2018春八年级数学下册第17章一元二次方程17.4一元二次方程的根与系数的关系习题课件(新版)沪科版
沪科版八年级数学下册 第17章 一元二次方程 17.4 一元二次方程的根与系数的关系(课件)
x1+x2
=
b a
，
x1x2
=c a
.
课后作业
1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的习题.
b b2 4ac
x1 =
2a
b b2 4ac
x1 =
2a
所以 x1 + x2 = b
b2 4ac 2a
+b b2 4ac 2a
=2b = b
2a
a
x1x2 = b
b2 4ac 2a
·b b2 4ac 2a
= 4ac = c 4a2 a
韦达定理
如果 ax2+ bx + c = 0（a ≠ 0）的两根为 x1，x2，
1 x2 2
4 x2
4 2
k7
答：方程的另一个根为 1 ，k 的值为 7.
2
想 一 想 本题还有别的解法吗？
解 将 x = –4 代入方程，得
2×（ –4 ）2 +（ –4 ）k – 4 = 0. 解得 k = 7.
将 k = 7代入方程，得 2x2 + 7x – 4 = 0，
解得
x1
1 2
x2 4
随堂演练
1. 关于 x 的方程 x2 + px + q = 0 的根为 x1
= 1+2 ，x2 = 1 2– ，则 p–2= ，–q1=
.
2. 已知方程 5x2 + kx – 6 = 0 的一根是 2，
则另一根是 3 ， k＝–7 .
5
3. 求下列方程的两根 x1，x2 的和与积： （1）x2 – 3x + 2 = 0； （2）x2 + x = 5x +
沪科版八年级下册数学第17章 一元二次方程 一元二次方程的根与系数的关系(2)
值为
()
3
3
4
4
A6 ．(－中1考或·烟台)B等．腰－三1 角形C三. 边长分D．别不为存a，在b，2，且
a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的
两根，则n的值为( )
A．9 B．10 C．9或10 D．8或10
一元二次方程根与系数的关系的几种常用变形：
(1)x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2；
程，求x1－x2的值.
解： 由韦达定理，得
x1＋x2＝
3 2
，x1
x2＝
1 2
.
x1－x2 2＝ x1＋x2 2 －4x1x2
＝
3 2
2
－4
1 2
＝
1 4
.
∴x1－x2＝
1 2
.
总结
知2－讲
求与根有关的代数式的值时，看代数式是否具有 对称性，若具有对称性，则直接变形，将两根之和或 积代入求值；若不具有对称性，则将其中的某一个根 单独代入方程中，得到与待求值的代数式相关的结构， 进行整体代入求值．
知2－讲
例4 已知x1，x2是关于x的一元二次方程kx2＋4x－3＝0 的两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围．
(2)是否存在这样的实数k，使2x1＋2x2－＝32成 立？若存在，求出k的值；若不存在，说明x1理x2由．
导引：(1)根据方程有两个不相等的实数根得Δ＞0，可求出k 的取值范围，同时注意k≠0； (2)先假设存在，根据根与系数的关系列出以k为未知数 的方程，求出k的值，然后结合(1)中k的取值范围检 验．
第17章一元二次方程
17.4一元二次方程的根 与系数的关系
1 课堂讲解 一元二次方程的根与系数的关系
2017-2018学年沪科版八年级数学下册全册导学案
2017-2018学年沪科版八年级数学下册全册导学案目录✧二次根式✧二次根式的加减(1)✧二次根式的加减(2)✧二次根式的乘除(1)✧二次根式的乘除(2)✧第16章小结与复习✧一元二次方程✧一元二次方程根的判别式✧一元二次方程的解法——公式法✧一元二次方程的解法——因式分解法✧一元二次方程的解法——配方法✧一元二次方程的根与系数的关系✧一元二次方程的应用(1) ✧一元二次方程的应用(2) ✧第17章小结与复习✧勾股定理(1)✧勾股定理(2)✧勾股定理的逆定理✧第18章小结与复习✧多边形内角和✧平行四边形(1)✧平行四边形(2)✧平行四边形(3)✧平行四边形(4)✧矩形(1)✧矩形(2)✧菱形(1)✧菱形(2)✧正方形✧综合与实践多边形的镶嵌✧第19章小结与复习✧数据的离散程度(1)✧数据的离散程度(2)✧数据的集中趋势(1)✧数据的集中趋势(2)✧数据的集中趋势(3)✧数据的集中趋势(4)✧数据的频数分布(1)✧数据的频数分布(2)✧综合与实践体重指数✧第20章小结与复习第16章二次根式二次根式【学习目标】1．理解二次根式的概念，并利用a(a≥0)的意义解答具体题目．2．理解(a)2＝a(a≥0)，a2＝a(a≥0)，并利用它进行计算和化简．【学习重点】a(a≥0)是一个非负数；(a)2＝a(a≥0)和a2＝a(a≥0)及其运用．【学习难点】用分类思想的方法导出a(a≥0)是一个非负数；用探究的方法导出a2＝a(a≥0)．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．解题思路：仿例3中分式分母不为0，∴x≠0，二次根式中被开方数为非负数，∴2－x≥0.∴x≤2且x≠0.解题思路：范例2中两个二次根式的被开方数为非负数，且互为相反数，所以x－4＝0，x＝4.归纳：判断一个式子是否为二次根式，一定要紧扣二次根式的定义：(1)根指数为2(通常省略不写)；(2)被开方数为非负数，要使二次根式有意义，被开方数必须为非负数．情景导入生成问题旧知回顾：用带有根号的式子填空，观察写出的结果有什么特点？(1)面积为3的正方形边长为3，面积为S的正方形边长为S．(2)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2，则它的宽为65．以上所填的结果分别表示3，S，65负数(包括字母或式子表示的非负数)的算术平方根．自学互研生成能力知识模块一二次根式的定义【自主探究】阅读教材P2～3，完成下列问题：什么是二次根式？二次根式有意义的条件是什么？为什么？答：我们把形式如a(a≥0)的式子叫做二次根式．二次根式有意义的条件是a≥0，因为在实数范围内，负数没有平方根，所以被开方数只能是正数或0，即a≥0.范例1：下列式子中，是二次根式的是(A)A ．－ 3B .33 C . a D ．a仿例1：若1－3x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是x ≤13．仿例2：使式子4－x 无意义，则x 的取值范围是x ＞4．仿例3：(丹东中考)若式子2－xx有意义，则实数x 的取值范围为x ≤2且x ≠0．范例2：(德州中考)若y ＝x －4＋4－x2＋2，求(x ＋y)y 的值．解：依题意有：⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，4－x ≥0，∴x ＝4，∴y ＝2，故(x ＋y)y ＝(4＋2)2＝36.仿例：已知y ＝9－x ＋x －9＋1，则y x ＝1．学习笔记：归纳：运用性质(a)2＝a 时，一定要有a ≥0的条件，若遇二次根式a 2化简时先写成|a|的形式，再根据a 的正负性去掉绝对值符号．