平行四边形 (15)
平行四边形的性质与判定
平行四边形的性质与判定一、平行四边形的性质1.对边平行且相等：平行四边形的对边分别平行且相等。
2.对角相等：平行四边形的对角线互相平分，且对角线交点将平行四边形分为两个相等的三角形，这两个三角形的角相等。
3.对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分，即平行四边形的对角线交点是对角线中点的两倍。
4.相邻角互补：平行四边形的相邻角互补，即它们的和为180度。
5.对边角相等：平行四边形的对边角相等，即平行四边形的对边上的角相等。
6.对角线所在的平行线间的距离相等：平行四边形的对角线所在的平行线间的距离相等。
二、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
4.对角线互相平分的四边形是平行四边形。
5.相邻角互补的四边形是平行四边形。
6.对边角相等的四边形是平行四边形。
7.对角线所在的平行线间的距离相等的四边形是平行四边形。
8.矩形：矩形是四个角都是直角的平行四边形。
9.菱形：菱形是四条边都相等的平行四边形。
10.正方形：正方形是四个角都是直角且四条边都相等的平行四边形。
四、平行四边形的应用1.计算平行四边形的面积：平行四边形的面积可以通过底边长乘以高得到。
2.证明平行四边形的性质：利用平行四边形的性质证明四边形的形状或关系。
3.解决实际问题：应用平行四边形的性质解决生活中的实际问题，如设计图形、计算面积等。
知识点：__________习题及方法：1.习题：已知ABCD是平行四边形，AB=6cm，AD=4cm，求BC和CD 的长度。
答案：BC和CD的长度分别为6cm和4cm。
解题思路：根据平行四边形的性质，对边相等，所以BC=AD=4cm，CD=AB=6cm。
2.习题：在平行四边形ABCD中，∠B=60°，求∠D的度数。
答案：∠D的度数为120°。
解题思路：根据平行四边形的性质，相邻角互补，所以∠D=180°-∠B=120°。
专题15 平行四边形(强化-基础)-解析版初中数学1
专题15 平行四边形（强化-基础）一、单选题(共40分)1．(本题4分)（2020·浙江八年级期中）下列条件中，能判断四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A ．//,AB CD AD BC = B ．,A B CD ∠=∠∠=∠ C ．,AB AD CB CD ==D ．//,AB CD AB CD =【答案】D【分析】 根据平行四边形的判定定理可直接进行排除选项．【详解】解：如图，由//,AB CD AD BC =不是同一条对应边的关系，故不一定能判定四边形ABCD 是平行四边形，故A 选项不符合题意；由,A B C D ∠=∠∠=∠，360A B C D ∠+∠+∠+∠=︒可得：//AB DC ，所以不一定能判定四边形ABCD 是平行四边形，故B 选项不符合题意；由,AB AD CB CD ==不符合两组对应边相等，所以不一定能判定四边形ABCD 是平行四边形，故C 选项不符合题意；由//,AB CD AB CD =可得四边形ABCD 是平行四边形，故D 选项符合题意； 故选D ．【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 2．(本题4分)（2021·山东威海市·八年级期末）如图，在ABCD 中，CE AB ⊥，E 为垂足，如果120A ∠=︒，那么BCE ∠的度数是（ ）A ．80°B ．30°C ．40°D ．50°【答案】B【分析】 因为平行四边形对边平行，所以由两直线平行，同旁内角互补，可得∠A+∠B=180°，由已知易证∠BEC=90°，所以在Rt∠BEC 中，由三角形的内角和定理知∠BCE=30°；【详解】∠平行四边形ABCD 中，120A ∠=︒，∠AD//BC∠18012060B ∠=︒-︒=︒，又∠CE AB ⊥，∠∠BEC=90°，∠9030BCE B ∠=︒-∠=︒．故选：B ．本题直接通过平行四边形性质的应用，判断出正确的选项，属于基础题；3．(本题4分)（2021·上海九年级专题练习）四边形ABCD 中，对角线AC BD 、交于点O ．给出下列四组条件：①AB ①CD ，AD ①BC ；①AB CD =，AD BC =；①AO CO =，BO DO =；①AB ①CD ，AD BC =．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件共有（ ）A ．1组；B ．2组；C ．3组；D ．4组．【答案】C【分析】根据平行四边形的判定方法对∠∠∠∠分别作出判断即可求解．【详解】解：∠AB ∠CD ，AD ∠BC ，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形；∠AB CD =，AD BC =，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形；；∠AO CO =，BO DO =，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形；∠AB ∠CD ，AD BC =，无法判定四边形是平行四边形．故选：C本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的定义和判定定理是解题关键．4．(本题4分)（2021·山东烟台市·八年级期末）如图1，平行四边形纸片ABCD的面积为120，20AD ．今沿两对角线将四边形ABCD剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并（AD、CB重合）形成一轴对称图形（戊），如图2所示，则图形戊的两对角线长度和为（）A．26B．29C．2243D．1253【答案】A【分析】由题意可得对角线EF∠AD，且EF与平行四边形的高相等，进而利用面积与边的关系求出BC边的高即可．【详解】解：如图，连接AD、EF，则可得对角线EF∠AD，且EF与平行四边形的高相等．∠平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD=20，∠BC=AD=20，12EF×AD=12×120，∠EF=6，又AD=20，∠则图形戊中的四边形两对角线之和为20+6=26，故选：A．【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及图形的对称问题，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．5．(本题4分)（2021·全国九年级专题练习）如图，E是直线CD上的一点，且12CE CD=．已知ABCD的面积为252cm，则ACE的面积为（）A．52B．26C．13D．39【答案】C【分析】设平行四边形AB边上的高为h，分别表示出∠ACE的面积和平行四边形ABCD的面积，从而求出结果．【详解】解：∠四边形ABCD是平行四边形，12CE CD=，设平行四边形AB边上的高为h，∠∠ACE的面积为：12CE h⋅，平行四边形ABCD的面积为2CE h⋅，∠∠ACE的面积为平行四边形ABCD的面积的14，又∠□ABCD的面积为52cm2，∠∠ACE的面积为13cm2．故选C．【点睛】本题考查平行四边形的性质，比较简单，解答本题的关键是根据图形的形状得出∠ACE的面积为平行四边形ABCD的面积的14．6．(本题4分)（2020·苏州高新区实验初级中学七年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB=a，BC=b，AB边上的高为c，BC边上的高为d，则下列式子成立的是（）A．a：c=b：d B．a：b=c：d C．ab=cd D．ac=bd【答案】D【分析】根据平行四边形的性质可得，S∠ABCD=BC•DF=AB•DE，代入数据进行计算即可得出结论．【详解】解：因为平行四边形a边上的高为b，c边上的高为d，所以ac=bd，A、由a：c=b：d，得bc=ad，与题意ac=bd不符，此选项错误；B、由a：b=c：d ，得bc=ad，与题意ac=bd不符，此选项错误；C、ab=cd，与题意ac=bd不符，此选项错误；D、ac=bd，符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质的运用，解题时注意：平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．