08.10.29高量

i
α
(i )
Aα
(i )
= ∑∑ ωi a ' | αi a'Fra bibliotek(i )
2
a′
这里|a’>是A的本征矢。由于<α(i)|A|α(i)>是A在态|α(i)> 的期待值，系综平均要对期待值作权重平均，即几 率概念出现两次:一是在态|α(i)>找到A本征态的量子 力学几率，二是|α(i)>在系综的几率权重。
九、系综的时间演化
对 ，若系综不受干扰，则wi不 变，系综的时间演化由态矢|α(i)>的时间演化决定，
这方程形式与Heisenberg运动方程反号。但这并不矛 盾，因ρ不是Heisenberg图象中的动力学观测量。其 实，ρ是由Schrdinger图象中的态矢组成的，而态矢 则是按Schrdinger方程演化的。
幺模矩阵的集合所构成的群称为SU(2)群。 S：特殊，即模为1；U：幺正。 1）封闭性： 2）逆： 2维幺正矩阵构成U(2)群（有4个独立参数）：
SU(2)与SO(3)的关系
虽然SU(2)与SO(3)均表征转动，但非同构，即SU(2) 与SO(3)不是一一对应的。其实，SU(2)与SO(3)的 对应是二对一的，即U(a,b)及U(-a,-b)对应于同一个 SO(3)矩阵。例如在SU(2)中转2π对应于-1，转4π对 应于1，但SO(3)中转2π和4π都对应于1，把U(a,b) 和U(-a,-b)分开看，则可认为SO(3) 与SU(2)局部同 构。
决定，故不能描述自旋无特定方向的体系系综。
二、分数分布
自旋朝向无规的系综可看作由50%|+>和50%|->的粒 子组成，可用布居数(几率权重)w+=0.5和w-=0.5描述 注意：1）系综的分解常常是不唯一的，如上述体系 也可看作由50%|Sx+>和50%|Sx->组成。 2）几率权重( w+，w-)是实数，没有关于不同态的相 对相位的信息，用于描述不同态的非相干混合态。 3）不能混淆w+ (w-)和|c+|2 (|c-|2)， |c+|2 (|c-|2)包含了重 要的相位信息，用于描述态的相干线性叠加，如 ，该相干叠加的结果是Sx+态。 w+、w-所对应的概念与经典几率理论的概念相仿。
五、密度算符
利用一般基求A的系综平均：
对b’或b’’的求和项数是态矢空间的维数，而i的项数则 与混合系统被看作由怎样的纯态混合而成有关。 定义与特定观测量A无关的系综密度算符： 其矩阵表示即密度矩阵的矩阵元为
密度算符包含了所讨论系综的所有物理信息。
观测量的系综平均
由于迹与表象无关，可在任意方便的基中计 算，因而上式是非常有用的。
三、非极化、部分极化和完全极化
SG实验中由炉子出来的Ag原子束是完全随机系综的 例子，原子束被称为是非极化的，自旋无特定方向。 经过SG过滤器后的原子束是纯系综、原子束是极化 的，自旋有特定朝向。 完全随机系统和纯系统是混合系统的两极端例子。如 一混合系统中有70%的态由|α>描述，而30%由|β>描 述，则称为部分极化的。这里|α>和|β>不一定要正交。 例如， |α>是|Sx+>，而|β>是|Sz-> 。 非纯系综必须用分数分布数描述（分布数一般不唯一， 但要满足描述系综总体性质的要求）
ρ= + + + =2 2 0 2 = Ι 1 2 2
[S]=0
4）由75%|Sz+>与25%|Sx+>组成的部分极化系综
1 3 1 0 1 2 ρ= 0 0 + 4 1 4 2 1 7 2 = 8 1 1 2 8 1 8 1 8
容易求得：[ S ] = , S = 0, [ S ] = 3 x y z 8 8 注：给定ρ，其对纯系综的分解可以是多样化的。
在ρ本征态为基矢时
十二、熵
≤ 1 ，σ是半正定的（σ≥0）。 由于 对完全随机系综
ding
0 ≤ ρ kk
对纯系综，σ =0 可见σ可作为体系无序度的定量表征：纯系综完全有 序，既无序度为零；随机系统完全无序，故σ是个大 数。其实，在归一化限制下，ln(N)是σ的最大值。 在热力学中，熵是度量无序度的。熵（S）与σ的关系 为，S=kσ，k为Boltzmann常数。 S=kσ可看作是量子统计力学中熵的定义。
十、连续谱空间中的密度算符
对应于连续本征谱的态矢，则 此时密度矩阵实际上是x’和x’’的函数，即
Ψi(x’)是对应于|α(i)>的波函数。 ρ的对角元素是几率密度的权重和（可见密度矩阵这 一名称很合适）。
十一、密度算符与量子统计力学
对完全随机的系综，密度矩阵在任何表象中均有：
该ρ与纯系综的ρ很不相同。 为定量表征不同系综的ρ，定义σ为：
