广东省数学高三上学期理数第五次月考试卷
2022-2023学年广东省五校2023届高三上学期期末联考数学试卷含答案
广东五校2022-2023高三上学期期末联考数学卷第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（每题5分，共40分）1.在复数范围内，方程210x +=的两根在复平面内对应的点关于（）A.直线y x =-对称B.直线y x =对称C.y 轴对称D.x 轴对称2.已知集合{}2N log 2A x x =∈≤，{}327xB x =>，则集合A B ⋂的子集个数为（）A.1B.2C.3D.43.已知31≤-≤b a ，37a b ≤+≤，则5a b +的取值范围为（）A.[]15,31 B.[]14,35 C.[]12,30D.[]11,274.有5人参加某会议，现将参会人安排到酒店住宿，要在a 、b 、c 三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会人入住，则这样的安排方法共有（）A.96种B.124种C.150种D.130种5.已知数列{}n a 的前n 项和组成的数列{}n S 满足11S =，25S =，21320n n n S S S ++-+=，则数列{}n a 的通项公式为（）A.12n n a -= B.11,122,2n n n a n -=⎧=⎨+≥⎩C.1,12,2n nn a n =⎧=⎨≥⎩ D.2nn a =6.函数()()cos φf x A x ω=+（0ω>，ππφ22-<<）的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于M ，N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是（）A.函数()f x 的最小正周期是3π2 B.函数()f x 在π7π,1212⎛⎫⎪⎝⎭单调递减C.函数()f x 的图象关于点5π,03⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称 D.将函数()f x 的图象向左平移π3后得到关于y 轴对称7.设1F ，2F 分别为双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以12F F 为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M ，N 两点，且120MAN ∠=︒，（如图），则该双曲线的离心率为（）A.213B.C.72D.38.已知函数()f x ，x ∀，y ∈R ，有()()()()()f x y f x f a y f y f a x +=⋅-+⋅-，其中0a ≠，()0f a ≠，则下列说法一定正确的是（）A.4a 是()f x 的一个周期B.()f x 是奇函数C.()f x 是偶函数D.()1f a =二、多选题（每题5分，共20分；选对5分，漏选2分，错选0分）9.已知数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的众数、平均数、方差、第80百分位数分别是1a ，1b ，1c ，1d ，数据1y ，2y ，3y ，…，n y 的众数、平均数、方差、第80百分位数分别是2a ，2b ，2c ，2d ，且满足()311,2,3,,i i y x i n =-= ，则下列结论正确的是（）A.2131b b =-B.21a a =C.219c c = D.2131d d =-10.向量,,a b c 满足2a b == ，2a b ⋅=-，,60a c b c <-->=︒r r r r ，则c r 的值可以是（）A.3B.6C.4D.11.已知球O 的半径为4，球心O 在大小为45 的二面角l αβ--内，二面角l αβ--的两个半平面所在的平面分别截球面得两个圆1O ，2O ，若两圆1O ，2O 的公共弦AB 的长为4，E 为AB 的中点，四面体12OAO O 得体积为V ，则一定正确的是（）A.O ，E ，1O ，2O 四点共圆B.OE =C.12O O =D.V 的最大值为1-12.已知函数()1e ln xf x x -=+，则过点(),a b 恰能作曲线()y f x =的两条切线的充分条件可以是（）A.211b a =->B.()b f a =C.()21a b f a -<< D.211b a <-≤-第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共20分）13.若抛物线2y mx =的准线与直线1x =间的距离为3，则抛物线的方程为______.14.若()()101021ii i x a x =+=-∑，则9a =______．15.已知a ，b 都是正数，则552332a ba b a b+++的最小值是______．16.如图正方体1111ABCD A B C D -的棱长是3，E 是1DD 上的动点，P 、F 是上、下两底面上的动点，Q 是EF 中点，2EF =，则1PB PQ +的最小值是______．四、解答题（共70分）17.已知()sin ,cos m t αα=- ，()1,sin n t α=-+（1）0=t 时，求m n ⋅的取值范围；（2）若存在t ，使得1m n ⋅=，求t 的取值范围．18.已知数列1:A a ，2a ，…，n a ，…满足10a =，11i i a a +=+（1,2,,,i n = ），数列A 的前n 项和记为n S ．（1）写出3S 的最大值和最小值；（2）是否存在数列A ，使得20221011S =如果存在，写出此时2023a 的值；如果不存在，说明理由．19.已知两个四棱锥1P ABCD -与2P ABCD -的公共底面是边长为2的正方形，顶点1P 、2P 在底面的同侧，棱锥的高1122PO P O ==，1O 、2O 分别为AB 、CD 的中点，1PD 与2P A 交于点E ，1PC 与2P B 交于点F ．（1）求1PE 的长；（2）求这两个棱锥的公共部分的体积．20.某次射击比赛过关规定：每位参赛者最多有两次射击机会，第一次射击击中靶标，立即停止射击，比赛过关，得4分；第一次未击中靶标，继续进行第二次射击，若击中靶标，立即停止射击，比赛过关，得3分；若未击中靶标，比赛未能过关，得2分．现有12人参加该射击比赛，假设每人两次射击击中靶标的概率分别为m ，0.5，每人过关的概率为p ．（1）求p （用m 表示）；（2）设这12人中恰有9人通过射击比赛过关的概率为()f p ，求()f p 取最大时p 和m的值；（3）在（2）的结果下，求这12人通过射击比赛过关所得总分的平均数．21.已知平面内两点()0,2A -，()0,2B ，动点P 满足43AP BP k k ⋅=-．（1）求动点P 的轨迹方程；（2）过定点()0,6Q 的直线l 交动点P 的轨迹于不同的两点M ，N （M 在N 的上方），点M 关于y 轴对称点为M '，求证直线M N '过定点，并求出定点坐标．22.已知函数()ln exxf x a x-=+．（1）若1x =是()f x 的极值点，求a ；（2）若0x ，1x 分别是()f x 的零点和极值点，当0a >时，证明：2100ln 1x x x <-+．广东五校2022-2023高三上学期期末联考数学卷第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（每题5分，共40分）【1题答案】D 【2题答案】B 【3题答案】D 【4题答案】C 【5题答案】C 【6题答案】B 【7题答案】A 【8题答案】A二、多选题（每题5分，共20分；选对5分，漏选2分，错选0分）【9题答案】ACD 【10题答案】AC 【11题答案】ACD 【12题答案】AD第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共20分）【13题答案】216y x =-或28y x =【14题答案】30-【15题答案】2【16题答案】1-##1+－四、解答题（共70分）【17题答案】（1）1122m n ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦，（2）t 的取值范围为22,44⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭【18题答案】（1）3S 的最大值为3，最小值为-1（2）不存在【19题答案】（1）（2）6【20题答案】（1）0.50.5p m=+（2）0.75,0.5p m ==（3）39【21题答案】（1）22134x y +=()0x ≠（2）直线M N '恒过定点20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.【22题答案】（1）ea =。
2021-2022年高三上学期第五次月考数学(理)试题 含答案
2021-2022年高三上学期第五次月考数学（理）试题含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至5页.考试时间120分钟，满分150分.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷的答题卡上.2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卷面清洁，不折叠，不破损.一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，若为实数，则A. B. C. D.实用文档实用文档2.下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间内单调递增的是A ．B ．C ．D ．3.已知实数、满足02010x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，则的最大值为A. B. C. D.4.直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是A ．B ．C ．D ．5.已知，则A. B. C. D.6.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值分别为A.5，1B.5，2C.15，3D.30，67.将函数()sin(2)(||)2f x x πϕϕ=+<的图象向左平移个单位后的图象关于原点对称，则函数在上的最小值为A. B. C. D.8.在菱形中，对角线，为的中点，则A. 8B. 10C. 12D. 149.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 6B. 5C. 4D. 5.510.某校高三理科实验班有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校．若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考，那么这5名同学不同的报考方法种数共有A.144种B.150种C.196种D.256种11.设为椭圆的左、右焦点，且，若椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率的最小值为A. B. C. D.12.设函数，其中，若关于不等式的整数解有且只有一个，则实数的取值范围为A. B． C． D．一、CDCAB DACBB DA二、13. 14. 15. 16.4实用文档实用文档第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.请将答案填写在答题纸上.14.已知数列满足，，则的最小值为 ．15.已知正方体的棱长为1，点是线段的中点，则三棱锥外接球体积为 ．16.是双曲线的右焦点，的右支上一点到一条渐近线的距离为2，在另一条渐近线上有一点满足，则 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）在锐角中，角的对边分别为，已知依次成等差数列，且 求的取值范围.17.解： 角成等差数列 ……………………………2分根据正弦定理的2sin 2sin 2sin 2sin()3a c A C A A π∴+=+=++实用文档32(sin ))26A A A π=+=+ …………………………6分 又为锐角三角形，则2,62363A A πππππ<<<+< …………… ……8分 …………………………10分18.（本小题满分12分）已知数列的各项均是正数，其前项和为，满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：.18.解：（1）由，得，解得…………2分而1111(4)(4)n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=---=-，即………………………………4分 可见数列是首项为2，公比为的等比数列.； ……………………………… 6分（2）21112log 2(2)n n b a n n===--- 21111()(2)22n n b b n n n n +∴==-++， ………………8分实用文档故数列的前项和 111111111111[(1)()()()]23243546112n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-++-+- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭11111311(1)()22122212n n n n =+--=--++++ ………10分 31113()42124n n =-+<++ ……………………12分19.