第一章向量代数与空间解析几何习题课

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第一章向量代数与空间解析几何第二节向量的坐标表示

cos cos cos 1
2 2 2
特殊地：单位向量的方向余弦为
a 0 a {cos , cos , cos }. |a |
- 19 -
第二节
向量的坐标表示
第七章
2 向量的加减法、数乘向量的运算的坐标表达式设 a { x 1 , y 1 , z 1 }, b { x 2 , y 2 , z 2 },
x , y , z 轴正向的单位向量.
k
R

M
j
Q
y
N
OR xi ,
同理存在
a xi yj zk
- 14 -
第二节
向量的坐标表示
称向量的这种表示法为按基本单位向量的坐标分解式。
第七章
x i , y j , z k 为 a 在三个坐标轴上的分向量，分别称向量
u u 也是 , 且
过点 A 作平行于轴 u 的数轴 u , 且与轴 u 同向，因此 A B 与 u 的夹角
2
,
投影为正；( 2 )

2
,
投影为零； 2 (4) 相等向量在同一轴上投影相等；
,
- 12 -

投影为负；
c
a
b
u
第二节
向量的坐标表示
2 2 2
x 2,
2
PP 1 2 PP 2 ,
x 1,

x 11 2
2
x 2
2
所求点为 ( 1 , 0 , 0 ), ( 1 , 0 , 0 ).
-8-
第二节
向量的坐标表示

考研数学一-向量代数和空间解析几何

考研数学一-向量代数和空间解析几何(总分：110.00，做题时间：90分钟)一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：11，分数：22.00)1.设a，b为非零向量，且a⊥b，则必有（分数：2.00）A.(A) |a+b|=|a|+|b|．B.(B) |a-b|=|a|-|b|．C.(C) |a+b|=|a-b|．√D.(D) a+b=a-b．解析：[分析] 由“非零向量a，b满足|a+b|=|a|+|b|的充要条件是a与b方向相同”可知，(A)不对．由“非零向量a，b满足|a-b|=|a|-|b|的充要条件是a与b方向相反”可知，(B)也不对．对于(C)：非零向量a、b垂直时，以a，b为两邻的平行四边形是矩形，而矩阵的对角线长度相等，故必有|a+b|="a-b|，即(C)正确．至于(D)，显然不对．综上分析，应选(C)．2.直线与平面6x+15y-10z+31=0的夹角ψ为（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[分析] 直线方向向量为故选(A)．3.下列曲面中，不是旋转曲面的是（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[分析] (A)是绕x轴旋转而成； (B)是绕y旋转而成； (D)是绕z轴旋转而成． (A)，(B)，(D)都应排除，故应选(C)．4.下列直线对，不共面的是（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[分析] 对于(A)：两条直线分别过点M1(-1，0，0)与M2(1，0，2)，方向向量分别为对三个向量，由于所以(A)中二直线不共面，故应选(A)．5.若单位向量a，b，c满足a+b+c=0，则a·b+b·c+c·a=（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[分析] 由，从而．故选(A)．6.已知平面∏：x+2y-z+1=0，曲面z=xy上点P处的法线与平面∏垂直，则点P的坐标为（分数：2.00）A.(A) (1，2，2)．B.(B) (2，1，2)．√C.(C) (-1，-2，2)．D.(D) (-2，-1，2)．解析：[分析] z=xy的法向量n={y，x，-1}，法线与平面H垂直，从而与平面∏的法向量{1，2，-1}平行，故有，即点P的坐标为(2，1，2)．故应选(B)．7.设曲面z2-xy=8(z＞0)上某点的切平面平行于已知平面x-y+2z-1=0，则该点的坐标为（分数：2.00）A.(A) (-2，2，2)．B.(B) (1，-4，2)．C.(C) (2，-2，2)．√D.(D) (4，-1，2)．解析：[分析] 记F(x，y，z)=z2-xy-8，曲面在任意点的法向量n={F'x，F'y，F'z}：{-y，-x，2x}．已知平面的法向量n1={1，-1，2}，令n∥n1，即，得x=z=t，y=-t，代入曲面方程F=0，得，因为z=t＞0，舍去负值，得切点坐标为(2，-2，2)，故应选(C)．8.设曲线在点(1，3，4)处的法平面为∏，则原点到∏的距离为（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[分析一] 因在点(1，3，4)处解得dx=4dz，，即，故曲线在点(1，3,4)法平面的法向量，法平面∏的方程为12(x-1)-4(y-3)+3(z-4)=0，即12x-4y+3z-12=0，于是原点到∏的距离故应选(B)．[分析二] 曲线在点(1，3，4)处法平面的法向量下同[分析一]．9.设非零向量a与b不平行，c=(a×b)×a，则（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[分析] 如下图所示．因，故应选(B)．评注若a⊥b，则(a×b)×a=λb，=0．10.过点M0(1，-1，1)与平面x=y+2z=1平行且与相交的的直线方程为（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[分析一]于是[分析二] 过B的直线方程为L：过A与L垂直的平面方程为∏：6(x-3)+6(y-4)+7(z-2)=0，即6x+6y+7z-56=0。

