20090227动量守恒定律和动能定理

B
B
B
(1) 恒力的功 定义： W = Fs cosθ 矢量式
r θ F a
S
b
r F
v v W = F ⋅r
作用在沿直线运动质点上的恒力 F ，在力作用 点位移上作的功，等于力和位移的标积。 单位：J 焦耳
(2)变力的功
r r dW = F ⋅ dr = F cos ϕ dr
功是标量，但有正负之分
∴l =
v m
l
V
M
∫
t
0
Ml 人移动距离 x = M +m
M +m M +m vdt = x M M
x
ml 车移动距离 l − x = M +m
变质量问题（低速，v << c）有两类：
▲ ▲
粘附 — 主体的质量增加（如滚雪球） 抛射 — 主体的质量减少（如火箭发射） 在高速（v ∼ c）情况下，即使没
A1 A1
F1
v f1
v f2
v F2
v v A1
v v A2
1 1 2 2 = m1v B1 − m1v A = ΔE K 1 1 2 2
对m2:
v v B2 v 1 v 1 2 2 F ⋅ d r + f ⋅ d r = m v − m v ∫A2 2 2 ∫A2 2 2 2 2 B2 2 2 A2 = ΔE K 2
v v v pe + p ν + p N = 0
v pν
2 e
v pN
2 12 ν
−1
又因为
v v pe ⊥ pν
∴ pN = ( p + p )
− 22
代入数据计算得
p N = 1 .36 × 10
kg ⋅ m ⋅ s
pe α = arctan = 61.9° pν
例3 一炮弹发射后在其运行轨道上的最高点 h＝ 19.6 m 处炸裂成质量相等的两块。其中一块在爆炸 后1秒钟落到爆炸点正下方的地面上，设此处与发射 点的距离S1＝100米,问另一块落地点与发射点的距 离是多少？（空气阻力不计，g = 9.8 9 8m/s2 ) 解： 已知第一块方向竖直向下 h 设 t ′为第一块落地时间 1 h = v 1 t ′ + gt ' 2 2 v 1 = v 1 y = − 14 . 7 m / s y
3-2 动量守恒定律 3
∑F
n
∑
i =1
i =1 n
i
= 0)
mi vi = 恒矢量
动量守恒定律：当系统所受 合外力为零时，系统的总动 量将保持不变。
z 推广: 系统在某一方向上受到的合外力为零,则在该方向上动 量守恒.
∑
n
n
i=1
F ix = 0
∑ mv
n i =1 n
n
i ix
= 恒量
∑
n
i=1
W AB＝∫ F ⋅ d r = ∫ Ft d r A
A
B
vB B
dr
B
θ
F
= m ∫ at d r
A
B
vA
d r = vdt
A
dv at = dt
B
vB 1 1 dv 2 2 W AB＝ m ∫ ⋅ vdt = m ∫ vdv = mv B − mv A A dt vA 2 2
质点的动能定理：合外力对质点所做的功等于质点动能的 改变量。
dM dV = ∫ − u ∫ M V0 M0
M0 V −V0 = u ln l M 提高火箭速度的途径有二：
第一条是提高火箭喷气速度u 第二条是加大火箭质量比M0/M
V M
对应的措施是： 选优质燃料 采取多级火箭
[例] ：柔软的绳盘在桌面上，总质量为m0 ，总 长度l 质量均匀分布，均匀地以速度v0 提绳。 求：绳子被拉上任一段后，绳端的拉力F？
力是位置的函数,可直接积分;当力是时间的函数时,如何求力的 功？
例: 质量为2kg 的质点在力 F＝12 t i 的作用下，从静止
r v v v 3 3 解： W＝ r2 F ⋅ dr = ∫ 12ti ⋅ vi dt = ∫ 12tvdt ∫
r1 0 0
t t
出发，沿x轴正向作直线运动。求前三秒内该力所作的功。
2. 质点系的动能定理
两质点系统：
v v 外力为 F1、F2
内力
初速
v v v v v A1、v A2 末速 v B 、v B 1 2 v
r r f1、f 2
v v B1
m1
m2
v v B2
分别沿路径 S1、S 2 运动 对各质点应用动能定理，得 v v B1 v v 对m1: B1 F ⋅ d r + f ⋅ d r ∫ 1 1 ∫ 1 1
v2 v1
h S1 x
炮弹到最高点时vy=0，设炮弹到最高点的时间为t1 ：