（本小题满分12分）某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图.（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学实用文档生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在名和名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在的学生人数为，求的分布列和数学期望.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19. （1）设各组的频率为，由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人， ……1分 因为后四组的频数成等差数列，所以后四组频数依次为……………………………2分所以视力在5.0以下的频率为3+7+27+24+21=82人，故全年级视力在5.0以下的人数约为…………………………3分（2）22100(4118329)3004.110 3.8415050732773k⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.……………6分（Ⅲ）依题意9人中年级名次在名和名分别有3人和6人，可取0、1、2、3 …………………7分，，，的分布列为………………11分的数学期望2045181()0123184848484E X=⨯+⨯+⨯+⨯=………………12分实用文档20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面，，且22,42===，，点在上.AD CD BC（1）求证：；（2）若二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值.20.解：⑴取中点，连结,则，所以四边形为平行四边形，故，又,所以,故,又，,所以,故有………………5分实用文档实用文档 ⑵如图建立空间直角坐标系则()()()(),2,0,0,0,22,22,0,22,22,0,0,0P C B A - 设()()102,22,0≤≤-==λλλλPD PM ,易得 设平面的一个法向量为，则()⎪⎩⎪⎨⎧=-+=⋅=+=⋅022220222211z y AM n y x AC n λλ令12,2,2-=-==λλz x y 得， 即………………8分又平面的一个法向量为，45cos 12412,cos 2212121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⋅⋅=λλλλn n n n n n ，解得，即，，而是平面的一个法向量，设直线与平面所成的角为，则935334128,sin =⨯--==AB BM θ. 故直线与平面所成的角的正弦值为…………………12分实用文档21.（本小题满分12分） 已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切． （1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆相交于两点，且，判断的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．（1）由题意知，∴，即又， 2分 ∴， 椭圆的方程为 4分(2)设，由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得 222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，.212122284(3),.3434mk m x x x x k k -+=-⋅=++ 6分22221212121223(4)()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k-⋅=+⋅+=+++=+,, ,222223(4)34(3)34434m k m k k --=-⋅++，, 8分AB===10分12S AB d∆====分22.（本小题满分12分）已知函数211()ln()4f x x x x aa=-++，其中常数.（1）讨论函数的单调性；（2）已知，表示的导数，若，且满足，试比较与的大小，并加以证明. 22．解：（1）函数的定义域为，2111(2)()(,0)22()x ax af x x x a aa x a a x a-+'=-+=>->++由得，，……………2分当时，，所以在上为增函数；……3分当时，，所以在，上为增函数；在上为减函数；………4分当时，，所以在，上为增函数；在上为减函数；…………5分实用文档实用文档（2）令111()()()2g x f x x a x a a x a'==-+-<<+ 则22211()2()2()2()x a g x x a x a +-'=-=++ 221,02,()41(0)2a x a x a a x a a a -<<∴<+<∴+<<<<，在上为减函数，即在上为减函数以题意，不妨设，又因为12(0)0,()()0f f x f x '''=+=，………8分 所以，，所以，且， 由，得12122112x x a x a x a+=--++， 12121211()2x x f x x a x x a+'∴+=-+++， 12121111a x x a x a x a=+--++++， ………10分 令，221111()(0)h t t a a t x t x a=+--<<++ 则22222222222222()(2)11()0()()()t x t t x x h t t x t t x t t x t +-+'=-+==>++⋅+⋅， ………11分 所以，在内为增函数，又因为 所以，，实用文档即：121211110a x x a x a x a+--<++++ 所以，. ……………12分高三第五次月考 数学（理）答案一、CDCAB DACBB DA二、13. 14. 15. 16.4三、17.解： 角成等差数列 ……………………………2分 根据正弦定理的2sin 2sin 2sin 2sin()3a c A C A A π∴+=+=++32(sin ))26A A A π=+=+ …………………………6分又为锐角三角形，则2,62363A A πππππ<<<+<…………… ……8分…………………………10分 18.解：（1）由，得，解得…………2分实用文档而1111(4)(4)n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=---=-，即………………………………4分 可见数列是首项为2，公比为的等比数列.； ……………………………… 6分 （2）21112log 2(2)n n b a n n===---21111()(2)22n n b b n n n n +∴==-++， ………………8分故数列的前项和111111111111[(1)()()()]23243546112n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-++-+- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭11111311(1)()22122212n n n n =+--=--++++ ………10分 31113()42124n n =-+<++ ……………………12分 19. （1）设各组的频率为，由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人， ……1分 因为后四组的频数成等差数列，所以后四组频数依次为 ……………………………2分所以视力在5.0以下的频率为3+7+27+24+21=82人，故全年级视力在5.0以下的人数约为…………………………3分（2）22100(4118329)3004.110 3.8415050732773k⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.……………6分（Ⅲ）依题意9人中年级名次在名和名分别有3人和6人，可取0、1、2、3 …………………7分，，，的分布列为………………11分的数学期望2045181()0123184848484E X=⨯+⨯+⨯+⨯=………………12分20.解：⑴取中点，连结,则，所以四边形为平行实用文档实用文档四边形，故，又,所以,故 ,又，,所以,故有………………5分⑵如图建立空间直角坐标系则()()()(),2,0,0,0,22,22,0,22,22,0,0,0P C B A - 设()()102,22,0≤≤-==λλλλPD PM ,易得设平面的一个法向量为，则()⎪⎩⎪⎨⎧=-+=⋅=+=⋅022220222211z y AM n y x AC n λλ令12,2,2-=-==λλz x y 得，即………………8分又平面的一个法向量为，45cos 12412,cos 2212121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⋅⋅=λλλλn n n n n n ，解得， 即，，而是平面的一个法向量， 设直线与平面所成的角为，实用文档则935334128sin =⨯--==θ. 故直线与平面所成的角的正弦值为…………………12分 21.【解析】（1）由题意知，∴，即又， 2分 ∴， 椭圆的方程为 4分(2)设，由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得 222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，.212122284(3),.3434mk m x x x x k k-+=-⋅=++ 6分 22221212121223(4)()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -⋅=+⋅+=+++=+,, ,222223(4)34(3)34434m k m k k --=-⋅++，, 8分AB ===10分实用文档12S AB d ∆====分22．解：（1）函数的定义域为，2111(2)()(,0)22()x ax a f x x x a a a x a a x a -+'=-+=>->++由得，，……………2分当时，，所以在上为增函数；……3分当时， ，所以在，上为增函数；在上为减函数；………4分 当时， ，所以在，上为增函数；在上为减函数；…………5分 （2）令111()()()2g x f x x a x a a x a'==-+-<<+ 则22211()2()2()2()x a g x x a x a +-'=-=++ 221,02,()41(0)2a x a x a a x a a a -<<∴<+<∴+<<<<，在上为减函数，即在上为减函数以题意，不妨设，又因为12(0)0,()()0f f x f x '''=+=，………8分 所以，，所以，且，实用文档由，得12122112x x a x a x a+=--++， 12121211()2x x f x x a x x a+'∴+=-+++， 12121111a x x a x a x a=+--++++， ………10分 令，221111()(0)h t t a a t x t x a=+--<<++ 则22222222222222()(2)11()0()()()t x t t x x h t t x t t x t t x t +-+'=-+==>++⋅+⋅， ………11分 所以，在内为增函数，又因为 所以，， 即：121211110a x x a x a x a+--<++++ 所以，. ……………12分39577 9A99 骙Y}IV35028 88D4 裔37429 9235 鈵 m26629 6805 栅,*ll)。
2021年高三(上)第五次月考数学试卷(理科) 含解析