7．(本题4分)（2020·渠县琅琊中学九年级月考）如图，平行四边形ABCD中，已知AD=，则BD的长为（）∠=︒，8cmAOB90AC，5cmA．3cm B．4cm C．6cm D．8cm【答案】C【分析】由平行四边形ABCD中，AC=8cm，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得OA的长，然后由勾股定理求得OD的长，继而求得答案．【详解】解：∠四边形ABCD是平行四边形，∠1184()22OA ==⨯=AC cm ， ∠∠AOB=90°，∠∠AOD=180°-∠AOB=90°，∠5cm AD =∠3()OD ===cm∠BD=2OD=6cm ．故选：C ．【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理．注意平行四边形的对角线互相平分． 8．(本题4分)（2019·浙江杭州市·八年级其他模拟）已知平行四边形ABCD ，对角线6AC =、8BD =，则该平行四边形四条边中最长边．．．a 的取值范围是（ ）A 7a ≤<B ．57a ≤<C ．17a <<D 7a <【答案】B【分析】根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得OA 与OD 的值，又由三角形的三边关系，即可求得答案．【详解】解：如图所示：四边形ABCD 是平行四边形，AD ＞AB ，132OA AC ∴==，142OD BD ==， 在∠AOD 中，由三角形的三边关系得：4-3＜AD ＜4+3，∠1＜AD ＜7，当四边相等时易得边长为5，∠5≤AD ＜7．故选：B ．【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及三角形三边关系．熟记平行四边形的对角线互相平分是解此题的关键．9．(本题4分)（2021·昆明市·云南师大附中九年级期末）如图，在ABCD 中，6AD =，30ADB ∠=︒，按以下步骤作图：①以点C 为圆心，以CD 长为半径作弧，交BD 于点F ；①分别以点D ，F 为圆心，以CD 长为半径作弧，两弧相交于点G ，作射线CG 交BD 于点E ，则BE 的长为（ ）A ．3BC ．4D ．【答案】D【分析】先根据题目描述可确定CG∠BD ，再由平行确定∠EBC=30°，从而在Rt∠BEC 中计算即可【详解】根据题意描述，CG 垂直平分线段DF ，即∠BEC=90°，∠30ADB ∠=︒，四边形ABCD 为平行四边形，∠AD//BC ，AD=BC=6∠∠EBC=30°，∠在Rt∠BEC 中，132CE BC ==，∠BE =故选：D ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，垂直平分线的判定，以及勾股定理，充分理解题中描述的作图过程是解题关键．10．(本题4分)（2021·山东临沂市·九年级一模）如图，在ABCD 中，ABC ∠、BCD ∠的平分线BE 、CF 分别与AD 相交于点E 、F ，BE 与CF 相交于点G ，若，6AB =，BC ＝10，4CF =，则BE 的长为（ ）A ．B ．8C ．D ．10 【答案】C【分析】根据平行四边形两组对边分别平行可得∠ABC+∠BCD＝180°，再根据角平分线的性质可得∠EBC+∠FCB＝90°，可得BE∠CF；过A作AM∠FC，交BC于M，交BE于O，证明∠ABE 是等腰三角形，进而得到BO＝EO，再利用勾股定理计算出EO的长，进而可得答案．【详解】解：∠四边形ABCD是平行四边形，∠AB∠CD，∠∠ABC+∠BCD＝180°，∠∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，∠∠EBC+∠FCB＝12∠ABC+12∠DCB＝90°，∠EB∠FC，∠∠FGB＝90°．过A作AM∠FC，交BC于M，交BE于O，如图所示：∠AM∠FC，∠∠AOB＝∠FGB＝90°，∠BE平分∠ABC，∠∠ABE＝∠EBC，∠AD∠BC，∠∠AEB＝∠CBE，∠∠ABE＝∠AEB，∠AB＝AE＝6，∠AO∠BE，∠BO ＝EO ，在∠AOE 和∠MOB 中，AEO MBO EO BO AOE MOB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠∠AOE ∠∠MOB （ASA ），∠AO ＝MO ，∠AF ∠CM ，AM ∠FC ，∠四边形AMCF 是平行四边形，∠AM ＝FC ＝4，∠AO ＝2，∠EO=∠BE ＝．故选：C ．【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理；证明AO ＝MO ，BO ＝EO 是解决问题的关键．二、填空题(共20分)11．(本题5分)（2019·云南玉溪市·八年级期中）已知☐ABCD 的对角线AC=8，BD=10，BC 边上的高为6，则☐ABCD 的面积为___．【答案】24+【分析】画出符合题意的示意图，过点O 作OF BC ⊥于点F ， 由中位线的性质得到3OF =，Rt OFC 与Rt BFO 中，分别利用勾股定理解得FC BF 、的长，继而得到BC 的长，最后根据平行四边形的面积公式解题．【详解】解：如图，过点O 作OF BC ⊥于点F ，在☐ABCD 中，114,5622AO OC AC BO OD BD AE =======， 由题意知//,OF AE O 为AC 中点，116322OF AE ∴==⨯= 在Rt OFC 中，FC ==在Rt BFO 中，4BF ===4BC BF FC =+=+(4624ABCD S BC AE ∴=⋅=⨯=+【点睛】本题考查平行四边形的性质、中位线的性质、勾股定理、平行四边形的面积等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．12．(本题5分)（2019·陕西宝鸡市·八年级期末）如图，在ABCD 中，BE CD ⊥于点E ，BF AD ⊥于点F ，①EBF ＝60°，则①C =________．【答案】60°【分析】根据四边形的内角和等于360°即可求出∠D ，再根据平行四边形的邻角互补即可求出∠C ．【详解】∠BE ∠CD ，BF ∠AD ，∠∠BED ＝∠BFD ＝90°，在四边形BEDF 中，∠D ＝360°−∠BED −∠BFD −∠EBF ＝360°−90°−90°−60°＝120°， 在∠ABCD 中，∠C ＝180°−∠D ＝180°−120°＝60°．故答案为：60°.【点睛】本题考查四边形内角和以及平行四边形的性质，掌握四边形内角和为360°与平行四边形的性质是解题的关键．13．(本题5分)（2021·长春吉大附中力旺实验中学九年级月考）如图，为了测量池塘边A 、B 两地之间的距离，在线段AB 的同侧取一点C ，连结CA 并延长至点D ，连结CB 并延长至点E ，使得A 、B 分别是CD 、DE 的中点，若DE ＝16m ，则线段AB 的长度是_____m ．【答案】8【分析】根据三角形中位线定理解答即可．【详解】解：∠点A 、点B 分别是CD 、DE 的中点，∠AB 是∠CDE 的中位线，∠AB ＝12DE ＝8（m ）， 故答案为：8．【点睛】本题考查了三角形中位线，解题关键是熟练运用中位线的性质进行计算．14．(本题5分)（2020·浙江温州市·实验中学八年级期中）如图，在①ABCD 中，P 为AB 上的一点，E 、F 分别是DP 、CP 的中点，G 、H 为CD 上的点，连接EG 、FH ，若①ABCD 的面积为242cm ，12GH AB ，则图中阴影部分的面积为_____．【答案】62cm ．【分析】设EG ，FH 交于点O ，根据平行四边形的性质可得求解S ∠PCD ＝122cm ，利用三角形的中位线可求解S ∠PEF ＝32cm ，由平行线的性质可求解S ∠OEF ＝S ∠OGH ＝12S ∠PEF ＝1.52cm ，进而可求解．【详解】 解：如图，设EG ，FH 交于点O ，∠四边形ABCD 为平行四边形，且∠ABCD 的面积为242cm ，∠S ∠PCD ＝12S ∠ABCD ＝122cm ，AB ＝CD ，AB ∠CD ， ∠E 、F 分别是DP 、CP 的中点，∠EF 为∠PCD 的中位线，∠CD ＝2EF ，EF ∠CD ∠AB ，∠S ∠PEF ：S ∠PCD ＝1：4，∠S ∠PEF ＝32cm ，∠GH ＝12AB ， ∠EF ＝GH ，EF ∠GH ，∠S ∠OEF ＝S ∠OGH ＝12S ∠PEF ＝1.52cm ， ∠S 阴影＝3+2×1.5＝62cm ，故答案为62cm ．