安徽省各大名校高三数学联考试卷及答案

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安徽省皖南八校2024届高三数学上学期第二次大联考试题含解析

考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：高考范围.一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合{}*2450M x x x =∈--≤N ，{}04N x x =≤≤，则M N ⋂=（）A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{}04x x ≤≤ D.{}14x x ≤≤【答案】B 【解析】【分析】解不等式求出集合M ，根据集合的交集运算，即可得答案.【详解】解2450x x --≤，得：15x -≤≤，所以{}{}*151,2,3,4,5M x x =∈-≤≤=N ，{}04N x x =≤≤，所以{1,2,3,4}M N ⋂=.故选：B.2.形如a b c d我们称为“二阶行列式”，规定运算a b ad bc c d=-，若在复平面上的一个点A 对应复数为z ，其中复数z 满足1ii 12i 1z -=+，则点A 在复平面内对应坐标为（）A.(3,2)B.(2,3)C.(2,3)- D.(3,2)-【答案】A 【解析】【分析】根据题意结合复数的运算可得32i z =+，结合复数的几何意义分析求解.【详解】由题意可得：()(12i)(1i)3i i -+-=-+=z z ，则()i 3i 32i =++=+z ，所以点A 在复平面内对应坐标为(3,2).故选：A.3.已知动点M 10y --=，则动点M 的轨迹是（）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆【答案】C 【解析】【分析】根据方程表示的几何意义结合抛物线定义，即可判断出答案.10y --=1y =+，表示动点(,)M x y 到点(0,1)F 和直线1y =-的距离相等，所以动点M 的轨迹是以(0,1)F 为焦点的抛物线，故选：C.4.已知向量(2,)a m = ，(1,1)b m =+- ，且a b ⊥ ，若(2,1)c = ，则a 在c方向上的投影向量的坐标是（）A.42,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B.11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C.11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D.42,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据垂直向量的坐标运算建立方程求得参数，结合投影的定义，可得答案.【详解】a b ⊥ ，故2(1)0m m +-=，解得2m =-，所以(2,2)a =-，则a 在c方向上的投影向量为a ccc c =⋅⋅42,55⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：A.5.中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台1111ABCD A B C D -，上下底面的中心分别为1O 和O ，若1124AB A B ==，160A AB ∠=︒，则正四棱台1111ABCD A B C D -的体积为（）A.2023B.2823C.3D.2863【答案】B 【解析】【分析】根据正四棱台性质求出侧棱长，继而求得高，根据棱台的体积公式，即可求得答案.【详解】因为1111ABCD A B C D -是正四棱台，1124AB A B ==，160A AB ∠=︒，侧面以及对角面为等腰梯形，故()1111122cos AB A B AA A AB -==∠，12AO AC ==22AB =111122AO A B ==，所以1OO ==，所以该四棱台的体积为(1111112282(1648)333ABCD D A B C V OO S S =++=⋅=++，故选：B.6.已知数列{}n a 是递增数列，且*n a ∈N ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1067S =，则5a 的最大值为（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，确定数列前4项的值，后5项与5a 的差，即可列式计算得解.【详解】数列{}n a 是递增数列，且*n a ∈N ，而数列{}n a 的前10项和为定值，为使5a 取最大，当且仅当前4项值最小，后5项分别与5a 的差最小，则12341,2,3,4a a a a ====，657585951051,2,3,4,5a a a a a a a a a a -=-=-=-=-=，因此10121051061567S a a a a =++⋅⋅⋅+=++=，解得57a =，所以5a 的最大值为7.故选：C7.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，函数()g x 满足()()0g x g x +-=，且()f x ，()g x 在(],0-∞单调递减，则（）A.()()f g x 在[)0,∞+单调递减B.()()g g x 在(],0-∞单调递减C.()()g f x 在[)0,∞+单调递减D.()()ff x 在(],0-∞单调递减【答案】C 【解析】【分析】利用函数的奇偶性与单调性一一判定选项即可.【详解】由题意知()f x 在[)0,∞+单调递增，()g x 为奇函数，在R 上单调递减.设120x x ≤<，则()()21g x g x <0≤，()()()()21f g x f g x >，所以()()f g x 在[)0,∞+单调递增，故A 错误，设120x x <≤，则()1g x >()2g x ，()()()()12g g x g g x <，()()g g x 在(],0-∞单调递增，故B 错误；设120x x ≤<，则()1f x ()2f x <，()()()()12g f x g f x >，所以()()g f x 在[)0,∞+单调递减，故C 正确；取()21f x x =-，则()()()2211ff x x=--，()()00f f =，()()11f f -=-，此时()()f f x 在(],0-∞不单调递减，故D 错误.故选:C.8.已知点P 在直线60x y +-=上，过点P 作圆22:4O x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，点M 在圆2214:133C x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上，则点M 到直线AB 距离的最大值为（）A.B.1+ C. D.1+【答案】B 【解析】【分析】结合点P 在直线60x y +-=上，求出切点弦AB 的方程，确定其所经过的定点，确定当CQ AB ⊥时，C 到直线AB 的距离最大，M 到直线AB 的距离也最大，即可求得答案.【详解】根据题意，设点(,)P m n ，则6m n +=，过点P 作圆22:4O x y +=的切线，切点分别为A ，B ，则有OA ⊥PA ，OB PB ⊥，则点A ，B 在以OP 为直径的圆上，以OP 为直径的圆的圆心为,22m n D ⎛⎫⎪⎝⎭，半径12r OP =2=，则其方程为2222224m n m n x y +⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，变形可得220x y mx ny +--=，联立22224x y x y mx ny ⎧+=⎨+--=⎩，可得圆D 和圆O 公共弦AB 为：40mx ny +-=，又由6m n +=，则有mx +()640m y --=，变形可得()640m x y y -+-=，则有0640x y y -=⎧⎨-=⎩，可解得23x y ==，故直线AB 恒过定点22,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点M 在圆2214:133C x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上，14,33C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，当CQ AB ⊥时，C 到直线AB 的距离最大，M 到直线AB 的距离也最大，则点M 到直线AB 距离的最大值为111CQ +==.故选:B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.一组数据2、3、3、4、5、7、7、8、9、11的第80百分位数为8.5B.在回归分析中，可用决定系数2R 判断模型拟合效果，2R 越小，模型的拟合效果越好C.若变量ξ服从()217,N σ，(1718)0.4P ξ<≤=，则(18)0.1P ξ>=D.将总体划分为2层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为1x ，2x 和21s ，22s ，若12x x =，则总体方差()2221212s s s =+【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，根据百分位数的计算方程，可得答案；对于B ，结合拟合的定义，可得答案；对于C ，根据正态分布的对称性，可得答案；对于D ，利用方差的计算，可得答案.【详解】对于A ，数据2、3、3、4、5、7、7，8、9、11共10个数，因为1080%8⨯=，因此，这组数据的第80百分位数为898.52+=，故A 正确，对于B ，在回归分析中，可用决定系数2R 的值判断模型拟合效果，2R 越大，模型的拟合效果越好，故B 错误；对于C ，因为变量ξ服从()217,N σ，(1718)0.4P ξ<≤=，则(18)0.5(1718)0.50.40.1P P ξξ>=-<≤=-=，故C 正确；对于D ，不妨设两层的样本容量分别为m ，n ，总样本平均数为x ，则()()222221212m n s s x x s x x m n m n ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦++，易知只有当m n =，12x x =时，有()2221212s s s =+，故D 错误.故选：AC.10.已知函数π()sin()0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，且(0)1f =，若()g x =()f x a +为奇函数，则a 可能取值为（）A.π3B.5π12C.π6D.π12-【答案】BD 【解析】【分析】根据图像有2A =，根据(0)2sin 1f ϕ==及π2ϕ<，确定ϕ值，再根据图像确定2π11π12T ω=>，结合11π012f ⎛⎫= ⎪⎝⎭求出ω，确定()f x 解析式，又要使()()g x f x a =+为奇函数，则(0)()0g f a ==，求a 值.【详解】由图象可得2A =，再根据(0)2sin 1f ϕ==，π2ϕ<，故π6ϕ=，又2π11π12T ω=>，则24011ω<<，又11π012f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以11ππ2π126k ω⨯+=，Z k ∈，得2ω=，故π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；要使()()g x f x a =+为奇函数，则(0)()0g f a ==，所以π2π6a k +=，Z k ∈，得ππ212k a =-，当0k =时12πa =-，当1k =时5π12a =，所以B 、D 符合，其它选项不符合.故选：BD11.若函数()e e x x f x a b cx -=++，既有极大值点又有极小值点，则（）A.0ac < B.0bc < C.()0a b c +< D.240c ab +>【答案】ACD【解析】【分析】根据极值定义，求导整理方程，结合一元方程方程的性质，可得答案.【详解】由题知方程2e e ()e e 0ex x xxxa c bf x a b c -+-'=-+==，2e e 0x x a c b +-=有两不等实根1x ，2x ，令e x t =，0t >，则方程20at ct b +-=有两个不等正实根1t ，2t ，其中11e x t =，22e xt =，212120Δ4000a c abc t t a bt t a ≠⎧⎪=+>⎪⎪⎨+=->⎪⎪=->⎪⎩，24000c ab ac ab ⎧+>⎪<⎨⎪<⎩，()00bc a b c ab ac >⎧⎨+=+<⎩，故ACD 正确，B 错误.故选：ACD.12.已知一圆锥，其母线长为l 且与底面所成的角为60︒，下列空间几何体可以被整体放入该圆锥的是（）1.73≈， 1.41≈）A.一个半径为0.28l 的球B.一个半径为0.28l 与一个半径为0.09l 的球C.一个边长为0.45l 且可以自由旋转的正四面体D.一个底面在圆锥底面上，体积为30.04l π的圆柱【答案】ABC 【解析】【分析】作出相应的空间图形及轴截面，再对各个选项逐一分析判断即可得出结果.【详解】如图1，球1O 与圆锥侧面、底面均相切，球2O 与球1O 、圆锥侧面相切，作圆锥的轴截面如图2，设小球1Q 半径为1r ，球1Q 与BC 边相切于点E ，60CBA ∠=︒，30DCB ∠=︒，1O E BC ⊥，所以112CO r =，132CD r ==，130.286r l ∴=>，故A 正确；设小球2O 半径为2r ，同理可知21130.09318r r l l ==>，故B 正确；将棱长为a 的正四面体放置到正方体中，如图则正四面体的外接球即正方体的外接球，易知正方体的外接球球心在体对角线的中点O 处，半径为1B D 的一半长，易知，2BC a =，所以12B D a =，故棱长为a 的正四面体外接球半径为4a ，则46a ≤则边长3a l ≤，20.453l l >，故C 正确；如图3，一圆柱内接圆锥，作圆锥的轴截面如图4，设圆柱底面半径为3r ，高为h ，因为3r CD h DB CD -=，又易知，13,22BD l CD ==，代入3r CD h DB CD -=，整理得到332h l =-，所以圆柱的体积()()2223333333332π2ππ2V r h l r l r r r ⎛⎫==⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭，令()()23333π2602V r lr r '=-=，得30r =或313r l =，则体积在10,3l ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,32l l ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，()333max π30.044π5V l l r =∴<，故D 错误.图1图2图3图4故选：ABC.【点睛】关键点晴，本题的关键在于将空间问题转化成平面问题来处理.三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13.二项式(2)(1)n x x -+的展开式中，所有项系数和为256-，则2x 的系数为______（用数字作答）.【答案】48-【解析】【分析】利用赋值法求得n ，再根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】令1x =可得二项式(2)(1)nx x -+的所有项系数和为2256n -=-，所以8n =.二项式8(1)x +的展开式的通项公式为18C rrr x T +=⋅，0r =，1， (8)所以(2)(1)nx x -+的展开式中，2x 的系数为1288C 2C -=48-.故答案为：48-14.随机变量ξ有3个不同的取值，且其分布列如下：ξ4sin α4cos α2sin 2αP1414a则()E ξ的最小值为______.【答案】54-【解析】【分析】根据分布列性质求得a 的值，即可求得()E ξ的表达式，结合三角换元以及二次函数性质，即可求得答案.【详解】依题意知11144a ++=，则12a =，则()sin cos sin 2E ξααα=++，设πsin cos 4t ααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则t ⎡∈⎣，故22sin 2(sin cos )11t ααα=+-=-，所以2215()124E t t t ξ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，当12t ⎡=-∈⎣时，()E ξ取最小值54-，故答案为：54-15.已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过左焦点1F 作直线l 与双曲线交于A ，B 两点（B 在第一象限），若线段AB 的中垂线经过点2F ，且点2F 到直线l 的距离为，则双曲线的离心率为______.【答案】2【解析】【分析】根据题意，由双曲线的定义可得4AB a =，再由勾股定理列出方程即可得到,a c 关系，代入离心率计算公式，即可得到结果.【详解】设双曲线E 的半焦距为c ，0c >，22=BF AF ，根据题意得122BF BF a -=，又21AF AF -212BF AF a =-=，114AB BF AF a ∴=-=，设AB 的中点为C ，在2ACF △中，2CF =，2AC a =，23AF a ∴=，则1AF a =，13CF a =，根据2221212CF CF F F +=，可知2(3)a +)22(2)c =，142c a e =∴=.故答案为：142.16.已知函数22ln e ()21e xa f x a x x x=+-+，(0)a >有唯一零点，则a 的值为______.【答案】2【解析】【分析】设2e (0)e x a t t x=>，转化为方程ln e t t =有唯一解e t =，即2ln 2a x x =-有唯一解，设ln ()22g x a x x =-+，利用导数判断单调性并求出最小值可得答案.