数列经典例题教学提纲
数列知识点总结及例题讲解
人教版数学必修五第二章数列重难点解析第二章课文目录2.1 数列的概念与简单表示法2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列前n项和【重点】1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。
2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。
3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。
4、等差数列n项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。
5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。
6、等比数列的前n项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式【难点】1、根据数列的前n项观察、归纳数列的一个通项公式。
2、理解递推公式与通项公式的关系。
3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。
4、灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题。
5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。
6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。
一、数列的概念与简单表示法1.数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：(1)数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；(2)定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项，…,第n项，….3.数列的一般形式：aj,az,ag, …,an, …,或简记为{a},其中a。
是数列的第n项4.数列的通项公式：如果数列{a}的第n项a。
与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意： (1)并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④;(2)一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1,0,1,0,1,0, …它的通项公式可以是,也可以是； 1.(3)数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第召项，又是这个数列中所有各项的一般表示.通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项.5.数列与函数的关系：数列可以看成以正整数集N(或它的有限子集{1,2,3,…,n})为定义域的函数an= f(n),当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
《数列》复习纲要.doc
sgl)S w -5…_I (n>2)《数列》复习纲要 一数列的基木概念【知识梳理】1. 数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.2. 通项公式：如果数列仏｝的第〃项与崖号之间可以用一个式子表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即%—3. 递推公式：如果己知数列血｝的第一项（或前儿项），且任何一项色与它的前一项 %】（或前儿项）间的关系可以用一个式子来表示，即色=或心二/⑺灯,陽_2）， 那么这个式子叫做数列｛勺｝的递推公式.如数列｛爲｝中,a 】=1,勺=2陽+1,其中 a n = 2a n + 1是数列也”｝的递推公式.4. 数列的前n 项和与通项的公式① S” = G] + C<2 -- Cl n ; ®Cl5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列,摆动数列，常数数列; 有界数列，无界数列.%1 递增数列：对于任何nw N*,均有a n+l > a n . %1 递减数列:对于任何ne N +,均有a n+[ < a n . %1 摆动数列:例如:-1,1-1,1-1,--. %1 常数数列:例如：6, 6, 6, 6,……. %1 有界数列:存在正数M 使\a fJ \<M,ne N +.%1 无界数列:对于任何正数M ,总有项〜使得|d”| > M .【例1】求下列数列的一个通项公式：⑴ 3,5,9,17,33,…，a n =2" +12 4 6 8 10（2）1，0,-亍 0,护,-严…,当斤=1 时，2x3,_, =2H ® 4(n = 1)• a v (【例3】已知数列｛%｝中，a 】 = l,如+1=2乩(nGN*),求该数列的通项公式. 5+2 解：方法一:由a n+1= ^-得5+2丄一丄=丄，・・・｛丄｝是以丄=］为首项，丄为公差的等差数列.如 a n 2 a n a t 2— = 1 + (n — 1).［，即 a n — —^― a n 2 齐 + 1方法二：求出前5项，归纳猜想出如=丄，然后证明. n + \【例4】己知数列｛aj 的前n 项和S.满足色+2S”S,i 二0 (n22),务二丄，求色・2【解题思路】利用d 广s 厂S T 消去转化为求数量｛S 〃｝,继而求色解•••当 n$2 时，a n = S 舁- S 〃_|,・・・S 〃-S”T +2S 〃S 『0,即右-一2,5°/?-1* ■.