线性代数A-期末模拟试卷(无答案)
《线性代数》模拟试卷(A)卷
厦门大学网络教育2008-2009学年第一学期《线性代数》模拟试卷（ A ）卷一、单项选择题(每小题3分，共24分).1. 若111221226a a a a =，则121122212020021a a a a --的值为( ). A ．12； B. －12； C. 18； D. 0. 2. 设A B 、为同阶方阵，则下面各项正确的是( ).A.若0AB =, 则0A =或0B =；B.若0AB =，则0A =或0B =；C.22()()A B A B A B -=-+；D.若A B 、均可逆，则111()AB A B ---=.3. 若方程组12312302403690x t x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 的基础解系含有两个解向量，则 t =( ). A ．2； B ．4； C ．6； D ．8.4. 已知方程组A x b =对应的齐次方程组为0Ax =，则下列命题正确的是( ).A ．若0Ax =只有零解，则Ax b =一定有唯一解；B ．若0Ax =有非零解，则Ax b =一定有无穷解；C ．若Ax b =有无穷解，则0Ax =一定有非零解；D ．若Ax b =有无穷解，则0Ax =一定只有零解.5. 设12, u u 是非齐次线性方程组Ax b =的两个解，则以下结论正确的是( ).A ．12u u +是Ax b =的解；B ．12u u -是Ax b =的解；C ．1ku 是Ax b =的解（1k ≠）；D ．12u u -是0Ax =的解. 6. 设123,,a a a 线性相关，则以下结论正确的是( ).A ．12,a a 一定线性相关；B ．13,a a 一定线性相关；C ．12,a a 一定线性无关；D ．存在不全为零的数123,,k k k ，使得1122330k a k a k a ++=.7. 若20000101A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与200010001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦相似，则x =( ). A ．-1； B ．0； C ．1； D ．2.8. 二次型f(x 1,x 2,x 3)=32232221x x 12x 3x 3x +++是( ).A. 正定的；B. 半正定的；C. 负定的；D. 不定的.二、填空题(每小题4分，共24分)1. 设802020301A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，*A 为A 的伴随矩阵，则*A =_________. 2. 非齐次线性方程组m n A x b ⨯=有唯一解的充分必要条件是_________.3. 设方程组123131232 1 2 53(8)8x x x x x x x a x ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩，当a 取__________时，方程组无解.4. 设向量组1(1,3,)a k =-，2(1,0,0)a =，3(1,3,2)a =-线性相关，则k =_________.5. 二次型3231212322213214225),,(x x x x x tx x x x x x x f +-+++=为正定二次型，则t 的取值范围是_____________.6. 3阶方阵A 的特征值分别为1，-2，3，则21()A -的特征值为_________.三、计算题(共38分).1. (10分) 计算行列式 3112513420111533D ---=---.2. (10分) 求123221343A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵1A -.3. (10分)求向量组)11,9,5,8(),2,1,1,3(),10,7,1,1(),1,1,1,2(4321=--=-==αααα的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示.4. (8分)已知111131111A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求A 的特征值. 四、证明题(每小题7分，共14分).1. 设列矩阵12(,,,)T n X x x x = 满足1T X X =，E 为n 阶单位阵，2T H E XX =-，证明: H 是对称阵，且T HH E =.2. 证明二次型22256444f x y z xy xz =---++是负定的.答案：一．1．A 1211121112111112222122212221212220220(1)22122021a a aa a a a a a a a a a a a a =-=-==--2. B 由矩阵的理论可得选项B3. C 基础解系含有两个解向量3()2()1r A r A ⇒-=⇒=,12312324006369000A t t ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,6t =时，()1r A =4. C 当()()r A r A =时，Ax b =有解5. D 1212()2A u u Au Au b b b +=+=+=，因此12u u +不是Ax b =的解， 下面的选项类似讨论6. D 由线性相关的定义可得选项D7. B 相似矩阵具有相同的特征值8．D f 的矩阵是100036063A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，A 的各阶主子式为：1110a =>，103003=>，10003613366270063A ==⋅⋅-⋅=-<，因此f 为不定的 二．1．16 8022016124301A ==-=， 33***416A A A E A AA A ====⇒=2. n A r =)( 由方程组解的理论可得3. 0 方程组无解可得()(,)r A r A b ≠11211121112110120111011153880223001a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦⎣⎦⎣⎦,(,)3r A b =，当0a =时，()2r A =。
线性代数期末测试题及其答案
线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题5分，共25分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。
2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。
3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。
4．已知矩阵A 为3⨯3的矩阵，且3||=A ，则=|2|A 。
5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。
二、选择题 （每小题5分，共25分）6．已知二次型3231212322214225x x x x x tx x x x f +-+++=,当t 取何值时，该二次型为正定？（ ） A.054<<-t B.5454<<-t C.540<<t D.2154-<<-t 7．已知矩阵B A x B A ~,50060321,340430241且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，求x 的值（ ）A.3B.-2C.5D.-58．设A 为n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（ ） A. 0≠A B. 01≠-AC.n A r =)(D.A 的行向量组线性相关9．过点（0，2，4）且与两平面2312=-=+z y z x 和的交线平行的直线方程为（ ） A.14322-=-=-z y x B.24322-=-=z y x C.14322+=+=-z y x D.24322+=+=z y x 10．已知矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1513A ,其特征值为（ ） A.4,221==λλ B.4,221-=-=λλ C.4,221=-=λλ D.4,221-==λλ 三、解答题 （每小题10分，共50分）11.设,1000110001100011⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2000120031204312C 且矩阵X 满足关系式E X B C T =-)(， 求X 。
复旦大学《线性代数》2019-2020学年第一学期期末试卷A
