初中数学小专题(十六) 分式的运算
分式的运算知识点总结
分式的运算知识点总结一、分式的含义和性质1. 分式的定义分式是指两个整数的比例，通常用a/b表示，其中a称为分子，b称为分母，b不等于0。
分式通常表示成有理数的形式，例如1/2、3/4等。
2. 分式的性质分式有以下性质：（1）分式的分母不可以为0，因为0不能作为除数。
（2）分式可以化简，即约分，将分子与分母的公因数约掉。
（3）分式可以相互转换，即通过乘以相同的数或者分式和分数的换算，可以将分式相互转换。
二、分式的加减法1. 分式的相加分式的相加即将两个分式的分子相加，分母不变，然后化简得到最简分式。
例如：1/2 + 1/3 = (1*3+1*2)/(2*3) = 5/6。
2. 分式的相减分式的相减即将两个分式的分子相减，分母不变，然后化简得到最简分式。
例如：2/3 - 1/4 = (2*4-1*3)/(3*4) = 5/12。
三、分式的乘除法1. 分式的相乘分式的相乘即将两个分式的分子相乘作为新的分子，分母相乘作为新的分母，然后化简得到最简分式。
例如：1/2 * 2/3 = (1*2)/(2*3) = 2/6 = 1/3。
2. 分式的相除分式的相除即将两个分式的分子相除作为新的分子，分母相除作为新的分母，然后化简得到最简分式。
例如：3/4 ÷ 1/2 = (3*2)/(4*1) = 6/4 = 3/2。
四、分式的乘方和括号的运算1. 分式的乘方分式的乘方即将分式的分子和分母分别进行乘方运算，得到新的分子和分母，然后化简得到最简分式。
例如：(1/2)^2 = 1^2/2^2 = 1/4。
2. 分式的括号运算分式的括号运算即根据括号内的运算顺序进行计算，先乘除后加减，然后化简得到最简分式。
例如：(1/2 + 1/4) ÷ (1/2 - 1/4) = (2/4 + 1/4) ÷ (2/4 - 1/4) = 3/4 ÷ 1/2 = 3/4 * 2/1 = 3/2。
分式运算分式的乘除运算
分式运算分式的乘除运算在数学中，分式是由两个整数表示的比值，写成a/b的形式，其中a称为分子，b称为分母。
在分式中，我们可以进行乘法和除法的运算，下面将介绍分式运算中的乘法和除法。
一、分式的乘法运算当我们计算两个分式的乘法时，需要将它们的分子和分母进行相乘。
例如，计算3/5乘以2/3：(3/5) × (2/3) = (3×2)/(5×3) = 6/15因此，3/5乘以2/3等于6/15。
我们可以使用这种方法计算任意两个分式的乘法。
例如，计算1/2乘以4/7：(1/2) × (4/7) = (1×4)/(2×7) = 4/14化简得到2/7。
二、分式的除法运算当我们计算两个分式的除法时，需要将第一个分式的分子和第二个分式的分母相乘，然后将第一个分式的分母和第二个分式的分子相乘。
例如，计算2/3除以3/4：(2/3) ÷ (3/4) = (2/3) × (4/3) = (2×4)/(3×3) = 8/9因此，2/3除以3/4等于8/9。
我们可以使用这种方法计算任意两个分式的除法。
例如，计算3/5除以1/4：(3/5) ÷ (1/4) = (3/5) × (4/1) = (3×4)/(5×1) = 12/5化简得到2 2/5。
总结：分式的乘法运算需要将两个分式的分子和分母相乘，得到的结果是新的分式。
分式的除法运算需要将第一个分式的分子和第二个分式的分母相乘，以及第一个分式的分母和第二个分式的分子相乘，得到的结果是新的分式。
通过以上的介绍，我们了解了分式运算中的乘法和除法。
在进行分式运算时，我们需要注意对分子和分母的运算，以及化简分式的方法，以得到最简形式的结果。
希望本文能对你有所帮助。
初中数学专题——分式运算的几种技巧，很实用！
初中数学专题——分式运算的几种技巧，很实用！
（一）合理运用逐项通分我是一个标题
例1:
常规策略：一次通分，然后化简。
巧妙解法：
画龙点睛：对分母应用平方差公式，依次合并两个分式，比全部通分要简便。
练习题：
（二）恰当利用拆项解题
例2：
常规策略：全部通分求解。
巧妙解法：
画龙点睛：化分式为部分分式，其实质就是把分母较复杂的分式拆成几个分母较简单的分式的代数和，能达到化繁为简的目的。
练习题：
（三）巧用换元法解题
例3：
常规策略：全部通分求解。
巧妙解法：设x－y＝a，y－z＝b,z－x＝c.