空间解析几何与向量代数习题课共48页文档

空间解析几何与向量代数习题课
11、获得的成功越大，就越令人高兴。野心是使人勤奋的原因，节制使人枯萎。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树，先有根茎，再有枝叶，尔后花实，好好劳动，不要想太多，那样只会使人胆孝懒惰，因为不实践，甚至不接触社会，难道你是野人。(名言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但常看常新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福。我爱自己，我用清洁与节制来珍惜我的身体，我用智慧和知识充实我的头脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。农夫不会播下一粒玉米，如果他不曾希望它长成种籽；单身汉不会娶妻，如果他不曾希望有小孩；商人或手艺人不会工作，如果他不曾希望因此而有收益。-- 马钉路德。

41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育；而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联

线代习题

<向量代数与空间解析几何>习题1. 求点),,(c b a 的关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴的对称点的坐标.2. 设(3,,2)B(124)A x --与，，点间的距离为29，试求x .3. 在yoz 平面上，求与三个已知点(3,1,2)B(422)051A C --、，，和（，，）等距离的点.4. 求平行于向量}6,7,6{-的单位向量.5. 已知两点(1,3,3)B(421)A --与，，，求向量AB 的模与方向余弦.6. 已知||122||,10||βαβαβα⨯=⋅==，求，.7. 求与)1,0,1(M 110M )0,1,1(M 321）、，，（、三点所在平面垂直的单位向量.8. 求过点012-5z 7y -3x (3,0,-1)=+且与平面平行的平面方程.9. 一平面过点(2,-1,3)4,1,5),x 2y 3z 50+++=和(且垂直于平面,求此平面方程.10. 将平面的一般式方程012-3z y -2x =+化为截距式方程.11．指出下列各平面的特殊位置：（1）04-2y =（2）0z -2y 3x =+（3）4y -2x =（4）02z 3y =+12. 求平面0D Cz By Ax 1=+++与平面0D Cz By Ax 2=+++的距离.13. 一平面过z 轴且与平面07-z 5-y 2x =+成3π角，求此平面方程.14. 已知点,121-xA(5,1,4)zy L ==：及直线求：（1）求过A 且与L 平行的直线；（2）求过点A 且与L 及向量}1,4,3{--=AB 垂直的直线；（3）求过点A 且与直线247035210x y z x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩平行的直线.15.求直线123121-x -+=+=z y 与平面0z y 23x =++的交点.16．求直线3211-x zy ==在平面01-z y 4x =+-上的投影直线方程.17．求下列旋转曲面方程：（1）平面z x o 内抛物线x =2z 绕x 轴旋转；（2）平面y x o 内双曲线164x 22=-y 分别绕x 轴及y 轴旋转.18.判断11462x 222=-+-++z y x z y 是否表示球面方程，若是，求出球心坐标及球半径.19.指出下面方程所表示的曲面的名称，并作出草图：（1）;1941x 222=++z y （2）04x 222=-+z y ；（3）22x 20y z -+=.20.指出下列方程所表示的曲线：（1）⎩⎨⎧==++325222x z y x （2）⎩⎨⎧==++13694222y z y x21.求曲线C ：)0(,0,222222>⎩⎨⎧=-+=++a ax y x a z y x 在y x o 平面和z x o 平面上的投影曲线方程.<矩阵及其初等变换>习题1. 当。