《线性代数》期末考试试卷A一、填空题(30分, 其中E 表示单位矩阵).1. 若A =102a ⎛⎞⎜⎟⎝⎠, B =300b ⎛⎞⎜⎟⎝⎠满足AB = BA , 则a , b 满足条件______________. 解: AB =102a ⎛⎞⎜⎟⎝⎠300b ⎛⎞⎜⎟⎝⎠=302ab b ⎛⎞⎜⎟⎝⎠, BA =300b ⎛⎞⎜⎟⎝⎠102a ⎛⎞⎜⎟⎝⎠=3302a b ⎛⎞⎜⎟⎝⎠; AB = BA ⇔ ab = 3a ⇔ a (b −3) = 0. 2. 若矩阵A , B 均可逆, 则分块矩阵2⎛⎞⎜⎟⎝⎠A O EB 的逆矩阵是__________________. 解: 12−×⎛⎞⎜⎟⎝⎠AO E O A EB O E →1(2)2−−×⎛⎞⎜⎟⎝⎠E E O A O E B O E →1112−−−⎛⎞⎜⎟×−⎝⎠E O A O O B B A E →11112−−−−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠E O A O O EB A B . 可见12−⎛⎞⎜⎟⎝⎠A O E B =11112−−−−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠AO B A B .3. 如果向量组(a , 1, 1), (1, a , 1), (1, 1, a )的秩为2, 则参数a =_________________.解: 向量组(a , 1, 1), (1, a , 1), (1, 1, a )的秩为2 ⇒111111a a a= 0 ⇒ (a +2)(a −1)2 = 0 ⇒ a = −2或1.当a = −2时, 原向量组的秩为2, 当a = 1时, 原向量组的秩为1. 故a = −2. 4. 若A =a c b d ⎛⎞⎜⎟⎝⎠, B =22a c c b d d −⎛⎞⎜⎟−⎝⎠, 则满足A = BP 的二阶矩阵P =__________. 解: 将B 的第2列的2倍加到第1列就可以得到A .又因为进行一次初等列变换相当于右乘一个相应的初等矩阵,所以P =1021⎛⎞⎜⎟⎝⎠. 5. 若α =1b ⎛⎞⎜⎟⎝⎠是矩阵A =112a ⎛⎞⎜⎟⎝⎠的相应于特征值2的特征向量, 则a b ⎛⎞⎜⎟⎝⎠=⎛⎞⎜⎟⎝⎠. 解: A α = 2α ⇒112a ⎛⎞⎜⎟⎝⎠1b ⎛⎞⎜⎟⎝⎠= 21b ⎛⎞⎜⎟⎝⎠⇒12b b a +⎛⎞⎜⎟+⎝⎠=22b ⎛⎞⎜⎟⎝⎠⇒a b ⎛⎞⎜⎟⎝⎠=01⎛⎞⎜⎟⎝⎠. 6. 如果A =12a b c ⎛⎞⎜⎟⎝⎠是在交矩阵, 且a , b > 0, 则A = ________________________. 解: A =12a b c ⎛⎞⎜⎟⎝⎠是在交矩阵⇒ AA T = A T A = E ⇒12a b c ⎛⎞⎜⎟⎝⎠12a b c ⎛⎞⎜⎟⎝⎠=12a b c ⎛⎞⎜⎟⎝⎠12a b c ⎛⎞⎜⎟⎝⎠=1001⎛⎞⎜⎟⎝⎠ ⇒221221124a b a bc a bc c ⎛⎞++⎜⎟++⎝⎠=211422212a abc ab c b c ⎛⎞++⎜⎟++⎝⎠=1001⎛⎞⎜⎟⎝⎠. 又因为a , b > 0, 所以a =2, b =12, c = −2. 因而A =. 7. 若二次型f (x 1, x 2, x 3) = x 12 + x 22 + kx 32 +2kx 1x 2是正定的, 则参数k 满足条件____. 解: (方法一) f (x 1, x 2, x 3) = x 12 + x 22 + kx 32 +2kx 1x 2 = (x 1 + kx 2)2 + (1−k 2)x 22 + kx 32.令1122233y x kx y x y x =+⎧⎪=⎨⎪=⎩, 则f (x 1, x 2, x 3) = y 12 + (1−k 2)y 22 + ky 32. 故f (x 1, x 2, x 3)正定⇔ 1−k 2 > 0且k > 0 ⇔ 0 < k < 1.(方法二) f (x 1, x 2, x 3) = x 12 + x 22 + kx 32 +2kx 1x 2的矩阵A =101000k k k ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠的顺序主子式为∆1 = 1 > 0, ∆2 =11kk = 1−k 2, ∆3 =101000k k k= (1−k 2)k .故f (x 1, x 2, x 3)正定⇔ ∆1, ∆2, ∆3全大于0 ⇔ 1−k 2 > 0且k > 0 ⇔ 0 < k < 1. (方法三) f (x 1, x 2, x 3) = x 12 + x 22 + kx 32 +2kx 1x 2的矩阵A =101000k k k ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠,|λE −A | =101000kk kλλλ−−−−−= (λ−1+k )(λ−1−k ) (λ−k ). 可见A 的特征值为: λ1 = 1−k , λ2 = 1+k , λ3 = k .故f (x 1, x 2, x 3)正定⇔ λ1, λ2, λ3全大于0 ⇔ 0 < k < 1.8. 若A =211121112⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠, η = (1, k , 1)T 是A −1的特征向量, 则k 的可能的值为________.解: 设A −1η = λη, 则η = λA η, 即11k ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠= λ211121112⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠11k ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠= λ3223k k k +⎛⎞⎜⎟+⎜⎟+⎝⎠. 由此可得k = 1或−2.9. 假设A , B 都是3×4矩阵, 则矩阵A T B 的行列式|A T B | = ______________________.解: A , B 都是3×4矩阵⇒ A T B 为4×4矩阵且 秩(A T B ) ≤ 秩(B ) ≤ 3 < 4 ⇒ |A T B | = 0.10. 设α是n 维单位列向量, 矩阵A = E + ααT 的行列式|A | = ____________________.解: 设ξ1, …, ξn −1为αT x = 0的基础解系, 则α, ξ1, …, ξn −1线性无关(否则, α能由ξ1, …, ξn −1线性表示, 因而αT α = 0, 这与“α是单位向量”矛盾!). 于是有A α = (E + ααT )α = E α + ααT α = α + α(αT α) = 2α ;A ξi = (E + ααT )ξi = E ξi + ααT ξi = ξi + α(αT ξi ) = ξi (i = 1, …, n −1).可见2和1是A 的特征值, α是对应于2的特征向量, ξ1, …, ξn −1是对应于1的特征向量. 因而|A | = 2×1(n −1) = 2.二、(10分)求行列式2301312053421531. 解:1)=3121314233000012−−= 1×(−1)= −0711017123−−=71117−= 60. 三、(14%)已知向量组α1 =111−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠, α2 =13m ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠与β1 =034⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠, β2 =145⎛⎞⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠, β3 =15n ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠等价. 求参数m , n 的值. 并将α2表示成β1, β2, β3的线性组合.解: 因为α1, α2与β1, β2, β3等价, 所以秩(α1, α2, β1, β2, β3) = 秩(α1, α2) ≤ 2.(α1, α2, β1, β2, β3) =0111134514513m n −⎛⎞⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠→345101111454513m n −⎛⎞⎜⎟−××⎜⎟−⎝⎠→13309340111140548m n ×−+⎛⎞⎜⎟−⎜⎟+−⎝⎠→431031(4)0111140548m n +−⎛⎞×−⎜⎟−⎜⎟+−⎝⎠→438431031011110070m mn +−−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠记为C . 可见n −7 = 0, 843m−= 0. 故m = 2, n = 7. 