・・数列丿亠是公差为2的等差数列.X Si=aF —,・:丄二 2,・ *. —=2+ (n-1) • 2=2n,・'.S”二丄.2 Si SnH 2n・・・当心2时,色二-2 S” S”_严-2 • f1 二_ 12(n 一 1) 2/z(/z-1)(4) 1,3,6,10,15,21,…,a” 二 1 + 2 + 3 + …+ 斤二"(岁)【例2】已知下列数列仏}的前〃项和S”,分别求它们的通项公式色.⑴ S” = 2n 2+； ⑵ S” 二3"+1.【解析】⑴当刃=1时，a x = S } = 2xl 2+3xl=5,当 n>2 时,a rl = S n - S_] = (2n 2 + 3n) 一 [2(n 一 l)2 + 3(n-l)] = 4n + l. 当比=1 吋，4 x 1 +1 = 5 = d], /. a n = 4/? +1.⑵当 n = 1 时，= Sj =3+1=4,当 n>2 时，a n = S n - S,T = (3" + 1) — (3“ +l) = 2x 3,,_1.答案6116解析:a x a 2 = 4, a 2 = 4, a x • a 2(—1)2(n>2)a na n-\a 2—2a n-i 1 2rtn-\z(I) (2)【例5】如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿 顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一 个点，若青蛙从5这点开始跳，则经2009次跳后它停在的点所对应 厂的数为()5/A. IB. 2C. 3D. 5II解析 5—2—1—3—5,周期为 4, 2009=4X502+1,经过 2009 次跳后 \ /它停在的点所对应的数为2.答案B.【例6］数列｛/｝中，对于所有的n^2, n W N*都有第10题图ai • a 2 • a 3 ......... a…=n \ 贝lj a ：汁as 二 _ •【例7】已知数列｛a n ｝ ai=l, (n+l)an=na n q,则数列◎｝的一个通项公式a“二 ___________ 答案n4.下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n 个图案中需用黑色瓷砖 _________ 块.(用含n 的代数式表示)答案4n+8解析：不妨设第〃个图案有黑色瓷砖色块，则® =12,色=16卫3 =20,…，不难发现数 列仏｝是公差为4的等差数列5.已知数列｛a n ｝的前n 项和S n =n 2-9n,第k 项满足5< a k <8,则k 二 __________ .答案 8 解析：[S[,n = 1a n = <[S n -S fl ^n>26•若数列｛aj 的通项公式a n =—,记f (n)二2(l-aJ (l-a?)…(1-aJ ,试通过计算5 + 1)2⑶…何1_ n(n + 2)(72 + 1)2 _ (斤 + 1)22x4 3x5n(n + 2)5 + 1)27.数列｛an ｝满足aL 丄，则数列的第2 008项为 __________ .答案壬解析：a 2=-,a 3=-9a 4=-,a 5=-f 数列仏｝是周期数列，周期为412.已知二次函数f(x)=x 2-ax+a (xWR)同时满足：①不等式f(x)W0的解集有且只有一个元 素；②在定义域内存在0<X1<x 2,使得不等式f(X1)>f(x 2)成立.设数列4｝的前n 项和 Sn 二f (n).(1) 求函数f(x)的表达式； (2) 求数列｛aj 的通项公式.解(1) Tf (x) W0的解集有且只有一个元素，A =a 2-4a=0 => a 二0 或 a=4,当a=4时，函数f(x)=x-4x+4在(0, 2)上递减, 故存在0 Vx ：<X2,使得不等式f (Xi) >f (X2)成立， 当a 二0时，函数f (x) =x'在(0,+8)上递增，故不存在0 < Xi < x 2,使得不等式f (xi) >f (X2)成立， 综上，得 a 二4, f (x)二x 「4x+4.(2)由(1)可知S 帛-岔+4,当 n=1 时,ai=Si=l, 当 nM2 时,a n =Sn _Sn-i=(n 2-4n+4)- [ (n-l)2-4 (n-1) +4] =2n-5, ._p(« = D2n - 5(n > 2)解析: °Sd” <p。
等比数列的前n项和数列总结教学提纲
等比数列的前n 项和一、等比数列的前n 项和公式1．乘法运算公式法∵S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＝a 1(1＋q ＋q 2＋…＋q n －1)＝a 1·1－q 1＋q ＋q 2＋…＋q n －11－q ＝a 11－q n1－q， ∴S n ＝a 11－q n1－q. 2．方程法∵S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＝a 1＋q (a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n －2)＝a 1＋q (a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n －1－a 1q n －1)＝a 1＋q (S n －a 1q n －1)，∴(1－q )S n ＝a 1－a 1q n .∴S n ＝a 11－q n1－q. 3．等比性质法∵{a n }是等比数列，∴a 2a 1＝a 3a 2＝a 4a 3＝…＝a n a n －1＝q . ∴a 2＋a 3＋…＋a n a 1＋a 2＋…＋a n －1＝q ， 即S n －a 1S n －a n ＝q 于是S n ＝a 1－a n q 1－q ＝a 11－q n1－q. 二、等比数列前n 项和公式的理解(1)在等比数列的通项公式及前n 项和公式中共有a 1，a n ，n ，q ，S n 五个量，知道其中任意三个量，都可求出其余两个量．