01 第一节 多元函数的基本概念
高等数学中的多元函数的基础概念详解
高等数学中的多元函数的基础概念详解在高等数学中，多元函数是一种非常重要的概念。
它是研究多变量之间关系的数学工具，广泛应用于自然科学、工程技术和经济管理等领域。
本文将从多元函数的定义、连续性、导数、微分、偏导数和泰勒展开等方面进行详细的讲解。
一、多元函数的定义多元函数是指在数学上，将多个自变量与一个或多个因变量联系起来的一种函数。
通常表示为$f(x_1,x_2,\dots,x_n)=y$，表示存在一种从输入向输出的映射关系。
例如，$f(x,y)=x^2+y^2$就是一个简单的多元函数，它将平面上的点$(x,y)$映射到一个实数值$z=x^2+y^2$上。
多元函数的定义域和值域分别是自变量的取值范围和因变量的取值范围。
二、多元函数的连续性多元函数的连续性是指当自变量发生微小变化时，函数值的变化也应该非常微小。
具体来说，如果在多元函数$f(x_1,x_2,\dots,x_n)$的某一点$(a_1,a_2,\dots,a_n)$附近，对于任意的$\epsilon>0$，都存在一个$\delta>0$，使得当$(x_1,x_2,\dots,x_n)$满足$|x_i-a_i|<\delta$时，有$|f(x_1,x_2,\dots,x_n)-f(a_1,a_2,\dots,a_n)|<\epsilon$，那么就称$f(x_1,x_2,\dots,x_n)$在点$(a_1,a_2,\dots,a_n)$处连续。
这与一元函数的连续性概念是类似的。
三、多元函数的导数多元函数的导数在概念上和一元函数的导数是类似的，它描述的是函数在某一点上的变化率。
但是多元函数的导数有一些特殊的性质，如方向导数、梯度等。
在二元函数的情况下，如果函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处可导，则有：$$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}$$$$\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0,y_0+h)-f(x_0,y_0)}{h}$$这两个导数称为函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处的偏导数。
多元函数的基本概念
多元函数的基本概念
一、多元函数的基本概念
多元函数是一种把多个变量结合起来的函数。
它的定义由一个有限个变量的有限个自变量组成，而这些变量所表达的函数又是满足某种关系式的。
多元函数由以下三个特征来定义：
1. 自变量个数：多元函数可以由一个自变量，也可以由多个自变量组成，而多元函数的具体形式由自变量个数决定。
2. 函数形式：多元函数可以是一元函数、二元函数、三元函数、四元函数和多元函数。
3. 变量关系：多元函数的定义就是根据一定的关系式，把多个自变量结合起来构成的函数。
二、多元函数的性质
多元函数的性质也就是函数的一些性质，这些性质对于函数的理解和应用都非常重要，在学习多元函数时，一定要掌握这些性质。
性质1：多元函数可以变换形式，但其多项式整体的幂次不变。
性质2：多元函数可以拆开成多个小函数，但总体的变量不变。
性质3：多元函数可以进行拟合，但只能用更加简单的函数拟合更加复杂的函数。
性质4：多元函数的单调性与函数的极值分布有关，函数的极值也是多元函数的最重要的一种性质。
三、多元函数的应用
多元函数在工程和科学中都有着广泛的应用，比如在机器学习、机器人控制学、信号处理、经济学、生物学等领域中都有着广泛的应用，以及在财务和统计学中的应用，例如多元回归分析，协方差分析等。
此外，多元函数也在计算机科学中有实际的应用，比如在计算机图形学中，可以用多元函数来描述三维空间中的形体，在模拟技术中，也可以用多元函数来模拟真实的系统。
第1节多元函数的基本概念
的示 . 意图
y
解 要使函数有意义须满足
1x2y20, 即 x2y21,
所以函数的定义域为
x
D {(x,y) x2y21}.有界闭区域
2.二元函数的定义域
例2 求 函 z数 lny(x) xy 的 定D 义 . 域 x2y21
解 要使函数有意义须满足
y
y x0
二. 多元函数的概念
注意 (1) 多元函数也有单值函数和多值函数，如
x2y2z2a2
在讨论过程中通常将其拆成几个单值函数后 再分别加以讨论.
(2) 多元函数也有分段函数，如
xy f(x,y)x2y2
0
x2y20 x2y20
(3) 点函数u=f(P)能表示所有的函数.