考研数学一-一元函数积分学向量代数和空间解析几何_真题-无答案

考研数学一-一元函数积分学、向量代数和空间解析几何(总分100,考试时间90分钟)一、选择题1. 设，则______A．I1＞I2＞1． B．1＞I1＞I2．C．I2＞I1>1． D．1＞I2＞I1．2. 如下图所示，连续函数y=f(x)在区间[-3，-2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[-2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设F(x)=，则下列结论正确的是______A．F(3)=F(-2)． B．F(3)=F(2)．C．F(-3)=F(2)． D．F(-3)=F(-2)．3. 设函数f(x)=，则f'(x)的零点个数______A．0． B．1．C．2． D．3．4. 设Ik=，其中k=1，2，3，则有______A．I1＜I2＜I3． B．I3＜I2＜I1．C．I2＜I3＜I1． D．I2＜I1＜I3．5. 使不等式成立的x的范围是______A．(0，1)． B．(1，)．C．(，π)． D．(π，+∞)．6. 设I=，则I，J，K的大小关系是______A．I＜J＜K． B．I＜K＜J．C．J＜I＜K． D．K＜J＜I．7. 由曲线y=(0≤x≤π)与x轴围成的平面图形绕x轴旋转而成的旋转体体积为______A．． B．．C．． D．．8. 曲线y=x(x-1)(2-x)与x轴所围成图形面积可表示为______A．．B．．C．．D．．9. 半圆形闸门半径为R(米)，将其垂直放入水中，且直径与水面齐，设水密度ρ=1．若坐标原点取在圆心，x轴正向朝下，则闸门所受压力P为______A．．B．．C．． D．．10. 已知两条直线L1：，L2：平面∏：2x+7y+4z-1=0，则______A．L1∥∏． B．L1⊥∏．C．L2∥∏． D．L1⊥L2．11. 设有直线L1：和L2：，则L1与L2______A．相交于一点． B．平行但不重合．C．重合． D．异面．12. 设有直线L：及平面∏：4x-2y+z-2=0，则直线L______A．平行于平面∏． B．在平面∏上．C．垂直于平面∏． D．与平面∏斜交．13. 设a，b为非零向量，满足|a-b|=|a+b|，则必有______．A．a-b=a+b． B．a=b．C．a×b=0． D．a·b=0．14. 直线L1：与直线L2：之间的关系是______A．L1⊥L2． B．L1∥L2．C．L1与L2相交但不垂直． D．L1与L2为异面直线．二、填空题1. 反常积分=______．2. 设F(x)=，其中x＞0，则F(x)=______．3. 设，则=______．4. 设f(x)连续可导，导数不为0，且f(x)存在反函数f-1(x)，又F(x)是f(x)的一个原函数，则不定积分∫f-1(x)dx=______．5. 设a＞0，则=______．6. =______．7. =______．8. =______．9. 设，则a=______，b=______，c=______．10. 曲线y=(0≤x≤)的弧长s=______．11. 曲线ρθ=1相应于的一段弧长s=______．12. 设直线l过点M(1，2，0)且与两条直线l1：和l2：垂直，则l的参数方程为______．13. 曲面x2+2y2+3z2=21在点(1，-2，2)处的法线方程为______．14. 空间曲线Γ：的参数方程为______．15. 过点(2，0，-3)且与直线垂直的平面方程为______．16. 曲线x=t，y=-t2，z=t3与平面x+2y+z=4平行的切线方程______．17. 设z=z(x，y)由z-ez+2xy=3确定，则曲面z=z(x，y)在点P0(1，2，0)处的平面方程为______．三、解答题设f(x)在[-e，e]上连续，在x=0处可导，且f'(0)≠0．1. 证明：对于任意x∈(0，e)，至少存在一个θ∈(0，1)，使得．2. 求极限3. 计算．4. 求函数f(x)=的单调区间与极值．5. 设f(x)在[0，π]上连续，且=0，证明：f(x)在(0，π)内至少有两个零点．6. 设两曲线y=(a＞0)与y=在(x0，y0)处有公切线，求这两曲线与x轴围成的平面图形绕x 轴旋转而成的旋转的体积V．7. 设函数f(x)在(-∞，+∞)内连续，且F(x)=，证明：(Ⅰ)若f(x)是偶函数，则F(x)也是偶函数．(Ⅱ)若f(x)是单调减函数，则F(x)也是单调减函数．8. 证明：当x≥0时，．9. 设f(x)在[0，1]上具有连续导数，且f(0)+f(1)=0．证明：10. 设f(x)在区间[2，4]上具有二阶连续导数f"(x)，且f(3)=0，证明：存在一点ξ∈(2，4)，使得．11. 计算∫arcsinxdx．12. 设f(x)在[0，π]上连续，证明．某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层．汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功．设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k，k＞0)．汽锤第一次击打将桩打进地下am．根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0＜r＜1)．(注：m表示长度单位米)问13. 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深?14. 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深?椭球面S1是椭圆=1绕x轴旋转而成，圆锥面S2是过点(4，0)且与椭圆=1相切的直线绕x 轴旋转而成．15. 求S1及S2的方程16. 求S1与S2之间的立体体积设曲线y=ax2(x≥0，常数a＞0)与曲线y=1-x2交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线y=ax2围成一平面图形D．17. 求D绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积V(a)18. 求a的值，使V(a)为最大过坐标原点作曲线y=ex的切线，该切线与曲线y=ex以及x轴围成的向x轴负向无限伸展的平面图形，记为D，求19. D的面积A20. D绕直线x=1所成的旋转体的体积V计算下列反常积分(广义积分)的值．21.22.23. 试确定过M1(2，3，0)，M2(-2，-3，4)及M3(0，6，0)三点的平面方程．24. 求过点A(-1，2，3)垂直于L：且与平面∏：7x+8y+9z+10=0平行的直线方程．25. 求直线L1：和直线L2：间的夹角．26. 求直线L：绕z轴旋转所得的旋转曲面方程．27. 判断直线L1：和直线L2：x+1=y-1=z是否相交．如果相交求其交点，如果不相交求两直线间距离．28. 求两曲面x2+y2=z与-2(x2+y2)+z2=3的交线在xOy平面上的投影曲线方程．29. 圆柱面的轴线是L：，点P0(1，-1，0)是圆柱面上一点，求圆柱面方程．。

