高中数学竞赛讲义——格点问题

格点问题[赛点直击]1．格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为x 轴和y 轴，且设一个方格的边长为1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。

因此，格点又称为整点。

2．坐标平面内顶点为格点的三角形称为格点三角形，类似地也有格点多边形的概念。

3．格点多边形的面积必为整数或半整数（奇数的一半）。

4．格点关于格点的对称点为格点。

5．设格点多边形内部有I 个格点，边界上有p 个格点，则格点多边形的面积为 S=I+P/2-1（见例5）。

[赛题精析]例1 平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线s=5/3x+4/5的距离中的最小值是 （ ）A B ．120 D ．130思路点拨：可以引进整点坐标，利用点到直线的距离公式，建立整点到直线距离的二元函数。

通过对距离函数最值的探求获得问题的解。

而不同角度的探求又能得到不同的解法。

解法一 已知直线可写成25x-15y+12=0整点()00,x y 到直线的距离为d =由0x ，0y 均可为整数知00251512x y -+必为整数，从而d 为无理数，否定C,D. 若选A ，则002515121x y -+=即0025151x y -=±有00251513x y -=-或00251511x y -=-但()00002515553x y x y -=-是5的倍数，不会取-13，-11。

故否定A ，从而选B 解法二 距离d 的大小完全有12152500+-y x 来确定，当12152500+-y x 最小时，d 也相应的取最小值。

由于)35(515250000y x y x -=-是5的倍数，故212152500≥+-y x 。

另一方面，当4,200-=-=y x 时，212152500=+-y x .∴d 取最小值85343452=。

故选B 。

评注：（1）直线0121525=+-y x 上设有格点，因为如果有，则)53(5152512x y y x -=+-=是5的倍数，与 相矛盾。

（2）格点)4,2(--到直线5435+=x y 的距离是平面上的格点到直线距离中最小的，但这样的点不至)4,2(--一个，点)6,4(--等直线101525-=-y x （即235-=-y x ）上的无数多个格点都是这样的点。

（3）当),(00y x 取遍平面上不同的格点时，345121525+-=y x d 的取值从小到大形成了以8534为首项，3434为公差的无穷等差数列。

对以上这样基本事实要能真正理解，我们对本例的认识就深刻了。

例 2 对于自然对数n ，连结原点O 和点(,3)n A n n +。

用()f n 表示线段n OA 上除端点外的整点的个数。

求)2005()2()1(f f f +++思路点拨：可从线段4321,,,OA OA OA OA 等最初的情形开始探究，发现规律。

解 如图所示，线段n OA 的方程为3n y x n+=在()0,n 内的整数解的个数。

通过分析可得：当3()n k k Z =∈时，方程变为()103k y x x k k+=<<，有两个整数解，即()32f k =，当31()n k k Z =±∈时，方程3(031)n y x x k n +=<<±没有整数解，即(31)0()f k k Z ±=∈。

所以13362668)2005()2()1(=⨯=+++f f f 。

评注：本例的结论可以推广成：∑=⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n i n i f 1.23)( 例3 求证：平面上存在不全在一直线上的2005个格点，任意两点之间的距离都是整数。

思路点拨：先从简单情形入手，从中寻求启示。

若要三个格点满足题设要求，则比较容易，自然想到勾股数组（3，4，5）。

取123(0,0),(0,3),(4,0)A A A ，则123,,A A A 是不共线的三点，它们之间任意两点之间的距离为整数。

由此进一步考虑勾股数组：22222,,x uv y u v z u v ==-=+。

至此再考虑原题就不太困难了。

证明：记(0,)B b ，其中2005212p p p b =（i p 为不同因子，2005,,2,1 =i ） 记(,0)j j A a ，其中)2004,,2,1()()(2200521221 =-=++j p p p p p p a j j j j由勾股数组公式易知j A B N =，即以上找到的2005个格点B 与)2004,,2,1( =j A j 不全在一直线上，且两两之间距离为整数。

评注：利用证明过程中所采用的构造法，同样可以证明这个问题的一般性结论：平面上存在着不全在一直线上的n 个格点，它们中任意两点之间的距离都是整数。

例 4 在直角坐标平面的第一象限及其边界上，把坐标都是整数的点按以下方法编号（0，0）点第一号；（1，0）点第2号；（1，1）点第3号；（0，1）点第4号；（0，2）点第5号；（1，2）点第6号；（2，2）点第7号；（2，1）点第8号；（2，0）点第9号；…（如图），按图中箭头的顺序，问第2005号点的坐标是什么？思路点拨：考虑图中由若干个箭头及坐标轴围成的一系列的正方形这些正方形的边长分别为1，2，3，4，…，k ，…它们内部及其边界上的整点个数分别,)13(,)12(,)11(222+++……， 2)1(+k ，……。