(4) 函数有加减乘除数乘及复合运算(略)
确定空间一点 M(x,y,z),当(x, y) 取遍
D上的一切点时, 得到空间点集
z
M(x, y,z)
{x ,(y ,z)zf(x ,y )(x ,,y ) D }
这个点集称为二元函数的图形.
该几何图形通常是一张曲面.
而定义域 D 正是这曲面在Oxy 平面上的投影.
D (x, y) y
x
3.二元函数的几何图形
xy
0
x
2
y2
1
0
函数的定义域为
D {(x ,y )y x 0 ,x 0 y ,x 2 y 2 1 }
yx
x
无界开区域
2.二元函数的定义域 例3 求 zarcxs2 in y2 x2y21的 定. 义
4
解 要使函数有意义,必须
x2 4
多元函数基本概念
多元函数基本概念多元函数是数学中常见的概念，它与一元函数相比具有更加复杂的性质和表达方式。
在本文中，将介绍多元函数的基本概念，包括定义域、值域、级数、偏导数以及极值等。
一、定义域和值域在讨论多元函数之前，我们首先需要明确定义域和值域的概念。
对于一个多元函数，其定义域是指所有自变量可以取值的集合，通常用D表示。
而值域则是函数在定义域上所有可能取到的函数值的集合，通常用R表示。
例如，考虑一个二元函数f(x, y)，其定义域可以是实数集合R，而值域也可以是实数集合R。
二、偏导数偏导数是多元函数的一种导数形式，用于描述函数在某个给定自变量上的变化率。
对于一个具有多个自变量的函数f(x1, x2, ..., xn)，其关于第i个自变量的偏导数表示为∂f/∂xi。
偏导数的计算方法与一元函数的导数类似，只需将其他自变量视为常数，对目标自变量求导即可。
需要注意的是，对于每个自变量，都要分别计算其对应的偏导数。
三、级数多元函数的级数是指将多个单变量函数按照一定方式组合而成的函数序列。
常见的多元函数级数有泰勒级数和傅里叶级数等。
泰勒级数是指将一个多元函数在某个点附近展开成幂级数的形式。
通过选择适当的展开点和级数项，可以将函数在该点附近近似表示。
泰勒级数在数学和物理学中有广泛的应用，特别是用于函数的近似计算和数据拟合等方面。
傅里叶级数是指将一个局部有界的周期函数分解成一组正弦和余弦函数的级数。
通过傅里叶级数的展开，可以将周期函数在全局范围内表示，并进行频谱分析和信号处理等操作。
四、极值多元函数的极值是指函数在定义域上取得的最大值或最小值。
与一元函数不同的是，多元函数的极值可能在某些特定点取得，也可能在边界或无穷远处取得。
求解多元函数的极值通常需要使用极值判定条件。
常见的方法有利用偏导数等于零来确定驻点，然后通过二阶偏导数判定极值类型。
同时，还要考虑定义域的边界条件，以确定是否存在边界极值。
总结在本文中，我们介绍了多元函数的基本概念，包括定义域和值域、偏导数、级数以及极值。
第讲多元函数的概念课件
区域的边界
区域的边界图示
区域与其全部边界点的并集, 称为闭区域.
记为
闭区域
4. 多元函数及其图形
多元函数及其图形
例 长方体体积 V 依赖于其长度 x ，宽度 y 及高 z ：
V xyz
这里 x , y , z 各自独立变化，所以 V 是“自变量” x、y、z 的
例
空间Rn 中, 空集 与全集 Rn 是开集还是闭集? 规定 :空间中的空集与全集既是开集又是闭集.
对空集的规定
3. 区域
若非空集 Rn 为一连通开集, 则称 为Rn 中的区域.
区域是连通开集.
开的
区域 的内点及边界点都是它的聚点.
注意：集合的聚点 不一定属于集合.
的所有边界点构成的集合 称为 的边界，记为 。
利用“点”、“距离” 将邻域概念推广到高维空 间
1. 空间Rn 中邻域的定义
设 X 0 Rn ( n 2, 3, )， 0 为实数，则称集合 U( X0, ) {X | d(X , X0 ) }
为 Rn 中点 X 0 的 邻域，记为 U( X 0 , ) 。
想想:二维、三维空间中点的邻域是什么样子 ?
