2022年广西壮族自治区北部湾经济区(南宁、北海、钦州、防城港)中考数学试卷

2022年广西壮族自治区北部湾经济区（南宁、北海、钦州、防城港）中考数学试卷1.下列实数是无理数的是( )A．√2B．1C．0D．−52.下列图形是中心对称图形的是( )A．B．C．D．3.2022年2月至5月，由广西教育厅主办，南宁市教育局承办的广西中小学“空中课堂”是同期全国服务中小学学科最齐、学段最全、上线最早的线上学习课程，深受广大师生欢迎．其中某节数学课的点击观看次数约889000次，则数据889000用科学记数法表示为( )A．88.9×103B．88.9×104C．8.89×105D．8.89×1064.下列运算正确的是( )A．2x2+x2=2x4B．x3⋅x2=2x3C．(x2)3=x2D．2x7÷x5=2x25.以下调查中，最适合采用全面调查的是( )A．检测长征运载火箭的零部件质量情况B．了解全国中小学生课外阅读情况C．调查某批次汽车的抗撞击能力D．检测某城市的空气质量6.一元二次方程x2−2x+1=0的根的情况是( )A．有两个不等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定7.如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=80∘，观察图中尺规作图的痕迹，则∠DCE的度数为( )A．60∘B．65∘C．70∘D．75∘8.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，则它获得食物的概率是( )A．16B．14C．13D．129.如图，在△ABC中，BC=120，高AD=60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为( )A．15B．20C．25D．3010.甲、乙两地相距600km，提速前动车的速度为v km/h，提速后动车的速度是提速前的1.2倍，提速后行车时间比提速前减少20min，则可列方程为( )A．600v −14=6001.2vB．600v=6001.2v−13C．600v −20=6001.2vD．600v=6001.2v−2011.《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kun，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1，2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺=10寸），则AB的长是( )A．50.5寸B．52寸C．101寸D．104寸12.如图，点A，B是直线y=x上的两点，过A，B两点分别作x轴的平行线交双曲线y=1x(x>0)于点C，D．若AC=√3BD，则3OD2−OC2的值为( )A．5B．3√2C．4D．2√313.如图，数轴上所表示的x的取值范围为．14.计算：√12−√3=．15.某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：射击次数20401002004001000"射中9环以上"的次数153378158321801"射中9环以上"的频率(结果保留小数点后两位)0.750.830.780.790.800.80根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是（结果保留小数点后一位）．16.如图，某校礼堂的座位分为四个区域，前区共有8排，其中第1排共有20个座位（含左、右区域），往后每排增加两个座位，前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有10排，则该礼堂的座位总数是．17.在平面直角坐标系中，以原点为对称中心，把点A(3,4)逆时针旋转90∘，得到点B，则点B的坐标为．18.如图，在边长为2√3的菱形ABCD中，∠C=60∘，点E，F分别是AB，AD上的动点，且AE=DF，DE与BF交于点P．当点E从点A运动到点B时，则点P的运动路径长为．19.计算：−(−1)+32÷(1−4)×2．20.先化简，再求值：x+1x ÷(x−1x)，其中x=3．21.如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．(1) 求证：△ABC≌△DEF；(2) 连接AD，求证：四边形ABED是平行四边形．22.小手拉大手，共创文明城．某校为了了解家长对南宁市创建全国文明城市相关知识的知晓情况，通过发放问卷进行测评，从中随机抽取20份答卷，并统计成绩（成绩得分用x表示，单位：分），收集数据如下：90，82，99，86，98，96，90，100，89，83，87，88，81，90，93，100，100，96，92，100．