【详解】由题意知224e 21e ln x a x x x+=-有唯一解，0x >，故2222e e 21ln e ln e ln e e l ln n x x x a a a x a x x x x=--=--=，设2e (0)e x a t t x=>，即ln e t t =，设(e n )l t F t t =-，则11()e F t t '=-，当(0,e)t ∈时，()0F t '<，函数()F t 单调递减，当(e,)t ∈+∞时，()0F t '>，函数()F t 单调递增；min ()(e)0F t F ==，故方程ln e t t =有唯一解e t =，即2e e e x a x=有唯一解，即2ln 2a x x =-有唯一解，设ln ()22g x a x x =-+，()2a g x x '=-，0a >，当0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；当,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当x 趋近于0和x 趋近于+∞时，()g x 趋近于-∞，故只需满足ln 2022a a g a a ⎛⎫=-+=⎪⎝⎭，设()ln 22a h a a a =-+，()ln 2a h a '=，当(0,2)a ∈时，()0h a '<，函数()h a 单调递减，当(2,)a ∈+∞时，()0'>h a ，函数()h a 单调递增，故min ()(2)0h a h ==，故2a =成立.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键点是构造函数，利用导数判断单调性四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S，且满足1n a =+，*N n ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足12n n n n b a a a +⋅=+，求数列{}n b 的前n 和n T .【答案】（1）21n a n =-，*N n ∈（2）2221n n n T n+=+【解析】【分析】（1）根据数列递推式求出首项，得出当2n ≥时，()211114n n S a --=+，和()2114n n S a =+相减并化简可得12n n a a --=，即可求得答案；（2）利用（1）的结果可得12n n n n b a a a +⋅=+的表达式，利用等差数列的前n 项和公式以及裂项法求和，即可求得答案.【小问1详解】由1n a =+得()2114n n S a =+，则()211114a a =+，解得11a =，当2n ≥时，()211114n n S a --=+，所以()()2211111144n n n n n a S S a a --=-=+-+，整理得()()()1112n n n n n n a a a a a a ----+=+，因为{}n a 是正项数列，所以10n n a a ->+，所以12n n a a --=，所以{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，所以12(1)21n a n n =+-=-，*N n ∈.【小问2详解】由（1）可得，21n a n =-，所以122112121(21)(21)2121n n n n b a n n a a n n n n +=+=-+=-+--+-+⋅，所以(121)111111213352121n n n T n n +-⎛⎫=+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭21121n n =+-+2221n n n =++.18.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22b a ac -=.（1）求证：2B A =；（2）如图：点D 在线段AC 上，且12AD BD CD ==，求cos C 的值.【答案】（1）证明见解析（2）368【解析】【分析】（1）在ABC 中根据余弦定理、正弦定理及三角公式化简可得；（2）由第一问在BCD △中结合正弦定理可得2a c =，在ABC 中根据余弦定理可求得结果.【小问1详解】证明：由余弦定理得2222cos a c b ac B +-=，又22b a ac -=，可得22cos c ac ac B -=，即2cos c a a B -=，由正弦定理得sin sin 2sin cos C A A B -=，而sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，代入上式，可得sin sin si )cos co i s n s n(A A B A B B A =-=-，所以πA B A +-=（舍）或A B A =-，即2B A =.【小问2详解】因为2B A =，AD BD =，所以=A ABD CBD ∠∠=∠，在BCD △中，由正弦定理得sin sin sin sin CD CBD A a BD C C c∠∠===∠∠，而12BD CD =，可得2a c =，代入22b a ac -=，可得=b ，由余弦定理得222222(2)co 2s 8c c a b c C ab +-+-===.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，棱PA ⊥平面ABCD ，底面四边形ABCD 是矩形，6PA AD ==，点N 为棱PD 的中点，点E 在棱AD 上，3AD AE =.（1）求证：PC AN ⊥；（2）已知平面PAB 与平面PCD 的交线l 与直线BE 所成角的正切值为12，求二面角N BE D --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）27【解析】【分析】（1）利用线线垂直证线面垂直，再由线面垂直的性质证线线垂直即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量求二面角即可.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥，又因为四边形ABCD 是矩形，所以AD CD ⊥，因为,PA AD A PA CD ⋂=⊂、平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，因为AN ⊂平面PAD ，所以CD AN ⊥.因为N 为PD 中点，PA AD =，所以PD AN ⊥，因为PD CD D ⋂=，所以AN ⊥平面PCD ，因为PC ⊂平面PCD ，所以AN PC ⊥.【小问2详解】在矩形ABCD 中，//AB CD ，CD ⊂平面PCD ，AB ⊂/平面PCD ，所以//AB 平面PCD .又AB ⊂平面PAB ，平面PAB ⋂平面PCD l =，所以//AB l .所以l 与直线BE 所成角即为ABE ∠.在Rt ABE △中，123AE AD ==，AB AE ⊥，所以4tan A AE A E B B ∠==.以{},,AB AD AP 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则(4,0,0)B ，(0,2,0)E ，(0,3,3)N 所以(4,2,0)BE =- ，(4,3,3)BN =-.设平面BNE 的法向量为(,,)m x y z = ，则4204330m BE x y m BN x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，取23,6z x y =⇒=-=-，可得(3,6,2)m =-- .又(0,0,6)AP = 为平面BDE 的一个法向量，所以122cos ,67m 7m AP AP m AP ⋅===⨯ .由图可知，二面角N BE D --为锐角，所以二面角N BE D --的余弦值为27.20.人工智能（AI ）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟.某公司研究了一款答题机器人，参与一场答题挑战.若开始基础分值为m （*m ∈N ）分，每轮答2题，都答对得1分，仅答对1题得0分，都答错得1-分.若该答题机器人答对每道题的概率均为12，每轮答题相互独立，每轮结束后机器人累计得分为X ，当2X m =时，答题结束，机器人挑战成功，当X 0=时，答题也结束，机器人挑战失败.（1）当3m =时，求机器人第一轮答题后累计得分X 的分布列与数学期望；（2）当4m =时，求机器人在第6轮答题结束且挑战成功的概率.【答案】（1）分布列见解析，()3E X =（2）111024【解析】【分析】（1）利用离散型随机变量的分布列与期望公式计算即可；（2）根据超几何分布分类讨论计算即可.【小问1详解】当3m =时，第一轮答题后累计得分X 所有取值为4，3，2，根据题意可知：()1114224P X ==⨯=，()11132222P X ==⨯⨯=，()1112224P X ==⨯=，所以第一轮答题后累计得分X 的分布列为：X 432()P X 141214所以()1114323424E X =⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】当4m =时，设“第六轮答题后，答题结束且挑战成功”为事件A ，此时情况有2种，分别为：情况①：前5轮答题中，得1分的有3轮，得0分的有2轮，第6轮得1分；情况②：前4轮答题中，得1分的有3轮，得1-分的有1轮，第5.6轮都得1分；所以()3232335411111111C C 4244441024P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.21.如图，已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左右顶点分别为A 、B ，P 是椭圆M 上异于A 、B 的动点，满足14PA PB k k ⋅=-，当P 为上顶点时，ABP 的面积为2.（1）求椭圆M 的方程；（2）若直线AP 交直线:4l x =于C 点，直线CB 交椭圆于Q 点，求证：直线PQ 过定点.【答案】（1）2214x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设椭圆上顶点0(0,)P b ，根据题意求出,a b 即可得解；（2）分直线PQ 斜率是否存在，设()11,P x y ，()22,Q x y ，(4,)C t ，先根据斜率不存在求出定点M ，方法1，联立直线AC 与椭圆方程，求出,P Q 两点的坐标，然后证明,,P M Q 三点共线即可.方法2，当直线PQ 斜率存在时，设直线PQ 为y kx m =+，联立方程，利用韦达定理求出12x x +，12x x ，再结合已知，求出,k m 的关系，即可得出结论.方法3，易得3BQ PA k k =，根据椭圆的对称性可得3PB QA k k =，再利用斜率公式构造对偶式，进而可求出PQ 的方程，从而可得出结论.【小问1详解】设椭圆上顶点0(0,)P b ，则002214P A P B b b b k k a a a =⋅==--⋅-，又01222ABP S ab =⨯=△，两式联立可解得2a =，1b =，所以椭圆M 的方程为2214x y +=；【小问2详解】设()11,P x y ，()22,Q x y ，(4,)C t ，当直线PQ 斜率不存在时，12x x =，12y y =-则直线:(2)6t AC y x =+，:(2)2t BC y x =-所以()()11112,622t y x t y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，可解得11x =，此时直线PQ 方程为1x =，过定点(1,0)；下面证明斜率存在时，直线PQ 也经过(1,0)，法1（设而求点）：联立直线AC 与椭圆方程：22(2),61,4t y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得()2222944360t x t x t +++-=，()()42216494360t t t ∆=-+->，由韦达定理有212429t x t --=+，即2121829t x t -=+，所以()1126269t t y x t =+=+，所以P 点坐标为2221826,99t t t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理可得Q 点坐标为222222,11t t t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，设点(1,0)M ，则222936,99t t MP t t ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭ ，22232,11t t MQ t t ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭因为2222229326309191t t t t t t t t ---⋅-=++++，所以//MP MQ ，所以直线PQ 过定点(1,0)M ，证毕.法2（直曲联立）：当直线PQ 斜率存在时，设直线PQ 为y kx m =+，由6PA t k =，2BQ t k =，可知3BQ PA k k =，而14PA PB k k ⋅=-，可得34BQ PB k k =-⋅，即()()21122112322224y y y y x x x x ⋅==-----，整理得()121212346120x x y y x x +-++=①，联立直线PQ 与椭圆方程：2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()222418440k x kmx m +++-=，所以()()()222222644414416410k m k m k m∆=-+-=+->，则2241k m +>，由韦达定理有122841km x x k +=-+，21224441m x x k -=+②，所以()()()2222121212122441m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+⋅③，将②③代入①得2222224448346120414141m m k km k k k --⨯+⨯+⨯+=+++，可得(2)()0k m k m ++=，所以2m k =-或m k =-，当2m k =-时，直线PQ 为2y kx k =-，经过(2,0)B ，舍去，所以m k =-，此时直线PQ 为y kx k =-，经过定点(1,0)，直线PQ 过定点得证.法3（构造对偶式）：由6PA t k =，2BQ t k =，可知3BQ PA k k =，又14PA PB k k ⋅=-，由椭圆对称性易知14QA QB k k =-⋅，所以3PB QA k k =，可得21211221121221121212322362326322y y x x x y x y y y y y x y x y y y x x ⎧=⨯⎪-+-=--⎧⎪⇒⎨⎨-=--⎩⎪=⨯⎪-+⎩①②，由①②可得122121x y x y y y =--，直线PQ 为()121112y y y y x x x x --=--，令0y =得，1221211x y x y x y y -==-，所以直线PQ 过定点(1,0)，证毕.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.22.已知函数()e e x x f x a -=-，（R a ∈）.（1）若()f x 为偶函数，求此时()f x 在点()()0,0f 处的切线方程；（2）设函数()()(1)g x f x a x =-+，且存在12,x x 分别为()g x 的极大值点和极小值点.（ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）若(0,1)a ∈，且()()120g x kg x +>，求实数k 的取值范围.【答案】（1）20y +=（2）（i ）(0,1)(1,)⋃+∞；（ii ）(,1]-∞-【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义，求出a 的值，然后利用导数求切线方程.（2）（ⅰ）对()g x 进行求导，将()g x 既存在极大值，又存在极小值转化成()0g x =必有两个不等的实数根，利用导数得到()g x 的单调性和极值，进而即可求解；（ⅱ）对()g x 进行求导，利用导数分析()g x 的极值，将()()120g x kg x +>恒成立转化成11ln 11a a k a -⎛⎫<-⋅ ⎪+⎝⎭，构造函数，利用导数分类讨论求解即【小问1详解】()f x 为偶函数，有()e e ()e e x x x x f x a f x a ---=-==-，则1a =-，所以()e e x x f x -=--，()e ex x f x -'=-+所以(0)2f =-，(0)0f '=所以()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为20y +=.【小问2详解】（ⅰ）()()(1)e e (1)x x g x f x a x a a x -=-+=--+，()()2e 1e 1e (1)e 1()e e (1)e e x x x x x x x x a a a g x a a ----++'=+-+==，因为函数()g x 既存在极大值，又存在极小值，则()0g x '=必有两个不等的实根，则0a >，令()0g x '=可得0x =或ln x a =-，所以ln 0a -≠，解得0a >且1a ≠.令{}min 0ln ,m a =-，{}max 0ln ,n a =-，则有：x (,)m -∞m (,)m n n (,)n +∞()g x '+0-0+()g x 极大值极小值可知()g x 分别在x m =和x n =取得极大值和极小值，符合题意.综上，实数a 的取值范围是(0,1)(1,)⋃+∞.（ⅱ）由(0,1)a ∈，可得ln 0a ->，所以10x =，2ln x a =-，()11g x a =-，()21(1ln )g x a a a =-++且有()()210g x g x <<，由题意可得[]11(1)ln 0a k a a a -+-++>对(0,1)a ∀∈恒成立，由于此时()()210g x g x <<，则0k <，所以()()()1ln 11k a a k a +>--，则11ln 11a a k a -⎛⎫<-⋅ ⎪+⎝⎭，令ln 11()11x h x x k x -⎛⎫=--⋅ ⎪+⎝⎭，其中01x <<，则2222212(1)211112()1(1)(1)(1)x x x x k k h x x k x x x x x ⎛⎫+--++ ⎪⎛⎫⎝⎭'=--⋅== ⎪+++⎝⎭，令2210x x k ++=，则()2224144k k k -∆=-=.①当0∆≤，即1k ≤-时，()0h x '≥，()h x 在(0,1)上是严格增函数，所以()(1)0h x h <=，即11ln 11a a k a -⎛⎫<-⋅ ⎪+⎝⎭，符合题意；（2）当0∆>，即10k -<<时，设方程2210x x k ++=的两根分别为3x ，4x 且34x x <，则3420x x k +=->，341x x =，则3401x x <<<，则当31x x <<时，()0h x '<，则()h x 在()3,1x 上单调递减，所以当31x x <<时，()(1)0h x h >=，即11ln 11a a k a -⎛⎫>-⋅ ⎪+⎝⎭，不合题意.综上所述，k 的取值范围是(,1]-∞-.。