在 R2 中：Uˆ (X0, ) {(x, y) | 0 (x x0 )2 ( y y0 )2 } 在 R3 中：Uˆ (X0, ) {(x, y, z) | 0 (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 }
去心邻域概念
2. 聚点、开集、闭集、有界集
请点击
(
)
x0
x0
x0
U(x0, ) {x | d(x, x0 ) }
利用“点”、“距离” 将邻域概念推广到高维空 间
多元函数的基本概念
sin xy lim ( x , y )( 0 , 2 ) x 2 sin( x y) (2) lim ( x , y ) ( 0 , 0 ) x 2 y 2
(1)
1 (3) lim ( x y ) sin 2 ( x , y ) ( 0 , 0 ) x y2
二 多元函数的极限
（一）有关概念 （二）多元函数极限的定义
二元函数的图形 对于在z=f(x,y)的定义域内任意取定的点P(x,y)，对应的
函数值为z=f(x,y). 当(x,y)遍取D上的一切点时，得到的空间点集
z
M
{( x, y, z ) | z f ( x, y ), ( x, y ) D}
称为二元函数的图形. 二元函数的图形通常是一张曲面. 二元函数的定义域
0
x2 y (2) f ( x , y ) 4 x y2
当 ( x , y ) (0,0) 时
多元函数的基本概念
一、多元函数的概念
二、多元函数的极限 三、多元函数的连续性
多元函数的基本概念
一、多元函数的概念
二、多元函数的极限 三、多元函数的连续性
三、 多元函数的连续性
（一）多元函数连续性的概念
空间点集
平面点集的有关概念 二维空间：
二元有序实数组(x,y)的全体, 即： {( x , y ) | x R, y R}
记作： R 2或 R R
注 (1) 二维空间的几何意义—坐标平面
(2) 二维空间的元素— P ( x, y ) 坐标平面内的点 平面点集： 二维空间的任一子集, 记作： E R2 注 平面点集E通常是具有某种性质的点的集合, 记作： E={(x,y)|(x,y)具有性质P}
第一节 多元函数的基本概念
第八章 多元函数微分法及其应用大纲要求1．理解多元函数的概念2．了解二元函数的极限和连续的概念3．理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，以及全微分在近似计算中的应用4．理解方向导数和梯度的概念并掌握其计算方法5．掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法；会求隐函数的偏导数6．了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程7．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值的必要条件，了解二元函数极值的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值、最小值并会解决一些简单的应用问题第一节 多元函数的基本概念㈠本课的基本要求理解多元函数的概念，了解二元函数的极限和连续的概念㈡本课的重点、难点多元函数的有关概念为重点、难点是二元函数的极限和连续性的概念㈢教学内容前面我们研究了一元函数（一个自变量的函数）及其微积分。
但在自然科学与工程技术的实际问题中，往往涉及到多个因素之间的关系，这在数学上就表示为一个变量依赖于多个变量的情形，这种关系就相应地导出多元函数的概念。
本章的目的是在一元函数微分学的基础上，讨论多元函数的微分法及其应用。
我们以二元函数为主，但所得到的概念、性质与结论都可以很自然地推广到二元以上的多元函数。
同时，我们还须注意与一元函数微分学中有区别的地方，不要把概念、方法与记号弄混淆。
一．平面点集、n 维空间在讨论一元函数时，一些概念、理论和方法，都是基于1R 中的点集、两点间的距离、区间和邻域等概念。
为了将一元函数微积分推广到多元的情形，首先需要将上述一些概念加以推广，同时还需涉及一些其他概念。
为此我们先引入n 维空间，以便推广到一般的n R 中。
1．平面点集我们知道二元有序实数组),(y x 的全体，即},|),{(2R y x y x R R R ∈=⨯=就表示坐标平面。
（请思考：n 维空间？）坐标平面上具有某种性质P 的点的集合，称为平面点集，记作),(|),{(y x y x E =具有性质P}。
10-1多元函数的基本概念
E-mail: xuxin@
注4. 定义中，当x,y的值取定后，z的取值
就根据f的方程来定。通常情况下，这个值是 唯一的，这时我们称z=f(x,y)为单值函数；
但有时候取值是不唯一的，这时我们称之 为多值函数； 例如 x2 y2 z2 9
(0,0)既是边界点也是聚点；
E-mail: xuxin@
点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E． 例如,
{( x, y) | 0 x2 y2 1}
(0,0) 是聚点但不属于集合．
例如 {( x, y) | x2 y2 1}
边界上的点都是聚点也都属于集合．
所谓多元函数, 直观的说, 就是有多个自变量的 函数. 函数 y 随多个自变量的变化而变化.