(2)当公比q ≠1时，等比数列的前n 项和公式是S n ＝a 11－q n 1－q ，它可以变形为S n ＝－a 11－q ·q n ＋a 11－q ，设A ＝a 11－q，上式可写成S n ＝－Aq n ＋A .由此可见，非常数列的等比数列的前n 项和S n 是由关于n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)．等比数列前n 项和性质（1）在等比数列{a n }中，连续相同项数和也成等比数列，即：S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…仍成等比数列．（2）当n 为偶数时，偶数项之和与奇数项之和的比等于等比数列的公比，即S 偶S 奇＝q . （3）若一个非常数列{a n }的前n 项和S n ＝－Aq n ＋A (A ≠0，q ≠0，n ∈N *)，则数列{a n }为等比数列，即S n ＝－Aq n ＋A ⇔数列{a n }为等比数列．题型一 等比数列前n 项和公式的基本运算（在等比数列{a n }的五个量a 1，q ，a n ，n ，S n 中，a 1与q 是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a 1和q 表示a n 与S n ，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用；在解决与前n 项和有关的问题时，首先要对公比 q ＝1或q ≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．）1、在等比数列{a n}中，(1)若S n＝189，q＝2，a n＝96，求a1和n；(2)若q＝2，S4＝1，求S8.2、设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q.题型二等比数列前n项和性质的应用3、一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项和为170，求出数列的公比和项数．4、等比数列{a n}中，若S2＝7，S6＝91，求S4.题型三等比数列前n项和的实际应用5、借贷10 000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061,1.015≈1.051)[规范解答] 方法一设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款a n元(1≤n≤6)，则a0＝10 000，a1＝1.01a0－a，a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，……a6＝1.01a5－a＝……＝1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a.由题意，可知a6＝0，即1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a＝0，a＝1.016×1021.016－1.因为1.016＝1.061，所以a＝1.061×1021.061－1≈1 739.故每月应支付1 739元．方法二一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)．另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a＝a[1＋0.016－1]1.01－1＝a[1.016－1]×102(元)．由S1＝S2，得a＝1.016×1021.016－1. 以下解法同法一，得a≈1 739.故每月应支付1 739元．方法技巧错位相减法求数列的和若数列{a n}为等差数列，数列{b n}为等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{a n b n}，当求该数列的前n项的和时，常常采用将{a n b n}的各项乘以公比q，并向后错位一项与{a n b n}的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．6、已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝(4－a n)q n－1(q≠0，n∈N*)，求数列{b n}的前n项和S n.数列归纳整合一、数列的概念及表示方法(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数．(2)表示方法：列表法、图象法、通项公式法和递推公式法．(3)分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列．(4)a n 与S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1n ＝1，S n －S n －1n ≥2.二、等差数列、等比数列性质的对比 等差数列 等比数列性质 ①设{a n }是等差数列，若s ＋t ＝m ＋n ，则a s＋a t ＝a m ＋a n ；②从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列；③等差数列中连续m 项的和组成的新数列是等差数列，即：S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…是等差数列 ①设{a n }是等比数列，若s ＋t ＝m ＋n ，则a s ·a t ＝a m ·a n ； ②从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列； ③等比数列中连续m 项的和组成的新数列是等比数列，即：S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…是等比数列(注意：当q ＝－1且m 