此时C =103120111100000−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎝⎠. 设α2 = x 1β1 + x 2β2 + x 3β3 , 则由C 可见1323321x x x x +=⎧⎨+=⎩. 令x 3 = k , 则x 1 = −3k +2, x 2 = −k + 1. 因而α2 = (−3k +2)β1 + (−k + 1)β2 + x 3β3 , 其中k 为任意实数.四、(12分)假设矩阵A =103022011⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠, B =110000021⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠. 求矩阵方程XA = 2X + B 的解.解: XA = 2X + B ⇔ X (A −2E ) = B . A −2E =103002011−⎛⎞⎜⎟⎜⎟−⎝⎠.(A −2E , E ) =12103100(1)002010011001−×−⎛⎞⎜⎟×⎜⎟−⎝⎠→121031000010013011001−−⎛⎞⎜⎟××⎜⎟−⎝⎠→32121210100001000101−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠→321212101000100100100−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠. 由此可得(A −2E )−1 =321212100100−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠. 故X = B (A −2E )−1 =3212100002−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠.五、(12分)设二次型f (x 1, x 2, x 3) = x 12 + x 22 + x 32 + 2ax 1x 3 + 2ax 2x 3.1. 给出二次型的矩阵.解: f (x 1, x 2, x 3)的矩阵A =10011a a a a ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠.2. 用配方法求一个可逆线性变换x = Cy 将f 化成其标准型.解: f (x 1, x 2, x 3) = x 12 + x 22 + x 32 + 2ax 1x 3 + 2ax 2x 3 = (x 1 + ax 3)2 − a 2x 32 + (x 2 + ax 3)2 − a 2x 32 + x 32 = (x 1 + ax 3)2 + (x 2 + ax 3)2 + (1−2a 2)x 32.令11322333y x ax y x ax y x =+⎧⎪=+⎨⎪=⎩, 即y =1001001a a ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠x , 则x =1001001a a −⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎝⎠y , 且f (x 1, x 2, x 3) = y 12 + y 32 + (1−2a 2)y 32.3. 根据a 的不同的值, 讨论A 的正、负特征值的个数.解: 因为A 的正、负特征值的个数分别等于A 的正、负惯性指数的个数,所以由上题可知(1) 当a < −2或a >2时, A 有2个正特征值, 1个负特征值. (2) 当a = ±2时, A 有2个正特征值, 0个负特征值.(3) 当−2< a <2时, A 有3个正特征值, 0个负特征值.六、(12分)已知矩阵A =1020140c a −⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠与B =00010001b ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠相似.1. 分别求参数a , b 及c 的值.解: |A | = −6−a , |B | = b , tr(A ) = a , tr(B ) = b +2. 因为A 与B 相似, 所以|A | = |B |, tr(A ) = tr(B ).故a = −3, b = −5. 可见1是A的二重特征值, 因而秩(E−A) = 1.E−A =202400404c−×⎛⎞⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠→20200000c−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎝⎠. 由此可见c = 0.2. 求一个可逆矩阵P, 使得B = P−1AP.解: (−5E−A)x = 0的一个基础解系为ξ1 = (−12, 0 , 1)T.(E−A)x = 0的一个基础解系为ξ2 = (0, 1, 0)T,ξ3 = (1, 0, 1)T.令P = (ξ1, ξ2, ξ3) =1201010101−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠, 则B = P−1AP.七、(10分)假设A, B都是n×n矩阵.1. 若(A−B)(A−E) = O, 且A≠B, 证明: 1是A的特征值.证明: 因为(A−B)(A−E) = O, 且A≠B, 所以A−E不可逆(否则A−B = (A−B)(A−E)(A−E)−1 = O(A−E)−1 = O, 从而得A = B, 矛盾!).因此|A−E| = 0. 可见1是A的特征值.2. 若关于A, B的秩有不等式r(A) + r(B)<n, 证明: A, B有公共特征向量.证明: 因为r ⎛⎞⎜⎟⎝⎠AB≤ r(A) + r(B) <n, 所以齐次线性方程组⎛⎞⎜⎟⎝⎠AB x = 0有非零解,即存在非零向量ξ使得⎛⎞⎜⎟⎝⎠ABξ = 0. 于是有Aξ = 0 = 0ξ, Bξ = 0 = 0ξ.可见A, B有公共特征向量ξ.。
(完整版)线性代数测试试卷及答案
线性代数(A 卷)一、选择题(每小题3分，共15分)1 .设A 、B 是任意n 阶方阵，那么下列等式必成立的是() (A) AB BA (B) (AB)2 A 2B 2 (C) (A B)2 A 2AB B 2 (D) A B B A2 .如果n 元齐次线性方程组 AX 0有基础解系并且基础解系含有 s(s n)个解向量，那1 0 0210, A *是A 的伴随矩阵，则(A*)4 .设向量 (1, 1,1)T 与向量 (2,5, t)T 正交，则t5 .设A 为正交矩阵，则A1 11 6 .设a,b,c 是互不相同的三个数，则行列式ab c2,22a b c7 .要使向量组 1 (1, ,1)T , 2 (1,2,3)T, 3 (1,0,1)T 线性相关，则8 .三阶可逆矩阵A 的特征值分别为1, 2, 3,那么A 1的特征值分别为么矩阵A 的秩为((A) n (B) )s (C)n s (D)以上答案都不正确 3 .如果三阶方阵A (a j )3 3的特征值为1,2,5 ,那么ana 22a 33 及A 分别等于()(A) 10, 8(B)8, 10(C)10,8(D)10,4 .设实二次型f(x 1,x 2)2 (X ,X 2)4X 1 X 2的矩阵为A, 那么()2 3(A) A3 1 ⑻(C)1 1(D)5.若方阵A 的行列式A0, 则((A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 二、填空题(每小题3分，共30分)(B)A (D)A 的行向量组线性相关，列向量组线性无关 的列向量组线性相关，行向量组线性无关1如果行列式D 有两列的元对应成比例，那么该行列式等于2.设A3.设，是非齐次线性方程组AX b 的解若也是它的解，那么关组和秩. 四、(10分)设有齐次线性方程组X 1 ( 1)X 2 X 3 0, (1)X 1 X 2 X 3 0, X 1 X 2 ( 1)X 3 0.问当 取何值时，上述方程组（1）有唯一的零解；（2）有无穷多个解，并求出这些解. 五、（12分）求一个正交变换X PY ,把下列二次型化成标准形：、222f （X 1,X 2, X 3） X 1 X 2 X 3 4X 1X 2 4X 1X 3 4X 2X 3.六、（6分）已知平■面上三条不同直线的方程分别为11 : ax 2by 3c 0, 12 : bx 2cy 3a 0, 13 : cx 2ay 3b 0.试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为a b c 0.线性代数(A 卷)答案1. D2. C3. B4. A5. A■-4*11.02. (A ) A3. 14. 35. 16. (c a)(c b)(b a)7. 08. 1,9.411 t 0 10. A I 5 42、1.解由AX(A I ) 1B . (2分)9 .若二次型 f(X i ,X 2,X 3)X 21 x 22 5x 23 2tX i X 2-2X 1X 3 4X 2X 3 是正定的，则 t 的取值范围10 .设A 为n 阶方阵，且满足A 2 2A 4I 0,这里I 为n 阶单位矩阵，那么A 1三、计算题（每小题9分，共27分）1 .已知A 1 00 1 ,求矩阵X 使之满足AX 0 0X B.2 .求行列式的值.3求向量组 (1,0,1,0), 2 ( 2,1,3, 7), 3 (3, 1,0,3,), 4 （4, 3,1, 3,）的一个最大无或-1由于1 23 4 1 2 3 41 2 3 4 0 1 1 3 r r 0 1 1 3 「3 5r 2 0 1 1 3 1 3 01 UUuLu 0 5 3 3 LuiuiUj2 0 0 2 12 0 73 3 0 733424四、解 方程组的系数行列式卜面求 (A I ) 由于(4分）(A I)所以 (A I) (7分）2.解 10 10 10 1010(9 分)10(4 分）(8160 (9 分)3.解 故向量组的秩是UjuniUr31 2 03 12 0(6分)3是它的一个最大无关组。