圆柱体体积 V = r 2 h
体积 V 随 r, h的变化而变化. 或者说, 任给 一对数(r, h), 就有唯一的一个V与之对应.
E-mail: xuxin@
长方体体积 V = xyz V 随 x, y, z 的变化而变化. 或者说, 任给 一组数(x, y, z), 就有唯一的一个V与之对应.
闭区域 开区域与其边界一起称为闭区域．
例如: E1 {(x, y) x2 y2 7}
注6. 两个二元函数相等
即：f(x,y)=g(x,y)充要条件是定义域相等且对应 法则也必须相等。
注7. 二元函数的几何意义
二元函数的图形是一张曲面，其定义域D正是这 个曲面在xoy面上的投影区域。
（其图形见下页）
E-mail: xuxin@
如 z = ax +by + c , 表平面. z a2 x2 y2表上半球面. z a2 x2 y2表下半球面.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第六章 多元函数微分学在前面几章中，我们讨论的函数都只有一个自变量，这种函数称为一元函数. 但在许多实际问题中，我们往往要考虑多个变量之间的关系，反映到数学上，就是要考虑一个变量（因变量）与另外多个变量（自变量）的相互依赖关系. 由此引入了多元函数以及多元函数的微积分问题. 本章将在一元函数微积分学的基础上，进一步讨论多元函数的微积分学. 讨论中将以二元函数为主要对象，这不仅因为有关的概念和方法大都有比较直观的解释，便于理解，而且这些概念和方法大都能自然推广到二元以上的多元函数.第一节 多元函数的基本概念分布图示★ 空间解析几何简介 ★ 空间直角坐标系 ★ 坐标面与卦限 ★ 点与坐标的对应关系 ★ 空间两点间的距离 ★ 例1 ★ 例2 ★ 曲面及其方程 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5★ 领域 ★ 平面区域的概念 ★ 多元函数的概念 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 二元函数),(y x f z =的图形★ 二元函数的极限 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11★ 二元函数的连续性 ★ 例 12 ★ 二元初等函数 ★ 例 13-14★ 闭区域上连续函数的性质★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题6-1内容提要一、空间解析几何简介二、多元函数的概念定义1 设D 是平面上的一个非空点集，如果对于D 内的任一点),(y x ，按照某种法则f ，都有唯一确定的实数z 与之对应，则称f 是D 上的二元函数，它在),(y x 处的函数值记为),(y x f ，即),(y x f z =，其中x ，y 称为自变量， z 称为因变量. 点集D 称为该函数的定义域，数集}),(),,(|{D y x y x f z z ∈=称为该函数的值域.类似地，可定义三元及三元以上函数. 当2≥n 时, n 元函数统称为多元函数. 二元函数的几何意义三、二元函数的极限定义2 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某一去心邻域内有定义，如果当点),(y x P无限趋于点),(000y x P 时，函数),(y x f 无限趋于一个常数A ，则称A 为函数),(y x f z =当),(y x ),(00y x →时的极限. 记为A y x f y y x x =→→),(lim 00.或 A y x f →),( （),(),(00y x y x →） 也记作A P f P P =→)(lim 0或 A P f →)( )(0P P →二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的性质和运算法则，在此不再详述. 为了区别于一元函数的极限，我们称二元函数的极限为二重极限. 四、二元函数的连续性定义3 设二元函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义，如果),(),(lim 0000y x f y x f y y x x =→→,则称),(y x f z =在点),(00y x 处连续. 如果函数),(y x f z =在点),(00y x 处不连续，则称函数),(y x f z =在),(00y x 处间断.与一元函数类似，二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数. 由x 和y 的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的可用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数. 一切二元初等函数在其定义区域内是连续的. 这里定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域. 利用这个结论，当要求某个二元初等函数在其定义区域内一点的极限时，只要算出函数在该点的函数值即可.特别地，在有界闭区域D 上连续的二元函数也有类似于一元连续函数在闭区间上所满足的定理. 下面我们不加证明地列出这些定理.定理1（最大值和最小值定理） 在有界闭区域D 上的二元连续函数, 在D 上至少取得它的最大值和最小值各一次.定理2（有界性定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数在D 上一定有界.定理3（介值定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数, 若在D 上取得两个不同的函数值, 则它在D 上取得介于这两值之间的任何值至少一次.