含参数的一元二次不等式及其解法
一元二次不等式及其解法(含参数)
含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ;例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。
二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；例2 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。
例3解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122三、按方程02=++c bx ax 的根21,x x 的大小来分类，即212121,,x x x x x x <=<； 例4解不等式)0( 01)1(2≠<++-a x a a x 分析：此不等式可以分解为：()0)1(<--a x a x ，故对应的方程必有两解。
本题 只需讨论两根的大小即可。
考向二 含参数的一元二次不等式的解法【例2】►求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集．解含参数的一元二次不等式的一般步骤：(1)二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．【训练2】 解关于x 的不等式(1－ax )2＜1.考向三 不等式恒成立问题【例3】►已知不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．[审题视点] 化为标准形式ax 2＋bx ＋c ＞0后分a ＝0与a ≠0讨论．当a ≠0时，不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＞0；当a ≠0时，⎩⎨⎧ a ＞0，Δ＜0；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＜0；当a ≠0时，⎩⎨⎧a ＜0，Δ＜0. 【训练3】 已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．规范解答12——怎样求解含参数不等式的恒成立问题【解决方案】解决这类问题的关键是将恒成立问题进行等价转化，使之转化为函数的最值问题.【试一试】设函数f(x)＝ax3－3x＋1，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，求实数a的值．。
含参数的一元二次不等式的解法
1 2a
综上：原不等式的解集为
1a
当 a＞0 时，{x|－a＜x＜2a}； 当 a＜0 时，{x|2a＜x＜－a}；
x 2ax a 0
当 a＝0 时，∅ .
x1 2a或x2 a
讨论：(1)当 2a a时，即 a＞0，则－a＜x＜2a， (2)当 2a＜ a时，即a 0, 则 2a＜x＜－a
1 m
1 m 1
x mx m 1 0
x1 m 或x2 m 1
m x m1 口诀：小于取中间
3判断根的大小，画二次 函数图像
[点评] 二次项系数不含参数的一元二次不等式的解法： (1)将二次项系数转化为正数； (2)判断相应方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省
去此步)； (3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有相异根，为了
ax2+bx+c<0 的解集
(a>0)﹛x|x1<x<x2 ﹜
Φ
无实根 R Φ
解一元二次不等式的步骤
1、把一元二次不等式化为标准形式，即不等式 的左边是二次函数的解析式，右边是0，二次项的系 数大于0；
3、画出对应二次函数的图像，写出不等式的解 集。
什么是含参不等式？
通俗的说：不等式中除了变量x或y,还有其他代 表常数的字母，这个字母就叫参数。所对应的 不等式就叫含参不等式。
2当a 0时，1 2 ax 2x 2 0
再讨论：①当
2
2
a 2
时，即 a
x1
2 a
或x2
2
1 此时原不等式的解
a
集
Hale Waihona Puke x2 ax
2
②当 2＜2时，即 0＜a＜1，此时原不等式的解 a
含参一元二次不等式的解法
一元二次不等式是指形如$ax^2 + bx + c > 0$ 或$ax^2 + bx + c < 0$ 的不等式，其中$a,b,c$ 是常数。
解决这种不等式的方法与解决一元二次方程的方法类似，需要先求出方程$ax^2 + bx + c = 0$ 的根。
首先，将不等式中的常数移到右边，得到$ax^2 + bx = -c$。
然后，将左边因式分解，得到$a(x - r_1)(x - r_2) = -c$，其中$r_1$ 和$r_2$ 是方程$ax^2 + bx + c = 0$ 的两个根。
根据分解因式的性质，可以得到以下三种情况：
当$a > 0$ 时，不等式$ax^2 + bx + c > 0$ 的解为$r_1 < x < r_2$，而不等式$ax^2 + bx + c < 0$ 的解为$x < r_1$ 或$x > r_2$。
当$a < 0$ 时，不等式$ax^2 + bx + c > 0$ 的解为$x < r_1$ 或$x > r_2$，而不等式$ax^2 + bx + c < 0$ 的解为$r_1 < x < r_2$。
注意，当$a = 0$ 时，不等式变成一元一次不等式，应使用相应的解法。
含参数的一元二次不等式的解法高中数学
含参数的一元二次不等式的解法高中数学一元二次不等式是高中数学中重要的内容之一，它与一元二次方程不同，需要通过特定的方法来解决。
当一元二次不等式中出现参数时，解法也会有所不同。
本文将介绍含参数的一元二次不等式的解法。
首先，我们来看一个简单的例子，假设有不等式 f(x) =ax^2+bx+c > 0，其中a、b、c为实数且不为零。
我们的目标是确定x的取值范围使得不等式成立。
步骤一：将不等式化简为标准形式首先，我们需要将不等式化简为标准形式，即形如(ax^2+bx+c)>0的形式。
若不等式已经处于此形式，则可以直接进行下一步。
若不等式不满足此形式，则需要移项合并同类项，将不等式转化为标准形式。
步骤二：确定基本情况下的解法对于标准形式的一元二次不等式，我们可以利用图像法或代数法来解决。
对于a>0和a<0的两种情况，基本的解法如下：1. 当a>0时：- 如果a>0，二次函数的开口朝上，函数图像是一个开口朝上的抛物线。
此时的不等式解集为抛物线上方的实数集。
- 若抛物线与x轴有两个交点，我们可以通过求解对应的一元二次方程，求出两个交点x1和x2。
然后我们可以得到解集: x<x1 或x>x2- 若抛物线与x轴只有一个交点，我们可以求解的结果只有一个交点x0，此时解集为：x<x0 或 x>x0。
2. 当a<0时：- 如果a<0，二次函数的开口朝下，函数图像是一个开口朝下的抛物线。
此时的不等式解集为抛物线下方的实数集。
- 若抛物线与x轴有两个交点，我们可以通过求解对应的一元二次方程，求出两个交点x1和x2。
然后我们可以得到解集: x1<x<x2- 若抛物线与x轴没有交点，则解集为空集：ø步骤三：含参数时的解法当一元二次不等式中存在参数时，解法稍有不同。
我们以一个具体的例子来说明。
例题：对于不等式f(x) = (a+b)x^2+(b+c)x+c>0，其中a，b，c 为实数且不为零。
含参一元二次不等式解法及简单恒成立
m＜0.综上，m 的取值范围为 m≤0.