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，三角形的中位线，三角形的面积等知识的综合运用．三、解答题(共90分)15．(本题8分)（2020·浙江八年级期中）如图，E 、F 是平行四边形ABCD 的对角线BD 所在直线上的两点，且DE BF =，求证：四边形AECF 是平行四边形．【答案】见详解【分析】由题意易得//AD BC ，AD CB =，则有ADE CBF ∠=∠，然后可证ADE CBF ≌，进而可得AE CF =，DEA BFC ∠=∠，则可得AEF CFE ∠=∠，所以//AE CF ，最后问题得证．【详解】证明：∠四边形ABCD 是平行四边形，∠//AD BC ，AD CB =，∠ADE CBF ∠=∠，∠DE BF =，∠ADE CBF ≌（SAS ），∠AE CF =，DEA BFC ∠=∠，∠180DEA AEF BFC CFE ∠+∠=∠+∠=︒，∠AEF CFE ∠=∠，∠//AE CF ，∠四边形AECF 是平行四边形．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．16．(本题8分)（2020·福建厦门市·厦门双十中学九年级月考）如图，在ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，AD 上，AC 与EF 相交于点O ，且AO CO =．求证：四边形AECF 是平行四边形．【答案】见解析【分析】先由ASA 证明AOF COE ≌△△，得出FO EO =，再由AO CO =，即可得出结论．【详解】证明：∠四边形ABCD 是平行四边形，∠//AD BC ，∠OAF OCE ∠=∠，在AOF 和COE 中，OAF OCE AO CO AOF COE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∠AOF COE ≌△△（ASA ）∠FO EO =，又∠AO CO =，∠四边形AECF 是平行四边形．【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 17．(本题8分)（2020·浙江杭州市·八年级开学考试）如图是一个平行四边形土地ABCD ，后来在其边缘挖了一个小平行四边形水塘EFGH ，现准备将其分成两块，并使其满足：两块地的面积相等，分割线恰好做成水渠，便于灌溉，请你在图中画出分界线所在的直线（保留作图痕迹）．【答案】见解析【分析】由题意分割使两块地的面积相等，分割线恰好做成水渠，根据平行四边形的性质知：过平行四边形对角线交点的直线等分其面积，从而进行求解．【详解】解：作两个平行四边形的两对对角线，其交点分别为M、N．即AC与BD交于点N，EG 与FH交于点M，连接MN，直线MN即为所求的分割线．因为，过平行四边形对角线交点的直线等分其面积．如图：【点睛】此题主要考查平行四边形的性质及其面积公式，作图比较复杂，要认真作图．⊥于E，18．(本题8分)（2020·浙江杭州市·八年级月考）如图，在ABCD中，AE BCAE AF的值．AF CD⊥于F，若AB与AD的长度之比为3：4，求:【答案】3:4【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AB=CD，AD=BC，又由AE∠BC于E，AF∠DC于F，可得平行四边形ABCD的面积的两种表示方法，结合AB：AD=3：4可得结果．【详解】解：证明：∠四边形ABCD是平行四边形，∠AB=CD，AD=BC，又∠AE∠BC ，AF∠DC ，∠平行四边形ABCD 的面积=BC×AE=CD×AF ，即AD×AE=AB×AF ，又AB ：AD=3：4， ∠34AE AB AF AD ==． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，解题的关键是利用两种方法表示平行四边形的面积． 19．(本题10分)（2021·重庆巴蜀中学九年级月考）已知：如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 为对角线BD 上的点，BE DF =．（1）请用直尺和圆规作出BFC ∠的角平分线FH ，并标出FH 与BC 的交点H ；（请用2B 铅笔作图并保留作图痕迹）（2）在（1）的前提下，若110AEB ∠=︒，求CFH ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）35°．【分析】（1）以F 为圆心，任意长为半径画弧，分别交BF 、FC 于M N 、两点，再分别以M N 、为圆心，大于12MN 为半径画弧，两弧交于点Q ，最后作射线FQ 与BC 的交点H 即可解题；（2）先根据平行四边形的性质解得//AB CD ，AB CD =，再利用平行线的性质得到∠=∠ABE CDF ，接着证明()SAS ABE CDF ≌△△，由全等三角形对应角相等的性质得到110AEB CFD ∠=∠=︒，再由邻补角定义解得70BFC ∠=︒，最后根据角平分线的定义解题即可．【详解】解：（1）如图，FH 为所作：（2）∠四边形ABCD 为平行四边形，∠//AB CD ，AB CD =，∠∠=∠ABE CDF ，在ABE △和CDF 中AB CD ABE CDF BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()SAS ABE CDF ≌△△， ∠110AEB CFD ∠=∠=︒，∠18070BFC CFD ∠=︒-∠=︒，∠FH 平分BFC ∠， ∠1352CFH BFC ∠=∠=︒． 【点睛】本题考查基本作图—作角平分线、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质、平行线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．20．(本题10分)（2020·吉林长春市·长春外国语学校八年级月考）如图，点B 、F 、C 、E在一条直线上，FB=CE ，AB∥ED ，AC∥FD ，AD 交BE 于点O ．（1）求证：AD 与BE 互相平分；（2）若AB ①AC ，AC=BF ，BE =8，FC =2，求AB 的长．【答案】（1）见解析；（2） 4.AB =【分析】（1）连接,,AE BD 证明,ABC DEF ≌可得：AB DE =，再证明四边形ABDE 是平行四边形，利用平行四边形的性质可得答案；（2）由BE =8，FC =2，结合BF CE =，AC=BF ，求解,BF AC ， ,BC 再利用AB ∠AC ，由勾股定理可得答案．【详解】证明：（1）连接,,AE BD,FB CE =,BC EF ∴=//,//,AB DE AC DF,,ABC DEF ACB DFE ∴∠=∠∠=∠在ABC 与DEF 中，ABC DEF BC EFACB DFE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,ABC DEF ∴≌,AB DE ∴=//,AB DE∴ 四边形ABDE 是平行四边形，∴ AD 与BE 互相平分；（2）82BE FC ==，，6BF CE ∴+=，,BF CE =3BF CE ∴==，,AC BF =3AC ∴=，325BC ∴=+=，,AB AC ⊥4.AB ∴===【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．21．(本题12分)（2020·四川成都市·八年级期中）在平行四边形ABCD 中，点E 为AB 边的中点，连接CE ，将BCE 沿着CE 翻折，点B 落在点G 处，连接AG 并延长，交CD 于F ．（1）求证：四边形AECF 是平行四边形．（2）若5CF =，GCE 的周长为20，求四边形ABCF 的周长．【答案】（1）证明见解析；（2）30【分析】（1）连接BG ，根据题意得到EB EG AE ==，证明//AF EC ，又根据//FC AE ， 即可证明结论；（2）先求出AF =CE ，AE =CF =5，根据20GCE C GE GC CE =++=△，进行线段代换即可求解．【详解】解：（1）证明：连接BG ．∠点E 为AB 边的中点，BCE 沿着CE 翻折得到∠GCE ，∠EB EG AE ==，∠∠GAE =∠AGE ，∠EBG =∠EGB ，∠三角形内角和为180°，∠90AGB ∠=︒，且BG EC ⊥，∠//AF EC ，∠//FC AE ，∠四边形AECF 是平行四边形．