安徽省江淮十校2024届高三第三次联考数学试题含答案

江淮十校2024届高三第三次联考数学（答案在最后）本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知(){}0ln 1A x y x x ==+-，{B y y ==，则A B = （）．A.[)()0,11,+∞ B.()()0,11,+∞ C.()0,∞+ D.[)0,∞+【答案】B 【解析】【分析】根据函数定义域和值域的求法可分别确定集合,A B ，由交集定义可得结果.【详解】由010x x >⎧⎨-≠⎩得：01x <<或1x >，即()()0,11,A =⋃+∞；0≥，0y ∴=≥，即[)0,B ∞=+，()()0,11,A B ∴=+∞ .故选：B.2.若,i z ∈C 为虚数单位，2i 11z +-=，则i z -的最大值为（）A.2B.1- C.4D.1【答案】D【解析】【分析】根据复数的几何意义可得复数z 对应的点的轨迹为以点()1,2-为圆心，1为半径的圆，进而求出i z -的最大值.【详解】根据题意，复数z 对应的点的轨迹为以点()1,2-为圆心，1为半径的圆，所求式子i z -的几何意义表示点()0,1到圆上点的距离的最大值，11=+.故选：D.3.学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙2名同学每人从中选一种或两种，且两人之间不会互相影响，则不同的选法种数为（）A.20 B.25C.225D.450【答案】C 【解析】【分析】根据分步计数原理，结合组合数公式，即可求解.【详解】甲和乙的选择方法分别有1255C C 15+=种方法，所以甲和乙不同的选择方法有1515225⨯=种.故选：C4.在ABC 中，π,6C CA =边上的高等于32CA ，则sin B =（）A.2B.12C.33D.13【答案】B 【解析】【分析】根据三角函数，结合图形，即可求解.【详解】如图，CA 边上的高为BD ，2BD =，且π6C =，所以CB =，则π3cos62CD BC CA =⋅=，则12AD CA =，AB AC ==，所以π6ABC C ∠=∠=，则π1sin sin 62B ==.故选：B5.已知直线():12l x a y a ++=-，圆22:64120C x y x y +-++=，则该动直线与圆的位置关系是（）A.相离B.相切C.相交D.不确定【答案】C 【解析】【分析】根据题意可得直线l 表示过定点()3,1A -，且除去1y =-的直线，点A 在圆上，可判断直线l 与圆C 相交.【详解】因为直线():12l x a y a ++=-，即()210x y a y +-++=，当10y +=时，20x y +-=，解得31x y =⎧⎨=-⎩，所以直线l 表示过定点()3,1A -，且除去1y =-的直线，将圆C 的方程化为标准方程为()()22321x y -++=，因为1AC =，点A 在圆上，所以直线l 与圆C 可能相交，可能相切，相切时直线l 为1y =-，不合题意，所以直线l 与圆C 相交.故选：C.6.已知0,0m n >>，且122m n +=，则2242n mm n +的最小值为（）A.2B.4C.8D.【答案】A【解析】【分析】根据条件，将所求式子变形2241222121222n m m n m n m n m n n m n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++-=+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭利用基本不等式求解.【详解】0,0m n >> ，122m n+=，()()223322222224248222m n m mn n n m n m m n m n m n +-++∴+==2212221121222m n m n m n m n mn n m m n n m n m +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭212⎛⎫≥⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当22m nn m=，即2n m =，即1,2m n ==时等号成立.故选：A.7.如图，直线l 在初始位置与等边ABC 的底边重合，之后l 开始在平面上按逆时针方向绕点A 匀速转动（转动角度不超过60︒），它扫过的三角形内阴影部分的面积S 是时间t 的函数．这个函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】取BC 的中点E ，连接AE ，设等边ABC 的边长为2，求得3tan(30)22ABD S α=+- ，令()3tan(30)22S x x =+- ，其中060x ≤≤ ，结合导数，即可求解.【详解】如图所示，取BC 的中点E ，连接AE ，因为ABC 为等边三角形，可得30EAB ∠= ，设等边ABC 的边长为2，且DAB α∠=，其中060α≤≤ ，可得tan(30))DE AE αα=-=-，又由ABC的面积为ABC S =，可得2ABE S =，且13)tan(30)22ADE S αα=-=- ，则ABD △的面积为33tan(30)tan(30)2222ABE ADE S S S αα=-=--=+- ，令()3tan(30)22S x x =+- ，其中060x ≤≤ ，可得()23102cos (30)S x x =⨯>-' ，所以()S x 为单调递增函数，又由余弦函数的性质得，当30x = 时，函数()S x 取得最小值，所以阴影部分的面积一直在增加，但是增加速度先快后慢再快，结合选项，可得选项C 符合题意.故选：C.8.已知函数()f x 满足()π131f x f x ⎛⎫+=- ⎪+⎝⎭，且π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则20241π3i i f =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑（）A.1010-B.10105-. C.0 D.2024【答案】B【解析】【分析】根据题意，求出π是()f x 的一个周期，利用周期性求解答案.【详解】()π131f x f x ⎛⎫+=- ⎪+⎝⎭Q ，()()2π11111π31113f x f x f x f x ⎛⎫∴+=-=-=-- ⎪⎛⎫⎝⎭-++ ⎪+⎝⎭，()()1π2π13f x f x f x ∴+=-=⎛⎫++ ⎪⎝⎭，所以π是()f x 的一个周期，又π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2π11π3213f f ⎛⎫∴=-=- ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭，()1π22π13f f =-=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以()π2π3π332f f f ⎛⎫⎛⎫++=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.()20241ππ2ππ2π674π33333i i f ff f f f =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑3167411010.522⎛⎫=⨯-+-=- ⎪⎝⎭.故选：B.【点睛】关键点睛：本题解题的关键是根据条件判断π是()f x 的一个周期，再求出2π132f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()π2f =-，利用周期性求解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数()π3sin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，下列说法正确的是（）A.2π是()f x 的一个周期B.()f x 在π5π,88⎛⎫⎪⎝⎭上递减C.将()f x 图象向左平移π8个单位可得到3sin2y x =的图象D.若()02f x =，则01sin49x =【答案】ACD 【解析】【分析】由三角函数的最小正周期公式可判断A ；通过()3sin ,0,πy t t =∈的单调性可判断B ；通过函数图象左右平移作用于自变量，且左加右减可判断C ；由题代入求出0π2sin 243x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再通过诱导公式和二倍角公式凑角求值可判断D.【详解】对于A ，由题意，函数()π3sin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，所以2π是()f x 的一个周期，故A 正确；对于B ，由π5π,88x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，可得()π20,π4x -∈，所以函数()π3sin 24f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在π5π,88x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上不单调，故B 错误；对于C ，将()f x 的图象向左平移π8个单位可得，ππ3sin 284y x ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎝⎭⎣⎦，即3sin 2y x =，故C 正确；对于D ，若()02f x =，即0π3sin 224x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即0π2sin 243x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以22000ππ21sin 4cos 412sin 2122439x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：ACD.10.设,A B 两点的坐标分别为()()3,0,3,0-直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为49，则下列说法中正确的是（）A.M 的轨迹方程为22194x y -=B.M 的轨迹与椭圆2212512x y +=共焦点C.230x y -=是M 的轨迹的一条渐近线D.过()0,2N 能做4条直线与M 的轨迹有且只有一个公共点【答案】BC 【解析】【分析】对A ，设点(),M x y ，3x ≠±，根据条件列式求出轨迹方程可判断；对B ，由点M 的轨迹方程求出焦点坐标可判断；对C ，点M 的轨迹方程求出渐近线方程可判断；对D ，点()0,2N 在y 轴上，过点N 的直线与点M 的轨迹只有一个公共点，只有两条切线，其中与渐近线平行的直线过点()3,0±不合题意.【详解】对于A ，设点(),M x y ，3x ≠±，则3MA y k x =+，3MB y k x =-，所以4339y y x x ⨯=+-，化简得22194x y -=，所以点M 的轨迹方程为()221394x y x -=≠±.故A 错误；对于B ，由A 选项，点M 的轨迹的焦点为()与椭圆2212512x y +=共焦点，故B 正确；对于C ，点M 的轨迹对应曲线()221394x y x -=≠±的渐近线为230x y ±=，故C 正确；对于D ，点()0,2N 在y 轴上，设()()3,0,3,0P Q -，则23PN k =，23NQ k =-，所以直线PN ，NQ 与渐近线平行，但点,P Q 不在点M 的轨迹上，故过点()0,2N 只能作点M 的轨迹两条切线，如图所示，故D 错误.故选：BC.11.如图，正三棱柱111ABC A B C -的各棱长相等，且均为2，N 在ABC 内及其边界上运动，则下列说法中正确的是（）A.存在点N ，使得1C N ⊥平面11A B CB.若1C N =，则动点N 的轨迹长度为3πC.E 为11A C 中点，若1//C N 平面1AB E ，则动点ND.存在点N ，使得三棱锥1C A BN -的体积为8【答案】BCD 【解析】【分析】取11,A B AB 的中点1,D D ，证得平面11A B C ⊥平面11D DCC ，得到1C H ⊥平面11A B C ，结合1111D C D D C H ∠>∠，可判定A ；由1C N =，求得1CN =，得到点N 的轨迹为圆弧，可判定B ；点E为11A C 中点，取AC 的中点F ，证得平面1//C BF 平面1AB E ，得到动点N 的轨迹为线段BF ，可判定C ；结合1max ()3N A BC V -=，可判定D.【详解】对于A 中，取11A B 的中点1D ，AB 的中点为D ，连接111,,D C DD DC ，由111A B C △为等边三角形，所以1111A B C D ^，又由正三棱柱111ABC A B C -中，可得111CC A B ⊥，因为1111C D CC C ⋂=，且111,C D CC ⊂平面11D DCC ，所以11A B ⊥平面11D DCC ，又因为11A B ⊂平面11A B C ，所以平面11A B C ⊥平面11D DCC ，因为平面111A B C Ç平面111D DCC D C =，过1C 作11C H D C ⊥于H ，根据面面垂直的性质定理，可得1C H ⊥平面11A B C ，在矩形11D DCC 中，111D C DD <，所以1145D C D ∠>11D C H >∠，如图所示，此时1C H 的延长线与线段CD 无公共点，所以不存在点N ，使得1C N ⊥平面11A B C ，所以A 错误；对于B 中，因为1C N =，在直角1C CN 中，可得1CN ==，所以点N 的轨迹为以C 为圆心，以1为半径的圆弧，又因为π3ACB ∠=，所以动点N 的轨迹长度为π3，所以B 正确；对于C 中，由点E 为11A C 中点，取AC 的中点F ，连接11,,C F BF BC ，可得1//C F AE ，1//BF B E ，因为1C F Ë平面1AB E ，且AE ⊂平面1AB E ，所以1//C F 平面1AB E ，同理可得//BF 平面1AB E ，又因为1C F AB F = ，且1,C F AB ⊂平面1C BF ，所以平面1//C BF 平面1AB E ，因为平面1C BF 平面ABC BF =，由1//C N 平面1AB E ，所以动点N 的轨迹为线段BF C 正确；对于D 中，由11C A BN N A BC V V --=，当点N 在ABC 内及其边界上运动时，可得1111max 123()33N A BC ABC A B C V V --==，因为32383=，所以存在点N ，使得三棱锥1C A BN -的体积为38，所以D 正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：对于立体几何中的动点轨迹与存在性性问题的求解策略1、立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动角的范围等问题；2、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；3、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；4、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知O 为等边ABC 的中心，若3,2OA a AB b == ，则AC =________．（用,a b 表示）【答案】92a b --【解析】【分析】等边三角形的中心即三边中线的交点，由重心的结论：12DO OA =，结合向量的线性运算即可求解.【详解】解：由题可得如图：O 是ABC 的重心，3OA a =，O 是ABC 各边中线的交点，1322DO OA DO a ∴=⇒= ，9922DA DO OA a AD a ∴=+=⇒=- ，又D 为BC 的中点，2AB b =，故：()122AD AB AC AC AD AB =+⇒=- ,所以：92AC a b =-- ，故答案为：92a b --.13.某小学对四年级的某个班进行数学测试，男生的平均分和方差分别为91和11，女生的平均分和方差分别为86和8，已知该班男生有30人，女生有20人，则该班本次数学测试的总体方差为________．【答案】15.8【解析】【分析】先求出总体的平均数89x =，在利用()()()()222211222m s x x n s x x s m n+-++-=+计算得解.【详解】设全体同学数学成绩的平均分为x ，方差为2s ，记191x =，2111s =，286x =，228s =，30m =，20n =，依题意有1230912086893020mx nx x m n +⨯+⨯===++，则()()()()222211222m s x x n s x x s m n+-++-=+()()()()2230119189208868915.850+-++-==.故答案为：15.8.14.已知首项为12的正项数列满足{}n a 满足11n nn n a a ++=，若存在*N n ∈，使得不等式()()3(1)(1)0nnnn m a m a +--+-<成立，则m 的取值范围为________．【答案】11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】先将已知等式两边取对数后由累乘法得到通项12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，再分n 为奇数和偶数时化简不等式后结合数列的单调性解一元二次不等式即可求出.【详解】因为()110n n nn n a a a ++=>，所以()11ln 11ln ln ln n n n n a n n a n a a n++++=⇒=，当2n ≥时，12121ln ln ln 12ln ln ln 121n n n n a a a n n a a a n n ----⋅⋅=⋅-- ，所以()1ln 2ln n a n n a =≥，又112a =，所以()12,12nn a n n ⎛⎫=≥= ⎪⎝⎭时也成立，所以12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为()()3(1)(1)0nnnn m a m a +--+-<，当n 为奇数时，上式变为()()30n n m a m a ++-<，所以3n n m a a +<<-，因为{}n a 为递减数列，所以解得11216m -<<；当n 为偶数时，上式变为()()30n n m a m a +-+<，所以3n n a m a +<<-，解得11324m -<<；综上，m 的取值范围为11,24⎛⎫-⎪⎝⎭，故答案为：11,24⎛⎫-⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题关键在于对已知不等式的变形，通过观察分析取对数化简后再累乘是关键.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列{}n a 的首项12a =，且满足132nn n a a ++=⨯．（1）求{}n a 的通项公式；（2）已知3n nn b a =，求使{}n b 取得最大项时n 的值．1.26≈）【答案】（1）2n n a =（2）4【解析】【分析】（1）由递推关系将已知等式变形为()1122n n n n a a ++-=--，即可求出通项；（2）由已知可设11k k k k b b b b -+≥⎧⎨≥⎩，代入k 解不等式组求出即可.【小问1详解】因为132nn n a a ++=⨯，所以()1122n n n n a a ++-=--，又12a =，所以120a -=，所以022nnn n a a -=⇒=.【小问2详解】由（1）有2n n a =，所以332n nn n n b a ==，设n k =时，n b 最大，因为1211,2,12b b b k ==>∴>，所以11k k kk b b b b -+≥⎧⎨≥⎩，即()()()())3333133331121122121122k k k k k k k k k k k k k k k -+⎧-≥⎪⎧⎧≥-≥-⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨≥+≥++⎪⎪⎩≥⎪⎩，解得 4.853.85k k ⎧≤≈⎪⎪⎨⎪≥≈⎪⎩，又Z k ∈，所以4k =，所以使{}n b 取得最大项时n 的值为4.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =.（1）已知O 为PC 中点，求证：AO ⊥平面PBD ；（2）求平面DPC 与平面PCB 的夹角．【答案】（1）证明见解析（2）π3【解析】【分析】（1）取PB 中点E ，根据线面垂直的判定与性质，结合等腰三角形三线合一性质的应用可分别证得AO PB ⊥，AO BD ⊥，由此可得结论；（2）以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，根据面面角的向量求法可求得结果.【小问1详解】取PB 中点E ，连接,,AE OE AC ，四边形ABCD 为正方形，AC BD ∴⊥，BC AB ⊥，PA ⊥ 平面ABCD ，,BD BC ⊂平面ABCD ，PA BD ∴⊥，PA BC ⊥；AB PA A ⋂= ，AC PA A ⋂=，,AB PA ⊂平面PAB ，,AC PA ⊂平面PAC ，BC ∴⊥平面PAB ，BD ⊥平面PAC ，又,O E 为,PC PB 中点，//OE BC ∴，OE ∴⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ，AO ⊂平面PAC ，PB OE ∴⊥，AO BD ⊥；PA AB = ，E 为PB 中点，AE PB ∴⊥；AE OE E = ，,AE OE ⊂平面AOE ，PB ∴⊥平面AOE ，又AO ⊂平面AOE ，PB AO ∴⊥，PB BD B = ，,PB BD ⊂平面PBD ，AO ∴⊥平面PBD .【小问2详解】以A 为坐标原点，,,AD AB AP正方向为,,x y z轴正方向，可建立如图空间直角坐标系，不妨设1==PA AB ，则()0,0,1P ，()1,0,0D ，()1,1,0C ，()0,1,0B ，()1,0,1DP ∴=- ，()0,1,0DC = ，()0,1,1BP =- ，()1,0,0BC =，设平面DPC 的法向量(),,n x y z =，则00DP n x z DC n y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令1x =，解得：0y =，1z =，()1,0,1n ∴= ；设平面PCB 的法向量(),,m a b c =，则0BP m b c BC m a ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1b =，解得：0a =，1c =，()0,1,1m ∴=；1cos ,2m n m n m n ⋅∴===⋅，即平面DPC 与平面PCB 夹角余弦值为12，∴平面DPC 与平面PCB 的夹角为π3.17.已知椭圆22:12x C y +=，直线:2l x =与x 轴交于点P ，过点P 的直线与C 交于,A B 两点（点A 在点B的右侧）．（1）若点A 是线段PB 的中点，求点A 的坐标；（2）过B 作x 轴的垂线交椭圆于点D ，连AD ，求AOD △面积的取值范围．【答案】（1）514(,)48±；（2）(0,2.【解析】【分析】（1）设点00(,)A x y ，表示出点B ，代入椭圆方程建立方程组，求解方程组即可.（2）设出直线AB 方程，与椭圆方程联立，借助韦达定理探求直线AD 过定点，进而设出直线AD 的方程，与椭圆方程联立求出三角形面积的函数关系求解即得.【小问1详解】依题意，(2,0)P ，设点00(,)A x y ，由点A 是线段PB 的中点，得()0022,2B x y -，由点,A B 都在椭圆C 上，得2200220012(22)412x y x y ⎧+=⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩，解得00548x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩，所以点A的坐标为5(,)48±.【小问2详解】依题意，直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为()()()112233(2),0,,,,,,y k x k A x y B x y D x y =-≠，由点A 在点B的右侧，得21x x <<<由22(2)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(12)8820k x k x k +-+-=，由422648(12)(41)0k k k ∆=-+->，得,022k k -<<≠，22121222882,1212k k x x x x k k-+==++，则有()1212322x x x x +-=，显然22(,)D x y -，直线AD 的方程为：212212()(()())y y x x x x y y +-=-+，当1x =时，122112121212123()420y y x y x y x x x x y k x x x x +--+--==⋅=--，因此直线AD 过定点(1,0)，设直线AD 的方程为1x my =+，由22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得22(2)210m y my ++-=，则2244(2)0m m '∆=++>，12122221,22m y y y y m m +=-=-++，于是212212m AD y m +=-=+，点O 到直线AD的距离d =因此1||122AODS AD d =⋅==≤，当且仅当0m =时取等号，而当0m =时，直线AB 与椭圆相切，不符合题意，所以AOD △面积的取值范围为(0,)2.18.一箱24瓶的饮料中有3瓶有奖券，每张奖券奖励饮料一瓶，小明从中任取2瓶，（1）小明的这2瓶饮料中有中奖券的概率；（2）若小明中奖后兑换的饮料继续中奖的话可继续兑换，兑换时随机选取箱中剩余的饮料，求小明最终获得饮料瓶数的分布列和期望．【答案】（1）1146（2）分布列见解析；()2511E X =【解析】【分析】（1）先求出任取2瓶的所有总数和抽取的2瓶饮料中无奖券的总数，再由古典概率求解即可；（2）求出X 的可能取值及其对应的概率，再由均值公式求出期望.【小问1详解】一箱24瓶的饮料中有3瓶有奖券，所以无奖券的有21瓶，从中任取2瓶，有224C 276=种结果，其中抽取的2瓶饮料中无奖券，有221C 210=种，所以小明的这2瓶饮料中有中奖券的概率为：221224C 210661111C 27627646-=-==；【小问2详解】设小明最终获得饮料瓶数为X ，则2,3,4,5X =，则()221224C 210352C 27646P X ====，()11121320212422C C C 63201053C C 27622506P X ==⋅==，()021112121321320212222112422242221C C C C C C C 154+C C C C C 506P X ==⋅⋅⋅=，()02111112132132121222112422242221C C C C C C C 15C C C C C 506P X ==⋅+⋅⋅=，所以X 的分布列为：X2345P3546105506155061506()351051515752523454650650650625311E X =⨯+⨯+⨯+⨯==.19.对于函数()y f x =的导函数()y f x ='，若在其定义域内存在实数0x 和t ，使得()()00f tx tf x '=成立，则称()y f x =是“跃然”函数，并称t 是函数()y f x =的“跃然值”．（1）证明：当1t =时，函数()ln exx af x +=是“跃然”函数；（2）证明：()()e xg x x x =+∈R 为“跃然”函数，并求出该函数“跃然值”的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析，()0,+∞【解析】【分析】（1）根据题意当1t =时，设()()()12ln 2e xx ax h x f x f x -+'=-=，令()0h x =，即12ln 20x a x -+=，设()12ln 2x x a xϕ=-+，0x >，利用导数判断单调性结合零点存在性定理判断证明；（2）将问题转化为函数()()()G x g tx tg x '=-存在零点，构造函数借助导数和零点存在性定理分0t <，0=t ，0t >三种情况讨论判断证明.【小问1详解】()ln e xx a f x +=Q ，()1ln e xx ax f x --'∴=，当1t =时，设()()()12ln 2e xx ax h x f x f x -+'=-=，令()0h x =，得12ln 20x a x -+=，设()12ln 2x x a x ϕ=-+，0x >，则()2210x x xϕ'=+>，即函数()x ϕ在()0,∞+上单调递增，又()e2e2e 0aaa a a ϕ-=--+=-<，()2222222211e 4222222e e a aa a a a a ϕ+++⎛⎫=++-=+++- ⎪⎝⎭()222132********a a a a a ⎡⎤⎛⎫>++=++=++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又22a a +>，则22e e a a +->，所以存在()220e ,e aa x -+∈使得()00x ϕ=，即()()0f x f x '=，所以函数()ln e xx af x +=是“跃然值”为1的“跃然”函数.【小问2详解】()e x g x x =+Q ，()e 1x g x '∴=+，设()()()G x g tx tg x '=-，则()()e e 1txxG x t t x =-+-，所以()()e e 1txxG x t '=-+，当0=t 时，()1G x =，对x ∈R ，此时不存在0x 使得()()00f tx tf x '=成立，不合题意；当0t <时，因为e =tx y 与e x y =-在R 上均单调递减，所以e e 1tx x y =-+在R 上单调递减，所以()G x '在R 上单调递增，又()00G t '=<，()()()1e e 12e 0tG t t '=-+>->，所以存在()0,1m ∈使得()0G m '=，即e e 10tm m -+=，当(),x m ∈-∞时，()0G x '<，即()G x 单调递减，当(),x m ∈+∞时，()0G x '>，即()G x 单调递增，()()()()e e 11e 1tm m m G x G m t t m t tm t ∴≥=-+-=-+--，又e 1x y x =--，则e 1x y '=-，所以当(),0x ∈-∞时，0'<y ，即函数单调递减，当()0,x ∈+∞时，0'>y ，即函数单调递增，e 10x y x ∴=--≥，即得e 1x x ≥+.所以()()()11120G x t m tm t m t ≥-++--=->，此时不存在0x 使得()()00f tx tf x '=成立，不合题意；当0t >时，若0x ≤，则e e 10tx x -+>，从而()()e e 10tx x G x t '=-+>，所以()G x 在(],0-∞上单调递增，当0x >时，设()e e 1tx x M x =-+，则()()()1e e e e 1t x tx x x M x t t -'=-=-，设()()1e 1t x N x t -=-，当1t >时，()N x 在()0,∞+上单调递增，且()010N t =->，所以()()00N x N >>，从而()0M x '>，所以()M x 在()0,∞+上单调递增，所以()()010M x M >=>，所以()0G x '>，所以()G x 在R 上单调递增，又()0120G t =-<，因为e e x y x =-，当1x >时，e e 0x y '=->，所以e e x x >，则()1e e 0tG t =->，由零点存在性定理，存在()00,1x ∈使得()00G x =，即()()00f tx tf x '=成立，符合题意；当1t =时，()1G x x =-，显然存在零点01x =，使得()()00f tx tf x '=成立，符合题意；当01t <<时，易知()()1e 1t x N x t -=-在()0,∞+上单调递减，()010N t =-<，所以()0N x <，从而()0M x '<，所以()M x 在()0,∞+上单调递减，又()010M =>，x →+∞时，()M x →-∞，所以存在()0,n ∈+∞，使得()0M n =，即()0G n '=，所以当(),x n ∈-∞时，()0G x '>，即()G x 单调递增，当(),x n ∈+∞时，()0G x '<，即()G x 单调递减，又()1e e 0tG t =->，x →-∞时，()G x →-∞，由零点存在性定理，存在()0,1x ∈-∞使得()00G x =，即()()00f tx tf x '=成立，符合题意；综上，()g x 为“跃然”函数，该函数“跃然值”的取值范围为()0,∞+.【点睛】思路点睛：本题的第一问，根据“跃然”函数的定义将问题转化为证明函数()()()12ln 2e xx a x h x f x f x -+'=-=存在零点，利用导数判断单调性和零点存在性定理求解证明；第二问，设()()()G x g tx tg x '=-，则()()e e 1tx x G x t '=-+，当0=t 时，()1G x =，显然不合题意，当0t <时，利用导数和零点存在性定理可证()0G x >，不合题意，当0t >时，在分01t <<，1t =，1t >三种情况分别讨论判断证明.。