画龙点睛：通过观察发现，
x＋y－2z＝(y－z)－(z－x),
x＋z－2y＝(x－y)－(y－z),
y＋z－2x＝(z－x)－(x－y),
从而考虑用换元法。
练习题：
常规策略：可先解出方程的根，然后代入计算。
巧妙解法：将x4＋x3－4x2＋x＋1＝0方程两边除以x2，得
画龙点睛：注意x≠0时，方程两边才能同时除以x2.
练习题：
（五）设辅助参数
左边＝[a2＋(ak)2＋(ak2)2]
[(ak)2＋(ak2)2＋(ak3)2]＝
a4k2(1＋k2＋k4)2,
右边＝（a2k＋a2k3＋a2k5）2＝
a4k2(1＋k2＋k4)2
所以原式成立。
画龙点睛：遇到连比，可设辅助参数解题。
练习题：。
初中数学知识归纳整式与分式的运算
初中数学知识归纳整式与分式的运算初中数学知识归纳：整式与分式的运算在初中数学学习中，我们不可避免地会遇到各种各样的数学知识与概念。
其中，整式与分式的运算是一个重要的内容。
本文将对整式与分式的概念、运算规则等进行归纳总结，帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。
一、整式的概念与运算整式是由常数、变量和它们的积、积的积等有限个数相加或相减而成的代数式。
一般地，整式可以表示为：\[f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\]其中，\(a_n\)至\(a_0\)为常数系数，\(x\)为变量，\(n\)为整数且大于0。
整式的运算包括加法和减法。
加法运算的规则如下：- 将同类项的系数相加，其他部分保持不变；- 如果没有相同的项，则直接写出各个项，不作任何运算。
例如，对于整式\(f(x)=3x^3+2x^2-5x+1\)和\(g(x)=2x^3-3x^2+x+2\)的加法运算，我们可得：\[f(x)+g(x)=(3+2)x^3+(2-3)x^2+(-5+1)x+(1+2)=5x^3-x^2-4x+3\]减法运算与加法运算类似，只需将被减数改为相反数后进行加法运算。
二、分式的概念与运算分式是由整式的两个整式相除得到的表达式。
一般地，分式可以表示为：\[\frac{{f(x)}}{{g(x)}}\]其中，\(f(x)\)为分子，\(g(x)\)为分母，且\(g(x)\)不能为0。
分式的运算包括加法、减法、乘法和除法。
我们逐一介绍其运算规则。
1. 加法与减法：对于两个分式\(\frac{{f_1(x)}}{{g_1(x)}}\)和\(\frac{{f_2(x)}}{{g_2(x)}}\)的加法或减法运算，需要先找到它们的公共分母，然后将分子进行相应的加减运算后，保持分母不变，即可得到结果的分式。
例如，对于分式\(\frac{{2x}}{{x-1}}\)和\(\frac{{1}}{{x+1}}\)的加法运算，我们可得：\[\frac{{2x}}{{x-1}}+\frac{{1}}{{x+1}}=\frac{{2x(x+1)+1(x-1)}}{{(x-1)(x+1)}}=\frac{{2x^2+x-1}}{{x^2-1}}\]2. 乘法：对于两个分式\(\frac{{f_1(x)}}{{g_1(x)}}\)和\(\frac{{f_2(x)}}{{g_2(x)}}\)的乘法运算，我们只需将它们的分子相乘作为结果的分子，分母相乘作为结果的分母即可。
(完整版)初中数学分式方程典型例题讲解
第十六章分式知识点和典型例习题【知识网络】【思想方法】 1．转化思想转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．第一讲 分式的运算【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;2.与分式运算有关的运算法则3.分式的化简求值(通分与约分)4.幂的运算法则【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b ca a a a±±=≠2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc daa c a c ac ac ac±±=±=≠≠;3.分式的乘法与除法:b d bd ac ac •=,b c b d bda d a c ac÷=•= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;am●a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m= a mb n, (a m)n= amn7.负指数幂: a-p=1pa a 0=18.