为偶数时，不是等比数列)函数特性 ①等差数列{an}的通项公式是n 的一次函数，即an ＝an ＋b(a≠0，a ＝d ，b ＝a1－d)； ②等差数列{an}的前n 项和公式是一个不含常数项的n 的二次函数，即Sn ＝an2＋bn(d≠0) ①等比数列{an}的通项公式是n 的指数型函数，即an ＝c·qn ，其中c≠0，c ＝a1q ； ②等比数列{an}的前n 项和公式是一个关于n 的指数型函数，即Sn ＝aqn －a(a≠0，q≠0，q≠1)三、等差数列、等比数列的判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)⇔{a n }是等差数列；a n ＋1a n＝q (q 为常数，q ≠0)⇔{a n }是等比数列． (2)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }是等差数列；a n ＋12＝a n ·a n ＋2(a n ≠0)⇔{a n }是等比数列．(3)通项公式法：a n ＝an ＋b (a ，b 是常数)⇔{a n }是等差数列；a n ＝c ·q n (c ，q 为非零常数)⇔{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；S n ＝aq n －a (a ，q 为常数，且a ≠0，q ≠0，q ≠1，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．专题一 数列通项公式的求法数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中的解析式一样，有解析式便可研究函数的性质，而有了数列的通项公式，便可求出数列中的任何一项及前n 项和．常见的数列通项公式的求法有以下几种：(1)观察归纳法求数列的通项公式就是观察数列的特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与序号n 的内在联系，结合常见数列的通项公式，归纳出所求数列的通项公式．(2)利用公式法求数列的通项公式数列符合等差数列或等比数列的定义，求通项时，只需求出a 1与d 或a 1与q ，再代入公式a n ＝a 1＋(n －1)d 或a n ＝a 1q n －1中即可．(3)利用a n 与S n 的关系求数列的通项公式如果给出的条件是a n 与S n 的关系式，可利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1n ＝1，S n －S n －1n ≥2，先求出a 1＝S 1，再通过计算求出a n (n ≥2)的关系式，检验当n ＝1时，a 1是否满足该式，若不满足该式，则a n 要分段表示．(4)利用累加法、累乘法求数列的通项公式形如：已知a 1，且a n ＋1－a n ＝f (n )(f (n )是可求和数列)的形式均可用累加法；形如：已知a 1，且a n ＋1a n＝f (n )(f (n )是可求积数列)的形式均可用累乘法． (5)构造法(利用数列的递推公式研究数列的通项公式)若由已知条件直接求a n 较难，可以通过整理变形等，从中构造出一个等差数列或等比数列，从而求出通项公式．1、已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋3n ＋2且a 1＝2，求a n .2、数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝n ＋1n ＋2a n(n ∈N *)，求通项公式a n . 3、已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)，a 1＝1，求通项公式．4、设S n 为数列{a n }的前n 项的和，且S n ＝32(a n －1)(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式． 专题二 数列求和求数列的前n 项和S n 通常要掌握以下方法：1、公式法：直接由等差、等比数列的求和公式求和，注意对等比数列q ≠1的讨论．2、错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．3、分组转化法：把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差、等比数列再求和．4、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．5、倒序相加法：把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广)．1、求数列214，418，6116，…，2n ＋12n ＋1的前n 项和S n . 2、在数列{a n }中，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1，又b n ＝2a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项的和． 3、求和S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n .专题三 数列的交汇问题数列是高中代数的重点内容之一，也是高考的必考内容及重点考查的范围，它始终处在知识的交汇点上，如数列与函数、方程、不等式等其他知识交汇进行命题．1、已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且 a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0恒成立，试求m 的取值范围． 2、数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n .(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n 2·b n ，证明：当且仅当n ≥3时，c n ＋1<c n .。