2021年高三（上）第五次月考数学试卷（理科）含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={x|x≥3，x∈N}，集合A={x|x2≥10，x∈N}．则∁UA=（）A．∅B． {3}C． {10} D． {3，4，5，6，7，8，9}2．下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（）A． f（x）= B． f（x）=﹣x3C． f（x）=﹣tan x D． f（x）=3．已知数列{an }满足an+1=3an（n∈N*），且a2+a4+a6=9．则log（a5+a7+a9）的值是（）A．﹣5 B．﹣C． 5 D．4．如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A．B．C．D．5．某几何体的三视图如图所示，其正视图，侧视图，俯视图均为全等的正方形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D． 26．三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，则同校学生排在一起的概率是（）A．B．C．D．7．将函数y=sinx的图象向右平移2个单位后，得到函数f（x）的图象，则函数f（x）的单调递减区间是（）A．[﹣1+2k，1+2k]，k∈Z B．[1+4k，3+4k]，k∈ZC．[﹣1+4k，1+4k]，k∈Z D．8．设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的值是最大值为12，则的最小值为（）A．B．C．D． 49．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且，点O在线段CD上（与点C，D不重合）若，则λ的取值范围（）A．（0，1）B．C．（﹣1，0）D．10．已知斜率为2的直线l双曲线交A、B两点，若点P（2，1）是AB的中点，则C的离心率等于（）A．B．C． 2 D．二、填空题：本大题共1小题，考生作答5个小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）（坐标系与参数方程）11．若直线ρsin（θ+）=与直线3x+ky=1垂直，则常数k=．（几何证明选讲）12．如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，BE∥MN交AC于点E．若AB=6，BC=4，则AE的长为．（不等式选讲）1015•郴州模拟）若不等式|x+3|+|x﹣7|≥a2﹣3a的解集为R，则实数a的取值范围是．三.必做题（14～16题）14．若随机变量ξ～N（2，1），且P（ξ＞3）=0.158 7，则P（ξ＞1）=．15．设（x2+1）（2x+1）9=a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…a n（x+2）n则a0+a1+a2+…a n=．16．定义[x]表示不超过x的最大整数（x∈R），如：[﹣1.3]=﹣2．[0.8]=0，[3.4]=3．定义{x}=x ﹣[x]．（1）…+=；（2）若x∈[0，316]，函数f（x）=sin2[x]+sin2{x}﹣1的零点个数为m，则m=．三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．根据空气质量指数AQJ（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：某市xx年11月1日﹣11月30日，对空气质量指数AQI进行监测，获得数据后得到如条形图：（1）市教育局规定在空气质量类别达到中度污染及以上时学生不宜进行户外跑步活动，估计该城市本月（按30天计）学生可以进行户外跑步活动的概率；（2）在上述30个监测数据中任取2个，设ξ为空气质量类别颜色为绿色的天数，求ξ的分布列与数学期望．AQI（数值）0～50 51～100 101～150 151～200 201～300 ＞300空气质量级别一级二级三级四级五级六级空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染空气质量类别颜色绿色黄色橙色红色紫色褐红色18．已知函数f（x）=sin（ωx），其中常数ω＞0．（1）若y=f（x）的图象相邻两条对称轴的距离为，求ω的值；（2）在（1）的条件下，将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，求b的最小值．19．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF．（1）求证：BD⊥平面AED；（2）求二面角F﹣BD﹣C的正切值．20．已知S n为数列{a n}的前n项和，且对任意n∈N*，点（a n，S n）都在函数f（x）=﹣x+的图象上．（1）求{a n}的通项公式；（2）若b n=loga2n+1，T n为数列{b n}的前项和，且+…+≤x2+ax+1对任意正整数n和任意x∈R 恒成立，求实数a的取值范围．21．已知两个定点A1（﹣2，0），A2（2，0），动点M满足直线MA1与MA2的斜率之积是定值（m≠0）．（1）求动点M的轨迹方程，并指出随m变化时方程所表示的曲线C的形状；（2）若m=﹣3，过点F（﹣l，0）的直线交曲线C于A与B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴、y轴分别交于D，E两点．记△GFD的面积为S l，△OED（O为坐标原点）的面积为S2．试问：是否存在直线AB，使得S l=S2？说明理由．22．已知f（x）=ke x﹣ex2（x∈R，）其中无理数e是自然对数的底数．（1）若k=1，求f（x）的图象在x=1处的切线l的方程；（2）若f（x）有两个不同的极值点x1，x1′，求实数k的取值范围；（3）若k依序取值1，，…，（n∈N*）时，分别得到f（x）的极值点对（x1，x1′），（x2，x2′），…（x n，x n′），其中x i＜x i′（i=1，2，…，n），求证：对任意正整数n≥2，有（2﹣x1）（2﹣x2）…（2﹣x n）＜=．xx学年湖南师大附中高三（上）第五次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={x|x≥3，x∈N}，集合A={x|x2≥10，x∈N}．则∁U A=（）A．∅B．{3}C．{10} D．{3，4，5，6，7，8，9}考点：补集及其运算．专题：集合．分析：先求出不等式x2≥10的解集A，再由补集的运算求出∁U A．解答：解：由x2≥10得或，则集合A={x|或}，又全集U={x|x≥3，x∈N}，所以∁U A={x|3≤x，x∈N}={3}，故选：B．点评：本题考查补集及其运算，以及一元二次不等式的解法，属于基础题．2．下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（）A．f（x）= B．f（x）=﹣x3C．f（x）=﹣tan x D．f（x）=考点：正切函数的奇偶性与对称性；奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析：根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．解答：解：A．由﹣x≥0，解得x≤0，则函数的定义域为（﹣∞，0]，关于原点不对称，故函数为非奇非偶函数，不满足条件．B．f（x）=﹣x3为奇函数，则定义域上为减函数，满足条件．C．f（x）=﹣tanx为奇函数，在定义域上不单调，不满足条件．D．f（x）=为奇函数，在定义域上不单调，不满足条件．故选：B点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，比较基础．3．已知数列{a n}满足a n+1=3a n（n∈N*），且a2+a4+a6=9．则log（a5+a7+a9）的值是（）A．﹣5 B．﹣C． 5 D．考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：数列{a n}满足a n+1=3a n，因此数列{a n}是等比数列，则公比为q=3．再利用等比数列的性质、对数的运算性质即可得出．解答：解：∵数列{a n}满足a n+1=3a n，∴数列{a n}是等比数列，则公比为q=3．∵a2+a4+a6=9，∴a5+a7+a9=q3（a2+a4+a6）=27×9=35，则log3（a5+a7+a9）==5．故选：C．点评：本题考查了等比数列的定义及其性质、对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．4．如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A．B．C．D．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：按照程序框图的流程，写出前五次循环的结果，直到第五次不满足判断框中的条件，执行输出结果．解答：解：经过第一次循环得到S=，满足进入循环的条件，k=2，经过第二次循环得到S=+=，满足进入循环的条件，k=3，经过第三次循环得到S=+=，满足进入循环的条件，k=4，经过第四次循环得到S=+=，满足进入循环的条件，k=5，经过第五次循环得到S=+=，不满足进入循环的条件，执行输出，故输出结果为：，故选：D点评：解决程序框图中的循环结构，常按照程序框图的流程，采用写出前几次循环的结果，找规律．5．某几何体的三视图如图所示，其正视图，侧视图，俯视图均为全等的正方形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D． 2考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：该几何体为正八面体，即两个全等的正四棱锥，棱长为，棱锥的高为1，即可求出体积．解答：解：该几何体为正八面体，即两个全等的正四棱锥，棱长为，棱锥的高为1，所以，其体积为，故选：A．点评：本题主要考查三视图，几何体的体积计算．要明确三视图视图规则，准确地还原几何体，明确几何体的特征，以便进一步解题．6．三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，则同校学生排在一起的概率是（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．分析：三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，基本事件总数n==720，同校学生排在一起包含的基本事件个数m==72，由此利用等可能事件概率计算公式能求出同校学生排在一起的概率．解答：解：三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，基本事件总数n==720，同校学生排在一起包含的基本事件个数m==72，∴同校学生排在一起的概率P===．故选：C．点评：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要注意古典概型及其概率计算公式和排列组合知识的合理运用．7．将函数y=sinx的图象向右平移2个单位后，得到函数f（x）的图象，则函数f（x）的单调递减区间是（）A．[﹣1+2k，1+2k]，k∈Z B．[1+4k，3+4k]，k∈ZC．[﹣1+4k，1+4k]，k∈Z D．考点：复合三角函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：首先通过平移变缓得到f（x）的解析式，进一步利用整体思想求出单调递减区间．解答：解：函数y=sinx的图象向右平移2个单位后，得到：f（x）=，令：（k∈Z），解得：4k+3≤x≤4k+5，令k=k﹣1既得选项C故选：C点评：本题考查的知识点：函数图象的变换符合左加右减的性质，利用整体思想求函数的单调区间．8．设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的值是最大值为12，则的最小值为（）A．B．C．D． 4考点：基本不等式；二元一次不等式（组）与平面区域．专题：不等式的解法及应用．分析：已知2a+3b=6，求的最小值，可以作出不等式的平面区域，先用乘积进而用基本不等式解答．解答：解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x﹣y+2=0与直线3x﹣y﹣6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而=，故选A．点评：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值．9．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且，点O在线段CD上（与点C，D不重合）若，则λ的取值范围（）A．（0，1）B．C．（﹣1，0）D．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：函数的性质及应用．分析：根据所给的数量关系，写出要求向量的表示式，注意共线的向量之间的相等关系，根据表示的关系式和所给的关系式进行比较，得到结果．解答：解：=+=+y=+y（﹣）=﹣y+（1+y），再根据=，可得y∈（0，1），∴λ∈（﹣1，0），故选：C．点评：本题考查向量的基本定理，是一个基础题，这种题目可以出现在解答题目中，也可以单独出现，注意表示向量时，一般从向量的起点出发，绕着图形的边到终点，属于中档题．10．已知斜率为2的直线l双曲线交A、B两点，若点P（2，1）是AB的中点，则C的离心率等于（）A．B．C． 2 D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设A（x1，y1），B（x2，y2），根据AB的中点P的坐标，表示出斜率，从而得到关于a、b的关系式，再求离心率．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则﹣=1，①；﹣=1，②，①﹣②得=，∵点P（2，1）是AB的中点，∴x1+x2=4，y1+y2=2，∵直线l的斜率为2，∴=2，∴a2=b2，c2=2a2，∴e=．故选A．点评：本题考查了双曲线的简单性质，解题的关键是利用“设而不求”法求直线l的斜率．