一、极化与非极化粒子束 前述量子力学理论形式可描述由完全相同的粒子组成 的系综的统计预言，系综粒子均由态矢|α>表征。 对由不同态矢表征的物理体系所组成的系综，前面讨 论的理论方法不适用。如SG实验中由热炉直接出来 的Ag原子，其自旋朝向是随机的。按前描述任意态 的方法， 所描述的态有特定自旋方向，其极角β和方位角α由
化关于刚体轴y’、z’的操作为关于空间固定轴的操作
y’与y差α角，绕y’转β角可等价为：先用Rz(-α)将y’转 回到y，然后绕y转β角,再将y转回到y’轴，即 上式左右两边对y’轴效果自然相同，对z z’’(z’)的操 作也相同，即上式对刚体的两非平行轴等价。 类似可证： 于是，描述3个Euler转动的正交矩阵为：
即：
对应Euler转动的转动算符
与正交矩阵的乘积对应，存在相应转动算符的乘积： 对自旋1/2体系为
该矩阵具有幺模矩阵的普遍形式。 上式的exp(-iσ2β)矩阵是唯一含非对角元的，且非对 角元是纯实数。
是转动算符D(α,β,γ)的j=1/2 的不可约表示，其矩阵元记为
§3.4 密度算符与混合系综
八、密度算符在给定基下的矩阵表示
上式其实给出了密度矩阵的算法。下面以自旋1/2体系 在Sz表象为例。 1）对纯Sz+系综： 2）纯Sx±系综：
1 1 0 ρ = + + (1 0 ) = 0 0 0
3）对完全非极化系综，将其看作50%|+>和50%|->的非 1 0 1 相干组合，则 ： 1 1
若对上述体系除去内能一定的限制，则得（对任 意k）：ρkk=1/N 对应于完全随机的系综，与β->0（即T ∞）的 正则系综分布相同
十四、配分函数
ρkk的分母为
是统计力学中的配分函数，可写为
ρ在能量本征态基中可写为
据此可得体系的所有性质，
[ A] =
tr ( e
β H
Z
A) ∑ =
k
N
A k e β Ek
N k Ek
对A=H，有
U=
∑E e
k k N k
N
∑e β
β Ek
e β Ek ∑
= (ln Z ) β
与统计力学的对应知β=1/kT.
SO(3)群的基本性质
所有正交矩阵（R）乘法运算的集合满足四要素： 1. 封闭性：两正交矩阵的乘积为另一正交矩阵
T (R 1 R 2 )(R 1 R 2 ) T = R 1 R 2 R T R 1 = 1 2
2.结合律： R 1 (R 2 R 3 ) = (R 1 R 2 )R 3 这是矩阵代数的结果 3.有单位矩阵（对应于无转动）：R1=1R=R 4.有逆存在（对应于相反角度的转动）：
六、密度算符的基本性质
1）厄米性：ρ+ =ρ 2）满足归一化条件：
′ α (i ) α (i ) b′ = ∑ ωi α (i ) α (i ) = 1 Tr ( ρ ) = ∑∑ ωi b
i b′ i
由于厄米性及归一条件，对自旋1/2的体系，密度 算符的矩阵表示由3个独立参量描述，这是因为 厄米矩阵由四实数表述，而归一性将独立参数数 降为3。所需三个参数是[Sx], [Sy]和[Sz]。
三、Euler转动
三维空间的最一般转动 也可用三个相继Euler 转动表征： 1)将刚体绕z轴转α角.空间 坐标轴与刚体坐标轴在 转动前是重合的,转动 后刚体y轴变为y’轴 2)使刚体绕y’轴转β角， 刚体z轴变为z’轴 3)使刚体绕z’轴转γ角，y’ 轴变为y’’轴。 用3×3正交矩阵描述这三 个Euler转动，结果为:
§3.3 正交群、幺模群和Euler转动
一、正交群 一个转动可用三个实数表征：转轴的极面角和方位 角，以及转角。可方便地用3×3正交矩阵R描述： 不同相继转动的结果可用相应矩阵乘积来表示。 由于RRT=RTR=1 相当于6个独立方程，这3×3正交 矩阵的9个元素只有3个是独立的。 正交矩阵乘法运算的集合构成一个群，该群叫SO(3) 群。这里S表示特殊，即只考虑了转动，而无反演； O表示正交，即RRT=1；而3表示空间维数。
十三、热平衡系综的密度矩阵
对具有确定[H]的系综,热平衡时σ取极大:δσ=0.因ρ/ t=0,ρ与H可同时对角化,可用H的本征态为基. 粒子的平均内能：[H]=Tr(ρH)=U 由 用Lagranger乘子法可得 其解为， 利用归一化条件有 对应于能量本征态Ek的几率分布。 上述体系对应于统计力学的正则系统，体系能量确定
RR 1 = R 1 R = 1
二、幺模群
对二分量旋量χ，可用一个2×2矩阵的作用来表征 一个任意转动：
U=
该矩阵显然是幺正的（UU+=1），不改变χ的模。 幺模矩阵：行列式为1的幺正矩阵。幺模矩阵的一般 形式为： 且 U(a,b)的行列式显然为1 ，且是幺正的：
对比U与U(a,b)，知U为幺模矩阵，对应于:
七、纯态系综的密度算符