中考数学真题汇编：轴对称变换(含答案)
2020年中考数学一轮专项复习——图形的对称中考真题汇编(含详细解答)
2020年中考数学一轮专项复习——图形的对称中考真题汇编一．选择题1．（2019•深圳）下列图形中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2019•湘西州）下列四个图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（2019•兰州）如图，边长为的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，折痕DF交AC于点M，则OM＝（）A．B．C．﹣1 D．﹣14．（2019•攀枝花）如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE＝4，EC＝8，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于G，连接AG，FC，现在有如下4个结论：①∠EAG＝45°；②FG＝FC；③FC∥AG；④S△GFC＝14．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2019•江西）如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有（）A．3种B．4种C．5种D．6种6．（2019•乐山）如图，在边长为的菱形ABCD中，∠B＝30°，过点A作AE⊥BC于点E，现将△ABE沿直线AE翻折至△AFE的位置，AF与CD交于点G．则CG等于（）A．B．1 C．D．7．（2019•台州）如图是用8块A型瓷砖（白色四边形）和8块B型瓷砖（黑色三角形）不重叠、无空隙拼接而成的一个正方形图案，图案中A型瓷砖的总面积与B型瓷砖的总面积之比为（）A．：1 B．3：2 C．：1 D．：28．（2019•湖州）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P 是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（）A．2B．C．D．9．（2019•聊城）如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C在边AB上，且＝，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（）A．（2，2）B．（，）C．（，）D．（3，3）10．（2019•重庆）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AE＝1．连接DE，将△AED沿直线AE翻折至△ABC所在的平面内，得△AEF，连接DF．过点D作DG⊥DE交BE于点G．则四边形DFEG的周长为（）A．8 B．4C．2+4 D．3+211．（2019•重庆）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC沿BD 翻折，得到△BDC'，DC′与AB交于点E，连结AC'，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为（）A．B．C．D．12．（2019•金华）将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中FM，GN是折痕．若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等，则的值是（）A．B．﹣1 C．D．二．填空题13．（2019•锦州）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，M是AD边的中点，N是AB边上的动点，将△AMN沿MN所在直线折叠，得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是．14．（2019•成都）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为．15．（2019•潍坊）如图，在矩形ABCD中，AD＝2．将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A′，折痕为DE．若将∠B沿EA′向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B′，则AB＝．16．（2019•青岛）如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF．若AD＝4cm，则CF的长为cm．17．（2019•泰安）矩形ABCD中，AB＝3，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是．18．（2019•河南）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BE＝a．连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则a的值为．19．（2019•淮安）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，H是AB的中点，将△CBH 沿CH折叠，点B落在矩形内点P处，连接AP，则tan∠HAP＝．20．（2019•广东）如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是（结果用含a，b代数式表示）．21．（2019•杭州）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点，若∠FPG＝90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于．22．（2019•淄博）如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF．如图1，当CD＝AC时，tanα1＝；如图2，当CD＝AC时，tanα2＝；如图3，当CD＝AC时，tanα3＝；……依此类推，当CD＝AC（n为正整数）时，tanαn＝．23．（2019•天津）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE、折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD 上，若DE＝5，则GE的长为．24．（2019•黄冈）如图，AC，BD在AB的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8，点M为AB 的中点，若∠CMD＝120°，则CD的最大值是．三．解答题25．（2019•天门）请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．（1）如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，画出四边形ABCD的对称轴m；（2）如图②，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠D，画出BC边的垂直平分线n．26．（2019•临沂）如图，在正方形ABCD中，E是DC边上一点，（与D、C不重合），连接AE，将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，延长EF交BC于G，连接AG，作GH⊥AG，与AE的延长线交于点H，连接CH．显然AE是∠DAF的平分线，EA是∠DEF的平分线．仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线（仅限于小于180°的角平分线），并说明理由．27．（2019•滨州）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．（1）求证：四边形CEFG是菱形；（2）若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．28．（2019•永州）（1）如图1，在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AB＝6，AD＝8，将平行四边形ABCD分割成两部分，然后拼成一个矩形，请画出拼成的矩形，并说明矩形的长和宽．（保留分割线的痕迹）（2）若将一边长为1的正方形按如图2﹣1所示剪开，恰好能拼成如图2﹣2所示的矩形，则m的值是多少？（3）四边形ABCD是一个长为7，宽为5的矩形（面积为35），若把它按如图3﹣1所示的方式剪开，分成四部分，重新拼成如图3﹣2所示的图形，得到一个长为9，宽为4的矩形（面积为36）．问：重新拼成的图形的面积为什么会增加？请说明理由．29．（2019•徐州）如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为EF．求证：（1）∠ECB＝∠FCG；（2）△EBC≌△FGC．30．（2019•鞍山）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，4），B（1，1），C（3，2）．（1）作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标．（2）已知△A2B2C2与△ABC关于直线l对称，若点C2的坐标为（﹣2，﹣3），请直接写出直线l的函数解析式．注：点A1，B1，C1及点A2，B2，C2分别是点A，B，C按题中要求变换后对应得到的点．参考答案一．选择题1．解：A、是轴对称图形，故本选项正确；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：A．2．解：A、是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．3．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD＝，∠DCB＝∠COD＝∠BOC＝90°，OD＝OC，∴BD＝AB＝2，∴OD＝BO＝OC＝1，∵将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，∴DE＝DC＝，DF⊥CE，∴OE＝﹣1，∠EDF+∠FED＝∠ECO+∠OEC＝90°，∴∠ODM＝∠ECO，在△OEC与△OMD中，，△OEC≌△OMD（ASA），∴OM＝OE＝﹣1，故选：D．4．解：如图，连接DF．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠ABE＝∠BAD＝∠ADG＝∠ECG＝90°，由翻折可知：AB＝AF，∠ABE＝∠AFE＝∠AFG＝90°，BE＝EF＝4，∠BAE＝∠EAF，∵∠AFG＝∠ADG＝90°，AG＝AG，AD＝AF，∴Rt△AGD≌Rt△AGF（HL），∴DG＝FG，∠GAF＝∠GAD，设GD＝GF＝x，∴∠EAG＝∠EAF+∠GAF＝（∠BAF+∠DAF）＝45°，故①正确，在Rt△ECG中，∵EG2＝EC2+CG2，∴（4+x）2＝82+（12﹣x）2，∴x＝6，∵CD＝BC＝BE+EC＝12，∴DG＝CG＝6，∴FG＝GC，易知△GFC不是等边三角形，显然F G≠FC，故②错误，∵GF＝GD＝GC，∴∠DFC＝90°，∴CF⊥DF，∵AD＝AF，GD＝GF，∴AG⊥DF，∴CF∥AG，故③正确，∵S△ECG＝×6×8＝24，FG：FE＝6：4＝3：2，∴FG：EG＝3：5，∴S△GFC＝×24＝，故④错误，故选：B．5．解：共有6种拼接法，如图所示．故选：D．6．解：在Rt△ABE中，∠B＝30°，AB＝，∴BE＝．根据折叠性质可得BF＝2BE＝3．∴CF＝3﹣．∵AD∥CF，∴△ADG∽△FCG．∴．设CG＝x，则，解得x＝﹣1．故选：A．7．解：如图，作DC⊥EF于C，DK⊥FH于K，连接DF．由题意：四边形DCFK是正方形，∠CDM＝∠MDF＝∠FDN＝∠NDK，∴∠CDK＝∠DKF＝90°，DK＝FK，DF＝DK，∴＝＝＝（角平分线的性质定理，可以用面积法证明），∴＝＝，∴图案中A型瓷砖的总面积与B型瓷砖的总面积之比为：1，故选：A．8．解：如图，经过P、Q的直线则把它剪成了面积相等的两部分，由图形可知△AMC≌△FPE≌△BPD，∴AM＝PB，∴PM＝AB，∵PM＝＝，∴AB＝，故选：D．9．解：∵在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），∴AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，∵＝，点D为OB的中点，∴BC＝3，OD＝BD＝2，∴D（2，0），C（4，3），作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），∵直线OA的解析式为y＝x，设直线EC的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线EC的解析式为y＝x+2，解得，，∴P（，），故选：C．10．解：∵∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD＝BD，∵BE⊥AC，∴∠GBD+∠C＝90°，∵∠EAD+∠C＝90°，∴∠GBD＝∠EAD，∵∠ADB＝∠EDG＝90°，∴∠ADB﹣∠ADG＝∠EDG﹣∠ADG，即∠BDG＝∠ADE，∴△BDG≌△ADE（ASA），∴BG＝AE＝1，DG＝DE，∵∠EDG＝90°，∴△EDG为等腰直角三角形，∴∠AED＝∠AEB+∠DEG＝90°+45°＝135°，∵△AED沿直线AE翻折得△AEF，∴△AED≌△AEF，∴∠AED＝∠AEF＝135°，ED＝EF，∴∠DEF＝360°﹣∠AED﹣∠AEF＝90°，∴△DEF为等腰直角三角形，∴EF＝DE＝DG，在Rt△AEB中，BE＝＝＝2，∴GE＝BE﹣BG＝2﹣1，在Rt△DGE中，DG＝GE＝2﹣，∴EF＝DE＝2﹣，在Rt△DEF中，DF＝DE＝2﹣1，∴四边形DFEG的周长为：GD+EF+GE+DF＝2（2﹣）+2（2﹣1）＝3+2，故选：D．11．解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点，∴DC＝AD＝2，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M，∴AD＝AC′＝DC'＝2，∴△ADC'为等边三角形，∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，∵DC＝DC'，∴∠DCC'＝∠DC'C＝×60°＝30°，在Rt△C'DM中，∠DC'C＝30°，DC'＝2，∴DM＝1，C'M＝DM＝，∴BM＝BD﹣DM＝3﹣1＝2，在Rt△BMC'中，BC'＝＝＝，∵S△BDC'＝BC'•DH＝BD•CM，∴DH＝3×，∴DH＝，故选：B．12．解：连接HF，设直线MH与AD边的交点为P，如图：由折叠可知点P、H、F、M四点共线，且PH＝MF，设正方形ABCD的边长为2a，则正方形ABCD的面积为4a2，∵若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等∴由折叠可知正方形E FGH 的面积＝×正方形ABCD 的面积＝，∴正方形EFGH 的边长GF ＝＝∴HF ＝GF ＝∴MF ＝PH ＝＝a∴＝a ÷＝故选：A ．二．填空题（共12小题）13．解：∵四边形ABCD 是矩形∴AB ＝CD ＝3，BC ＝AD ＝2，∵M 是AD 边的中点，∴AM ＝MD ＝1∵将△AMN 沿MN 所在直线折叠，∴AM ＝A 'M ＝1∴点A '在以点M 为圆心，AM 为半径的圆上，∴如图，当点A '在线段MC 上时，A 'C 有最小值，∵MC ＝＝∴A ′C 的最小值＝MC ﹣MA '＝﹣1故答案为：﹣114．解：∵在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，∴AB ＝CD ＝1，∠ABD ＝30°，∵将△ABD 沿射线BD 的方向平移得到△A 'B 'D '，∴A ′B ′＝AB ＝1，A ′B ′∥AB ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴∠BAD＝120°，∴A′B′＝CD，A′B′∥CD，∴四边形A′B′CD是平行四边形，∴A′D＝B′C，∴A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值，∵点A′在过点A且平行于BD的定直线上，∴作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A′，则CE的长度即为A'C+B'C的最小值，∵∠A′AD＝∠ADB＝30°，AD＝1，∴∠ADE＝60°，DH＝EH＝AD＝，∴DE＝1，∴DE＝CD，∵∠CDE＝∠EDB′+∠CDB＝90°+30°＝120°，∴∠E＝∠DCE＝30°，∴CE＝2×CD＝．故答案为：．15．解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC＝∠C＝∠B＝90°，AB＝DC，由翻折知，△AED≌△A'ED，△A'BE≌△A'B'E，∠A'B'E＝∠B＝∠A'B'D＝90°，∴∠AED＝∠A'ED，∠A'EB＝∠A'EB'，BE＝B'E，∴∠AED＝∠A'ED＝∠A'EB＝×180°＝60°，∴∠ADE＝90°﹣∠AED＝30°，∠A'DE＝90°﹣∠A'EB'＝30°，∴∠ADE＝∠A'DE＝∠A'DC＝30°，又∵∠C＝∠A'B'D＝90°，DA'＝DA'，∴△DB'A'≌△DCA'（AAS），∴DC＝DB'，在Rt△AED中，∠ADE＝30°，AD＝2，∴AE＝＝，设AB＝DC＝x，则BE＝B'E＝x﹣∵AE2+AD2＝DE2，∴（）2+22＝（x+x﹣）2，解得，x＝（负值舍去），x2＝，故答案为：．16．解：设BF＝x，则FG＝x，CF＝4﹣x．在Rt△ADE中，利用勾股定理可得AE＝．根据折叠的性质可知AG＝AB＝4，所以GE＝﹣4．在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝（﹣4）2+x2，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2＝（4﹣x）2+22，所以（﹣4）2+x2＝（4﹣x）2+22，解得x＝﹣2．则FC＝4﹣x＝6﹣．故答案为6﹣．17．解：如图，连接EC，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠D＝90°，BC＝AD＝12，DC＝AB＝3，∵E为AD中点，∴AE＝DE＝AD＝6由翻折知，△AEF≌△GEF，∴AE＝GE＝6，∠AEF＝∠GEF，∠EGF＝∠EAF＝90°＝∠D，∴GE＝DE，∴EC平分∠DCG，∴∠DCE＝∠GCE，∵∠GEC＝90°﹣∠GCE，∠DEC＝90°﹣∠DCE，∴∠GEC＝∠DEC，∴∠FEC＝∠FEG+∠GEC＝×180°＝90°，∴∠FEC＝∠D＝90°，又∵∠DCE＝∠GCE，∴△FEC∽△EDC，∴，∵EC＝＝＝3，∴，∴FE＝2，故答案为：2．18．解：分两种情况：①当点B′落在AD边上时，如图1．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝90°，∵将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′落在AD边上，∴∠BAE＝∠B′AE＝∠BAD＝45°，∴AB＝BE，∴a＝1，∴a＝；②当点B′落在CD边上时，如图2．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝a．∵将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′落在CD边上，∴∠B＝∠AB′E＝90°，AB＝AB′＝1，EB＝EB′＝a，∴DB′＝＝，EC＝BC﹣BE＝a﹣a＝a．在△ADB′与△B′CE中，，∴△ADB′∽△B′CE，∴＝，即＝，解得a1＝，a2＝﹣（舍去）．综上，所求a的值为或．故答案为或．19．解：如图，连接PB，交CH于E，由折叠可得，CH垂直平分BP，BH＝PH，又∵H为AB的中点，∴AH＝BH，∴AH＝PH＝BH，∴∠HAP＝∠HPA，∠HBP＝∠HPB，又∵∠HAP+∠HPA+∠HBP+∠HPB＝180°，∴∠APB＝90°，∴∠APB＝∠HEB＝90°，∴AP∥HE，∴∠BAP＝∠BHE，又∵Rt△BCH中，tan∠BHC＝＝，∴tan∠HAP＝，故答案为：．20．解：方法1、如图，由图可得，拼出来的图形的总长度＝5a+4[a﹣2（a﹣b）]＝a+8b 故答案为：a+8b．方法2、∵小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形∴口朝上的有5个，口朝下的有四个，而口朝上的有5个，长度之和是5a，口朝下的有四个，长度为4[b﹣（a﹣b）]＝8b﹣4a，即：总长度为5a+8b﹣4a＝a+8b，故答案为a+8b．21．解：∵四边形ABC是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，设AB＝CD＝x，由翻折可知：PA′＝AB＝x，PD′＝CD＝x，∵△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，∴D x，∵•x•x＝1，∴x＝2（负根已经舍弃），∴AB＝CD＝2，PE＝＝2，PH＝＝，∴AD＝4+2++1＝5+3，∴矩形ABCD的面积＝2（5+3）＝10+6．故答案为10+622．解：观察可知，正切值的分子是3，5，7，9，…，2n+1，分母与勾股数有关系，分别是勾股数3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，2n+1，，中的中间一个．∴tanαn＝＝．故答案为：．23．解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝12，∠BAD＝∠D＝90°，由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，∴BF⊥AE，AH＝GH，∴∠BAH+∠ABH＝90°，又∵∠FAH+∠BAH＝90°，∴∠ABH＝∠FAH，∴△ABF≌△DAE（ASA），∴AF＝DE＝5，在Rt△ABF中，BF＝＝＝13，S＝AB•AF＝BF•AH，△ABF∴12×5＝13AH，∴AH＝，∴AG＝2AH＝，∵AE＝BF＝13，∴GE＝AE﹣AG＝13﹣＝，故答案为：．24．解：如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′．∵∠CMD＝120°，∴∠AMC+∠DMB＝60°，∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，∴∠A′MB′＝60°，∵MA′＝MB′，∴△A′MB′为等边三角形∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝2+4+8＝14，∴CD的最大值为14，故答案为14．三．解答题（共6小题）25．解：（1）如图①，直线m即为所求（2）如图②，直线n即为所求26．解：过点H作HN⊥BM于N，则∠HNC＝90°，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB＝BC，∠D＝∠DAB＝∠B＝∠DCB＝∠DCM＝90°，①∵将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，∴△ADE≌△AFE，∴∠D＝∠AFE＝∠AFG＝90°，AD＝AF，∠DAE＝∠FAE，∴AF＝AB，又∵AG＝AG，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴∠BAG＝∠FAG，∠AGB＝∠AGF，∴AG是∠BAF的平分线，GA是∠BGF的平分线；②由①知，∠DAE＝∠FAE，∠BAG＝∠FAG，又∵∠BAD＝90°，∴∠GAF+∠EAF＝×90°＝45°，即∠GAH＝45°，∵GH⊥AG，∴∠GHA＝90°﹣∠GAH＝45°，∴△AGH为等腰直角三角形，∴AG＝GH，∵∠AGB+∠BAG＝90°，∠AGB+∠HGN＝90°，∴∠BAG＝∠NGH，又∵∠B＝∠HNG＝90°，AG＝GH，∴△ABG≌△GNH（AAS），∴BG＝NH，AB＝GN，∴BC＝GN，∵BC﹣CG＝GN﹣CG，∴BG＝CN，∴CN＝HN，∵∠DCM＝90°，∴∠NCH＝∠NHC＝×90°＝45°，∴∠DCH＝∠DCM﹣∠NCH＝45°，∴∠DCH＝∠NCH，∴CH是∠DCN的平分线；③∵∠AGB+∠HGN＝90°，∠AGF+∠EGH＝90°，由①知，∠AGB＝∠AGF，∴∠HGN＝∠EGH，∴GH是∠EGM的平分线；综上所述，AG是∠BAF的平分线，GA是∠BGF的平分线，CH是∠DCN的平分线，GH是∠EGM的平分线．27．（1）证明：由题意可得，△BCE≌△BFE，∴∠BEC＝∠BEF，FE＝CE，∵FG∥CE，∴∠FGE＝∠CEB，∴∠FGE＝∠FEG，∴FG＝FE，∴FG＝EC，∴四边形CEFG是平行四边形，又∵CE＝FE，∴四边形CEFG是菱形；（2）∵矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BC＝BF，∴∠BAF＝90°，AD＝BC＝BF＝10，∴AF＝8，∴DF＝2，设EF＝x，则CE＝x，DE＝6﹣x，∵FDE＝90°，∴22+（6﹣x）2＝x2，解得，x＝，∴CE＝，∴四边形CEFG的面积是：CE•DF＝×2＝．28．解：（1）如图所示：（2）依题意有＝，解得m1＝，m2＝（负值舍去），经检验，m1＝是原方程的解．故m的值是；（3）∵≠，∴直角三角形的斜边与直角梯形的斜腰不在一条直线上，故重新拼成的图形的面积会增加．29．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠BCD，由折叠可得，∠A＝∠ECG，∴∠BCD＝∠ECG，∴∠BCD﹣∠ECF＝∠ECG﹣∠ECF，∴∠E CB＝∠FCG；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B，AD＝BC，由折叠可得，∠D＝∠G，AD＝CG，∴∠B＝∠G，BC＝CG，又∵∠ECB＝∠FCG，∴△EBC≌△FGC（ASA）．30．解：（1）如图，△A1B1C1为所作，C1（﹣1，2）；（2）如图，△A2B2C2为所作，∵C（3，2），C2（﹣2，﹣3），△A2B2C2与△ABC关于直线l对称，∴直线l垂直平分直线CC2，∴直线l的函数解析式为y＝﹣x．。
