数学：第25章解直角三角形复习课件(华东师大版九年级上)
华师大版九年级上册数学课件《直角三角形的性质》
新课讲解
已知：如图 ,在 Rt ABC 中， ∠ ACB= 90 °， CD 1
是斜边AB上的中线. 求证：CD = 2 AB
证明：延长CD至点E,使DE= CD，连结AE、BE
∵CD是斜边AB上的中线，
∴AD = DB.又∵ DE = CD,
在研究直角三角形的边角关系之前，我们先来探索 和归纳直角三角形的性质.
我们已经知道： （1）直角三角形的两个锐角互余. （2）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平
方 (勾股 定理）. 下面我们探索直角三角形的其他性质.
新课讲解
知识点1 直角三角形斜边上的中线的性质
如图，画Rt △ ABC，并画出斜边AB上的中线CD 量一量，看看CD与AB有什么关系. 相信你与你的同伴一定会发现:
即山顶的高度为60m.
＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，
点E为AC的中点，连结DE，则△CDE的周长
为( )
A．20 B．12 C．14 D．13 导引：根据等腰三角形三线合一的性质可得
AD⊥BC，CD＝BD，再根据直角三角 形斜边1 上的中线等于斜边的一半可得
2
DE＝CE＝ AC，然后根据三角形的周 长公式列式计算即可得解．
由直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半可知，斜边上中线的长为1cm.
拓展与延伸
小明沿倾斜角为30°的山坡，从山脚步行到山顶的革 命烈士纪念碑，共走了120m.求山顶的高度.
A 解:由题意可画出如图的直角三角形.
其中AB=120m，∠B=30°.
由30°角所对直角边等于斜边的
B
C
一半可知AC=60m.
(小复习)九年级数学上册 第25单元 解直角三角形讲练课件 华东师大
34 A.4 B.3
34 C.5 D.5
图25－10
数学·新课标（HS）
第25章讲练 ┃ 试卷ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ练 【针对第5题训练 】 对于锐角∠A而言，如果2sinA＝1，则∠A的余角为( A ) A．60° B．45° C．30° D．15°
数学·新课标（HS）
第25章讲练 ┃ 试卷讲练
方程思想
10,15
数形结合思想
2,3,14
转化思想
21
数学·新课标（HS）
第25章讲练 ┃ 试卷讲练
亮点
2题利用网格图的特殊性来考查锐角三角函数的概念． 13题借助于“两个非负数的和等于0”的形式，考查了特殊角的三 角函数值． 19题结合学生有可能体验到的情况，激发学生学习兴趣． 24题借助于解直角三角形的相关知识帮助做决策.
数学·新课标（HS）
第25章讲练 ┃ 试卷讲练
数学·新课标（HS）
第25章讲练 ┃ 试卷讲练
解：(1)如图 25－9 所示，
(2) 5
(3)∠CAD 1
(4)2
55或∠ADC
2 5 5
图25－9
数学·新课标（HS）
第25章讲练 ┃ 试卷讲练 【针对第3题训练 】
如图 25－10，已知 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，
第25章讲练 ┃ 试卷讲练
2．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，若 AB＝2AC，则 cosA 的值为
( B)
A. 3 B.12
C.
3 2
D.
3 3
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第25章讲练 ┃ 试卷讲练 【针对第21题训练 】 如图25－12，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋大楼
初三数学 第25章 解直角三角形复习知识精讲 华东师大版
初三数学第25章解直角三角形复习知识精讲华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容：第25章解直角三角形复习二. 重点、难点：1. 重点：（1）探索直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系．掌握三角函数定义式：sinA＝ac，cosA＝bc，tanA＝ab，cotA＝ba．（2）掌握30°、45°、60°等特殊角的三角函数值，并会进行有关特殊角的三角函数值的计算．（3）会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，•由已知三角函数值求它对应的锐角．2. 难点：（1）通过探索直角三角形边与边、角与角、边与角之间的关系，领悟事物之间互相联系的辩证关系．（2）能够运用三角函数解决与直角形有关的简单的实际问题．（3）能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题，提高数学建模能力．三. 知识梳理：1. 锐角三角函数（1）锐角三角函数的定义我们规定：sinA＝ac，cosA＝bc，tanA＝ab，cotA＝ba．锐角的正弦、余弦、正切、余切统称为锐角的三角函数．（2）用计算器由已知角求三角函数值或由已知三角函数值求角度对于特殊角的三角函数值我们很容易计算，甚至可以背诵下来，但是对于一般的锐角又怎样求它的三角函数值呢？