(完整版)高等数学空间解析几何练习

向量代数与空间解析几何第一部分向量代数___线性运算［内容要点］:1. 向量的概念.2. 向量的线性运算.3. 向量的坐标，利用坐标作向量的线性运算.［本部分习题］1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或哪个卦限。

(2,3,5);(0,4,3);(0,3,0)A B C ---2. 求点(1,3,2)--关于点(1,2,1)-的对称点坐标。

3. 求点(4,3,5)M --到各坐标轴的距离。

4. 一向量的起点为(1,4,2)A -，终点为(1,5,0)B -，求AB →在x 轴、y 轴、z 轴上的投影,并求||AB →。

5. 已知两点1M 和2(3,0,2)M ,计算向量12M M −−→的模、方向余弦和方向角。

6．已知{3,5,4},{6,1,2},{0,3,4},a b c →→→==-=--求234a b c →→→-+及其单位向量.7．设358,247,54,a i j k b i j k c i j k →→→→→→→→→→→→=++=--=--求向量43l a b c →→→→=+-在x 轴上的投影以及在y 轴上的分向量.第二部分向量代数___向量的“积"［内容要点］:1。

向量的数量积、向量积的概念、坐标表示式及其运算规律。

2。

向量的混合积的概念、坐标表示式及其几何意义。

3.向量垂直、平行、共面的条件.［本部分习题]1．设{3,1,2},{1,2,1},a b →→=--=-求：（1);(2);(3)cos(,);(4)Pr ;(5)Pr .a b a b a b a b j b j a →→→→→→→→⋅⨯2．设{2,3,1},{1,1,3},{1,2,0},a b c →→→=-=-=-求： (1)();(2)();(3)();a b c a b c a b c →→→→→→→→→⨯⋅⨯⨯⨯⨯3．利用向量证明不等式112233a b a b a b ≥++ 其中,(1,2,3)i i a b i =均为实数，并指出等号成立的条件.4．设{3,5,2},{2,1,9},a b →→=-=试求λ的值，使得：（1)a b λ→→+与z 轴垂直；(2）a b λ→→+与a →垂直，并证明此时||a b λ→→+取最大值。

《线性代数与空间解析几何》(哈工大版)课件幻灯和习题1-习题课

00 00
x 1
0 0 x 1
00
x 1 0 0
0 0 (1)nn( x a1) 0 x
00
0 1
00 0x
证法二：按第一列展开，得
Dn=xDn-1+an 再根据上面的递推公式可得结果。
c1 xc2 xn1cn
证法三：Dn
0
1 0
0
x 1
00 00
0
00
0
0
an
例2 计算
1111
abcd D
a2 b2 c2 d 2
a4 b4 c4 d 4
解：构造
1111 1 abcd x
f (x) a2 b2 c2 d 2 x2
a3 b3 c3 d 3 x3
a4 b4 c4 d 4 x4
（这是一个范德蒙行列式）
=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a) 另外f(x)按最后一列展开，可得
1
11
1
an
an1 an Dn1
an1 an (a1a2 an2 an1Dn2 )
方法三：升级法。看例1
11
1 11
1
解：原式= 0 1 a1
1
1
a1
0
01
1 an 1 0
an
1 aa c1