2021年中考数学专题复习：轴对称与中心对称(含答案)
2020-2021中考专题复习：轴对称与中心对称一、选择题1. 如图，在△ABC中，∠ACB为钝角.用直尺和圆规在边AB上确定一点D.使∠ADC=2∠B，则符合要求的作图痕迹是()2. 如图，线段AB与A'B'(AB=A'B')不关于直线l成轴对称的是()3. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝22.5°，AB边的垂直平分线交BC于点D，则下列结论中错误的是()A．∠ADC＝45°B．∠DAC＝45°C．BD＝AD D．BD＝DC4. 在汉字“生活中的日常用品”中，是轴对称图形的有()A.2个B.3个C.4个D.5个5. 如图，已知钝角三角形ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.步骤1:以点C为圆心，CA长为半径画弧①;步骤2:以点B为圆心，BA长为半径画弧②，交弧①于点D;步骤3:连接AD，交BC的延长线于点H.则下列叙述正确的是()A.BH垂直平分线段ADB.AC平分∠BADC.S△ABC=BC·AHD.AB=AD6. 如图，已知菱形ABCD与菱形EFGH关于直线BD上的某个点中心对称，则点B的对称点是()A．点E B．点FC．点G D．点H7. 把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换.结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形(如图0)的对应点所具有的性质是()A.对应点所连线段与对称轴垂直B.对应点所连线段被对称轴平分C.对应点所连线段都相等D.对应点所连线段互相平行8. 把一张长方形纸片按图2①②所示的方式从右向左连续对折两次后得到图③，再在图③中挖去一个如图所示的三角形小孔，则重新展开后得到的图形是图3中的()二、填空题9. 若点A(x＋3，2y＋1)与点A′(y－5，1)关于原点对称，则点A的坐标是________．10. 如图，在△ABC中，已知AC=3，BC=4，点D为边AB的中点，连接CD，过点A作AE⊥CD于点E，将△ACE沿直线AC翻折到△ACE'的位置.若CE'∥AB，则CE'=.11. 如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，E为BC上一点，把△CDE沿DE 折叠，使点C落在AB边上的F处，则CE的长为.12. 如图，直线a，b垂直相交于点O，曲线C是以点O为对称中心的中心对称图形，点A的对称点是点A′，AB⊥a于点B，A′D⊥b于点D.若OB＝3，OD＝2，则阴影部分的面积为________．13. 在平面直角坐标系中，点P(4，2)关于直线x＝1的对称点的坐标是________．14. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分∠BAC.若DE＝1，则BC的长是________．15. 数学活动课上，两名同学围绕作图问题:“如图①，已知直线l和直线l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥直线l于点Q.”分别作出了如图②③所示的两个图形，其中作法正确的为图(填“②”或“③”).16. 现要在三角地带ABC内(如图)建一座中心医院，使医院到A，B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请你确定这座中心医院的位置.三、解答题17. 已知:如图，AB=AC，DB=DC，点E在直线AD上.求证:EB=EC.18. 如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A，B，C的坐标分别为(－2，4)，(－2，0)，(－4，1)，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：(1)画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；(2)平移△ABC，使点A移动到点A2(0，2)的位置，画出平移后的△A2B2C2，并写出点B2，C2的坐标；(3)在△ABC，△A1B1C1中，△A2B2C2与________成中心对称，其对称中心的坐标为________.19. 如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E.(1)若∠BAC=50°，求∠EDA的度数;(2)求证:直线AD是线段CE的垂直平分线.20. 如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE分别与AB边和AC边交于点D 和点E，BC边的垂直平分线FG分别与BC边和AC边交于点F和点G，若△BEG 的周长为16，GE=3，求AC的长.21. 如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，E、F分别是AC、AB边上的点，连接EF.(1)如图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF ＝3S△EDF，求AE的长；(2)如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M 处，且使MF∥CA.①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；②求EF的长．22. 如图，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线12y x b=-+交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．2020-2021中考专题复习：轴对称与中心对称-答案一、选择题1. 【答案】B[解析]∵∠ADC=2∠B，且∠ADC=∠B+∠BCD，∴∠B=∠BCD，∴点D在线段BC的垂直平分线上，故选B.2. 【答案】A[解析] 选项A中，A'B'是由线段AB平移得到的，所以线段AB与A'B'不关于直线l成轴对称.3. 【答案】D[解析] ∵AB的垂直平分线交BC于点D，∴AD＝BD，故C正确；∵AD＝BD，∴∠B＝∠BAD＝22.5°.∴∠ADC＝45°，故A正确；∠DAC＝90°－∠ADC＝90°－45°＝45°，故B正确．故选D.4. 【答案】B[解析] 根据轴对称图形的定义，在汉字“生活中的日常用品”中，是轴对称图形的有“中”“日”“品”3个.故选B.5. 【答案】A[解析] 如图，连接CD，BD.∵CA=CD，BA=BD，∴点C，B都在线段AD的垂直平分线上.∴BH垂直平分线段AD.故选A.6. 【答案】D[解析] 由于点B，D，F，H在同一条直线上，根据中心对称的定义可知，只能是点B和点H是对称点，点F和点D是对称点．故选D.7. 【答案】B[解析] 连接BB'交对称轴于点O，过点B作BM⊥对称轴，垂足为M，过点B'作B'N⊥对称轴，垂足为N，由轴对称的性质及平移的性质可得BM=B'N.又因为∠BOM=∠B'ON，∠BMO=∠B'NO=90°，所以△BOM≌△B'ON.所以OB=OB'.同理其他对应点也有这样的结论.8. 【答案】C二、填空题9. 【答案】(6，－1) [解析] 依题意，得⎩⎨⎧x ＋3＝－（y －5），2y ＋1＝－1，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－1.∴点A 的坐标为(6，－1)．10. 【答案】[解析]如图，作CH ⊥AB 于H.由翻折可知:∠AE'C=∠AEC=90°，∠ACE=∠ACE'， ∵CE'∥AB ，∴∠ACE'=∠CAD ，∴∠ACD=∠CAD ，∴DC=DA.∵AD=DB ，∴DC=DA=DB ，∴∠ACB=90°，∴AB==5，∵·AB ·CH=AC ·BC ，∴CH=， ∴AH==，∵CE'∥AB ，∴∠E'CH +∠AHC=180°， ∵∠AHC=90°，∴∠E'CH=90°， ∴四边形AHCE'是矩形， ∴CE'=AH=，故答案为.11. 【答案】[解析]设CE=x ，则BE=6-x.由折叠的性质可知，EF=CE=x ，DF=CD=AB=10，在Rt △DAF 中，AD=6，DF=10，∴AF=8， ∴BF=AB -AF=10-8=2，在Rt △BEF 中，BE 2+BF 2=EF 2，即(6-x )2+22=x 2，解得x=，故答案为.12. 【答案】6[解析] 如图，过点A ′作A ′B ′⊥a ，垂足为B ′，由题意可知，①与②关于点O 中心对称，所以阴影部分的面积可以看作四边形A ′B ′OD 的面积．又A′D⊥b于点D，直线a，b互相垂直，可得四边形A′B′OD是矩形，所以其面积为3×2＝6.13. 【答案】(－2，2)[解析] ∵点P(4，2)，∴点P到直线x＝1的距离为4－1＝3.∴点P关于直线x＝1的对称点P′到直线x＝1的距离为3.∴点P′的横坐标为1－3＝－2.∴对称点P′的坐标为(－2，2)．14. 【答案】3[解析] ∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE ＝1.∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD.∴∠B＝∠DAB.∵∠DAB＝∠CAD，∴∠CAD＝∠DAB＝∠B.∵∠C＝90°，∴∠CAD＋∠DAB＋∠B＝90°.∴∠B＝30°.∴BD＝2DE＝2.∴BC＝BD＋CD＝2＋1＝3.15. 【答案】③16. 【答案】解:作线段AB的垂直平分线EF，作∠BAC的平分线AM，EF与AM 相交于点P，则点P处即为这座中心医院的位置.三、解答题17. 【答案】证明:连接BC.∵AB=AC，DB=DC，∴直线AD是线段BC的垂直平分线.又∵点E在直线AD上，∴EB=EC.18. 【答案】解：(1)△ABC关于原点O对称的△A1B1C1如图所示．(2)平移后的△A2B2C2如图所示，其中点B2的坐标为(0，－2)，点C2的坐标为(－2，－1)．(3)△A1B1C1(1，－1)19. 【答案】解:(1)∵∠BAC=50°，AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠BAC=25°.∵DE⊥AB，∴∠AED=90°.∴∠EDA=90°-25°=65°.(2)证明:∵DE⊥AB，∴∠AED=90°=∠ACB.∵AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAC.又∵AD=AD ，∴△AED ≌△ACD.∴AE=AC ，DE=DC.∴点A ，D 都在线段CE 的垂直平分线上.∴直线AD 是线段CE 的垂直平分线.20. 【答案】解:∵DE 垂直平分线段AB ，GF 垂直平分线段BC ，∴EB=EA ，GB=GC.∵△BEG 的周长为16，∴EB+GB+GE=16.∴EA+GC+GE=16.∴GA+GE+GE+GE+EC=16.∴AC+2GE=16.∵GE=3，∴AC=10.21. 【答案】(1)如解图①，∵折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，解图①∴EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF ，∴S △AEF ＝S △DEF ，∵S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，∴S 四边形ECBF ＝3S △AEF ，∵S △ACB ＝S △AEF ＋S 四边形ECBF ，∴S △ACB ＝S △AEF ＋3S △AEF ＝4S △AEF ， ∴14△△AEF ACB S S ，∵∠EAF ＝∠BAC ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°，∴△AEF ∽△ABC ， ∴2△△（）AEF ACB S AE ABS =， ∴214（）=，AE AB 在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，∴AB 2＝AC 2＋BC 2，即AB ＝42＋32＝5，∴(AE 5)2＝14，∴AE ＝52；(2)①四边形AEMF 是菱形．证明：如解图②，∵折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，∴∠CAB ＝∠EMF ，AE ＝ME ，又∵MF ∥CA ，∴∠CEM ＝∠EMF ，∴∠CAB ＝∠CEM ，∴EM ∥AF ，∴四边形AEMF 是平行四边形，而AE ＝ME ，∴四边形AEMF 是菱形，解图②②如解图②，连接AM ，与EF 交于点O ，设AE ＝x ，则AE ＝ME ＝x ，EC ＝4－x ， ∵∠CEM ＝∠CAB ，∠ECM ＝∠ACB ＝90°，∴Rt △ECM ∽Rt △ACB ，∴EC AC ＝EM AB ，∵AB ＝5，∴445-，x x =解得x ＝209， ∴AE ＝ME ＝209，EC ＝169，在Rt △ECM 中，∵∠ECM ＝90°，∴CM 2＝EM 2－EC 2，即CM 22EM EC -＝（209）2－（169）2＝43，∵四边形AEMF 是菱形，∴OE ＝OF ，OA ＝OM ，AM ⊥EF ，∴S AEMF 菱形＝4S △AOE ＝2OE ·AO ，在Rt △AOE 和Rt △ACM 中，∵tan ∠EAO ＝tan ∠CAM ，∴OE AO ＝CM AC ，∵CM ＝43，AC ＝4，∴AO ＝3OE ，∴S AEMF 菱形＝6OE 2，又∵S AEMF 菱形＝AE ·CM ，∴6OE 2＝209×43，解得OE ＝2109，∴EF ＝2OE ＝4109.22. 【答案】(1)①如图2，当E 在OA 上时，由12y x b =-+可知，点E 的坐标为(2b ,0)，OE ＝2b ．此时S ＝S △ODE ＝112122OE OC b b ⋅=⨯⨯=． ②如图3，当E 在AB 上时，把y ＝1代入12y x b =-+可知，点D 的坐标为(2b －2,1)，CD ＝2b －2，BD ＝5－2b ．把x ＝3代入12y x b =-+可知，点E 的坐标为3(3,)2b -，AE ＝32b -，BE ＝52b -．此时 S ＝S 矩形OABC －S △OAE － S △BDE －S △OCD＝1315133()()(52)1(22)22222b b b b -⨯-----⨯⨯- 252b b =-+． (2)如图4，因为四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 关于直线DE 对称，因此DM ＝DN ，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN 是菱形． 作DH ⊥OA ，垂足为H ．由于CD ＝2b －2，OE ＝2b ，所以EH ＝2．设菱形DMEN 的边长为m ．在Rt △DEH 中，DH ＝1，NH ＝2－m ，DN ＝m ，所以12＋(2－m )2＝m 2．解得54m =．所以重叠部分菱形DMEN 的面积为54．图2 图3 图4考点伸展把本题中的矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图5），那么这个菱形的最小面积为1，如图6所示；最大面积为53，如图7所示．图5 图6 图7。
2021中考数学 专题训练 轴对称与中心对称(含答案)
2021中考数学专题训练轴对称与中心对称一、选择题1. 下列四个交通标志图中，为轴对称图形的是()2. 点(－1，2)关于原点的对称点坐标是()A．(－1，－2) B．(1，－2)C．(1，2) D．(2，－1)3. 如图，在4×4的正方形网格中，已有四个小正方形被涂黑.若将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形，则该小正方形的位置可以是()A.(一，2)B.(二，4)C.(三，2)D.(四，4)4. 2018·达州下列图形中是中心对称图形的是()5. 如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为()A．40°B．45°C．50°D．60°6. 如图，在RtABC 中，90ACB ∠=︒，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于D E ，两点，作直线DE 交AB 于点F ，交BC 于点G ，连接CF ．若3AC =，2CG =，则CF 的长为A ．52B ．3C ．2D ．727. 如图，线段AB 外有C ，D 两点(在AB 同侧)，且CA=CB ，DA=DB ，∠ADB=80°，∠CAD=10°，则∠ACB 的度数为( )A .80°B .90°C .100°D .110°8. 如图，∠AOB=60°，点P 是∠AOB 内的定点且OP=，若点M ，N 分别是射线OA ，OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是 ( ) A .B .C .6D .3二、填空题9. 如图，已知BC 为等腰三角形纸片ABC 的底边，AD ⊥BC ，∠BAC ≠90°.将此三角形纸片沿AD 剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个四边形，则能拼出______个中心对称图形．10. 如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分.当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，阴影部分的面积为.11. 如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，F.若△AEF的周长为10 cm，则BC的长为cm.12. 数学活动课上，两名同学围绕作图问题:“如图①，已知直线l和直线l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥直线l于点Q.”分别作出了如图②③所示的两个图形，其中作法正确的为图(填“②”或“③”).13. 现要在三角地带ABC内(如图)建一座中心医院，使医院到A，B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请你确定这座中心医院的位置.14. 如图，在△ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是形，点P，E，F分别为线段AB，AD，DB上的任意一点，则PE+PF的最小值是.三、作图题15. 如图，在对R t△OAB依次进行位似、轴对称和平移变换后得到R t△O′A′B′.(1)在坐标纸上画出这几次变换相应的图形；(2)设P(x，y)为△OAB边上任一点，依次写出这几次变换后点P对应点的坐标．16. 如图，1O，2O，3O，4O为四个等圆的圆心，A，B，C，D为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是；如图，1O，2O，3O，4O，5O为五个等圆的圆心，A，B，C，D，E为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆．．．分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是．DCBAO4O3O2O1EDCBAO5O4O3O2O1四、解答题17. 如图，Rt△ABC的顶点A，B，C关于直线MN的对称点分别为A'，B'，C'，其中∠A=90°，AC=8 cm，点C，B，A'在同一条直线上，且A'C=12 cm.(1)求△A'B'C'的周长; (2)求△A'CC'的面积.18. 如图，在△ABC中，AB 边的垂直平分线DE 分别与AB 边和AC 边交于点D和点E ，BC 边的垂直平分线FG 分别与BC 边和AC 边交于点F 和点G ，若△BEG 的周长为16，GE=3，求AC 的长.19. [材料阅读]在平面直角坐标系中，以任意两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)为端点的线段的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.[运用](1)已知点A (－2，1)和点B (4，－3)，则线段AB 的中点坐标是________；已知点M (2，3)，线段MN 的中点坐标是(－2，－1)，则点N 的坐标是________． (2)已知平面上四点A (0，0)，B (10，0)，C (10，6)，D (0，6)．直线y ＝mx －3m ＋2将四边形ABCD 分成面积相等的两部分，则m 的值为________．