用计算器可以帮我们解决大问题．①已知角求三角函数值；②已知三角函数值求锐角．2. 特殊角的三角函数值αsinαcosαtanαcotα30º123233345º22221 160º3212333由表可知：直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半．3. 锐角三角函数的性质（1）0＜sinα＜1，0＜cosα＜1（0°＜α＜90°）（2）tanα·cotα＝1或tanα＝1cotα；（3）tanα＝sincosαα，cotα＝cossinαα．（4）sinα＝cos（90°－α），tanα＝cot（90°－α）．4. 解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程叫做解直角三角形．解直角三角形的常见类型有：我们规定：Rt△ABC，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．①已知两边，求另一边和两个锐角；②已知一条边和一个角，求另一个角和其他两边．5. 解直角三角形的应用（1）相关术语铅垂线：重力线方向的直线．水平线：与铅垂线垂直的直线，一般情况下，•地平面上的两点确定的直线我们认为是水平线．仰角：向上看时，视线与水平线的夹角．俯角：向下看时，视线与水平线的夹角．坡角：坡面与水平面的夹角．坡度：坡的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度（坡比）．一般情况下，我们用h表示坡的铅直高度，用l表示水平宽度，用i表示坡度，即：i＝hl＝tanα．方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．如图：（2）应用解直角三角形来解决实际问题时，要注意：①计算结果的精确度要求，一般说来中间量要多取一位有效数字．②在题目中求未知时，应尽量选用直接由已知求未知．③遇到非直角三角形时，常常要作辅助线才能应用解直角三角形知识来解答．其方法可以归纳为：已知斜边用正弦或余弦，已知直角边用正切和余切，•能够使用乘法计算的要尽量选用乘法，尽量直接选用已知条件进行计算．注：解直角三角形在现实生活中有广泛的应用，它经常涉及到测量、工程、航海、航空等，其中包括了一些术语，一定要根据题意明白其术语的含义才能正确解题．【典型例题】例1. 已知tanα＝34，求sin cossin cosαααα+-的值．分析：利用数形结合思想，将已知条件tanα＝34用图形表示．解：如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，设BC＝3k，AC＝4k，则AB22AC BC+22(4)(3)k k+5k．∴sinα＝BCAB＝35kk＝35cosα＝4455AC kAB k==，∴原式＝34553455+-＝－7．例2. 计算．（12sin45°－12cos60°；（2）cos245°+tan60°cos30°；（3）sin45sin30 cos45sin30︒-︒︒+︒；（4212sin30sin30 -︒+︒分析：这里考查的是同学们对特殊角的三角函数值的识记情况和关于根式的计算能力．处理办法是能够化简的要先化简后代入计算，不能化简的直接代入计算．解：（1sin45°－12cos60×2－12×12＝34；（2）cos245°+tan60°cos30°＝（）2＝2．（3）sin45sin30cos45sin30︒-︒︒+︒＝122＝3－；（41－sin30º＝1－12＝12．点拨：像上面第3题分子分母要分别处理，第4•题要特别注意先化简再代入计算．例3. 已知tanα＝34，求sin cossin cosαααα+-的值．分析：可将所求式子的分子、分母都除以cosα，转化为含有sincosαα的式子，•再利用tanα＝sincosαα进行转化求解．解：将式子sin cossin cosαααα+-的分子、分母都除以cosα，得原式＝31tan143tan114αα++=--＝－7规律总结：因为tanα＝34所以α不等于90°，所以cosα≠0，因此分子分母可以同时除以cosα．实现转化的目的．例4. 等腰三角形的底边长为6cm，周长为14cm，试求底角的余切值．分析：这是一个在非直角三角形中求锐角的三角函数值的题目，根据三角函数的定义，要先恰当的作辅助线（垂线）构成直角来解决．这个题涉及到等腰三角形，•作底边上的高是解决问题常见办法．解：如图所示，作等腰三角形ABC，BC为底边，AD⊥BC于D．B AC D∵△ABC 的周长为14，底边BC ＝6，∴腰长AB ＝AC ＝4． 又∵AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ＝3．在直角三角形ABD 中，∠ADB ＝90°，AD ＝22AB BD -＝2243-＝7cot ∠B ＝37BD AD=＝377． 答：等腰三角形底角的余切值是377．点拨：计算一个锐角的三角函数值，应在直角三角形中来考虑，如果题中没有直角三角形，那么就要通过作辅助线来构造直角三角形．例5. Rt △ABC ，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，•根据下列条件解直角三角形．（1）a ＝4，c ＝10； （2）b ＝2，∠A ＝40°； （3）c ＝3，∠B ＝58°． 