(完整版)数列题型及解题方法归纳总结
知识框架111111(2)(2)(1)(1)()22()n n n n n n m p q n n n n a q n a a a qa a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q --=≥=⎧⎪←⎨⎪⎩-=≥⎧⎪=+-⎪⎪-⎨=+=+⎪⎪+=++=+⎪⎩两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1)11(1)()n n n n m p q a a q a q q q q S na q a a a a m n p q ---=≠--===+=+⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎨⎩⎩等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明分期付款数列的应用其他⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。
一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 （1）观察法。
（2）由递推公式求通项。
对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。
(1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数） 例1、 已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。
求a n 。
例1、解 ∵a n+1-a n =2为常数 ∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列∴a n =1+2（n-1） 即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足112n n a a +=，而12a =，求n a =？（2）递推式为a n+1=a n +f （n ）例3、已知{}n a 中112a =，12141n n a a n +=+-，求n a . 解： 由已知可知)12)(12(11-+=-+n n a a n n )121121(21+--=n n令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n-1）2434)1211(211--=--+=n n n a a n ★ 说明 只要和f （1）+f （2）+…+f （n-1）是可求的，就可以由a n+1=a n +f （n ）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求a n 。
1.高三最全数列学习提纲
数列本章提纲
（橙子天团本周学习提纲）
将来的你一定会感激现在如此拼命的自己！
（给立志成为橙子天团最优秀的一员的同学的第一句寄语）
1.数列的概念与表示？
2.等差数列等比数列
（1）等差数列的通项公式求和计算
（2）等比数列的通项公式，求和计算
3.数列的递推与通项
（1）叠加法求数列的通项（常见类型有哪些）
（2）S n与An的混合式求数列通项
（3）由递推求通项的其他方法（列出你能够想到的其他方法）4.数列的求和
（1）分组求和原理
（2）列项求和原理
（3）错位相减原理
注:
每一位同学必须要把自己能够想到的知识点列出来，然后在听课时候看看和橙子老师讲的有什么出入，有没想到的地方，想错了的地方就是重点!记着上课截图，下课立马做上笔记！
上课之前准备好几件事：草稿纸。
笔，笔记本（用来做笔记），还有调好麦克（有麦克的）这样方便大家互动起来！。
小学奥数题(1)教学提纲
小学奥数一年级1，计算：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19,22，环形跑道上正在进行长跑比赛。
每位运动员前面有8个人在跑，每位运动员后面也有8个人在跑。
跑道上一共有( )个运动员?1.判断：小易的糖果比薇薇多，薇薇的糖果比欣欣少，那么下面哪个说法是对的?(1)小易的糖果比欣欣多(2)小易的糖果比欣欣少2.按规律填数。
①2、4、6、8、10、12、( )②3、4、6、9、13、18、( )1. 明家门前有一排小树苗，柳树左边有6棵杨树，它的右边有10棵松树，这排小树苗一共有多少棵？2. 小白兔有12 个萝卜，它给了小灰兔3 个萝卜后，它俩的萝卜就一样多，小灰兔原来有多少个萝卜？1、3、5、2、4、6、3、5、7、（）、（）、（）1.有一筐梨，2个2个地拿，最后剩1个，这筐梨的个数是单数还是双数？2.13个小朋友玩"老鹰抓小鸡"的游戏，已经抓住了5只"小鸡"，还有几只小鸡没抓住？2、懒羊羊问喜羊羊借了一个小魔方，但是它想用同样的魔方组成一个大的魔方块，请问它还需要问喜羊羊借至少多少个一样大小的魔方呢？1、体育课上，23名男生一、二报数，最后一个人报的是单数、还是双数？二年级1. 找规律：根据规律填数(1)30、28、26、（）、（）……(3)15、20、25、（）……2.晨晨家三月份用电45度，比二月份节约17度。
这两个月一共用电多少度?1.一个农民带着一只狗、一只猫和一条鱼过河，小船每次只能载1个人和一样东西。
农民想带狗过去，又怕猫吃鱼;若带鱼过去又怕狗欺负猫。