i
n 2
1 ai 1
ci
n 1
i1 i
1
1

0
a1
0
5. 行列式按行（列）展开
1 ) 余子式与代数余子式２）关于代数余子式的重要性质
a A n ki k 1

高等数学向量代数与空间解析几何习题课2019修订

（3）运算律： ① 交换律： a b b a
② 分配律：(a b ) c a c b c ③ 结合律：( a ) b a ( b ) (a b )
（4）向量的夹角： cos(a , b )
a a a ; （5）性质：
2

a b a b
练习. 求直线
与平面
的交点 .
提示: 化直线方程为参数方程
t
代入平面方程得 t 1
从而确定交点为（1，2，2）.
练2.求过点( 2 , 1 , 3 ) 且与直线
垂直相交的直线方程.
提示: 先求二直线交点 P. 过已知点且垂直于已知直线
的平面的法向量为故其方程为 ① 化已知直线方程为参数方程, 代入 ①式, 可得交点
向量代数与空间解析几何习题课
2019年3月
一、主要内容
（一）向量代数（二）空间解析几何
一种工具，两种运算，三种对象基本问题：几何对象的代数(坐标或方程)表示；角度问题，距离问题
（一）向量代数
向量的线性运算
向量概念
向量的表示法
向量的积
数量积混合积向量积
Ⅰ 向量代数
一、向量的基本概念
j ay by
k az bx
（3）运算律： ① 反交换律： a b b a
② 分配律： (a b ) c a c b c
( a ) b a ( b ) (a b ) ③ 结合律：
（4）性质：a a 0 , a // b a b 0
转化
其中 s (m, n, p) 为直线的方向向量，M 0 ( x 0 , y0 , z 0 )

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习
求| a b | .
解
| a b | | a || b | sin ( a , b ) a b 10 1 co s( a , b ) | a || b | 4 5 2 2 sin ( a , b ) 1 co s ( a , b )
且在 y , z 轴
上有相同的非零截距的平面方程。解即或过已知直线的平面束方程为
2 x y 2z 1 ( x y 4 z 2) 0 ( 2 ) x ( 1) y ( 4 2 ) z 1 2 0
x 2 1 2
2 2 2
2
习
题
2
课
y
(5)
第七章
2x
y, y x z , y 1
1 2 co s

3
3

|2A B | 2 1 5
2
2
A B
2
2
即
3 A 8 AB 3B 0
2
3 A B 0或 A 3B 0
所求平面方程为
x 3y 0
或
3x y 0
-5-
例6 求平行于点
第七章空间解析几何与向量代数
第七章空间解析几何与向量代数
z
x y ,z 2 x y
2 2
z 2 x y
2
2
x2 y2 1 z 1
z
z
o
z
2 2 x y
x y
2
2
y
x
z
2 2 x y
2
o x
y
(4)
- 18 -
z
x y ,2 z x y
x y
2

x 1
2 1
即
z1 z , x1 x y 1
2 2
由于
z1 x 1
所以
z x y 1
2 2
所求曲面方程为
x y z 1
2 2 2
这是单叶双曲面
- 14 -
习
题
课
第七章空间解析几何与向量代数
x y z 0 例14 求曲线 2 2 x y z 0 解从曲线的方程中消去 z 得
2 2 2 2
| a b | 2 2
-1-
例2
第七章
设向量 c 3, c 由于 c
| c |
与
垂直于 a { 2 , 3 , 1}, b {1, 2 , 3 }, y 轴的夹角成钝角，求 c .
习
题
课
且
解
空间解析 1 2 3 几何由于 | c | 3 , 所以与向 2 2 2 2 量 3 (7 (7 ) (7 ) 7 代 1 数 1, 又因 c j 0 , 所以 , 即 7 7 c {1, 1, 1}
4) 5) 6) y 2x z
2 2 2 2
椭圆抛物面
2
x y 2z 1 y x z
2 2 2
双叶双曲面
- 12 -
圆锥面
习
题
课
例13
第 1) 七章空间解析几何与向量代数
求下列曲线绕 z 轴ຫໍສະໝຸດ 转一周所得的旋转面方程z 2( x y ) z O1 M 1 M
-2-
垂直于a , b , 所以 c 与 a b 共线，所以 i j k 3 1 (7 i 7 j 7 k ) c a b 2
3 | |
习
题
课
例3 求以点 A ( 3 , 4 , 1), B ( 2 , 0 , 3 ), C ( 3 , 5 , 4 ) 为顶点的三角形面积。
3 2
所以
| a b | 5 4 3 2 10 3
-4-
习
题
课
例5 求过 z 轴且与平面 2 x y 5 z 0 夹角为
第七章空间解析几何与向量代数