分析：（1）题是已知两边解直角三角形；（2）、（3）是已知一边和一角解直角三角形．解：（1）b ＝22c a -＝22104-＝221， 由sinA ＝410a c =＝0.4，∠A ≈°，∠B ＝90°－∠A ＝90°°°．（2）∠B ＝90°－∠A ＝90°－40°＝50°，由tanA ＝ab ，得a ＝b ·tanA ＝2×tan40°≈2×≈1.678，由cosA ＝b c，得c ＝22cos cos 400.7660b A =≈︒≈2.611． （3）∠A ＝90°－∠B ＝90°－58°＝32°， 由sinB ＝bc ，得b ＝c ·sinB ＝3·sin58°≈3×≈2.544， 由cosB ＝ac，得a ＝c ·cosB ＝3×cos58°≈3×≈1.590．点拨：在选择三角函数时，一般使用乘法进行计算，能够用三角函数求其中的未知边的问题，一般不使用勾股定理求边．例6. 如图，一艘轮船从离A 观察站的正北203海里处的B 港处向正西航行，观察站第一次测得该船在A 地北偏西30°的C 处，一个半小时后，又测得该船在A•地的北偏西︒60的D 处，求此船的速度．分析：根据速度等于路程除以时间，必须求到DC 的长，观察图形，DC ＝DB －CB ，•而BD在Rt △ABD 中可求，BC 在Rt △ABC 中可求．解：在Rt △ABC 中，BC ＝AB ×tan30°＝203×33＝20（海里）． 在Rt △ABD 中，BD ＝AB ×tan60°＝203×3＝60（海里）．所以DC ＝DB －CB ＝60－20＝40（海里）．船的速度是：40÷1.5＝2623（海里）．答：船的速度是2623海里．点拨：凡涉及方向角的问题，一定要确定中心，如上题中的方向角就是以A•为中心的．例7. 如图所示，河对岸有一座铁塔AB ，若在河这边C 、D•处分别用测角仪器测得塔顶A 的仰角为30°，45°，已知CD ＝30米，求铁塔的高．（结果保留根号）分析：设塔高为x 米，根据条件∠ADB ＝45°，可得BD ＝AB ＝x 米，在直角三角形ABC 中，根据∠C ＝30°，即tanC ＝ABBC 可求．解：设AB ＝x ，在Rt △ABD 中，∠ADB ＝45°，∴AB ＝BD ＝x ．在Rt △ABC 中，∠C ＝30°，且BC ＝CD+BD ＝30+x ，tanC ＝ABBC 所以tan30°＝30x x +，即33＝30xx +，x ＝（153+15）（米）．答：塔高AB 为153+15米．例8. 去年某省将地处A 、B 两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A 、B 两地师生的交往，学校准备在相距2千米的A 、B•两地之间修筑一条笔直的公路（即图中的线段AB ），经测量，在A 地的北偏东60°方向，B 地的西偏北45°的C 处有一个半径为0.7千米的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？分析：过C 作AB 的垂线段CM ，把AM 、BM 用含x 3x ，x 表示，利用AM+MB ＝23＝2，解出CM 的长与0.7千米进行比较，本题要体会设出CM 的长，列方程解题的思想方法．解：作CM ⊥AB ，垂足为M ，设CM 为x 千米，在Rt △MCB 中，∠MCB ＝∠MBC ＝45°，则MB ＝CM ＝x 千米． 在Rt △AMC 中，∠CAM ＝30°，∠ACM ＝60°tan ∠ACM ＝AMCM∴AM ＝CM ·tan60°＝3x 千米 ∵AM+BM ＝2千米 ∴3x+x ＝2∴x ＝3－1 ≈ ∴∴这条公路不会穿过公园．例9. 如图是一个大坝的横断面，它是一个梯形ABCD ，其中坝顶AB ＝3米，经测量背水坡AD ＝20米，坝高10米，迎水坡BC 的坡度i ＝1：0.6，求迎水坡BC 的坡角∠C 和坝底宽CD ．分析：分析这一个关于梯形的计算题，要用解直角三角形的知识来解决，•一般过上底顶点作下底的垂线就能够利用直角三角形知识来解决． 解：过A 、B 作AE ⊥CD 、BF ⊥CD ，垂足是E 、F ，根据题意有AE ＝BF ＝10，四边形ABFE 是矩形，EF ＝AB ＝3．在Rt △ADE 中，DE 22AD AE -222010-3（米），在Rt △BCF 中，10.6BF CF =××10＝6（米）所以CD ＝CF+EF+DE ＝3+3+6＝（3（米）．又在Rt △BCF 中，cot ∠C ＝0.6，所以∠C ≈59°．例10. 如图，如果△ABC 中∠C 是锐角，BC ＝a ，AC ＝b ．证明：C ab S ABC sin 21=∆问题图 D CB A证明：过A 作AD ⊥BC 于D ，则△ADC 是直角三角形，∴AC ADC =sin ， ∴C b C AC AD sin sin =⋅=，又∵ADBC S ABC ⋅=∆21，∴CabSABCsin21=∆．评注：本题的结论反映出三角形的两边及其夹角与这个三角形的面积之间的关系．同理还可推出：BacAbcCabSABCsin21sin21sin21===∆（三角形面积公式）【模拟试题】（答题时间：40分钟）1. 在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，则BC的长为（）．A. 10tan50°B. 10cos50°C. 10sin50°D.10 cos50︒2. AE，CF是锐角三角形ABC的两条高，如果AE：CF＝3：2，则sinA：sinC等于（）．