二、填空题：本大题共1小题，考生作答5个小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）（坐标系与参数方程）11．若直线ρsin（θ+）=与直线3x+ky=1垂直，则常数k=﹣3．考点：两条直线垂直的判定．专题：计算题；转化思想．分析：先根据两角和的正弦函数公式化简已知，然后把极坐标方程化为普通直线方程，根据两直线垂直时斜率乘积为﹣1得到k的值即可．解答：解：把ρsin（θ+）=利用两角和的正弦函数公式化简得：ρsinθcos+ρcosθsin=，即为x+y=1，直线的斜率为﹣1；因为该直线与直线3x+ky=1垂直，即斜率乘积为﹣1，所以由×（﹣1）=﹣1，解得k=﹣3．故答案为：﹣3点评：考查学生会根据两角和的正弦函数公式化简求值，会将极坐标方程化为普通直线方程．学生做题时必须会根据两直线垂直得到斜率乘积为﹣1．（几何证明选讲）12．如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，BE∥MN交AC于点E．若AB=6，BC=4，则AE的长为．考点：与圆有关的比例线段．专题：压轴题；选作题；直线与圆．分析：利用弦切角定理、平行线的性质、相似三角形的判定和性质即可得出．解答：解：直线MN切⊙O于点C，∴∠MCB=∠BAC，∵BE∥MN交AC于点E，∴∠MCB=∠EBC．∴△ABC∽△BCE．∴，∴==．∴．点评：熟练掌握弦切角定理、平行线的性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键．（不等式选讲）1015•郴州模拟）若不等式|x+3|+|x﹣7|≥a2﹣3a的解集为R，则实数a的取值范围是[﹣2，5]．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：利用绝对值三角不等式可求得|x+3|+|x﹣7|≥10，依题意，解不等式a2﹣3a≤10即可．解答：解：∵|x+3|+|x﹣7|≥|（x+3）+（7﹣x）|=10，∴|x+3|+|x﹣7|≥a2﹣3a的解集为R⇔a2﹣3a≤10，解得﹣2≤a≤5．∴实数a的取值范围是[﹣2，5]．故答案为：[﹣2，5]．点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查对值三角不等式的应用，求得|x+3|+|x﹣7|≥10是关键，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．三.必做题（14～16题）14．若随机变量ξ～N（2，1），且P（ξ＞3）=0.158 7，则P（ξ＞1）=0.8413．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：根据随机变量ξ～N（2，1），得到正态曲线关于x=2对称，由P（ξ＞1）=P（ξ＜3），即可求概率．解答：解：∵随机变量ξ～N（2，1），∴正态曲线关于x=2对称，∵P（ξ＞3）=0.1587，∴P（ξ＞1）=P（ξ＜3）=1﹣0.1587=0.8413．故答案为：0.8413点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态曲线的对称性，考查根据对称性求区间上的概率，本题是一个基础题．15．设（x2+1）（2x+1）9=a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…a n（x+2）n则a0+a1+a2+…a n=﹣2．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：令已知等式中的x等于﹣1，即得到﹣2=a0+a1+a2+…a n，解答：解：因为（x2+1）（2x+1）9=a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…a n（x+2）n令x=﹣1得到﹣2=a0+a1+a2+…a n，故答案为：﹣2．点评：求二项展开式的系数和，一般先通过观察给二项式中的未知数x赋合适的值，通过赋值法求出系数和．16．定义[x]表示不超过x的最大整数（x∈R），如：[﹣1.3]=﹣2．[0.8]=0，[3.4]=3．定义{x}=x ﹣[x]．（1）…+=500；（2）若x∈[0，316]，函数f（x）=sin2[x]+sin2{x}﹣1的零点个数为m，则m=101．考点：根的存在性及根的个数判断；二项式定理的应用．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用；二项式定理．分析：（1）由==可得=，{}=，{}=1，…，从而求得；（2）由函数f（x）=sin2[x]+sin2{x}﹣1=0可得2[x]﹣x=+kπ（k∈Z），作函数y=2[x]﹣x的图象，利用数形结合求解即可．解答：解：（1）=，==1000﹣2+，∴=．再由==，可得{}=，{}=1，…，∴…+=（+）+（+1）+…（+）=500，故答案为：500．（2）∵函数f（x）=sin2[x]+sin2{x}﹣1=0，∴sin2[x]=cos2{x}=cos2（x﹣[x]），∴2[x]=x++kπ（k∈Z），∴2[x]﹣x=+kπ（k∈Z），作函数y=2[x]﹣x的图象如下，结合图象可知，若x∈[0，316]，则2[x]﹣x∈[﹣1，315]，故，+π，+2π，…，+100π∈[﹣1，315]，故m=101；故答案为：101．点评：本题考查了二项式定理的应用及数列求和方法的应用，同时考查了方程的根与函数的关系应用，属于中档题．三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．根据空气质量指数AQJ（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：某市xx年11月1日﹣11月30日，对空气质量指数AQI进行监测，获得数据后得到如条形图：（1）市教育局规定在空气质量类别达到中度污染及以上时学生不宜进行户外跑步活动，估计该城市本月（按30天计）学生可以进行户外跑步活动的概率；（2）在上述30个监测数据中任取2个，设ξ为空气质量类别颜色为绿色的天数，求ξ的分布列与数学期望．AQI（数值）0～50 51～100 101～150 151～200 201～300 ＞300空气质量级别一级二级三级四级五级六级空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染空气质量类别颜色绿色黄色橙色红色紫色褐红色考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）由条形统计图知空气质量类别达到中度污染及以上的天数为12天，由此利用对立事件概率计算公式能求出该城市本月学生可以进行户外跑步活动的概率．（2）由已知得ξ的可能可值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列与数学期望．解答：解：（1）由条形统计图知：空气质量类别达到中度污染及以上的天数为：6+4+2=12天，∴该城市本月学生可以进行户外跑步活动的概率P=1﹣=．（2）由已知得ξ的可能可值为0，1，2，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，∴ξ的分布列为：ξ0 1 2P∴Eξ==．点评：本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．18．已知函数f（x）=sin（ωx），其中常数ω＞0．（1）若y=f（x）的图象相邻两条对称轴的距离为，求ω的值；（2）在（1）的条件下，将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，求b的最小值．考点：三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）根据y=f（x）的图象相邻两条对称轴的距离为，确定函数的周期，即可求ω的值；（2）利用三角函数的平移关系求出g（x）的表达式，由g（x）=0，求出零点方程即可得到结论．解答：解：（1）若y=f（x）的图象相邻两条对称轴的距离为，则函数的周期T=2×=π，即=π，解得ω=2；（2）∵ω=2，∴函数f（x）=sin2x，将y=f（x）的图象向右平移个单位得到y=sin2（x﹣），再向下平移1个单位，得到函数y=g（x）=sin2（x﹣）+1=sin（2x﹣）﹣1．由g（x）=sin（2x﹣）﹣1=0．得sin（2x﹣）=．即2x﹣=2kπ+或2x﹣=2kπ+，即x=kπ+或x=kπ+，∵区间为[0，b]，∴当k=0，1，2，3，4时，有10个零点，第10个零点为x=4π+=，若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，则b≥，即b的最小值为．点评：本题主要考查三角函数的图象和性质以及三角函数图象变换，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．19．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF．（1）求证：BD⊥平面AED；（2）求二面角F﹣BD﹣C的正切值．考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．专题：空间角．分析：（1）由已知条件利用余弦定理求出BD==，从而得到△ABD是直角三角形，且AD ⊥DB，由此能够证明BD⊥平面AED．（2）过C作CM⊥BD交BD于M，由已知条件推导出FC⊥BD，从而得到∠FMC为二面角F﹣BD﹣C的平面角，由此能求出二面角F﹣BD﹣C的正切值．解答：（1）证明：在等腰直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=60°，CB=CD，由余弦定理得BD2=CD2+CB2﹣2CD•CB•cos（180°﹣∠DAB）=3CD2，∴BD==，在△ABD中，∠DAB=60°，BD=，∴△ABD是直角三角形，且AD⊥DB，又AE⊥BD，AD⊂平面AED，且AD∩AE=A，∴BD⊥平面AED．（2）解：过C作CM⊥BD交BD于M，∵FC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴FC⊥BD，又FC∩CM=C，∴BD⊥平面FCM，∴CM⊥BD，FM⊥BD，故∠FMC为二面角F﹣BD﹣C的平面角．…（9分）在△CDB中，CD=CB，∠DCB=120°，∴CM=，∴tan∠FMC==2．即二面角F﹣BD﹣C的正切值为2．…（12分）点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．已知S n为数列{a n}的前n项和，且对任意n∈N*，点（a n，S n）都在函数f（x）=﹣x+的图象上．（1）求{a n}的通项公式；（2）若b n=loga2n+1，T n为数列{b n}的前项和，且+…+≤x2+ax+1对任意正整数n和任意x∈R 恒成立，求实数a的取值范围．考点：数列的求和；数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由点（a n，S n）都在函数f（x）=﹣x+的图象上，可得S n=﹣，利用递推式可得，再利用等比数列的通项公式即可得出．（2）b n=loga2n+1==2n+1．利用等差数列的前n项和公式可得T n=n（n+2），．利用“裂项求和”可得+…+=＜，+…+≤x2+ax+1对任意正整数n和任意x∈R恒成立⇔x2+ax+1对任意x∈R 恒成立⇔4x2+4ax+1≥0对任意x∈R恒成立⇔△≤0，解出即可．解答：解：（1）∵点（a n，S n）都在函数f（x）=﹣x+的图象上，∴S n=﹣，当n=1时，a1=S1=﹣+，解得a1=．当n≥2时，S n﹣1=，∴a n=S n﹣S n=，化为，∴数列{a n}是等比数列，首项为，公比为，∴．（2）b n=loga2n+1==2n+1．∴=n（n+2），∴．∴+…+=+…+==，+…+≤x2+ax+1对任意正整数n和任意x∈R恒成立⇔x2+ax+1对任意x∈R恒成立，⇔4x2+4ax+1≥0对任意x∈R恒成立，∴△=16a2﹣16≤0，解得﹣1≤a≤1．∴实数a的取值范围是[﹣1，1]．点评：本题考查了等比数列的通项公式、“裂项求和”方法、递推式的应用、对数的运算性质、一元二次不等式的解集与判别式的关系，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．已知两个定点A1（﹣2，0），A2（2，0），动点M满足直线MA1与MA2的斜率之积是定值（m≠0）．（1）求动点M的轨迹方程，并指出随m变化时方程所表示的曲线C的形状；（2）若m=﹣3，过点F（﹣l，0）的直线交曲线C于A与B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴、y轴分别交于D，E两点．记△GFD的面积为S l，△OED（O为坐标原点）的面积为S2．试问：是否存在直线AB，使得S l=S2？说明理由．考点：圆锥曲线的轨迹问题；轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）设动点M（x，y），依题意有，（m≠0），由此能求出动点M的轨迹方程，并能指出随m变化时方程所表示的曲线的形状．（2）m=﹣3时，动点M的轨迹方程为+=1（x≠±2），设设AB方程为y=k（x+1），代入+=1，利用根与系数之间的关系进行转化求解即可．