（2）∠四边形AECF 是平行四边形，∠AF =CE ，AE =CF =5，∠20GCE C GE GC CE =++=△，∠BE +BC +EC =20，∠BE +BC +AF =20，∠CF =AE =5，∠ABCF C AB BC AF FC =+++四边形=AE +BE +BC +CF +AF =20+5+5=30．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，轴对称等知识，熟练掌握平行四边形的判定定理和性质定理是解题关键．22．(本题12分)（2020·浙江杭州市·八年级期末）操作探究：（1）现有一块等腰三角形纸板，BC为底边，量得周长为32cm，底比一腰多2cm．若把这个三角形纸板沿其对称轴剪开，拼成一个四边形，请在下列方框中画出你能拼成的各种四边形的示意图，并在图中标出四边形的各边长；（2）计算拼成的各个四边形的两条对角线长的平方和．【答案】（1）见解析；（2）200或328或272或192.16【分析】（1）正确画出图形；（2）分别根据勾股定理计算四个图形中对角线长的平方和．【详解】解：（1）如图所示：（2）设AB =AC =xcm ，则BC =（x +2）cm ，由题意得（x +2）+2x =32，解得x =10cm ．因此AB =AC =10cm ，则BC =12cm ，过点A 作AD ∠BC 于D ，∠BD =CD =6cm ，∠AD =8cm ．可以拼成四种四边形，如上图所示．如图1，两对角线长的平方和为102+102=200；如图2，AC 2=()22483+，∠两对角线长的平方和为()2224836328++=；如图3，BC 2=22128+，∠两对角线长的平方和为2221288272++=；如图4，∠12×AB ×CO ＝12×AC ×BC ，10CO =6×8．∠CO =4.8cm ，CD =9.6cm ．∠两对角线长的平方和为229.610192.16+=．【点睛】本题考查了图形的剪拼，勾股定理等知识，解题的关键是根据题意画出所有的图形，用到的知识点是勾股定理、平行四边形的性质等．23．(本题14分)（2021·全国九年级专题练习）点P 是平行四边形ABCD 的对角线AC 所在直线上的一个动点（点P 不与点A 、C 重合），分别过点A 、C 向直线BP 作垂线，垂足分别为点E 、F ．点O 为AC 的中点．（1）如图1，当点P 与点O 重合时，线段OE 和OF 的关系是 ；（2）当点P 运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图3，点P 在线段OA 的延长线上运动，当30OEF ∠=︒时，试探究线段CF 、AE 、OE 之间的关系．【答案】（1）OE OF =；（2）补图见解析，OE OF =仍然成立，证明见解析；（3）OE CF AE =+，证明见解析【分析】（1）证明∠AOE ∠∠COF 即可得出结论；（2）仍然成立，作辅助线，构建全等三角形，证明∠AOE∠∠COG，得OE＝OG，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出结论；（3）延长EO交FC延长线于H点，由全等三角形的性质可得AE=CH，OE=OH，由直角三角形的性质可得HF=12EH=OE，即可得证．【详解】解：（1）∠四边形ABCD是平行四边形，∠OA＝OC，∠AE∠BP，CF∠BP，∠∠AEO＝∠CFO＝90°，∠∠AOE＝∠COF，∠∠AOE∠∠COF（AAS），∠OE＝OF；（2）补全图形如图2所示，OE＝OF仍然成立，证明如下：延长EO交CF于点G，∠AE∠BP，CF∠BP，∠AE∠C F，∠∠EAO=∠GCO，∠点O为AC的中点，∠AO=CO，又∠∠AOE=∠COG，∠∠AOE∠∠COG，∠OE=OG，∠∠GFE=90°，∠OF=12EG=OE；（3）当点P在线段OA的延长线上时，线段CF、AE、OE之间的关系为OE=CF+AE，证明如下：延长EO交FC的延长线于点H，如图3所示，由（2）可知∠AOE∠∠COG，∠AE=CH，OE=OH，又∠∠OEF=30°，∠HFE=90°，∠HF=12EH=OE，∠OE=CF+CH=CF+OE．【点睛】本题考查了平行四边形、全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的性质和判定，以构建全等三角形和证明三角形全等这突破口，利用平行四边形的对角线互相平分得全等的边相等的条件，从而使问题得以解决．。
人教版八年级下册 第18章《平行四边形》解答题培优专题练习(含答案解析)
人教版八年级下册第18章《平行四边形》解答题培优专题练习1．如图，已知平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF ⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于点M、N．（1）求证：四边形CMAN是平行四边形（2）已知DE＝8，FN＝6，求BN的长．2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF ∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面积．3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为AD的中点，延长CE交BA的延长线上于点F，CE＝EF．（1）如图1，求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）如图2，若CE⊥AD，连接AC、DF，请直接写出图中和线段CD相等的所有线段．4．已知：如图，M为平行四边形ABCD边AD的中点，且MB＝MC．求证：四边形ABCD 是矩形．5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若DC＝2，AC＝4，求OE的长．6．已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC．（1）求证：四边形ABCD是正方形．（2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE＝OF．7．四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，AB＝BC，AD＝CD，分别过点C、D作CE ∥BD．DE∥AC，CE和DE交于点E．（1）如图1．求证：四边形ODEC是矩形；（2）如图2．连接OE，AD∥BC时．在不添加任何辅助线及字母的情况下．请直接写出图中所有的平行四边形．8．在▱ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE＝CF，连接DE，BF，AF．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长．9．如图，在▱ABCD中，AB＝AD，DE平分∠ADC，AF⊥BC于点F交DE于G点，延长BC至H使CH＝BF，连接DH．（1）证明：四边形AFHD是矩形；（2）当AE＝AF时，猜想线段AB、AG、BF的数量关系，并证明．10．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．11．如图，已知四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上的一动点，连接DE，过点E 作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）判断CE，CG与AB之间的数量关系，并给出证明．12．已知：如图，在四边形ABCD中，点G在边BC的延长线上，CE平分∠BCD，CF平分∠GCD，EF∥BC交CD于点O．（1）求证：OE＝OF；（2）若点O为CD的中点，求证：四边形DECF是矩形．13．如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE＝DF，连接AE，EC，CF，F A．（1）求证：四边形AECF是平行四边形．（2）若AF＝EF，∠BAF＝108°，∠CDF＝36°，直接写出图中所有与AE相等的线段（除AE外）．14．