整理数据：80≤x<8585≤x<9090≤x<9595≤x≤10034a8分析数据：平均分中位数众数92b c根据以上信息，解答下列问题：(1) 直接写出上述表格中a，b，c值；(2) 该校有1600名家长参加了此次问卷测评活动，请估计成绩不低于90分的人数是多少？(3) 请从中位数和众数中选择一个量，结合本题解释它的意义．23.如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30∘方向，距离小岛40nmile的点A处，它沿着点A的南偏东15∘的方向航行．(1) 渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？(2) 渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行20√6nmile到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少（结果保留根号）？24.倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出A型和B型两款垃圾分拣机器人，已知2台A型机器人和5台B型机器人同时工作2h共分拣垃圾3.6吨，3台A型机器人和2台B型机器人同时工作5h共分拣垃圾8吨．(1) 1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？(2) 某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批A型和B型垃圾分拣机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾20吨．设购买A型机器人a台(10≤a≤45)，B型机器人b台，请用含a的代数式表示b；(3) 机器人公司的报价如下表：型号原价购买数量少于30台购买数量不少于30台A型20万元/台原价购买打九折B型12万元/台原价购买打八折在（2）的条件下，设购买总费用为W万元，问如何购买使得总费用W最少？请说明理由．25.如图，在△ACE中，以AC为直径的⊙O交CE于点D，连接AD，且∠DAE=∠ACE，连接OD并延长交AE的延长线于点P，PB与⊙O相切于点B．(1) 求证：AP 是 ⊙O 的切线；(2) 连接 AB 交 OP 于点 F ，求证：△FAD ∽△DAE ； (3) 若 tan∠OAF =12，求 AEAP 的值．26. 如图 1，在平面直角坐标系中，直线 l 1:y =x +1 与直线 l 2:x =−2 相交于点 D ，点 A 是直线l 2 上的动点，过点 A 作 AB ⊥l 1 于点 B ，点 C 的坐标为 (0,3)，连接 AC ，BC ．设点 A 的纵坐标为 t ，△ABC 的面积为 S ．(1) 当 t =2 时，请直接写出点 B 的坐标； (2) S 关于 t 的函数解析式为 S ={14t 2+bt −54,t <−1 或 t >5a (1+1)(t −5),−1<t <5，其图象如图 2 所示，结合图 1，2 的信息，求出 a 与 b 的值；(3) 在 l 2 上是否存在点 A ，使得 △ABC 是直角三角形？若存在，请求出此时点 A 的坐标和 △ABC 的面积；若不存在，请说明理由．答案1. 【答案】A【解析】1，0，−5是有理数，√2是无理数．2. 【答案】D【解析】A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、是中心对称图形，故此选项正确，故选：D．3. 【答案】C【解析】889000这个数据用科学记数法表示为8.89×105．4. 【答案】D【解析】A. 2x2+x2=3x2，故本选项不符合题意；B. x3⋅x2=x5，故本选项不符合题意；C. (x2)3=x6，故本选项不符合题意；D. 2x7÷x5=2x2，正确．故选：D．5. 【答案】A【解析】A．检测长征运载火箭的零部件质量情况，必须全面调查才能得到准确数据；B．了解全国中小学生课外阅读情况，量比较大，用抽样调查；C．调查某批次汽车的抗撞击能力，具有破坏性，用抽样调查；D．检测某城市的空气质量，不可能全面调查，用抽样调查．6. 【答案】B【解析】∵a=1，b=−2，c=1，∴Δ=b2−4ac=(−2)2−4×1×1=4−4=0，∴方程有两个相等实数根．7. 【答案】B【解析】∵在△ABC中，BA=BC，∠B=80∘，∴∠ACB=180∘−∠B2=180∘−80∘2=50∘，∴∠ACD=180∘−∠ACB=180∘−50∘=130∘，由作图痕迹可知CE为∠ACD的平分线，∴∠DCE=12∠ACD=65∘．8. 【答案】C【解析】∵一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，∴它有6种路径，∵获得食物的有2种路径，∴获得食物的概率是：26=13．9. 