A. 3：2B. 2：3C. 9：4D. 4：93. 如图，为了确定一条小河的宽度BC，可在点C左侧的岸边选择一点A，•使得AC⊥BC，若测得AC＝a，∠CAB＝θ，则BC的值为（）．A. asinθB. acosθC. atanθD. acotθ4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列各式中正确的是（）．A. sinA＝sinBB. tanA＝tanBC. sinA＝cosBD. cosA＝cosB5. 已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，AD＝2，BC＝8，•则此等腰梯形的周长为（）．A. 19B. 20C. 21D. 226. 如图，秋千拉绳OB的长为3m，静止时踏板到地面的距离BE长为0.6m（•踏板的厚度忽略不计）．小亮荡秋千时，当秋千拉绳从OB运动到OA时，拉绳OA•与铅垂线OE的夹角为55°，请你计算此时秋千踏板离地面的高度AD是多少米．（精确到0.1m）7. 如图，武当山风景管理区为提高游客到景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由44°减至32°，已知原台阶AB的长为5m（BC•所在地面为水平面）．（1）改善后的台阶会加长多少？（精确到0.01m）（2）改善后的台阶多占多长一段地面？（精确到0.01m）8. 如图，沿AC方向开山修渠，为了加快施工进度，•要在小山的另一边同时施工，从AC上一点B取∠ABD＝135°，BD＝520m，∠D＝45°．如果要使A，C，E成一条直线，•那么开挖点E离D的距离约为多少米?（精确到1m）9. 如图，某校九年级（3）班的一个学习小组进行测量小山高度的实践活动，部分同学在山脚的点A处测处山腰上一点D的仰角为30°，并测得AD的长度为180m，•另一部分同学在小山顶点B处测得山脚A的俯角为45°，山腰点D处的俯角为60°，•请你帮助他们计算小山的高度BC（计算过程和结果都不取近似值）．10. 如图，汪老师要装修自己带阁楼的新居，•在搭建客厅到阁楼的楼梯AC时，为避免上升时墙角F碰头，设计墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75m，他量得客厅高AB＝2.8m，楼梯洞口宽AF＝2m，阁楼阳台宽EF＝3m，请你帮助汪老师解决下列问题，•要使墙角F 到楼梯的竖直距离FG为1.75m，楼梯底端C到墙角D的距离CD是多少米？【试题答案】1. B 点拨：直接利用三角函数关系求解．2. B3. C 点拨：根据图形找出对角关系．4. C 点拨：在锐角三角函数中，对于任意锐角的正弦值都等于它余角的余弦值．5. D6. 在Rt△AFO中，∠AFO＝90°，∴cos∠AOF＝OF OA，∴OF＝OA·cos∠AOF．又∵OA＝OB＝3m，∠AOF＝55°，∴OF＝3·cos55°≈1.72m，∴≈1.9m．∴AD＝EF＝1.9m．7. 如图．（1）在Rt△ABC中，AC＝AB×sin44°＝5sin44°≈3.473m．在Rt△ACD中，AD＝3.473sin32sin32AC=︒︒≈6.554m，∴AD－AB＝6.554－5≈1.55m．即改善后的台阶会加长1.55m．（2）在Rt△ABC中，BC＝AB×cos44°＝5·cos44°≈3.597m．在Rt△ACD中，CD＝3.473tan32tan32AC=︒︒≈5.558m，∴≈1.96m．即改善后的台阶多占1.96m长的一段地面．8. 368m．9. 过D作DE⊥AC于点E，作DF⊥BC于点F，则有DE∥FC，DF∥EC．∵∠DEC＝90°，∴四边形DECF是矩形，∴DE＝FC．∵∠HBA＝∠BAC＝45°，∴∠BAD＝∠BAC－∠DAE＝45°－30°＝15°．又∵∠ABD＝∠HBD－∠HBA＝60°－45°＝15°，∴△ADB是等腰三角形，∴AD＝BD＝180m．在Rt△AED中，sin∠DAE＝sin30°＝DE AD，∴DE＝180×sin30°＝180×12＝90m，∴FC＝90m．在Rt△BDF中，∠BDF＝∠HBD＝60°，sin∠BDF＝sin60°＝BF BD，word11 / 11 ∴BF ＝180·sin60°＝180×2＝，∴BC ＝BF+FC ＝+90＝90+1）m ．故小山的高度为90+1）m ．10. 根据题意有AF ∥BC ，∴∠ACB ＝∠GAF ．又∵∠ABC ＝∠AFG ＝90°，∴△ABC ∽△GFA ， ∴BC AB AF FG ，得BC ＝3.2（m ）．CD ＝（2+3）－3.2＝1.8（m ）．【励志故事】愚钝的力量大科学家爱因斯坦曾做过一个实验：他从村子里找了两个人，一个愚钝且软弱，一个聪明且强壮．爱因斯坦找了一块两英亩左右的空地，给他俩同样的工具，让他们在其间比赛挖井，看谁最先挖到水．愚钝的人接到工具后，二话没说，便脱掉上衣干起来．聪明的人稍作选择也大干起来．两个小时过去了，两人均挖了两米深，但均未见到水．聪明的人断定选择错了，觉得在原处继续挖下去是愚蠢的，便另选了块地方重挖．愚钝的人仍在原地吃力地挖着，又两个小时过去了，愚钝的人只挖了一米，而聪明的人又挖了两米深．愚钝的人仍在原地吃力地挖着，而聪明的人又开始怀疑自己的选择，就又选了一块地方重挖．又两个小时过去了，愚钝的人挖了半米，而聪明的人又挖了两米，但两人均未见到水．这时聪明人泄气了，断定此地无水，他放弃了挖掘，离去了．而愚钝的人此时体力不支了，但他还是在原地挖，在他刚把一锨土掘出时，奇迹出现了，只见一股清水汩汩而出．比赛结果，这个愚钝的人获胜．爱因斯坦后来对学生说，看来智商稍高、条件优越、聪明强壮者不一定会得到成功，成功有时需要一种近乎愚钝的力量啊！。