解答：解：（1）设动点M（x，y），依题意有，（m≠0），整理，得，m≠2．∴动点M的轨迹方程为．m＞0时，轨迹是焦点在x轴上的双曲线，m∈（﹣4，0）时，轨迹是焦点在x轴上的椭圆，m=﹣4时，轨迹是圆，m∈（﹣∞，﹣4）时，轨迹是焦点在y轴上的椭圆，且点A1（﹣2，0），A2（2，0）不在曲线上．（2）m=﹣3时，动点M的轨迹方程为+=1（x≠±2），假设垂直直线AB，使S l=S2，显然直线AB不能与x，y轴垂直，∴直线AB的斜率存在且不为0，设AB方程为y=k（x+1），代入+=1并整理得（3+4k2）x2+8kk2x+4k2﹣12=0设A（x E1E，y E1E），B（x E2，y E2），则x E1E+x E2=，y E1E+y E2=，则G（，），∵DG⊥AB，∴•k=﹣1，解得x ED=﹣，即D（﹣，0），∵△GFD～△OED，∴=，又S l=S2，∴|DG|=|OD|，∴=|﹣|，整理得8k2+9=0，∵此方程无解，∴不存在直线AB，使S l=S2点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线和圆锥曲线的位置关系的应用，利用直线和圆锥曲线的位置关系转化为根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强运算量较大．22．已知f（x）=ke x﹣ex2（x∈R，）其中无理数e是自然对数的底数．（1）若k=1，求f（x）的图象在x=1处的切线l的方程；（2）若f（x）有两个不同的极值点x1，x1′，求实数k的取值范围；（3）若k依序取值1，，…，（n∈N*）时，分别得到f（x）的极值点对（x1，x1′），（x2，x2′），…（x n，x n′），其中x i＜x i′（i=1，2，…，n），求证：对任意正整数n≥2，有（2﹣x1）（2﹣x2）…（2﹣x n）＜=．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．专题：计算题；证明题；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（1）求出导数，求出切线的斜率，切点，运用点斜式方程，即可得到切线方程；（2）求出导数，f（x）有两个不同的极值点x1，x1′，则f′（x）=0有两个不相等的实根．即有k=有两解，令g（x）=，求出g（x）的导数，求出极值、最值，即可得到k的范围；（3）运用零点存在定理，得到x i∈（0，1），再由基本不等式证得0＜x i（2﹣x i）＜（）2=1，再由累乘法即可证得原不等式成立．解答：（1）解：k=1时，f（x）=e x﹣ex2，导数为f′（x）=e x﹣2ex，则f（x）在x=1处的切线斜率为e﹣2e=﹣e，切点为（1，0），则切线方程为：y=﹣e（x﹣1）即为ex+y﹣1=0；（2）解：f（x）=ke x﹣ex2（x∈R）的导数为f′（x）=ke x﹣2ex，由于f（x）有两个不同的极值点x1，x1′，则f′（x）=0有两个不相等的实根．即有k=有两解，令g（x）=，g′（x）=，当x＞1时，g′（x）＜0，当x＜1时，g′（x）＞0，则有g（x）在x=1处取得极大值，且为最大值，即为2．且x→+∞，g（x）→0，则有0＜k＜2；（3）证明：由f′（x）=ke x﹣2ex=0，可得，ke x=2ex，k=，由于f′（0）=k＞0，f′（1）=ke﹣2e＜0，则极值点x i∈（0，1）．由于0＜x i（2﹣x i）＜（）2=1，则有x1（2﹣x1）•x2（2﹣x2）•…•x n（2﹣x n）＜1，即有（2﹣x1）（2﹣x2）…（2﹣x n）＜，又1•=2ex1，=2ex2，=2ex3，…，=2ex n，相乘，可得，=e n•x1x2…x n，则有=．则原不等式成立．点评：本题考查导数的运用：求切线方程、求单调区间和求极值，考查基本不等式的运用，累乘法的运用，考查运算能力，属于中档题．27192 6A38 樸(27361 6AE1 櫡$39694 9B0E 鬎27808 6CA0 沠~39610 9ABA 骺} 37015 9097 邗24598 6016 怖22896 5970 奰"20941 51CD 凍。
高三数学上学期第五次月考试题理含解析试题
卜人入州八九几市潮王学校南康2021～2021第一学期高三第五次大考数学〔理科〕试卷一、选择题：(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一个选项符合题目要求.)1A x x ，3sin 1B y y x ，那么A B〔〕A.[1,2]B.[1,)C.(,1][1,2]D.[0,1]【答案】A 【解析】 【分析】先求得集合A 中绝对值不等式的解集，再求的集合B 中函数的值域，最后取它们的交集. 【详解】对于集合A ，1x或者1x ，对于集合B ，由于03sin 14x ，所以02y .所以1,2A B .应选A.【点睛】本小题主要考察集合的交集，考察集合的研究对象，考察绝对值不等式的解法等知识，属于根底题.含有一个绝对值的不等式的解法口诀是“大于在两边，小于在中间〞，即x a 的解是a x a ，x a 的解是x a 或者x a .在研究一个集合时，要注意集合的研究对象，如此题中集合B ，研究对象是函数的值域.32iz i〔i 为虚数单位〕，那么z 的虚部为〔〕32 C. D.32i 【答案】B 【解析】【分析】利用复数除法的运算化简复数z ，然后求得其虚部.【详解】依题意i i13i13i 2ii222z，故虚部为32，所以选B. 【点睛】本小题主要考察复数的除法和乘法运算，考察复数实部和虚部的识别，属于根底题.2018log 2019a 2019log 2018b ，120192018c ，那么,,a b c 的大小关系是〔〕A.ab c B.a c b C.c a b D.c b a【答案】C 【解析】 【分析】 先确定1,,1ca b ，然后将,a b 利用对数的运算，求得11,22ab ，从而得到,,a bc 的大小关系. 【详解】由于02018201920181,log 20181,log 20191c a b ，所以c 为三个数中最大的.由于20182018111log 2019log 2018222a，而20192019111log 2018log 2019222b，故a b .综上所述c a b ，应选C.【点睛】本小题主要考察指数式和对数式比较大小.解决的方法是区间分段法，如此题中的“12和1〞作为分段的分段点.在题目给定的三个数中，有一个是大于1的，有一个是介于12和1之间的，还有一个是小于12的，由此判断出三个数的大小关系.在比较过程中，还用到了对数和指数函数的性质.540()3xx x f x x ，假设角的终边经过点(3,4)P ，那么[(cos )]f f 的值是〔〕A.1B.3C.4D.9 【答案】B 【解析】 【分析】先根据角的终边经过的点，求得cos 的值，然后代入函数的解析式，求得对应的函数值.【详解】由于角的终边经过点3,4P ，故2233cos534，故3cos 3415f f，1133f .应选B.【点睛】本小题主要考察三角函数的定义，考察复合函数求值以及分段函数求值，属于根底题.sin 23cos2,f x x x x R ，那么以下结论不正确的选项是〔〕A.最大值为2B.最小正周期为C.把函数2sin 2y x 的图象向右平移3个单位长度就得到f x的图像D.单调递增区间是5,1212kk，k Z【答案】C 【解析】 【分析】 将函数f x转化为sin A x的形式，然后根据三角函数的图像与性质对选项逐一进展判断，从而得出正确选项.【详解】依题意π2sin 23f x x，所以函数的最大值为2，A 选项正确；函数的最小正周期为2ππ2，故B 选项正确.函数2sin2y x的图象向右平移3个单位长度得到π2π2sin 22sin 233y xxπππ2π22π232k xk ，解得函数的递增区间为5,1212kk，故D 选项正确.综上所述，本小题选C.【点睛】本小题主要考察利用辅助角公式化简三角函数解析式为sin A x，考察三角函数的图像与性质，包括最值、最小正周期，单调区间以及图像变换等知识，属于根底题.对于三角函数含有多个正弦、余弦符号的，需要利用辅助角公式、和差角公式、二倍角公式等，将其化简为一个角的形式，这样才可以去研究它的图像与性质.2ymx 与2213y x双曲线有一样的焦点，点00(2,)(0)P y y 在抛物线上，那么点P 到该抛物线的准线的间隔为〔〕 A.1B.2C.3D.4 【答案】D 【解析】 【分析】先求得双曲线的焦点，由此可得抛物线的焦点坐标，进而求得m 的值，根据抛物线的定义求得P 到准线的间隔.【详解】双曲线的右焦点为2,0，故24m ，8m ，故抛物线的准线为2x，点P 的横坐标为2，故P 到准线的间隔为224.应选D.【点睛】本小题主要考察双曲线的几何性质，考察抛物线的方程的求解，考察抛物线的定义，属于根底题. 7.周碑算经中有这样一个问题：从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、种这十二个节气其日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为85.5尺,那么小满日影长为() A.1.5尺B.2.5尺C.3.5尺D.4.5尺 【答案】B 【解析】设各节气日影长依次成等差数列n a ，n S 是其前n 项和，那么9S =199()2a a =59a ，所以5a ，由题知147a a a =43a ，所以4a ，所以公差54d a a =−1，所以12a =57a d ，应选B ． 8.正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为〔〕A.3B.43C.32D.1【答案】B 【解析】 【分析】画出图像，得到该几何体是由两个四棱锥构成，利用锥体体积公式计算得几何体的体积.【详解】画出图像如以下列图所示，由图可知，该几何体由两个四棱锥构成，并且这两个四棱锥体积相等.四棱锥的底面为正方形，且边长为22112，故底面积为222；四棱锥的高为1，故四棱锥的体积为122133.那么几何体的体积为24233.应选B. 【点睛】本小题考察空间几何体的构造，考察锥体的体积计算，考察数形结合的数学思想方法，属于根底题.22221x y a b 〔0a b 〕的中心点在原点，1F ，2F 分别为左、右焦点，A ，B 分别是椭圆的上顶点和右顶点，P 是椭圆上一点，且1PF x 轴，2PF AB ，那么此椭圆的离心率为〔〕A.13B.1225【答案】D 【解析】如下列图,把x =−c 代入椭圆HY 方程：222210x y a b a b .那么22221c y a b ,解得2b ya.取2,b Pc a,又A (0,b ),B (a ,0),F 2(c ,0)，∴222,2ABPF b b b a k k a c cac. ∵PF 2∥AB ,∴22b b aac，化为：b =2c . ∴4c 2=b 2=a 2−c 2,即a 2=5c 2,∴2255c ea . 此题选择D 选项.点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或者离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式c ea； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或者a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．22221(0,0)x y a b a b 的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 作圆222x y a 的切线，交双曲线右支于点M ，假设1245F MF ，那么双曲线的渐近线方程为〔〕A.2y x B.3y x C.y x D.2y x【答案】A 【解析】 【分析】作OA⊥1F M 于点A ，21F B F M于点B ，可得2a 2OAF BBMa ，，222F Ma ，12F Bb ，结合双曲线定义可得2ba 从而得到双曲线的渐近线方程.【详解】如图，作OA⊥1F M 于点A ，21F BF M于点B ，∵1F M 与圆222x y a 相切，1245F MF∴2a 2OAF BBMa ，，222F M a ，12F Bb又点M 在双曲线上， ∴1222222a F M F Ma b a整理，得2b a ，∴2b a∴双曲线的渐近线方程为2yx应选：A【点睛】此题考察了双曲线渐近线方程的求法，解题关键建立关于a ，b 的方程，充分利用平面几何性质，属于中档题.y f x 的定义域为R ，且x f x f x a 其中0a ，a 为常数，假设对任意1212,x x x x ，都有12120x x x x ，那么函数y f x的图象可以是〔〕A.B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】条件12120x x x x 表示函数x为单调递增函数，对x求导后，利用导数大于零，判断出f x为单调递增函数，然后对选项利用对应的函数进展判断，从而得出正确选项.【详解】因为对任意1212,x x x x ，都有12120x x x x ，所以函数x为单调递增函数，即0x f x f x a ，所以fx f x a ，因为0,a x x a ，故f x为单调递增函数，选项A 为指数型函数，不妨设x ye ，满足题意，应选A ．