(完整版)线性代数测试试卷及答案
线性代数（A 卷）一﹑选择题（每小题3分，共15分)1。
设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ） （A ）AB BA = （B)222()AB A B = （C)222()2A B A AB B +=++ (D ）A B B A +=+2。
如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量，那么矩阵A 的秩为( ）(A) n (B) s (C ） n s - （D) 以上答案都不正确 3。
如果三阶方阵33()ij A a ⨯=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于（ ) (A) 10, 8 （B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8--4。
设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的矩阵为A ,那么( ）(A) 2331A ⎛⎫=⎪-⎝⎭ （B) 2241A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ （C) 2121A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭（D) 1001A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A ） A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B ）A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C ） A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D ）A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题（每小题3分,共30分)1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ；2。
设100210341A -⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ; 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解，若λαμβ+也是它的解， 那么λμ+= ; 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5。
设A 为正交矩阵,则A = ；6。
设,,a b c 是互不相同的三个数,则行列式222111ab c a b c = ； 7。
线性代数期末试卷及解析(4套全)2018科大
线性代数期末试卷一一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）（5）设矩阵210120001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，矩阵B 满足*2=+ABA BA E ，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则||=B __________.解：||=B 19.显然||3=A ，在等式*2=+ABA BA E 两端右乘A 得36=+AB B A (36)-=A E B A 上式取行列式03030||3003=-B故 1||9=B . 方法二：因||3=A ，则*31||||9-==A A将**2=+ABA BA E 移项得 *(2)-=A E BA E 两端取行列式得1||91⋅⋅=B ，故1||9=B .二、选择题（本题8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（11）设A 是3阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得B ，再把B 的第2列加到第3列得C ，则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为（A ）010100.101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）010101001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （C ）010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （D ）011100001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.解：（D ）正确. 由题意12=AE B ，其中12010100001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭E 为第一种类型初等矩阵，23(1)=BE C ，其中23100(1)011001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭E 为第三种类型初等矩阵.于是有 1223(1)==AE E C AQ则 1223010100011(1)100011100001001001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q E E与所给答案比较，选（D ）.（12）设,A B 为满足=AB 0的任意两个非零矩阵，则必有 （A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. （B ）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. （C ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. （D ）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. 解：（A ）正确.设A 为m n ⨯矩阵，B 为n p ⨯矩阵，因为 =AB 0故 ()()r r n +≤A B ，其中(),()r r A B 分别表示矩阵,A B 的秩.又因为,A B 皆是非零矩阵，故()0,()0r r >>A B ，所以()r n <A ，()r n <B .因此A 的列秩数，B 的行秩数小于n ，这说明A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关，故选（A ）.取101000⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，100110⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭B ，则0000⎛⎫= ⎪⎝⎭AB ， 由B 的列向量组线性无关知（B ）、（D ）错误.取101010-⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，100110⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭B ，则0000⎛⎫= ⎪⎝⎭AB ，由A 的行向量组线性无关知（C ）错误.