2023-2024学年安徽省合肥168中学等名校联考高三(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年安徽省合肥168中学等名校联考高三（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）1．已知集合U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{2，3}，B ＝{x |x ＝2k ，k ∈Z }，则B ∩∁U A ＝（） A ．{4}B ．{2，4}C ．{1，2}D ．{1，3，5}2．复数（i −1i）3的虚部是（）A ．﹣8B ．﹣8iC ．8D ．8i3．已知向量a →=(0，−2)，b →=(1，t)，若向量b →在向量a →上的投影向量为−12a →，则a →⋅b →=（）A ．﹣2B ．−52C ．2D ．1124．在△ABC 中，“C =π2”是“sin 2A +sin 2B ＝1”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．过点（0，﹣2）与圆x 2+y 2﹣4x ﹣1＝0相切的两条直线的夹角为α，则cos α（） A ．14B ．√154C ．−14D ．√1046．A ，B ，C ，D ，E 五人站成一排，如果A ，B 必须相邻，那么排法种数共有（） A ．24B ．120C ．48D ．607．若系列椭圆C n ：a n x 2+y 2=1（0＜a n ＜1，n ∈N *）的离心率e n =(12)n ，则a n ＝（）A ．1−(14)nB ．1−(12)nC ．√1−(12)nD ．√1−(14)n8．已知等差数列{a n }（公差不为0）和等差数列{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，如果关于x 的实系数方程1003x 2﹣S 1003x +T 1003＝0有实数解，那么以下1003个方程x 2﹣a i x +b i ＝0（i ＝1，2，…1003）中，有实数解的方程至少有（）个． A ．499B ．500C ．501D ．502二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分，有选错的得0分）9．已知一组数据：12，31，24，33，22，35，45，25，16，若去掉12和45，则剩下的数据与原数据相比，下列结论正确的是（） A ．中位数不变 B ．平均数不变 C ．方差不变D ．第40百分位数不变10．双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1（a ＞0，b ＞0），左、右顶点分别为A ，B ，O 为坐标原点，如图，已知动直线l 与双曲线C 左、右两支分别交于P ，Q 两点，与其两条渐近线分别交于R ，S 两点，则下列命题正确的是（）A ．存在直线l ，使得AP ∥ORB ．l 在运动的过程中，始终有|PR |＝|SQ |C ．若直线l 的方程为y ＝kx +2，存在k ，使得S △ORB 取到最大值D ．若直线l 的方程为y =−√22（x ﹣a ），RS →=2SB →，则双曲线C 的离心率为√311．如图所示，有一个棱长为4的正四面体P ﹣ABC 容器，D 是PB 的中点，E 是CD 上的动点，则下列说法正确的是（）A ．直线AE 与PB 所成的角为π2B ．△ABE 的周长最小值为4+√34C ．如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为√63D ．如果在这个容器中放入4个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为2√6−25三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．小于300的所有末尾是1的三位数的和等于． 13．已知函数f(x)=ln(x +1)−axx+1，若f （x ）⩾0恒成立，则a ＝． 14．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0），点P 为抛物线上的动点，点A(4−p2，0)与点P 的距离|AP |的最小值为2，则p ＝．四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=√2，c=4，acosC+b=0．（1）求a；（2）已知点D在线段BC上，且∠ADB=3π4，求AD长．16．（15分）甲、乙两人进行射击比赛，每次比赛中，甲、乙各射击一次，甲、乙每次至少射中8环．根据统计资料可知，甲击中8环、9环、10环的概率分别为0.7，0.2，0.1，乙击中8环、9环、10环的概率分别为0.6，0.2，0.2，且甲、乙两人射击相互独立．（1）在一场比赛中，求乙击中的环数少于甲击中的环数的概率；（2）若独立进行三场比赛，其中X场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，求X的分布列与数学期望．17．（15分）如图，圆台O1O2的轴截面为等腰梯形A1ACC1，AC＝2AA1＝2A1C1＝4，B为底面圆周上异于A，C的点．（1）在平面BCC1内，过C1作一条直线与平面A1AB平行，并说明理由；（2）设平面A1AB∩平面C1CB＝l，Q∈l，BC1与平面QAC所成角为α，当四棱锥B﹣A1ACC1的体积最大时，求sinα的取值范围．18．（17分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax（x﹣1）．（1）当a＜0时，探究f′（x）零点的个数；（2）当a＞0时，证明：f(x)⩽2+a√a+8a−a −3 2．19．（17分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点M与两定点Q，P的距离之比|MQ||MP|=λ(λ＞0，λ≠1)，λ是一个常数，那么动点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ上．已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x2+y2＝4，定点分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点F与右顶点A，且椭圆C的离心率为e=12．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过右焦点F斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆C相交于B，D（点B在x轴上方），点S，T 是椭圆C上异于B，D的两点，SF平分∠BSD，TF平分∠BTD．（ⅰ）求|BS||DS|的取值范围；（ⅱ）将点S、F、T看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT外接圆的面积为81π8，求直线l的方程．2023-2024学年安徽省合肥168中学等名校联考高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）1．已知集合U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{2，3}，B ＝{x |x ＝2k ，k ∈Z }，则B ∩∁U A ＝（） A ．{4}B ．{2，4}C ．{1，2}D ．{1，3，5}解：因为U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{2，3}，B ＝{x |x ＝2k ，k ∈Z }，所以∁U A ＝{1，4，5}，则B ∩∁U A ＝{4}．故选：A ．2．复数（i −1i）3的虚部是（）A ．﹣8B ．﹣8iC ．8D ．8i解：（i −1i ）3=(i −1i )(i −1i )2=−4(i −1i )−4（i +i ）＝﹣8i ，则复数（i −1i）3的虚部是：﹣8．故选：A ．3．已知向量a →=(0，−2)，b →=(1，t)，若向量b →在向量a →上的投影向量为−12a →，则a →⋅b →=（）A ．﹣2B ．−52C ．2D ．112解：a →=(0，−2)，b →=(1，t)，则向量b →在向量a →上的投影为a →⋅b →|a →|×a→|a →|=−2t 4a →=−12a →，解得t ＝1，所以a →⋅b →=−2．故选：A ．4．在△ABC 中，“C =π2”是“sin 2A +sin 2B ＝1”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：在△ABC 中，当C =π2时，则A +B =π2，故sin 2A +sin 2B =sin 2A +sin 2(π2−A)=sin 2A +cos 2A ＝1，故充分性成立，当A ＝120°，B ＝30°，满足sin 2A +sin 2B ＝1，但C ≠π2，故必要性不成立，综上所述，在△ABC 中，“C =π2”是“sin 2A +sin 2B ＝1”的充分不必要条件．故选：A ．5．过点（0，﹣2）与圆x 2+y 2﹣4x ﹣1＝0相切的两条直线的夹角为α，则cos α（） A ．14B ．√154C ．−14D ．√104解：圆x 2+y 2﹣4x ﹣1＝0可化为（x ﹣2）2+y 2＝5，则圆心C （2，0），半径为r =√5；设P （0，﹣2），切线为P A 、PB ，则PC =√22+22=2√2，△P AC 中，sin ∠APB 2=√52√2，所以cos ∠APB ＝1﹣2sin 2∠APB 2=1﹣2×58=−14，所以cos α=14．故选：A ．6．A ，B ，C ，D ，E 五人站成一排，如果A ，B 必须相邻，那么排法种数共有（） A ．24B ．120C ．48D ．60解：根据题意，将A ，B 看成一个整体，A ，B 的排列方法有A 22种方法，然后将这个整体与其他三个人一共4个元素进行全排列，即不同的排列方式有A 44，根据分步计数原理可知排法种数为A 22A 44=48．故选：C ．7．若系列椭圆C n ：a n x 2+y 2=1（0＜a n ＜1，n ∈N *）的离心率e n =(12)n ，则a n ＝（）A ．1−(14)nB ．1−(12)nC ．√1−(12)nD ．√1−(14)n解：由系列椭圆C n ：a n x 2+y 2=1（0＜a n ＜1，n ∈N *），可得a 2=1a n，b ＝1， ∴离心率e n =√1−b 2a 2=√1−a n ，∴1﹣a n ＝[（12）n ]2，∴a n ＝1﹣（14）n ．故选：A ．8．已知等差数列{a n }（公差不为0）和等差数列{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，如果关于x 的实系数方程1003x 2﹣S 1003x +T 1003＝0有实数解，那么以下1003个方程x 2﹣a i x +b i ＝0（i ＝1，2，…1003）中，有实数解的方程至少有（）个． A ．499B ．500C ．501D ．502解：根据题意，方程1003x 2﹣S 1003x +T 1003＝0有实数解，而S 1003=(a 1+a 1003)×10032=1003a 502，T 1003=(b 1+b 1003)×10032=1003b 502，则原方程等价于x 2﹣a 502x +b 502＝0，若其有解，必有Δ=a 5022−4b 502≥0，设方程x 2﹣a 1x +b 1＝0与方程x 2﹣a 1003x +b 1003＝0的判别式分别为Δ1和Δ1003，则有Δ1+Δ1003＝（a 12−4b 1）+（a 10032−4b 1003）=a 12+a 10032−4（b 1+b 1003）≥12（a 1+a 1003）2﹣4（b 1+b 1003）=12（2a 502）2﹣8b 502＝2（a 5022−4b 502）≥0，其中等号成立的条件是a 1＝a 1003，所以Δ1＜0和Δ1003＜0至多一个成立，同理可证：Δ2＜0和Δ1002＜0至多一个成立， …，Δ501＜0和Δ503＜0至多一个成立，且Δ502≥0，故在所给的1003个方程x 2﹣a i x +b i ＝0中，有实数解的方程至少有502个．故选：D ．二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分，有选错的得0分）9．已知一组数据：12，31，24，33，22，35，45，25，16，若去掉12和45，则剩下的数据与原数据相比，下列结论正确的是（） A ．中位数不变 B ．平均数不变 C ．方差不变D ．第40百分位数不变解：将原数据按从小到大的顺序排列为12，16，22，24，25，31，33，35，45，其中位数为25，平均数是（12+16+22+24+25+31+33+35+45）÷9＝27，方差是19×[(−15)2+(−11)2+(−5)2+(−3)2+(−2)2+42+62+82+182]=8249，由40%×9＝3.6，得原数据的第40百分位数是第4个数24．将原数据去掉12和45，得16，22，24，25，31，33，35，其中位数为25，平均数是(16+22+24+25+31+33+35)÷7=1867，方差是17×[(−747)2+(−327)2+(−187)2+(−117)2+(317)2+(457)2+(597)2]=191649，由40%×7＝2.8，得新数据的第40百分位数是第3个数24，故中位数和第40百分位数不变，平均数与方差改变，故A ，D 正确，B ，C 错误．故选：AD ．10．双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1（a ＞0，b ＞0），左、右顶点分别为A ，B ，O 为坐标原点，如图，已知动直线l 与双曲线C 左、右两支分别交于P ，Q 两点，与其两条渐近线分别交于R ，S 两点，则下列命题正确的是（）A ．存在直线l ，使得AP ∥ORB ．l 在运动的过程中，始终有|PR |＝|SQ |C ．若直线l 的方程为y ＝kx +2，存在k ，使得S △ORB 取到最大值D ．若直线l 的方程为y =−√22（x ﹣a ），RS →=2SB →，则双曲线C 的离心率为√3解：对于A 项：与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点，故A 项错误；对于B 项：设直线l ：y ＝kx +t ，与双曲线联立{y =kx +tx 2a 2−y 2b 2=1，得：（b 2﹣a 2k 2）x 2﹣2a 2ktx ﹣（a 2t 2+a 2b 2）＝0，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由根与系数关系得：x 1+x 2=2a 2kt b 2−a 2k 2，x 1x 2=−a 2b 2+a 2t 2b 2−a 2k2，所以线段PQ 中点N(x 1+x 22，y 1+y 22)=(a 2kt b 2−a 2k 2，a 2k 2tb 2−a 2k2+t)，将直线l ：y ＝kx +t 与渐近线y =b a x 联立得点S 坐标为S(at b−ak ，bt b−ak )，将直线l ：y ＝kx +t 与渐近线y =−b a x 联立得点R 坐标为R(−at b+ak ⋅btb+ak )，所以线段RS 中点M(a 2kt b 2−a 2k 2，a 2k 2tb 2−a 2k2+t)，所以线段PQ 与线段RS 的中点重合，所以|PR|=|PQ|−|RS|2=|SQ|，故B 项正确；对于C 项：由B 项可得R(−2a b+ak ，2b b+ak )，S △ORB =12|OB|×|y R |=12|OB||2bb+ak|，因为|OB |为定值，当k 越来越接近渐近线y =−b a x 的斜率−b a 时，|2bb+ak|趋向于无穷，所以S △ORB 会趋向于无穷，不可能有最大值，故C 项错误；对于D 项：联立直线l 与渐近线y =b a x ，解得S(a 2√2b+a ab√2b+a )，联立直线l 与渐近线y =−b a x ，解得R(a 2−√2b+a ab√2b−a)，由题可知，RS →=2SB →，所以y S ﹣y R ＝2（y B ﹣y S ），即3y S ＝y R +2y B ， √2b+a=√2b−a，解得b =√2a ，所以e =√3，故D 项正确．