【点睛】本小题主要考察对2121y y x x 的理解，考察导数与单调性的对应关系.2121y y x x 是斜率的公式，根据21210y y x x 或者者21210y y x x 可以判断出函数的单调性，前者为增函数，后者为减函数.这个条件还可以改为21210y y x x ，或者者21210y y x x 同样也是说明单调性的.21()()f x x ax xe e与()x g x e 的图象上存在关于直线yx 对称的点，那么实数a 的取值范围是〔〕 A.1[,]ee e B.1[1,]e e C.11[,]e e e e D.1[1,]e e【答案】D 【解析】 【分析】e x g x关于yx 对称的函数为ln y x ，将问题转化为f x与ln y x 图像有交点的问题来解决.令ln f x x ，将其变为两个函数，利用导数研究这两个函数的图像，由此求得a 的取值范围. 【详解】e x gx关于yx 对称的函数为ln y x ，所以原问题等价于f x与ln y x 图像有交点，令ln f xx 化简得2ln ax x x ，对于2ln y xx ，221x yx ，故其在12,e 2上递减，在2,e 2上递增，由此画出y ax 和2ln yx x 的图像如以下列图所示.要使2ln axx x有解，直线y ax 的斜率要介于切线OB 的斜率OB k 和直线OA 的斜率OAk 之间.当1ex时，22111ln1e eey，即211,1e eA，所以2111e e 1e eOAk .设2,ln B n n n，12OBk nn，故切线OB的方程为21ln 2yn nnx nn，将原点坐标代入得210ln 20n n n nn，解得1n ，故2111OBk ，所以斜率的取值范围是11,e e，应选D.【点睛】本小题主要考察利用导数研究存在性问题，考察化归与转化的数学思想方法，考察数形结合的数学思想方法，属于中档题.由于题目涉及e x y还有yx 这两个条件，可以想到e x y和ln yx 互为反函数，它们的图像关于y x 对称.由此将问题转化为f x和ln y x 图像有交点的问题来解决.二、填空题：(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．),a b满足26a b a b ，且2,1a b ，那么a 与b的夹角为__________.【答案】23【解析】 【分析】将条件展开后化简，求得a b 的值，利用夹角公式求得两个向量的夹角.【详解】根据26a b a b 得，2226a ab b ，即1a b ，故1cos ,2a b a ba b ，故两个向量的夹角为2π3. 【点睛】本小题主要考察向量的数量积运算，考察向量的夹角公式，考察运算求解才能，属于根底题. 1021年8月31日，十三届全国人大常委会第五次会议表决通过了关于修改个人所得税法的决定，这是我国个人所得税法自1980年出台以来第七次大修.为了让纳税人尽早享受减税红利，在过渡期对纳税个人按照下表计算个人所得税，值得注意的是起征点变为5000元，即如表中“全月应纳税所得额〞是纳税者的月薪金收入减去5000元后的余额．某企业员工今年10月份的月工资为15000元，那么应缴纳的个人所得税为______元. 【答案】790 【解析】 【分析】结合题意可得企业员工今年10月份的月工资为15000元，个人所得税属于2级，可得应缴纳的个人所得税为150005000300010%30003%，计算即可．【详解】结合题意可得企业员工今年10月份的月工资为15000元，个人所得税属于2级， 那么应缴纳的个人所得税为150005000300010%30003%70090790元故答案为：790【点睛】此题考察了函数模型的选择与应用，属于根底题． 15.1,0A ，B 是圆F ：222110x x y 〔F 为圆心〕上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，那么动点P 的轨迹方程为__________．【答案】22413x y 【解析】试题分析：由题意作出辅助图，知，所以，故P 的轨迹是以A 、F 为焦点的椭圆，且，所以，故P 的轨迹方程为22413x y 考点：轨迹方程、椭圆定义ABC 沿斜边上的高AD 折成120的二面角，直角边3,6AB AC ，那么下面说法正确的选项是_________．〔1〕平面ABC平面ACD 〔2〕四面体D ABC 6〔3〕二面角A BC D 的正切值是423〔4〕BC 与平面ACD 21 【答案】〔3〕〔4〕 【解析】 【分析】画出图像，由图像判断〔1〕是否正确；计算D ABC 的体积来判断〔2〕是否正确；依题意建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法判断〔3〕，〔4〕是否正确.【详解】画出图像如以下列图所示，由图可知〔1〕的判断显然错误.由于,AD CD ADBD ，故BDC 是二面角C AD B 的平面角且AD 平面BCD ，故60BDC .过B 作BECD 交CD的延长线于E，由于AD BE，故BE是三棱锥B ACD的高.在原图中，363BC ，3623AB AC ADBC,321BD ,622CD ,33sin60122BE BD ，所以111362232626DABCBACDV V AD CD BE ，故〔2〕错误.以D 为坐标原点，,,DA DCDz分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系.13,0,,,0,2,022A B C ,132,,,2,2,022AB AC ，设平面ABC的法向量为,,n x y z，那么132022220n ABxy z n ACx y ，令2x ，那么562,3y z,即562,2,3n.平面BCD 的法向量是2,0,0DA.设二面角A BC D 的平面角为，由图可知为锐角，故3cos17n DA nDA ，那么其正切值为423ACD 的法向量为0,0,1，530,,22BC，设直线BC 和平面ACD 所成的角为，那么530,,2221sin14530,,22，故〔4〕判断正确.综上所述，正确的有〔3〕，〔4〕.【点睛】本小题主要考察折叠问题，考察空间面面垂直的判断，考察锥体体积计算，考察二面角的计算以及线面角的计算，属于中档题.三、解答题：〔本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕ABC 中，点D 在边BC 上，且0AD AC ，22cos 3DAB，32AB ．〔1〕假设43BC ，求sin C 的值；〔2〕假设2AC，求BC 边上的中线AE 的长．【答案】3〔2〕2.【解析】 【分析】〔1〕利用诱导公式求得sin BAC 的值，然后在ABC 中利用正弦定理求得sin C 的值.〔2〕由sin BAC 的值求得cos BAC 的值.利用1=+2AE AB AC 两边平方后根据向量数量积的运算，求得AE 的长.【详解】(1)22sinsin 90cos 3BACDABDAB由条件得 3433,sin sin 322ABC C C在中，则．〔2〕221sin 3BAC 由∵BAC 为钝角∴1cos 3BAC又2,32ACAB ，222222111=+22cos 4444AE AB AC AB AC AB AC AB ACAB AC A 所以2AE【点睛】本小题主要考察三角函数诱导公式，考察利用正弦定理解三角形，还考察了向量的线性运算以及数量积的运算，属于中档题.n a 中，122,3a a ，其前n 项和n S 满足1121(2,)n nn S S S nn N .〔1〕求证：数列n a 为等差数列，并求na 的通项公式；〔2〕设3n nn b a ，求数列n b 的前n 项和n T .【答案】〔1〕1n a n ；〔2〕333T ()3244n nn 【解析】 【分析】〔1〕根据题干所给的条件得到11nn a a 〔2n ，*n N 〕，且211a a ，可得到数列为等差数列，进而得到通项；〔2〕错位相减求和即可. 【详解】〔1〕由，111n n n n S S S S 〔2n ，*n N 〕，即11nn a a 〔2n ，*n N 〕，且211a a ．∴数列n a 是以12a 为首项，公差为1的等差数列．∴1na n〔2〕由〔Ⅰ〕知13n nb n 它的前n 项和为n T12312341T 23334331313T 2333433132n n n n n n n n n n ，333T 3244nnn .【点睛】这个题目考察的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的n S 和n a 的关系，求n a 表达式，一般是写出1nS 做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等. 19.在如下列图的空间几何体中，平面ACD平面ABC ，ACD 与ACB 都是边长为2的等边三角形，2BE ，BE 和平面ABC 所成的角为60，且点E 在平面ABC 上的射影落在ABC 的平分线上．〔1〕求证：//DE 平面ABC ；〔2〕求二面角EBC A 的余弦值.【答案】〔1〕证明见解析；〔2. 【解析】 试题分析：〔1〕AC 的中点O ，连接,BO DO ，根据等边三角形的性质可知DO平面ABC ，作EF平面ABC ，那么//EF DO ，通过计算证明四边形DEFO 是平行四边形，故//DE OF ，由此可得//DE 平面ABC ；〔2〕以O 为坐标原点，,,OA OB OD 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，通过平面EBC 和平面ABC 的法向量，计算得二面角的余弦值为13. 试题解析：〔1〕由题意知ABC ACD 、为边长2的等边取AC 的中点O ，连接BO ，那么,BOAC DOAC ，又平面ACD平面ABC ，∴DO平面ABC ，作EF平面ABC ，那么//EF DO ，根据题意，点F 落在BO 上，∵BE 和平面ABC 所成的角为60°，∴060EBF，∵2BE ，∴3EFDO ，∴四边形DEFO 是平行四边形，∴//DE OF ．∴DE平面,ABC OF 平面ABC ，∴//DE 平面ABC 4分〔2〕建立空间直角坐标系O xyz ，那么0,3,0,1,0,0,0,31,3B CE ，∴， ∴，平面ABC 的一个法向量为．设平面BCE 的法向量，那么，∴，取1z ，∴，∴，又由图知，所求二面角的平面角是锐角，二面角EBC A 13．．12分考点：空间向量与立体几何.220y px p ，过,0M a 且斜率为1的直线l 与抛物线交于不同的两点,,2A B AB p〔1〕求a 的取值范围； 〔2〕假设线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求NAB 面积的最大值。
2021-2022年高三上学期第五次月考 数学试题 含答案
2021-2022年高三上学期第五次月考 数学试题 含答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}{}11|,,A B m m x y x A y A =-==+∈∈，，，则集合等于A. B. C. D.2. 已知i 是虚数单位，则复数的虚部等于A.B.C.D ．13. 若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为A ．B ．C ．D ．4. 在等差数列中，()()3456814164336a a a a a a a ++++++=，那么该数列 的前14项和为A ．20B ．21C ．42D ．845. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为 “同簇函数”．给出下列函数： ①； ②； ③ ； ④ ． 其中“同簇函数”的是A.①②B.①④C.②③D.③④6．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为的 正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是A. B. C. D.7. 如图，矩形OABC 内的阴影部分是由曲线 ,及 直线,与x 轴围成，向矩形内随机投掷一点， 若落在阴影部分的概率为，则的值是A. B. C. D.8. 如图,,点在线段的延长线上,分别为的边上的点.若与共线,与共线,则的值为A ．B ．0C ．1D ．29. 在等腰梯形中，，，为的中点，将与分布沿、向上折起，使重合于点，则三棱锥的外接球的体积为俯视图侧视图正视图6题A. B. C. D.10. 已知，、满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥m x y x x y 2，且的最大值是最小值的倍，则的值是A. B. C. D.11. 已知双曲线是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上的动点，且直线的斜率分别为，若的最小值为1，则双曲线的离心率为A. B. C. D.12. 可导函数的导函数为，且满足：①；②，记， ，则的大小顺序为A. B. C. D.第II 卷二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸上） 13. 对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：… …根据上述分解规律，若，的分解中最小的正整数是21，则________．14. 