于是，我们只要探求2005界于哪两个完全平方数之间，然后只需根据有关的奇偶性及箭头走向之间的关系，就能获知第2005号点的坐标了。

解：因为区域k y k x ≤≤≤≤0,0上的格点个数为2)1(+k 。

又224520252005193644=<<=。

所以编号为2005的点的纵、横坐标中至少有一个是44。

因为44是偶数，所以应从点（0，44）往右。

又因为44694420052>=-，所以编号为2005的点的横坐标是44，纵坐标是20)4569(44=--，即所求的点的坐标是（44，20）。

评注：在求解过程中，考虑箭头的走向十分关键。

例如，从)12,0(-k 点之后，走向是从该点开始先向上一个单位，之后再向右k 2个单位，然后向下k 2个单位到达x 轴上的点)0,2(k 处；而从)0,2(k 点处出发，则先向右一个单位，之后向上12+k 个单位，然后再向左12+k 个单位到达y 轴上的点)12,0(+k 处。

当我们求第n 号点的坐标时，首先要确定22)2()12(k n k <≤-，还是22)12()2(+≤k n k ，然后就能在上述两种走向中确定关于第n 号点的走向，进而确定它的坐标。

例5 设格点三角形内部的格点数为N ，边上（包括顶点）的格点数为L ，则它的面积12-+=L N S ，试证之。

思路点拨：这里可以采用从特殊到一般的探求方法，首先考虑结论对直角形（且直角边与坐标轴平行或就在坐标轴上）成立，然后再想法推广到一般情况。

证明：先考虑直角三角形，两直角边分别平行于坐标轴。

这样的三角形面积为一个矩形面积一半，如右图所示。

假定矩形的横向边长m 为个单位，纵向边长为n 个单位，那么它的面积为mn 。

对于ABC Rt ∆，假定斜边上的格点数为0l ， 那么.1)],()1)(1[(21020-++=---=-l n m L l n m N 因此，ABC S mn L N ∆==-+21121，即对所述直角三角形结论正确。

再设ABC ∆为任意格点三角形，不妨假定三个顶点的坐标分别为),(),()0,0(2211n m C n m B A 、、，如右图，它内接于格点矩形ADEF 中，显然，ABC ∆的面积等于矩形ADEF 的面积减去三个直角三角形的面积之和。

假设AB 上格点数为3l ，BC 上格点数为1l ，CA 上格点数为2l （都包括端点），设321,,∆∆∆分别表示ADB CFA BEC ∆∆∆,,，那么)3,2,1(121=-+=∆∆∆i L N S i i i 。

设44,L N 分别表示矩形ADEF 的内部格点数与边界格点数，则)(1213213214421∆∆∆∆∆∆∆++--+=---=S S S L N S S S n m S ABC 2)(21)32132144+---+---=∆∆∆∆∆∆L L L L N N N N .121=+=L N 评注：（1）在本题的证明过程中，先论证其特殊情况，再利用间接法将它推广到一般情形。

（2）利用数学归纳法，可以把本题的结论推广到任意的n 边格点多边形。

（3）利用本题的结论也可知格点多边形的面积必是整数或半整数。

例6 求证：平面上整点凸五边形的面积不小于52。

思路点拨：有格点的分类即知格点凸五边形必有两顶点属于同一类，这两个顶点的连线的中点也是整点，再分此点在凸五边形的边界和内部两类讨论。

证明：考虑整点的纵、横坐标的奇偶性，只有（奇，奇）（偶，偶）（奇，偶）（偶，奇）四类。

由抽屉原则，凸五边形5个顶点中一定有两个顶点属于同一种类型，于是其中点M 也是整点。

由于是凸五边形，故M 在此凸五边形的内部或边界上。

（1）若M 在凸五边形的内部，此时边界上格点数5L ≥，内部格点数1N ≥，则其面积1515122S ≥+⨯-= （2）如图所示，若M 在凸五边形的边界上，设M 在边21P P 上。

因54321P P P P P 是凸五边形，故43P P ，54P P中必有一条与21P P 不平行，设43P P 与21P P 不平行。

于是432P P P ∆，43P MP ∆的面积互不相同，则其中面积最大的那一个，不妨设432P P P ∆，则1321≥∆P P P S ，于是五边形的面积.25212121114254515421432=+++≥+++≥+=∆∆∆∆P MP P MP MP P P P P P P P P S S S S S 四边形 评注：其实在第2种情形中，我们也可以将格点五边形54321P P P P P 分割成另一个格点五边形5431P P MP P 与格点32P MP ∆，然后只要证格点五边形5431P P MP P 的面积大于等于2，而这一点利用本例证明过程中开头的结论立即可得，于是再加格点32P MP ∆的面积，就有格点五边形54321P P P P P 的面积大于等于25了。

例7 设格点ABC ∆的边界上除顶点外没有格点，但在ABC ∆的内部都存在唯一的格点p ，求证：p 必是ABC ∆的重心。

思路点拨：可以先利用格点三角形面积公式12-+=∆N L S （其中L 三角形边界上的格点数，N 是内部格点数），分别计算出ABC ∆，PAB ∆，PBC ∆，PCA ∆的面积。