[类题通法] 不等式对任意实数 x 恒成立， 就是不等式的解集为 R， 对于一 元 二 次 不 等 式 ax2 ＋ bx ＋ c ＞ 0 ， 它 的 解 集 为 R 的 条 件 为
a＞0， 2 Δ＝b －4ac＜0；
一元二次不等式 ax2＋bx＋c≥0， 它的解集为 R
g1＜0， g－3＜0，
2 x －2x＋4＜0， 即 2 x －10x＋4＜0.
因为x2－2x＋4＜0的解集是空集，所以不存在实数x，使函数y ＝x2＋2(a－2)x＋4，对任意a∈[－3,1]，y＜0恒成立．
x＜1.
1 1 当 a＜－1 时，－a＜1，∴x＞1 或 x＜－a， 综上原不等式的解集是： 当 a＝0 时，{x|x＜1}；当 a＞0
1 时， x|－a＜x＜1； 1 时，x|x＜1或x＞－a .
当 a＝－1 时，{x|x≠1}；当－1＜a＜0 当 a＜－1
4 、 已 知 关 于 x 的 不 等 式 ax 2 ＋ bx ＋ c ＜ 0 的 解 集 是 1 x |x ＜－2 或 x ＞－ 2 ，求 ax 2－bx ＋c＞0 的解集．
二、不等式恒成立
关于 x 的不等式(1＋m )x 2＋mx ＋m ＜x 2＋1 对 x ∈R 恒成立， 求实数 1、 m 的取值范围．源自 a＝－3， 得 b＝2，
代入所求不等式，得 2x2－3x＋1＞0. 1 由 2x －3x＋1＞0⇔(2x－1)(x－1)＞0⇔x＜ 或 x＞1. 2
2
∴bx ＋ax＋1＞0
2
1 的解集为－∞，2∪(1，＋∞)．
[类题通法] 1．一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值是 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根， 也是函数 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交点的横坐标． 2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象在 x 轴上方的部分，是由 不等式 ax2＋bx＋c＞0 的 x 的值构成的； 图象在 x 轴下方的部分， 是由不等式 ax2＋bx＋c＜0 的 x 的值构成的， 三者之间相互依存、 相互转化．
含参数的一元二次不等式
1 1 1 即 a 1时，原不等式的解集为： {x | x 1} a a 1 1即 a 1 时，原不等式的解集为： a
1 1 a
即
1 {x |1 x } 0 a 1 时，原不等式的解集为： a
含参数的一元二次不等式的解法
综上所述， (1)当 a 0 时，原不等式的解集为 (2)当 a 0 时，原不等式的解集为
2
又不等式即为 (x-2a)(x-3a)>0
故只需比较两根2a与3a的大小.