三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （20）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2)()0,n nn a x x x x a x x n nx nx n a x ++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩L L L L L试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.解法1 对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有11111111222220000aa a a a n n n n a na a ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪=→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭A B L L L L L L L L L L. 当0a =时，()1r n =<A ，故方程组有非零解，其同解方程组为120n x x x +++=L ， 由此得基础解系为T T T121(1,1,0,,0),(1,0,1,,0),,(1,0,0,,1)n -=-=-=-ηηηL L L L ，于是方程组的通解为1111n n x k k --=++ηηL ，其中11,,n k k -L 为任意常数. 当0a ≠时，对矩阵B 作初等行变换，有(1)1111000221002100.001001n n a a n n +⎛⎫++⎛⎫ ⎪⎪⎪-⎪-→→⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎪⎝⎭-⎝⎭B L L L L L L L L LL可知(1)2n n a +=-时，()1r n n =-<A ，故方程组也有非零解，其同解方程组为 1213120,30,0,n x x x x nx x -+=⎧⎪-+=⎪⎨⎪⎪-+=⎩M由此得基础解系为T(1,2,,)n =ηL ， 于是方程组的通解为x k =η，其中k 为任意常数. 解法2 方程组的系数行列式为111112222(1)||.2n aa n n a a nnn n a-+++⎛⎫==+ ⎪⎝⎭+A L L L LL当||0=A ，即0a =或(1)2n n a +=-时，方程组有非零解.当0a =时，对系数矩阵A 作初等行变换，有1111111122220000,0000n n n n ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A L L L L L L L L L L 故方程组的同解方程组为120,n x x x +++=L 由此得基础解系为T T T121(1,1,0,,0),(1,0,1,,0),,(1,0,0,,1)n -=-=-=-ηηηL L L L ，于是方程组的通解为1111n n x k k --=++ηηL ，其中11,,n k k -L 为任意常数.当(1)2n n a +=-时，对系数矩阵A 作初等行变换，有 11111111222220000aa a a an n n n a na a ++⎛⎫⎛⎫⎪⎪+-⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭A L L LLL L L L L L . 1111000021002100.00101a n n +⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭L L LL L L L L L L 故方程组的同解方程组为1213120,30,0,n x x x x nx x -+=⎧⎪-+=⎪⎨⎪⎪-+=⎩M由此得基础解系为T(1,2,,)n =ηL ， 于是方程组的通解为x k =η，其中k 为任意常数. （21）（本题满分9分）设矩阵12314315a -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭A 的特征方程有一个二重根，求a 的值，并讨论A 是否可相似对角化.解：A 的特征多项式为1232201431431515a aλλλλλλλ-----=-------11010(2)143(2)13315115aa λλλλλλ-=--=---------2(2)(8183)a λλλ=--++.若2λ=是特征方程的二重根，则有22161830a -++=，解得2a =-.当2a =-时，A 的特征值为2,2,6，矩阵1232123123-⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪--⎝⎭E A 的秩为1，故2λ=对应的线性无关的特征向量有两个，从而A 可相似对角化.若2λ=不是特征方程的二重根，则28183a λλ-++为完全平方，从而18316a +=，解得23 a=-.当23a=-时，A的特征值为2,4,4，矩阵32341032113⎛⎫⎪-⎪-= ⎪⎪--⎪⎝⎭E A的秩为2，故4λ=对应的线性我关的特征向量只有一个，从而A不可相似对角化.线性代数期末试卷二一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中的横线上.） （6）同数学（一）一、（5）.二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项目前的字母填在题后的括号内.） （13）同数学（一）二、（11）. （14）同数学（一）二、（12）.三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （22）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.解法1 对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有111111112222200.33333004444400aa a a a a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪=→= ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭A B 当0a =时，()14r =<A ，故方程组有非零解，其同解方程组为 12340x x x x +++=.由此得基础解系为T T T123(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)=-=-=-ηηη，于是所求方程组的通解为112233k k k =++x ηηη，其中123,,k k k 为任意常数. 当0a ≠时，11111000021002100,3010301040014001a a ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭B 可知10a =-时，()34r =<A ，故方程组也有非零解，其同解方程组为12131420,30,40,x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩由此得基础解系为 T(1,2,3,4)=η，于是所求方程组的通解为 k =x η，其中k 为任意常数. 解法2 方程组的系数行列式311112222||(10)33334444aa a a a a++==+++A .当||0=A ，即0a =或10a =-时，方程组有零解. 当0a =时，对系数矩阵A 作初等行变换，有11111111222200003333000044450000⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ， 故方程组的同解方程组为12340.x x x x +++= 其基础解系为T T T123(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)=-=-=-ηηη，于是所求方程组的通解为112233k k k =++x ηηη，其中123,,k k k 为任意常数. 当10a =-时，对A 作初等行变换，有911191112822201000337330010*******0010--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪=→⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A91110000210021003010301040014001-⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎪ ⎪→→⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 故方程组的同解方程组为2131412,3,4,x x x x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩其基础解系为T(1,2,3,4)=η，于是所求方程组的通解为x k =η，其中k 为任意常数. （23）（本题满分9分） 同数学（一）三、（21）.