(3)在平面直角坐标系中，有A (－1，2)，B (3，1)，C (1，4)三点，另有一点D ，可使以点A ，B ，C ，D 为顶点的四边形为平行四边形，求点D 的坐标．20. 如图1，将△ABC 纸片沿中位线EH 折叠，使点A 的对称点D 落在BC 边上，再将纸片分别沿等腰△BED 和等腰△DHC 的底边上的高线EF 、HG 折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形．类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．(1)将▱ABCD 纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG ，则操作形成的折痕分别是线段________，________；S 矩形AEFG ∶S ▱ABCD ＝________．(2)▱ABCD 纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH ，若EF ＝5，EH ＝12，求AD 的长．(3)如图4，四边形ABCD 纸片满足AD ∥BC ，AD <BC ，AB ⊥BC ，AB ＝8，CD ＝10.小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．．．，请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出AD ，BC 的长．图1 图2 图3 图42021中考数学 专题训练 轴对称与中心对称-答案一、选择题 1. 【答案】B2. 【答案】B3. 【答案】B [解析] 如图，把(二，4)位置的小正方形涂黑，则整个图案构成一个以直线AB 为对称轴的轴对称图形.4. 【答案】B5. 【答案】C[解析] 由作法得CG ⊥AB.∵AC ＝BC ，∴CG 平分∠ACB ，∠A ＝∠B ＝40°. ∵∠ACB ＝180°－∠A －∠B ＝100°， ∴∠BCG ＝12∠ACB ＝50°.6. 【答案】A【解析】由作法得GF 垂直平分BC ，∴FB FC =，2CG BG ==，FG BC ⊥， ∵90ACB ∠=︒，∴FG AC ∥，∴BF CF =， ∴CF 为斜边AB 上的中线， ∵22345AB =+=， ∴1522CF AB ==．故选A ．7. 【答案】C8. 【答案】D[解析]分别以OB ，OA 为对称轴作点P 的对称点P 1，P 2，连接OP 1，OP 2，P 1P 2，P 1P 2交射线OA ，OB 于点M ，N ，则此时△PMN 的周长有最小值，△PMN 的周长=PN +PM +MN=P 1N +P 2M +MN=P 1P 2，根据轴对称的性质可知OP 1=OP 2=OP=，∠P 1OP 2=120°，∴∠OP 1M=30°，过点O 作MN 的垂线段，垂足为Q ，在Rt △OP 1Q 中，可知P 1Q=，所以P 1P 2=2P 1Q=3，故△PMN 周长的最小值为3.二、填空题9. 【答案】3 [解析] 在这里具有中心对称图形特征的是平行四边形，所以两个三角形中对应相等的两条边重合只能拼一个．因为三角形只有三条边，所以只有三种情况．10. 【答案】12[解析]∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，∴菱形的面积=×6×8=24.∵点O 是菱形两条对角线的交点， ∴阴影部分的面积=×24=12.11. 【答案】10[解析] ∵AB ，AC 的垂直平分线分别交BC 于点E ，F ，∴AE=BE ，AF=CF .∴BC=BE+EF+CF=AE+EF+AF=10 cm .12. 【答案】③13. 【答案】解:作线段AB的垂直平分线EF，作∠BAC的平分线AM，EF与AM 相交于点P，则点P处即为这座中心医院的位置.14. 【答案】菱[解析]∵AC=BC，∴△ABC是等腰三角形.将△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴AC=BC=AD=BD，∴四边形ADBC是菱形.∵△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴△ABC与△ABD关于AB成轴对称.如图所示，作点E关于AB的对称点E'，连接PE'，根据轴对称的性质知AB垂直平分EE'，∴PE=PE'，∴PE+PF=PE'+PF，当E'，P，F三点共线，且E'F⊥AC时，PE+PF有最小值，该最小值即为平行线AC与BD间的距离.作CM⊥AB于M，BG⊥AD于G，由题知AC=BC=2，AB=1，∠CAB=∠BAD，∴cos∠CAB=cos∠BAD，即=，∴AG=，在Rt△ABG中，BG===，由对称性可知BG长即为平行线AC，BD间的距离，∴PE+PF的最小值=.三、作图题15. 【答案】解：(1)解图(2)设坐标纸中方格边长为单位1.则P(x ，y )――→以O 为位似中心放大为原来的2倍(2x ，2y )――→沿y 轴翻折(－2x ，2y )――→向右平移4个单位(－2x ＋4，2y )――→向上平移5个单位(－2x ＋4，2y ＋5).16. 【答案】1O ，3O 如图（提示：答案不惟一，过13O O 与24O O 交点O 的任意直线都能将四个圆分成面积相等的两部分）；5O ，O ，如图（提示：答案不惟一，如4AO ，3DO ，2EO ，1CO 等均可）．O DCBAO 4O 3O 2O 1EO DCBAO 5O 4O 3O 2O 1四、解答题17. 【答案】解:(1)∵Rt △ABC 的顶点A ，B ，C 关于直线MN 的对称点分别为A'，B'，C'，AC=8 cm ，A'C=8cm ，∴AB=A'B'，AC=A'C'，∠A'=∠A=90°.∴△A'B'C'的周长为A'C'+B'C'+A'B'=AC+A'C=12+8=20(cm). (2)由(1)得A'C'=AC=8 cm ，∠A'=90°，∴△A'CC'的面积为A'C ·A'C'=×12×8=48(cm 2).18. 【答案】解:∵DE 垂直平分线段AB ，GF 垂直平分线段BC ，∴EB=EA ，GB=GC. ∵△BEG 的周长为16， ∴EB+GB+GE=16. ∴EA+GC+GE=16.∴GA+GE+GE+GE+EC=16. ∴AC+2GE=16. ∵GE=3， ∴AC=10.19. 【答案】解：(1)(1，－1) (－6，－5) (2)12(3)设点D 的坐标为(x ，y)．若以AB 为对角线，AC ，BC 为邻边的四边形为平行四边形，则AB ，CD 的中点重合，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 2＝－1＋32，4＋y 2＝2＋12，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1；若以BC 为对角线，AB ，AC 为邻边的四边形为平行四边形，则AD ，BC 的中点重合，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋x 2＝3＋12，2＋y 2＝1＋42，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝3；若以AC 为对角线，AB ，BC 为邻边的四边形为平行四边形，则BD ，AC 的中点重合，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＋x 2＝－1＋12，1＋y 2＝2＋42，解得⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝5. 综上可知，点D 的坐标为(1，－1)或(5，3)或(－3，5)．20. 【答案】【思维教练】(2)AD ＝DH ＋AH ，由折叠性质和全等三角形得出DH ＝HN ，FN ＝AH ，即AD ＝FH ，由叠合矩形的概念可知∠FEH ＝90°，利用勾股定理求出AD ；(3)观察图形的特点，可以考虑从CD 的中点横向和竖向折叠或从分别从每个角的位置向内折叠构成矩形，利用构成的直角三角形求解得出结果．解：(1)AE ，GF ；1∶2(2分)(2)∵四边形EFGH 是叠合矩形，∠FEH ＝90°，又EF ＝5，EH ＝12.∴FH ＝EF 2＋EH 2＝52＋122＝13.(4分)由折叠的轴对称性可知，DH ＝HN ，AH ＝HM ，CF ＝FN.易证△AEH ≌△OGF ，∴CF ＝AH.(5分)∴AD ＝DH ＋AH ＝HN ＋FN ＝FH ＝13.(6分)(3)本题有以下两种基本折法，如解图1，解图2所示．(作出一种即可)1 2 按解图1的折法，则AD ＝1，BC ＝7；按解图2的折法，则AD ＝134，BC ＝374.(10分)。
2022年中考数学真题分项汇编(全国通用)：图形变换(平移、旋转、对称)(第1期)(解析版)
专题17 图形变换（平移、旋转、对称）一．选择题1．（2022·湖南娄底）下列与2022年冬奥会相关的图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】中心对称图形定义：如果一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形回完全重合，那么这个答图形叫做中心对称图形，根据中心对称图形定义逐项判定即可．【详解】解：根据中心对称图形定义，可知D符合题意，故选：D．【点睛】本题考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解决问题的关键．2．（2022·四川自贡）剪纸与扎染、龚扇被称为自贡小三绝，以下学生剪纸作品中，轴对称图形是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据轴对称图形的定义判断即可．【详解】∵不是轴对称图形,∴A不符合题意；∵不是轴对称图形,∴B不符合题意；∵不是轴对称图形,∴C不符合题意；∵是轴对称图形,∴D符合题意；故选D．【点睛】本题考查了轴对称图形即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合，熟练掌握定义是解题的关键．3．（2022·山东泰安）下列图形：其中轴对称图形的个数是（）A．4B．3C．2D．1【答案】B【分析】对每个图形逐一分析，能够找到对称轴的图形就是轴对称图形．【详解】从左到右依次对图形进行分析：第1个图在竖直方向有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意；第2个图在水平方向有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意；第3个图找不到对称轴，不是轴对称图形，不符合题意；第4个图在竖直方向有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意；因此，第1、2、4都是轴对称图形，共3个．故选：B．【点睛】本题考查轴对称图形的概念，解题的关键是寻找对称轴．0,2，点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针4．（2022·江苏苏州）如图，点A的坐标为()m，则m的值为（）方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为(),3A B C D【答案】C【分析】过C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，根据将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，可得⊥ABC是等边三角形，又A（0，2），C（m，3），即得AC BC AB=，可得BD=，即可解得m=．OB=m【详解】解：过C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，如图所示：⊥CD⊥x轴，CE⊥y轴，⊥⊥CDO=⊥CEO=⊥DOE＝90°，⊥四边形EODC是矩形，⊥将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，⊥AB＝AC，⊥BAC＝60°，⊥⊥ABC是等边三角形，⊥AB＝AC＝BC，⊥A（0，2），C（m，3），⊥CE＝m＝OD，CD＝3，OA＝2，⊥AE＝OE−OA＝CD−OA＝1，⊥AC BC AB=，在Rt⊥BCD中，BD=在Rt⊥AOB中，OB=⊥OB＋BD＝OD＝m，m=，化简变形得：3m4−22m2−25＝0，解得：m=或m=（舍去），⊥m=，故C正确．故选：C．【点睛】本题考查直角坐标系中的旋转变换，解题的关键是熟练应用勾股定理，用含m的代数式表示相关线段的长度．5．（2022·浙江湖州）如图，将△ABC沿BC方向平移1cm得到对应的△A′B′C′．若B′C=2cm，则BC′的长是（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【答案】C【分析】据平移的性质可得BB′=CC′=1，列式计算即可得解．【详解】解：∵△ABC沿BC方向平移1cm得到△A′B′C′，∴BB′=CC′=1cm，∵B′C=2cm，∴BC′= BB′+ B′C+CC′=1+2+1=4（cm）．故选：C．【点睛】本题考查了平移的性质，熟记性质得到相等的线段是解题的关键．6．（2022·浙江嘉兴）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心''''，形成一个“方吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形A B C D胜”图案，则点D，B′之间的距离为（）A．1cm B．2cm C．1)cm D．－1)cm【答案】D【分析】先求出BD，再根据平移性质求得BB'=1cm，然后由BD BB-′求解即可．【详解】解：由题意，BD=，由平移性质得BB'=1cm，∴点D，B′之间的距离为DB'=BD BB-′=（1）cm，故选：D．【点睛】本题考查平移性质、正方形的性质，熟练掌握平移性质是解答的关键．7．（2022·湖南怀化）如图，△ABC沿BC方向平移后的像为△DEF，已知BC=5，EC=2，则平移的距离是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】根据题意判断BE的长就是平移的距离，利用已知条件求出BE即可．【详解】因为ABC沿BC方向平移，点E是点B移动后的对应点，所以BE的长等于平移的距离，由图像可知，点B、E、C在同一直线上，BC=5，EC=2，所以BE=BC-ED=5-2=3,故选C．【点睛】本题考查了平移，正确找出平移对应点是求平移距离的关键．8．（2022·湖南邵阳）下列四种图形中，对称轴条数最多的是（）A．等边三角形B．圆C．长方形D．正方形【答案】B【分析】分别求出各个图形的对称轴的条数，再进行比较即可．【详解】解：因为等边三角形有3条对称轴；圆有无数条对称轴；长方形有2条对称轴；正方形有4条对称轴；经比较知，圆的对称轴最多．故选：B．【点睛】此题考查了轴对称图形对称轴条数的问题，解题的关键是掌握轴对称图形对称轴的定义以及性质．9．（2022·江苏连云港）下列图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．【详解】A.是轴对称图形，故该选项正确，符合题意；B.不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；C.不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；D.不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；故选A【点睛】本题考查轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 10．（2022·四川遂宁）下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）科克曲线笛卡尔心形线阿基米德螺旋线赵爽弦图A ．科克曲线B ．笛卡尔心形线C ．阿基米德螺旋线D ．赵爽弦图【答案】A 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【详解】解：A 、科克曲线既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；B 、笛卡尔心形线是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C 、阿基米德螺旋线不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D 、赵爽弦图不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：A ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．11．（2022·新疆）平面直角坐标系中，点P (2，1)关于x 轴对称的点的坐标是（ ）A ．()2,1B ．()2,1-C ．()2,1-D ．()2,1--【答案】B【分析】直接利用关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，得出答案．【详解】解：点P（2，1）关于x轴对称的点的坐标是（2，-1）．故选：B．【点睛】本题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．12．（2022·天津）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据轴对称图形的概念对各项分析判断即可得解．【详解】A．不是轴对称图形，故本选项错误；B．不是轴对称图形，故本选项错误；C．不是轴对称图形，故本选项错误；D．是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．【点睛】本题考查轴对称图形，理解轴对称图形的概念是解答的关键．13．（2022·天津）如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（）A．AB AN⊥∠=∠D．MN AC∥C．AMN ACN=B．AB NC【答案】C【分析】根据旋转的性质，对每个选项逐一判断即可．【详解】解：∵将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，∴△ABM≌△ACN，∴AB=AC，AM=AN，∴AB不一定等于AN，故选项A不符合题意；∵△ABM≌△ACN，∴∠ACN =∠B ，而∠CAB 不一定等于∠B ，∴∠ACN 不一定等于∠CAB ，∴AB 与CN 不一定平行，故选项B 不符合题意；∵△ABM ≌△ACN ，∴∠BAM =∠CAN ，∠ACN =∠B ，∴∠BAC =∠MAN ，∵AM =AN ，AB =AC ，∴△ABC 和△AMN 都是等腰三角形，且顶角相等，∴∠B =∠AMN ，∴∠AMN =∠ACN ，故选项C 符合题意；∵AM =AN ，而AC 不一定平分∠MAN ，∴AC 与MN 不一定垂直，故选项D 不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质．旋转变换是全等变换，利用旋转不变性是解题的关键．14．（2022·江苏扬州）如图，在ABC ∆中，AB AC <，将ABC 以点A 为中心逆时针旋转得到ADE ，点D 在BC 边上，DE 交AC 于点F ．下列结论：①AFE DFC △△；②DA 平分BDE ∠；③CDF BAD ∠=∠，其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③【答案】D【分析】根据旋转的性质可得对应角相等，对应边相等，进而逐项分析判断即可求解．【详解】解：∵将ABC 以点A 为中心逆时针旋转得到ADE ，∴ADE ABC ≌，E C ∴∠=∠，AFE DFC ∠=∠，∴AFE DFC △△，故①正确；ADE ABC ≌，AB AD ∴=，ABD ADB ∴∠=∠，ADE ABC ∠=∠，ADB ADE ∴∠=∠，∴DA 平分BDE ∠，故②正确；ADE ABC ≌，BAC DAE ∴∠=∠，BAD CAE ∴∠=∠，AFE DFC △△，CAE CDF ∴∠=∠，CDF BAD ∠=∠∴，故③正确故选D【点睛】本题考查了性质的性质，等边对等角，相似三角形的性质判定与性质，全等三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．15．（2022·四川南充）如图，将直角三角板ABC 绕顶点A 顺时针旋转到AB C ''△，点B '恰好落在CA 的延长线上，3090∠=︒∠=︒，B C ，则BAC '∠为（ ）A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30【答案】B 【分析】根据直角三角形两锐角互余，求出BAC ∠的度数，由旋转可知BAC B AC ''∠=∠，在根据平角的定义求出BAC '∠的度数即可．【详解】∵3090∠=︒∠=︒，B C ，∴90903060BAC B ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∵由旋转可知60B A BAC C ''∠=︒∠=，∴618060860100C B A BA BA C C '''=︒-∠=︒-︒-︒=︒∠∠-，故答案选：B ．【点睛】本题考查直角三角形的性质以及图形的旋转的性质，找出旋转前后的对应角是解答本题的关键． 16．（2022·山东泰安）如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，ABC ∆经过平移后得到111A B C ∆，若AC 上一点(1.2,1.4)P 平移后对应点为1P ，点1P 绕原点顺时针旋转180，对应点为2P ，则点2P 的坐标为（ ）A ．(2.8,3.6)B ． 2.8,6()3.--C ．(3.8,2.6)D ．( 3.8, 2.6)--【答案】A 【详解】分析：由题意将点P 向下平移5个单位，再向左平移4个单位得到P 1，再根据P 1与P 2关于原点对称，即可解决问题．详解：由题意将点P 向下平移5个单位，再向左平移4个单位得到P 1．∵P （1.2，1.4），∴P 1（﹣2.8，﹣3.6）．∵P 1与P 2关于原点对称，∴P 2（2.8，3.6）． 故选A ．点睛：本题考查了坐标与图形变化，平移变换，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17．（2022·湖北宜昌）将四个数字看作一个图形，则下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，根据中心对称图形的定义逐项判定即可．【详解】解：根据中心对称图形定义，可知符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查中心对称图形，掌握中心对称图形定义，能根据定义判定图形是否是中心对称图形是解决问题的关键．18．（2022·湖南常德）如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，将ABC 绕点C 顺时针旋转60︒得到DEC ，点A 、B 的对应点分别是D ，E ，点F 是边AC 的中点，连接BF ，BE ，FD ．则下列结论错误的是（ ）A ．BE BC =B ．BF DE ∥，BF DE =C ．90DFC ∠=︒D ．3DG GF =【答案】D【分析】根据旋转的性质可判断A ；根据直角三角形的性质、三角形外角的性质、平行线的判定方法可判断B ；根据平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质可判断C ；利用等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质可判断D ．