解直角三角形复习课华东师大版九年级数学上册精品PPT
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45°
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特殊角三角函数的记忆方法—— 图形记忆法
2 30⁰
设为1
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MN
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课堂小结
◆利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤：
1.将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为 解直角三角形问题）；
2.根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，应用直角 三角形的有关性质，解直角三角形；
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第24章 解直角三角形 复习课（一）
知识系统总结
利用相似解决测量问题
形解 直 角 三 角
直角三角形的性质 锐角三角函数 解直角三角形
三个三角函数的定义
特殊角的三角函数值 已知两边解直角三角形 已知一边和一锐角解直角三角形
解直角三角形的应用
知识点回顾
1.解直角三角形的性质
性质 1
直角三角形两个锐角互余
性质 2
直角三角形的勾股定理
性质 直角三角形斜边上的中线等于
3
斜边的一半
性质
直角三角形30⁰所对直角边
4
等于斜边的一半
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第25章解直角三角形小结与复习(1)教案(华东师大版九年级上)
第二十五章 解直角三角形 小结与复习(1)数学目标：1、正确运用勾股定理2、掌握三角函数定义，正确运用直角三角形边角关系3、理解实际问题的相关概念教学过程：一、复习二、练习：△中一直角边为7，三边长都为正整数，则周长为 532. Rt △中，斜边上中线为1，周长为72+， 则面积为43 3. Rt △中，两边长为2， 4. 则第三边长为,32或52△被斜边上的高分得的两个三角形面积之比为4：9，则Rt △中最小角的正切为 36， 2. Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=,32,52=b 则=a 4 ，=c 6 ， △ABC 中，∠B=60°，AD=14，CD=12，S △ADC=330，求BD ；解；S △ADC=3301221=⨯⨯AE ∴35=AE Rt △AED 中，,11=ED Rt △ABE 中，5=BE∴16115=+=BD4.△⊥BC ，M 为BA 中点，∠B=30°，cos ∠ACD=22，求tan ∠BCM 。
解：设,k MN =则k BN k AM BM 3,2===， ∵M 为AB 中点 ∴k DN k AD 3,2==5.计算或化简： ①︒-︒︒-︒30cos 60tan 45tan 45sin （ 3326-） ②2cot tan 1tan 22-++-ααα（45°＜α＜90° （1cot tan 2--αα） E D C B A N M D CB A（三）.1.甲、乙两人与一路灯站在一直线上，从甲处看路灯顶部仰角为 α ，从乙处看路灯顶部仰角 β ，若路灯高h 米，求甲、乙两人相距多少米？分析：应考虑两种情况：1） 路灯在线段BC 上，BC=h （βαcot cot +）2）路灯在线段BC 延长线上，BC=h （βαcot cot -）2、一登山运动员在山脚C 处仰望山顶B ，仰角 α=45°.他沿坡比为3:1的坡面走了1000m 到达D 处，此时仰角︒=60β，则山高多少米？略解：Rt △CDF 中500==EA DF 米，3500=CF 米设x AF DE ==，在Rt △BDE 中，x BE 3=∵∠BCA=45°，∴AC=AB ∴50033500+=+x x ∴500=x 米三、课作：P.85. A 组1——5.60F E D C B A。
课件华东师大版九年级上册2解直角三角形精美PPT课件
6海里/时的速度向正北方向航行，在A处看灯塔Q在海船的北偏东30°处，半小时后航行到B处，发现此时灯塔Q与船的距离最短。
已知一边 思考一：具备下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
例1：如图，在相距2000米的东西两座炮台A、B处同时发现入侵敌舰C，在炮台A处测得敌舰C在它的南偏东30°的方向，在炮台B处
地面目标C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上
看地面控制点B的俯角为30°，求A处到控制点B的 距离。 从上往下看，视线与水平线的夹角——俯角