例题选讲例1 求证以)1,3,4(1M 、)2,1,7(2M 、)3,2,5(3M 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解 ,14)12()31()47(222221=-+-+-=M M ,6)23()12()75(222232=-+-+-=M M ,6)31()23()54(222213=-+-+-=M M,1332M M =M M ∴从而原结论成立.例2 (E01) 设P 在x 轴上, 它到)3,2,0(1P 的距离为到点)1,1,0(2-P 的距离的两倍, 求点P 的坐标.解 因为P 在x 轴上，设P 点坐标为),0,0,(x,113)2(22221+=++=PP x x,21)1(22222+=+-+=PP x x,221PP =PP221122+=+∴x x ,1±=x所求点为.)0,0,1(,)0,0,1(-例3 (E02) 建立球心在点),,(0000z y x M 、半径为R 的球面方程. 解 设),,(z y x M 是球面上任一点，根据题意有,||0R MM=R z z y y x x =-+-+-202020)()()(⇓2202020)()()(Rz z y y x x =-+-+-特别地:球心在原点时方程为 .2222R z y x =++例4 (E03) 方程042222=+-++y x z y x 表示怎样的曲面？ 解 对原方程配方，得 ,5)2()1(222=+++-z y x所以，原方程表示的球心在、)0,2,1(0-M 半径为5=R 的球面方程.例5 (E04) 求与坐标面xOy 距离等于)0(>c c 的平面方程.解 设所求平面上的任意一点为),,,(z y x M 因点M 到xOy 面的距离为,c 故,c z ±=而y x ,可取任意实数.于是所求平面方程为c z =和,c z -=这是与xOy 面平行且距离为c 的平面.注：类似的分析可知，b y a x ±=±=,分别表示与yOz 平面，xOz 平面平行的平面. 特别地，三个坐标面的方程分别为xOy 面：0=z ； yOz 面：0=x ； xOz 面：0=y .例6（E05）某公司的总体成本（以千元计）为)1l n (245),,,(2+-++=w z y x w z y x C ，其中x 是员工工资，y 是原料的开销，z 是广告宣传的开销，w 是机器的开销，求)10,0,3,2(C 。
解 用2替换x ，3替换y ，0替换z ，10替换w ，则)110ln(03425)100,3,2(2+-+⋅+⋅=，C6.29=（千元）。
例7 (E06) 求二元函数222)3arcsin(),(yx y x y x f ---=的定义域.解 ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤--013222y x y x⎩⎨⎧>≤+≤22242y x y x 所求定义域为 }.,42|),{(222y x y x y x D >≤+≤=例8 (E07) 已知函数,),(2222yx y x y x y x f +-=-+ 求),(y x f .解 设,y x u +=,y x v -=则,2v u x +=,2v u y -=故得 ),(v u f 22222222⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=v u v u v u v u ,222vu uv +=即有 .2),(22yx xy y x f +=二元函数的极限例9 (E08) 求极限 2222001sin)(lim yx y x y x ++→→.解 令,22y x u +=则uu yx y x u y x 1sinlim 1sin)(lim 022220→→→=++=0.例10 (E09) 证明 220limyx xy y x +→→ 不存在.证 取k kx y (=为常数),则,1limlim22220220kk xk x kx x yx xy kxy x y x +=+⋅=+=→→→易见题设极限的值随k 的变化而变化,故题设极限不存在.例11 证明 2630limyxy x y x +→→不存在.证 取,3kx y =6263326303limlim xk x kxx yx y x kxy x y x +⋅=+=→→→,12kk +=其值随k 的不同而变化,故极限不存在.二元函数的连续性例12讨论二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(2233y x y x y x y x y x f 在)0,0(处的连续性.解 由),(y x f 表达式的特征，利用极坐标变换：令,sin ,cos θρθρ==y x 则)cos (sin lim ),(lim330)0,0(),(θθρρ+=→→y x f y x ),0,0(0f ==所以函数在)0,0(点处连续.例13 求.1)ln(lim 210⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-→→x y x y y x 解 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-→→21011)01l n (1)l n (lim x yx y y x .1=例14 求.lim10yx yexy x ++→→解 因初等函数yx y e y x f x++=),(在)1,0(处连续，故.2101lim10=++=++→→e yx y e xy x课堂练习1. 设,,22y x x y y x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛- 求).,(y x f2. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(2222422y x y x yx xy y x f 的连续性.。