3
的
平面方程. 解过 z 轴的平面方程的一般形式为
Ax By 0
由于和平面 2 x y 5 z 0 的夹角为 , 所以
[ ss 1 M M 1 ] 3 0 37
m
n 1 3
p 2 4
10m 12n 9 p 0

m 12 p, n
p
x1 48
- 10 -

y 37

z4 4
4
例11
第七章空间解析几何与向量代数
习题课 2 x y 2z 1 0 求通过直线 x y 4z 2 0
习
题
课
第七章习题课
第七章空间解析几何与向量代数
例1 已知解而所以
| a | 1 3 , | b | 1 9 , | a b | 2 4 ,
求
|a b |.
2 2 2 | a b | | a | 2 a b | b | 2 2 2 | a b | | a | 2 a b | b | 2 2 2 2 | a b | 2 | a | 2 | b | | a b | 2(1 3 1 9 ) 2 4 2 2
2 2 2

|D3| 15
D 27, 或 D 33
11 x 2 y 10 z 27 0
或
11 x 2 y 10 z 33 0
-6-
习
题
课
例7 通过直线 L :
第七章
x1 2

y1 3

z1 4
且垂直于平面
2 x y z 0 的平面方程. 解所求平面的法向量 n 垂直于已知直线方向向量 s 空和已知平面法向量n 1 , 所以间 n s n 1 { 2 , 3 , 4 } { 2 , 1, 1} {1, 1 0 . 8 } 解析 (1, 几所求平面过已知直线,因此过点 1, 1), 所以所求平面何与方程为向量 x 1 1 0( y 1) 8( z 1) 0 代数即 x 10 y 8 z 3 0
-7-
习
题
课
例8
第七章空间解析几何与向量代数
求过点M (1, 2 , 3 ) 且与三坐标轴成等角的直线
方程.
解
设所求直线的单位方向向量为
s {co s , co s , co s }
, 所以
由题意
3 co s 1
2
co s
6
1
5
1 1 1 2 2 2 {( 2 4 ) ( 1 9 ) ( 2 5 ) } 2 S | AB AC | 2 2 1 1562 2
-3-
例4
第七章空间解析几何与向量代数
题课 | 已知a | 4 , | b | 5 , a b 1 0 ,
第七章空间解析几何与向量代数
解
A B { 1, 4 , 4 } A C { 6 , 1, 5 } i j AB AC 1 4
k
4 24i 19 j 25k
2 2
z 2x2 y 0
2)
z x y 1
设 M ( x , y , z ) 为曲面上任意一点，它是由曲线
z x y 1 上的点 M 1 ( x 1 , 1, z 1 )
解
o
y
绕z轴 x
旋转而得的，由题意可知
- 13 -
习
题
2
课
z z1 ,
第七章空间解析几何与向量代数
2 2
在各坐标面的投影
x y x y 0
曲线在 x o y 投影曲线为
x2 y2 x y 0 z 0
从曲线的方程中消去 x 得
2 y z 2 yz z 0
2 2
曲线在 yo z 投影曲线为
2 y 2 z 2 2 yz z 0 x 0

y 2 1

z 2 1
1
4 2 1 根据题意有 1 4 2 3
1
所求平面方程为
7 x 2 y 2z 1 0
- 11 -
习
题
课
例12
1)
第七章空间解析几何与向量代数
指出下列方程所表示的图形
2 2
x y z
{ 3 3 , 6 , 3 0 } 3{1 1, 2 ,1 0 }
11 x 2 y 10 z D 0 设所求平面方程为点 C 到其距离为2 , 因此
2
| 11 1 (2) (3) 10 (2) D | 11 (2) 10
- 15 -
习题从曲线的方程中消去 y 得
2 2
课
2 x z 2 xz z 0