三、拓展延伸，深化知识 直角三角形中的边角关系 直角三角形中的边角关系 一、旧知回顾，引入课题 发现此时灯塔Q在船的北偏东45° 4米，从DA的顶点A测得CB顶部B的仰角为30°，测得其底部C的俯角为45°，求这两座建筑物的高。 （2）解直角三角形，有哪些类型？ 5米的测角仪DA测得旗杆顶端的仰角为60°。 思考四：根据图中信息，计算梯形ABCD下底AB的长度。 直角三角形中的边角关系 从下往上看，视线与水平线的夹角——仰角 4米，从DA的顶点A测得CB顶部B的仰角为30°，测得其底部C的俯角为45°，求这两座建筑物的高。 从下往上看，视线与水平线的夹角——仰角 4米，从DA的顶点A测得CB顶部B的仰角为30°，测得其底部C的俯角为45°，求这两座建筑物的高。 求灯塔Q到B处的距离。 4米，从DA的顶点A测得CB顶部B的仰角为30°，测得其底部C的俯角为45°，求这两座建筑物的高。 直角三角形中的边角关系
C B
A
试练：
（1）在电线杆离地面8米处向地面拉一条缆绳，缆 绳和地面成60°角，求该缆绳的长及缆绳地面固定 点到电线杆底部的距离。
（2）海船以32.6海里/时的速度向正北方向航行， 在A处看灯塔Q在海船的北偏东30°处，半小时后航 行到B处，发发现现此此时时灯灯塔塔Q在Q与船船的的北距偏离东最45短°。求灯塔 Q到B处的距离。（画出图形后计算，精确到0.1海 里）
华东师大版 九年级上册 24.4 解直角三角形 (18张PPT)
夹角BCA 600 ,测得BC 7m,则桥长AB ____ 米（结果精确到1米）
A
D
A
B 2019/11/18
300 C
B
C
A
3.如图，一艘海轮位于灯塔P的 北偏东300 方向，距离灯塔80海里 的A处，它沿正南方向航行一段时 间后，到达位于灯塔P的南偏东450
方向上的B处，海轮所在的B处与 P
想一想：已知两边怎样求出 直角三角形的未知元素呢？
C
AA
2019/11/18
例2:虎门威远的东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入 侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40゜的方向，炮台 B测得敌舰C在它的正南方，试求: (1)敌舰C与炮台A的距离; (2)敌舰C与炮台B的距离.(精确到1米）
（sin 500 0.7660; cos500
0.6428; tan 500 1.1918)
想一想：已知一边一锐角怎样求出 直角三角形的未知元素呢？
2019/11/18
勾股定理
解 已知两边
直 角
边角关系
三
角
两锐互余角
形 已知一边 关系
一锐角 边角关系
2019/11/18
第三边
至
少
一
锐角度数 个
条
另一锐角 件
是
边
另两边
1.如图，AC是电线杆的一根拉线，测得AB 8米，ACB ,
则A C的长是 _______.B C的长是 _____
(用含的三角函数表示）
A
12
2019/11/18
B
C
2.某海船以32.6海里 / 时的速度向正北方向航行， 在A处看灯塔Q在海船的北偏东300 方向处，半 小时后航行到B处，发现此时灯塔Q与海船的 距离最短.求灯塔Q到B的距离.(画出图形后计算， 精确到0.1海里）
数学：第25章解直角三角形复习课件(华东师大版九年级上)
2. 如图1，在△ABC中，∠C =90°，BC=5， AC=12，则cosA等于（ D ）
2 5 12 12 A. , B. , C. , D. 12 13 5 13
3，如果α和β都是锐角，且sinα= cosβ， 则α与β的关系 是（ B ）
A，相等 B，互余 C，互补 D，不确定。
4.已知在Rt△ABC中, ∠C=90°，sinA= 1 ,则 cosB=( A) 2 √3 1 √2 A， B， 2 C， 2 D， √3 2 5、已知cosα<0.5,那么锐角α的取值范围是（ A ） A, 60°<α<90° C，30°< α <90° 1 6、如果√cosA – — + 2 那么△ABC是（ D B, D, | √3 tanB ） 0°< α <60° 0°< α <30° –3|=0
2 2
2 2
1
60°
1 2
3 2
3 3
3 2
300
450
450 ┌ 600
1 2
┌
3
概念反馈
在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念
（1）仰角和俯角
（2）坡度
tan α ＝
视线
h
l
铅 垂 线
仰角 水平线
俯角
北
α为坡角
视线
h α
A
（3）方位角
西
30°
l
B
O 45°
南
东
解直角三角形：(如图)
只有下面两种情况：
4、如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区， 一艘货轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏西 60˚方向，航行24海里到C处，见岛A在北偏西30˚ 方向，货轮继续向西航行，有无触礁的危险？ 过点A作AD⊥BC于D,设AD=x
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题型4 应用举例