如图1，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且P A＝PE，PE交CD于点F，（1）证明：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．15．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG．（1）证明平行四边形ECFG是菱形；（2）若∠ABC＝120°，连结BG、CG、DG，①求证：△DGC≌△BGE；②求∠BDG的度数；（3）若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，M是EF的中点，求DM的长．16．如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为E，F，若正方形ABCD的周长是40cm．（1）求证：四边形BFEG是矩形；（2）求四边形EFBG的周长；（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？参考答案一．解答题（共16小题）1．【解答】（1）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AM∥CN，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CM∥AN∴四边形CMAN是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADE＝∠CBF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED＝∠CFB＝90°，在△ADE与△CBF中，∠ADE＝∠CBF，∠AED＝∠CFB，AD＝BC，∴△ADE≌△CBF（AAS）；∴DE＝BF＝8，∵FN＝6，∴．2．【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，在△AEF和△DEB中，∵，∴△AEF≌△DEB（AAS），∴AF＝DB，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝CD＝BC，∴四边形ADCF是菱形；（2）解：设AF到CD的距离为h，∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，∴S菱形ADCF＝CD•h＝BC•h＝S△ABC＝AB•AC＝×12×16＝96．3．【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，∴DE＝AE，在△DEC和△AEF中，，∴△DEC≌△AEF（SAS），∴∠D＝∠EDF，∴CD∥AB，又∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：图中和线段CD相等的所有线段为AC、AF、DF、AB，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，CE⊥AD，∴AB＝CD，四边形ABCD是菱形，∴AC＝AF＝DF＝CD，∴AC＝AF＝DF＝CD＝AB．4．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，在△ABM和△DCM中，，∴△ABM≌△DCM（SSS），∴∠A＝∠D＝90°，即可得出平行四边形ABCD是矩形．5．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AD＝AB，∵AB＝BC，∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC＝AC＝2，在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD＝＝4，∴BD＝2OD＝8，∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，∵OB＝OD，∴OE＝BD＝4．6．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠BAD＝2∠DAC，∠ABC＝2∠DBC，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∵∠CAD＝∠DBC，∴∠BAD＝∠ABC，∴2∠BAD＝180°，∴∠BAD＝90°，∴四边形ABCD是正方形；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AC＝BD，CO＝AC，DO＝BO，∴∠COB＝∠DOC＝90°，CO＝DO，∵DH⊥CE，垂足为H，∴∠DHE＝90°，∠EDH+∠DEH＝90°，∵∠ECO+∠DEH＝90°，∴∠ECO＝∠EDH，在△ECO和△FDO中，，∴△ECO≌△FDO（ASA），∴OE＝OF．7．【解答】（1）证明：∵AB＝BC，AD＝CD，∴BD垂直平分AC，∴∠COD＝90°，∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形ODEC是平行四边形，∵∠COD＝90°，∴四边形ODEC是矩形；（2）解：∵AB＝BC，AD＝CD，∴BD垂直平分AC，∴AO＝OC，∠BOC＝∠AOD，∵AD∥BC，∴∠BCO＝∠DAO，∴△AOD≌△COB（ASA），∴AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵CE∥BD．DE∥AC，∴四边形ODEC是平行四边形，∴DE＝CO，∴DE＝AO，∴四边形AOED是平行四边形，∴AD＝OE，AD∥OE，∴BC＝OE，BC∥OE，∴四边形OECB是平行四边形，综上所述，四边形ABCD，四边形ODEC，四边形AOED，四边形OECB是平行四边形．8．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AD＝CB，在△DAE和△BCF中，∴△DAE≌△BCF（SAS），∴DE＝BF，∵AB＝CD，AE＝CF，∴AB﹣AE＝CD﹣CF，即DF＝BE，∵DE＝BF，BE＝DF，∴四边形DEBF是平行四边形；（2）解：∵AB∥CD，∴∠DF A＝∠BAF，∵AF平分∠DAB，∴∠DAF＝∠BAF，∴∠DAF＝∠AFD，∴AD＝DF，∵四边形DEBF是平行四边形，∴DF＝BE＝5，BF＝DE＝4，∴AD＝5，∵AE＝3，DE＝4，∴AE2+DE2＝AD2，∴∠AED＝90°，∵DE∥BF，∴∠ABF＝∠AED＝90°，∴AF＝＝＝4．9．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵CH＝BF，∴FH＝BC，∴AD＝FH，∴四边形AFHD是平形四边形，∵AF⊥BC，∴∠AFH＝90°，∴平行四边形AFHD是矩形；（2）猜想：AB＝BF+AG，证明：如图，延长BF到M，使HM＝AG，连接DM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠1＝∠2，∵DE平分∠ADC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝AD，∵AE＝AF，∴AF＝AD，四边形AFHD是正方形，∴AD＝DH，∠GAD＝∠DHM＝90°，在△DAG和△DHM中，∴△DAG≌△DHM（SAS），∴∠2＝∠3＝∠HDM，∠AGD＝∠M，∵AF∥DH，∴∠AGD＝∠HDG＝∠2+∠CDH＝∠MDH+∠CDH，∴∠M＝∠CDM，∴CD＝CM＝CH+HM，∵BC＝AD＝FH，∴BC﹣CF＝FH﹣CF，∴BF＝CH，∵AB＝CD，HM＝AG，∴AB＝BF+AG．10．【解答】解：（1）如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，∵正方形ABCD，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，∴矩形DEFG为正方形，（2）CE+CG的值为定值，理由如下：∵矩形DEFG为正方形，∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴AC＝AE+CE＝AB＝×4＝8，∴CE+CG＝8是定值．11．