【详解】A ．∵将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°得到△DEC ，∴∠BCE =∠ACD =60°，CB =CE ，∴△BCE 是等边三角形，∴BE =BC ，故A 正确；B ．∵点F 是边AC 中点，∴CF =BF =AF =12AC ，∵∠BCA =30°，∴BA =12AC ，∴BF =AB =AF =CF ，∴∠FCB =∠FBC =30°，延长BF 交CE 于点H ，则∠BHE =∠HBC +∠BCH =90°，∴∠BHE =∠DEC =90°，∴BF //ED ，∵AB =DE ，∴BF =DE ，故B 正确．C ．∵BF ∥ED ，BF =DE ，∴四边形BEDF 是平行四边形，∴BC =BE =DF ，∵AB =CF ， BC =DF ，AC =CD ，∴△ABC ≌△CFD ，∴=90DFC ABC ∠=∠︒，故C 正确；D ．∵∠ACB =30°， ∠BCE =60°，∴∠FCG =30°，∴FG =12CG ，∴CG =2FG ．∵∠DCE =∠CDG =30°，∴DG =CG ，∴DG =2FG ．故D 错误．故选D ．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角边等于斜边的一半，以及平行四边形的判定与性质等知识，综合性较强，正确理解旋转性质是解题的关键． 19．（2022·湖南常德）国际数学家大会每四年举行一届，下面四届国际数学家大会会标中是中心对称图形的是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据中心对称的概念对各图形分析判断即可得解．【详解】解：A 不是中心对称图形，故A 错误；B 是中心对称图形，故B 正确；C 不是中心对称图形，故C 错误；D 不是中心对称图形，故D 错误；故选B ．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180︒后两部分重合，理解并掌握如何判断中心对称图形的条件是解题的关键．20．（2022·河北）题目：“如图，⊥B ＝45°，BC ＝2，在射线BM 上取一点A ，设AC ＝d ，若对于d 的一个数值，只能作出唯一一个⊥ABC ，求d 的取值范围．”对于其答案，甲答：2d ≥，乙答：d ＝1.6，丙答：d =则正确的是（ ）A ．只有甲答的对B ．甲、丙答案合在一起才完整C ．甲、乙答案合在一起才完整D ．三人答案合在一起才完整【答案】B 【分析】过点C 作CA BM '⊥于A '，在A M '上取A A BA ''''=，发现若有两个三角形，两三角形的AC 边关于A C '对称，分情况分析即可【详解】过点C 作CA BM '⊥于A '，在A M '上取A A BA ''''=⊥⊥B ＝45°，BC ＝2，CA BM '⊥⊥BA C '是等腰直角三角形⊥A C BA ''==⊥A A BA ''''=⊥2A C ''=若对于d 的一个数值，只能作出唯一一个⊥ABC通过观察得知：点A 在A '点时，只能作出唯一一个⊥ABC （点A 在对称轴上），此时d = 点A 在A M ''射线上时，只能作出唯一一个⊥ABC （关于A C '对称的AC 不存在），此时2d ≥，即甲的答案， 点A 在BA ''线段（不包括A '点和A ''点）上时，有两个⊥ABC （二者的AC 边关于A C '对称）；选：B【点睛】本题考查三角形的存在性质，勾股定理，解题关键是发现若有两个三角形，两三角形的AC 边关于A C '对称21．（2022·山西）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】利用中心对称图形的定义直接判断．【详解】解：根据中心对称图形的定义，四个选项中，只有B 选项的图形绕着某点旋转180°后能与原来的图形重合，故选B ．【点睛】本题考查中心对称图形的判定，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．22．（2022·河南）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF 的中心与原点O 重合，AB x ∥轴，交y 轴于点P ．将⊥OAP 绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A 的坐标为（ ）A ．)1-B ．(1,-C ．()1-D ．( 【答案】B【分析】首先确定点A 的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第2022次旋转后，点A 的坐标即可．【详解】解：正六边形ABCDEF 边长为2，中心与原点O 重合，AB x ∥轴，⊥AP ＝1， AO ＝2，⊥OP A ＝90°，⊥OP⊥A （1，第1次旋转结束时，点A -1）；第2次旋转结束时，点A 的坐标为（-1，；第3次旋转结束时，点A 的坐标为（1）；第4次旋转结束时，点A 的坐标为（1；⊥将⊥OAP 绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，⊥4次一个循环，⊥2022÷4＝505……2，⊥经过第2022次旋转后，点A 的坐标为（-1，，故选：B【点睛】本题考查正多边形与圆，规律型问题，坐标与图形变化﹣旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．23．（2022·四川宜宾）如图，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，点D 是BC 边上的动点（不与点B 、C 重合），DE 与AC 交于点F ，连结CE ．下列结论：①BD CE =；②DAC CED ∠=∠；③若2BD CD =，则45CF AF =；④在ABC 内存在唯一一点P ，使得PA PB PC ++的值最小，若点D 在AP的延长线上，且AP 的长为2，则2CE = ）A ．①②④B ．①②③C ．①③④D ．①②③④ 【答案】B【分析】证明BAD CAE ≌，即可判断①，根据①可得ADB AEC ∠=∠，由180ADC AEC ∠+∠=︒可得,,,A D C E 四点共圆，进而可得DAC DEC ∠=∠，即可判断②，过点A 作AG BC ⊥于G ,交ED 的延长线于点H ，证明FAH FCE ∽，根据相似三角形的性质可得45CF AF =，即可判断③，将APC △绕A 点逆时针旋转60度，得到AB P ''△，则APP '是等边三角形，根据当,,,B P P C ''共线时，PA PB PC ++取得最小值，可得四边形ADCE 是正方形，勾股定理求得DP ， 根据CE AD AP PD ==+即可判断④． 【详解】解：ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，,,AB AC AD AE BAD CAE ∴==∠=∠BAD CAE ∴△≌△BD CE ∴=故①正确；BAD CAE ≌ADB AEC ∴∠=∠180ADC AEC ∴∠+∠=︒,,,A D C E ∴四点共圆，CD CD =DAC DEC ∴∠=∠故②正确；如图，过点A 作AG BC ⊥于G ,交ED 的延长线于点H ，BAD CAE ≌,45,45ACE ABD ACB ∴∠=∠=︒∠=︒90DCE ∴∠=︒FC AH ∴∥2BD CD =，BD CE =1tan2DC DEC CE ∴∠==,13CD BC = 设6BC a =，则2DC a =，132AG BC a ==，24EC DC a == 则32GD GC DC a a a =-=-= FC AH ∥1tan 2GD H GH ∴==22GH GD a ∴==325AH AG GH a a a ∴=+=+= AH ⊥CE ，FAH FCE ∴∽CF CE AF AH ∴=4455CF a AF a ∴==则45CF AF =；故③正确 如图，将ABP 绕A 点逆时针旋转60度，得到AB P ''△，则APP '是等边三角形，PA PB PC PP P B PC B C '''+++∴'+=≥，当,,,B P P C ''共线时，PA PB PC ++取得最小值，此时180********CPA APP '∠=-∠=︒-=︒︒︒，180********APB AP B AP P ∠=∠=︒-∠=︒-︒='''︒，360360*********BPC BPA APC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，此时120APB BPC APC ∠=∠=∠=︒，AC AB AB '==，AP AP '=，APC AP B ''∠=∠，AP B APC ''∴≌，PC P B PB ''∴==，60APP DPC '∠=∠=︒，DP ∴平分BPC ∠，PD BC ∴⊥，,,,A D C E 四点共圆，90AEC ADC ∴∠=∠=︒，又AD DC BD ==,BAD CAE ≌，AE EC AD DC ∴===，则四边形ADCE 是菱形，又90ADC ∠=︒，∴四边形ADCE 是正方形，9060150B AC B AP PAC P AP ''''∠=∠+∠+∠=︒+︒=︒，则'B A BA AC ==，()1180152B ACB B AC '''∠=∠=︒-∠=︒，30PCD ∠=︒，DC ∴=，DC AD =，2AP =，则)12AP AD DP DP =-==，1DP ∴==，2AP =，3CE AD AP PD ∴==+=，故④不正确，故选B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，费马点，圆内接四边形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，正方形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．二．填空题24．（2022·云南）点A （1，-5）关于原点的对称点为点B ，则点B 的坐标为______．【答案】（-1，5）【分析】根据若两点关于坐标原点对称，横纵坐标均互为相反数，即可求解．【详解】解：∵点A （1，-5）关于原点的对称点为点B ，∴点B 的坐标为（-1，5）．故答案为：（-1，5）【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内点关于原点对称的特征，熟练掌握若两点关于坐标原点对称，横纵坐标均互为相反数是解题的关键．25．（2022·湖南湘潭）如图，一束光沿CD 方向，先后经过平面镜OB 、OA 反射后，沿EF 方向射出，已知120AOB ∠=︒，20CDB ∠=︒，则∠=AEF _________．【答案】40°##40度【分析】根据入射角等于反射角，可得,CDB EDO DEO AEF ∠=∠∠=∠，根据三角形内角和定理求得40OED ∠=︒，进而即可求解．【详解】解：依题意，,CDB EDO DEO AEF ∠=∠∠=∠，⊥120AOB ∠=︒，20CDB ∠=︒，20CDB EDO ∴∠=∠=︒，⊥18040OED ODE AOB ∠=-∠-∠=︒，∴40AEF DEO ∠=∠=︒．故答案为：40．【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理的应用，掌握轴对称的性质是解题的关键． 26．（2022·浙江丽水）一副三角板按图1放置，O 是边()BC DF 的中点，12cm BC =．如图2，将ABC 绕点O 顺时针旋转60︒，AC 与EF 相交于点G ，则FG 的长是___________cm ．【答案】3【分析】BC 交EF 于点N ，由题意得，=90EDF BAC ∠=∠︒，60DEF ∠=︒，30DFE ∠=︒，=45ABC ACB ∠=∠︒，BC =DF =12，根据锐角三角函数即可得DE ，FE ，根据旋转的性质得ONF △是直角三角形，根据直角三角形的性质得3ON =，即3NC =，根据角之间的关系得CNG △是等腰直角三角形，即3NG NC ==cm ，根据90FNO FED ∠=∠=︒，30NFO DFE ∠=∠=︒得FON FED △∽△，即ON FN DE DF=，解得FN =，即可得． 【详解】解：如图所示，BC 交EF 于点N ，由题意得，=90EDF BAC ∠=∠︒，60DEF ∠=︒，30DFE ∠=︒，=45ABC ACB ∠=∠︒，BC =DF =12，在Rt EDF 中，12tan tan 60DF DE EDF ===∠︒12sin sin 60DF EF EDF ===∠︒∵△ABC 绕点O 顺时针旋转60°，∴60BOD NOF ∠=∠=︒，∴90NOF F ∠+∠=︒，∴18090FNO NOF F ∠=︒-∠-∠=︒，∴ONF △是直角三角形， ∴132ON OF ==（cm ）， ∴3NC OC ON =-=（cm ），∵90FNO ∠=︒，∴18090GNC FNO ∠=︒-∠=︒，∴NGC 是直角三角形，∴18045NGC GNC ACB ∠=-∠-∠=︒，∴CNG △是等腰直角三角形，∴3NG NC ==cm ，∵90FNO FED ∠=∠=︒，30NFO DFE ∠=∠=︒，∴FON FED △∽△， 即ON FN DE DF=，12FN =，FN =∴3FG FN NG =-=（cm ），故答案为：3．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，解题的关键是掌握这些知识点．27．（2022·河南）如图，将扇形AOB 沿OB 方向平移，使点O 移到OB 的中点O '处，得到扇形A O B '''．若⊥O ＝90°，OA ＝2，则阴影部分的面积为______．【答案】3π+【分析】设A O '与扇形AOB 交于点C ，连接OC ，解Rt OCO '，求得60O C COB '=∠=︒，根据阴影部分的面积为()OCO A O B OCB S S S ''''--扇形扇形，即可求解．【详解】如图，设A O '与扇形AOB 交于点C ，连接OC ，如图O '是OB 的中点11122OO OB OA '∴===, OA ＝2， AOB ∠＝90°，将扇形AOB 沿OB 方向平移，90A O O ''∴∠=︒1cos 2OO COB OC '∴∠==60COB ∴∠=︒sin 60O C OC '∴=︒=∴阴影部分的面积为()OCO A O B OCB S S S''''--扇形扇形OCO AOB OCB S S S ''=-+扇形扇形22906012213603602ππ=⨯-⨯+⨯3π=故答案为：3π【点睛】本题考查了解直角三角形，求扇形面积，平移的性质，求得60COB ∠=︒是解题的关键．28．（2022·河南）如图，在Rt⊥ABC 中，⊥ACB ＝90°，AC BC ==D 为AB 的中点，点P 在AC 上，且CP ＝1，将CP 绕点C 在平面内旋转，点P 的对应点为点Q ，连接AQ ，DQ ．当⊥ADQ ＝90°时，AQ 的长为______．【分析】连接CD ，根据题意可得，当⊥ADQ ＝90°时，Q 点在CD 上，且1CQ CP ==，勾股定理求得AQ 即可．【详解】如图，连接CD ，在Rt⊥ABC 中，⊥ACB ＝90°，AC BC ==4AB ∴=，CD AD ⊥，122CD AB ∴==，根据题意可得，当⊥ADQ ＝90°时，Q 点在CD 上，且1CQ CP ==，211DQ CD CQ ∴=-=-=，在Rt ADQ △中，AQ =【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，确定点Q 的位置是解题的关键．29．（2022·浙江金华）如图，在Rt ABC 中，90,30,2cm ACB A BC ∠=︒∠=︒=．把ABC 沿AB 方向平移1cm ，得到A B C '''，连结CC '，则四边形AB C C ''的周长为_____cm ．【答案】8+【分析】通过勾股定理，平移的特性，特殊角的三角函数，分别计算出四边形的四条边长，再计算出周长即可．【详解】解：∵90,30,2cm ACB A BC ∠=︒∠=︒=，∴AB =2BC =4，∴∵把ABC 沿AB 方向平移1cm ，得到A B C '''，∴1CC '=，=4+1=5AB '， =2B C BC ''=，∴四边形的周长为：1528++=+8+【点睛】本题考查勾股定理，平移的特性，特殊角的三角函数，能够熟练掌握勾股定理是解决本题的关键． 30．（2022·四川德阳）如图，直角三角形ABC 纸片中，90ACB ∠=︒，点D 是AB 边上的中点，连接CD ，将ACD △沿CD 折叠，点A 落在点E 处，此时恰好有CE AB ⊥．若1CB =，那么CE =______．【分析】根据D 为AB 中点，得到AD =CD =BD ，即有∠A =∠DCA ，根据翻折的性质有∠DCA =∠DCE ，CE =AC ，再根据CE⊥AB，求得∠A=∠BCE，即有∠BCE=∠ECD=∠DCA=30°，则有∠A=30°，在Rt△ACB中，即可求出AC，则问题得解．【详解】∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵D为AB中点，∴在直角三角形中有AD=CD=BD，∴∠A=∠DCA，根据翻折的性质有∠DCA=∠DCE，CE=AC，∵CE⊥AB，∴∠B+∠BCE=90°，∵∠A+∠B=90°，∴∠A=∠BCE，∴∠BCE=∠ECD=∠DCA，∵∠BCE+∠ECD+∠DCA=∠ACB=90°，∴∠BCE=∠ECD=∠DCA=30°∴∠A=30°，∴在Rt△ACB中，BC=1，则有13 tan tan30BCACA===∠∴CE AC==【点睛】本题考查了翻折的性质、直角三角形斜边中线的性质、等边对等角以及解直角三角形的知识，求出∠BCE=∠ECD=∠DCA=30°是解答本题的关键．31．（2022·山东泰安）如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是__________________．【答案】23π 【分析】连接OO ′，BO ′，根据旋转的性质得到AO AO '=，OA OB =，O B OB ''=，60OAO '∠=︒，120AOB AO B ''∠=∠=︒，推出△OAO ′是等边三角形，得到60AOO '∠=︒，因为∠AOB ＝120°，所以60O OB '∠=︒，则OO B '是等边三角形，得到120AO B '∠=︒，得到30O B B O BB ''''∠=∠=︒，90B BO '∠=︒，根据直角三角形的性质得24B O OB '==，根据勾股定理得B B '=，用B OB '△的面积减去扇形O OB '的面积即可得．【详解】解：如图所示，连接OO ′，BO ′，∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°，∴AO AO '=，OA OB =，O B OB ''=，60OAO '∠=︒，120AOB AO B ''∠=∠=︒∴△OAO ′是等边三角形，∴60AOO '∠=︒，OO OA '=，∴点O '在⊙O 上，∵∠AOB ＝120°，∴60O OB '∠=︒，∴OO B '是等边三角形，∴120AO B '∠=︒，∵120AO B ''∠=︒，∴120B O B ''∠=︒， ∴11(180)(180120)3022O B B O BB B O B ''''''∠=∠=︒-∠=⨯︒-︒=︒，∴180180306090B BO OB B B OB '''∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴24B O OB '==，在Rt B OB '中，根据勾股定理得，B B '=∴图中阴影部分的面积=2160222=223603B OB O OB S S ''⨯-=⨯⨯扇形ππ，故答案为：23π． 【点睛】本题考查了圆与三角形，旋转的性质，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点．32．（2022·湖南怀化）已知点A （﹣2，b ）与点B （a ，3）关于原点对称，则a ﹣b =______．【答案】5【分析】根据平面直角坐标系中，关于原点对称的点横、纵坐标都互为相反数，求出a ，b 的值即可．【详解】∵点A （﹣2，b ）与点B （a ，3）关于原点对称，∴2a =，3b =-，∴()235a b -=--=故答案为：5．【点睛】本题考查平面直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标的特点，掌握特殊位置关系的点的坐标变化是解答本题的关键．33．（2022·浙江台州）如图，△ABC 的边BC 长为4cm ．将△ABC 平移2cm 得到△A ′B ′C ′，且BB ′⊥BC ，则阴影部分的面积为______2cm ．【答案】8【分析】根据平移的性质即可求解．【详解】解：由平移的性质S △A ′B ′C ′=S △ABC ，BC =B ′C ′，BC ⊥B ′C ′，⊥四边形B ′C ′CB 为平行四边形， ⊥BB ′⊥BC ，⊥四边形B ′C ′CB 为矩形，⊥阴影部分的面积=S △A ′B ′C ′+S 矩形B ′C ′CB -S △ABC =S 矩形B ′C ′CB =4×2=8(cm 2)．故答案为：8．【点睛】本题考查了矩形的判定和平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．三．解答题34．（2022·湖南湘潭）如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 的三个顶点的坐标分别为()1,1A -，()4,0B -，()2,2C -．将ABC 绕原点O 顺时针旋转90︒后得到111A B C △．(1)请写出1A、1B、1C三点的坐标：1A_________，1B_________，1C_________(2)求点B旋转到点1B的弧长．【答案】(1)（1，1）；（0，4）；（2，2）(2)2π【分析】（1）将⊥ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到⊥A1B1C1，点A1，B1，C1的坐标即为点A，B，C 绕着点O按顺时针方向旋转90°得到的点，由此可得出结果．（2）由图知点B旋转到点1B的弧长所对的圆心角是90º，OB=4，根据弧长公式即可计算求出．(1)解：将⊥ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到⊥A1B1C1，点A1，B1，C1的坐标即为点A，B，C绕着点O 按顺时针方向旋转90°得到的点，所以A1（1，1）；B1（0，4）；C1（2，2）(2)解：由图知点B旋转到点1B的弧长所对的圆心角是90度，OB=4，⊥点B旋转到点1B的弧长=904 180π⨯⨯=2π【点睛】本题考查点的旋转变换和弧长公式，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和弧长公式．35．（2022·湖北武汉）如图是由小正方形组成的96⨯网格，每个小正方形的顶点叫做格点．ABC的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．(1)在图（1）中，D ，E 分别是边AB ，AC 与网格线的交点．先将点B 绕点E 旋转180︒得到点F ，画出点F ，再在AC 上画点G ，使DG BC ∥；(2)在图（2）中，P 是边AB 上一点，BAC α∠=．先将AB 绕点A 逆时针旋转2α，得到线段AH ，画出线段AH ，再画点Q ，使P ，Q 两点关于直线AC 对称．【答案】(1)作图见解析(2)作图见解析【分析】（1）取格点，作平行四边形，利用平行四边形对角顶点关于对角线交点对称即可求点F ；平行四边形对边在网格中与格线的交点等高，连接等高点即可作出DG BC ∥；（2）取格点，作垂直平分线即可作出线段AH ；利用垂直平分线的性质，证明三角形全等，作出P ，Q 两点关于直线AC 对称(1)解：作图如下：取格点F ，连接AF ，AF BC ∥且AF BC =，所以四边形ABCF 是平行四边形，连接 BF ，与AC 的交点就是点E ，所以BE =EF ，所以点F 即为所求的点；连接CF ，交格线于点M ，因为四边形ABCF 是平行四边形，连接DM 交AC 于一点，该点就是所求的G 点；(2)解：作图如下：。