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式(a+b)(a-b)= a2- b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义（一）分式的概念： 形如AB(A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母.【例1】下列代数式中：yx yx y x y x b a b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .题型二：考查分式有意义的条件：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义.【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件：1、分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义2、当分子为零且分母不为零时，分式值为零。
初二数学分式知识点
初二数学分式知识点一、引言分式是初中数学中的重要概念，它在代数运算、方程求解以及后续的高中数学学习中都扮演着关键角色。
本文旨在总结初二数学中分式的基本概念、性质、运算规则以及应用实例，帮助学生掌握分式相关知识点。
二、分式的定义1. 分式：形如 \(\frac{a}{b}\) 的代数式，其中 \(a\) 称为分子，\(b\) 称为分母，\(b \neq 0\)。
2. 条件：分母不能为零，因为除以零没有定义。
三、分式的基本性质1. 等值变换：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个非零数，分式的值不变。
2. 符号规则：分式的符号由分子和分母的符号决定，分子分母同号结果为正，异号结果为负。
3. 约分：通过找出分子和分母的最大公约数并约去，简化分式。
4. 通分：将多个分式转化为具有相同分母的分式，便于进行加减运算。
四、分式的运算规则1. 加减法：- 同分母分式相加减：分子相加减，分母不变。
- 异分母分式相加减：先通分，再按照同分母分式进行加减。
2. 乘法：- 分式的乘法：分子乘分子，分母乘分母。
3. 除法：- 分式的除法：将除数的分式取倒数，然后进行乘法运算。
4. 乘方：- 分式的乘方：分子和分母分别取方。
五、分式的解方程1. 一元一次方程：通过移项和化简分式，求解未知数。
2. 一元二次方程：在解一元二次方程时，要注意分式的化简和检验根。
六、分式的应用题1. 比例问题：利用分式表示比例关系，解决实际问题。
2. 工作问题：通过分式方程解决工作效率和工作时间的问题。
3. 浓度问题：使用分式计算溶液的稀释和浓缩。
七、常见题型与解题技巧1. 化简求值：熟练掌握分式的化简方法，准确求出分式的值。
2. 分式方程：注意检验解的有效性，避免出现除以零的情况。
3. 应用题：理解题意，找出等量关系，建立分式方程求解。
八、总结分式是初中数学的重要内容，掌握分式的性质和运算规则对于提高数学成绩至关重要。
通过不断的练习和应用，可以加深对分式概念的理解，提高解题能力。
八年级数学知识点分式的运算知识点
《八年级数学知识点之分式的运算》在八年级数学的学习中，分式的运算占据着重要的地位。
分式是不同于整式的另一类有理式，它的运算有着独特的规律和方法。
掌握分式的运算，不仅有助于我们更好地理解数学概念，还能提高我们的逻辑思维能力和解题技巧。
一、分式的基本概念1. 分式的定义形如$\frac{A}{B}$的式子，其中 A、B 是整式，且 B 中含有字母，B≠0，这样的式子叫做分式。
例如：$\frac{x}{y+1}$，$\frac{2a}{b-3}$等都是分式。
2. 分式有意义的条件分式有意义的条件是分母不为零。
即对于分式$\frac{A}{B}$，当B≠0 时，分式有意义。
3. 分式的值为零的条件分式的值为零的条件是分子为零且分母不为零。
即对于分式$\frac{A}{B}$，当 A = 0 且B≠0 时，分式的值为零。
二、分式的基本性质1. 分式的基本性质分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变。
即$\frac{A}{B}=\frac{A\times M}{B\times M}$，$\frac{A}{B}=\frac{A\div M}{B\div M}$（M 为不等于 0 的整式）。
例如：$\frac{2x}{3y}=\frac{2x\times 2}{3y\times2}=\frac{4x}{6y}$，$\frac{a^2b}{3c}=\frac{a^2b\diva}{3c\div a}=\frac{ab}{3c\div a}$。