【解答】证明：（1）过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，∴矩形DEFG为正方形；（2）∵矩形DEFG为正方形，∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴在Rt△ABC中，，∴12．【解答】证明：（1）∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，∴∠BCE＝∠DCE，∠DCF＝∠GCF，∵EF∥BC，∴∠BCE＝∠FEC，∠EFC＝∠GCF，∴∠DCE＝∠FEC，∠EFC＝∠DCF，∴OE＝OC，OF＝OC，∴OE＝OF；（2）∵点O为CD的中点，∴OD＝OC，又OE＝OF，∴四边形DECF是平行四边形，∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，∴∠DCE＝∠BCD，∠DCF＝∠DCG∴∠DCE+∠DCF＝（∠BCD+∠DCG）＝90°，即∠ECF＝90°，∴四边形DECF是矩形．13．【解答】（1）证明：如图，连接AC交BD于点O，在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）；（2）解：∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠CDF＝36°，∵AF＝EF，∴∠F AE＝∠FEA＝72°，∵∠AEF＝∠EBA+∠EAB，∴∠EBA＝∠EAB＝36°，∴EA＝EB，同理可证CF＝DF，∵AE＝CF，∴与AE相等的线段有BE、CF、DF．14．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴P A＝PC，∵P A＝PE，∴PC＝PE；（2）解：由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP＝∠BCP，∴∠DAP＝∠DCP，∵P A＝PE，∴∠DAP＝∠E，∴∠DCP＝∠E，∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPE＝∠EDF＝90°（3）解：AP＝CE；理由如下：在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝60°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴P A＝PC，∠BAP＝∠BCP，∵P A＝PE，∴PC＝PE，∴∠DAP＝∠DCP，∵P A＝PC，∴∠DAP＝∠AEP，∴∠DCP＝∠AEP∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠AEP，即∠CPF＝∠EDF＝180°﹣∠ADC＝180°﹣120°＝60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC＝CE，∴AP＝CE．15．【解答】解：（1）证明：∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，又∵四边形ECFG是平行四边形，∴四边形ECFG为菱形；（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°由（1）知，四边形CEGF是菱形，∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，∵EG∥DF，∴∠BEG＝120°＝∠DCG，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BE＝CD，∴△DGC≌△BGE（SAS）；②∵△DGC≌△BGE，∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，∴∠BGD＝∠CGE，∵CG＝GE＝CE，∴△CEG是等边三角形，∴∠CGE＝60°，∴∠BGD＝60°，∵BG＝DG，∴△BDG是等边三角形，∴∠BDG＝60°；（3）如图2中，连接BM，MC，∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形．∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC，∵M为EF中点，∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∴∠BEM＝∠DCM＝135°，在△BME和△DMC中，∵，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．∵AB＝8，AD＝14，∴BD＝2，∴DM＝BD＝．16．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB⊥BC，∠B＝90°．∵EF⊥AB，EG⊥BC，∴EF∥GB，EG∥BF．∵∠B＝90°，∴四边形BFEG是矩形；（2）∵正方形ABCD的周长是40cm，∴AB＝40÷4＝10cm．∵四边形ABCD为正方形，∴△AEF为等腰直角三角形，∴AF＝EF，∴四边形EFBG的周长C＝2（EF+BF）＝2（AF+BF）＝20cm．（3）若要四边形BFEG是正方形，只需EF＝BF，∵AF＝EF，AB＝10cm，∴当AF＝5cm时，四边形BFEG是正方形．。
二年级平行四边形的初步认识
你认识它们吗？
长方形 正方形
长方形的特征： 有四条边，对边相等，四个角 都是直角．
正方形的特征： 四条边都相等，四个角都是直 角．
2
①
长方形
④
三角形
②
正方形
⑩
圆
3
用手中的小棒摆一摆
正方形
长方形
4
苏教版二年级数学上册（14~15）
平行四边形的初步认识
巢湖市团结路小学韦邦5保
生活中的平行四边形
6
生活中的平行四边形
7
生活中的平行四边形
8
9
像这样的四边形是平行四边形。
10
下面哪些图形是平行四边形？给它们涂上颜色。
11
12
认识平行四边形 有四条边，四个角 对边相等 有两个锐角 有两个钝角
13
做一做，想一想。
平行四边形容易变形， 具有不稳定性。
14
稳定性Leabharlann 易变性1516生活中的平行四边形
17
18
摆 一 用小棒摆出自己 摆 喜欢的多边形
19
这又是什么图形呢这？是平行四边形
小朋友们，这是我 用六根小棒摆什么
图形吗？
20
折一折，剪出一个平行四边形
21
你会用两块完全一样的三角尺拼成一个平 行四边形吗？用四块完全一样的三角尺呢？
22
23
下边是用七巧板中的三块拼成的平行四边形。 你能移动其中的一块将它改拼成长方形吗？
(9 )
(4)
28
2. 下边的图形是平行四边形吗？怎样改才能成为平 行四边形？
29
补充习题
1.每次用10根小棒围一个平行四边形,看有几种围法? 2.从下面各图中找出所有正方形、长方形和平行四边形。
人教版平行四边形的性质(15)
D
B
C
记作： ABCD 读作：平行四边形ABCD
平行四边形的定义 平行四边形还有其 他性质吗？
平行四边形的两组对边分别平行
∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD，AD∥BC
拆图操作
如何将手中的平行四边形拆分成两个三角形？
这两个三角形有什么特点？ 全等
猜想： 1.平行四边形的两组对边分别相等.
2.平行四边形的两组对角分别相等.
人教版 八年级数学 下册 第18章 平行四边形 第一节
§ 18.1.1 平行四边形的性质（1）
请回顾
已知，在四边形ABCD中，AB ∥ CD, AD ∥ BC，
求证：AD=BC.
D
C
思考：
A
B
1.此时四边形ABCD是什么形状的四边形？
2.你还可以得到哪些角相等？哪些线段相等？
3.在解题过程中用到了哪些数学思想？
D
C
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AB＝CD，AD＝BC（平行四边形的两A组对边分别相等B ）
∠A=∠C, ∠B=∠D（平行四边形的两组对角分别相等）
在 ABCD中， AB＝CD，AD＝BC．（平行四边形的两组对边分别相等）
∠A=∠C, ∠B=∠D（平行四边形的两组对角分别相等）
请抢答
1.在 ABCD中，
（1）∠A=500，则∠B= 130°，∠C= 50 ° , ∠D=130 °.
（2）∠A+∠C=240°，则∠A= 120 °，∠B= 60 °．
D
C
A
B
请抢答
2. 在平行四边形ABCD中，
（1）AB=6m，BC=3m，则它的周长是 18m .