【中考数学专题】10 与翻折或轴对称作图有关的几何证明题解析-
专题十：与翻折或轴对称作图有关的几何证明题解析专题导例如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是．【分析】：先判断出Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），得出∠DAM＝∠CBN，进而判断出△DCE≌△BCE （SAS），得出∠CDE＝∠CBE，即可判断出∠AFD＝90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OF＝AD＝3，利用勾股定理列式求出OC，然后根据三角形的三边关系可知当O、F、C 三点共线时，CF的长度最小．方法剖析轴对称的性质（1）对应线段相等，对应角相等；对称点的连线被对称轴垂直平分；（2）轴对称图形变换的特征是不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，新旧图形具有对称性；（3）轴对称的两个图形，它们对应线段或延长线相交，交点在对称轴上.轴对称（折叠）的思考层次全等变换：对应边相等，对应角相等；对称轴性质：对应点所连线段被对称轴（折痕）垂直平分，对称轴（折痕）上的点到对应点的距离相等；指出：（1）在翻折下，前后的图形关于折痕成轴对称，注意前后的图形成镜面对称，即前后的图形的左右位置互换；（2）翻折或对称中建构勾股方程来求取线段长及对最值类问题进行探究；（3）轴对称常见的结构，折叠会产生垂直平分，等腰三形.导例答案：解：如图，在正方形ABC D中，AD＝BC＝CD，∠ADC＝∠BCD，∠DCE＝∠BCE，在Rt△ADM和Rt△BCN中，，∴Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），∴∠DAM＝∠CBN，在△DCE和△BCE中，，∴△DCE≌△BCE（SAS），∴∠CDE＝∠CBE∴∠DAM＝∠CDE，∵∠ADF+∠CDE＝∠ADC＝90°，∴∠DAM+∠ADF＝90°，∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°，取AD的中点O，连接OF、OC，则OF＝DO ＝AD＝3，在Rt△OD C中，OC ＝＝3根据三角形的三边关系，OF+CF＞OC，∴当O、F、C三点共线时，CF的长度最小，最小值＝OC﹣OF＝3﹣3．故答案为：3﹣3．典型例题类型一：利用已知直线作对称图形进行证明例1、在等边△AB C中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE＝DA（如图1）．（1）求证：∠BAD＝∠EDC；（2）点E关于直线BC的对称点为M，连接DM，AM．①依题意将图2补全；②证明：在点D运动的过程中，始终有DA＝AM．【分析】（1）先判断出∠BAD+∠CAD＝60°，进而得出∠BAD+∠E＝60°，即可得出结论；（2）①由对称性即可补全图形；②由对称性判断出DM＝DE，∠MDC＝∠EDC，再用三角形的外角的性质，判断出∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠B+∠MDC，进而判断出△ADM是等边三角形，即可得出结论．类型二：对已知图形进行翻折进行证明例2．如图，矩形ABC D中，AB＝4，AD＝3，把矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△DEC≌△EDA；（2）求DF的值；（3）在线段AB上找一点P，连结FP使FP⊥AC，连结PC，试判定四边形APCF的形状，并说明理由，直接写出此时线段PF的大小．【分析】（1）根据矩形的性质、轴对称的性质可得到AD＝EC，AE＝DC，即可证到△DEC≌△EDA （SSS）；（2）易证AF＝CF，设DF＝x，则有AF＝4﹣x，然后在Rt△ADF中运用勾股定理就可求出DF的长．（3）根据三角形的内角和定理求得∠APF＝∠AFP根据等角对等边得出AF＝AP进而得出FC＝AP，从而证得四边形APCF是平行四边形，又因为FP⊥AC证得四边形APCF为菱形，然后根据菱形的面积S菱形＝PF•AC＝AP•AD，即可求得．专项突破1.如图，在Rt△AB C中，∠C＝90°，点D、E分别是BC、AB上一个动点，连接DE．将点B沿直线DE折叠，点B的对应点为F，若AC＝3，BC＝4，当点F落在AC的三等分点上时，BD的长为．2．如图，正方形ABC D中，点E是BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，连接F C．（1）求证：∠FBC＝∠CDF；（2）作点C关于直线DE的对称点G，连接CG，FG，猜想线段DF，BF，CG之间的数量关系，并证明你的结论．3.已知矩形ABCD，其中AD＞AB，依题意先画出图形，然后解答问题．（1）F为DC边上一点，把△ADF沿AF折叠，使点D恰好落在BC上的点E处．在图1中先画出点E，再画出点F，若AB＝8，AD＝10，直接写出EF的长为；（2）把△ADC沿对角线AC折叠，点D落在点E处，在图2先画出点E，AE交CB于点F，连接BE．求证：△BEF是等腰三角形．4.如图，Rt△AB C中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为AB边上的一个动点（不与点A，B及A B中点重合），连接CD，点A关于直线CD的对称点为点E，直线BE，CD交于点F．（1）如图1，当∠ACD=15°时，根据题意将图形补充完整，并直接写出∠BFC的度数；（2）如图2，当45°＜∠ACD＜90°时，用等式表示线段AC，EF，BF之间的数量关系，并加以证明．5．在Rt△AB C中，∠ACB＝90°，CA＝C B．点D为线段BC上一个动点（点D不与点B，C重合），连接AD，点E在射线AB上，连接DE，使得DE＝D A．作点E关于直线BC的对称点F，连接BF，DF．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠CAD＝∠BDF；（3）用等式表示线段AB，BD，BF之间的数量关系，并证明．6．如图①，在等腰三角形AB C中，AB＝AC＝8，BC＝14．如图②，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC＝∠AC D．如图③，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABE D．则BE的长是．7．在等边三角形ABC外侧作射线AP，∠BAP=α，点B关于射线AP的对称点为点D，连接CD交AP于点E.（1）依据题意补全图形；（2）当α=20°时，∠ADC= ；∠AEC= ；（3）连接BE，求证：∠AEC=∠BEC；（4）当0°<α<60°时，用等式表示线段AE，CD，DE之间的数量关系，并证明．8.在等边△ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连结BD，CD，其中CD交直线AP与点E．（1）如图1，若∠P AB＝30°，则∠ACE＝；（2）如图2，若60°＜∠P AB＜120°，请补全图形，判断由线段AB，CE，ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并说明理由．9．如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.(1)求证：△BDF是等腰三角形；(2)如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连结FG交BD于点O.①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．10.【问题情境】如图①，在Rt△AB C中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为A B中点，连结CD，点E为CB上一点，过点E且垂直于DE的直线交AC于点F．易知：BE＝CF．（不需要证明）【探索发现】如图②，在Rt△AB C中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为A B中点，连结CD，点E为CB的延长线上一点，过点E且垂直于DE的直线交AC的延长线于点F．【问题情境】中的结论还成立吗？请说明理由．【类比迁移】如图③，在等边△AB C中，AB＝4，点D是A B中点，点E是射线AC上一点（不与点A、C重合），将射线DE绕点D逆时针旋转60°交BC于点F．当CF＝2CE时，CE＝．11．在△AB C中，∠ACB＝90°，AC＜BC，点D在AC的延长线上，点E在BC边上，且BE＝AD，（1）如图1，连接AE，DE，当∠AEB＝110°时，求∠DAE的度数；（2）在图2中，点D是AC延长线上的一个动点，点E在BC边上（不与点C重合），且BE＝AD，连接AE，DE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接BF，DE．①依题意补全图形；②求证：BF＝DE．专题十：与翻折或轴对称作图有关的几何证明题解析例1．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∴∠BAD+∠CAD＝60°，∵DE＝DA，∴∠CAD＝∠E，∴∠BAD+∠E＝60°，∵∠EDC+∠E＝∠ACB＝60°，∴∠BAD＝∠EDC；（2）①补全图形如图2所示；②∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，由对称性得，∠EDC＝∠MDC，由（1）知，∠EDC＝∠BAD，∴∠MDC＝∠BAD，∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠B+∠MD C．∴∠ADM＝∠B＝60°，由对称性得，DM＝DE，∵DE＝DA，∴DA＝DM，∴△ADM是等边三角形，∴DA＝DM，即：在点D运动的过程中，始终有DA＝AM．例2．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB，∵△AEC由△ABC翻折得到，∴AB＝AE，BC＝EC，∠CAE＝∠CAB，∴AD＝CE，DC＝EA，∠ACD＝∠CAE，在△ADE与△CE D中，，∴△DEC≌△EDA（SSS）；（2）解：如图1，∵∠ACD＝∠CAE，∴AF＝CF，设DF＝x，则AF＝CF＝4﹣x，在RT△ADF中，AD2+DF2＝AF2，即32+x2＝（4﹣x）2，解得；x＝，即DF＝．（3）解：四边形APCF为菱形，设AC、FP相较于点O∵FP⊥AC∴∠AOF＝∠AOP又∵∠CAE＝∠CAB，∴∠APF＝∠AFP∴AF＝AP∴FC＝AP又∵AB∥CD∴四边形APCF是平行四边形又∵FP⊥AC∴四边形APCF为菱形，在矩形ABC D中，AB＝4，AD＝3，∴AC＝5，∵S菱形＝PF•AC＝AP•AD，∵AP＝AF＝4﹣＝∴PF＝＝．专项突破1.解：∵折叠∴BD＝DF，∵点F落在AC的三等分点上∴CF＝1或CF＝2，若CF＝1时，在Rt△CDF中，DF2＝CD2+CF2，∴BD2＝（4﹣BD）2+1∴BD＝当CF＝2时，在Rt△CDF中，DF2＝CD2+CF2，∴BD2＝（4﹣BD）2+4∴BD＝故答案为：或2．解：（1）∵ABCD为正方形，∴∠DCE＝90°．∴∠CDF+∠E＝90°，又∵BF⊥DE，∴∠FBC+∠E＝90°，∴∠FBC＝∠CDF（2）如图所示：在线段FB上截取FM，使得FM＝F D．∵∠BDC＝∠MDF＝45°，∴∠BDM＝∠CDF，∵＝＝，∴△BDM∽△CDF，∴＝＝，∠DBM＝∠DCF，∴BM＝CF，∴∠CFE＝∠FCD+∠CDF＝∠DBM+∠BDM＝∠DMF＝45°，∴∠EFG＝∠EFC＝45°，∴∠CFG＝90°，∵CF＝FG，∴CG＝CF，∴BM＝CG，∴BF＝BM+FM＝CG+DF．补充方法：连接GM，证明四边形BMGC是平行四边形即可．3.解：（1）如图1，在BC上截取AE＝AD得点E，作AF垂直DE交CD于点F（或作∠AED的平分线AF交CD于点F，或作EF垂直AE交CD于点F等等），∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝90°，在Rt△ABE中，BE＝＝6，∴EC＝10﹣6＝4，设EF＝DF＝x，在Rt△EF C中，则有x2＝（8﹣x）2+42，解得x＝5，∴EF＝5．故答案为：5；（2）证明：如图2，作DH垂直AC于点H，延长DH至点E，使HE＝DH．方法1：∵△ADC≌△AEC，∴AD＝AE＝BC，AB＝DC＝EC，在△ABE与△CE B中，，∴△ABE≌△CEB（SSS），∴∠AEB＝∠CBE，∴BF＝EF，∴△BEF是等腰三角形．方法2：∵△ADC≌△AEC，∴AD＝AE＝BC，∠DAC＝∠EAC，又∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠EAC＝∠ACB，∴F A＝FC，∴FE＝FB，∴△BEF是等腰三角形．4.（1）如图1中，连接E C．∵A，E关于CD对称，∴∠DCA=∠DCE=15°，CA=CE=C B．∵∠ACB=90°，∴∠ECB=60°，∴△ECB是等边三角形，∴∠CEB=60°，∵∠CEB=∠BFC+∠DCE，∴∠BFC=60°-15°=45°．（2）结论：EF2+BF2=2AC2．理由：如图2，连接CE，AF，延长AC交FE的延长线于点G．∵A，E关于CD对称，∴AC=CE，AF=EF，又∵CF=CF，∴△ACF≌△ECF（SSS），∴∠CAF=∠1，∵AC=BC，∴BC=CE，∴∠1=∠2，∴∠CAF=∠2，∵∠ACB=90°，∴∠G+∠2=90°，∴∠CAF+∠G=90°，∴∠AFG=90°，在Rt△AF B中，AB2=AF2+BF2，在Rt△AB C中，AB2=AC2+BC2=2AC2，∴BF2+AF2=2AC2，∴BF2+EF2=2AC2．5．（1）如图所示：（2）∵∠ACB＝90°，CA＝CB，∴∠BAC＝∠CBA＝45°，∴∠CAD+∠DAB＝45°，∵DA＝DE，∴∠DAE＝∠DEB，∵∠DBA是△DBE的一个外角，∴∠EDB+∠DEB＝∠DBA＝45°，∴∠EDB＝∠CAD，∵点E关于直线BC的对称点F，∴∠EDB＝∠FDB，∴∠CAD＝∠FDB；（3）线段AB，BD，BF之间的数量关系是AB﹣BF=√2BD，证明：过点D作AC的平行线交AB于M点，∴∠C＝∠MDB＝90°，∠CAB＝∠DMB＝45°，∴∠DMB＝∠DBM，∴DM＝DB，∴MB=√2BD，∵点E关于直线BC的对称点F，∴DE＝DF，∵AD＝DE，∴AD＝DF，∵AC∥MD，∴∠CAD＝∠ADM，∵∠CAD＝∠FDB，∴∠ADM＝∠FDB，∴△ADM≌△FDB（SAS），∴AM＝BF，∴AB﹣BF＝AB﹣AM＝MB，又∵MB=√2BD，∴AB﹣BF=√2B D．6.解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠DAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ABC，∵∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA，∴＝，∴＝，∴CD＝，BD＝BC﹣CD＝，∵∠DAM＝∠DAC＝∠DBA，∠ADM＝∠ADB，∴△ADM∽△BDA，∴＝，即＝，∴DM＝，MB＝BD﹣DM＝，∵∠ABM＝∠C＝∠MED，∴A、B、E、D四点共圆，∴∠ADB＝∠BEM，∠EBM＝∠EAD＝∠ABD，∴△ABD∽△MBE，∴＝，∴BE ＝＝＝．故答案为：．7．（1）如图；EDP（2）40°；60 °；（3）证明：∵点B关于射线AP的对称点为点D，∴△BAE≌△DAE．∴∠BAE=∠DAE=α．∵AD=AB=AC，∴∠ADC=()1806022α︒-︒+=60°－α．∴∠AEC=60°．∵∠ACB=60°，∠ACD=∠ADC=60°－α，∴∠BCE=α．∵∠ABC=60°，∠ABE=∠ADC=60°－α，∴∠BEC=60°．（4）证明：法一：在CD上截取AF=AE．F EDAB C P∵∠AEF =60°，∴△AEF 是等边三角形．∴∠AFC =∠AED =120°．∵∠ACD =∠ADC =60°－α，∴△ADE ≌△ACF ．∴DE =CF ．∴CD =2DE +EF ．∵AE =EF ，∴CD =2DE +AE ．法二：在CD 上截取BG =BE ．GEDAB C P∵∠BEC =60°，∴△BEG 是等边三角形．∴∠BGC =∠AED =120°．∵∠BCE =∠DAE =α，∴△BCG ≌△DAE ．∴AE =CG ．∵EG =BE =DE ，∴CD =2DE +CG ．∴CD =2DE +AE ．8.解：（1）连接AD ，如图1．∵点D 与点B 关于直线AP 对称，∴AD ＝AB ，∠DAP ＝∠BAP ＝30°，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，∴AD ＝AC ，∠DAC ＝120°，∴2∠ACE +60°+60°＝180°，∴∠ACE ＝30°，故答案为：30°；（3）线段AB ，CE ，ED 可以构成一个含有60°角的三角形．证明：连接AD ，EB ，如图2．∵点D 与点B 关于直线AP 对称，∴AD ＝AB ，DE ＝BE ，∴∠EDA ＝∠EBA ，∵AB ＝AC ，AB ＝AD ，∴AD ＝AC ，∴∠ADE ＝∠ACE ，∴∠ABE ＝∠ACE ．设AC ，BE 交于点F ，又∵∠AFB ＝∠CFE ，∴∠BAC ＝∠BEC ＝60°，∴线段AB ，CE ，ED 可以构成一个含有60°角的三角形．9．(1)根据折叠，∠DBC ＝∠DBE ，又AD ∥BC ，∴∠DBC ＝∠ADB ，∴∠DBE ＝∠ADB ，∴DF ＝BF ，∴△BDF 是等腰三角形(2)①菱形，理由：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴FD ∥BG ，又∵FD ∥BG ，∴四边形BFDG 是平行四边形，∵DF ＝BF ，∴四边形BFDG 是菱形②∵AB ＝6，AD ＝8，∴BD ＝10.∴OB ＝12BD ＝5.设DF ＝BF ＝x ，∴AF ＝AD －DF ＝8－x .∴在Rt △ABF 中，AB 2＋AF 2＝BF 2，即62＋(8－x )2＝x 2，解得x ＝254，即BF ＝254，∴FO ＝BF 2－OB 2＝（254）2－52＝154，∴FG ＝2FO ＝152 10.解：【问题情境】证明：∵在Rt △AB C 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点D 为A B 中点， ∴CD ⊥AB ，CD ＝BD ＝AD ＝AB ，∠BCD ＝∠B ＝45°，∴∠BDC ＝90°，∵∠EDF ＝90°，∴∠CDF＝∠BDE，在△BDE与△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（ASA），∴BE＝CF；【探索发现】成立，理由：∵在Rt△AB C中，D为A B中点，∴CD＝BD，又∵AC＝BC，∴DC⊥AB，∴∠DBC＝∠DCB＝45°，∵DE⊥DF，∴∠EDF＝90°，∴∠EDB+∠BDF＝∠CDF+∠BDF＝90°，∴∠CDF＝∠BDE，∴∠ADF＝∠CDE，∴AF＝CE，∴CF＝BE；【类比迁移】∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，∵∠FDE＝60°，∴∠BDF＝120°﹣∠ADE，∠AED＝120°﹣∠ADE，∴∠BDF＝∠AED，∴△ADE∽△BDF，∴，∵点D为A B中点，AB＝4，∴AD＝BD＝2，AC＝BC＝4，∵CF＝2CE，∴设CE＝x，则CF＝2x，当点E在线段AC上时，∴AE＝4﹣x，BF＝4﹣2x，∴＝，解得：x＝3﹣，x＝3+（不合题意，舍去），∴CE＝3﹣，如图④，当点E在AC的延长线上时，∵AE＝4+x，BF＝4﹣2x，∴＝，解得：x＝﹣1+，（负值舍去），∴CE＝﹣1+．综上所述，CE＝3﹣或﹣1+，故答案为：3﹣或﹣1+．11.解：（1）∵∠AEB＝110°，∠ACB＝90°，∴∠DAE＝∠AEB﹣∠ACB＝20°；（2）①补全图形，如图所示．②证明：由题意可知∠AEF＝90°，EF＝AE．∵∠ACB＝90°，∴∠AEC+∠BEF＝∠AEC+∠DAE＝90°．∴∠BEF＝∠DAE．∵在△EBF和△ADE中，，∴△EBF≌△ADE（SAS）．∴DE＝BF．。
2023年中考数学压轴题专题20 二次函数与对称变换综合问题【含答案】
