工程力学(静力学与材料力学)第二篇第11章弯曲应力精品PPT课件
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《工程力学》教学第十一章弯曲内力课件
Q(+)
左上右下为正 Q(–)
Q(+)
Q(–)
〔2〕弯矩M。使微段梁产生上弯趋势的为正弯矩；反之为负弯矩。
M(+)
M(+) M(–)
上弯为正
M(–)
例11-1 如下图简支外伸梁，受集中力偶M和均布荷载q的作 用。求梁的1-1、2-2、3-3、4-4截面上的剪力和弯矩。
A RA
M
1 2
x
C
12
a
a
4q 3
第三节 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
一、载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系
q(x)
y
对dx 段进展平衡分析，有
x Y0即为
x dx
Q (x)q(x)dxQ (x)dQ (x)0
q(x)dxdQ (x) q(x)
Q(x)+d Q(x) 剪力与分布载荷间的关系为
M(x)
A
Q(x) dx M(x)+d M(x)
Y0, QFYAF(lla) mC0, MFYAx
FYA
x
m
弯曲构件内力
剪力Q 弯矩M
Q A
C
弯矩M
FYA
Q
——构件受弯时，横截面上
MC
位于轴线所在平面内的内力偶。
矩心为横截面形心。
P B
FB
M F
FB
剪力Q ——构件受弯时，横截面上过截面形心且平行于截面的内力。
内力的正负规定:
〔1〕剪力Q。 绕争论对象顺时针转为正剪力；反之为负。
〔1〕计算内力时按支座反力的实际方向确定其正负号，与 坐标系相全都。
〔2〕计算弯曲内力时，选用截面左侧还是右侧计算应以计 算简便为原则。
工程力学第十一章弯曲应力课件
2.两个概念 中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不 受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线。
3.推论 平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动， 距中性轴等高处，变形相等。
纵向对称面 中性层
纵向纤维间无挤压、 只受轴向拉伸和压缩。
中性轴（横截面上只有正应力）
4、需要校核切应力的几种特殊情况：
梁的跨度较短，M 较小，而Q较大时，要校核切应力。 铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相
应比值时，要校核切应力。 各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核切应力。
q=3.6kN/m
A
Q
qL
2+
L=3m
M
qL2/8
+
例2 矩形(bh=0.12m0.18m）截
P1=9kN
A
C
P2=4kN
B
D
1m 1m 1m
2.5kNm M
x -4kNm
A1
A3
y1 G
y2
A2
A4
4
例3 T 字形截面的铸铁梁受力如图，
铸铁的[sL]=30MPa，[sy]=60 MPa，
其截面形心位于G点，y1=52mm， y2=88mm， Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。 并说明T字梁怎样放置更合理？
假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应力状态。
由胡克定律知：
sx
sx
sx
E x
Ey
...... (2)
3、静力学关系：
①
Nx
AsdA
A
Ey
dA
E
A
ydA
工程力学-弯曲应力共62页PPT
Thank心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
工程力学-弯曲应力4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
工程力学-弯曲应力4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
材料力学弯曲应力 PPT
b
解: M Fa 5103 0.18 900Nm
竖放时
横放时
IZ
bh3 12
30 603 12
54cm 4
y 20mm : M y 33.3MPa
IZ
m ax
M IZ
ymax
900 0.03 54 108
50MPa
IZ
hb3 12
60 303 12
13.5cm4
max
M IZ
ymax
IZ
弹性力学精确分析表明, 当跨度 l 与横截面高度 h 之 比 l / h > 5 (细长梁)时,纯弯 曲正应力公式关于横力弯曲 近似成立。
