()2122ln )(222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-+-=a x a x x H ， 故21412121)(=+⨯≥x h ．……………………………………………………12分 法二：()()[]()412ln ln 41ln 21)(22222++++-=+-+-=x x a x x a a x a x x h ，令()2ln ln )(222x x a x x a a P +++-=，则()4ln )(2x x a P -≥．………………8分令x x x Q ln )(-=，则xx xx Q 111)(-=-='，显然)(x Q 在()1,0上单调递减，在()+∞,1上单调递增，………………………………………………………………………………10分则1)1()(min ==Q x Q ，则41)(≥a P ，故214141)(=+≥x h ．…………………12分22．（本小题满分10分）证明：（1）如图，连接AB OC CB CA OB OA OC ⊥∴==,,,OC 是圆的半径， AB ∴是圆的切线．-------------------------------3分（2）ED 是直径，︒︒=∠+∠∴=∠∴90,90EDC E ECD又EBC CBD E BCD ODC OCD OCD BCD ∠=∠∠=∠∴∠=∠=∠+∠︒又,,,90，BCD ∆∴∽BEC ∆，BE BD BC BCBDBE BC ⋅=⇒=∴2，-----------5分 21tan ==∠EC CD CED ， BCD ∆∽BEC ∆，21==EC CD BC BD -----------------------7分设,2,x BC x BD ==则2)6()2(22=∴+=∴⋅=BD x x x BE BD BC --------9分532=+=+==∴OD BD OB OA ．------------------------10分23．（本小题满分10分）解：（1）圆锥曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 3cos 2y x （θ为参数），所以普通方程为C：13422=+y x ----------------------------------------------2分 )1(3:,3)0,1(),0,1(),3,0(12+==∴--x y l k F F A∴直线l极坐标方程为：3)3sin(23cos 3sin =-⇒+=πθρθρθρ---5分（2）⎩⎨⎧085)1(3134222=+⇒+==+x x x y y x ，5164)(1212212=-++=x x x x k MN ---------------------------------------------------10分24．（本小题满分10分）解：（1）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+<≤---<--=2,3221,1321,3)(x x x x x x x f ，----------------------------------------------------------2分 当5,5,23,21-<∴-<>---<x x x x 当21,1,213,221<<∴>>-<≤-x x x x 当2,1,23,2≥∴->>+≥x x x x综上所述 {}51|-<>x x x 或 ．----------------------5分 （2）易得25)(min -=x f ，若R x ∈∀，t t x f 211)(2-≥恒成立， 则只需5210511221125)(22min≤≤⇒≤+-⇒-≥-=t t t t t x f ， 综上所述521≤≤t ．------------------------------10分。