线性代数期末试卷三一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（4）二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =++-++的秩为_________.解：秩为 2 .222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =++-++ 222123121323222222x x x x x x x x x =++++-于是二次型f 的表示矩阵为211121112⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A易求得()2r =A ，故二次型f 的秩为2.二、选择题（本题8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.） （12）设n 阶矩阵A 与B 等价，则必有 （A ）当||(0)a a =≠A 时，||a =B . （B ）当||(0)a a =≠A 时，||a =-B . （C ）当||0≠A 时，||0=B . （D ）当||0=A 时，||0=B . 解：（D ）正确.因为n 阶矩阵A 与B 等价，故存在n 阶可逆矩阵,P Q 使 =PAP B故 ||||||||=B P A Q当||0=A 时，自然有||0=B ，故（D ）正确.当||0≠A 时，由||,||P Q 皆不为零，故||0≠B ，所以（C ）错误.当||0a =≠A 时，||||||a =B P Q ，仅由A 与B 等价，无法推出||||1=±P Q ，故（A ）、（B ）不正确.当,A B 相似时，（A ）才正确.（13）设n 阶矩阵A 的伴随矩阵*≠A 0，若1234,,,ξξξξ是非齐次线性方程组=Ax b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组=Ax 0的基础解系.（A ）不存在. （B ）仅含一个非零解向量. （C ）含有两个线性无关的解向量. （D ）含有三个线性无关的解向量. 解：（B ）正确.因*=A 0，故*A 中至少有一个非零元素. 由于*A 中元素恰为A 的1n -阶代数余子式所组成，故A 至少有一个1n -阶子式非零，这表明()1r n ≥-A .现断言()r n ≠A ，否则A 可逆，则线性方程组=Ax b 有惟一解，这与12,ξξ是非齐次线性方程组=Ax b 不同的解矛盾.由此必有()1r n =-A ，所以齐次线性方程组=Ax 0的解空间维数为(1)1n n --=，即=Ax 0的基础解仅含一个非零解向量. 可见（B ）正确，（A ）错误.尽管从1234,,,ξξξξ是非齐次线性方程组=Ax b 的互不相等的解，可以得出=Ax 0有三个不同的非零解，如121314,,,---ξξξξξξ但是它们是成比例的线性相关解，也就是说=Ax 0不会有两个，更不会有三个线性无关的解向量，即（C ）、（D ）不正确.三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （20）（本题分13分）设T T T 123(1,2,0),(1,2,3),(1,2,2)a a b a b ==+-=---+ααα，T(1,3,3)=-β. 试讨论当,a b为何值时，（I ）β不能由123,,ααα线性表示；（II ）β可由123,,ααα惟一地线性表示，并求出表示式；（III ）β可由123,,ααα线性表示，但表示式不惟一，并求出表示式. 解：设有数123,,k k k ，使得112233k k k ++=αααβ. （*） 记123(,,)=A ααα. 对矩阵()Aβ施以初等行变换，有1111()22230323a b a a b -⎛⎫ ⎪=+-- ⎪ ⎪-+-⎝⎭A β111101000a b a b -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭.（I ）当0,a b =为任意常数时，有1111()0010001b -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A β.可知()()r r ≠A A β. 故方程组（*）无解，β不能由123,,ααα线性表示.（II ）当0a ≠，且a b ≠时()()3r r ==A A β，故方程组（*）有惟一解 123111,,0,k k k a a=-== 则β可由123,,ααα惟一地线性表示，其表示式为1211(1)a a=-+βαα.（III ）当0a b =≠时，对()A β施以初等行变换，有110011()011.0000a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A β. 可知()()2r r ==A A β，故方程组（*）有无穷多解，其全部解为123111,(),k k c k c a a=-=+=，其中c 为任意常数.β可由123,,ααα线性表示，但表示式不惟一，其表示式为12311(1)()c c a a=-+++βααα. （21）（本题满分13分）111b b bb b b ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A L L M M M L. （I ）求A 的特征值和特征向量；（II ）求可逆矩阵P ，使得1-P AP 为对角矩阵. 解：（I ）1º当0b ≠时，11||1b b b b bbλλλλ-------=---E A L LM M ML1[1(1)][(1)]n n b b λλ-=-----.故A 的特征值为121(1),1n n b b λλλ=+-===-L .对于11(1)/n b λ=+-，设A 的属于特征值1λ的一个特征向量为1ξ，则1111[1(1)]1b b b b n b b b ⎛⎫⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ξξL L M M M L ， 解得T1(1,1,,1)=ξL ，所以全部特征向量为T1(1,1,,1)k k =ξL （k 为任意非零常数）.对于21n b λλ===-L ，解齐次线性方程组[(1)]0b --=E A x ，由111000(1)000b b b b b b b b b b ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪--=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭E A L L LL M M M M M M L L， 解得基础解系T2(1,1,0,,0)=-ξL ，T3(1,0,1,,0)=-ξL ，… …T(1,0,0,,1)n =-ξL .故全部特征向量为2233n n k k k +++ξξξL （2,,n k k L 是不全为零的常数）. 2º当0b =时，特征值11n λλ===L ，任意非零列向量均为特征向量. （II ）1º当0b ≠时，A 有n 个线性无关的特征向量，令12(,,,)n =P ξξξL ，则 1diag{1(1),1,,1}.n b b b -=+---P AP L 2º当0b =时，=A E ，对任意可逆矩阵P ，均有 1-=P AP E .注：T1(1,1,,1)=ξL 也可由求解齐次线性方程组1()λ-=E A x 0得出.线性代数期末试卷四一、填空题（本题共6小题，每小4分，满分24分. 把答案填在题中横线上.）（4）设1010100,001--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭A B P AP ，其中P 为三阶可逆矩阵，则200422-=B A _________. 解：300030001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭. 由010100001-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A 得2100010001-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A ，故4=A E ，其中E 是3阶单位阵，所以2004=A E .由1-=B P AP 得200412004-==B P A P E于是 20042210020030022010020030001002001-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭BA E A . （5）设33()ij a ⨯=A 是实正交矩阵，且T 111,(1,0,0)a b ==，则线性方程组=Ax b 的解是__________.解：T (1,0,0).