A
平行四边形的面积计算
平行四边形的面积计算平行四边形是一种特殊的四边形，具有两对平行的边。
要计算平行四边形的面积，我们可以使用基本几何原理，通过长和宽的乘积进行计算。
首先，让我们以一个具体的例子开始，假设我们有一个平行四边形，其底边长为5厘米，高度为3厘米。
我们将根据这些尺寸来计算这个平行四边形的面积。
面积计算的公式是：面积 = 底边长 ×高度。
根据这个公式，我们将用5厘米乘以3厘米，得到这个平行四边形的面积。
5厘米 × 3厘米 = 15平方厘米。
因此，这个特定平行四边形的面积是15平方厘米。
接下来，我们将介绍一个更一般的方法来计算平行四边形的面积。
假设我们有一个平行四边形，其中底边长为b，高度为h。
我们将使用这些变量来表示面积计算的公式。
面积 = b × h。
这个公式简单明了，在实际计算中也非常方便使用。
对于一些更复杂的平行四边形，我们需要首先确定底边长和高度的实际值，然后将它们代入公式进行计算。
另外，如果我们有平行四边形的其他边长和角度信息，我们也可以使用这些信息来计算面积。
这种情况下，我们需要应用其他几何原理，如三角函数或特殊的公式。
总结起来，计算平行四边形面积的基本原则是使用底边长和高度的乘积公式。
只要我们知道这两个尺寸的数值，我们就可以轻松计算出平行四边形的面积。
通过这篇文章，我们学习了如何计算平行四边形的面积，并提供了一个具体的例子来说明。
无论是简单的平行四边形还是复杂的情况，我们都可以通过应用适当的几何原理来解决。
掌握这些技巧，我们将能够轻松地计算平行四边形的面积。
根据上述步骤，我们可以通过给定的底边长和高度，使用公式面积= 底边长×高度来计算平行四边形的面积。
这个方法适用于各种情况，无论是简单的平行四边形还是复杂的情况。
请注意，这个计算公式只适用于平行四边形。
如果有其他形状的图形，我们需要使用适当的公式来计算其面积。
因此，在进行任何计算之前，我们需要清楚地了解我们所处理的形状，并选择正确的计算方法。
人教版平行四边形的判定(15)
例1 如图，AB =DC=EF, AD=BC， DE=CF,则图中有哪些互相平行的线段？
A B
D
E AB ∥ DC∥ EF AD ∥ BC
C F
DE ∥ CF
例2 已知： ABCD 中,M、N、P、Q分别 是AB、BC、CD、DA的中点
求证：四边形MNPQ是平行四边形
A M
B
N
Q
D
P C
• 例3 如图：四边形ABCD是梯形， 在底边AB上求作一点E，使四边形 AECD为平行四边形。
回顾与思考
1、平行四边形的定义？ 定义：两组对边分别平行的四边形 叫做平行四边形。 2、平行四边形有哪些重要的性质？
平行四边形的对边相等 平行四边形的对角相等 平行四边形的对角线互相平分
动手做一做
数学实验： 同学们手中有一些细纸条,你能
动手将纸条首尾相接做成一个平行 四边形框架吗?
数学命题1
两组对边分别相等的 四边形是平行四边形。
已知：四边形ABCD中, AB=CD，AD=BC
求证：四边形ABCD是平行四边形
证明：连结AC，
A
D
14
∵ AB=CD，AD=BC （已知）
又∵ AC=AC （公共边）
B
∴△ABC≌△CDA（SSS）
2 3
C
∴∠1=∠2，∠3=∠4（全等三角形的对应边相等）
∴ AB∥CD，AD∥BC （内错角相等，两直线平行）
D
C
A
B
体会.分享
说出你这节课的收获和体验让大家与 你分享吗？
课后作业
❖ 课本97页练习2 ❖ 求证：两组对角分别相等的四边形
是平行四边形。
判定定理3
• 一组对边平行且相等的四边形
平行四边形的性质及判定(四边形)讲义
EOABD C平行四边形的性质及判定一、知识提要1.定义有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形用“□”表示，平行四边形ABCD记作□ABCD.2.平行四边形的性质：对边相等,对角相等,对角线互相平分.3.三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.4.两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的，其中，两条平行线间最短的线段长度叫做平行线间的距离.5.平行四边形的判定：共5个①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.二、精讲精练1.(2011广东)已知□ABCD的周长为32，AB=4，则BC=（）A. 4B. 12C. 24D. 282.在平行四边形中，四个角之比可以成立的是( )A．1:2:3:4 B．2:2:3:3 C．2:3:3:2 D．2:3:2:33.（2011江苏）在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC、BD相交于点O．若AC=6，则线段AO的长度等于________.4.（2011山东）如图，在□ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，3OE cm，则AD的长是＿＿cm.5.（2011湖南）如图所示，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AB≠AD，则下列式子不．正确．．的是( )A．AC⊥BD B．AB=CDC．BO=OD D．∠BAD=∠BCD6.在平行四边形ABCD中,∠B-∠A=20°,则∠D的度数是_______.7.平行四边形的两邻边分别为3，4，那么其对角线必( )A．大于1 B．大于1且小于7C．小于7 D．大于7或小于1A DCOB8. 以长为5cm, 4cm, 7cm 的三条线段中的的两条为边,另一条为对角线画平行四边形,可以画出形状不同的平行四边形的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 49. 已知平行四边形的面积是144,相邻两边上的高分别为8和9,则它的周长是______.10. 在□ABCD 中，AB =3，BC =5，∠B 的平分线AE 交AD 于点E ，则DE 的长为__________.11. 在平面内和直线l 距离为8 cm 的直线有______条. 12. 平行四边形的一组对角的平分线( )A ．一定相互平行B ．一定相交C ．可能平行也可能相交D ．平行或共线13. （2011湖南）如图．下列四组条件中．不能．．判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A ．AB =DC ， AD =BCB ．AB ∥DC ，AD ∥BC C ．AB ∥DC ，AD =BCD ．AB ∥DC ，AB =DC14. 如图，平行四边形ABCD 中，AE =CG ， DH =BF ，连结E ，F ，G ，H ，E ，则四边形EFGH 是_____．15. 如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上的两点，且AE =CF ，则四边形BEDF 是___________．16. 如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边BC ，AD 的中点，则图中共有平行四边形的个数是( ) A ． 3 B ． 4 C ． 5 D ． 617. （2011天津）如图，点D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，连接DE 、EF 、FD ．则图中平行四边形的个数为__________.18. 已知四边形ABCD ，有以下四个条件，①AB ∥CD ；②AB =CD ；③BC ∥AD ；④BC =AD .从这四个条件中，任选两个，能使四边形ABCD 成为平行四边形的选法共有（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6FEDCBA DCBAHGA BCDEFF EDCBA FA BCDEABECFD 19. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，点E 为AB 中点，连结CE ，过点E 作ED ⊥BC 于点D ，在DE 的延长线上取一点F ，使AF =CE ．求证：四边形ACEF 是平行四边形．20. （2011湖北）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 中点，BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F . （1）证明：∠DFE =∠CBE ； （2）证明：△DFE ≌△CBE ．21. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，AD =12，AB =13，BD ⊥AD ，求BC ，CD及OB 的长．