横力弯曲最大正应力
max
M max ymax IZ
强度条件
弯曲正应力强度条件
1、弯矩最大的截面上
σmax在 2、离中性轴最远处
σmax
M max ymax Iz
max
M max ymax IZ
67.5103 180 103
2 5.832 105
104.17 106 Pa 104.17MPa
例题
q=60kN/m
120
4、 C 截面曲率半径ρ
A
1m
FAY
C
l = 3m
B
x
180
K
30 C 截面弯矩
z
MC 60kN m
FBY
y
C 截面惯性矩
FS 90kN
F2 2 bh / 3 2106 100150106 / 3 10000N 10kN
l
FS
M
Fl
F
按胶合面强度条件计算
50
z50
50
工程力学课件 11弯曲应力共87页文档
解：先求Iy
z y dA
dAdydz
Iy
z2dA z2dzdy A
A
h
b
2bdy 2
h
2 h
2
z2dzbz332h
bh3 12
2
同理：
Iz
1 12
b3h
z
o
y
b
b
h
IyzAyzdA b 2b 2ydyh 2h 2zdzy22 2bz22 2h0
2
2
例11-2 已知：如图，求：Iy、Iz、 Iyz、 IP
ρ y
I Iz Iy
3、惯性积 z
乘积 yzdA 为微面积 dA 对于一对正交轴
y、z 两轴的惯性积。
I yz yzdA A
单位：m4
y dA z
ρ
y
特点：
1）同一图形对不同的正交轴的惯性积不同； 2）在一对正交轴中只要有一个坐标轴是图形的对称轴，则
Iyz = 0
例11-1 已知：如图，求：Iy、Iz 和 Iyz
y
A
(
y
2 C
2byC
b 2 )d A
I zC 2b S zC b 2 A
SzC AyC 0 Iy IyC a2A
Iz IzC b2A
Iy IyC a2A Iyz IyCzCabA
注意: C点必须为形心
IIC(ab)2A
§11-2 平面弯曲时梁横截面上的正应力
一、纯弯曲(Pure Bending):
1 D4
64
例11-2 已知：如图，求：Iy、Iz、 IP、Iyz
z
解：对圆形图形，取扇形微
面积，用极坐标表示
dArddr zrsin yrcos
z y dA
dAdydz
Iy
z2dA z2dzdy A
A
h
b
2bdy 2
h
2 h
2
z2dzbz332h
bh3 12
2
同理：
Iz
1 12
b3h
z
o
y
b
b
h
IyzAyzdA b 2b 2ydyh 2h 2zdzy22 2bz22 2h0
2
2
例11-2 已知：如图，求：Iy、Iz、 Iyz、 IP
ρ y
I Iz Iy
3、惯性积 z
乘积 yzdA 为微面积 dA 对于一对正交轴
y、z 两轴的惯性积。
I yz yzdA A
单位：m4
y dA z
ρ
y
特点：
1）同一图形对不同的正交轴的惯性积不同； 2）在一对正交轴中只要有一个坐标轴是图形的对称轴，则
Iyz = 0
例11-1 已知：如图，求：Iy、Iz 和 Iyz
y
A
(
y
2 C
2byC
b 2 )d A
I zC 2b S zC b 2 A
SzC AyC 0 Iy IyC a2A
Iz IzC b2A
Iy IyC a2A Iyz IyCzCabA
注意: C点必须为形心
IIC(ab)2A
§11-2 平面弯曲时梁横截面上的正应力
一、纯弯曲(Pure Bending):
1 D4
64
例11-2 已知：如图，求：Iy、Iz、 IP、Iyz
z
解：对圆形图形，取扇形微
面积，用极坐标表示
dArddr zrsin yrcos
工程力学弯曲应力教学课件PPT
截面对轴的惯性矩等于该截面各部分对同一轴的 惯性矩之和。
n
I y I yi i 1
n
Iz Izi i 1
第九页，共81页。
· 型钢截面
可以查阅有关工程手册（型钢表）得到。
第十页，共81页。
四、平行移轴定理
I y
z 2dA
A
A (zC a)2dA
A zC2dA 2a A zCdA a2
2max
M2 Wz 2
M2
d23
32
ห้องสมุดไป่ตู้
d2
3
32 M 2
3
32 4.55103
140106
0.018m
第三十七页，共81页。
例：T 形截面铸铁梁的载荷和截面尺寸如图示。铸铁的抗拉许用应力为 [σ t] = 30MPa，抗压许用应力为[σ c] = 160MPa，试校核梁的强度。
解：⑴ 求支座约束力，作弯矩图
第三十页，共81页。
max
FS
S* z max
Iz
FS
8Iz
[bh02
(b )h2 ]
min
FS
8Iz
[bh02
bh2 ]
腹板厚度 远小于翼缘宽度 b 时， b -， ≈ b