专题20二次函数与对称变换综合问题【例1】（2021秋•开化县月考）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“镜像抛物线”．例如：y＝（x﹣h）2﹣k的“镜像抛物线”为y＝﹣（x﹣h）2+k．（1）请写出抛物线y＝（x﹣2）2﹣4的顶点坐标，及其“镜像抛物线”y＝﹣（x﹣2）2+4的顶点坐标．写出抛物线的“镜像抛物线”为．（2）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“镜像抛物线”于点C，分别作点B，C关于抛物线对称轴对称的点B'，C'，连接BC，CC'，B'C'，BB'．①当四边形BB'C'C为正方形时，求a的值．②求正方形BB'C'C所含（包括边界）整点个数．（说明：整点是横、纵坐标均为整数的点）【例2】（2022•巩义市模拟）已知，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于C点，点A的坐标为（﹣1，0），且OB＝OC．（1）求二次函数的解析式；（2）当0≤x≤4时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？（3）设点C'与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC'与△POB 相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【例3】（2022•济宁二模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，已知B点的坐标为（3，0），C点的坐标为（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）图1中，点P为抛物线上的动点，且位于第二象限，过P，B两点作直线l交y轴于点D，交直线AC于点E．是否存在这样的直线l：以C，D，E为顶点的三角形与△ABE相似？若存在，请求出这样的直线l的解析式；若不存在，请说明理由．（3）图2中，点C和点C'关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线上，且∠MBA＝∠CBC'，求M点的横坐标．【例4】（2022•合肥四模）已知抛物线L1：y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）．（1）求抛物线的表达式；（2）若两个抛物线的交点在x轴上，且顶点关于x轴对称，则称这两个抛物线为“对称抛物线”，求抛物线L1对称抛物线L2的解析式；（3）在（2）的条件下，点M是x轴上方的抛物线L2上一动点，过点M作MN⊥x轴于点N，设M的横坐标为m，记W＝MN﹣2ON，求W的最大值．一．解答题（共20题）1．（2022•广陵区二模）已知二次函数y＝﹣mx2﹣4mx﹣4m+4（m为常数，且m＞0）．（1）求二次函数的顶点坐标；（2）设该二次函数图象上两点A（a，y a）、B（a+2，y b），点A和点B间（含点A，B）的图象上有一点C，将点C纵坐标的最大值和最小值的差记为h．①当m＝1时，若点A和点B关于二次函数对称轴对称，求h的值；②若存在点A和点B使得h的值是4，则m的取值范围是．2．（2022•绿园区二模）在平面直角坐标系中，已知某二次函数的图象同时经过点A（0，3）、B（2m，3）、C（m，m+3）．其中，m≠0．（1）当m＝1时．①该二次函数的图象的对称轴是直线．②求该二次函数的表达式．（2）当|m|≤x≤|m|时，若该二次函数的最大值为4，求m的值．（3）若同时经过点A、B、C的圆恰好与x轴相切时，直接写出该二次函数的图象的顶点坐标．3．（2022•荷塘区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（x1，0），B （x2，0）两点，且（x1＜0＜x2），交y轴于点C，顶点为D．（1）a＝﹣1，b＝2，c＝4，①求该二次函数的对称轴方程及顶点坐标；②定义：若点P在某函数图象上，且点P的横纵坐标互为相反数，则称点P为这个函数的“零和点”，求证：此二次函数有两个不同的“零和点”；（2）如图，过D、C两点的直线交x轴于点E，满足∠ACE＝∠CBE，求ac的值．4．（2022•绥江县二模）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a（a＜0）的图象经过（3，0）．（1）求二次函数的对称轴；（2）点A的坐标为（1，0），将点A向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到点B，若二次函数的图象与线段AB有公共点，求a的取值范围．5．（2022•兴化市二模）已知一次函数y＝kx+m的图象过点（2，3），A（k，y1）、B（k+1，y2）是二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x+2m图象上的两点．（1）若该二次函数图象的对称轴是直线x＝1，分别求出一次函数和二次函数的表达式；（2）当点A、B在二次函数的图象上运动时，满足|y1﹣y2|＝1，求m的值；（3）点A、B的位置随着k的变化而变化，设点A、B的运动路线分别与直线x＝n交于点P、Q，当PQ＝2时，求n的值．6．（2022•三门峡一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+2a（a≠0）．（1）该二次函数图象的对称轴是直线x＝；（2）若该二次函数的图象开口向上，当﹣1≤x≤4时，y的最大值是5，求抛物线的解析式；（3）若对于该抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当x2取大于3的任何实数时，均满足y1＜y2，请结合图象，直接写出x1的取值范围．7．（2022•无锡二模）二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，且A（﹣1，0）、B（4，0）．（1）求此二次函数的表达式；（2）①如图1，抛物线的对称轴m与x轴交于点E，CD⊥m，垂足为D，点F（﹣，0），动点N在线段DE上运动，连接CF、CN、FN，若以点C、D、N为顶点的三角形与△FEN 相似，求点N的坐标；②如图2，点M在抛物线上，且点M的横坐标是1，将射线MA绕点M逆时针旋转45°，交抛物线于点P，求点P的坐标；（3）已知Q在y轴上，T为二次函数对称轴上一点，且△QOT为等腰三角形，若符合条件的Q恰好有2个，直接写出T的坐标．8．（2022秋•乐陵市校级月考）如图，已知二次函数的图象经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求这个二次函数的对称轴、顶点坐标；（3）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连结BA、BC，求△ABC的面积．（4）若点D为抛物线与x轴的另一个交点，在抛物线上是否存在一点M，使△ADM的面积为△ABC的面积的2倍，若存在，请求出M的坐标，若不存在，请说明理由．9．（2022秋•永城市月考）如图，关于x的二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且过点D（﹣1，4）．（1）求b的值及该二次函数图象的对称轴；（2）连接AC，AD，CD，求△ADC的面积；（3）在AC上方抛物线上有一动点M，请直接写出△ACM的面积取到最大值时，点M的坐标．10．（2022秋•越秀区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），B（0，2），以AB为边向右作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC，二次函数的图象经过点C．（1）求二次函数的解析式；（2）平移该二次函数图象的对称轴所在的直线l，若直线l恰好将△ABC的面积分为1：2两部分，请求出直线l平移的最远距离；（3）将△ABC以AC所在直线为对称轴翻折，得到△AB'C，那么在二次函数图象上是否存在点P，使△PB'C是以B'C为直角边的直角三角形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．11．（2022秋•西城区校级期中）定义：若两个函数的图象关于某一点Q中心对称，则称这两个函数关于点Q互为“对称函数”．例如，函数y＝x2与y＝﹣x2关于原点O互为“对称函数”．（1）函数y＝﹣x+1关于原点O的“对称函数”的函数解析式为，函数y＝（x﹣2）2﹣1关于原点O的“对称函数”的函数解析式为；（2）已知函数y＝x2﹣2x与函数G关于点Q（0，1）互为“对称函数”，若函数y＝x2﹣2x 与函数G的函数值y都随自变量x的增大而减小，求x的取值范围；（3）已知点A（0，1），点B（4，1），点C（2，0），二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0），与函数N关于点C互为“对称函数”，将二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与函数N的图象组成的图形记为W，若图形W与线段AB恰有2个公共点，直接写出a的取值范围．12．（2022春•鼓楼区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2（a≠0）．（1）当a＝﹣时，求抛物线的对称轴及顶点坐标；（2）请直接写出二次函数图象的对称轴是直线（用含a的代数式表示）及二次函数图象经过的定点坐标是．（3）若当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，求二次函数的解析式；（4）已知点A（0，﹣3）、B（5，﹣3），若抛物线与线段AB只有一个公共点，请直接写出a的取值范围．13．（2022春•西湖区校级期末）如图所示，在矩形AOCD中，把点D沿AE对折，使点D 落在OC上的F点．已知AO＝8，AD＝10．（1）求F点的坐标；（2）如果一条不与抛物线对称轴平行的直线与抛物线仅一个交点，我们把这条直线称为抛物线的切线，已知抛物线经过O，F，且直线y＝6x﹣36是该抛物线的切线．求抛物线的解析式．并验证点M（5，﹣5）是否在该抛物线上．（3）在（2）的条件下，若点P是位于该二次函数对称轴右侧图象上不与顶点重合的任意一点，试比较∠POF与∠MOF的大小（不必证明），并写出此时点P的横坐标x P的取值范围．14．（2022•南京模拟）已知，如图，抛物线与坐标轴相交于点A（﹣1，0），C（0，﹣3）两点，对称轴为直线x＝1，对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的点，当∠ACP＝45°时，求点P的坐标；（3）点F为二次函数图象上与点C对称的点，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点F，A，M，N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．15．（2022•兴宁区校级模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，0），点A为抛物线的顶点．（1）求二次函数的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是等腰三角形？如果存在，请求出点M 的坐标．如果不存在，请说明理由；（3）若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为，求的最小值．16．（2022•南京模拟）已知二次函数解析式为y＝x﹣1（a≠0），该抛物线与y 轴交于点A，其顶点记为B，点A关于抛物线对称轴的对称点记为C．已知点D在抛物线上，且点D的横坐标为2，DE⊥y轴交抛物线于点E．（1）求点D的纵坐标．（2）当△ABC是等腰直角三角形时，求出a的值．（3）当0≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为2时，求a的取值范围．（4）设点R（a﹣3，﹣1），点A、R关于直线DE的对称点分别为N、M，当抛物线在以A、R、M、N为顶点的四边形内部的图象中，y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出a的取值范围．17．（2021•九龙坡区校级模拟）若直线y＝﹣2x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数y＝ax2+3x+c的图象经过点A，交x轴于C、D两点，且抛物线的对称轴为直线x＝．（1）求二次函数的解析式；（2）过点C作直线CE∥AB交y轴于点E，点P是直线CE上一动点，点Q是第一象限抛物线上一动点，求四边形APBQ面积的最大值与此时点Q的坐标；（3）在（2）的结论下，点E是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点G，直线EQ交x轴于点F，在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得∠MFQ+∠CAO＝45°，求点M的坐标．18．（2022•成都模拟）如图1所示，直线y＝x+3与x轴、y轴分别相交于点A，点B，点C（1，2）在经过点A，B的二次函数y＝ax2+bx+c的图象上．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为线段AB上（不与端点重合）的一动点，过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q，求PQ+PB取得最大值时点P的坐标；（3）如图2，连接BC并延长，交x轴于点D，E为第三象限抛物线上一点，连接DE，点G为x轴上一点，且G（﹣1，0），直线CG与DE交于点F，点H在线段CF上，且∠CFD+∠ABH＝45°，连接BH交OA于点M，已知∠GDF＝∠HBO，求点H的坐标．19．（2022秋•甘井子区校级月考）抛物线y＝x2+bx+c过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C，点C、D关于抛物线的对称轴对称．（1）抛物线的解析式是，△ABD的面积为；（2）在直线AD下方的抛物线上存在点P，使△APD的面积最大，求出最大面积．（3）当t≤x≤t+1时，函数y＝x2+bx+c的最小值为5，求t的值．（4）若点M在y轴上运动，点N在x轴上运动，当以点D、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时M点的坐标．20．（2021秋•沙坪坝区月考）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点E与点C关于抛物线对称轴对称，抛物线的对称轴与x轴交于点G．（1）求直线AE的解析式及△ACE的面积．（2）如图1，连接AE，交y轴于点D，点P为直线AE上方抛物线一点，连接PD、PE，直线l过点B且平行于AE，点F为直线l上一点，连接FD、FE，当四边形PDFE面积最大时，在y轴上有一点N，连接PN，过点N作NM垂直于抛物线对称轴于点M，求的最小值．（3）连接AC，将△AOC向右平移得△A'O'C'，当A'C'的中点恰好落在∠CAB的平分线上时，将△A'O'C'绕点O'旋转，记旋转后的三角形为△A″O′C″，在旋转过程中，直线A″C″与y轴交于点K，与直线AC交于点H，在平面中是否存在一点Q，使得以C、K、H、Q为顶点的四边形是以KH为边的菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【例1】（2021秋•开化县月考）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“镜像抛物线”．例如：y＝（x﹣h）2﹣k的“镜像抛物线”为y＝﹣（x﹣h）2+k．（1）请写出抛物线y＝（x﹣2）2﹣4的顶点坐标（2，﹣4），及其“镜像抛物线”y ＝﹣（x﹣2）2+4的顶点坐标（2，4）．写出抛物线的“镜像抛物线”为．（2）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“镜像抛物线”于点C，分别作点B，C关于抛物线对称轴对称的点B'，C'，连接BC，CC'，B'C'，BB'．①当四边形BB'C'C为正方形时，求a的值．②求正方形BB'C'C所含（包括边界）整点个数．（说明：整点是横、纵坐标均为整数的点）【分析】（1）根据定义直接求解即可；（2）①分别求出B（1，1﹣3a），C（1，3a﹣1），B'（3，1﹣3a），C'（3，3a﹣1），由正方形的性质可得BB'＝BC，即2＝6a﹣2，求出a即可；②由①求出B（1，﹣1），C（1，1），B'（3，﹣1），C'（3，1），在此区域内找出所含的整数点即可．【解答】解：（1）y＝（x﹣2）2﹣4的顶点坐标为（2，﹣4），y＝﹣（x﹣2）2+4的顶点坐标为（2，4），的“镜像抛物线”为，故答案为：（2，﹣4），（2，4），；（2）①∵y＝ax2﹣4ax+1＝a（x﹣2）2+1﹣4a，∴抛物线L的“镜像抛物线”为y＝﹣a（x﹣2）2﹣1+4a，∵点B的横坐标为1，∴B（1，1﹣3a），C（1，3a﹣1），∵抛物线的对称轴为直线x＝2，∴B'（3，1﹣3a），C'（3，3a﹣1），∴BB'＝2，BC＝6a﹣2，∵四边形BB'C'C为正方形，∴2＝6a﹣2，∴a＝；②∵a＝，∴B（1，﹣1），C（1，1），B'（3，﹣1），C'（3，1），∴正方形BB'C'C所含（包括边界）整点有（1，﹣1），（1，1），（3，﹣1），（3，1），（1，0），（3，0），（2，﹣1），（2，0），（2，1）共9个．【例2】（2022•巩义市模拟）已知，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于C点，点A的坐标为（﹣1，0），且OB＝OC．（1）求二次函数的解析式；（2）当0≤x≤4时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？（3）设点C'与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC'与△POB 相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据OB＝OC可得B点的坐标为（3，0），把A、B的坐标代入二次函数y＝ax2+bx﹣3，求出a、b的值即可；（2）求出二次函数的顶点坐标为（1，﹣4），根据二次函数的性质即可得出答案；（3）先设出P的坐标，根据相似三角形的性质列出方程，解出方程即可得到点P的坐标．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与y轴交于C点，∴C（0，﹣3）．∵OB＝OC，点A在点B的左边，∴B（3，0）．∵点A的坐标为（﹣1，0），由题意可得，解得：，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴二次函数顶点坐标为（1，﹣4），∴当x＝1时，y＝﹣4，最小值∵当0≤x≤1时，y随着x的增大而减小，∴当x＝0时，y＝﹣3，∵当1＜x≤4时，y随着x的增大而增大，∴当x＝4时，y＝5．∴当0≤x≤4时，函数的最大值为5，最小值为﹣4；（3）在y轴上存在点P，使△PCC'与△POB相似，理由如下：设P（0，m），如图，∵点C'与点C关于该抛物线的对称轴直线x＝1对称，C（0，﹣3）．∴C′（2，﹣3）．∴CC'∥OB，∵△PCC'与△POB相似，且PC与PO是对应边，∴，即：，解得：m＝﹣9或m＝﹣，∴存在，P（0，﹣9）或P（0，﹣）．【例3】（2022•济宁二模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，已知B点的坐标为（3，0），C点的坐标为（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）图1中，点P为抛物线上的动点，且位于第二象限，过P，B两点作直线l交y轴于点D，交直线AC于点E．是否存在这样的直线l：以C，D，E为顶点的三角形与△ABE相似？若存在，请求出这样的直线l的解析式；若不存在，请说明理由．（3）图2中，点C和点C'关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线上，且∠MBA＝∠CBC'，求M点的横坐标．【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；（2）存在直线l，证明△ACO≌△DBO（ASA）得到OA＝OD，求出A点坐标即可求出D点坐标，再利用待定系数法求直线解析式即可；（3）连接BM，CC′，作C′H⊥BC交BC于H，求出tan∠MBA＝，进一步可求出N（0，）或N（0，﹣）分情况讨论，即可求出M的横坐标为﹣或﹣．【解答】（1）解：抛物线y＝﹣x2+bx+c过B（3，0），C（0.3），∴，解得：，∴函数解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）解：存在直线l使得以C，D，E为顶点的三角形与△ABE相似，当l⊥AC时，以C，D，E为顶点的三角形与△ABE相似，∴∠ACD＝∠EBO，在Rt△ACO和Rt△DBO中，，∴ΔΑCO≌△DBO（ASA），∴OA＝OD，解﹣x2+2x+3＝0，得：x1＝3（不符合题意，舍去），x2＝﹣1，∴A（﹣1，0），∴D（0，1），设直线的解析式为：y＝kx+b，将B（3，0），D（0，1）代入解析式可得，解得：，∴直线的解析式为：y＝x+1；（3）解：连接BM，CC′，作C′H⊥BC交BC于H，∵抛物线对称轴为直线：x＝＝1，∴CC′＝2，∵OB＝OC，∴∠BCO＝45°，∴∠C′CB＝45°，∵C′H⊥BC，CC′＝2，∴C′H＝CH＝，∵OB＝OC＝3，∴BC＝3，∴BH＝，∴tan∠CBC′＝，∵∠MBA＝∠CBC′，∴tan∠MBA＝，∴ON＝，∴N（0，）或N（0，﹣），当N（0，），如图：∵B（3，0），∴，∴，∴直线BN解析式为：y＝x+，解方程﹣x2+2x+3＝﹣x+，得：（不符合题意，舍去），∴M的横坐标为﹣；当N（0，﹣），如图：∵B（3，0），∴，∴，∴直线BN解析式为：y＝x﹣，解方程﹣x2+2x+3＝x﹣，得：（不符合题意，舍去），∴M的横坐标为﹣，综上所述：M的横坐标为﹣或﹣．【例4】（2022•合肥四模）已知抛物线L1：y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）．（1）求抛物线的表达式；（2）若两个抛物线的交点在x轴上，且顶点关于x轴对称，则称这两个抛物线为“对称抛物线”，求抛物线L1对称抛物线L2的解析式；（3）在（2）的条件下，点M是x轴上方的抛物线L2上一动点，过点M作MN⊥x轴于点N，设M的横坐标为m，记W＝MN﹣2ON，求W的最大值．【分析】（1）将点A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx﹣3，即可求解；（2）求出顶点的对称点为（﹣1，4），设抛物线L2的解析式为y＝n（x+1）2+4，再将抛物线与x轴的交点为（﹣3，0）或（1，0）代入，即可求解析式；（3）由题意可知M（m，﹣m2﹣2m+3），N（m，0），则MN＝﹣m2﹣2m+3，ON＝|m|，分两种情况讨论；当﹣3＜x≤0时，W＝﹣m2+3，当m＝0时，W有最大值3；当0≤x＜1时，W＝﹣（m+2）2+7，当m＝0时，W有最大值3．【解答】解：（1）将点A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx﹣3，∴，解得，∴y＝x2+2x﹣3；（2）令y＝0，则x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或x＝1，∴抛物线与x轴的交点为（﹣3，0）或（1，0），∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴顶点为（﹣1，﹣4），∴顶点关于x轴的对称点为（﹣1，4），设抛物线L2的解析式为y＝n（x+1）2+4，∵抛物线经过点（﹣3，0）或（1，0），∴n＝﹣1，∴y＝﹣x2﹣2x+3；（3）∵点M是x轴上方的抛物线L2上一动点，∴﹣3＜x＜1，∵M的横坐标为m，∴M（m，﹣m2﹣2m+3），N（m，0），∴MN＝﹣m2﹣2m+3，ON＝|m|，当﹣3＜x≤0时，W＝MN﹣2ON＝﹣m2﹣2m+3+2m＝﹣m2+3，∴当m＝0时，W有最大值3；当0≤x＜1时，W＝MN﹣2ON＝﹣m2﹣2m+3﹣2m＝﹣m2﹣4m+3＝﹣（m+2）2+7，∴当m＝0时，W有最大值3；综上所述：W的最大值为3．一．解答题（共20题）1．（2022•广陵区二模）已知二次函数y＝﹣mx2﹣4mx﹣4m+4（m为常数，且m＞0）．（1）求二次函数的顶点坐标；（2）设该二次函数图象上两点A（a，y a）、B（a+2，y b），点A和点B间（含点A，B）的图象上有一点C，将点C纵坐标的最大值和最小值的差记为h．①当m＝1时，若点A和点B关于二次函数对称轴对称，求h的值；②若存在点A和点B使得h的值是4，则m的取值范围是0＜m≤4．【分析】（1）利用配方法求出顶点坐标即可．（2）①根据A，B关于抛物线的对称轴对称，求出a的值，在求出﹣3≤x≤﹣1时，二次函数的最大值，最小值，可得结论．②分四种情形：当a+2≤﹣2，即a≤﹣4时，当﹣4＜a≤﹣3时，当﹣3＜a≤﹣2时，当a ＞﹣2时，分别求出满足条件的m的取值范围，可得结论．【解答】解：（1）y＝﹣mx2﹣4mx﹣4m+4＝﹣m（x2+4x+4）+4＝﹣m（x+2）2+4，∴二次函数的顶点坐标为（﹣2，4）．（2）①∵点A、B关于对称轴对称＝﹣2，∴a＝﹣3，当m＝1时，y＝﹣x2﹣4x﹣4+4＝﹣x2﹣4x，则当x＝﹣3（或x＝﹣1）时，y＝3，最小值＝4，当x＝﹣2时，y最大值∴h＝1．②结论：0＜m≤4，理由如下：当a+2≤﹣2，即a≤﹣4时，h＝y b﹣y a＝﹣m（a+2+2）2+4﹣[﹣m（a+2）2+4]＝﹣4m（a+3），∵h＝4，∴4＝﹣4m（a+3），∴a＝﹣﹣3≤﹣4，∵m＞0，解得m≤1，当﹣4＜a≤﹣3时，h＝4﹣y a＝4﹣[﹣m（a+2）2+4]＝m（a+2）2，∴可得a＝﹣﹣2，∴﹣4＜﹣﹣2≤﹣3，解得1＜m≤4，当﹣3＜a≤﹣2时，h＝4﹣y b＝4﹣[﹣m（a+2+2）2+4]＝m（a+4）2，可得a＝﹣4，∴﹣3＜﹣4≤﹣2，不等式无解．当a＞﹣2时，h＝y a﹣y b＝﹣m（a+2）2+4﹣[﹣m（a+2+2）2+4]＝4m（a+3），可得a＝﹣3，∴﹣3＞﹣2，∴m＜1，综上所述，满足条件的m的值为0＜m≤4．故答案为：0＜m≤4．2．（2022•绿园区二模）在平面直角坐标系中，已知某二次函数的图象同时经过点A（0，3）、B（2m，3）、C（m，m+3）．其中，m≠0．（1）当m＝1时．①该二次函数的图象的对称轴是直线x＝1．