一阶逻辑的基本概念

谓词及相关概念



谓词常项：表示具体性质或关系的谓词。 用大写字母表示。如(1)、 (2) 、(3)中谓词F、G、H。 谓词变项：表示抽象的、泛指的性质或关系的谓词。用大写 字母表示。如(4)中谓词L。 n(n1)元谓词：P(x1,x2,…,xn)表示含n个命题变项的n元谓 词。 n=1时，一元谓词——表示x1具有性质P。 n≥2时，多元谓词——表示x1,x2,…,xn具有关系P。 0元谓词：不含个体变项的谓词。如F(a)、G(a,b)、 P(a1,a2,…,an)。
例题
将命题“这只大红书柜摆满了那些古书。”符号化. (1)设 F(x,y)：x摆满了y， R(x)：x是大红书柜 Q(y)：y是古书， a：这只大红书柜 ，b：那些古书 符号化为：R(a)∧Q(b)∧F(a,b) (2)设 A(x)：x是书柜， B(x)：x是大的 C(x)：x是红的， D(y)：y是古老的 E(y)： y是图书， F(x,y)：x摆满了y a：这只大红书柜 b：那些古书 符号化为：A(a)∧B(a)∧C(a)∧D(b)∧E(b)∧F(a,b)
例4.2 一阶逻辑命题符号化
(b)个体域为全总个体域。 即除人外，还有万物， 所以必须考虑将人先分离出来。 令F(x):x呼吸。 G(x):x用左手写字。 M(x):x是人。 (1) “凡人都呼吸”应符号化为 x(M(x)→F(x)) (2) “有的人用左手写字”符号化为 x(M(x)∧G(x))
可以是有穷集合，如{a,


b, c}, {1, 2}。
可以是无穷集合，如N,Z,R,…。

全总个体域（universe）——宇宙间一切事物组成 。
说 明
本教材中，如未指明个体域，都是使用的全总个体域。
谓词及相关概念
谓词（predicate）是用来刻画个体词性质及个体词之间相 互关系的词。 （1）是无理数。 是个体常项，“是无理数”是谓词， 记为F，命题符号化为F() 。 (2) x是有理数。 x是个体变项，“是有理数”是谓词， 记为G，命题符号化为G(x)。 (3) 小王与小李同岁。 小王、小李都是个体常项，“与同岁”是谓词，记为H， 命题符号化为H(a,b) ，其中a：小王，b：小李。 (4) x与y具有关系L。 x，y都是个体变项，谓词为L，命题符号化为L(x,y)。
(1) 凡人都呼吸。 (2) 有的人用左手写字。 其中:(a)个体域D1为人类集合； (b)个体域D2为全总个体域。
例4.2 一阶逻辑命题符号化
解: (a)个体域为人类集合。 令F(x):x呼吸。 G(x):x用左手写字。 (1)在个体域中除了人外，再无别的东西，因而“凡人都呼吸” 应符号化为 xF(x) (2) 在个体域中除了人外，再无别的东西，因而“有的人用 手写字”符号化为 xG(x)
量词及相关概念

2.存在量词：符号化为“” 日常生活和数学中所用的“存在”、“有一个”、“有的”、 “至少有一个”等词统称为存在量词。 y表示个体域里有的个体，yG(y)表示个体域里存在个体具 有性质G等。

例4.2 一阶逻辑命题符号化
例4.2 在个体域分别限制为(a)和(b)
条件时，将下面两个命题符号化:
量词及相关概念
量词（quantifiers）是表示个体常项或个体变项之间数量关 系的词。 1. 全称量词：符号化为“” 日常生活和数学中所用的“一切的”、 “所有的”、“每一个”、“任意的”、
“凡”、“都”等词可统称为全称量词。
x表示个体域里的所有个体， xF(x) 表示个体域里所有个体 都有性质F。
个体词：电子计算机。
命题：他是三好学生。
个体词：他。
说 明
个体词一般是充当主语的名词或代词。
个体词及相关概念

个体常项：表示具体或特定的客体的个体词，用小写字母 a,b,c,…表示。 个体变项：表示抽象或泛指的客体的个体词，用x,y,z,…表 示。 个体域（或称论域）：指个体变项的取值范围。
本章内容
4.1 一阶逻辑命题符号化
4.2 一阶逻辑公式及解释
本章小结 习题 作业
4.1一阶逻辑命题符号化

一阶逻辑命题符号化的三个基本要素
个体词 谓词 量词
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

使用一阶逻辑将命题符号化
个体词及相关概念

个体词：指所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体。 举例
命题：电子计算机是科学技术的工具。
思 考
谓词及相关概念

n元谓词是命题吗？

不是，只有用谓词常项取代P，
用个体常项取代x1,x2,…,xn时，
才能使n元谓词变为命题。
例题
例4.1 将下列命题在一阶逻辑中用0元谓词符号化，并讨论真值。 (1)只有2是素数，4才是素数。 (2)如果5大于4，则4大于6. 解： (1)设一元谓词F(x):x是素数，a:2，b:4。 命题符号化为0元谓词的蕴涵式 F(b)→F(a) 由于此蕴涵前件为假，所以命题为真。 (2)设二元谓词G(x,y):x大于y，a:4，b:5，c:6。 命题符号化为0元谓词的蕴涵式 G(b,a)→G(a,c) 由于G(b,a)为真，而G(a,c)为假，所以命题为假。
第4章
一阶逻辑的基本概念
本章说明
本章的主要内容
–一阶逻辑基本概念、命题符号化
–一阶逻辑公式、解释及分类 本章与后续各章的关系 –克服命题逻辑的局限性 –是第五章的先行准备
引言



命题逻辑的局限性 在命题逻辑中,基本单位是简单命题,不进行分解,且不考虑命 题之间内在联系和数量关系。 例如： 所有的人都是要死的，苏格拉底是人.所以苏格拉底是要死的。 是苏格拉底三段论，却无法用命题逻辑证明。 一阶逻辑所研究的内容 克服命题逻辑的局限性，将简单命题再细分，分析出个体词、 谓词和量词，以期达到表达出个体与总体的内在联系和数量 关系。
温馨提示

在使用全总个体域时，要将人从其他事物中区别出来，为 此引进了谓词M(x)，称为特性谓词。

同一命题在不同的个体域中符号化的形式可能不同。

思考：在全总个体域中，能否将(1)符号化为
x(M(x)∧F(x))？ 能否将(2)符号化为x(M(x)→G(x))？