故选：BD ．11．如图所示，有一个棱长为4的正四面体P ﹣ABC 容器，D 是PB 的中点，E 是CD 上的动点，则下列说法正确的是（）A ．直线AE 与PB 所成的角为π2B ．△ABE 的周长最小值为4+√34C ．如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为√63D ．如果在这个容器中放入4个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为2√6−25解：A 选项，连接AD ，由于D 为PB 的中点，所以PB ⊥CD ，PB ⊥AD ，又CD ∩AD ＝D ，AD ，CD ⊂平面ACD ，所以直线PB ⊥平面ACD ，又AE ⊂平面ACD ，所以PB ⊥AE ，故A 正确；B 选项，把△ACD 沿着CD 展开与平面BDC 同一个平面内，连接AB 交CD 于点E ，则AE+BE的最小值即为AB的长，由于AD=CD=2√3，AC＝4，cos∠ADC=CD 2+AD2−AC22CD⋅AD=(2√3)2+(2√3)2−422×23×23=13，cos∠ADB=cos(π2+∠ADC)=−sin∠ADC=−13，所以AB2＝BD2+AD2﹣2BD•AD cos∠ADB＝22+（2√3）2﹣2×2×2√3（−2√23）＝16+16√63，故AB=√16+1663=4√1+63，△ABE的周长最小值为4+4√1+√63，B错误；C选项，要使小球半径最大，则小球与四个面相切，是正四面体的内切球，设球心为O，取AC的中点M，连接BM，PM，过点P作PF垂直于BM于点F，则F为△ABC的中心，点O在PF上，过点O作ON⊥PM于点N，因为AM＝2，AB＝4，所以BM=√AB2−AM2=2√3，同理PM=2√3，则MF=13BM=2√33，故PF=√PM2−MF2=4√6 3，设OF＝ON＝R，故OP=PF−OF=4√63−R，因为△PNO∽△PFM，所以ONFM=OPPM，即2√33=4√63−R2√3，解得R=√63，C正确；D选项，4个小球分两层（1个，3个）放进去，要使小球半径最大，则4个小球外切，且小球与三个平面相切，设小球半径为r，四个小球球心连线是棱长为2r的正四面体Q﹣VKG，由C选项可知，其高为2√63r，由C选项可知，PF是正四面体P﹣ABC的高，PF过点Q且与平面VKG交于S，与平面HIJ交于Z，则QS=2√63r，SF＝r，由C选项可知，正四面体内切球的半径是高的14，如图正四面体P﹣HJI中，QZ＝r，QP＝3r，正四面体Q﹣VKG高为3r+2√63r+r=√63×4，解得r=2√6−25，D正确．故选：ACD．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．小于300的所有末尾是1的三位数的和等于3920．解：小于300的所有末尾是1的三位数是101，111，121， (291)是以101为首项，以10为公差的等差数列，所以小于300的所有末尾是1的三位数的和为S20=20×(101+291)2=3920．故答案为：3920．13．已知函数f(x)=ln(x+1)−axx+1，若f（x）⩾0恒成立，则a＝1．解：由f(x)=ln(x+1)−axx+1，得f′(x)=1x+1−a(x+1)2=x−(a−1)(x+1)2，当a＞0时，当x∈（﹣1，a﹣1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（a﹣1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）min＝f（a﹣1）＝lna﹣（a﹣1），∵f（x）⩾0恒成立，∴lna﹣（a﹣1）⩾0，记g(a)=lna−(a−1)，g′(a)=1a−1=1−aa，当a∈（0，1）时，g′（a）＞0，g（a）单调递增，当a∈（1，+∞）时g′（a）＜0，g（a）单调递减，∴g（a）max＝g（1）＝0，∴lna﹣（a﹣1）⩽0，又lna﹣（a﹣1）⩾0，∴lna﹣（a﹣1）＝0，∴a＝1．当a⩽0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，∴当x∈（﹣1，0）时，f（x）＜f（0）＝0，与f（x）⩾0矛盾．综上，a的值为1．故答案为：1．14．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），点P为抛物线上的动点，点A(4−p2，0)与点P的距离|AP|的最小值为2，则p＝2−√2，4，12．解：设P(x，y)，|AP|2=[x−(4−p2)]2+y2=x2−2(4−p2)x+(4−p2)2+2px=x2−(8−3p)x+(4−p2)2=[x−(4−3p2)]2+8p−2p2，（i）当4−3p2⩾0，即0＜p⩽83时，|AP|2有最小值8p﹣2p2，即|AP|有最小值√8p−2p2=2，解得p=2±√2，由于2+√2＞83，故p=2−√2，（ii）当4−3p2＜0，即p＞83时，|AP|2有最小值(4−p2)2，即|AP|有最小值|4−p2|=2，解得p＝4或12，综上，p的值为2−√2，4，12．故答案为：2−√2，4，12．四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=√2，c=4，acosC+b=0．（1）求a；（2）已知点D在线段BC上，且∠ADB=3π4，求AD长．解：（1）因为在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，a cos C+b＝0，由余弦定理得a⋅a2+b2−c22ab+b=0，即a2+3b2﹣c2＝0，又b=√2，c=4，则可得a=√10；（2）由余弦定理cosC=b2+a2−c22ab=2+10−162×√2×√10=−√55，所以sinC=√1−cos2C=2√5 5，因为∠ADB=3π4，所以∠ADC=π4，则在△ADC中，由正弦定理可得AD=AC⋅sinCsin∠ADC=√2×2√55√22=4√55．16．（15分）甲、乙两人进行射击比赛，每次比赛中，甲、乙各射击一次，甲、乙每次至少射中8环．根据统计资料可知，甲击中8环、9环、10环的概率分别为0.7，0.2，0.1，乙击中8环、9环、10环的概率分别为0.6，0.2，0.2，且甲、乙两人射击相互独立．（1）在一场比赛中，求乙击中的环数少于甲击中的环数的概率；（2）若独立进行三场比赛，其中X场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，求X的分布列与数学期望．解：（1）设乙击中的环数少于甲击中的环数为事件A，则事件A包括：甲击中9环乙击中8环，甲击中10环乙击中8环，甲击中10环乙击中9环，则P（A）＝0.2×0.6+0.1×0.6+0.1×0.2＝0.2．（2）由题可知X的所有可能取值为0，1，2，3，由（1）可知，在一场比赛中，甲击中的环数多于乙击中的环数的概率为0.2，则P(X=0)=C30×0．20×(1−0.2)3=0.512，P(X=1)=C31×0.2×(1−0.2)2=0.384，P(X=2)=C32×0．22×(1−0.2)=0.096，P(X=3)=C33×0．23×(1−0.2)0=0.008，故X的分布列为所以E（X）＝3×0.2＝0.6．17．（15分）如图，圆台O1O2的轴截面为等腰梯形A1ACC1，AC＝2AA1＝2A1C1＝4，B为底面圆周上异于A，C的点．（1）在平面BCC1内，过C1作一条直线与平面A1AB平行，并说明理由；（2）设平面A1AB∩平面C1CB＝l，Q∈l，BC1与平面QAC所成角为α，当四棱锥B﹣A1ACC1的体积最大时，求sinα的取值范围．解：（1）取BC中点P，作直线C1P，则直线C1P即为所求，取AB中点H，连接A1H，PH，则有PH∥AC，PH=12AC，如图，在等腰梯形A 1ACC 1中，A 1C 1=12AC ，∴HP ∥A 1C 1，HP ＝A 1C 1， ∴四边形A 1C 1PH 为平行四边形，∴C 1P ∥A 1H ，又A 1H ⊂平面A 1AB ，C 1P ⊄平面A 1AB ， ∴C 1P ∥平面A 1AB ；（2）延长AA 1，CC 1交于点O ，作直线BO ，则直线BO 即为直线l ，如图，过点B 作BO '⊥AC 于O '，∵平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，平面A 1ACC 1∩平面ABC ＝AC ，BO '⊂平面ABC ， ∴BO '⊥平面A 1ACC 1，即BO '为四棱锥B ﹣A 1ACC 1的高，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，BO ′=BA⋅BC AC ≤BA 2+BC 22AC =12AC ，当且仅当BA ＝BC 时取等号，此时点O '与O 2重合，∴梯形A 1ACC 1的面积S 为定值，四棱锥B ﹣A 1ACC 1的体积V B−A 1ACC 1=13S ⋅BO′，∴当BO '最大，即点O '与O 2重合时四棱锥B ﹣A 1ACC 1的体积最大，又BO 2⊥AC ，BO 2＝2，以O 2为原点，射线O 2A ，O 2B ，O 2O 1分别为x ，y ，z 轴的非负半轴，建立空间直角坐标系，在等腰梯形A 1ACC 1中，AC ＝2AA 1＝2A 1C 1＝4，此梯形的高ℎ=√AA 12−(AC−A 1C 12)2=√3，显然A 1C 1为△OAC 的中位线，∴O(0，0，2√3)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C 1(−1，0，√3)， BC 1→=(−1，−2，√3)，AB →=(−2，2，0)，BO →=(0，−2，2√3)，O 2A →=(2，0，0)，设BQ →=λBO →，λ∈R ，则AQ →=AB →+BQ →=AB →+λBO →=(−2，2−2λ，2√3λ)，设平面QAC 的一个法向量n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅O 2A →=2x =0n →⋅AQ →=−2x +(2−2λ)y +2√3λz =0，取n →=(0，√3λ，λ−1)， ∴sinα=|cos〈n →，BC 1→〉|=|n →⋅BC 1→||n →||BC 1→|=|−2×√3λ+√3(λ−1)|√(√3λ)2+(λ−1)×√(−1)+(−2)+(√3)2=√3|λ+1|2√2×√4λ−2λ+1，令t ＝λ+1，则sinα=√3|t|2√2×√4t −10t+7，当t ＝0时，sin α＝0，当t ≠0时，0＜sinα=√32√2×√7t2−10t +4=√32√2×√7(1t −57)+37≤√144，当且仅当t =75，即λ=25时取等号，综上得0≤sinα≤√144，∴sin α的取值范围是[0，√144]．18．（17分）已知函数f （x ）＝lnx ﹣ax （x ﹣1）．（1）当a ＜0时，探究f ′（x ）零点的个数；（2）当a ＞0时，证明：f(x)⩽2+a√a +8a−a−32．解：（1）已知f （x ）＝lnx ﹣ax （x ﹣1），函数定义域为（0，+∞），可得f ′(x)=1x −2ax +a =−2ax 2+ax+1x，因为二次函数y ＝﹣2ax 2+ax +1的判别式的对称轴为x =14，且Δ＝a 2+8a ，当a ＞0时，二次函数y ＝﹣2ax 2+ax +1的图象开口向下，此时Δ＞0，所以f ′（x ）在（0，+∞）上有1个零点，当a ＝0时，f ′(x)=1x在（0，+∞）上无零点；当a ＜0时，二次函数y ＝﹣2ax 2+ax +1的图象开口向上，当Δ＜0，即﹣8＜a ＜0时，f ′（x ）在（0，+∞）上无零点，当Δ＝0，即a ＝﹣8时，f ′（x ）在（0，+∞）上有1个零点14，当Δ＞0，即a ＜﹣8时，f ′（x ）在（0，+∞）有2个不同的零点，综上，当﹣8＜a ＜0时，f ′（x ）在（0，+∞）上无零点；当a ＝﹣8时，f ′（x ）在（0，+∞）上有1个的零点；当a ＜﹣8时，f ′（x ）在（0，+∞）有2个不同的零点；（2）证明：由（1）得，当a ＞0时，f ′（x ）在（0，+∞）上有1个零点，不妨设零点为x0，此时ax02=ax0+12，解得x0=a+√a2+8a4a，当0＜x＜x0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞x0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以f(x)≤f(x0)=lnx0−ax0(x0−1)=lnx0−ax02+ax0=lnx0−ax0+12+ax0=lnx0+ax0−12，不妨设g（x）＝lnx﹣（x﹣1），函数定义域为（0，+∞），可得g′（x）=1x−1=1−xx，当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以当x＝1时，函数g（x）取得最大值，最大值g（1）＝0，则lnx﹣（x﹣1）≤0成立，此时lnx0+ax0−12≤（x0﹣1）+ax0−12=(a+2)x02−32=(2+a)a+√a2+8a4a2−32=2+a√a+8a−a32．故f(x)⩽√a2+8a−a 3 2．19．（17分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点M与两定点Q，P的距离之比|MQ||MP|=λ(λ＞0，λ≠1)，λ是一个常数，那么动点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ上．已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x2+y2＝4，定点分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点F与右顶点A，且椭圆C的离心率为e=12．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过右焦点F斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆C相交于B，D（点B在x轴上方），点S，T 是椭圆C上异于B，D的两点，SF平分∠BSD，TF平分∠BTD．（ⅰ）求|BS||DS|的取值范围；（ⅱ）将点S、F、T看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT外接圆的面积为81π8，求直线l的方程．解：（1）设M（x，y），由题意|MF||MA|=√(x−c)2+y2√(x−a)2+y2=λ（常数），整理得x2+y2+2x−2aλ2λ2−1x+λ2a2−c2λ2−1=0，故{2c−2aλ2λ2−1=0λ2a2−c2λ2−1=−4，又ca=12，解得a=2√2，c=√2．∴b2＝a2﹣c2＝6，椭圆C的方程为x28+y26=1．（2）（ⅰ）由S△SBFS△SDF=12|SB|⋅|SF|⋅sin∠BSF12|SD|⋅|SF|⋅sin∠DSF=|SB||SD|，又S△SBFS△SDF=|BF||DF|，∴|BS||DS|=|BF||DF|，（或由角平分线定理得）令|BF||DF|=λ，则BF→=λFD→，设D（x0，y0），则有3x02+4y02=24，又直线l的斜率k＞0，则x0∈(−2√2，√2)，{x B=√2(λ+1)−λx0y B=−λy0，代入3x2+4y2﹣24＝0，得3[√2(1+λ)−λx0]2+4λ2y02−24=0，即(λ+1)(5λ−3−√2λx0)=0，∵λ＞0，∴λ=35−√2x0∈(13，1)．（ⅱ）由（ⅰ）知，|SB||SD|=|TB||TD|=|BF||DF|，由阿波罗尼斯圆定义知，S，T，F在以B，D为定点得阿波罗尼斯圆上，设该圆圆心为C1，半径为r，与直线l的另一个交点为N，则有|BF||DF|=|NB||ND|，即|BF||DF|=2r−|BF|2r+|DF|，解得r=11|BF|−1|DF|．又S圆C1=πr2=818π，故r=922，∴1|BF|−1|DF|=2√29，又|DF|=√(x0−√2)2+y02=√(x0−√2)2+6−34x02=2√2−12x0，∴1|BF|−1|DF|=1λ|DF|−1|DF|=√2x03(2√2−12x0)−2√2−12x0=√2x03(2√2−12x0)=2√29，解得x0=−√22，y0=−√6−34x02=−3√104，∴k=0√2−x0=√52，∴直线l的方程为y=√52x−√102．。