τmax ，≈τ可m认in 为腹板上的切应力均匀分布
FS
A
腹板的面积
2.翼缘的切应力
翼缘部分切应力分布复杂且数值很小，一般不作计算，认为 翼缘主要承受截面的弯矩。
第七页，共81页。
· 圆环截面 （内径为d ，外径为D ，y、z轴过圆心）
Iz
Iy
(D4 d4)
64
D4
64
(1 4 )
工程力学_第11章_弯曲应力-1
(
y)
FS
16 I z
b(h02 h2 ) 2 (h2 4 y2 )
max (0)
min
(
h) 2
7
3.弯曲正应力与弯曲切应力比较
max
4l
h
max
若是分布载荷q作用下，则：
max
2l
h
max
当 l >> h 时，max >> max
8
1.实心与非薄壁截面梁
a与c 点处－单向应力
b 点处－纯剪切
9
2.薄壁截面梁
d
a 点处－纯剪切 c 与d 点处－单向应力
b 点处－ 与 联合作用
10
1.梁的强度条件
弯曲正应力强度条件： max [ ] 材料单向应力许用应力
弯曲切应力强度条件： max [ ] 材料纯剪切许用应力
2. 强度条件的应用
细长非薄壁梁 ( max max ) max [ ]
1
（1） 中性轴位置：中性轴过截面形心
（2）中性层曲率：
1 M
EI z
（Iz －惯性矩） （EI z － 截面弯曲刚度）
（3）正应力公式： ( y) My
Iz
max
M Wz
（Wz －抗弯截面系数）
2
（1）矩形截面惯性矩： IZ bh3 1264
WZ bh2 6
2、注重弯曲强度，兼顾腹板的剪切强度与稳定性
避免剪切破坏 与局部失稳
12
M ( x) [ ]－弯曲等强条件
W(x)
h( x) 6Fx
b[ ]
3FS( x) [ ] －剪切等强条件 h(x) 3F
2bh( x)
2b[ ]
工程力学(静力学与材料力学)ppt精选课件
相关专业的考研专业课。
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5
课程特点：
1、概念多、公式多。 2、与工程联系紧密。
完整编辑ppt
6
学习方法：
弄清基本概念：观察生活实例，适当
读些参考书。
注意分析问题的过程：基本假设、基
本方法、基本要点。
养成写总结和体会的习惯。
认真完成作业：理解概念、体验方法，
学会举一反三。
完整编辑ppt
a、断裂
破
坏
b、塑性屈服
（去除载荷后有显著的塑性变形）
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32
2、构件应具备足够的刚度 （即抵抗 弹性变形的能力）
完整编辑ppt
33
2、构件应具备足够的刚度
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34
2、构件应具备足够的刚度
☻对某些构件，完刚整编度辑ppt条件起控制作用。 35
3、构件应具备足够的稳定性 （即保 持初始平衡状态的能力）
③与刚体的形状无关。
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65
公理三：加减平衡力系原理
内容：
在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，并不
改变原力系对刚体的作用。
F1
A
F
B
A
F1
F
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66
推理1 力的可传性
内容：
作用于刚体上某点的力，可以沿着它的作用线移
到刚体内任意一点，并不改变该力对刚体的作用。
B F A
重要 结论
外力解除后不能消失的变形。
完整编辑ppt
22
4、失稳 ：在一定外力作用下，构件突 然发生不能保持其原有平衡形式（初
始平衡状态）的现象，称为失稳。
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23
台南高屏大桥断裂
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5
课程特点：
1、概念多、公式多。 2、与工程联系紧密。
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6
学习方法：
弄清基本概念：观察生活实例，适当
读些参考书。
注意分析问题的过程：基本假设、基
本方法、基本要点。
养成写总结和体会的习惯。
认真完成作业：理解概念、体验方法，
学会举一反三。
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a、断裂
破
坏
b、塑性屈服
（去除载荷后有显著的塑性变形）