②求该二次函数的表达式．（2）当|m|≤x≤|m|时，若该二次函数的最大值为4，求m的值．（3）若同时经过点A、B、C的圆恰好与x轴相切时，直接写出该二次函数的图象的顶点坐标．【分析】（1）①根据所给的点可知A、B两点关于抛物线对称轴对称，利用对称性可求对称轴；②利用待定系数法求函数的解析式即可；（2）用的待定系数法求函数的解析式y＝﹣（x﹣m）2+m+3，再分两种情况讨论：当m＞0时，m≤x≤m，当x＝m时，函数有最大值m+3；当m＜0时，﹣m≤x≤﹣m，当x＝﹣m时，函数有最大值；分别求m的值即可求解；（3）先判断△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，则过点A、B、C的圆是以AB的中点M为圆心，AB为半径，再分两种情况讨论：当m＞0时，MN＝AM＝|m|＝3，可求C 点坐标；当m＜0时，CM＝AM＝3＝|m|，可求C点坐标．【解答】解：（1）①∵A（0，3）、B（2m，3），∴A、B两点关于抛物线对称轴对称，∵m＝1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，故答案为：x＝1；②设y＝ax2+bx+c（a≠0），∵m＝1，∴B（2，3）、C（1，4），将点A、B、C代入y＝ax2+bx+c，∴，解得，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）∵A（0，3）、B（2m，3）两点关于抛物线的对称轴对称，∴抛物线的对称轴为直线x＝m，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣m）2+m+3，将点A（0，3）代入，∴am2+m+3＝3，∴a＝﹣，∴y＝﹣（x﹣m）2+m+3，当m＞0时，m≤x≤m，∴当x＝m时，函数有最大值m+3，∴m+3＝4，∴m＝1；当m＜0时，﹣m≤x≤﹣m，∴当x＝﹣m时，函数有最大值，∴4＝﹣（﹣m﹣m）2+m+3，解得m＝﹣；综上所述：m的值为1或﹣；（3）∵A（0，3）、B（2m，3）、C（m，m+3），∴AB＝|2m|，AC＝|m|，BC＝|m|，∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，∴过点A、B、C的圆是以AB的中点M为圆心，AB为半径，如图1，当m＞0时，∵⊙M与x轴相切，∴MN＝AM＝|m|＝3，∴m＝3，∴C（3，6）；如图2，当m＜0时，∵⊙M与x轴相切，∴CM＝AM＝3＝|m|，∴m＝﹣3，∴C（﹣3，0）；综上所述：该二次函数的图象的顶点坐标为（3，6）或（﹣3，0）．3．（2022•荷塘区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（x1，0），B （x2，0）两点，且（x1＜0＜x2），交y轴于点C，顶点为D．（1）a＝﹣1，b＝2，c＝4，①求该二次函数的对称轴方程及顶点坐标；②定义：若点P在某函数图象上，且点P的横纵坐标互为相反数，则称点P为这个函数的“零和点”，求证：此二次函数有两个不同的“零和点”；（2）如图，过D、C两点的直线交x轴于点E，满足∠ACE＝∠CBE，求ac的值．【分析】（1）①运用配方法将二次函数解析式化为顶点式，即可得出答案；②由y＝﹣x与y＝ax2+bx+c联立可得x2﹣3x﹣4＝0，运用根的判别式可得Δ＞0，即可得出结论；（2）如图，连接AC，先求出直线CD的解析式为y＝x+c，可得E（﹣，0），再利用求根公式可得：A（，0），B（，0），再证明△EAC∽△ECB，可得CE2＝AE•BE，即c2+＝（+）（+），化简即可得出答案．【解答】解：（1）①当a＝﹣1，b＝2，c＝4时，抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+4，∵y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点为D（1，5）；②当y＝﹣x时，﹣x2+2x+4＝﹣x，整理得：x2﹣3x﹣4＝0，∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣4）＝25＞0，∴二次函数y＝﹣x2+2x+4有两个不同的“零和点”；（2）如图，连接AC，∵y＝ax2+bx+c，∴C（0，c），顶点D（﹣，），设直线CD的解析式为y＝kx+n，则，解得：，∴直线CD的解析式为y＝x+c，∴E（﹣，0），∵A（，0），B（，0），∴AE＝﹣（﹣）＝+，BE＝﹣（﹣）＝+，∵∠ACE＝∠CBE，∠AEC＝∠CEB，∴△EAC∽△ECB，∴＝，∴CE2＝AE•BE，在Rt△CEO中，CE2＝OC2+OE2＝c2+（）2＝c2+，∴c2+＝（+）（+），化简得：ac＝﹣1，故ac的值为﹣1．4．（2022•绥江县二模）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a（a＜0）的图象经过（3，0）．（1）求二次函数的对称轴；（2）点A的坐标为（1，0），将点A向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到点B，若二次函数的图象与线段AB有公共点，求a的取值范围．【分析】（1）首先利用待定系数法确定函数解析式，然后利用对称轴方程求解；（2）根据平移的性质求得B（2，3），然后由“二次函数的图象与线段AB有公共点”得到4a﹣4a﹣3a≤3，通过解该不等式求得答案．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3a（a＜0）的图象经过（3，0），∴把（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3a，得9a+3b﹣3a＝0，化简，得b＝﹣2a，∴二次函数的对称轴为：．（2）∵点A的坐标为（1，0），将点A向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到点B，∴B（2，3），∵a＜0，开口向下，∴二次函数图象与线段AB有交点时，4a﹣4a﹣3a≤3，解得a≥﹣1，故a的取值范围是：﹣1≤a＜0．5．（2022•兴化市二模）已知一次函数y＝kx+m的图象过点（2，3），A（k，y1）、B（k+1，y2）是二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x+2m图象上的两点．（1）若该二次函数图象的对称轴是直线x＝1，分别求出一次函数和二次函数的表达式；（2）当点A、B在二次函数的图象上运动时，满足|y1﹣y2|＝1，求m的值；（3）点A、B的位置随着k的变化而变化，设点A、B的运动路线分别与直线x＝n交于点P、Q，当PQ＝2时，求n的值．【分析】（1）利用对称轴为1求出m的值，可得二次函数的解析式，将点（2，3）和m＝4代入一次函数y＝kx+m，可得一次函数的解析式；（2）将A（k，y1）、B（k+1，y2）两点分别代入y＝x2﹣（m﹣2）x+2m，求出|y1﹣y2|＝1，再利用y＝kx+m过点（2，3），得出m＝3﹣2k，代入①式，最后得出结果；（3）将A，B坐标代入分别表示出y P和y Q，再由m＝3﹣2k，得出y P＝k2﹣（m﹣2）k+2m，y Q＝（k+1）2﹣（m﹣2）（k+1）+2m，再将k＝n，k+1＝n代入，得出用n表示的y P和y Q，，进而得出|y P﹣y Q|＝|2n﹣4|＝2，求解即可．【解答】解：（1）∵对称轴为x＝1，∴，∴，解得m＝4，∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣（4﹣2）x+2x4＝x2﹣2x+8，将点（2，3）和m＝4代入一次函数y＝kx+m，得到3＝2k+4，解得：k＝﹣，∴一次函数的表达式为y＝﹣x+4；∴一次函数表达式：，二次函数的表达式：y＝x2﹣2x+8；（2）将A（k，y1）、B（k+1，y2）两点分别代入y＝x2﹣（m﹣2）x+2m，得到y1＝k2﹣（m﹣2）k+2m，y2＝（k+1）2﹣（m﹣2）（k+1）+2m，∵|y1﹣y2|＝1，∴y1﹣y2＝±1，∴k2﹣（m﹣2）k+2m﹣[（k+1）2﹣（m﹣2）（k+1）+2m]＝±1，整理得：m﹣2k﹣3＝±1①，∵y＝kx+m过点（2，3），代入得：m＝3﹣2k，将m＝3﹣2k代入①式得：k＝±，即k＝或k＝﹣，当k＝时，m＝3﹣2×＝；当k＝﹣时，m＝3﹣2×（﹣）＝，综上所述，m＝或m＝．（3）解：将A（k，）B（k+1，y2）代入二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x+2m，得y P＝k2﹣（m﹣2）k+2m，y Q＝（k+1）2﹣（m﹣2）（k+1）+2m，又∵一次函数y＝kx+m过点（2，3），代入得：m＝3﹣2k，∴y P＝3k2﹣5k+6，y Q＝3k2﹣k+6，∵k＝n，k+1＝n，把k＝n代入得y P＝3n2﹣5n+6，把k＝n﹣1代入y Q＝3（n﹣1）2﹣（n﹣1）+6，∴|y P﹣y Q|＝|2n﹣4|＝2，解得n＝1或3．6．（2022•三门峡一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+2a（a≠0）．（1）该二次函数图象的对称轴是直线x＝1；（2）若该二次函数的图象开口向上，当﹣1≤x≤4时，y的最大值是5，求抛物线的解析式；（3）若对于该抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当x2取大于3的任何实数时，均满足y1＜y2，请结合图象，直接写出x1的取值范围．【分析】（1）利用对称轴公式计算即可；（2）构建方程求出a的值即可解决问题；（3）结合图象，分两种情况讨论，当x2取大于3的任何实数时，均满足y1＜y2，推出当抛物线开口向上，当﹣1≤x1≤3时，满足条件，由此即可解决问题．【解答】解：（1）对称轴x＝﹣＝1．故答案为1；（2）∵该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，且当﹣1≤x≤4时，y的最大值是5，∴当x＝4时，y的最大值为5，∴16a﹣8a+2a＝5，∴a＝，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+1；（3）如图，∵对称轴为直线x＝1，∴x＝﹣1与x＝3时的y值相等，∵x2＞3时，均满足y1＜y2，②当a＜0时，抛物线开口向下，如图1，不成立；②当a＞0时，抛物线开口向上，如图2，当x2取大于3的任何实数时，均满足y1＜y2，此时，x1的取值范围是：﹣1≤x1≤3；∴由①②知：当a＞0时，抛物线开口向上．当x2取大于3的任何实数时，均满足y1＜y2，此时，x1的取值范围是：﹣1≤x1≤3．7．（2022•无锡二模）二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，且A（﹣1，0）、B（4，0）．（1）求此二次函数的表达式；（2）①如图1，抛物线的对称轴m与x轴交于点E，CD⊥m，垂足为D，点F（﹣，0），动点N在线段DE上运动，连接CF、CN、FN，若以点C、D、N为顶点的三角形与△FEN 相似，求点N的坐标；②如图2，点M在抛物线上，且点M的横坐标是1，将射线MA绕点M逆时针旋转45°，交抛物线于点P，求点P的坐标；（3）已知Q在y轴上，T为二次函数对称轴上一点，且△QOT为等腰三角形，若符合条件的Q恰好有2个，直接写出T的坐标．【分析】（1）先求得点C的坐标，设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），将点C的坐标代入求得a的值，从而得到抛物线的解析式；（2）①当点C、D、N为顶点的三角形与△FEN相似时分两种情况：△CDN∽△FEN和△CDN∽△NEF，列比例式可解答；②如图2所示：过点A作GH∥y轴，过点M作MG⊥GH于G，过点A作AE⊥AM，交MP于点E，证明△AEM是等腰直角三角形，得AM＝AE，计算点M的坐标，证明△MGA ≌△AHE（AAS），则EH＝AG＝6，AH＝GM＝2，利用待定系数法可得直线EA的解析式为y＝−2x+8，与二次函数解析式联立方程，解出可得结论；（3）分T在x轴上，x轴上方和下方三种情况：根据符合条件的Q恰好有2个正确画图可得结论．【解答】解：（1）y＝ax2+bx+4，当x＝0时，y＝4，∴C（0，4），设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x−4），将点C的坐标代入得：−4a＝4，解得a＝−1，∴抛物线的解析式为y＝−x2+3x+4；（2）①如图1，抛物线的对称轴是：x＝−＝，∴CD＝，EF＝+＝＝，设点N的坐标为（，a）则ND＝4−a，NE＝a，当△CDN∽△FEN时，＝，即＝，解得a＝，∴点N的坐标为（，）；当△CDN∽△NEF时，＝，即＝，解得：a1＝a2＝2，∴点N的坐标为（，2），综上所述，点N的坐标为（，）或（，2）；②如图2所示：过点A作GH∥y轴，过点M作MG⊥GH于G，过点A作AE⊥AM，交MP于点E，∵∠AMP＝45°，∠MAE＝90°，∴△AEM是等腰直角三角形，∴AM＝AE，将x＝1代入抛物线的解析式得：y＝6，∴点M的坐标为（1，6），∴MG＝2，AG＝6，∵∠GAM+∠EAH＝90°，∠EAH+∠AEH＝90°，∴∠GAM＝∠AEH，∵∠G＝∠H＝90°，。
备考2021年中考数学复习专题：图形的变换_关于坐标轴对称的点的坐标特征,综合题专训及答案
1.答案： 2.答案：
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6.答案： 7.答案： 8.答案：
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12.答案： 13.答案：
14.答案：
15.答案：
（1） 求抛物线C1，C2的函数表达式； （2） 求A，B两点的坐标；
（3） 在抛物线C1上是否存在一点P，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A，B，P，Q四点为顶点 的四边形是平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
13、
(2019越秀.中考模拟) (2019九上·兰州期末) 如 、 、 、 .
（1） 填空： ________；
（2） 点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线 交直线 于点Q.若
，求点P的坐标；
（3） 点E在直线 上，点E关于直线 对称的点为F，点F关于直线 对称的点为G，连接 .当点F在x轴上时
，直接写出 的长.
15、
(2020北京.中考模拟) 在平面直角坐标系 中，直线 为一、三象限角平分线，点 关于 轴的对称点称为 的一
（1） 判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围； （2） 如图，O为坐标原点，点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为6，求 m的值．
12、 (2017陕西.中考真卷) 在同一直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2﹣2x﹣3与抛物线C2：y=x2+mx+n关于y轴对称，C2与x轴 交于A，B两点，其中点A在点B的左侧．
（1） 求出△ABC的面积．
（2） 在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1． （3） 写出点A1，B1，C1的坐标． 8、
初三数学中考复习专题图形的轴对称 练习试题
初三数学中考复习专题图形的轴对称 练习试题1 / 19图形的轴对称一、选择题1. 下列图案属于轴对称图形的是（ ）A.B.C.D.2. 下列说法：①角是轴对称图形，对称轴是角的平分线；②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴；③关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形；④两图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁，其中正确的有（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个3. 下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ）A. 清华大学B. 北京大学C. 中国人民大学D. 浙江大学4. 给出下列图形名称：（1）线段；（2）直角；（3）等腰三角形；（4）平行四边形；（5）长方形，在这五种图形中是轴对称图形的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5. 如图，点P 是∠AOB 外的一点，点M ，N 分别是∠AOB 两边上的点，点P 关于OA 的对称点Q 恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，则线段QR的长为（）A.B.C.D. 7cm6.如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任一点（P不与AA′共线），下列结论中错误的是（）A. △是等腰三角形B. MN垂直平分，C. △与△面积相等D. 直线AB、的交点不一定在MN上7.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A. B. C. D.8.把一个正方形纸片折叠三次后沿虚线剪断①②两部分，则展开①后得到的是（）A. B. C. D.9.如图，在小方格中画与△ABC成轴对称的三角形（不与△ABC重合），这样的三角形能画出（）A. 1个初三数学中考复习专题图形的轴对称 练习试题3 / 19B. 2个C. 3个D. 4个10. 如图，在矩形ABCD 中，AB =4，BC =6，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ，则CF 的长为（ ）A. B. C. D. 11. 如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =50°，∠BAC 的平分线与AB 的垂直平分线交于点O 、点C 沿EF 折叠后与点O 重合，则∠CEF 的度数是（ ）A.B.C.D.12. 如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边的中点，将△ABE 沿AE 所在直线折叠得到△AGE ，延长AG 交CD 于点F ，已知CF =2，FD =1，则BC 的长是（）A. 5cmB. 10cmC. 20cmD. 15cm二、填空题13.如图，在A BCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED′的大小为______．14.如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，C点落在C′处，D点落在D′处，ED′交BC于点G．已知∠EFG=50°，则∠BGD′的度数为______ ．15.如图，是4×4正方形网格，其中已有4个小方格涂成了黑色．现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个黑色部分图形构成轴对称图形，这样的白色小方格有________种选择.16.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边CO、OA分别在x轴、y轴上，点E在边BC上，将该矩形沿AE折叠，点B恰好落在边OC上的F处．若OA=8，CF=4，则点E的坐标是______．17.如图，直线y=x+6与x轴、y轴分别交于点A和点B，x轴上有一点C（-4，0），点P为直线一动点，当PC+PO值最小时点P的坐标为______．三、解答题（本大题共3小题，共24.0分）18.如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，BD=6，DC=4，求AD的长．小明同学利用翻折，巧妙地解答初三数学中考复习专题图形的轴对称 练习试题5 / 19了此题，按小明的思路探究并解答下列问题：（1）分别以AB ，AC 所在直线为对称轴，画出△ABD 和△ACD 的对称图形，点D 的对称点分别为点E ，F ，延长EB 和FC 相交于点G ，求证：四边形AEGF 是正方形；（2）设AD =x ，建立关于x 的方程模型，求出AD 的长．19. 如图，它是一个8×10的网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC 的顶点均在格点上．（1）画出△ABC 关于直线OM 对称的△A 1B 1C 1．（2）画出△ABC 关于点O 的中心对称图形△A 2B 2C 2．（3）△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2组成的图形是轴对称图形吗？如果是，请画出对称轴．△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2组成的图形______（填“是”或“不是”）轴对称图形．20.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕EF分别与AB、DC交于点E和点F．（1）证明：△ADF≌△AB′E；（2）若AD=12，DC=18，求△AEF的面积．初三数学中考复习专题图形的轴对称练习试题答案和解析1.【答案】A【解析】解：A、能找出一条对称轴，故A是轴对称图形；B、不能找出对称轴，故B不是轴对称图形；C、不能找出对称轴，故C不是轴对称图形；D、不能找出对称轴，故D不是轴对称图形．故选：A．根据轴对称图形的定义，寻找四个选项中图形的对称轴，发现只有，A有一条对称轴，由此即可得出结论．本题考查了轴对称图形，解题的关键是分别寻找四个选项中图形的对称轴．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，通过寻找给定图象有无对称轴来确定该图形是否是轴对称图形是关键．2.【答案】C【解析】解：①角是轴对称图形，对称轴是角的平分线所在的直线，而非角平分线，故①错误；②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴，正三角形有三条对称轴，故②正确；③关于某直线对称的两个三角形一定可以完全重合，所以肯定全等，故③正确；④两图形关于某直线对称，对称点可能重合在直线上，故④错误；综上有②、③两个说法正确．故选C．7 / 19要找出正确的说法，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项．本题考查了轴对称以及对称轴的定义和应用，难度不大，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误；故选：B．根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．此题主要考查了轴对称图形，关键是找出图形中的对称轴．4.【答案】D【解析】解：（1）线段；（2）直角；（3）等腰三角形；（5）长方形是轴对称图形，共4个，故选：D．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称可得答案．此题主要考查了轴对称图形，关键是找出图形的对称轴．5.【答案】A【解析】初三数学中考复习专题图形的轴对称练习试题解：∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，∴PM=MQ，PN=NR，∵PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，∴RN=3cm，MQ=2.5cm，即NQ=MN-MQ=4-2.5=1.5（cm），则线段QR的长为：RN+NQ=3+1.5=4.5（cm）．