在方程=Ax b 两端左乘TAT T =A Ax A b 则 2131T 122232121323331311100a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x A b将 12131a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x 代回=Ax b 有2131122232121323331311100a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由此得22121311a a ++=因A 为实矩阵，故12130a a ==，因此=Ax b 的解为100⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（12）同数学（三）二、（12）.三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（20）（本题满分13分）设线性方程组1234123412340,220,3(2)(4)41,x x x x x x x x x x x x λμλμ+++=⎧⎪+++=⎨⎪+++++=⎩已知T(1,1,1,1)--是该方程组的一个解. 试求（I ）方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解； （II ）该方程组满足23x x =的全部解.解：将T (1,11,1)--代入方程组，得λμ=. 对方程组的增广矩阵施以初等变换，得 1102112032441λλλλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪++⎝⎭A 102101311.002(21)2121λλλλλλ---⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪---⎝⎭（I ）当12λ≠时，有 1001011010.221100122⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A 因()()34r r ==<A A ，故方程组有无穷多解，全部解为T T 11(0,,,0)(2,1,1,2)22k =-+--ξ， 其中k 为任意常数.当12λ=时，有 11101220131100000⎛⎫-- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A .因()()24r r ==<A A ，故方程组有无穷多解，全部解为T T T 121(,1,0,0)(1,3,1,0)(1,2,0,2)2k k =-+-+--ξ， 其中12,k k 为任意常数.（II ）当12λ≠时，由于23x x =，即 1122k k -+=-. 解得12k =，方程组的解为T T T 111(0,,,0)(2,1,1,2)(1,0,0,1)222=-+--=-ξ. 当12λ=时，由于23x x =，即 121132k k k --=. 解得121142k k =-，故全部解为 T T 2111311(,,,0)(,,,2)444222k =-+---ξ， 其中2k 为任意常数.[注]：在题（II ）中，12λ=时，解得21122k k =-时，全部解也可以表示为 T T 1(1,0,0,1)(3,1,1,4)k =-+-ξ，其中1k 为任意常数.（21）（本题满分13分）设三阶实对称矩阵A 的秩为122,6λλ==是A 的二重特征值. 若T T T 123(1,1,0),(2,1,1),(1,2,3)===--ααα都是A 的属于特征值6的特征向量. （I ）求A 的另一特征值和对应的特征向量；（II ）求矩阵A .解：（I ）因为126λλ==是A 的二重特征值，故A 的属于特征值6的线性无关的特征向量有2个. 由题设可得123,,ααα的一个极大无关组为12,αα，故12,αα为A 的属于特征值6的线性无关的特征向量.由()2r =A 可知，||0=A ，所以A 的另一特征值30λ=. 设30λ=所对应的特征向量为T 123(,,)x x x =α，则有T T120,0==αααα，即 121230,20.x x x x x +=⎧⎨++=⎩ 解得此方程组的基础解系为T (1,1,1)=-α，即A 的属于特征值30λ=的特征向量为T (1,1,1)c c =-α，（c 为不为零的任意常数）.（II ）令矩阵123(,,)=P ααα，则1600060000-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP ，所以 1600060000-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A P P .又1011112333111333-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭P ， 故422242.224⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A。
线性代数A-期末模拟试卷(无答案)
线性代数A 期末模拟试卷（无答案）一、选择题（本大题共5小题，每题3分，共15分）1.设A是p×s矩阵，C是m×n矩阵，如果AB T C有意义，则B是什么矩阵（）(A)p×n (B)p×m (C) s×m (D)m×s2.设A，B均为n阶可逆矩阵，则下列各式中不正确的是-------（）(A)(A+B)T=A T+B T(B) (A+B)-1=A-1+B-1(C)(AB)-1=B-1A-1(D)(AB)T=B T A T3.线性方程组2020ax zx ay zax y z+=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩只有零解，则a的取值为---（）(A)a=2 (B)a≠2 (C)a=1 (D)a≠14.设A是n阶方阵，|A|=0，则下列结论中错误的是------（）(A) R(A)<n(B)A有两行元素成比例(C)A的n个列向量线性相关(D)A有一个行向量是其余n个行向量的线性组合5.已知3阶矩阵A相似于B，A的特征值为2、3、4，E为3阶单位矩阵，则|B-E|=---------（）(A)6；(B)12；(C)24；(D)48二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）1.已知0333231232221131211≠=k a a a a a a a a a ，则=---32323331121213112222232141062532125321a a a a a a a a a a a a ． 2.若A,B 为3阶方阵，且|A|=2,|B|=2,则|-2A|= ,|A -1B T |= .3.设A 是三阶方阵，A 的特征值为2,3,λ,且|2A|=48，则=λ , R(A)= 。
4.已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=130120005A ，则A -1= ． 5.设A 为n 阶矩阵，|A|=-2，求|3（A ）-1A *|= 。
三、计算题（本大题共5小题，每题10分，共50分）1.（1）计算行列式3 (22)............2 (322)...23=n D （2）设3351110243152113------=D ，D 的（i ，j ）元的代数余子式记作A ij 。
线性代数试题A答案[大全5篇]
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线性代数试题A答案[大全5篇]第一篇：线性代数试题A答案2006-2007学年第二学期线性代数试题A卷参考答案及评分标准一．填空题（本题满分12分，每小题3分）⎛1-20 0 -25 -111、1；2、-3；3、A=00 3 1 00-3⎝0⎫⎪0⎪2⎪；4、2 ⎪3⎪1⎪⎪3⎭二、选择题（本题满分12分，每小题3分，．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1．C；2．C；3．A；4、B 三．计算行列式（本题满分6分）解 1 10Dn=001-110010Λ00-111000-11=100010100200Λ03ΛΛ1Λ00Λ0100Λ00n3-1ΛΛ011ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ分Λn-1=n3分解2 10Dn=001-110010Λ00-111000=Dn-1+13分-1ΛΛ011ΛΛΛΛΛΛΛΛ-11=n3分四．（本题满分12分）解：⑴ 由等式A+B=AB，得A+B-AB+E=E，即(A-E)(B-E)=E3分因此矩阵A-E可逆，而且(A-E)=B-E．2分-1⑵ 由⑴知，A-E=(B-E)，即A=(B-E)+E-1-1A=(B-E)+E或A=B(B-E)-12分-1⎛0-10-30100⎛⎫⎛⎫⎪⎪1=200⎪+010⎪=-3 001⎪001⎪0⎝⎭⎝⎭⎝⎛1 1=-3 0 ⎝1210⎫0⎪⎪0⎪ 2分⎪2⎪⎪⎭1200⎫0⎪100⎫⎪⎛⎪0⎪+010⎪3分⎪⎪1⎪⎝001⎭⎪⎭五．