2. 约分把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
约分的关键是确定分子与分母的公因式。
例如：$\frac{6xy}{9x^2y}=\frac{2\times 3\times x\times y}{3\times 3\times x\times x\times y}=\frac{2}{3x}$。
3. 通分把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
初中数学分式知识点归纳
初中数学分式知识点归纳分式是初中数学中的一个重要内容，分式的概念和运算在解决实际问题中有着广泛的应用。
在这篇文章中，我将对初中数学中常见的分式知识点进行归纳，帮助学生更好地理解和掌握分式。
一、分式的定义和基本性质分式可以表示为a/b的形式，其中a称为分子，b称为分母。
分式的值可以为整数、小数或无理数。
在分式中，分子和分母都可以是整数、代数式或其他形式。
1.1 分式的定义分式是用一个数的算式表示另一个数。
1.2 分式的基本性质（1）两个分数相等的充要条件是分子与分母分别相等。
（2）分子分母的积是一个确定的数，即a/b * b/a = 1。
（3）一个分数乘以或除以一个非零数，其值不变，即a/b * c = ac/b，a/b ÷ c = a/b * 1/c。
（4）分子分母同时乘（或除）以同一个非零数，不改变分数的值，即a/b = a * c /b * c，a/b = a ÷ c /b ÷ c。
二、分式的基本运算分式的运算包括加法、减法、乘法和除法四种基本运算，下面将逐一介绍这些运算的具体方法。
2.1 分式的加法和减法（1）同分母的分式相加（减）：保持分母不变，分子相加（减），结果的分子写在分数线上，分母不变。
（2）异分母的分式相加（减）：找到它们的公倍数作为新的分母，然后将分子按照原来的分母和新分母的比例相加（减），得到的结果即为最简分数，如果需要化简，在得到的结果上进行约分。
2.2 分式的乘法分式的乘法中，将两个分式的分子相乘作为新的分子，分母相乘作为新的分母，并将结果化简为最简分数。
2.3 分式的除法分式的除法可以转化为分式的乘法，即将除号转化为乘号，同时将除数的分子与被除数的分母相乘作为新的分子，将除数的分母与被除数的分子相乘作为新的分母，并将结果化简为最简分数。
三、分式的化简和分式方程的解法化简分式的目的是将分式转化为最简分数的形式，使得分子和分母互质。
化简分式的方法包括约分和转换为连分数等。
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小专题(十六) 分式的运算
题组1 分式的混合运算
1．计算：
(1)a a ＋1＋a －1a 2－1
； 解：原式＝a a ＋1＋a －1（a ＋1）（a －1）
＝a a ＋1＋1a ＋1
＝a ＋1a ＋1
＝1.
(2)2x x 2－1÷x x ＋1
； 解：原式＝2x x 2－1·x ＋1x
＝
2x （x ＋1）（x －1）·x ＋1x ＝2x －1
. (3)(x x －2－x x ＋2)÷4x x －2
； 解：原式＝4x （x ＋2）（x －2）·x －24x
＝
1x ＋2
.
(4)(巴中中考)2a a ＋1－2a －4a 2－1÷a －2a 2－2a ＋1
； 解：原式＝2a a ＋1－2（a －2）（a －1）（a ＋1）·（a －1）2a －2
＝
2a a ＋1－2（a －1）a ＋1 ＝
2a ＋1.
(5)(1＋2x －1)÷x ＋1x 2－2x ＋1
； 解：原式＝x －1＋2x －1·（x －1）2
x ＋1
＝x ＋1x －1·（x －1）2
x ＋1
＝x －1.
(6)(南充中考)(a ＋2－5a －2)·2a －43－a
； 解：原式＝a 2－4－5a －2·2a －43－a
＝（a ＋3）（a －3）a －2·2（a －2）3－a
＝－2(a ＋3)
＝－2a －6.
(7)2－x x －1÷(x ＋1－3x －1
)； 解：原式＝2－x x －1÷x 2－4x －1
＝－x －2x －1·x －1（x ＋2）（x －2）
＝－1x ＋2
.
(8)(12－x ＋1)÷x －3x 2－4·x x 2＋4x ＋4
. 解：原式＝3－x 2－x ·（x ＋2）（x －2）x －3·x （x ＋2）2
＝
x x ＋2
.
题组2 分式的化简求值
2．(舟山中考)先化简，再求值：(1＋1x －1)÷x 2
，其中x ＝2 016. 解：原式＝x x －1÷x 2＝x x －1·2x ＝2x －1
. 当x ＝2 016时，原式＝22 016－1＝22 015
.