故选：A．利用轴对称图形的性质得出PM=MQ，PN=NR，进而利用MN=4cm，得出NQ 的长，即可得出QR的长．此题主要考查了轴对称图形的性质，得出PM=MQ，PN=NR是解题关键．6.【答案】D【解析】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任意一点，∴△AA′P是等腰三角形，MN垂直平分AA′，CC′，这两个三角形的面积相等，A、B、C选项正确；直线AB，A′B′关于直线MN对称，因此交点一定在MN上．D错误；故选：D．据对称轴的定义，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任意一点，可以判断出图中各点或线段之间的关系．本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．7.【答案】C【解析】9 / 19解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图，不是轴对称图形，故本选项错误；C、既是中心对称图又是轴对称图形，故本选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选：C．根据中心对称图形和轴对称图形对各选项分析判断即可得解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．8.【答案】C【解析】解：如图，展开后图形为正方形．故选：C．由图可知减掉的三角形为等腰直角三角形，展开后为正方形．本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了画轴对称图形.找出对称轴，根据对称轴的性质画图是解题的关键.根据网格可知，画三角形ABC的对称图形共有3个符号题意得对称轴，所以可以画3个符合题意的三角形即可解答.【解答】解：根据题意画出图形如下：初三数学中考复习专题图形的轴对称 练习试题11 / 19，共有三条对称轴，分别是a ，b ，c ，根据画轴对称图形的方法可以画3个符合题意的三角形.故选C.10.【答案】D【解析】【分析】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．连接BF ，根据三角形的面积公式求出BH ，得到BF ，根据直角三角形的判定得到∠BFC=90°，根据勾股定理求出答案．【解答】解：连接BF ，∵BC=6，点E 为BC 的中点，∴BE=3，又∵AB=4，∴AE==5，由折叠知，BF ⊥AE （对应点的连线必垂直于对称轴）∴BH==，则BF=， ∵FE=BE=EC ，∴∠BFC=90°，∴CF==．故选D．11.【答案】C【解析】解：如图，连接OB，∵∠BAC=50°，AO为∠BAC的平分线，∴∠BAO=∠BAC=×50°=25°．又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=65°．∵DO是AB的垂直平分线，∴OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=25°，∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=65°-25°=40°．∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，∴直线AO垂直平分BC，∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=40°，∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，∴OE=CE．∴∠COE=∠OCB=40°；在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-40°-40°=100°，∴∠CEF=∠CEO=50°．故选：C．连接OB，OC，先求出∠BAO=25°，进而求出∠OBC=40°，求出∠COE=∠OCB=40°，最后根据等腰三角形的性质，问题即可解决．该题主要考查了等腰三角形的性质以及翻折变换及其应用，解题的关键是根据翻折变换的性质，找出图中隐含的等量关系，灵活运用有关定理来分析、判断．初三数学中考复习专题图形的轴对称 练习试题13 / 1912.【答案】B【解析】解：连接EF ，∵E 是BC 的中点，∴BE=EC ，∵△ABE 沿AE 折叠后得到△AFE ，∴BE=EG ，∴EG=EC ，∵在矩形ABCD 中，∴∠C=90°， ∴∠EGF=∠B=90°， ∵在Rt △EFG 和Rt △EFC 中，，∴Rt △EFG ≌Rt △EFC （HL ），∴FG=CF=2，∵在矩形ABCD 中，AB=CD=CF+DF=2+1=3，∴AG=AB=3，∴AF=AG+FG=3+2=5，∴BC=AD===2．故选B ．首先连接EF ，由折叠的性质可得BE=EG ，又由E 是BC 边的中点，可得EG=EC ，然后证得Rt △EFG ≌Rt △EFC （HL ），继而求得线段AF 的长，再利用勾股定理求解，即可求得答案．此题考查了折叠的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．注意证得FG=FC 是关键．17.【答案】80°【解析】 【分析】本题主要考查的是平行线的性质和轴对称的性质.首先由平行线的性质得出∠DEF=∠EFG=50°，然后由折叠性质得出∠DEG=100°，最后根据对顶角相等得出∠BGD′的度数即可.【解答】解：∵四边形ED′C′F 由四边形EDCF 折叠而成，∴∠DEG=2∠DEF=2∠D′EF．∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFG=50°，∠AEG=∠EGF，∴∠GEF=∠DEF=50°，∴∠DEG=∠GEF+∠DEF=100°．∴∠AEG=180°-∠DEG=80°∴∠EGF=80° ,∴∠BGD′=∠EGF=80°.故答案为80°.18.【答案】3【解析】【分析】本题主要考查轴对称图形的概念．此题利用格点图，考查学生轴对称性的认识．此题关键是找对称轴，按对称轴的不同位置，可以有多种画法．根据轴对称图形的概念分别找出各个能成轴对称图形的小方格即可．【解答】解：如图所示，有3个位置使之成为轴对称图形．故答案为3．19.【答案】（-10，3）【解析】解：设CE=a，则BE=8-a，由题意可得，EF=BE=8-a，∵∠ECF=90°，CF=4，∴a2+42=（8-a）2，解得，a=3，初三数学中考复习专题图形的轴对称练习试题设OF=b，∵△ECF∽△FOA，∴，即，得b=6，即CO=CF+OF=10，∴点E的坐标为（-10，3），故答案为（-10，3）．根据题意可以得到CE、OF的长度，根据点E在第二象限，从而可以得到点E 的坐标．本题考查勾股定理的应用，矩形的性质、翻折变化、坐标与图形变化-对称，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．20.【答案】（-，）【解析】【分析】本题考查的是一次函数的应用和轴对称的性质，作点C关于直线y=x+6的对称点C′，连接AC′，OC′交直线y=x+6于点P，则点P即为所求．求出AB两点的坐标，据此可得出∠BAO及∠ACC′的度数，根据轴对称的性质得出△ACC′是等腰直角三角形，故可得出C′点的坐标，利用待定系数法求出直线OC′的坐标，进而可得出P点坐标．【解答】解：如图，作点C关于直线y=x+6的对称点C′，连接AC′，OC′交直线y=x+6于点P，则点P即为所求，15 / 19∵直线y=x+6与x轴、y轴分别交于点A和点B，∴A（-6，0），B（0，6），∴∠BAO=45°．∵CC′⊥AB，∴∠ACC′=45°．∵点C，C′关于直线AB对称，∴AB是线段CC′的垂直平分线，∴△ACC′是等腰直角三角形，∴AC=AC′=2，∴C′（-6，2）．设直线OC′的解析式为y=kx（k≠0），则2=-6k，解得k=-，∴直线OC′的解析式为y=-x，∴，解得，∴P（-，）．故答案为（-，）.21.【答案】（1）证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF．∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，又∠BAC=45°，∴∠EAF=90°．又∵AD⊥BC∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°．∴四边形AEGF是矩形，又∵AE=AD，AF=AD初三数学中考复习专题图形的轴对称 练习试题17 / 19∴AE =AF ．∴矩形AEGF 是正方形；（2）解：设AD =x ，则AE =EG =GF =x ．∵BD =6，DC =4，∴BE =6，CF =4，∴BG =x -6，CG =x -4，在Rt △BGC 中，BG 2+CG 2=BC 2，∴（x -6）2+（x -4）2=102．化简得，x 2-10x -24=0解得x 1=12，x 2=-2（舍去）所以AD =x =12．【解析】（1）先根据△ABD ≌△ABE ，△ACD ≌△ACF ，得出∠EAF=90°；再根据对称的性质得到AE=AF ，从而说明四边形AEGF 是正方形；（2）利用勾股定理，建立关于x 的方程模型（x-6）2+（x-4）2=102，求出AD=x=12．本题考查图形的翻折变换和利用勾股定理，建立关于x 的方程模型的解题思想．要能灵活运用．22.【答案】是【解析】解：（1）如图，△A 1B 1C 1即为所求；（2）如图，△A 2B 2C 2即为所求；（3）如图，△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2组成的图形是轴对称图形，其对称轴为直线l ．（1）根据△ABC与△A1B1C1关于直线OM对称进行作图即可；（2）根据△ABC与△A2B2C2关于点O成中心对称进行作图即可；（3）一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．本题主要考查了利用轴对称变换以及中心对称进行作图，轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时互相重合．把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点中心对称．23.【答案】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠C=∠B′=90°，AD=CB=AB′，∵∠DAF+∠EAF=90°，∠B′AE+∠EAF=90°，∴∠DAF=∠B′AE，在△ADF和△AB′E中，，∴△ADF≌△AB′E（ASA）．（2）由折叠性质得FA=FC，设FA=FC=x，则DF=DC-FC=18-x，初三数学中考复习专题图形的轴对称 练习试题19 / 19 在Rt △ADF 中，AD 2+DF 2=AF 2，∴122+（18-x ）2=x 2．解得x =13．∵△ADF ≌△AB ′E （已证），∴AE =AF =13，∴S △AEF = = =78．【解析】（1）根据折叠的性质以及矩形的性质，运用ASA 即可判定△ADF ≌△AB′E ；（2）先设FA=FC=x ，则DF=DC-FC=18-x ，根据Rt △ADF 中，AD 2+DF 2=AF 2，即可得出方程122+（18-x ）2=x 2，解得x=13． 再根据AE=AF=13，即可得出S △AEF==78．本题属于折叠问题，主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及三角形面积的计算公式的运用，解决问题的关键是：设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．。
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中考数学真题汇编：轴对称变换、选择题1.下列图形中是中心对称图形的是（）2.下列图形中一定是轴对称图形的是（）A,]'上’B.二三二-二匚【答案】D5. 如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有（A.1条B. 3条【答案】DB.C-®【答案】D4.如图，将一个三角形纸片）-三匚沿过点的直线折叠，使点落在V匸边上的点处，折痕为，则下列结论一定正确的是（）J K HC. 5条D. 无数条【答案】C6. 如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若/ AGE=32°,则/ GHC7. 如图，将矩形-43CD沿对角线折叠，点落在处，交于点，已知」5OC = 2 :,8. 如图，/ AOB=60°,点P是/ AOB内的定点且0P=点，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点0的动【答案】DC. 108D. 106C. D.C. 6D. 3B. 110【答案】D【答案】DA.29. 如图，在正方形一二m中，，分别为，贾一的中点，为对角线j□上的一个动点，则下列线段的长等于；厂厂丁最小值的是（）【答案】D10•将一张正方形纸片按如图步骤①，②沿虚线对折两次，然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（）、填空题【答案】(,)12.有五张卡片（形状、大小、质地都相同），正面分别画有下列图形：①线段；②正三角形；③平行四边形;④等腰梯形；⑤圆•将卡片背面朝上洗匀，从中任取一张，其正面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是__________ .2【答案】B. C.B.11.已知点是直线上一点，其横坐标为-7'.若点匚：与点v关于轴对称，则点亦的坐标为A.【答案】A使的对应线段三F经过顶点匸、，当苛...Q时，丄-的值为 ___________________【答案】14.在平面直角坐标系中，点的坐标是•作点V关于轴的对称点，得到点，再将点向下平移斗个单位，得到点丄，则点/的坐标是（__________________ ），（ _________ ）.【答案】；15•折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE,点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△ CDG翻折，点C落在直线AE上的点H处，折痕为DG,点G 在BC 边上，若AB=AD+2, EH=1，贝U AD= ________ 。
A ________ QHE Fs' ,C【答案】+；庶或316•如图，把三角形纸片折叠，使点、点都与点重合，折痕分别为：丄，，得到.V “若= EG = 2电厘米，则△■込C的边启匚的长为________________________ 厘米.【答案】17•如图，在矩形一口中，-瑟二二；E二7，点为线段上的动点，将一二强沿折叠，使点2J落在矩形内点F处•下列结论正确的是______________ •（写出所有正确结论的序号）13•如图，在菱形中, 4-3 分别在边上，将四边形.^JY3沿「丄丁翻折,fl①当为线段.T号中点时，.:厂厂②当为线段中点时，;③当4 F, C三点共线时，13-2/13•疤一,④当 4 C三点共线时，JCEF = AAEF【答案】①③④18•如图，四边形O扛疋是矩形，点的坐标为，点的坐标为，把矩形厂-出匸沿匚哇折叠，点落在点□处，则点二,的坐标为 _____________ .三、解答题19•如图，已知△ ABC的顶点坐标分别为 A (3, 0), B ( 0, 4), C (-3, 0)。
动点M , N同时从A点出发，M沿A T C,N沿折线A T B^C ,均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点C时，另一个动点也随之停止移动，移动时间记为t秒。
连接MN。
(2) 移动过程中，将△ AMN沿直线MN翻折，点A恰好落在BC边上点D处，求此时t值及点D的坐标;(3) 当点M,N移动时，记△ ABC在直线MN右侧部分的面积为S,求S关于时间t的函数关系式。
【答案】(1)解：设直线BC解析式为：y=kx+b,••• B ( 0, 4), C (-3, 0),解得：b 二 4•直线BC解析式为:(2)解：依题可得：AM=AN=t, •••△ AMN沿直线MN翻折，点A与点点D重合, •四边形AMDN为菱形，作NF丄x轴，连接AD交MN于0',••• A (3, 0), B ( 0, 4),•OA=3,OB=4,•AB=5,•M (3-t, 0),又•••△ ANFs^ ABO,AN NF= =1_ .4F NF•-==,3 4• AF= t, NF= t,4 2• O (3- t, -t),设D (x,y),E 4=3- t，t,y= t,• D( 3- t, t),••• N (3- 4-5Al3_5y= x+4.2),又••• D 在直线BC 上,-7X( 3- - t ) +4= — t ,• t =，又•••△ CNF ^A CBO,CV_ NF~CB =10-r NF------- 一 5.NF= - (10-t ),1 1 4 =5 x 6 x 4- x (6-t ) XT (10-t ) ud-i. —J 7 32=-一 t + — t-12.△ ABC 在直线 MN 右侧部分为△ AMN , ••• D (-—,」.X t X t= - t ,--BN=t-5, CN=-5- (t-5) =10-t ,S= •.】-y = - AM- DF= 一 MN 右侧部分为四边形 ABNM ，如图3 ••• S= - = £ ACOB-一 CM- NF ,20•在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系, 解答下列问题：(1)①作出△ ABC向左平移4个单位长度后得到的△ A I B I C I，并写出点C i的坐标；②作出△ ABC关于原点O对称的△ A2B2C2 ，并写出点C2的坐标；(2)已知△ ABC关于直线I对称的△ A3B3C3的顶点A3的坐标为(一4，—2)，请直接写出直线I的函数解析式•【答案】(1 )解：如图所示，C i的坐标G (-1,2) , C2的坐标C2 (-3,-2 )cJ\ X 4/A/XiIN 2 3 4i xA J( A\V '4\-------------卜(2)解：T A (2,4), A3 (-4, -2),•••直线I的函数解析式：y=-x.21. 如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点E、F分别在边AB、CD上，将正方形ABCD沿直线EF折叠,使点B的对应点M始终落在边AD上(点M不与点A、D重合)，点C落在点N处，MN与CD交于点P,△ ABC的顶点都在格点上，请设BE=x富■用图(1)当AM=二时，求x的值；(2)随着点M在边AD上位置的变化，△ PDM的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；(3)设四边形BEFC的面积为S,求S 与x之间的函数表达式，并求出S的最小值.【答案】(1 )解：由折叠性质可知：BE=ME=x •••正方形ABCD边长为1••• AE=1-x,在Rt A AME 中，• A^+AM^ME2 ,即(1-x) 2+ =x2,解得：x=-.(2)解：△ PDM的周长不会发生变化，且为定值 2.连接BM、BP,过点B作BH丄MN ,•/ BE=ME,•••/ EBM=Z EMB,又•••/ EBC=/ EMN=90 ,即/ EBM+/ MBC=/ EMB+/ BMN=9° ,• / MBC=/ BMN,又•••正方形ABCD,••• AD// BC, AB=BC，•••/ AMB= / MBC=Z BMN,在Rt A ABM 和Rt A HBM 中,£ BHM =90e•••」」； -—,加=BAf••• Rt A ABM B Rt A HBM (AAS),• AM=HM , AB=HB=BC在Rt A BHP和Rt A BCP中,..(ffP = B尸•斗匕_；L，• Rt A BHP^ Rt A BCP ( HL),• HP=CP又T C A PDM=MD+DP+MP,=MD+DP+MH+HP,=MD+DP+AM+PC,=AD+DC,=2.•••△PDM的周长不会发生变化，且为定值 2.(3)解：过F作FQ丄AB,连接BM ,由折叠性质可知：/ BEF=Z MEF,BM丄EF, •••/ EBM+Z BEF=Z EMB+Z MEF=Z QFE+Z BEF=90, •••/ EBM=Z EMB=Z QFE在Rt A ABM 和Rt A QFE 中，巴⑹f二^QFE•••〔占纹,\^A= ^EOF = 9QP • Rt A ABM B Rt A QFE ( ASA),••• AM=QE ,设AM 长为a ,在 Rt A AEM 中,••• AE 2 3+AM 2=EM 2,即（1-x ） 2+a 2=x 2,• S= + （CF+BE X BC=节> （x- /、: 1 +x ） X 1=7 （2x- 口 j ）,又•.•（ 1-x ） 2+a 2=x 2,••• x= =AM=BE , BQ=CF= -a ,S = + （畔-a+ 警）X1亠 2=y （ a -a+1）,•/ 0<a<1,22. 如图，在―占厂中，一止〜一丄，」m 一于点，一丄—丄,于点三，以点 为圆心, •••当 a= 一时, S 最小值=•••AM=QE=半径作半圆，交 于点 •(1) 求证： 是G 丿的切线；【答案】(1)解：过 作耳「垂线6」，垂足为m即 H二••• 一山“， •__；】_••• 一』门平分 工工••• 匚亠.垃H 亠丸• 夕二 G_‘•••门三为O 的半径，•m 为O 的半径，• 是O 门的切线(2) 解:T d 二匚匸二口F 二：且是门：的中点• 用「亠止•丄:心••• 匚—一 £•-匸匚!7 ―讥即 「；_• 一-T 汁一7• .■' =I?"T r(3) 解：作 关于三匚的对称点，交 于 ，连接交 于 此时『三 U 最小由(2 )知」、乂 ［「匚山门3 一2 _一E 3 - G甘二工卜-r屮二十,3吩菲即吩卑23•对给定的一张矩形纸片一二弓2进行如下操作：先沿折叠，使点5’落在边上（如图①），再沿匚上T折叠，这时发现点恰好与点匸>重合（如图（1）根据以上操作和发现，求需的值；（2）将该矩形纸片展开.①如图③，折叠该矩形纸片，使点与点重合，折痕与相交于点，再将该矩形纸片展开，求证：「丄二〔-.I：.②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的点，要求只有一条折痕，且点在折痕上，请简要说明折叠方法.（不需说明理由）【答案】（1）解：根据题意可知AD=BC=BR. - —- - -—卩」J•••再沿折叠，这时发现点三恰好与点匚、重合（如图②）••• CE=CD=•••飞二匸 :Q - 3 - V2（2）①如图2，设CB=AD=BE=a 贝U CE=CD=AB彳亦• AE= ；：■- <'根据折叠的性质可知：AE=DM=『了一用，AH=HM，/ M=90设AH=x=HM，贝U HD=a-x解之：—心-「a设AP= y , 则BP= a- y , 因为翻折PH= PC,即PH2= PG一丁一詁；_ [1 - if-,解得y= a,即AP=BC,在Rt A AHP 和Rt A BCP中PH=PC，AP=BC••• Rt A AHP^ Rt A BCP ( HL)•••/ APH=Z BCP•••/ BCP+Z BPC=90•••/ APH+Z BPC=90•••/ HPC=180- (Z APH+Z BPC) =180°-90 =90°②沿着过点D的直线翻折，使点A落在CD边上，此时折痕与AB 交于点P．。