第二节1一阶逻辑基本概念

词变元，都用大写英文字母，如P，Q，R，…，
或其带上、下标来表示。
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例如，在命题“张明是位大学生”中，“张明”是个 体，“是位大学生”是谓词，它刻划了“张明”的性 质。
设S(x)：x是位大学生，c：张明，则“张明是位大学 生”可表示为S(c)，或者写成S(c)：张明是位大学生。
又如，在命题“武汉位于北京和广州之间”中，武汉、 北京和广州是三个个体，而“…位于…和…之间”是 谓词，它刻划了武汉、北京和广州之间的关系。
论域。定义了全总论域，为深入研究命题提供 了方便。当一个命题没有指明论域时，一般都 从全总论域作为其论域。而这时又常常要采用
一个谓词如P(x)来限制个体变项x的取值范围， 并把P(x)称为特性谓词。
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３.量词
利用n元谓词和它的论域概念，有时还是不能 用符号来很准确地表达某些命题，例如S(x)表 示x是大学生，而x的个体域为某单位的职工， 那么S(x)可表示某单位职工都是大学生，也可
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命题逻辑的局限性
单用一个字母表示一个命题，描述不深刻，揭示 不出原子命题内部的含义；
命题演算对命题中量的概念无法表示。
有些简单的推理问题，在命题逻辑中无法解决； 问题出在各命题之间的逻辑关系不是体现在简单 命题之间，而是体现在构成简单命题的内部成分 之间，所以在必要对简单命题作进一步细分。
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１.个体词、谓词和命题的谓词形式 定义2.1.1 在原子命题中，所描述的对象称为个
体词；用以描述个体词的性质或个体词间关系 的部分，称为谓词。 个体词，是指可以独立存在的事物，它可以是 具体的，也可以是抽象的，如张明，计算机， 精神等。表示具体或特定的客体的个体词，称
为个体常元，以a，b，c…或带下标的ai，bi， ci…表示；表示抽象或泛指的个体词，称为个 体变元，以x，y，z…或xi，yi，zi…表示。
在命题逻辑中，命题是具有真假意义的陈述句。 从语法上分析，一个陈述句由主语和谓语两部分 组成。在一阶逻辑中，为揭示命题内部结构及其 不同命题的内部结构关系，就按照这两部分对命 题进行分析，并且把主语称为个体词或客体，把 谓语称为谓词。
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例如：吴华是大学生，用P表示，
李明是大学生，用Q表示。
“……是大学生”用A（x）表示：x是大学生， 命题符号含有个体词变量。
a表示吴华，A（a）表示吴华是大学生。
b表示李明，A（b）表示李明是大学生。
相当于“……是大学生”，用A（·）来表示， 这就是谓词。
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例：张三比李四高，
用H（x,y）表示x比y高。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱa:张三b:李四
H（a,b）：张三比李四高
H（b,a）：李四比张三高
x,y,a,b表示个体，H（·,·）是谓词，这个谓 词涉及了两个个体，是二元谓词。
例如，令S(x)：x是大学生。 若x的论域为某大学的计算机系中的全体同学，
则S(x)是真的； 若x的论域是某中学的全体学生，则S(x)是假的； 若x的论域是某剧场中的观众，且观众中有大学
生也有非大学生的其它观众，则S(x)是真值是不
确定的。 17
通常，把一个n元谓词中的每个个体的论域综 合在一起作为它的论域，称为n元谓词的全总
形式或命题的谓词形式。 应注意的是，命题的谓词形式中的个体出现的
次序影响命题的真值，不是随意变动，否则真
值会有变化。如上述例子中，P(b,a,c)是假。
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２.原子谓词公式 原子命题的谓词形式还可以进一步加以抽象，比
如在谓词右侧的圆括号内的n个个体常项被替换 成个体变项，如x1,x2,···,xn，这样便得了一种关 于命题结构的新表达形式，称之为n元原子谓词。 定义2.1.3 由一个谓词(如P)和n个体变项(如x1， x2，…，xn)组成的P(x1，x2，…，xn)，称它为n 元原子谓词或n元命题函数，简称n元谓词。而个
在研究某些推理时，对原子命题进一步分析出其 中的个体词，谓词和量词，研究它们的形式结构 的逻辑关系、正确的推理形式和规则，这些正是 谓词逻辑（或称为一阶逻辑）的基本内容。
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第二章 一阶(谓词)逻辑
2.1一阶逻辑基本概念 2.2一阶逻辑合式公式及解释 2.3一阶逻辑等值式
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2.1一阶逻辑基本概念 （个体词、谓词和量词）
用命题逻辑来表示，设P、Q和R分别表示这三
个原子命题，则有
P，QR
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然而，(P∧Q)→R并不是永真式，故上述推理形
式又是错误的。一个推理，得出矛盾的结论， 问题在哪里呢? 问题就在于这类推理中，各命题之间的逻辑关 系不是体现在原子命题之间，而是体现在构成 原子命题的内部成分之间，即体现在命题结构 的更深层次上。对此，命题逻辑是无能为力的。
设P(x,y,z)：x位于y和z之间，a：武汉，b：北京，c： 广州，则P(a，b，c)：武汉位于北京和广州之间。
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注：区分：谓词与运算。 虽都是自变量取自个体域上的函数，但函数值不 同，运算的函数值是个体，谓词的函数值是真值。
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定义2.1.2 一个原子命题用一个谓词(如P)和n个 有次序的个体常项(如a1，a2，…，an)表示成 P(a1，a2，…，an)，称它为该原子命题的谓词
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个体域：个体变项的取值范围。 （分有限集合和无限集合）
全总个体域：由宇宙间的一切事物组成。
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谓词，当与一个个体相联系时，它刻划了个体 性质；当与两个或两个以上个体相联系时，它 刻划了个体之间的关系。
表示具体性质或关系的谓词 ，称为谓词常元； 表示抽象或泛指的性质或关系的谓词 ，称为谓
在命题逻辑中，把命题分解到原子命题为止，认 为原子命题是不能再分解的，仅仅研究以原子命 题为基本单位的复合命题之间的逻辑关系和推理。 这样，有些推理用命题逻辑就难以确切地表示出 来。例如，著名的亚里士多德三段论苏格拉底推 理：
退1出
所有的人都是要死的，
苏格拉底是人，
所以苏格拉底是要死的。
根据常识，认为这个推理是正确的。但是，若
体变项的论述范围，称为个体域或论域。
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当n=1时，称一元谓词；当n=2时，称为二元 谓词，…。特别地，当n=0，称为零元谓词。
零元谓词是命题，这样命题与谓词就得到了统 一。
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n元谓词不是命题，只有其中的个体变项用特定
个体或个体常项替代时，才能成为一个命题。但 个体变项在哪些论域取特定的值，对命题的真值 极有影响。