3．(湘潭中考)先化简，再求值：(6x －1＋4x 2－1)÷3x ＋2x －1
，其中x ＝2. 解：原式＝[6（x ＋1）（x ＋1）（x －1）＋4（x ＋1）（x －1）]·x －13x ＋2
＝
6x ＋10（x ＋1）（x －1）·x －13x ＋2 ＝6x ＋10（x ＋1）（3x ＋2）
. 当x ＝2时，原式＝12＋1024＝1112
.
4．(资阳中考)先化简，再求值：(a ＋1a ＋2)÷(a －2＋3a ＋2
)，其中a 满足a －2＝0. 解：原式＝a （a ＋2）＋1a ＋2÷a 2－4＋3a ＋2
＝（a ＋1）2a ＋2·a ＋2（a ＋1）（a －1）
＝a ＋1a －1
. 当a －2＝0，即a ＝2时，原式＝3.
5．(乐山中考)化简并求值：(1x －y ＋1x ＋y )÷2x －y x 2－y 2，其中x 、y 满足|x －2|＋(2x －y －3)2＝0. 解：∵|x －2|＋(2x －y －3)2＝0，
∴⎩⎨⎧x －2＝0，2x －y －3＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.
∴原式＝x ＋y ＋x －y （x －y ）（x ＋y ）·（x ＋y ）（x －y ）2x －y ＝2x 2x －y
. 当x ＝2，y ＝1时，原式＝43
.
6．(泰州中考)先化简，再求值：(1－3x ＋2)÷x －1x 2＋2x －x x ＋1
，其中x 满足x 2－x －1＝0. 解：原式＝x ＋2－3x ＋2·x （x ＋2）x －1－x x ＋1
＝x －x x ＋1
＝x 2
x ＋1
. ∵x 2－x －1＝0，∴x 2＝x ＋1.∴原式＝1.
7．(西宁中考)化简：2x x ＋1－2x ＋4x 2－1÷x ＋2x 2－2x ＋1
，然后在不等式x ≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值．
解：原式＝2x x ＋1－2（x ＋2）（x ＋1）（x －1）·（x －1）2x ＋2
＝2x x ＋1－2x －2x ＋1
＝2x －2x ＋2x ＋1
＝2x ＋1
. ∵不等式x ≤2的非负整数解是0，1，2.
答案不唯一，如：
当x ＝0时，原式＝20＋1
＝2； 当x ＝1时，原式＝21＋1
＝1； 当x ＝2时，原式＝22＋1＝23
.
8．化简求值：a 2－6ab ＋9b 2a 2－2ab ÷(5b 2a －2b －a －2b)－1a ，其中a ，b 满足⎩
⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4，a －b ＝2. 解：原式＝（a －3b ）2a 2－2ab ÷9b 2－a 2a －2b －1a
＝－（a －3b ）2a （a －2b ）·a －2b （a －3b ）（a ＋3b ）－1a
＝a －3b －a （a ＋3b ）－1a
＝－2a ＋3b
.
∵a ，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4，a －b ＝2.∴⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1. ∴原式＝－23＋3
＝－13.
9．(河南中考)先化简，再求值：(x x 2＋x －1)÷x 2－1x 2＋2x ＋1，其中x 的值从不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧－x ≤1，2x －1＜4的整数解中选取．
解：原式＝x －x 2－x x （x ＋1）÷（x ＋1）（x －1）（x ＋1）2
＝－x 2x （x ＋1）·（x ＋1）2
（x ＋1）（x －1）
＝－x x －1
. 解⎩⎨⎧－x ≤1，2x －1＜4，
得－1≤x ＜52， ∴不等式组的整数解为x ＝－1，0，1，2，要使分式有意义，x 只能取2，
∴原式＝－22－1
＝－2.
10．(烟台中考)先化简：x 2＋x x 2－2x ＋1÷(2x －1－1x
)，再从－2＜x ＜3的范围内选取一个你喜欢的x 值代入求值．
解：原式＝x （x ＋1）（x －1）2÷2x －（x －1）x （x －1）
＝x （x ＋1）（x －1）2·x （x －1）x ＋1
＝x 2
x －1
. 取x ＝2，当x ＝2时，原式＝x 2x －1＝22
2－1
＝4.(答案不唯一．注：x ≠±1，0)。