若函数32231(0)()(0)axx x x f x e x ++≤⎧=⎨>⎩在上的最大值为2，则实数的取值范围是 .15. 中,,是的中点,若,则___63．_____. 16. 已知函数的定义域为,当时,,且对任意的实数,等式成立．若数列满足, ,则的值为 ．三、解答题（本大题共有6各小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）在等差数列中，，其前项和为，等比数列 的各项均为正数，，公比为，且，. （1）求与；（2）设数列满足，求的前项和.18. (本题满分12分)已知函数21cos 2sin 23)(2--=x x x f ，． (1)若，求函数的最大值和最小值，并写出相应的的值； (2)设的内角、、的对边分别为、、，满足，且，求、的值.19. (本题满分12分)在三棱柱中，12AB BC CA AA ====，侧棱面，分别是棱的中点，点在棱上，且．(1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值． 20.（本小题12分）时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量（单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足的关系式，其中，为常数.已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套. （1）求的值；（2）假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.（保留1位小数）21．（本小题12分）已知椭圆的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值.22．（本小题12分）已知函数（为常数，2.71828……是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行. （1）求的值； （2）求的单调区间；（3）设，其中为的导函数，证明：对任意，.高三第五次月考·数学答案一、选择题：BDCBD ABBCA BC二、填空题：13.11 14. 15. 16.4017 三、解答题：17.解（1）设的公差为.因为⎪⎩⎪⎨⎧==+,,122222b S q S b 所以⎪⎩⎪⎨⎧+==++．，q d q d q 6126……………………3分解得 或（舍），故 ，……………………………………5分 （2）由（1）可知，，所以()122113331n n c S n n n n ⎛⎫===- ⎪++⎝⎭.……………………8分故()21111121211322313131n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦……………10分 18.解（1）1cos 21()2sin(2)1226x f x x x π+=--=--.............3分 令。
长郡中学2024届高三上学期月考(五)数学试题(原卷版)
英才大联考长郡中学2024届高三月考试卷（五）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合{}2|60Ax xx =−−<，集合{}2|lo 1g Bx x =<，则A B ∪=A.()2,3− B.(),3−∞ C.()2,2− D.()0,2（2022.广州二模）2.下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是（ ）A.12xy =B.2yx x =−C.1y x =− D.1y x x=−3.已知像2，3，5，7这样只能被1和它本身整除的正整数称为素数（也称为质数），设x 是正整数，用()x π表示不超过x 的素数个数，事实上，数学家们已经证明，当x 充分大时，()ln xx xπ≈，利用此公式求出不超过10000的素数个数约为(lg e 0.4343)≈（ ） A.1086B.1229C.980D.10604.2021年10月12日，习近平总书记在《生物多样性公约》第十五次缔约方大会领导人峰会视频讲话中提出：“绿水青山就是金山银山．良好生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系经济社会发展潜力和后劲．”某工厂将产生废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为()0e 0ktP P t −=⋅≥，其中k 为常数，0k >，0P 为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前4个小时废气中的污染物恰好被过滤掉90%，那么再继续过滤2小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（ ）A.5%B.3%C.2%D.1%（2022.苏北七市三模） 5.函数()()2,,R ax bf x a b c x c+=∈+的图象可能是（）的AB.C. D.6. 现有长为89cm 的铁丝，要截成n 小段(2)n >，每段的长度为不小于1cm 的整数，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n 的最大值为（ ） A. 8B. 9C. 10D. 117. 已知函数211()sin sin (0)222xf x x ωωω=+−>，x R ∈.若()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是 A. 10,8B. 150,,148∪C. 50,8D. 1150,,848∪8. 已知函数22()42af x x x x =−−−在区间(),2−∞−，)+∞上都单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A. 0a <≤B. 04a <≤C. 0a <≤D. 0a <≤二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 同学们，你们是否注意到；自然下垂的铁链；空旷田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线相关理论在工程､航海､光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数表达式可以为()x x f x ae be −=+（其中a ，b 是非零常数，无理数e=2.71828…），对于函数()f x ，以下结论正确的是（ ）A. 如果a=b ，那么()f x 奇函数B. 如果0ab <，那么()f x 为单调函数C. 如果0ab >，那么()f x 没有零点D. 如果1ab =，那么()f x 的最小值为2.为10. 由两个全等的正四棱台组合而得到的几何体1如图1，沿着1BB 和1DD 分别作上底面的垂面，垂面经过棱,,,EP PH HQ QE 的中点,,,F G M N ，则两个垂面之间的几何体2如图2所示，若2EN AB EA ===，则（）A. 1BB =B. //FG ACC. BD ⊥平面1BFB GD. 几何体2的表面积为811. 已知函数e x y x =+的零点为1x ，ln y x x =+的零点为2x ，则（ ） A. 120x x +> B. 120x x < C. 12ln 0xe x +=D. 12121x x x x −+<12. 已知0ab ≠，函数()2e axf x x bx =++，则（ ） A. 对任意a ，b ，()f x 存在唯一极值点B. 对任意a ，b ，曲线()y f x =过原点的切线有两条C. 当2a b +=−时，()f x 存在零点D. 当0a b +>时，()fx 最小值为1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知sin 3cos 0αα−=，则cos 2tan αα+=________． 14. 函数()1293xxf x −=+的最小值是___________.15. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x =___________.①()f x 是定义域为R 的奇函数；②()()11f x f x +=−；③()12f =.16. 函数()sin ln 23f x x x π=−−的所有零点之和为__________．的四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()222(sin sin sin )1cos2.a A c C b B a C +−=− （1）求B.（2）是否存在()0,A π∈，使得2a c b +=，若存在，求;A 若不存在，说明理由.18. 已知直三棱柱111ABC A B C 中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点，11BF A B ⊥．（1）证明：BF DE ⊥；（2）当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最大？ 19. 函数22()ln ,()(2) 2.71828...x f x a x x g x x e x m x e =−=−−+=+（其中）. （1）当0a ≤时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =−时，(0,1]x ∈时，()()f x g x >恒成立，求正整数m 最大值.20. 已知函数()()ln f x a x a x =+−．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0a >时，()2e af x a <．21. 已知函数()ln 1f x x x x =−−． （1）证明：()0;f x ≤ （2）若e 1x ax ≥+，求a ．22. 设函数()()2e sin 1xf x a x ax a x =+−−+.（1）当0a ≤时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 在R 上单调递增，求a.的。
高三数学上学期第5次月考试题 理
卜人入州八九几市潮王学校数学〔理〕试题一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.1．集合{}a x x A <=，{}21<≤=x x B ，且()R B C A R =⋃，那么实数a 的取值范围是() A ．1≤a B ．1<a C ．2≥a D ．2>a2．设2()lg()1f x a x =+-是奇函数，那么使()0f x <的x 的取值范围是〔〕A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(,0)-∞D ．(,0)(1,)-∞+∞3.设Sn 是等比数列{an}的前n 项和，假设a3=7，S3=21，那么数列{an}的公比是()〔A 〕12-〔B 〕1 〔C 〕12或者1 〔D 〕－12或者14.假设非直角△ABC 的内角A 、B 、C 成等差数列，那么tanA+tanC －tanAtanBtanC=()〔A〕〔B〕〔C〔D5．由直线,,033x x y ππ=-==与曲线sin y x =所围成的封闭图形的面积为〔〕A ．12BC．1()3sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图像，那么()y g x =图像的一条对称轴是〔〕7．设,x y 满足约束条件04312x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，那么231x y x +++取值范围是〔〕 A ．[1,5]B ．[2,6]C ．[3,10]D ．[3,11]8.在△ABC 中，假设(4)AB AC CB -⊥，那么sinA 的最大值为()〔A 〕12 〔B〔C 〕35 〔D 〕459．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线右支上的任意一点，假设212||||PF PF 的最小值为8a ，那么双曲线离心率的取值范围是〔〕 A ．()1+∞，B ．(]1,3C．(D ． (]1,210．函数31,0()3,0x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩，那么关于x 的方程2(2)f x x a +=〔2a >〕的根的个数不可能为〔〕A ．3B ．4C ．5D ．6二.填空题：本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分．请把正确答案填在答题卡的相应位置．x ，y 为正实数，且32=+y x ，那么xy yx +3的最小值为；平面向量,a b 满足：||1,||2a b ==，且|2|10a b +=，那么向量a 与2a b -的夹角为．13.过原点O 作圆0208622=+--+y x y x 的两条切线，设切点分别为P 、Q,那么直线PQ 的方程是． 14．⎩⎨⎧>≤--=1,log 1,)3()(x x x a x a x f a 是).(∞+-∞上是增函数，那么实数a 的取值范围是_____________ 15.设非直角△ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c,那么以下结论正确的选项是①“sinA>sinB〞是“a>b〞的充分必要条件②“cosA<cosB〞是“a>b〞的充分必要条件③“tanA>tanB 是“a>b〞的充分必要条件④“sin2A>sin2B〞是“a>b〞的充分必要条件⑤“cos2A<cos2B〞是“a>b〞的充分必要条件三．解答题：〔本大题一一共6小题，一共75分〕16．〔本小题总分值是12分〕在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，ccos cos C A =。