行为提示：教师结合各组反馈的疑难问题分配展示任务，各组在展示过程中，老师引导其他组进行补充、纠错，最后进行总结评分．学习笔记：检测可当堂完成.知识模块二 二次根式的性质1、2 二次根式的性质1和性质2分别是什么？答：性质1：(a)2＝a(a ≥0)，性质2：a 2＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≥0），－a （a ＜0）.范例3：计算：(1)( 1.4)2；(2)－(35)2；(3)(－32)2；(4)(5x 2＋1)2.解：(1)原式＝1.4；(2)原式＝－35；(3)原式＝18；(4)原式＝5x 2＋1.仿例：下列计算正确的是( C )A ．(5)2＝25B ．(－－3)2＝－3C ．(0)2＝0D ．(52)2＝10范例4：化简：(1)9；(2)（－4）2；(3)25；(4)（－3）2. 解：(1)原式＝32＝3；(2)原式＝42＝4；(3)原式＝52＝5； (4)原式＝32＝3.仿例1：下列各式中，正确的是( B ) A .（－3）2＝－3 B ．－32＝－3 C .（±3）2＝±3 D .32＝±3仿例2：（2a －1）2＝1－2a ，则a ≤12．交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的新问题”和通过“自主探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 二次根式的定义知识模块二 二次根式的性质1、2检测反馈 达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________二次根式的加减(1)【学习目标】1．理解二次根式加减的实质，掌握二次根式加减的方法和步骤．2．在分析问题中，渗透对二次根式加减的方法的理解，再总结经验，用它来指导二次根式的计算与化简．【学习重点】二次根式的加减运算．【学习难点】会熟练进行二次根式的加减运算．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．解题思路：合并同类二次根式类似于合并同类项，就是将同类二次根式根号外的因式合并，根指数与被开方数保持不变．情景导入生成问题旧知回顾：1．什么是最简二次根式？答：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．2．合并同类项法则是什么？答：字母不变，系数相加减．3．化简：18，32，50，结果有何特征？答：18＝32，32＝42，50＝52，化成最简二次根式后，被开方数相同．自学互研生成能力知识模块一同类二次根式【自主探究】阅读教材P10～11，完成下列问题：什么是同类二次根式？答：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，像这样的二次根式称为同类二次根式．范例1：给出以下二次根式：①12；②22；③23；④27.其中与3是同类二次根式的是(C)A．①和②B．②和③C．①和④D．③和④仿例1：在8，12，18，20中，与2是同类二次根式的是仿例2：如果最简二次根式3a－8与17－2a是同类二次根式，那么a＝5．知识模块二二次根式的加减二次根式加减的法则是什么？答：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．范例2：下列各组二次根式中，可以进行加减合并的一组是(C)A.12与72B.63与72C.8x3与22xD.6与18仿例1：计算：(1)75＋8－200－27；解：原式＝53＋22－102－33＝23－82；学习笔记：二次根式的加减：①将每个二次根式化简；②找出同类二次根式；③合并同类二次根式．若有括号，一般先去括号，再合并同类二次根式．归纳：二次根式的加减实质是合并同类二次根式，非同类二次根式不能合并．行为提示：教师结合各组反馈的疑难问题分配展示任务，各组在展示过程中，老师引导其他组进行补充，纠错，最后进行总结评分．学习笔记：检测可当堂完成． (2)6－ 1.5－23＋16； 解：原式＝6－62－63＋66＝63； (3)23－313－8＋1212＋128.解：原式＝23－3－22＋3＋2＝23－ 2.仿例2：一个三角形的三边长分别为8 cm ，12 cm ，18 cm ，则这个三角形的周长是(52＋23)cm .仿例3：计算：8－12＝322；613－27＋418＝－3＋2．仿例4：若最简二次根式2a ＋5与7a －10是同类二次根式，则a ＝3．仿例5：等腰三角形两条边长分别为8和52，那么这个三角形的周长等于( B ) A ．92 B ．12 2C ．92或122D ．4＋52或22＋10 仿例6：计算： (1)232－12＋8－3＋12－18； 解：原式＝223－22＋22－3＋23－32＝3－562；(2)8－1848－(23412－234)；解：原式＝22－123－2＋3＝2＋32；(3)13(108－613)－2(18－27)＋ 2. 解：原式＝23－233－22＋63＋2＝2233＋22.交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的新问题”和通过“自主探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 同类二次根式 知识模块二 二次根式的加减检测反馈 达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________二次根式的加减(2)【学习目标】1．会进行二次根式的混合运算，并熟练应用乘法公式．2．通过对二次根式的加减乘除混合运算，提高学生综合解题的能力． 【学习重点】会进行二次根式的混合运算． 【学习难点】二次根式混合运算顺序的确定和运算的准确性．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．知识链接：在二次根式的运算中，实数的运算性质和法则同样适用，二次根式的混合运算顺序也与实数混合运算顺序相同．情景导入 生成问题旧知回顾：1．二次根式加减的法则是什么？答：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．2．计算：(1)146×38＝33；(2)542×14＝153．3．写出我们学过的乘法公式：平方差公式：(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2；(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2；(a －b)2＝a 2－2ab ＋b 2.自学互研 生成能力知识模块一 二次根式的混合运算 【自主探究】阅读教材P 11，完成下列问题： 二次根式的混合运算如何进行？答：(1)二次根式的混合运算顺序和实数混合运算顺序一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的，先算括号内的．范例1：(乐山中考)化简54×12＋12的结果是( D ) A ．5 2 B ．6 3 C . 3 D ．5 3仿例1：计算(548＋12－627)÷3的值是( A ) A ．4 B ．－4 C ．2 D ．