那么他应该怎样才能将三样东西安全弄过河呢?2.求1+2+3+…+24+25的和．1. 计算96-95-94+93+92-91-90+89+88-87-86+85+84-83-82+81=2. 计算2×4×5×25×541.计算35+34-33-32+31+30-29-28+27+26-25-24+23+22-21-20+19+18-17-16+152.计算60-59+58-57+56-55+54-53+52-51=1.一盒精装的笔，连盒共值18元，笔比盒贵14元，盒和笔的价钱各是多少?2.在下列各式右端的方框内,填上与左端不相同的运算符号,使各等式成立.12÷6＋2＝12□6□22、有小明，小梅和小亮三人，站成一排，可以有几种站法（）1、妈妈买来一些巧克力，送给邻居小妹妹2块后拿回了家，小亚先吃了其中的一半，又给弟弟吃了剩下的一半，这时还有1块巧克力，妈妈一共买了多少块巧克力？2、无法区分的7个苹果放在三个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放。
(完整)人教版高中数学必修五数列复习提纲及例题
《数列》复习1.数列的通项求数列通项公式的常用方法：（1）观察与归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变：分析符号、数字、字母与项数n 在变化过程中的联系，初步归纳公式。
（2）公式法：等差数列与等比数列。
（3）利用n S 与n a 的关系求n a ：11,(1),(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（4）构造新数列法；（5）逐项作差求和法；（6）逐项作商求积法2.等差数列{}n a 中：（1）等差数列公差的取值与等差数列的单调性； （2）1(1)n a a n d =+-()m a n m d =+-； （3）{}n ka 也成等差数列；(4)两等差数列对应项和(差)组成的新数列仍成等差数列. (5)1211221213,,m m m m m m ma a a a a a a a a +++++++++++++仍成等差数列.（6）1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+，21()22n d dS n a n =+-， 2121n n S a n -=-，()(21)n n nn A a f n f n B b =⇒=-.(7)若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；若2p qm +=，则2p q m a a a +=,()0p q p q a q a p p q a +==≠⇒=，,()()p q p q S q S p p q S p q +==≠⇒=-+；m n m n S S S mnd +=++.(8)“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和； （9）等差中项：若,,a A b 成等差数列，则2a bA +=叫做,a b 的等差中项。
（10）判定数列是否是等差数列的主要方法有：定义法、中项法、通项法、和式法、图像法。
3.等比数列{}n a 中：（1）等比数列的符号特征(全正或全负或一正一负)，等比数列的首项、公比与等比数列的单调性。
(完整版)数列题型及解题方法归纳总结
1知识框架111111(2)(2)(1)(1)()22()n n n n n n m p q n n n n a q n a a a qa a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q --=≥=⎧⎪←⎨⎪⎩-=≥⎧⎪=+-⎪⎪-⎨=+=+⎪⎪+=++=+⎪⎩两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1)11(1)()n n n n m p q a a q a q q q q S na q a a a a m n p q ---=≠--===+=+⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎨⎩⎩等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明分期付款数列的应用其他⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。
一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 （1）观察法。
（2）由递推公式求通项。
对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。
(1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数） 例1、 已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。
求a n 。
例1、解 ∵a n+1-a n =2为常数 ∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列∴a n =1+2（n-1） 即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足112n n a a +=，而12a =，求n a =？（2）递推式为a n+1=a n +f （n ）例3、已知{}n a 中112a =，12141n n a a n +=+-，求n a . 解： 由已知可知)12)(12(11-+=-+n n a a n n )121121(21+--=n n令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n-1）22434)1211(211--=--+=n n n a a n ★ 说明 只要和f （1）+f （2）+…+f （n-1）是可求的，就可以由a n+1=a n +f （n ）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求a n 。
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数列经典例题
类型一：迭加法求数列通项公式
1．在数列中，，，求.