1．有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就 能够知道树高的人．小敏想知道校园内一棵大树 的高（如图1），她测得CB=10米， ∠ACB=50°，请你帮助她算出树高AB约为 12 ________米．（注：①树垂直于地面；②供选 用数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64， tan50°≈1.2）
1.如图4，在矩形ABCD中DE⊥AC于E， 设 3 ∠ADE=a， 且cosα = 5 ， AB=4，则AD的长为（ B ）
A．3
16 B． 3 20 C. 3 16 D. 5
2.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标 如图5所示，它是由四个相同的直角三角形与中 间的小正方形拼成的一个大正方形．• 大正方形 若 的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形 的较长直角边为a，较短直角边为b， 则a+b的值为（ B ） A．35 B．43 C．89 D．97
2
3 CF=CD· cos30°= ×400=200 （米）． 在Rt△ADE中，∠ADE=60°，设DE=x米， ∴AE=tan60°· 3 x（米）． x= 在矩形DEBF中，BE=DF=200米， 在Rt△ACB中，∠ACB=45°， ∴AB=BC， 即 3 x+200=200 3 +x．
∴x=200， ∴AB=AE+BE=（200 3 +200）米．
，
PC 3 3 3 3 , PC = ， 即 3 PC 2 3
PC>3． ∴客轮不改变方向继续前进无触礁危险．
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3.如图，某校九年级3班的一个学生小组进行测 量小山高度的实践活动．部分同学在山脚点A测 得山腰上一点D的仰角为30°，并测得AD• 长度 的 为180米；另一部分同学在山顶点B测得山脚点A 的俯角为45°，山腰点D的俯角为60°．请你帮 助他们计算出小山的高度BC（计算过程和结果 都不取近似值）．
4．解：设AB=x米，BD=y米． 由△CDE∽△ABE得
CD DE 1.7 3 ,即 AB BE x 3 y ．
① 由△FGH∽△ABH得
FG GH 1.7 5 ,即 AB BE x 10 y ．
② 由①，②得y=7.5，x=5.95≈6.0米． 所以路灯杆AB的高度约为6.0米．
3
3
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解得x=90 3 +90．
4.如图，在观测点E测得小山上铁塔顶A的仰角 为60°，铁塔底部B的仰角为45°．已知塔高 AB=20m，观察点E到地面的距离EF=35m，求 小山BD的高（精确到0.1m， 3 ≈1.732）．
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题型3 解斜三角形 1.如图6所示，已知：在△ABC中，∠A=60°， ∠B=45°，AB=8，• △ABC的面积（结果可 求 保留根号）． 2.如图，海上有一灯塔P，在它周围3 海里处有暗礁，• 艘客轮以9海里/时 一 的速度由西向东航行，行至A点处测 得P在它的北偏东60°的方向，继续 行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔 P在它的北偏东45°方向，问客轮不 改变方向继续前进有无触礁的危险？
CD 2 3 1.5 sin 60 3 2
CE
=（4+
3 ）（米）．
答：拉线CE的长为（4+ 3 ）米．
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8．已知：如图，在山脚的C处测得山顶A的仰 角为45°，沿着坡度为30°的斜坡前进400米到 D处（即∠DCB=30°，CD=400米），测得A的 仰角为60°，求山的高度AB．
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7.如图，在电线杆上的C处引位线CE、CF固定 电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6 米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆C处的仰 角为30°，已知测角仪AB高为1.5米，求拉线CE 的长．（结果保留根号）
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2 5 12 12 A. , B. , C. , D. 12 13 5 13
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4. 如图2，在Rt△ABC中，∠ACB =90°， 5 ， CD⊥AB于点D，已知AC=
BC=2，那么sin∠ABC=（ A ）
5 A． 3 2 B. 3 2 5 C. 5 5 D. 2
（精确到0.1m）．
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5．解：在Rt△ADE中，DE=3 2 ， ∠DAE=45°， DE ∴sin∠DAE= AD ，
∴AD=6． 又∵AD=AB， BC 在Rt△ABC中，sin∠BAC= AB ，