－2 仿例2：计算：(1)(18－56)×12＝(2)(2＋1)÷8－224仿例3：计算： (1)13×3(18＋6－1272)； 解：原式＝33(32＋6－32)＝2；(2)(46－412＋38)÷2 2.解：原式＝(46＋42)÷22＝23＋2. 学习笔记：归纳：进行二次根式的混合运算时，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再根据题目的特点确定合理的运算方法，同时要灵活运用乘法公式，因式分解等简化计算．行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学，对照答案，提出疑惑，小组内解决不了的问题，写在小黑板上，在小组展示的时候解决．学习笔记：教会学生整理反思.知识模块二 运用运算律及乘法公式计算 范例2：计算：(1)(5－2)(5＋2)＝3； (2)(3－2)2＝5－26．仿例1：计算(5－3)(5＋3)－(2＋6)2的结果是( D )A ．－7B ．－7－23C ．－7－83D ．－6－4 3 仿例2：计算：2(2－1)－(2＋1)0＝1－2．仿例3：3－2的相反数是2－3，倒数是－3－2，绝对值是2－3． 仿例4：若a ＝3－7，b ＝7＋3，则a ＋b 的值是6，ab 的值是2． 仿例5：已知x ＝2＋1，y ＝2－1，则x 2y －xy 2的值为2． 仿例6：计算：(1)(212－418＋348)×52；解：原式＝(2×23－4×142＋3×43)×52＝806－10；(2)(20＋5)÷5－13×12；解：原式＝(25＋5)÷5－133×12＝3－43；(3)(2－12＋1)2 016×(22＋3)2 015.解：原式＝(3－22)2 016×(22＋3)2 015＝3－2 2.交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的新问题”和通过“自主探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 二次根式的混合运算知识模块二 运用运算律及乘法公式计算检测反馈 达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________二次根式的乘除(1)【学习目标】1．理解a ·b ＝ab(a ≥0，b ≥0)，ab ＝a ·b(a ≥0，b ≥0)，并利用它们进行计算和化简．2．由具体数据发现规律，导出a ·b(a ≥0，b ≥0)，利用逆向思维得出ab ＝a ·b ，并利用它们进行计算或化简．【学习重点】a ·b ＝ab(a ≥0，b ≥0)，ab ＝a ·b(a ≥0，b ≥0)及它们的运用． 【学习难点】发现规律，导出a ·b ＝ab(a ≥0，b ≥0)．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．解题思路：非负数的积的算术平方根等于积中多因式算术平方根的积．归纳：二次根式相乘，根号不变，把被开方数相乘．情景导入 生成问题旧知回顾：1．什么是二次根式？二次根式有意义的条件是什么？答：形如a(a ≥0)的式子叫做二次根式．二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0. 2．二次根式的性质1、性质2是什么？答：(a)2＝a(a ≥0)，a 2＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≥0），－a （a ＜0）.自学互研 生成能力知识模块一 二次根式的乘法 【自主探究】阅读教材P 6～7，完成下列问题：二次根式的乘法公式是怎样的？如何证明？答：二次根式的乘法公式：如果a ≥0，b ≥0，那么有a ·b ＝ab.∵当a ≥0，b ≥0时，(a ·b)2＝(a)2·(b)2＝ab ，又(ab)2＝ab ，ab 的算术平方根只有一个，所以a ·b ＝ab.范例1：计算：(1)18×24(2)15×6仿例1：下列计算正确的是( D )A ．25×35＝6 5B ．32×33＝3 6C ．42×23＝8 5D ．22×63＝12 6仿例2：等式x ＋1·x －1＝x 2－1成立的条件是( A ) A ．x ≥1 B ．x ≥－1C ．－1≤x ≤1D ．x ≥1或x ≤－1学习笔记：几个二次根式相乘，被开方数相乘时，可将被开方数分解质因数，然后根据ab ＝a ·b(a ≥0，b ≥0)，将能开得尽方的因数移到根号外．行为提示：教师结合各组反馈的疑难问题分配展示任务，各组在展示过程中，老师引导其他组进行补充、纠错，最后进行总结评分．学习笔记：检测可当堂完成.知识模块二利用积的算术平方根的性质化简二次根式积的算术平方根的性质是什么？如何得到？答：二次根式性质3(即二次根式乘法公式)，a·b＝ab，由等式对称性，性质3也可以写成ab＝a·b(a≥0，b≥0)．范例2：化简：(1)225；(2)49×121；(3)252－242；(4)（－2）2×8×3.解：(1)原式＝152＝15；(2)原式＝72×112＝77；(3)原式＝49×1＝7；(4)原式＝22×22×2×3＝4 6.仿例1：计算：(1)16×25＝20；(2)（－15）×（－27）＝95．仿例2：已知b＞0，化简－a3b的结果是(A)A．－a－ab B．－a abC．a ab D．a－ab变例1：设2＝a，3＝b，用含有a、b的式子表示54，下列表示正确的是(B) A．6ab B．3ab C．9ab D．10ab变例2：(怀化中考)计算32×12＋2×5的结果估计在(B)A．6至7之间B．7至8之间C．8至9之间D．9至10之间交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的新问题”和通过“自主探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一二次根式的乘法知识模块二利用积的算术平方根的性质化简二次根式检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________二次根式的乘除(2) 【学习目标】1．理解ab＝ab(a≥0，b＞0)和ab＝ab(a≥0，b＞0)及利用它们进行运算．2．理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．【学习重点】理解ab＝ab(a≥0，b＞0)，ab＝ab(a≥0，b＞0)及利用它们进行计算和化简．【学习难点】发现规律，归纳出二次根式的除法法则和对最简二次根式的理解．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案，教会学生落实重点．解题思路：利用商的算术平方根，可将被开方数为分数形式的二次根式化简．情景导入生成问题旧知回顾：1．二次根式的乘法公式和积的算术平方根公式？答：a·b＝ab(a≥0，b≥0)，ab＝a·b(a≥0，b≥0)．2(1)3649＝67，3649＝67；(2)916＝34，916＝34．答：3649＝3649，916＝916.规律：两个二次根式相除，根号不变，把被开方数相除．自学互研生成能力知识模块一 二次根式的除法 【自主探究】阅读教材P 7～8，完成下列问题：二次根式除法公式是什么？如何证明？