x 解: 原不等式可化为： 2a ( x 3a) 0
相应方程 x 2a ( x 3a) 0 的两根为 x1 2a, x2 3a ∴(1)当 2a 3a 即 a 0 时，原不等式解集为 x | x 2a或x 3a
综上所述： a 0时，原不等式解集为：x | x 2a或x 3a
a 0时，原不等式解集为： | x 3a或x 2a x
(2)当 2a 3a 即 a 0 时，原不等式解集为 x | x 3a或x 2a
两根大小的讨论
例题讲解
含参数的一元二次不等式的解法
2 ∴(a)当 k 0 时,原不等式即为 2 x 0
解集为：x x 0
解集为：x x 2
2 x 2 8x 8 0 ∴(b)当 k 8时,原不等式即为
k 2 8k 0 即 k 0 或 k 8 （３)当
时,
k k 2 8k k k 2 8k x x 4 4
例3： 解不等式
2
x ax 4 0
2
解：∵ a 16 ∴ 当a 4,4即 0时
含参数的一元二次不等式的求解方法解析
含参数的一元二次不等式的求解方法解析冯婷含参数的一元二次不等式是一元二次不等式求解问题的一个难点，本文总结了含参数的一元二次不等式的几种常见题型及其常见解法。
含参数的一元二次不等式由于其系数中出现了参数，因此往往需要对参数不同取值进行分类讨论从而加以求解。
一般情况下，含参数的一元二次不等式的分类和讨论步骤如下：（1）对二次项系数含有参数的一元二次不等式，要注意对二次项系数是否为零的讨论，当特别当二次项系数为零时需转化为一元一次不等式问题来求解；（2）对含参数的一元二次不等式，在其解的情况不明确的情况下，需要对其判别式分0,0,0∆>∆=∆<三种情况加以讨论；（3）若含参数的一元二次不等式可以转化成用其根12,x x 表示的形如12()()a x x x x --的形式时，往往需要对其根分121212,,x x x x x x >=<三种情况进行讨论，或用韦达定理帮助求解。
一、对根的情况及判别式分类讨论例1 解关于x 的不等式220x kx k +-≤。
解：28(8)k k k k ∆=+=+① 当0∆>即08k k ><-或时，方程220x kx k +-=有两个不相等的实数根，则该不等式的解集为x x ⎧⎪≤≤⎨⎪⎪⎩⎭。
② 当0∆=即08k k ==-或时，方程220x kx k +-=有两个相等的实数根，则该不等式的解集为{}|0,2x x x ==或。
③ 当0∆<即80k -<<时，方程220x kx k +-=无实数根，则该不等式的解集为∅。
注：本题由于方程220x kx k +-=根的情况不确定，则需要对其判别式进行分类讨论。
例2 解关于x 的不等式022)3(2>-+++m mx x m 。
解：① 当03=+m 即3-=m 时，上述不等式可化简为650x -->，此时不等式的解集为5|6x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭。
含参数的一元二次不等式的解法以及含参不等式恒成立问题
含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：∵()044222>+=-+=∆a a a解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=aa a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例2 解不等式分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a Θ∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆； 例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。
解：∵162-=∆a∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ； 当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且；当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >,∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或例4 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122解 因,012>+m ()()2223414)4(m m -=+--=∆所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33>-<m m 或，即0<∆时，解集为R 。
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3.2.2含参数的一元二次不等式及其解法一．自主学习
以上结论是针对a>0的情形给出相应的解，a<0时请同学们自行分析。
解一元二次不等式的步骤：
1：确定二次项系数符号（一般将二次系数化为正）;
2:计算△,求相应一元二次方程的根(能用十字相乘法的则不需用公式）;
3：根据二次函数的图像,写出不等式的解集
二．自主探究
在解关于含参数的一元二次不等式时，往往都要对参数进行分类讨论。
分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点。
下面举例说明解题时如何做到分类“不重不漏”。
【题型一】对根的大小讨论
例1． 解关于x 的不等式0)1(2<+++a x a x .(a R ∈ ).
对应练习：解关于的不等式
2x a x a
--<0 (a R ∈ ).
【题型二】对所对应方程根的个数进行讨论
例2、 解不等式02>+-a x x ，R a ∈
对应练习：012
<+-ax x
【题型三】对首项系数a 的讨论
例3、 2(1)10、x ax a x +-->解关于的不等式，R a ∈
对应练习：（1）关于x 的不等式0122<+-ax ax ，R a ∈
训练（2）：函数()f x =
R ，则实数m 的取值范围.
课堂小结：
含参数的一元二次不等式需讨论一般分为
1：对二次项系数进行讨论；
2：对所对应方程根的个数进行讨论；
3：对所对应方程根的大小进行讨论；
注意：因不确定所以需要讨论，在讨论时需清楚在哪讨论；怎样讨论.讨论要不重不漏,通过讨论后化不确定为确定.
三．巩固性练习及作业
1．不等式x 2-ax-122a <0 (其中a<0)的解集为（ ）
A.（-3a, 4a ）
B.(4a , -3a)
C.(-3, 4)
D.(2a , 6a)
2、22210x x
x m -+->解关于的不等式
32(1)10、
x ax a x +-->解关于的不等式
4.若不等式ax 2+bx+c>0 的解集为{x|-3<x<4}.，求不等式bx 2+2ax-c-3b<0的解集
分析提示：给出了一元二次不等式的解集，则可知a 的符号和ax 2+bx+c=0的两根，由韦达定理可知a,b ，c 之间的关系。
【思维拓展】不等式恒成立问题
例4不等式22
(23)m m x ---(3)1m x --<0对一切x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围.
例5．若不等式x 2+2ax+2a -2a+2>0对一切11x -≤≤恒成立，求实数a 的取值范围。
提高练习：1.不等式ax 2+bx+2>0的解集是{x|12-<x<13
}，则a-b 等于（ ） A.-14 B.14 C.-10 D.10
2..若不等式组{22430
680x x x x -+<-+<的解满足2x 2-9x+a <0，则（ ）
A.a>9
B.a=9
C.a ≤9
D.0<a9≤
3．不等式2
(2)2(2)4a x a x -+--<0对一切x R ∈恒成立，则a 的取值范围是。