解析：∵，
当时，
，
，
，
将上面个式子相加得到：
∴（），
当时，符合上式
故.
总结升华：
1. 在数列中，，若为常数，则数列是等差数列；若不是一个常数，而是关于的式子，则数列不是等差数列.
2.当数列的递推公式是形如的解析式，而的和是可求的，则可用多式累（迭）加法得.
举一反三：
【变式1】已知数列，，，求.
【答案】
【变式2】数列中，，求通项公式.
【答案】.
类型二：迭乘法求数列通项公式
2．设是首项为1的正项数列，且，求它的通项公式.
解析：由题意
∴
∵，∴，
∴，
∴，又，
∴当时，，
当时，符合上式
∴.
总结升华：
1. 在数列中，，若为常数且，则数列是等比数列；若不是一个常数，而是关于的式子，则数列不是等比数列.
2．若数列有形如的解析关系，而的积是可求的，则可用多式累（迭）乘法求得.
举一反三：
【变式1】在数列中，，，求.
【答案】
【变式2】已知数列中，，，求通项公式.
【答案】由得，∴，
∴，
∴当时，
当时，符合上式
∴
类型三：倒数法求通项公式
3．数列中，,，求.
思路点拨：对两边同除以得即可.
解析：∵，∴两边同除以得，
∴成等差数列，公差为d=5，首项，
∴，
∴.
总结升华：
1．两边同时除以可使等式左边出现关于和的相同代数式的差，右边为一常数，这样把数列的每一项都取倒数，这又构成一个新的数列，而恰是等差数列.其通项易求，先求的通项，再求的通项.
2．若数列有形如的关系，则可在等式两边同乘以，先求出，再求得.
举一反三：
【变式1】数列中，，，求.
【答案】
【变式2】数列中，,，求.
【答案】.
类型四：待定系数法求通项公式
4．已知数列中，，，求.
法一：设，解得
即原式化为
设，则数列为等比数列，且
∴
法二：∵①
②
由①－②得：
设，则数列为等比数列
∴
∴
∴
法三：，，，……，
，
∴
总结升华：
1．一般地，对已知数列的项满足，（为常数，）,则可设得，利用已知得即，从而将数列转化为求等比数列的通项.第二种方法利用了递推关系式作差，构造新的等比数列.这两种方法均是常用的方法.
2．若数列有形如（k、b为常数）的线性递推关系，则可用待定系数法求得.
举一反三：
【变式1】已知数列中，，求
【答案】令，则，
∴，即
∴，
∴为等比数列，且首项为，公比，
∴，
故.
【变式2】已知数列满足,而且，求这个数列的通项公式.
【答案】∵，∴
设，则，即，
∴数列是以为首项，3为公比的等比数列，
∴，∴.
∴.
类型五：和的递推关系的应用
5．已知数列中，是它的前n项和，并且, .
(1)设,求证：数列是等比数列；
(2)设，求证：数列是等差数列；
(3)求数列的通项公式及前n项和.
解析：
（1）因为，所以
以上两式等号两边分别相减，得
即，变形得
因为，所以
由此可知，数列是公比为2的等比数列.
由,,
所以, 所以,
所以.
（2），所以
将代入得
由此可知，数列是公差为的等差数列，它的首项，
故.
（3），所以
当n≥2时，
∴
由于也适合此公式，
故所求的前n项和公式是.
总结升华：该题是着眼于数列间的相互关系的问题，解题时，要注意利用题设的已知条件，通过合理转换，将非等差、等比数列转化为等差、等比数列，求得问题的解决利用等差（比）数列的概念，将已知关系式进行变形，变形成能做出判断的等差或等比数列，这是数列问题中的常见策略.
举一反三：
【变式1】设数列首项为1，前n项和满足.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设数列的公比为，作数列，使，，求的通项公式.