2025届安徽省太和一中、灵璧中学高三下学期联考数学试题含解析

2025届安徽省太和一中、灵璧中学高三下学期联考数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若函数()2xf x e mx =-有且只有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是（）A ．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,4e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦2．设向量a ，b 满足2=a ，1b =，,60a b =，则a tb +的取值范围是 A ．)2,⎡+∞⎣B ．)3,⎡+∞⎣C ．2,6⎡⎤⎣⎦D ．3,6⎡⎤⎣⎦3．双曲线C ：2215x y m-=（0m >），左焦点到渐近线的距离为2，则双曲线C 的渐近线方程为（） A ．250x y ±=B ．250x y ±=C ．520x y ±=D ．50x y ±=4．若复数z 满足1z =，则z i -（其中i 为虚数单位）的最大值为（） A ．1B ．2C ．3D ．45．已知双曲线()222:10y C x b b-=>的一条渐近线方程为22y x =，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，点P在双曲线C 上，且13PF =，则2PF =( ) A ．9B ．5C ．2或9D ．1或56．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31425a a a =+=，，则6S =（） A ．10B ．9C ．8D ．77．已知向量()1,3a =，b 是单位向量，若3a b -=，则,a b =（） A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 8．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为，则①处应填的数字为A ．B ．C ．D ．9．一个四面体所有棱长都是4，四个顶点在同一个球上，则球的表面积为（） A ．24πB ．86πC ．433πD ．12π10．已知集合{}15{|},|2M x x N x x =-≤<=<，则MN =（）A ．{|12}x x -≤<B ．{}|25x x -<<C ．{|15}x x -≤<D ．{}|02x x <<11．已知函数()cos(2)(0)f x A x ϕϕ=+>的图像向右平移8π个单位长度后，得到的图像关于y 轴对称，(0)1f =，当ϕ取得最小值时，函数()f x 的解析式为（） A ．()2cos(2)4f x x π=+B ．()cos(2)4f x x π=+ C ．()2cos(2)4f x x π=-D ．()cos(2)4f x x π=-12．已知a ，b ，R c ∈，a b c >>，0a b c ++=．若实数x ，y 满足不等式组040x x y bx ay c ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≥⎩，则目标函数2z x y=+（）A ．有最大值，无最小值B ．有最大值，有最小值C ．无最大值，有最小值D ．无最大值，无最小值二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

安徽名校大联考三数学试题及答案

安徽名校大联考三数学试题及答案一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x + 1$，下列结论正确的是（）A. $f(x)$在$(-\infty, +\infty)$上单调递增B. $f(x)$在$(-\infty, +\infty)$上单调递减C. $f(x)$在$(-\infty, 1)$上单调递减，在$(1,+\infty)$上单调递增D. $f(x)$在$(-\infty, -1)$上单调递增，在$(-1,+\infty)$上单调递减2. 若$f(x) = x^2 + ax + b$（$a \neq 0$）有两个实数根，则$a^2 - 4b$的取值范围是（）A. $(-\infty, 0]$B. $[0, +\infty)$C. $(-\infty, 4]$D. $[4, +\infty)$3. 已知函数$f(x) = \sqrt{1 + x^2}$，则$f(x)$在$(-\infty, +\infty)$上是（）A. 增函数B. 减函数C. 非奇非偶函数D. 奇函数4. 若函数$g(x) = \frac{1}{x}$（$x \neq 0$）的图像关于原点对称，则下列结论正确的是（）A. $g(x)$是奇函数B. $g(x)$是偶函数C. $g(x)$既不是奇函数也不是偶函数D. 无法确定5. 设函数$h(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 8$，则$h(x)$的极值点为（）A. $x = -2$B. $x = 1$C. $x = 2$D. $x = 4$二、填空题（每题10分，共40分）6. 已知函数$f(x) = x^2 - 2x + 1$，则$f(x)$的顶点坐标为________。

7. 若函数$g(x) = \sqrt{ax^2 + bx + c}$（$a \neq 0$）的定义域为$(-\infty, +\infty)$，则$a$、$b$、$c$应满足的条件是________。

安徽省“江淮十校”2025届高三六校第一次联考数学试卷含解析

安徽省“江淮十校”2025届高三六校第一次联考数学试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去、、A B C 三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为（） A ．8B ．7C ．6D ．52．若0,0x y >>，则“222x y xy +=”的一个充分不必要条件是 A ．x y = B ．2x y = C ．2x =且1y =D ．x y =或1y =3．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（）A ．1213B ．1314C ．2129D ．14154．已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，5PA =E 为PC 的中点，则异面直线BE 与PD 所成角的余弦值为（） A ．1339-B ．1339C ．15D ．1555．已知函数()sin(2019)cos(2019)44f x x x ππ=++-的最大值为M ，若存在实数,m n ，使得对任意实数x 总有()()()f m f x f n ≤≤成立，则M m n ⋅-的最小值为（）A ．2019πB ．22019πC ．42019πD ．4038π6．已知1sin 243απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α的值等于（） A ．79-B ．29-C ．29D ．797．若复数z 满足3(1)1z z i -+=，复数z 的共轭复数是z ，则z z +=（） A ．1B ．0C ．1-D ．1322i -+ 8．直线1y kx =+与抛物线C ：24x y =交于A ，B 两点，直线//l AB ，且l 与C 相切，切点为P ，记PAB 的面积为S ，则S AB -的最小值为( ) A ．94-B ．274-C ．3227-D ．6427-9．函数()1ln1xf x x-=+的大致图像为（） A ． B ．C ．D ．10．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（） A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种11．已知函数13log ,0()1,03x x x f x a x >⎧⎪⎪=⎨⎛⎫⎪⋅≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程[()]0f f x =有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是（） A ．(,0)(0,1)-∞ B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ C ．(,0)-∞D ．(0,1)(1,)⋃+∞12．已知方程1x x y y +=-表示的曲线为()y f x =的图象，对于函数()y f x =有如下结论：①()f x 在()+-∞∞，上单调递减；②函数()()F x f x x =+至少存在一个零点；③()y f x =的最大值为1；④若函数()g x 和()f x 图象关于原点对称，则()y g x =由方程1y y x x +=所确定；则正确命题序号为( ) A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

安徽省部分学校2024-2025学年高三上学期8月联考试题数学含答案

2024～2025学年（上）安徽高三8月份联考数学（答案在最后）考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z 满足23z z +=-（i 为虚数单位），则z =（）．A.1+B.1C.1-D.1-2.已知向量()2,1a = ，()2,b m m =- ，若a b ∥ ，则m =（）．A.4- B.2- C.2D.43.在等比数列{}n a 中，若23138a a a =，则48a a =（）．A.2B. C.4D.84.设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若a α⊂，b β⊂，αβ⊥，则“a β⊥”是“a b ⊥r r”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知集合()(){},ln 1A x y y x ==+，(){}22,1B x y xy =+=，则A B ⋂中的元素个数为（）．A.1B.2C.3D.46.22π7πsinsin 1212-=（）．A.2B.12C.12-D.2-7.某公司进行招聘，甲、乙、丙被录取的概率分别为23，45，34，且他们是否被录取互不影响，若甲、乙、丙三人中恰有两人被录取，则甲被录取的概率为（）．A.1013B.23 C.713D.7308.已知双曲线()222:10y C x b b-=>的左焦点为F ，过坐标原点O 作C 的一条渐近线的垂线l ，直线l 与C交于A ，B 两点，若ABF △的面积为3，则C 的离心率为（）．A.3B.C.2D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知椭圆22:416C x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是C 上的任意一点，则（）A.C 的离心率为12B.128PF PF +=C.1PF 的最大值为4+D.使12F PF ∠为直角的点P 有4个10.若01a b <<<，则（）．A.a b +>+B.cos sin a b >C .log a bb a>D.ln ln a b a b-<-11.在四棱锥S ABCD -中，已知底面ABCD 为梯形，2222AD AB BC CD SD =====，AS =，则下列说法正确的是（）．A.四边形ABCD 的面积为4B.棱SB 的长度可能为C.若SD AB ⊥，则点A 到平面SBD 的距离为1D.若SD AB ⊥，则四棱锥S ABCD -外接球的半径为2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.甲、乙、丙、丁4名老师分到3所不同的乡村学校支教，若每名老师只去一所学校，每所学校都有老师去，且甲不和别的老师去同一所学校，则不同的支教分派方案有__________种．13.已知函数()()cos f x x ωϕ=+在区间24,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且42233f f ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()2f =__________．14.在平面直角坐标系xOy 中，M 为曲线ln xy x=上一点且位于第一象限，将线段OM 绕x 轴旋转一周，得到一个圆锥的侧面，再将其展开成扇形，则该扇形的圆心角的最大值为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，PD AD ⊥．（1）证明：⊥BC 平面PCD ；（2）若4PA =，E 为棱PC 的中点，求直线PC 与平面ABE 所成角的正弦值．16.在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知12cos sin 2sin sin BC A B=+．（1）求C ；（2）若32a b c +=且3a =，求ABC V 的外接圆半径．17.已知抛物线()2:20E y px p =>的焦点为F ，过点F 且互相垂直的两条动直线分别与E 交于点A ，B和点C ，D ，当AB CD =时，8AB =．（1）求E 的方程；（2）设线段AB ，CD 的中点分别为M ，N ，若直线AB 的斜率为正，且18FN FM=，求直线AB 和CD 的方程．18.无人驾驶被视为推动社会进步和改善生活质量的重要工具，但其安全性和对劳动就业的影响也受到人们的质疑．为了解某大学的学生对无人驾驶的态度，随机调查了该校96名大学生，调查结果如下表所示：对无人驾驶的态度支持中立反对频数483216用样本的频率分布估计该校每名学生对无人驾驶态度的概率分布，且学生的态度相互独立．为衡量学生对无人驾驶的支持程度，每名支持者得5分，每名中立者得3分，每名反对者得1分．（1）从该校任选2名学生，求他们的得分不相同的概率．（2）从该校任选3名学生，求他们的得分之和为7的概率．（3）从该校任选n 名学生，其中得分为5的学生人数为X ，若30.944nn P X ⎛⎫≤≤≥ ⎪⎝⎭，利用下面所给的两个结论，求正整数n 的最小值．结论一：若随机变量(),B n p ξ ，则随机变量η=近似服从正态分布()0,1N ；结论二：若随机变量()0,1N ξ ，则()1.280.9P ξ≤≈，()1.650.95P ξ≤≈．19.已知函数()221ln 11x x f x x x x -=--+-．（1）求()f x 的定义域；（2）求()f x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上的零点个数；（3）设10,2k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，证明：()()()22211111nk k k k k k -+++<+-L ．附：()()2222211ln 111x x x x x x x '⎛⎫-+= ⎪+--+-⎝⎭，()()22212ln 111x x x x x x x x '--⎛⎫= ⎪+--+-⎝⎭．2024～2025学年（上）安徽高三8月份联考数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】BCD 【10题答案】【答案】AD 【11题答案】【答案】AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】18【13题答案】【答案】12##0.5【14题答案】【答案】24e 1+四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）证明见详解（2）5【16题答案】【答案】（1）2π3C =（2）3【17题答案】【答案】（1）24y x=（2）:210AB x y --=，:220CD x y +-=【18题答案】【答案】（1）1118（2）772（3）11【19题答案】【答案】（1）(),111122,,⎛⎛⎫+-∞--+∞ ⎝⎭⎝⎭（2）1（3）证明见解析。