答：性质4，如果a ≥0，b ＞0，那么有a b ＝a b .∵(a b )2＝（a ）2（b ）2＝a b，(a b )2＝a b ，ab 的算术平方根只有一个，∴a b＝ab .范例1：计算：(1)123；(2)32÷18；(3)14÷116.解：(1)原式＝123＝4＝2；(2)原式＝32×8＝12＝23；(3)原式＝14×16＝2.仿例：计算：(1)－27÷3＝－3；(2)－122÷210＝－20(3)2x 2y 3xy ＝3学习笔记：最简二次根式具备以下两个特点：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式．在化简二次根式时要注意：(1)有时需将被开方数分解因式；(2)当一个式子的分母中含有二次根式时，一般应先分母有理化．行为提示：积极发表自己的不同看法和解法，大胆质疑，认真倾听，做每步运算都要有理有据，避免知识上的混淆及符号等错误．学习笔记：检测可当堂完成.知识模块二 利用商的算术平方根化简二次根式 商的算术平方根是怎样的？答：由二次根式除法规定，a b ＝a b (a ≥0，b ＞0)，反过来可得，a b ＝ab(a ≥0，b ＞0)，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．范例2：化简：21425＝85；0.04×251.21×16＝522．仿例：等式x －3x －5＝x －3x －5成立的条件是( D ) A ．x ≠5 B ．x ≥3 C ．x ≥3且x ≠5 D ．x ＞5 知识模块三 最简二次根式 【自主探究】阅读教材P 8，完成下列问题：什么是分母有理化？什么是最简二次根式？答：把分母中的根号化去，就是分母有理化，满足下面两个条件的二次根式就是最简二次根式：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数不含开得尽方的因数或因式．范例3：在3a 2，143，0.3，18，x 2＋y 2中，最简二次根式有2个．仿例1：把下列二次根式化为最简二次根式：(1)98； (2)36a 2b(a ＞0)； (3)335.解：(1)原式＝72；(2)原式＝6a b ；(3)原式＝3510.仿例2：计算：(1)－4318÷28×1354； (2)2xy ÷(－32x 2y ·3x)解：(1)原式＝－6；(2)原式＝－49x.交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的新问题”和通过“自主探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 二次根式的除法知识模块二 利用商的算术平方根化简二次根式 知识模块三 最简二次根式检测反馈 达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________第16章小结与复习【学习目标】1．引导学生回顾本章内容，以独立思考和小组讨论的学习方式，以便学生自己梳理知识，形成知识的联系，使新旧知识成为一个有机的整体．2．通过小结与复习加深对二次根式概念和性质的理解，通过练习，进一步提高学生的计算能力和解决简单实际问题的能力．【学习重点】二次根式性质的运用和含二次根式的式子的混合运算． 【学习难点】综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么．行为提示：教会学生怎么交流，先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决．方法指导：二次根式的大小比较有多种方法，可以估算，也可用特殊方法(如平方法、取倒数法、作差法等)比较大小．情景导入 生成问题知识结构框图：二次根式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧定义：形如a （a ≥0）的式子性质：（a ）2＝a （a ≥0），a 2＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≥0），－a （a ＜0）ab ＝a·b （a ≥0，b ≥0），a b ＝ab（a ≥0，b ＞0）运算：a·b ＝ab （a ≥0，b ≥0），a b＝a b （a ≥0，b ＞0）二次根式的加减→合并同类二次根式自学互研 生成能力知识模块一 二次根式的定义与性质范例1：分别指出下列根式是不是二次根式：(1)（－5）2；(2)（－4）3；(3)325；(4)－π；(5)－m 2－3. 解：(1)是二次根式；(2)(3)(4)(5)不是二次根式．仿例1：要使5－x ＋1x －1有意义，则x 应满足( D ) A ．1≤x ＜5 B ．x ≤5且x ≠1 C ．1＜x ＜5 D ．1＜x ≤5 仿例2：已知(x －y ＋3)2＋2x ＋y ＝0，则x ＋y 的值为( C ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．5仿例3：实数a ，b 在数轴上的对应点如图，化简a 2－4ab ＋4b 2＋|a ＋b|的结果为－3b ．仿例4：若2＜a ＜3，则（2－a ）2－（a －3）2＝2a －5． 知识模块二 二次根式的化简及大小比较范例2：已知a ＝35，b ＝52，c ＝5，则a 、b 、c 的大小关系是b ＞a ＞c ． 仿例1：下列判断正确的是( A ) A .32＜3＜2 B ．2＜10＜3 C ．1＜5＜2 D ．4＜15＜5 学习笔记：行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学，对照答案，提出疑惑，小组内解决不了的问题，写在小黑板上，在小组展示的时候解决．行为提示：教师结合各组反馈的疑难问题分配展示任务，各组在展示过程中，老师引导其他组进行补充，纠错，最后进行总结评分．学习笔记：教会学生整理反思．检测可当堂完成． 仿例2：二次根式25，25，25的大小关系是25＞25＞25． 仿例3：比较大小：(1)15－14＜14－13(取倒数法)； (2)6＋11＞14＋3(平方法)． 知识模块三 二次根式的计算范例3：计算27－1318－12的结果是( C )A ．1B ．－1C .3－2D .2－ 3 仿例1：已知m ＝3＋5，n ＝3－5，则m 2n －mn 2＝85． 仿例2：计算(3－22)2(3＋22)2所得的结果为( A ) A ．1 B . 2 C ．6 D ．8仿例3：计算(3－1)2＋(3＋2)2－2(3－1)(3＋2)的正确结果为( B ) A ．9－2 3 B ．9C ．9＋2 3D ．9＋4 3仿例4：已知a ＝12＋3，求1－2a ＋a 2a －1－a 2－2a ＋1a 2－a 的值．解：由已知a ＝12＋3，得a ＝2－3，1a ＝2＋3，a －1＝1－3＜0，所以原式＝（a －1）2a －1－（a －1）2a （a －1）＝a －1＋a －1a （a －1）＝a ＋1a －1＝2－3＋2＋3－1＝3.