【答案】
（1），
∴
∴，
又
①－②
∴，
∴是一个首项为1公比为的等比数列；（2）
∴
∴是一个首项为1公比为的等差比数列
∴
【变式2】若, ()，求. 【答案】当n≥2时，将代入, ∴,
整理得
两边同除以得（常数）
∴是以为首项，公差d=2的等差数列，
∴，
∴.
【变式3】等差数列中，前n项和，若.求数列的前n项和.
【答案】∵为等差数列，公差设为,
∴,
∴,
∴,
若，则,∴.
∵，
∴,∴ ,
∴,
∴①
②
①-②得
∴
类型六：数列的应用题
6.在一直线上共插13面小旗，相邻两面间距离为10m，在第一面小旗处有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路最短，应集中到哪一面小旗的位置上？最短路程是多少？
思路点拨：本题求走的总路程最短，是一个数列求和问题，而如何求和是关键，应先画一草图，研究他从第一面旗到另一面旗处走的路程，然后求和.
解析：设将旗集中到第x面小旗处，则
从第一面旗到第面旗处，共走路程为了，
回到第二面处再到第面处是，
回到第三面处再到第面处是，
，
从第面处到第面处取旗再回到第面处的路程为，
从第面处到第面处取旗再回到第面处，路程为20×2，
总的路程为：
∵，∴时,有最小值
答：将旗集中到第7面小旗处，所走路程最短.
总结升华：本题属等差数列应用问题，应用等差数列前项和公式，在求和后，利用二次函数求最短路程.
举一反三：
【变式1】某企业2007年12月份的产值是这年1月份产值的倍，则该企业2007年年度产值的月平均增长率为（）
A． B． C． D．
【答案】D；
解析：从2月份到12月份共有11个月份比基数（1月份）有产值增长，设为，
则
【变式2】某人2006年1月31日存入若干万元人民币，年利率为，到2007年1月31日取款时被银行扣除利息税（税率为）共计元，则该人存款的本金为（）A．1.5万元 B．2万元 C．3万元 D．2.5万元
【答案】B；
解析：本金利息／利率，利息利息税／税率
利息（元），
本金（元）
【变式3】根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的个月内累积的需求量（万件）近似地满足.按比例预测，在本年度内，需求量超过万件的月份是()
A．5月、6月 B．6月、7月 C．7月、8月 D．9月、10月
【答案】C；
解析：第个月份的需求量超过万件，则
解不等式，得，即.
【变式4】某种汽车购买时的费用为10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元，汽车的维修费平均为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次成等差数列递增，问这种汽车使用多少年后报废最合算？（即年平均费用最少）
【答案】设汽车使用年限为年，为使用该汽车平均费用.
当且仅当，即（年）时等到号成立.
因此该汽车使用10年报废最合算.
【变式5】某市2006年底有住房面积1200万平方米，计划从2007年起，每年拆除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.
（1）分别求2007年底和2008年底的住房面积；
（2）求2026年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01）
【答案】
（1）2007年底的住房面积为1200(1+5%)－20=1240（万平方米），
2008年底的住房面积为1200(1+5%)2－20(1+5%)－20=1282（万平方米），
∴2007年底的住房面积为1240万平方米；
2008年底的住房面积为1282万平方米.
（2）2007年底的住房面积为[1200(1+5%)－20]万平方米，
2008年底的住房面积为[1200(1+5%)2－20(1+5%)－20]万平方米，
2009年底的住房面积为[1200(1+5%)3－20(1+5%)2－20(1+5%)－20]万平方米，
…………
2026年底的住房面积为[1200(1+5%)20―20(1+5%)19―……―20(1+5%)―20] 万平方米即1200(1+5%)20―20(1+5%)19―20(1+5%)18―……―20(1+5%)―20
≈2522.64（万平方米），
∴2026年底的住房面积约为2522.64万平方米.。