【答案】B【解析】∵四边形EFGH是正方形，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴EFBC =ANAD，设AN=x，则EF=FG=DN=60−x，∴60−x120=x60．解得：x=20，∴AN=20．10. 【答案】A【解析】根据提速前的时间−提速后的时间=20min，可得600v −6001.2v=14，即600v−14=6001.2v．11. 【答案】C【解析】设OA=OB=AD=BC=x，过D作DE⊥AB于E．则DE=10，OE=12CD=1，AE=x−1．在Rt△ADE中，AE2+DE2=AD2，即(x−1)2+102=x2，解得2x=101．故门的宽度（两扇门的和）AB为101寸．12. 【答案】C【解析】∵点A，B在y=x上，点C，D在双曲线y=1x上，∴设点A的坐标为(a,a)，则点C的坐标为(1a,a)，设点B的坐标为(b,b)，则点D的坐标为(1b,b)，∴BD=b−1b ，AC=1a−a，∵AC=√3BD，∴1a −a=√3(b−1b)，两边同时平方，得(1a −a)2=3(b−1b)2，整理得：1a2+a2−2=3(b2−1b2−2)，由勾股定理知：OC2=1a2+a2，OD2=1b2+b2，∴OC2−2=3(OD2−2)，∴3OD2−OC2=4．13. 【答案】−1<x≤3【解析】观察数轴可知：x>−1，且x≤3．∴x的取值范围为−1<x≤3．14. 【答案】√3【解析】√12−√3=2√3−√3=√3．15. 【答案】0.8【解析】∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.8附近，∴这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率大约是0.8．16. 【答案】556个【解析】∵前区共有8排，其中第1排共有20个座位（含左、右区域），往后每排增加两个座位，∴前区共有座位数为：20+(20+1×2)+(20+2×2)+(20+3×2)+⋯+(20+7×2)=8×20+(1+2+3+4+5+6+7)×2=216(个).∵前区最后一排的座位数为：20+7×2=34，∴后区的座位数为：34×10=340（个），因此，该礼堂的座位总数是216+340=556（个）．故答案为：556个．17. 【答案】(−4,3)【解析】如图所示，建立平面直角坐标系，点B的坐标为(−4,3)．18. 【答案】43π【解析】连接BD，∵菱形ABCD中，∠C=60∘，∴∠C=∠A=60∘，AB=BC=CD=AD，∴△ABD和△CBD都为等边三角形，∴BD=AD，∠BDF=∠DAE=60∘，∵DF=AE，∴△BFD≌△DEA，∴∠DBF=∠ADE，∵∠BPE=∠BDP+∠DBF=∠BDP+∠ADE=∠BDF=60∘，∴∠BPD=180∘−∠BPE=120∘，∵∠C=60∘，∴∠C+∠BPD=180∘，∴C，B，P，D四点共圆，即⊙O是△CBD的外接圆，∴当点E从点A运动到点B时，则点P的运动路径长为BD⏜的长，∴∠BOD=2∠BCD=120∘，作OG⊥BD于G，根据垂径定理得：BG=GD=12BD=√3，∠BOG=12∠BOD=60∘，∵sin∠BOG=BGOB ，即sin60∘=√3OB，∴OB=2，从而P点的路径长为nπR180∘=2×120∘⋅π180∘=43π．19. 【答案】−(−1)+32÷(1−4)×2 =1+9÷(−3)×2=1−3×2=1+(−6)=−5.20. 【答案】x+1x÷(x−1x)=x+1x÷(x2x−1x)=x+1x⋅x(x+1)(x−1)=1x−1.当x=3时，原式=13−1=12．21. 【答案】(1) ∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，∵AB=DE，AC=DF，∴△ABC≌△DEF(SSS)．(2) ∵△ABC≌△DEF(SSS)，∴∠B=∠DEF．∴AB∥DE．∵AB=DE，∴四边形ABED是平行四边形．22. 【答案】(1) 5；91；100．(2) (5+8)÷20=0.65，1600×0.65=1040（人）．(3) 中位数：在统计的问卷的成绩中，最中间的两个分数的平均数是91分；众数：在统计的问卷的成绩中，得100分的人数最多．【解析】(1) a=20−3−4−8=5；将这组数据按大小顺序排列为：81，82，83，86，87，88，89，90，90，90，92，93，96，96，98，99，100，100，100，100．其中第10个和第11个数据分别是90，92．∴这组数据的中位数b=90+922=91；100出现了4次，出现的次数最多，∴ 众数 c 是 100．23. 