交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的新问题”和通过“自主探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 二次根式的定义与性质 知识模块二 二次根式的化简及大小比较 知识模块三 二次根式的计算检测反馈 达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________第17章一元二次方程一元二次方程【学习目标】1．使学生了解一元二次方程及整式方程的意义．2．掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项． 【学习重点】一元二次方程的意义及一般形式． 【学习难点】正确识别一般式中的“项”及“系数”．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．知识链接：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解．解题思路：判断一个方程是否为一元二次方程，不能光看其表面形式，要根据整理(去括号，移项，合并同类项)以后的结果来确定．情景导入 生成问题旧知回顾：1．什么是一元一次方程？答：只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等式两边都是整式，这样的方程叫一元一次方程．2．根据题意列出方程，并判断是否为一元一次方程？(1)面积为900 m 2的一块绿地，长比宽多10 m ，求绿地长和宽各为多少米？(2)一个小组的同学元旦见面时，每两人都握手一次，所有人共握手28次，求小组同学数x.解：(1)设绿地宽为x m ，列方程得x(x ＋10)＝900，整理得x 2＋10x －900＝0；(2)由题意得x （x －1）2＝28，整理得x 2－x －56＝0.以上所列方程均不是一元一次方程．自学互研 生成能力知识模块一一元二次方程【自主探究】阅读教材P19～20，完成下面的问题：什么是一元二次方程？举例说明．答：像x2＋2x－1＝0，x2－36x＋35＝0这样的方程，都是只含有一个未知数，并且未知数最高项次数是2的整式方程叫做一元二次方程．范例1：下列方程中，是关于x的一元二次方程的是(A)A．3(x＋1)2＝2(x＋1) B.1x2＋1x－2＝0C．x2－1＝y D．x2＋2x＝x2－1仿例：方程(m＋2)x|m|＋3mx＋1＝0是关于x的一元二次方程，则(B)A．m＝±2 B．m＝2C．m＝－2 D．m≠±2范例2：(百色中考)已知x＝2是一元二次方程x2－2mx＋4＝0的一个解，则m的值为(A)A．2 B．0 C．0或2 D．0或－2仿例：若m(m≠0)是关于x的一元二次方程x2＋nx＋m＝0的根，则m＋n＝－1．学习笔记：要注意一元二次方程的定义中二次项系数不能为0，一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a、b、c是已知数，a≠0)，一定要掌握它的特征．行为提示：在群学后期教师可有意安排每组的展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．有展示，有补充、有质疑、有评价穿插其中．学习笔记：检测可当堂完成.知识模块二一元二次方程的一般形式阅读教材P 20，完成下列问题： 一元二次方程的一般形式是什么？答：一元二次方程的一般形式是ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．其中，二次项系数是a ，一次项系数是b ，常数项是c.范例3：一元二次方程x 2－2(3x －2)＋(x ＋1)＝0的一般形式是x 2－5x ＋5＝0．仿例：一元二次方程2x 2－1－3x ＝0的二次项系数是2，一次项系数是－3，常数项是－1．知识模块三 根据实际问题列方程范例4：现代化教学设备实现“班班通”，某市2014年安装“班班通”多媒体设备的经费是144万元，2016年安装“班班通”多媒体设备的经费是300万元．若设这两年安装“班班通”多媒体设备的经费平均增长率为x ，则可列方程144(1＋x)2＝300．仿例1：如图是一张长9 cm 、宽5 cm 的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是12 cm 2的一个无盖长方体纸盒．设剪去的正方形的边长为x cm ，可列出关于x 的方程为(9－2x)(5－2x)＝12，化简得4x 2－28x ＋33＝0．仿例2：有几位同学约定，在新年零点钟声敲响后，互通电话祝福，他们通话的总次数为21次，求参与约定的同学数x.可列方程为x （x －1）2＝21，化简为x 2－x －42＝0.交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的新问题”和通过“自主探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 一元二次方程知识模块二 一元二次方程的一般形式 知识模块三 根据实际问题列方程检测反馈 达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________一元二次方程的根与系数的关系【学习目标】1．掌握一元二次方程的根与系数的关系，并会初步应用． 2．灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决实际问题．【学习重点】根与系数的关系及其推导． 【学习难点】正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案，教会学生落实重点．归纳：一元二次方程根与系数关系揭示了两根与其系数间的奇妙关系，但它的使用必须以b 2－4ac ≥0为前提．情景导入 生成问题旧知回顾：1．一元二次方程的一般形式是什么？ 答：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．2．一元二次方程的求根公式是什么？答：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，求根公式为x ＝－b±b 2－4ac 2a(b 2－4ac ≥0)．它揭示了两根与系数间的直接关系，那么一元二次方程根与系数间是否还有更深一层的关系呢？自学互研 生成能力知识模块 一元二次方程根与系数的关系 【自主探究】阅读教材P 37～38，完成下列问题：一元二次方程根与系数的关系是怎样的？如何推导？答：如果ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根为x 1、x 2，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca，这个关。
一元二次方程的根与系数的关系 (2)
2.一次项系数为零的方程
3.没有实数根的方程
4.二次项系数不为1的方程。
让学生动手操作，观察规律
初步探求
二次项系数为1的方程x2+px+q=0当△≥0时，关根系关系的猜想你能证明吗？
学生利用求根公式 得出
x1+x2=-p x1x2=q
学生经历了猜想，质疑，论证的过程。让学生明确特殊与一般的关系以及证明的必要性。
2.a≠0，b2-4ac≥0时ax2+bx+c=0的两根x1，x2满足x1+x2=－ x1x2=
3.一元二次方程根系关系的应用。
总结回顾
作业
课本第40页：习题1～5题.