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2、构件应具备足够的刚度 （即抵抗 弹性变形的能力）
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33
2、构件应具备足够的刚度
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2、构件应具备足够的刚度
☻对某些构件，完刚整编度辑ppt条件起控制作用。 35
3、构件应具备足够的稳定性 （即保 持初始平衡状态的能力）
③与刚体的形状无关。
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65
公理三：加减平衡力系原理
内容：
在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，并不
改变原力系对刚体的作用。
F1
A
F
B
A
F1
F
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66
推理1 力的可传性
内容：
作用于刚体上某点的力，可以沿着它的作用线移
到刚体内任意一点，并不改变该力对刚体的作用。
B F A
重要 结论
外力解除后不能消失的变形。
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22
4、失稳 ：在一定外力作用下，构件突 然发生不能保持其原有平衡形式（初
始平衡状态）的现象，称为失稳。
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台南高屏大桥断裂
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2. 应力计算
M M e 2.0 0 km N s
max
M Wz
10.18MPa
3. 变形计算
1 M
EI z 16m 6
EI z
M
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13
§2 惯性矩与平行轴定理
静矩与惯性矩 简单截面惯性矩 平行轴定理 例题
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14
静矩与惯性矩
静矩
Sz
ydA
Iz Ay2dA IzAy0a2dA
Iz A y 0 2 d A 2 a A y 0 d A A 2a
Iz0 Ay02dA Ay0dA0
Iz Iz0 Aa2
同理得： IyIy0Ab2
Cy0z0－形心直角坐标系 Oyz －任意直角坐标系
二者平行
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17
例题
例 2-1 已知：F=15 kN, l=400 mm, b=120mm, d=20mm 试计算：截面 B-B 的最大拉应力st,max与压应力sc,max
中性轴与形心轴
中性轴－横截面受拉与受压区的分界线 形心轴－通过横截面形心的坐标轴
截面弯曲刚度与抗弯截面系数
弯曲刚度EI－代表梁截面抵抗弯曲变形的能力
抗弯截面系数Wz－代表梁截面几何性质对弯曲强度 的影响
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11
例题
例 1-1 梁用№18 工字钢制成，Me=20 kN•m, E=200 GPa。
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2
§1 对称弯曲正应力
引言 弯曲试验与假设 对称弯曲正应力公式 例题
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3
引言
弯曲应力 弯曲正应力
梁弯曲时横截面上的s
弯曲切应力
梁弯曲时横截面上的t
对称弯曲
对称截面梁，在纵向对称面承受横向
外力时的受力与变形形式－对称弯曲
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4
弯曲试验与假设
正应力公式： s ( y) My
Iz
s max
M Wz
（Wz －抗弯截面系数）
应用条件： smaxsp , 对称弯曲 , 纯弯与非纯弯
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10
一些易混淆的概念
对称弯曲与纯弯曲
对称弯曲－对称截面梁，在纵向对称面承受横向外 力时的受力与变形形式
纯 弯 曲－梁或梁段各横截面的剪力为零弯矩为常 数的受力状态
IzIz1Iz2
Iz1b 1 d3 2bd yC d2 23. 0 1-6 2 0 m 4
