上海2021年九年级数学·一模考试(青浦)

青浦区2020学年第一学期九年级期终学业质量调研测试
数学试卷 Q2021.1
（完成时间：100分钟 满分：150分）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在
草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算
的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每小题4分，满分24分）
[每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂]
1．已知线段AB =2，P 是线段AB 的黄金分割点，AP>PB ，那么线段AP 的长度等于（ ） （A
）
1
2
； （B
1； （C
； （D
）3． 2．如图，已知BD 与CE 相交于点A ，DE ∥BC ，如果AD =2，AB =3， AC =6，那么AE 等于（ ） （A ）
125
； （B ）
185
； （C ）4；
（D ）9． 3．在Rt △ABC 中，∠C =90º，那么cos A 等于（ ） （A ）
BC AB
； （B ）
AC
AB ； （C ）
BC AC ； （D ）AC
BC ． 4．抛物线 的顶点坐标是（ ）
（A ）（2，-3）； （B ）（-2，-3）； （C ）（2，3）； （D ）（-2，3）． 5．已知+=a b c ，2-=a b c ，且0≠c ，下列说法中，不正确的是（ ）
（A ）||3||=a b ； （B ） a ∥b ； （C ）30+=a b ； （D ） a 与b 方向相同．
6．如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，DE ∥BC ，DF ∥AC ，联结BE ，
BE 与DF 相交于点G ，则下列结论一定正确的是（ ） （A ）
AD DE
DB BC
=； （B ）
AE BF
AC BC
=；（C ）
BD BF
AD DE
=；（D ）
DG BF
GF FC
=． E
D
C
B
A G
F E D
C
B
A （第2题图）
（第6题图）
()2
23y x =---
二、填空题：（本大题共12题，每小题4分，满分48分） [请将结果直接填入答题纸的相应位置] 7． 如果 ，那么 ▲ ．
8． 计算：43(2)--a a b = ▲ ．
9． 如果两个相似三角形的周长比为2∶3，那么它们的对应角平分线的比为 ▲ ． 10．将抛物线2
y x =-向上平移2个单位，所得抛物线的表达式是 ▲ ． 11．抛物线2
23y x =-在y 轴左侧的部分是 ▲ ．（填“上升”或“下降”） 12．二次函数2+2y x x m =+图像上的最低点的横坐标为 ▲ ． 13．在△ABC 中，∠C =90º，如果cot ∠A=2，BC =3，那么AC = ▲ ． 14．小明在楼上点A 处看到楼下点B 处的小丽的俯角是32°，那么点B 处
的小丽看点A 处的小明的仰角是 ▲ 度．
15．直角三角形的重心到斜边中点的距离为2，那么该直角三角形的
斜边长为 ▲ ．
16．如图，A 、B 、C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长相同，
那么∠BAC 的正弦值为 ▲ ．
17．如图，在△ABC 中，点D 是边BC 的中点，直线DF 交边AC
于点F ，交AB 的延长线于点E ，如果CF ∶CA=a ∶b ，那么 BE ∶AE 的值为 ▲ ．（用含a 、b 的式子表示）
18．如果四边形边上的点，它与对边两个端点的连线将这个四边形分成的三个三角形都相似，我
们就把这个点叫做该四边形的“强相似点”．如图①，在四边形ABCD 中，点Q 在边AD 上，如果△QAB 、△QBC 和△QDC 都相似，那么点Q 就是四边形ABCD 的“强相似点”；如图②，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=2，BC=8，∠B=60°，如果点Q 是边AD 上的“强相似点”，那么AQ = ▲ ．
C
B
A
A
B C
D
E
F
A
B
C D
Q
A B
C
D
3
4
=a
b
（第16题图）
-=+b a
b a
（第17题图）
（第18题图①）
（第18题图②）
三、解答题（本大题共7题，满分78分） [请将解题过程填入答题纸的相应位置] 19．（本题满分10分）
计算：(
)
1
cot 3012sin 60+cos60+
tan 30
︒
︒
︒︒
--．
20．（本题满分10分, 第（1）小题5分，第（2）小题5分）
如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且AD =2，DB =4，AE =3，EC =6，DE =3.2． （1）求BC 的长；
（2）联结DC ，如果DE a =，BA b =，试用a 、b 表示向量CD ．
A B
D
E
（第20题图）
21．（本题满分10分, 第（1）小题5分，第（2）小题5分）
如图，在平行四边形ABCD 中，BC=8，点E 、F 是对角线BD 上的两点，且BE=EF=FD ， AE 的延长线交BC 于点G ，GF 的延长线交AD 于点H ． （1）求HD 的长；
（2）设△BGE 的面积为a ，求四边形AEFH 的面积．
（用含a 的代数式表示）
22．（本题满分10分）
某条道路上通行车辆限速为40千米/时，在离道路50米的点P 处建一个监测点，道路的AB 段为监测区（如图）．在△ABP 中，已知∠P AC= 26.5°，∠PBC = 68.2°．一辆车通过AB 段的时
间为9秒，请判断该车是否超速，并说明理由．
（参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50，
sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.50）
A
B
C
D
E
F
G
H
（第21题图）
（第22题图）
23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）
已知：如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，AC 、BD 相交于点E ，AE CE DE BE ⋅=⋅． （1）求证：△ABE ∽△ACB ；
（2）如果2DA DE DB =⋅，求证：AB EC BC AE ⋅=⋅．
24．（本题满分12分， 其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题3分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2
4=+-y ax bx 与x 轴交于点A （-4，0）和 点B （2，0），与y 轴交于点C ．
（1）求该抛物线的表达式及点C 的坐标；
（2）如果点D 的坐标为（-8，0），联结AC 、DC ，求∠ACD 的正切值；
（3）在（2）的条件下，点P 为抛物线上一点，当∠OCD=∠CAP 时，求点P 的坐标．
E
D
C
B
A
（第24题图）
（备用图）
（第23题图）
25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）
在△ABC 中，∠C= 90°，AC =2，BC
=D 为边AC 的中点（如图），点P 、Q 分别是
射线BC 、BA 上的动点，且BQ
=2
BP ，联结PQ 、QD 、DP ．
（1）求证：PQ ⊥AB ；
（2）如果点P 在线段BC 上，当△PQD 是直角三角形时，求BP 的长；
（3）将△PQD 沿直线QP 翻折，点D 的对应点为点'D ，如果点'D 位于△ABC 内，请直接写出BP 的取值范围．
D
P
A
B
D
Q
（第25题图）
（备用图）。