安徽省江南十校2024届高三3月联考数学试卷含答案

2024届安徽省“江南十校”联考数学（答案在最后）姓名__________座位号__________注意事项：1.答卷前，考生务必将自已的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}221,10x A x B x x =≥=->∣∣，则A B ⋃=（）A.{}11x x -<< B.{}01x x ≤< C.{}1x x >- D.{}0x x ≥【答案】C 【解析】【分析】根据指数函数的单调性，结合一元二次不等式的解法、集合并集的定义进行求解即可.【详解】因为{}{}{}{}2210,1011xA x x xB x x x x =≥=≥=->=-<<，所以A B ⋃={}1x x >-，故选：C2.已知复数z 满足()12i 43i z +=+，则z =（）A.2i + B.2i- C.2i 5-+ D.2i 5--【答案】A 【解析】【分析】根据复数的除法和共轭复数的概念即可得到答案.【详解】()()()()43i 12i 43i 105i2i 12i 12i 12i 5z +-+-====-++-,所以2i z =+.故选：A.3.已知向量,a b 满足()()1,,3,1a b m a b +=-= .若//a b ，则实数m =（）A.13-B.13C.3D.-3【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，求出,a b的坐标，再利用向量共线的坐标表示计算即得.【详解】由()()1,,3,1a b m a b +=-= ，得11(2,),(1,)22m m a b +-==- ，由//a b，得112022m m -+⋅+=，所以13m =.故选：B4.已知函数π()3sin(2)(||)2f x x ϕϕ=+<的图象向右平移π6个单位长度后，得到函数()g x 的图象.若()g x 是偶函数，则ϕ为（）A.π6B.π6-C.π3D.π3-【答案】B 【解析】【分析】利用给定的图象变换求出()g x 的解析式，再利用正弦函数的奇偶性列式计算即得.【详解】依题意，()ππ3sin 263g x f x x ϕ⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由()g x 是偶函数，得πππ,Z 32k k ϕ-+=+∈，而π||2ϕ<，则π1,6k ϕ=-=-.故选：B5.酒驾严重危害交通安全.为了保障交通安全，交通法规定：机动车驾驶人每100ml 血液中酒精含量达到2079mg 为酒后驾车，80mg 及以上为醉酒驾车.若某机动车驾驶员饮酒后，其血液中酒精含量上升到了1.2m g /m l .假设他停止饮酒后，其血液中酒精含量以每小时20%的速度减少，则他能驾驶需要的时间至少为（）（精确到0.001.参考数据：lg20.3010,lg30.4771≈≈）A.7.963小时B.8.005小时C.8.022小时D.8.105小时【答案】C 【解析】【分析】根据题意列出指数不等式，根据对数运算法则即可计算.【详解】由已知得：1.20.80.2x ⨯<，所以lg 6lg 2lg 313lg 213lg 2x +>=--，即0.30100.47710.77818.022130.30100.0970x +>=≈-⨯，所以8.022x >故选：C.6.已知函数()1ln f x x x=-在点()1,1-处的切线与曲线()212y ax a x =+--只有一个公共点，则实数a 的取值范围为（）A.{}1,9 B.{}0,1,9 C.{}1,9-- D.{}0,1,9--【答案】B 【解析】【分析】求出切线方程，再对a 分0a =和0a ≠讨论即可.【详解】由211()f x x x'=+得(1)2f '=，所以切线方程是2(1)123y x x =--=-，①若0a =，则曲线为2y x =--，显然切线与该曲线只有一个公共点，②若0a ≠，则223(1)2x ax a x -=+--，即2(3)10ax a x +-+=，由2(3)40a a ∆=--=，即21090a a -+=，得1a =或9a =，综上:0a =或1a =或9a =.故选：B.7.已知圆22:8120C x y x +-+=，点M .过原点的直线与圆C 相交于两个不同的点,A B ，则||MA MB +的取值范围为（）A.2)-+B.2]+ C.4)-+ D.4]+【答案】D 【解析】【分析】取线段AB 的中点P ，求出点P 的轨迹方程，再利用平面向量数量积的运算律及圆的性质求解即得.【详解】圆22:(4)4C x y -+=的圆心(4,0)C ，半径为2，取线段AB 的中点P ，连接CP ，当P 与圆C 的圆心C 不重合时，CP OP ⊥，点P 在以线段OC 为直径的圆在圆C 内的圆弧上，当P 与C 重合时，也在此圆弧上，因此点P 的轨迹是以线段OC 为直径的圆在圆C 内的圆弧，圆弧所在圆心为()2,0，方程为22(2)4(34)x y x -+=<≤，显然|||2|M MA MB P += ，过点M 与点(2,0)的直线斜率12k =-，过点M与点3(,的直线斜率23k =-，显然21k k <，即过点M 与点(2,0)的直线与该圆弧相交，因此max ||22MP == ，点M与点的距离为3，则||3MP > ，所以||MA MB +的取值范围为4]+.故选：D8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且111,1,1n n n n a S n a b a +=+==+，则使得n T M <恒成立的实数M 的最小值为（）A.1B.32 C.76D.2【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出数列{}1n a +的通项，再利用等比数列前n 项和公式求出n T 即可得解.【详解】数列{}n a 中，11a =，1n n a S n +=+，当2n ≥时，11n n a S n -=+-，两式相减得11n n n a a a +-=+，即121n n a a +=+，整理得112(1)n n a a ++=+，而211112a S a =+=+=，因此数列{}(2)1n a n +≥是首项为3，公比为2的等比数列，2132n n a -+=⨯，11a =不满足上式，则111112b a ==+，当2n ≥时，21132n n b -=⨯，1211111211721232332612n n n T ---=+⨯=+-⨯<-，而111726T b ==<，依题意，76M ≥，所以实数M 的最小值为76.故选：C【点睛】思路点睛：给出n S 与n a 的递推关系，求n a ，常用思路是：一是利用1n n n S S a +-=转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a .二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.箱线图是用来表示一组或多组数据分布情况的统计图，因形似箱子而得名.在箱线图中（如图1），箱体中部的粗实线表示中位数；中间箱体的上､下底，分别是数据的上四分位数（75%分位数）和下四分位数（25%分位数）；整个箱体的高度为四分位距；位于最下面和最上面的实横线分别表示最小值和最大值（有时候箱子外部会有一些点，它们是数据中的异常值）.图2为某地区2023年5月和6月的空气质量指数（AQI ）箱线图.AQI 值越小，空气质量越好；AQI 值超过200，说明污染严重.则（）A.该地区2023年5月有严重污染天气B.该地区2023年6月的AQI 值比5月的AQI 值集中C.该地区2023年5月的AQI 值比6月的AQI 值集中D.从整体上看，该地区2023年5月的空气质量略好于6月【答案】ACD 【解析】【分析】根据给定信息，结合图示，逐项判断即得.【详解】对于A ，图2所示中5月份有AQI 值超过200的异常值，A 正确；对于B ，C ，图2中5月份的箱体高度比6月份的箱体高度小，说明5月的AQI 值比6月的AQI 值集中，B 错误，C 正确；对于D ，虽然5月有严重污染天气，但从图2所示中5月份箱体整体上比6月份箱体偏下且箱体高度小，AQI 值整体集中于较小值，说明从整体上看，该地区2023年5月的空气质量略好于6月，D 正确.故选：ACD10.已知抛物线2:2E y px =的焦点为F ，从点F 发出的光线经过抛物线上的点P （原点除外）反射，则反射光线平行于x 轴.经过点F 且垂直于x 轴的直线交抛物线E 于,B C 两点，经过点P 且垂直于x 轴的直线交x 轴于点Q ；抛物线E 在点P 处的切线l 与,x y 轴分别交于点,M N ，则（）A.2||PQ BF QF=⋅ B.2||PQ BC OQ=⋅C.PF MF = D.FN l⊥【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，得到各线段的长度，从而判断AB ，利用抛物线光学性质，结合抛物线的定义判断CD.【详解】对于AB ，设点(,)P x y ，则(,0)Q x ，y =，则||PQ =,2pBF p QF x ==-，所以2||22pPQ px px BF QF =≠-=⋅，故A 错误；又||2,||BC p OQ x ==，则2||2PQ px BC OQ ==⋅，故B 正确；对于C ，如下图所示，过点P 作x 轴的平行线RH ，与抛物线E 的准线KH 交于点H ，又题意所给抛物线的光学性质可得SPR MPF ∠=∠，又SPR PMF ∠=∠，所以MPF PMF ∠=∠，从而||||PF MF =，故C 正确；对于D ，因为SPR HPM ∠=∠，所以MPF HPM ∠=∠，即PM 为HPF ∠的角平分线，又由抛物线定义知PH PF =，结合||||PF MF =，可得四边形MFPH 为菱形，而y 轴经过线段FH 中点，从而PM 与y 轴的交点即为点N ，所以FN l ⊥，故D 正确.故选：BCD.11.已知点,,,S A B C均在半径为的球面上，ABC是边长为的等边三角形，SA BC ⊥，SA =，则三棱锥S ABC -的体积可以为（）A.3B.C.D.【答案】BC 【解析】【分析】利用线线垂直构造面面垂直结合三棱锥的外接球特征分类讨论计算即可.【详解】取,BC SA 的中点,D F ，设三棱锥S ABC -的外接球球心为O，半径R =作⊥EO AD 于E ，连接,,AO AD OF ，易知,,AD BC AS AD A AS AD ⊥⋂=⊂、平面ADS ，因为SA BC ⊥，所以BC ⊥平面ADS ，又BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC⊥平面ADS ，作⊥SG AD 于G 点，平面ABC ⋂平面ADS AD =，则SG ⊥平面ABC ，故三棱锥S ABC -的体积为211334ABC V S SG AB SG =⋅=⨯⨯⨯= ，由题意可知22,1,32AE AD OA OE OF ===⇒===，即11tan ,tan 23OAE OAF ∠=∠=，若S 在直线AO 的下方，则()111323tan tan 1175123SAD EAO FAO SG -∠=∠-∠====+⨯，若S 在直线AO 的上方，则()1123tan tan 1311123SAD EAO FAO SG +∠=∠+∠====-⨯，综上所述V =或335.故选：BC【点睛】思路点睛：先根据条件得出球心与S 点所在平面垂直于底面ABC ，再根据三棱锥的外接球性质及勾股定理计算夹角,OAE OAF ∠∠，最后分类讨论S 点的位置计算三棱锥的高即可.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.从0,2,4,6中任意选1个数字，从1,3,5中任意选2个数字，得到没有重复数字的三位数.在所组成的三位数中任选一个，则该数是偶数的概率为__________.【答案】411【解析】【分析】根据两个计数原理及古典概型计算即可.【详解】根据题意可知：若从0,2,4,6中任意选1个不为0的数字有13C 3=种选法，从1,3,5中任意选2个数字有23C 3=种选法，由选出的3个数字组成三位数有3！种组法，共333!54⨯⨯=种方法，其中偶数有1233C A 18⨯=个；若从0,2,4,6中选0，再从1,3,5中任意选2个数字有23C 3=种选法，由选出的3个数字组成三位数有12C 2!4⨯=种组法，共13412⨯⨯=种方法，其中偶数有23A 6=个；所以该数为偶数的概率为1864541211P +==+.故答案为：41113.若函数()2f x +为偶函数，()15y g x =+-是奇函数，且()()22f x g x -+=，则()2023f =__________.【答案】3-【解析】【分析】根据抽象函数的奇偶性、对称性、周期性计算即可.【详解】由题意可知()f x 关于2x =轴对称，()g x 关于()1,5中心对称，()()()()()()2221022228f x g x f x g x f x g x -+=⇒-+--=⇒---=-，所以()()8f x g x -=-，故()()()()262f x f x f x f x +-=-=++，所以()()()()2464f x f x f x f x +++=-⇒=+，即4T =是()f x 的一个正周期，则()()()202331f f f ==由()()()()26136f x f x f f -+=-⇒-+=-，且()()13f f -=，则()13f =-，故答案为：3-14.过双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右焦点F 的直线分别在第一､第二象限交E 的两条渐近线于,M N 两点，且OM MN ⊥.若23OM MN ON a +-=，则双曲线E 的离心率为__________.【答案】【解析】【分析】根据渐近线的斜率与倾斜角的关系，结合正切二倍角的公式、正切的定义、勾股定理、双曲线离心率的公式进行求解即可.【详解】由题意可知该双曲线的渐近线方程为by x a=±，如图所示：令MOF θ∠=，于是有tan b aθ=，由双曲线和两条渐近线的对称性可得：π2MON θ∠=-，因为OM MN ⊥，所以ππππ00π22242MON θθ<∠<⇒<-<⇒<<，即tan 1bb a aθ=>⇒>，在直角三角形MOF 中，设()tan 0,MF bm m MF bm OM am OMaθ===>⇒==，根据勾股定理可得：222222222221MF OM OF b m a m c c m c m +=⇒+=⇒=⇒=，或1m =-舍去，即,MF b OM a ==，在直角三角形MON 中，()222222tan tan π2tan 21bNM NM aba MONb b a OM a a θθ∠=-=-=-===--2222a bNM b a⇒=-，由勾股定理可知：22222222222a b ac ON NM OM a b a b a ⎛⎫=+=+= ⎪--⎝⎭，因为23OM MN ON a +-=，所以()2222222222222226306303a b ac a a b a ab c b a ab a b b a b a +-=⇒-+-=⇒-+-+=--2223230202b bb b a ab a a a ⎛⎫⇒+-=⇒-+=⇒= ⎪⎝⎭，或1b a =舍去，由222222224455b b c a c e a a a a-=⇒=⇒=⇒=⇒=，故答案为：5【点睛】关键点睛：本题的关键是利用二倍角的正切公式、由已知等式化简成为,a b 的齐次方程，进而求出双曲线的离心率.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知,,a b c 分别是ABC 三个内角,,A B C 3sin cos c A a C b c +=+.（1）求A ；（2）若2BC =，将射线BA 和CA 分别绕点,B C 顺时针旋转15 ，30 ，旋转后相交于点D （如图所示），且30DBC ∠= ，求AD .【答案】（1）π3A =（2）63【解析】【分析】（1）根据正弦定理实现边角转化，结合两角和的正弦公式、辅助角公式进行求解即可；（2）根据正弦定理，结合余弦定理、两角和的正弦公式进行求解即可.【小问1详解】根据正弦定理，由3sin cos 3sin sin cos sin sin c A a C b c C A A C B C+=+⇒+=+()3sin sin cos sin πsin C A A C A C C ⇒+=--+()3sin sin cos sin sin C A A C A C C⇒+=++3sin sin cos sin cos cos sin sin C A A C A C A C C ⇒+=++3sin cos sin sin C A A C C ⇒=+，因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，π3sin cos sin sin 3sin cos 12sin 16C A A C C A A A ⎛⎫=+⇒=+⇒-= ⎪⎝⎭π1sin 62A ⎛⎫⇒-= ⎪⎝⎭，因为因为()0,πA ∈，所以ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，因此πππ663A A -=⇒=.【小问2详解】由（1）可知π3A =，由题意可知ππ,126ABD ACD ∠=∠=，而π6DBC ∠=，所以πππ5π5ππ7ππ,4341212612ABC ACB BCD ∠=⇒∠=--=⇒∠=+=π7πππ6124BDC ⇒∠=--=，在ABC中，由正弦定理可知：1232632,π5πππ22223sin sin sin 3126422BC AB AC AB ⎛=⇒=⇒=⨯⨯= ⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭在DBC △中，由正弦定理可知：11π7πππ222222sin sin sin 4123422BC BD AC BD ⎛=⇒=⇒=⨯⨯= ⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭，在DBA中，由余弦定理可知：AD =.3=16.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，1,2,60PB AB AD PD BAD ∠=====.（1）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）若二面角P BD A --的大小为120 ，点E 在棱PD 上，且2PE ED =，求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）65【解析】【分析】（1）根据余弦定理求出BD =，再利用勾股定理逆定理和面面垂直的判定即可；（2）建立合适的空间之间坐标系，求出相关法向量，根据线面角的空间向量求法即可.【小问1详解】证明:由余弦定理得BD =所以222222,AD AB BD PD PB BD =+=+，因此,AB BD PB BD ⊥⊥，又因为,,AB PB B AB PB ⋂=⊂平面PAB ，所以BD ⊥面PAB ，又因为BD ⊂平面ABCD ，故平面PAB ⊥平面ABCD .【小问2详解】由于,AB BD PB BD ⊥⊥，所以二面角P BD A --的平面角为PBA ∠，即120PBA ︒∠=，在平面PAB 内过点B 作AB 的垂线，交AP 于F ，由平面PAB ⊥平面ABCD ，且BF ⊂平面PAB ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，得BF ⊥平面ABCD ，以B 为坐标原点，,,BA BD BF为x ，y ，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，则1(0,0,0),(,0,22B D C P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，由于1(,0,22BC BP ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ 则00n BC n BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即013022x x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，令x =，则1y z ==，所以n =设直线CE 与平面PBC 所成角为θ，2533,,3636CE CP PE CP PD ⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，63sin cos ,5CE n CE n CE nθ⋅∴===⋅，因此直线CE 与平面PBC所成角的正弦值为5.17.某产品的尺寸与标准尺寸的误差绝对值不超过4mm 即视为合格品，否则视为不合格品.假设误差服从正态分布且每件产品是否为合格品相互独立.现随机抽取100件产品，误差的样本均值为0，样本方差为4.用样本估计总体.（1）试估计100件产品中不合格品的件数（精确到1）；（2）在（1）的条件下，现出售随机包装的100箱该产品，每箱均有100件产品.收货方对每箱产品均采取不放回地随机抽取方式进行检验，箱与箱之间的检验相互独立.每箱按以下规则判断是否接受该箱产品：如果抽检的第1件产品不合格，则拒绝该箱产品；如果抽检的第1件产品合格，则再抽1件，如果抽检的第2件产品合格，则接受该箱产品，否则拒绝该箱产品.若该箱产品通过检验后生产方获利1000元；该箱产品被拒绝，则亏损89元.求100箱该产品利润的期望值.附：若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P Z μσμσ-+≈≤≤，()()220.9545,330.9973.P Z P Z μσμσμσμσ-≤≤+≈-≤≤+≈【答案】（1）约为5件；（2）89330元.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用正态分布的概率求出这批产品的合格率即可得估计值.（2）利用互斥事件的概率及条件概率公式求出一箱产品通过的概率，再利用二项分布的期望公式及期望的性质计算即得.【小问1详解】分别用样本均值和样本标准差估计正态分布的参数μ和σ，得产品的尺寸误差2)~(0,2X N ，(||4)(22)0.9545P X P X μσμσ≤=-≤≤+≈，因此估计这批产品的合格率为95.45%，样本的不合格品率为10.95450.0455-=，所以估计100件产品中有1000.0455 4.555⨯=≈件不合格品.【小问2详解】设1A =“抽检的第1件产品不合格”，2A =“抽检的第2件产品不合格”，则一箱产品被拒绝的事件为112)(A A A ，因此1121121121))())((((()(|))P A A A P A P A A P A P A P A A =+=+ 59559710010099990=+⨯=，设100箱产品通过检验的箱数为Y ，则893~(100,990Y B ，因此100箱利润1000(89)(100)10898900W Y Y Y =+--=-，所以平均利润893()(10898900)1089()890010891008900990E W E Y E Y =-=-=⨯⨯89330=（元）.18.已知矩形ABCD 中，,,,AB BC E F G H ==分别是矩形四条边的中点，以矩形中心O 为原点，HF 所在直线为x 轴，EG 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.直线,HF BC 上的动点,R S 满足(),OR OF CS CF λλλ==∈R.（1）求直线ER 与直线GS 交点P 的轨迹方程；（2）当3λ=-时，过点R 的直线m （与x 轴不重合）和点P 轨迹交于,M N 两点，过点N 作直线:3l x =-的垂线，垂足为点Q .设直线MQ 与x 轴交于点K ，求KMN △面积的最大值.【答案】（1）221(62x y +=不含点(0,；（2）34.【解析】【分析】（1）根据给定条件，借助向量共线用λ表示点,R S ，再求出直线,ER GS 的方程，联立消去参数λ即得.（2）设出直线m 的方程，与点P 的轨迹方程联立，借助韦达定理求出点K 坐标，再建立三角形面积的函数关系，并求出最大值即得.【小问1详解】依题意，(()0,,,,E G FC ，设点)(,),(,0),R S P x y R x S y ，由OR OF λ=，得R x =，即,0)R ，由CS CF λ=，得)S y λ=-，即))S λ-，当0λ≠时，直线:ER y x =，直线:GS y x =+，联立消去参数λ得21(3y y x +-=-，即221(0)62x y x +=≠，当0λ=时，得交点P ，满足上述方程，所以直线ER 与直线GS 交点P 的轨迹方程:221(62x y +=不含点(0,.【小问2详解】当3λ=-时，点(2,0)R -，过点R 的直线m可设为2(x ty t =-≠，由22236x ty x y =-⎧⎨+=⎩消去x 得：22(2)36ty y -+=，即22(3)420t y ty +--=，设1112)(,,)(,M x y N x y ，则12122242,33t y y y y t t -+==++，依题意，2()3,Q y -，直线1221:(3)3y y MQ y y x x --=++，令0y =，得点K 横坐标()212111212333K y x y x y x y y y y -+--=-=--，又111212)2,2(x ty ty y y y =-=-+，则122112211122112121212155(23(2)32352222)Ky y y y y y y ty y ty y y y x y y y y y y y y ++--+----+-=====-----，因此直线MQ 过定点5(,0)2K -，显然1212||11||||24KMN S KR y y y y =-=- ，而12||y y-===，令21(1)n t n=+≥，12y y-==≤=当且仅当2n=，即1t=±取等号，此时4KMNS=，所以KMN△面积的最大值为4.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.19.已知函数()()()e,,xf x x a x a f x=--∈'R是()f x的导函数.（1）证明：()f x'在(),-∞+∞上存在唯一零点x；（2）设函数()()2211e12xg x x ax x x⎛⎫=-+-++⎪⎝⎭.①当e4,2a∞-⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭时，求函数()g x的单调区间；②当e4,2a∞-⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，讨论函数()g x零点的个数.【答案】（1）证明见解析；（2）①答案见解析；②只一个零点.【解析】【分析】（1）对函数求导，构造()()1e xh x x a-=-+-利用其单调性结合零点存在性定理计算即可证明；（2）①先求导函数，构造()()1e xh x x a-=-+-，利用其单调性及()10h-<，得出1x>-，从而判定单调区间；②利用（1）、①的结论，分类讨论函数的单调性，极大值与0的关系判定零点个数即可.【小问1详解】由题意可知()()1e 1xf x x a +'=--，由()01e 0xf x x a -+'=⇒--=，令()1e xh x x a -=-+-，易知()y h x =在R 上单调递增，又11(1)0e a h a --=-<，若0a ≥，由于11a a +>-且11(1)20ea h a ++=->；若a<0，由于1a a ->-且11()12120e e a ah a a a --⎛⎫-=--=-->⎪⎝⎭；所以在(),-∞+∞上存在唯一零点0x ，使得()00h x =，即()f x '在(),-∞+∞上存在唯一零点0x ；【小问2详解】①当e 4,2a ∞-⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭时，易知()()()()221e 1x g x x a x a x =+-+--+'()()11e e x xx x a -⎡⎤=+-+-⎣⎦，由（1）知()1e xh x x a -=-+-单调递增，且只存在一个零点0x ，注意到()3e 41e 02h a --=--≤-<，所以01x >-，可得在区间(),1-∞-和()0,x +∞上，()0g x '>，即此时()g x 单调递增，在()01,x -上，()0g x '<，即此时()g x 单调递减；②易知()00g =，即()g x 的一个零点为0x =，（i ）当e 4e,2a -⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，由上可知()1e 0h a -=--<，即01x >-，此时在区间(),1-∞-和()0,x +∞上，()0g x '>，()g x 单调递增，在()01,x -上，()0g x '<，()g x 单调递减，则=1x -时取得极大值()24e102ea g +--=<，又()()()22252e 59e e 50g a =-->-->，即此时()g x 的零点只一个为0x =；（ii ）当a e =-时，易知01x =-，此时()0g x '≥，则()g x 在R 上单调递增，所以此时()g x 的零点只一个为0x =；（iii ）当e a <-时，易知01x <-，此时在区间()0,x -∞和()1,-+∞上，()0g x '<，()g x 单调递增，在()0,1x -上，()0g x '<，()g x 单调递减，则0x x =时取得极大值()()()002222000000000111e 1e 1e 122xx g x x ax x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-++<++-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为01x <-，所以()()2200111111022x x ++>⨯-+-+>，若200e 10x x ++≤，则()02200001e 1e 102xx x x x ⎛⎫++-++<⎪⎝⎭，若200e 10x x ++>，则()02200001e 1e 12xx x x x ⎛⎫++-++⎪⎝⎭()22000011e 11e 2x x x x ⎛⎫<++⨯-++ ⎪⎝⎭()()0220000e 2111e 110222x x x x x --⎛⎫<++⨯-++=< ⎪⎝⎭，所以()00g x <，同上此时()g x 的零点只一个为0x =；综上所述：()g x 的零点只一个为0x =.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.。