Iz2 d1 b3 2 db d b 2yC 2 5. 1 8-6 0 2 m 4
Iz Iz 1 Iz2 8 .8 1 4 6 0 m 4
4. 最大弯曲正应力
stm , axMIBzyC30.5MPa
Iz Ay2dA-hh//22y2bdy
bh 3
bh 3 12
WzIz ymax Nhomakorabea12 h
bh 2 6
2
圆形截面惯性矩
Ip A2dAA(y2z2)dA
IpIzIy Ip 2Iz
Iz
Ip 2
d4 64
Wz 6d44 d23d23
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16
平行轴定理
平行轴定理
建立 Iz与Iz0的关系
解：1. 弯矩计算
M BFl60N 0 m 0
2. 形心位置计算 由矩形 1 与矩形 2 组成的组合截面
n
n
Sz Ai yCi AyC i1 单辉祖,材料力学教程
Ai yCi
yC i1 A
18
yCA1yA C11 A A22yC2bdd2b ddbdb db 20.04m 5
3. 惯性矩计算
s M z M , A yd A M (c )
8
s E y (a)
sdA0 (b) A
ysdAM (c)
A
(a)(b)
ydA0 A
ydA
yC
A
A
0
中性轴通过横截面形心
(a)(c)
E y2dAM
A
Iz y2dA－惯性矩 A
1 M EI z
(d)
(d)(a)
s ( y) My Iz
试计算：最大弯曲正应力smax ，梁轴曲率半径
解：1. 工字钢（GB 706-1988）
一种规范化、系列化的工字形截面的标准钢材
№18 工字钢：
Iz1.6 610 5m 4 W z1.8 510 4m 3
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12
Iz1.6 610 5m 4 W z1.8 510 4m 3
Me=20 kN•m，E=200 GPa，求 smax 与
弯 曲 试 验
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5
试验现象 （纯弯与正弯矩作用）
横线为直线, 仍与纵线正交 ❖ 靠顶部纵线缩短, 靠底部纵
线伸长 纵线伸长区,截面宽度减小
纵线缩短区, 截面宽度增大
弯曲假设
横截面变形后保持平面，仍与纵线正交－弯曲平
面假设
❖ 各纵向“纤维”处于单向受力状态－单向受力假
设 单辉祖,材料力学教程
第 5 章 弯曲应力
本章主要研究：
对称弯曲正应力 对称弯曲切应力 梁的强度分析与设计 非对称弯曲应力 弯拉(压)组合问题
单辉祖,材料力学教程
1
§1 对称弯曲正应力 §2 惯性矩与平行轴定理 §3 对称弯曲切应力 §4 梁的强度条件与合理强度设计 §5 双对称截面梁的非对称弯曲 §6 弯拉(压)组合 §7 惯性积与主惯性矩 §8 一般非对称弯曲应力 §9 剪心概念
A
AyC
[L] 3
－截面对z轴的静矩
n
n
Sz Sz i Ai yCi
i 1
i 1
n
Sy
zdA
A
AzC
Sy Ai zCi
i1
惯性矩
Iz Ay2dA [L] 4
－截面对 z 轴的惯性矩
n
Iz Izi
i1
n
Iy
z2dA
A
Iy
Iyi
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i 1
15
简单截面惯性矩
矩形截面惯性矩
6
推论 梁内存在一长度不变的过渡层－中性层 中性层与横截面得交线－中性轴
❖ 中性轴⊥截面纵向对称轴 横截面间绕中性轴相对转动
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7
对称弯曲正应力公式
公式的建立
几何方面:
(y)(y)ddd
y
物理方面:
s(y)E (y)
单辉祖,材料力学教程
s(y)Ey (a)
静力学方面:
F x0,s Ad A 0(b)
s
max
M Wz
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s
max
Mymax Iz
Wz
Iz ymax
－抗弯截面系数
9
总结
假设 平面假设，单向受力假设
综合考虑三方面
( y) y
结论
s(y)E (y)
sdA0 ysdAM
A
A
中性轴位置：中性轴过截面形心
❖ 中性层曲率：1 M （Iz －惯性矩）
EI z （EIz －截面弯曲刚度）
s d 单辉祖,材料力c学m ,教程a M x B(b Iz yC)6.4 5MPa
19
例 2-2 已知：钢带厚 d = 2mm, 宽 b = 6mm, D=1400mm, E=200GPa。试计算：带内的 smax 与 M