【答案】(1) 过 B 点作 AC 的垂线 BD 交 AC 于点 D ，∵ 垂线段最短，AC 上的 D 点距离 B 点最近，AD 即为所求，由题意可知：∠BAF =30∘，∠CAF =15∘，∴∠BAD =45∘，AD =BD =ABsin45∘=40×√22=20√2(mile )，∴ 渔船航行 20√2 nmile 时，距离小岛 B 最近．(2) 在 Rt △BDC 中，tan∠C =BD DC =√220√6=√33， ∴∠C =30∘，∠DBC =60∘，∴BC =BDsin30∘=45√2(nmile )，∵∠ABD =45∘，∠ABE =90∘−30∘=60∘，∴∠DBE =15∘，∴∠EBC =∠DBC −∠DBE =45∘，答：从 B 处沿南偏东 45∘ 出发，最短行程 40√2 nmile ．24. 【答案】(1) 设 1 台 A 每小时分拣 x 吨，1 台 B 每小时分拣 y 吨，依题意得：{2(2x +5y )=3.6,5(3x +2y )=8.解得{x =0.4,y =0.2.(2) 依题意得：0.4a +0.2b =20，∴b =−2a +100．(3) 结合（2），当 10≤a <30 时，b =100−2a ．∴40<b ≤80．此时，W =20×a +12×0.8(100−2a )=0.8a +960．当 a ≥30 且 100−2a ≥30 时，30≤a ≤35，此时，W =20×0.9a +12×0.8(100−2a )=−1.2a +960．30≤a ≤45，100−2a <30 时，35<a ≤45，此时，W =20×0.9a +12×(100−2a )=−6a +1200．即：W ={0.8a +960,10≤a <30−1.2a +960,30≤a ≤35−6a +1200,35<a ≤45．∵W 与 a 是一次函数的关系，10≤a ≤45，当 10≤a <30 时，取 a =10，函数值最小是：W =968；当 30≤a ≤35 时，取 a =35，函数值最小是：W =918；当 35<a ≤45 时，取 a =45，函数值最小是：W =930；当 a =35 时，b =100−2a =30．综上，购买A型35台，B型30台费用最少．答：购买A型35台，B型30台费用最少．25. 【答案】(1) ∵AC为直径，∴∠ADC=90∘，∴∠ACE+∠CAD=90∘，又∠DAE+∠DAC=90∘，∴OA⊥AP，∴AP为⊙O的切线．(2) 连OB，∵PA，PB为圆的切线，∴PA=PB，又OB=OA，OP=OP，∴△OBP≌△OAP(SSS)，∴∠BOD=∠DOA，∴AD弧=DB弧，∴∠FAD=∠ACE，∴OF⊥AB，又∵∠ACE=∠DAE，∴∠FAD=∠DAE，∠AFD=∠ADE=90∘，∴△FAD∽△DAE(AAS)．(3) 在Rt△OFA中，tan∠OAF=12，设：OF=x，AF=2x，OA=√5x，故AP=2OA=2√5x，∵DF=OD−OF=OA−OF=(√5−1)x，且△FAD∽△DAE，∴∠FAD=∠DAE=∠ACE，∴tan∠ACE=tan∠FAD，即AEAC =DFAF=(√5−1)x2x，∴AE=(√5−1)⋅√5x=(5−√5)x，∴AEAP =√5)x2√5x=√5−12．26. 【答案】(1) B(−12,12 )．(2) 依题有，当 t =7 时，S =4，故 14×72+7b −54=4，得 b =−1．当 t =2 时，S 达到最大值．则 S =S △OAC −S △OBC =12×3×2−12×3×12=94， 代入 S 得 a (2+1)(2−5)=94，解得 a =−14． (3) （i ）若 A 为 △ABC 的直角顶点，则 AC ∥l 1，此时 AC 的方程为 y =x +3，令 x =−2 得 A 1(−2,1)，AC =√22+(−2)2=2√2，此时 S △ABC =12×√2×2√2=2；（ii ）若 C 为 △ABC 的直角顶点，过 B 作 l 2 垂线交 l 2 于 E ，A (−2,t )．则 E (−2,t−12)，D (−2,−1)，B (t−32,t−12)．在 Rt △ABC 中，由勾股定理得 AC 2+BC 2=AB 2，即22+(t −3)2+(t−32)2+(t−12−3)2=(t−32+2)2(t−12−t)2⇒t 2−12t +27=0.解得：t =3 或 t =9，此时 A 2(−2,3) 或 A 3(−2,9)，S △ABC =12×AC ×BC =2 或 S △ABC =12×2√10×√10=10；（iii ）当 B 为 △ABC 的直角顶点，此种情况不存在；当 A 在 D 上方时，∠ABC 为锐角；当 A 在 D 下方时，∠ABC 为钝角，故不存在．【解析】(1) 当 t =2 时，A (−2,2)．∵ 直线 l 1:y =x +1，AB ⊥l 1，∴ 可设直线 AB 的解析式为 y =−x +n ．将 A (−2,2) 代入 y =−x +n ，得 n =0．∴ 直线 AB 的解析式为 y =−x ，联立 {y =−x,y =x +1, 得 {x =−12,y =12, ∴B (−12,12)．。