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2012届安徽名校高三第五次联考卷
数学(理)试题
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.全卷满分150分，考试时间：120分钟。

所有答案均要答在答题卷上，否则无效。

考试结束后只交答题卷.
第I卷（选择题共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的明个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 设，其中i为虚数单位，，则以a=( )
A. 1-i
B. 1 +i
C. 2-2i
D. 2 + 2i
2. 双曲线的实轴长是（）
A. 2
B.
C. 4
D.
3. 己知集合I、A、B的关系如图，则I、A、B的关系为（）
A.
B.
C.
D.
4. 已知函数，则的单调递增区间是（）
A. B.
C. D.
5. 若正项数列满足，如，则=( )
A. B. 1 C. D. 2
6. 曲线与直线的交点个数逛（）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
7. 右图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于（）
A.
B.
C.
D.
8. 在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式给定。

则区域D的面积等于（）
A. 2
B. 4
C.
D. 8
9. 的展开式中合并同类项后共有（）
A. 28项
B. 35项
C. 42项
D. 56项
10. 已知集合J= {直线},集合万={平面},集合，若，则下列命题中正确的是（）
A. B. C. D.
第II卷（非选择题共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把正确答案写在答题卷上。

）
11. 已知随机变量服从正态分布，则=________
12. 极坐标系下，直线与圆的公共点个数
是________.
13. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是________.
14设F1、F2分别为双曲线C:(a，b>0)的左右焦点，A为双
曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐近线于M、N两点,
且满足,则该双曲线的离心率为________.
15. 实数x,y满足，且
则
的取值范围是________
三、解答题（共大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16 已知I,且满足。

(1)求，的值。

(2)若，且，求。

17. 已知函数的图象过原点，且关于点（-1,2)成中心对称.
(1) 求函数的解析式：
(2) 若数列满足，试证明数列为等比数列并求出数列
的通项公式。

18. 正三角形ABC边长2,CD为AB边上的高，现将ΔABC沿CD翻折，使，已知
E、F分别为A C、BC中点，
(1) 判断翻折后直线力及与面的位置关系，并说明理由
(2) 求二面角B-AC-D的余弦值
(3)求点C到而DM的距离
19. 合肥市科技馆的“亲身体验静电”活动展台前有8名同学在排队，依次参加体验，其中3名女生，5名男生。

其他同学暂时不参加该项活动，这8个同学都将在参加完活动后才离开。

每位同学上台参加活动前，总是喜欢看看还有几位同学排在自己后面。

现在，用表示三名女生中，最后那位参加活动的女生上台时，她身后还没有参加活动的男生数。

(1) 求数学期望
(2) 求概率
20. 已知函数
(1) 求函数的单调区间
(2) 证明：恒成立。

21. 已知是x,y轴正方向的单位向量，设，且满足
(1) 求点的轨迹C的方程；
(2) 设点F(0,1)，点A，B，C，D在曲线C上，若与共线，与共线，且
.求四边形ABCD的面积的最小值和最大值.。