∴BC=AB· sin∠BAC=6· sin65°≈5.4． 答：点B到地面的垂直距离BC约为5.4米．
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6.如图，我市某广场一灯柱AB被一钢缆CD固 定，CD• 地面成40°夹角，且DB=5m，现要在 与 C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么EB的 高为多少米？（• 果保留三个有效数字） 结 6．解：在Rt△BCD中， ∠BDC=40°，DB=5m，BC ∵tan∠BDC= DB ， ∴BC=DB· tan∠BDC =5×tan40°≈4.195． ∴EB=BC+CE=4.195+2≈6.20． 答：略．
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5.如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯 子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点； 当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D 点．已知∠BAC=•5°，∠DAE=45°，点D到 6 地面的垂直距离DE=3 m，求点B到地面的垂直距离BC 2
b
b
Ｃ
2、30°，45°，60°的三角函数值 30° sina cosa tana 45°
2 2
2 2
1
60°
1 2
3 2
3 3
3 2
300
450
450 ┌ 600
1 2
┌
3
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概念反馈
在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念
（1）仰角和俯角
2. 已知∠A，a.解直角三角形
3.已知∠A，b. 解直角三角形
4. 已知∠A，c. 解直角三角形
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【热点试题归类】
题型1 三角函数 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4， 3 则sinA的值为_______． 5 2. 在Rt△ABC中，∠C =90°，BC=4，AC=3， 3 则cosA的值为______． 5 3. 如图1，在△ABC中，∠C =90°，BC=5， AC=12，则cosA等于（ D ）
4．解：如图，过C点作CE⊥AD于C．
设BC=x，则EC=BC=x． 在Rt△ACE中，AC= 3 x，
∵AB=AC-BC， 即20= 3 x-x． 解得x=10 3 +10．
∴BD=BC+CD=BC+EF =10 3+10+35≈45+10×1.732≈62.3（m）． 所以小山BD的高为62．3m．
CD AB
5. 如图3所示，AB是⊙O的直
径，弦AC、BD相交于E，则
A．tan∠AED C．sin∠AED
．
等于（ D ）
B．cot∠AED D．cos∠AED
6．计算： |- 2 |+（cos60°-tan30°）+ 8
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3 2 1
题型2 解直角三角形
9.如图，在一个坡角为15°的斜 坡上有一棵树，高为AB．当太 阳光与水平线成50°时，测得该 树在斜坡的树影BC的长为7m， 求树高．（精确到0.1m）
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8．解：如图，作DE⊥AB于E，作DF⊥BC 于F，在Rt△CDF中∠DCF=30°，CD=400米， 1 ∴DF=CD· sin30°= ×400=200（米）．
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解：过C作CD⊥AB于D， ， AD 设CD=x．在Rt△ACD中，cot60°=
∴AD= 3 3
x．
CD
在Rt△BCD中，BD=CD=x．
3 x+x=8． 3
∴
解得x=4（3- 3 ）． 1 1 CD= ×8×4（3∴S△ABC= AB· 2 2
3 ）
=16（3-
3）=48-16 3 ．
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2．解：过P作PC⊥AB于C点，据题意知：
2 AB=9× =3，∠PAB=90°-60°=30°， 6 ∠PBC=90°-45°=45°，∠PCB=90°． ∴PC=BC． 在Rt△APC中，
PC PC PC tan30°= AC AB BC 3 PC
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3．解：如图设BC=x， 在Rt△ADF中，AD=180，∠DAF=30°， ∴DF=90，AF=90 3 ． ∵∠BAC=∠ABC=45°， ∴AC=BC=x． ∴BE=BC-EC=x-90． 在Rt△BDE中，∠BDE=60°， 3 3 ∴DE= BE= （x-90）． 3 3 FC=AC-AF=x-90 3 ． ∵DE=FC， 3 ∴ （x-90）=x-90 ．