⎧ ⎧ t1 = 2 s ⎪ s1 = v0 x t1 ⇒⎨ ⎨ 2 ⎪ ⎩ v x = v 0 x = 50 m / s ⎩ 2gh = v0 y ( v0 y = gt1 ) v2 y 爆炸中系统动量守恒 vx h 1 v1 mv2 x = mv x 2 h 1 1 S1 m x mv2 y + mv1 y = 0 v2 2 2 2
B2
两式相加，得 W内 W外 B2 v B1 v B1 v B2 v v v v v ∫ F1 ⋅ dr1 + ∫ F2 ⋅ dr2 + ∫ f1 ⋅ dr1 + ∫ f 2 ⋅ dr2 = ΔE K 1 + ΔE K 2
x
解：(法一) 取整个绳子为研究对象
x o
t
t + dt
m0 P0 = xυ 0 + 0 l m0 P= ( x + dx )υ 0 l
υ0
F
m0 g m0 m0 (F + N − m0 g)dt = (x + dx)υ0 − xυ0 l l N 受力图
m0 m0 (F + N − m0 g)dt = (x + dx)υ0 − xυ0 l l
dt M dx 2 M 2 F = ( ) = v L dt L
x
2 Mgx v = 2 gx → F = L Mgx G = → F ′ = F + G = 3G L
2
dx
本节要点
一、冲量
I =
∫
t2 t1
F ⋅ dt
力的时间积累
二、动量定理 质点的动量定理： I = 质点系的动量定理：
I = ∫ F1 + F2 dt = ( m1 v1 + m2 v2 ) − ( m1 v10 + m2 v20 )
r dr
a a
S
r F
ϕ
r F
b
φ
b
0 ≤ ϕ <π/ 2 B dA > 0 π/2 < ϕ ≤ π B dA < 0
Wab b =∫
b a
r r b F ⋅ dr = ∫ F cosϕ dr
a
r 若 F =常矢量，
物体作直线运动
r F
Wab = Fs cos ϕ
结论：合力对物体所做的功等于其中各个分力分别 对该物体所做功的代数和。 注意：1、功是过程量,与路径有关。 2、功是标量，但有正负。 二、功率 描述作功快慢的物理量
▲相对论情形－
有粘附和抛射，质量也可以改变— 随速度变 化 m = m(v)，不讨论。 下面仅以火箭飞行原理为例，讨论变质量问题。
[例] ： 火箭体在飞行过程中,由于不断地向外喷 气,所以火箭体的质量不断地变化。飞行速度？ 解： 取微小过程，即微小的时间间隔d t 系统：火箭箭体 和dt 间隔内喷出的气体
ΔW 平均功率： p = Δt
瞬时功率(功率)： ΔW dW F ⋅ dr = = = F ⋅v p = lim Δt dt dt Δt→ 0
P = F ⋅v
功:力对空间的积分
W = ∫ dW = ∫ a
b
b
a
r r b F ⋅ dr = ∫a F cosαds
r r dW = F ⋅ dr =
Fds cos α
F iy = 0 )
F iz = 0
∑ mv
i =1
i iy
= 恒量 = 恒量
∑
i=1
∑ mv
i iz
注意：
1. 系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。 2. 在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程 中，往往可忽略外力（外力与内力相比小很多）。 3. 定律中的速度应是对同一惯性系的速度，动量和 应是同一时刻的动量之和。 4. 动量守恒定律只适用于惯性系。 5. 动量守恒定律在微观、高速范围仍适用。 动量守恒定律是比牛顿定律更普遍的最基本的定律
n
v in i ∑ Fi
α
v pe
θ
v v ∴ p = ∑ mi v i = 恒矢量 i =1 v v v 即 pe + pν + pN = 0
v pν
v pN
pe = 1.2 × 10
− 22
kg ⋅ m ⋅ s
−1
pν = 6.4 × 10
− 23
kg ⋅ m ⋅ s
−1
v pe
α θ
系统动量守恒 , 即
x o
( F − mg )dt = dm υ 0
v υ mg 0
m0 m= x l
dm m0 dx = dt l dt dx = υ0 dt
此例中方法2似乎更简便些
例5 一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着,绳 的下端刚好触到水平桌面上,如果把绳的上端放开, 绳将落在桌面上,试证明:在绳下落的过程中,任意 时刻作用于桌面的压力,等于已落到桌面上的绳重 量的三倍.(设绳的密度为ρ) 解： Fdt = dm ⋅ v = ρ dx ⋅ dx