板书设计
ax2+bx+c=0（a≠0）x2+ x2+px+q=0
△≥0x1+x2=- x1x2= x1+x2=-p x1x2=q
2.本课的教学对象是初中八年级学生，学生对事物的认识是直观的，形象的，他们所注意的多是事物直观的，具体形象的特征。
3.在教学开始的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。
4.部分学生在学习后感受到了它强大的解题功能，可以激发他们进一步探索其他规律的兴趣。
3.情感目标：通过让学生自己参与探究，激发学生主动学习数学的兴趣。体验数学学习活动中充满着探索与创造，并活动成就感，从而建立信心。
教学重难点
1.重点：一元二次方程根于系数的关系。
2.难点：让学生从具体方程中发现根与系数的关系，并用语言表述，已经由一元二次方程的一个根求另一个根及未知数。
教学环节
教师活动
教学目标
1.知识目标：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求另一个根及未知数。
八年级数学下册17、2一元二次方程的解法17、2、2配方法新版沪科版
8．【合肥瑶海区期中】若方程x2－8x＋m＝0可以通过配方
写成(x－n)2＝6的形式，则x2＋8x＋m＝5可以配成( D )
A．(x－n＋5)2＝1
B．(x＋n)2＝1
C．(x－n＋5)2＝11 D．(x＋n)2＝11
9．【原创题】若x2＋4与2x－12为某个正数的两个不同的 平方根，则这个正数为_6_4_或__4_0_0___________．
6．【中考·聊城】用配方法解一元二次方程2x2－3x－1＝0， 配方正确的是( A )
A.x－342＝1176 C.x－322＝143
B.x－342＝12 D.x－322＝141
7．【中考·临沂】一元二次方程x2－4x－8＝0的解是( B ) A．x1＝－2＋2 3，x2＝－2－2 3 B．x1＝2＋2 3，x2＝2－2 3 C．x1＝2＋2 2，x2＝2－2 2 D．x1＝2 3，x2＝－2 3
【点拨】∵2x2＋8x－32＝0，∴x2＋4x＝16，∴x2＋4x＋ 4＝20， ∴(x＋2)2＝20，∴p＝2，q＝－20， ∴直线表达式为y＝2x－20，∴直线经过第一、三、四象 限，不经过第二象限．
14．用配方法解方程：(2x＋3)(x－6)＝16.
解：(2x＋3)(x－6)＝16，
2x2－9x＝34，x2－92x＝17，
2．【2021·丽水】用配方法解方程x2＋4x＋1＝0时，配方
结果正确的是( D )
A．(x－2)2＝5
B．(x－2)2＝3
C．(x＋2)2＝5
D．(x＋2)2＝3
3．用配方法解方程2x2－x－6＝0开始错误的步骤是(
2x2－x＝6，
① ··
C
)
x2－12x＝3，
②
第17章 一元二次方程(整理与复习)
ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0）
二次项 常数项
判别一个方程是 一元二次方程的 重要条件！
a为二次项系数 一次项 b为一次项系数
3、一元二次方程的解法
直 接 开 平 方 法 配 方 0) 当b 2 4ac 0时，它的根是 b b 2 4ac x 2a
解法
因式分解法 最常用的方法是因式分解法； 比较
最通用的方法是公式法；
最具有局限性的方法是直接开平方法； 最繁琐的方法是配方法.
4、一元二次方程根的判别式
一元二次方程 ax
2
bx c 0a 0 根的判式是:
b 4ac
2
一元二次方程 判别式的情况
根的情况
定理与逆定理
b 2 4ac 0 两个不相等实根 b 2 4ac 0 两个相等实根 b 2 4ac 0 无实根(无解)
(400 x)(8 4 x) 4800 50
2
2.若关于x的方程 (a 2) x a 则a= -2 。
2
2
2 x 5 0 是一元二次方程，
点拨：由题意知a2-2=2且a-2≠0.解得：a=-2
类型二：解法类问题（解方程）
例3 用配方法解方程： 2x2-3X=2
解：化二次项系数为1 3 x2 x 1 2 3 3 3 x 2 x ( ) 2 1 ( ) 2 2 4 4 3 25 (x )2 4 16 3 5 x 4 4 1 x1 2, x 2 2
2
的两个实数根的平方和为23，求m的值。
类型五：应用类问题（面积问题）
例7 用7m长的铝合金做成透光面积（矩形ABCD的面积） 为2 m2的“日”型窗框（2AB>3BC)，求窗框的宽度？（铝 合金的宽度忽略不计）
八年级数学下册《一元二次方程的根与系数的关系》教案、教学设计
（一）教学重难点
1.重点：一元二次方程的根与系数的关系，求根公式的推导与应用，以及在实际问题中的运用。
2.难点：
-理解判别式的概念及其在一元二次方程根的性质判断中的应用。
-对求根公式的记忆和熟练运用，尤其是公式中各个符号的含义和它们之间的关系。
-将实际问题抽象成一元二次方程模型，运用数学知识解决实际问题。
-借助几何图形或动画，形象地展示求根公式的推导过程。
-通过实际例题，指导学生如何运用求根公式解题。
（三）学生小组讨论
1.将学生分成若干小组，针对以下问题进行讨论：
-一元二次方程的根与系数之间存在哪些关系？
-如何利用判别式判断方程的根的情况？
-求根公式在解题过程中的作用是什么？
2.各小组汇报讨论成果，老师进行点评和补充。
4.教学策略与方法：
-采用差异化教学，针对不同学生的学习风格和能力水平，提供个性化的指导和帮助。
-利用信息技术，如数学软件、在线平台等，为学生提供丰富的学习资源和工具，提高学习效率。
-定期进行学习反馈，通过作业、小测验等形式，及时了解学生的学习情况，调整教学进度和方法。
5.情感态度与价值观的培养：
-在教学过程中，注重鼓励学生，增强他们的自信心，培养面对困难的勇气和解决问题的毅力。
二、学情分析
八年级学生已经具备了一定的数学基础，掌握了一元一次方程的解法及其应用，对于一元二次方程也有初步的认识。在此基础上，学生对于本章节《一元二次方程的根与系数的关系》的学习，既有知识储备上的优势，也存在一定难度。大部分学生能够理解根与系数的关系，但可能在运用求根公式解题时，对公式的记忆和运用上存在困难。此外，学生在解决实际问题时，可能难以将问题抽象成一元二次方程模型。因此，在教学过程中，教师应关注以下几点：
沪科版八年级数学下第17章一元二次方程知能素养小专题(四)根的判别式及根与系数的关系的应用习题课件
材料 2：已知实数 m，n 满足 m2－m－1＝0，n2－n－1＝0，且 m≠n，求nm＋
m n的值．
第 22 页
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解：由题知 m，n 是方程 x2－x－1＝0 的两个不相等的实数根，根据材料
n m m2＋n2 （m＋n）2－2mn 1＋2
1 得 m＋n＝1，mn＝－1，故m＋n＝ mn ＝
第 11 页
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∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0， ∴a－b＝0，b－c＝0，a－c＝0，∴a＝b＝c， ∴△ABC 为等边三角形．
第 12 页
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类型 5：利用根与系数的关系求字母的值 6．已知关于 x 的方程 x2＋2(k－1)x＋k2－7k－4＝0 的两根为 α，β，且 满足α3 ＋β3 －α4β＝1.求 k 的值．
第 25 页
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由题知 p，2q 是方程 x2－7x＋2＝0 的两个不相等的实数根，根据材料 1 得 p＋2q＝7，2pq＝2， ∴p2＋4q2＝(p＋2q)2－4pq＝72－2×2＝45.