（本题满分14分）解：110⎤⎡1⎡11⎢01⎥⎢0221⎥→⎢A=⎢⎢0-1a-3-2b⎥⎢0⎢⎥⎢321a-1⎣⎦⎣01110⎤1221⎥⎥4分0a-10b+1⎥⎥00a-10⎦所以，⑴ 当a≠1时，rA=r(A)=4，此时线性方程组有唯一解．2分⑵ 当a=1，b≠-1时，r(A)=2，rA=3，此时线性方程组无解．2分⑶ 当a=1，b=-1时，rA=r(A)=2，此时线性方程组有无穷多组解．2分此时，原线性方程组化为()()()⎧x1+x2+x3+x4=0 ⎨⎩x2+2x3+2x4=1因此，原线性方程组的通解为⎧x1=x3+x4-1⎪x=-2x-2x+1⎪234 ⎨x=x3⎪3⎪x4⎩x4=或者写为⎡x1⎤⎡1⎤⎡1⎤⎡-1⎤⎢x⎥⎢-2⎥⎢-2⎥⎢1⎥2⎢⎥=k⎢⎥+k⎢⎥+⎢⎥4分⎢x3⎥1⎢1⎥2⎢0⎥⎢0⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣0⎦⎣1⎦⎣0⎦⎣x3⎦六．（本题满分12分）3-λ解 A-λE=-101202-λ1=(2-λ)(3-λ)，2分03-λ所以得特征值λ1=2,λ2=λ3=32分⎛101⎫⎪对λ1=2，解方程组(A-2E)x=0，由A-2E=-101⎪，得特征向量001⎪⎝⎭⎛0⎫⎪ξ1=1⎪0⎪⎝⎭⎛0⎫⎪所以对应λ1=2的全部特征向量为c1 1⎪,c1≠03分0⎪⎝⎭⎛0 1对λ2=λ3=3，解方程组(A-3E)x=0，由A-3E=-0⎝01⎫1⎛10⎪r 1-1⎪−−→0 0100⎪0 ⎭⎝00⎫⎪⎪，⎪⎭⎛1⎫⎛1⎫⎪⎪得特征向量ξ2=-1⎪,全部特征向量为c2 -1⎪,c2≠03分0⎪0⎪⎝⎭⎝⎭A没有三个线性无关的特征向量，所以不能对角化.2分七．（本题满分12分）⎛1λ解：f的矩阵为A=λ4 -12⎝-1⎫⎪2⎪．…………2分 4⎪⎭因此，二次型f为正定二次型．⇔矩阵A为正定矩阵．⇔矩阵A的各阶顺序主子式全大于零．…………2分而矩阵A的各阶顺序主子式分别为D1=1>0，D2=1λ=4-λ2，…………2分λ41D3=A=λλ-12=-4(λ-1)(λ+2)．…………2分 44-12所以，二次型f 为正定二次型．⇔D2=4-λ2>0，且D3=-4(λ-1)(λ+2)>0由 D2=4-λ2>0，得-2<λ<2 ．由 D3=-4(λ-1)(λ+2)>0，得-2<λ<1 ．因此，得-2<λ<1 ．即，二次型f为正定二次型．⇔-2<λ<1…………4分八．（本题满分8分）已知三维向量空间的一组基为α1=(1，1，0)，α2=(1，0，1)，α3=(0，1，1)求向量β=(2，0，0)在上述基下的坐标．解：设向量β在基(α1，α2，α3)下的坐标为(x1，x2，x3)，则有x1α1+x2α2+x3α3=β，2分写成线性方程组的形式，有⎛1⎫⎛1⎫⎛0⎫⎛2⎫⎪⎪⎪⎪x1 1⎪+x2 0⎪+x3 1⎪=0⎪2分 0⎪1⎪1⎪0⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即⎧x1+x2=2⎪⎨x1+x3=0，⎪x+x=03⎩2得唯一解x1=1，x2=1，x3=-1，3分，1，-1)．1分因此所求坐标为(1九．（本题满分12分）证法1：记A=(α1,α2,Λ,αm),B=(α1,α2,Λ,αm,β)，显然r(A)≤r(B).1°因为α1,α2,Λ,αm线性无关，知r(A)=m1分2°因为α1,α2,Λ,αm,β线性相关，知r(B)<m+1 1分因此r(B)=m，1分Ax=(α1,α2,Λ,αm)x=b有解且唯一。
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线性代数A 期末模拟试卷
（无答案）
一、选择题（本大题共5小题，每题3分，共15分）
1.设A 是p ×s 矩阵，C 是m ×n 矩阵，如果AB T C 有意义，则B 是什么矩阵（ ）
(A)p ×n (B)p ×m (C) s ×m (D)m ×s
2.设A ，B 均为n 阶可逆矩阵，则下列各式中不正确的是-------（ ）
(A)(A+B)T =A T +B T (B) (A+B)-1=A -1+B -1
(C)(AB)-1=B -1A -1 (D)(AB)T =B T A T #
3.线性方程组02020ax z x ay z ax y z +=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩
只有零解，则a 的取值为---（ ）
(A)a=2 (B)a ≠2 (C)a=1 (D)a ≠1
4.设A 是n 阶方阵，|A|=0，则下列结论中错误的是------（ ）
(A) R(A)<n
(B)A 有两行元素成比例
(C)A 的n 个列向量线性相关
(D)A 有一个行向量是其余n 个行向量的线性组合
5.已知3阶矩阵A 相似于B ，A 的特征值为2、3、4，E 为3阶单位矩阵，则|B-E|=---------（ ） 、
(A)6； (B)12； (C)24； (D)48
二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分） 1.已知0333231232221131211
≠=k a a a a a a a a a ，则=---32
323331121213112222232141062532125321a a a a a a a a a a a a ． 2.若A,B 为3阶方阵，且|A|=2,|B|=2,则|-2A|= ,|A -1B T |= .
3.设A 是三阶方阵，A 的特征值为2,3,λ,且|2A|=48，则=λ , R(A)= 。
4.已知⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=130120005A ，则A -1= ．
5.设A 为n 阶矩阵，|A|=-2，求|3（A ）-1A *|= 。
…
三、计算题（本大题共5小题，每题10分，共50分）
1.（1）计算行列式3...22............2 (322)
...23=
n D （2）设3351
110
2431
5211
3------=D ，D 的（i ，j ）元的代数余子式记作A ij 。
求A 31+3A 32-2A 33+2A 34。
（3）已知齐次线性方程组⎪⎩
⎪⎨⎧=+⋅+=+⋅+=++⋅0322103210321x x x x x x x x x μμλ有非零解，求μλ、的值。
2.&
3.设112223433A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100211122B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
，矩阵X 满足方程AX=B ，求X.
3.（1）设⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=3232132-1k k k A ，问k 为何值时，可使✍R(A)=1;✍R(A)=2;
✍R(A)=3.
★（2）设有线性方程组12312321231
-x x x x x x x x x λλλλλ
⎧--=⎪-+-=-⎨⎪-+=⎩，问λ取何值时，此方程
组✍有唯一解；✍无解；✍有无限多解？并在有无限多解时求其通解。
—
4.★（1）已知向量组123452*********,,,,.4622436979ααααα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
求向量组的秩及一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示。
（2）求非齐次线性方程组⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=+--=-+-=+--，，，
2132130432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解。
5.★（1）设矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=2-4242-2-22-1A ，问A 能否对角化？若能，则求可逆
矩阵P 和对角矩阵Λ，使Λ=-AP P 1.
<
★（2）设⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=5041
3102X A ，问x 为何值时，矩阵A 能对角化？
★（3）设⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=310130004A ，求一个正交矩阵P ，使Λ=-AP P 1为对角矩阵。
五、证明题（本大题共2小题，每题10分，共20分） (
1.设向量123,,ααα线性无关，1123,βααα=+-212323,βααα=+-
312334βααα=++ ，试证明123,,βββ也线性无关。
2.设3阶矩阵A 的特征值为1，-1，2，证明|A*+3A-2E|=9。