广东省茂名市第五中学2021年高三数学理月考试卷含解析
广东省茂名市第五中学2020-2021学年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数，正实数m,n满足，且，若在区间上的最大值为2，则m、n的值分别为（）(A). (B). (C). (D).参考答案：A略2. 若点P(－3,4)在角α的终边上，则cosα=（）A. B. C. D.参考答案：A由三角函数的定义可知3. 已知集合，，则集合M∩N=（）A．{0,2} B．(2,0) C．{(0,2)} D．{(2,0)}参考答案：D，得，所以，故选D。
4. 已知是虚数单位，是的共轭复数，，则的虚部为（）A． B． C． D．参考答案：A5. 在中，角所对的边分别为，为的外心，为边上的中点，，，，则（）A. B. C. D.参考答案：C6. 设p、q是简单命题，则“p或q是假命题” 是“非p为真命题”的( )A．充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件参考答案：A7. 已知双曲线 (a＞0，b＞0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2，-1)，则双曲线的焦距为（）参考答案：B8. 若命题，，则是（）A. ，B. ，C. ，D. ，参考答案：D【详解】因存在性命题的否定是全称命题,改写量词后否定结论， 所以是，故应选D ．9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （ ） A.B.C.D.参考答案：B 略10. 已知函数，是方程的两个实根，其中，则实数的大小关系是( )A ．B ．C ．D ．参考答案：D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在的展开式中项的系数为 ．参考答案： 1012. 若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为．参考答案：考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出双曲线的一个焦点和一条渐近线，运用点到直线的距离公式，即可得到c=2b ，再由a ，b ，c 的关系和离心率公式，即可计算得到．解答： 解：设双曲线的一个焦点为（c ，0），一条渐近线为y=x ，则===b=×2c，即有c=2b ，即有c=2，即有3c 2=4a 2，即有e==．故答案为：．点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．13. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线ρsin(θ+)=2被圆ρ=4截得的弦长为 ． 参考答案：14. 阅读程序框图，若输入，，则输出；；参考答案：15.已知幂函数的图象过点，则＝参考答案： 216. 在正项等比数列{a n }中，已知a 1＜a 2015=1，若集A={t|（a 1﹣）+（a 2﹣）+…+（a t ﹣）≤0，t∈N *}，则A 中元素个数为 ．参考答案：4029考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：设公比为q ，利用a 1＜a 2015=1，确定q ＞1，a 1=q ﹣2014，利用等比数列的求和公式，结合不等式，即可求出A 中元素个数． 解答： 解：设公比为q∵a 1＜a 2015=a 1q2014=1∴0＜a 1＜1，q ＞1， ∴a 1=q ﹣2014，∴（a 1﹣）+（a 2﹣）+…+（a t ﹣）=（a 1+a 2+…+a t ）﹣（++…+）=﹣≤0∴（1﹣q ﹣t）（q t ﹣4029﹣1）≤0∴q t ﹣4029﹣1≤0 ∴q t ﹣4029≤1∴t≤4029 故答案为4029．点评：本题考查等比数列的求和公式，考查学生的计算能力，正确求和是关键．17. 在中，角所对的边分别为．若，的面积，则的值为_____________．参考答案：试题分析：，由余弦定理得，因此考点：余弦定理三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
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广东省数学高三上学期理数第五次月考试卷
姓名:________
班级:________
成绩:________
一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)
1.（2 分）(2019 高三上·武汉月考) 已知全集
，
（）
A.
B.
C.
D.
，
，则
2. （2 分） 如图所示，函数
的图象在点 P 处的切线方程是
，则
（）
A. B.1 C.2 D.0
3. （2 分） (2018 高二下·晋江期末) 已知函数 成立，则 的取值范围是（ ）
，当
时，
恒
A.
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B.
C.
D.
4. （2 分） 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数.给出下列函数：
①
；
②
；
③
；
④
.
其中“互为生成”函数的是（ ）
A . ①②
B . ②③
C . ③④
D . ①④
5. （2 分） (2019 高二下·张家口月考) 点 的最大值为（ ）
是曲线
A.
B. C.3
D.
6. （2 分） 已知 O 是
内部一点，
第 2 页 共 17 页
，（ 为参数）上的任意一点，则
则
的面积为
（）
A. B.
C. D. 7. （2 分） (2018 高二上·普兰期中) 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里 关，初行健步不为难,次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有人 走了 378 里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地．”问 此人第 2 天走了（ ） A . 24 里 B . 48 里 C . 96 里 D . 192 里 8. （2 分） (2016 高二下·三亚期末) 已知函数 f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1 在（﹣∞，+∞）上是单调函数，则 实数 a 的取值范围是（ ） A.
B.
C.
D.
9. （2 分） 设变量 满足约束条件 A . —2
，则
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的最大值为 （ ）
B.4 C.6 D.8 10. （2 分） 已知
的外接圆半径为 1，圆心为 O，且
，则
的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
11. （2 分） 长方体的一个顶点上三条棱长为 3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是 （）
A . 20 π
B . 25 π
C . 50π
D . 200π
12. （2 分） 已知奇函数 f(x)为 R 上的减函数，则关于 a 的不等式 f(a2)+f(2a)＞0 的解集是 （ ）
A . (-2,0)
B . (0,2)
C . (-2,0)∪(0,2)
D . (-∞,-2)∪(0,+∞)
二、 填空题 (共 4 题；共 5 分)
13. （1 分） (2020·宿迁模拟) 若复数 满足
（i 是虚数单位），则复数 z 的模等于________．
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14. （1 分） 向量 =（1，2）， =（﹣2，5）．若 m ﹣n 与 +2 共线（其中 m，n∈R，且 n≠0）， 则 等于________．
15. （2 分） (2019 高三上·长春期末) 在四面体
中，若
，则四面体
的外接球的表面积为________．
，
，
16. （1 分） (2017·商丘模拟) 已知 f（x）=x3﹣3x+2+m（m＞0），在区间[0，2]上存在三个不同的实数 a，b， c，使得以 f（a），f（b），f（c）为边长的三角形是直角三角形，则 m 的取值范围是________．
三、 解答题 (共 6 题；共 44 分)
17. （10 分） (2020 高一下·宣城期末) 已知集合
内有解时，实数 a 的取值范围记为集合 B．
（1） 若
，求集合 B 及
；
（2） 若 A⫋ B，求实数 m 的取值范围.
，函数
在区间
18. （2 分） (2019 高二上·吴起期中) 在
中，角
所对的边分别是
，若
，且
（1） 求
, 的值；
（2） 若
，求
19. （10 分） (2020·贵州模拟) ．
的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
（1） 求 ；
（2） 若
的面积为 ，求边 的最小值．
20. （2 分） (2017·广东模拟) 已知递增数列{an}，a1=2，其前 n 项和为 Sn ， 且满足 3（Sn+Sn﹣1）= +2 （n≥2）．
（1） 求数列{an}的通项公式；
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（2） 若数列{bn}满足
=n，求其前 n 项和 Tn ．
21. （10 分） (2018 高二上·黑龙江期末) 如图所示，正方形
，
，
.
与直角梯形
所在平面互相垂直，
（1） 求证： （2） 求证：
平面
.
平面
.
22. （10 分） (2020 高二下·天津期中) 已知函数 f（x）＝x3 ax2﹣x+1（a∈R）． （1） 当 a＝2 时，求曲线 y＝f（x）在点（1，f （1））处的切线方程； （2） 当 a＜0 时，设 g（x）＝f（x）+x． ①求函数 g（x）的极值； ②若函数 g（x）在[1，2]上的最小值是﹣9，求实数 a 的值．
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一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)
答案：1-1、 考点：
参考答案
解析： 答案：2-1、 考点：
解析： 答案：3-1、 考点： 解析：
第 7 页 共 17 页
答案：4-1、 考点：
解析： 答案：5-1、 考点：
解析： 答案：6-1、 考点： 解析：
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答案：9-1、
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答案：12-1、
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二、填空题 (共4题；共5分)答案：13-1、
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答案：14-1、
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答案：15-1、考点：
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答案：16-1、考点：
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三、解答题 (共6题；共44分)答案：17-1、
答案：17-2、
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答案：18-1、
答案：18-2、考点：
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答案：19-1、
答案：19-2、考点：
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答案：20-1、
答案：20-2、考点：
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答案：21-1、
答案：21-2、
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答案：22-1、
答案：22-2、考点：
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