第 26 页
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类型 6：利用根与系数的关系求代数式的值 9．已知关于 x 的一元二次方程 x2＋(2m－1)x＋m2－3＝0 有实数根． (1)求实数 m 的取值范围； 解：由题意，得 Δ≥0， ∴(2m－1)2－4(m2－3)≥0， 解得 m≤143.
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八年级 数学 下册 沪科版
解：∵α＋β＝2－2k，αβ＝k2－7k－4， 由已知等式变形得 3(α＋β)－αβ＝4. ∴3(2－2k)－(k2－7k－4)＝4， 解得 k＝3 或 k＝－2， 又∵Δ＝4(k－1)2－4(k2－7k－4)≥0， ∴k≥－1，∴k＝3.
沪科版八年级数学下册同步教案 第17章一元二次方程章末复习
章末复习【知识与技能】1.了解一元二次方程的概念,掌握一元二次方程的公式解法和其他解法；能够根据方程的特征,灵活运用一元二次方程的解法求方程的根.2.理解一元二次方程的根的判别式,会运用它解决一些简单的问题.3.掌握一元二次方程根与系数的关系,会用它解一些简单的问题.4.会列出一元二次方程解实际问题.【过程与方法】1.进一步培养学生快速准确的计算能力.2.进一步培养学生严密的逻辑推理与论证能力.3.进一步培养学生的分析问题、解决问题的能力.【情感态度】1.进一步渗透知识之间的相互联系和相互作用.2.进一步渗透“转化”的思想方法及对学生进行辩证唯物主义思想教育.3.进一步体会配方法是解决数学问题的一种思想方法.【教学重点】1.一元二次方程的解法及判别式.2.一元二次方程根与系数的关系以及它的简单应用.【教学难点】列方程解决实际问题,灵活运用根与系数的关系解决问题.一、知识框图,整体把握【教学说明】教师引导学生回顾本章知识点,边回顾边画出本章知识框图,使学生对本章知识有一个总体把握,了解各知识点之间的联系,加深对知识点的理解,为后面的运用奠定基础.二、释疑解惑,加深理解1.一元二次方程的定义和一般形式（1）只含有一个未知数、且未知数的最高次数是2的整式方程,叫做一元二次方程.（2）一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）特别注意：①分母中不含有未知数.②只有当二次项系数a≠0时,整式方程ax2+bx+c=0才是一元二次方程.2.一元二次方程的解法一元二次方程解法有：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法.说明：（1）明确一元二次方程是以降次为目的,以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段,从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；（2）根据方程系数的特点,熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；值得注意的问题：①一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般形式,同时应使二次项系数化为正数.②直接开平方法是最基本的方法.③公式法和配方法是最重要的方法.公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法）,在使用公式法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算根的判别式的值,以便判断方程是否有解.配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法解一元二次方程.但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一,一定要掌握好.（三种重要的数学方法：换元法配方法,待定系数法）.3.一元二次方程根的判别式一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中,b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式,通常用“Δ”来表示,即Δ=b 2－4ac,①当Δ＞0时,一元二次方程有2个不相等的实数根；②当Δ=0时,一元二次方程有2个相同的实数根；③当Δ＜0时,一元二次方程没有实数根.4.一元二次方程根与系数的关系如果方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个实数根是x 1,x 2,那么x 1+x 2=－a b ,x 1x 2=a c .应用根与系数的关系,可以不解方程,计算两根的和或积,求式子的值.5.建立一元二次方程模型解决实际问题建立一元二次方程模型的步骤是：审题、设未知数、列方程.注意：（1）审题过程是找出已知量、未知量及等量关系；（2）设未知数要带单位；（3）建立一元二次方程模型的关键是依题意找出等量关系.【教学说明】教师引导学生对本章重点知识和需要注意的问题进行详细的回顾,使学生对本章知识有进一步的理解,形成知识网络.三、典例精析,复习新知例1 判断关于x 的方程x 2-mx(2x-m+1)=x 中是不是一元二次方程,如果是,指出二次项系数、一次项系数及常项数.【分析】先把方程化为一般形式ax 2+bx+c=0,然后根据一元二次方程的定义可知,当a ≠0时方程是一元二次方程.解：原方程可化为（1-2m ）x 2+(m 2-m-1)x=0.当1-2m=0,即m=21时,原方程整理为-45x=0,原方程是一元一次方程； 当1-2m ≠0,即m ≠21时,原方程是一元二次方程. 此时,二次项系数为1-2m,一次项系数为m 2-m-1,常数项为0.例2 已知关于x 的一元二次方程（m-2）x 2+3x+m 2-2=0的一个根中零.求m 的值. 【分析】(1)正确理解方程的根的概念；（2）要特别注意一元二次方程ax 2+bx+c=0中隐含的a ≠0这个条件.解：方程的一个根是零,即x=0,当x=0时,原方程可化为m 2-2=0.解得m=±2.又∵m-2≠0,即m ≠2,∴m=-2例3（四川绵阳中考）已知关于x 的一元二次方程x 2=2(1-m)x-m 2的两个实数根为x 1,x 2.（1）求m 的取值范围.（2）设y=x 1+x 2,当y 取得最小值时,求相应m 的值,并求出最小值.【分析】（1）一元一次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的条件是b 2-4ac ≥0,不要漏掉b 2-4ac=0的情况.