一阶逻辑基本概念

将x代以个体 “张三”，y代以个体 “李四”，则G(张 三，李四)就是命题： “张三高于李四”。
G(x，y)不是命题，而是一个命题函数即谓词。
将x，y代以任意确定的个体，由G(x，y)都能得到一个 命题。
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例题
D={2, 3, 4} 设P(x)：x大于3，则P(x)为一元谓词。 指定元素--命题：P(2)=0, P(3)=0, P(4)=1 设P(x,y)：x大于y,则P(x,y)为二元谓词。 指定元素--命题：P(2,3)=0, P(4,2)=1 设P(x,y,z)：若x+y-1=z，则P(x,y,z)为1，否则为0 。则
则三段论的三个命题表示如下： P： H(x)M(x) Q： H(苏格拉底) R： M(苏格拉底)
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但问题是…
令命题P為：所有人都会死 ，其否定命題為 P = (H(x)M(x)) = (H(x)M(x)) = H(x)M(x)
亦即，命题 P“所有人都会死” 的否定命题是 “所有人 都不會死”。这和人们对命题 “所有人都必死”的否定 的理解並不一致。
n元谓词是命题吗？
思考
不是，只有用谓词常项取代P，用个体常项取代 x1,x2,…,xn时，才能使完n整元版课谓件 词变为命题。
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谓词的形式化定义
设D是非空个体名称集合，定义在Dn上取值于{0，1} 上的n元函数，称为n元命题函数或n元谓词。其中Dn表 示集合D的n次笛卡尔乘积。
例：令G(x，y)： “x高于y”，G(x，y)是一个二元谓词。
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原因——命题P的确切意思应该是： “对任意x，如果 x是人，则x必死”。 但是
谓词（predicate）是用来刻画个体词性质及个体词之间相 互关系的词。
(1) 是无理数。 是个体常项，“是无理数”是谓词，记为F，命题符号 化为F() 。
(2) x是有理数。 x是个体变项，“是有理数”是谓词，记为G，命题符号化 为G(x)。
(3) 小王与小李同岁。 小王、小李都是个体常项，“与同岁”是谓词，记为H ，命题符号化为H(a,b) ，其中a：小王，b：小李。
1. 繁琐 例. 表述集合个体性质及相互关系
S={1,2,…,50} 表述S中所有元素都大于3这样一个性质，需要 1>3, 2>3, …, 50>3 等50个命题。
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2. 不能描述命题间的逻辑联系
例如，逻辑学中著名的苏格拉底三段论： P：所有人必死 Q：苏格拉底是人 R：苏格拉底必死
表示为命题逻辑：应该有 (PQ) R，也就是公式 (PQ)R应该是恒真的。
P(x,y,z)为三元谓词。 指定元素--命题：P(2,3,4)=1,P(4,2,2)=0
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例题
将命题“这只大红书柜摆满了那些古书。”符号化.
(1)设 F(x,y)：x摆满了y，R(x)：x是大红书柜
Q(y)：y是古书， a：这个书柜 b：那些书
符号化为：R(a)∧Q(b)∧F(a,b)
(4) x与y具有关系L。
x，y都是个体变项，谓词为L，命题符号化为L(x,y)。
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谓词及相关概念
谓词常项：表示具体性质或关系的谓词。用大写字母表示。 如(1)、 (2) 、(3) 中谓词F、G、H。
谓词变项：表示抽象的、泛指的性质或关系的谓词。用大写 字母表示。如(4) 中谓词L。
离散数学
第4章 一阶逻辑基本概念
本章说明
本章的主要内容
– 一阶逻辑基本概念、命题符号化 – 一阶逻辑公式、解释及分类
本章与后续各章的关系
–克服命题逻辑的局限性 –是第五章的先行准备
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命题逻辑的缺陷
把命题看成是一个个孤立的命题，忽略了命题之间的联 系，不能反映某些重要的常见的逻辑思维过程。
n(n1)元谓词：P(x1,x2,…,xn)表示含n个个体变项的n元谓词
。
–n=1时，一元谓词——表示x1具有性质P。
–n≥2时，多元谓词——表示x1,x2,…,xn具有关系P。
0元谓词：不含个体变项的谓词。如F(a)、G(a,b)、
P(a1,a2,…,an)。若F、G、P为谓词常项，则上述0元谓词为命 题常项；若F、G、P为谓词变项，则为命题变项。
显然该公式不是恒真的，解释{P，Q，R}就能弄 假该公式。
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原因：命题R和命题P, Q是有内在关系的，只是这 种关系在命题逻辑中无法表示。
因此，需要对命题的成分、结构和命题间的共同 特性等作进一步的分析，分析出个体词、谓词和 量词，以期达到表达出个体与总体的内在联系和 数量关系，这正是谓词逻辑所要研究的问题。
示。
个体域（或称论域）：指个体变项的取值范围。
–可以是有穷集合，如{a, b, c}, {1, 2}。 –可以是无穷集合，如N,Z,R,…。
全总个体域（universe）——由宇宙间一切事物组成 。
说明 本教材在论述或推理中，如果没有指明所采
用的个体域，都是完整使版课用件 的全总个体域。
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谓词及相关概念
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本章内容
4.1 一阶逻辑命题符号化 4.2 一阶逻辑公式及解释
本章小结 习题 作业
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4.1 一阶逻辑命题符号化
一阶逻辑命题符号化的三个基本要素 –个体词 –谓词 –量词
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பைடு நூலகம்
个体词及相关概念
个体词：指所研究对象中可以独立存在的具体或抽
象的客体。
心物一元 or 心物二元？
(2)设 A(x)：x是书柜， B(x)：x是大的
C(x)：x是红的， D(y)：y是古老的
E(y)： y是图书， F(x,y)：x摆满了y
a：这个东西
b：那些东西
符号化为：A(a)∧B(a)∧C(a)∧D(b)∧E(b)∧F(a,b)
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现在可以将苏格拉底三段论符号化为…
用谓词的概念可将苏格拉底三段论做如下的符号化： 令 H(x)表示 “x是人”， M(x)表示 “x必死”。
举例
量子力学中的测不准原理
–命题：电子计算机是科学技术的工具。 个体词：电子计算机。
–命题：他是三好学生。 个体词：他。
说明 个体词一般是充当陈述句主语的名词或代词
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个体词及相关概念
个体常项：表示具体或特定的客体的个体词，用小写字母a, b,c，…表示。
个体变项：表示抽象或泛指的客体的个体词，用x,y,z,…表