先把方程变形成一般形式,把a,b,c 的值代入b 2-4ac,根据b 2-4ac ≥0求出m 的取值范围.（2）可由一次函数y=kx+b,当k ＞0时,y 随x 的增大而增大；当k ＜0时,y 随x 的增大而减小的性质,根据自变量取值范围,求出一次函数的最大值或最小值.解：（1）将原方程整理为x 2+2（m-1）x+m 2=0.∵原方程有两个实数根,∴Δ=［2(m-1)］2-4m 2=-8m+4≥0,得m ≤21. （2）∵x 1,x 2=-2m+2,∴y=x 1+x 2=-2m+2,∵y 随m 的增大而减小,且m ≤21, ∴当m=21时,y 取得最小值1. 【教学说明】教师出示典型例题,让学生先尝试解答,教师予以讲解,在讲解的过程中,应着重于知识点的应用和解题方法的渗透.四、复习训练,巩固提高1.若方程x 2－3x －1=0的两根为x 1、x 2,则2111x x 的值为( ). A.3 B.－3 C.31 D.－31 2.关于x 的方程(a-6)x 2-8x+6=0有实数根,则整数a 的最大值是（ ）A.6B.7C.8D.93.在一幅长为80cm,宽为50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示,如果要使整个挂图的面积是5400cm 2,设金色纸边的宽为xcm,那么x 满足的方程是（ ）.A.x 2+130x －1400=0B.x 2+65x －350=0C.x 2－130x －1400=0D.x 2－65x －350=04.关于x 的一元二次方程－x2+(2k+1)x+2－k 2=0有实数根,则k 的取值范围是 .5.已知x 1、x 2是方程x 2－3x －2＝0的两个实根,则(x 1－2) (x 2－2)= .6.某电动自行车厂三月份的产量为1000辆,由于市场需求量不断增大,五月份的产量提高到1210辆,则该厂四、五月份的月平均增长率为 .7.解方程：(x －3)2+4x(x －3)=08.阅读材料：为解方程(x 2－1)2－5(x 2－1)+4=0,我们可以将x 2－1 看作一个整体,然后设x 2－1=y,那么原方程可化为y 2－5y+4=0……①,解得y 1=1,y 2=4,当y=1时,x 2－1=1,∴x 2=2,∴x=±2；当y=4时,x 2－1=4,∴x 2=5,∴x=±5,故原方程的解为x 1=2,x 2=－2,x 3=5,x 4=－5. 解答问题：（1）上述解题过程,在由原方程得到方程①的过程中,利用 法达到了解方程的目的,体现了转化的数学思想；（2）请利用以上知识解方程x 4－x 2－6=0.9.关于x 的方程kx 2+(k+2)x+4k =0有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围.(2)是否存在实数k,使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在,求出k 的值；若不存在,说明理由.10.如图,利用一面墙,用80米长的篱笆围成一个矩形场地（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750平方米？（2）能否使所围的矩形场地面积为810平方米,为什么？【答案】1.B 2.C 3.B 4.k ≥－49 5.－4 6.10％10.解：设AD=BC=xm,则AB=（80－2x）m （1）由题意得：x（80－2x）=750解得：x1=15 x2=25当x=15时,AD=BC=15m,AB=50m当x=25时,AD=BC=25m,AB=30m答：当平行于墙面的边长为50m,斜边长为15m时,矩形场地面积为750m2；或当平行于墙面的边长为30m,邻边长为25m时矩形场地面积为750m2.（2）由题意得：x（80－2x）=810Δ=40－4×405=1600－1620=－20＜0∴方程无解,即不能围成面积为810m2的矩形场地.【教学说明】学生独立完成练习,进一步熟练相关知识点的应用和提高解题能力.五、师生互动,课堂小结1.一元二次方程的定义和一般形式.2.一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法,要根据具体的问题选择合适的方法.3.根的判别式：Δ=b2-4ac和根与系数的关系：4.列方程解应用题的一般步骤.【教学说明】学生结合刚才所进行的复习,进行自主交流与反思,提出自己的困惑,进一步掌握全章知识.完成同步练习册中本课时的练习.重点是让学生加强对一元二次方程解法的熟练性,难点是让学生掌握根的判别式和根与系数的关系.对于根的判别式这个知识点,学生还不时会在两个方面出问题：一是方程有解的时候,学生通常只考虑到△＞0的情况,而漏了△=0情况；二是在对方程中某一待定系数的取值范围的分析的时候,常常会忘记对二次项系数a≠0这种情况的分析.有一部分的学生问题主要还是出在了公式的误差记忆上,从而导致了整个运算的错误.还有一点问题就是学生的运算能力太差,在解方程时,方法基本都已经掌握,但无法保证计算的准确性.。
【最新】沪科版八年级数学下册第十七章《一元二次方程的根与系数的关系》公开课课件.ppt
７/（－３／２）＝－１４／３
可否利用(X1+X2) 和X1X2的表达式表示下列各式?
(1) (X1-X2)2 (=X1+X2)2 4X1X2
(2) ︱X１－X２︱＝ x1x224x1x2
(3) X13+X23 (=X1+X2)[(X1+X2)23X1X2]
你想到了 吗??
如果方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的两个根是 x1,x2 那么 x1+x2=－b/a, x1·x2=c/a
练一练:
已知 x1,x2 是方程3x2+px+q=0的两个根，分别根据下列条 求出p和q的值.
(1) x1=1, x2=2
(2) x1=3, x2=－6
(3) x1= －√7, x2=√ 7
(4) x1=－2+√5 ,x2=－2√5
P = －9 , q =P =6 9 , q = － 54 P = 0 , q =－21
17.4 一元二次方程的根与系数的关系
解下列一元二次方程
(1)x2-12x+11=0 ;
(2)x2-9=0
(3)4x2+20x+25=0
解: (x-11)(x-
解:(x+3)(x-
解:(2x+5)2=0
1)=0 x1=11 , x2=1
3)=0 x1=3, x2=－ 3
x1=x2=-2.5
求出两根之和与两根之积?
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other