22. (2011四川)如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，E 、F 在AC 上，G 、H 在BD 上，且AF =CE ，BH =DG ，求证：EG ∥HF .OD CBAH G O E DCBA F E DCB A F三、测试提高【板块一】平行四边形的性质1. （2011重庆）如图，在平行四边形 ABCD 中(AB ≠BC )，直线EF 经过其对角线的交点O ,且分别交AD 、BC 于点M 、N ，交BA 、DC 的延长线于点E 、F ，下列结论：①AO =BO ；②OE =OF ； ③△ODM ≌△OBN ； ④△EAO ≌△CNO ，其中正确的是( ) A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④2. （2011辽宁）如图，在□ABCD 中，点E 、F 分别在边AD 、BC 上，且BE ∥DF ，若∠EBF =45°，则∠EDF 的度数是（ ） A ．30° B ．45° C ．55° D ．75°3. （2011浙江）如图，已知E 、F 是□ABCD 对角线AC 上的两点，且BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，则图中有几对全等三角形（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．64. 如图，EF 过平行四边形ABCD 对角线的交点O ，并交AD 于点E ，交BC 于F ，若AB =4，BC =6，OE =2，那么四边形EFCD 的周长是（ ） A ．16 B ．14 C ．12 D ．10N MFE ODC BAFEDCBA O ABCDE FF E ODCB A【板块二】平行四边形的判定5. （2011广西）如图，在平行四边形ABCD 中，EF ∥AD ， HN ∥AB ，则图中的平行四边形的个数共有( ) A ．12个 B ．9个 C ．7个 D ．5个四、课后作业1. 在□ABCD 中，∠A = 2∠B ，则∠C =________.2. 在□ABCD 中，∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 的值可以是（ ）. A.1∶2∶3∶4 B.1∶2∶2∶1 C.1∶1∶2∶2 D.2∶1∶2∶13. 已知平行四边形ABCD 的周长是100cm, AB :BC =4:1,则AB 的长是__________.4. 在平行四边形ABCD 中,∠A :∠B =3:2,则∠C =_______度，∠D =____度.5. 用20米长的一铁丝围成一个平行四边形,使长边与短边的比为3:2,则它的短边长为____.6. 平行四边形ABCD 的周长32, 5AB =3BC ,则对角线AC 的取值范围为_______.7. 在平行四边形ABCD 中,∠A =65°,则∠D 的度数是_______8. 由等腰三角形底边上任一点(端点除外)作两腰的平行线,则所成的平行四边形的周长等于等腰三角形的 ( ).A.周长B. 一腰的长C.周长的一半D. 两腰的和 9. 能够判定一个四边形是平行四边形的条件是 ( ). A. 一组对角相等 B. 两条对角线互相平分 C. 两条对角线互相垂直 D. 一对邻角的和为180°10. 关于四边形ABCD ：①两组对边分别平行②两组对边分别相等③有两组角相等④对角线AC 和BD 相等.以上四个条件中，可以判定四边形ABCD 是平行四边形的有______个.11. 四边形ABCD 中,AD ∥BC ,要判定ABCD 是平行四边形,那么还需满足 ( ). A. ∠A +∠C =180° B. ∠B +∠D =180° C. ∠A +∠B =180° D. ∠A +∠D =180°12. 已知平行四边形ABCD 中，AB = 12，AB 边上的高为3，BC 边上的高为6，则平行四边形ABCD 的周长为 .NHE D CBA F13.已知：如图，△ABC中，AB=AC，DE//AC，DF//AB．求证：DE+DF=AB14.如图，在□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，E，F是BD上的点，BE⊥EC，DF⊥AF，垂足分别为E、F.那么OE与OF是否相等？为什么？15.（2010江苏）如图，在□ABCD中，点E，F是对角线AC上两点，且AE=CF．求证：∠EBF=∠FDE．16.（2011福建）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线，且与对角线AC分别相交于点E、F.求证：AE=CF.FAB C DE OEDCB AFC ABD EFB DAFCE。
平行四边形的判定与性质题型总结(归纳的很整齐)
平行四边形平行四边形的性质第一课时平行四边形的边、角特征知识点梳理1、有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形ABCD记作□ABCD。
2、平行四边形的对边相等，对角相等，邻角互补。
3、两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条直线之间的距离。
知识点训练1．如图，两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合的部分构成一个四边形，这个四边形是________．2．如图，在□ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF，GH相交于点O，那么图中共有平行四边形( )A．6个B．7个C．8个D．9个3．在□ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，则□ABCD的周长为 cm.4．用40 cm长的绳子围成一个平行四边形，使其相邻两边的长度比为3∶2，则较长的边的长度为 cm.5．在□ABCD中，若∠A∶∠B＝1∶5，则∠D＝；若∠A＋∠C＝140°，则∠D＝．6．如图，在□ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则□ABCD的周长是．7．如图，在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD＝53°，则∠BCE的度数为( )A．53°B．37°C．47°D．123°8．如图所示，已知在平行四边形ABCD中，BE＝DF.求证：AE＝CF.9．如图，点E，F分别是□ABCD中AD，AB边上的任意一点，若△EBC的面积为10 cm²，则△DCF的面积为。
10．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，记△ABO的面积为S1，△COD的面积为S2，则S1，S2的大小关系是( )A．S1>S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．无法比较11．在□ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可能是( )A．1∶2∶3∶4 B．1∶2∶2∶1C．2∶2∶1∶1 D．2∶1∶2∶112．如图，将平行四边形ABCD折叠，使顶点D恰落在AB边上的点M处，折痕为AN，那么对于结论：①MN∥BC；②MN＝AM，下列说法正确的是( )A．①②都对 B．①②都错 C．①对②错 D．①错②13．如图，在□ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，垂足分别为E，F，CE＝2，DF＝1，∠EBF＝60°，则□ABCD的周长为__．14．如图，□ABCD与□DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝110°，则∠DAE的度数为。
平行四边形判定专项练习30题
平行四边形的判定专项练习30题（有答案）1．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，ED∥BF，AF=CE，求证：ABCD是平行四边形．2．如图，四边形ABCD中，∠BAC=90°，AB=11﹣x，BC=5，CD=x﹣5，AD=x﹣3，AC=4．求证：四边形ABCD为平行四边形．3．已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，现给出四个条件：①OA=OC；②AB=CD；③∠BAD=∠DCB；④AD∥BC．请你从中选择两个，推出四边形ABCD为平行四边形，并写出你的推理过程．（1）从以上4个条件中任意选取2个条件，能推出四边形ABCD是平行四边形的有（用序号表示）_________ ．（2）从（1）中选出一种情况，写出你的推理过程．4．如图，已知：点B、E、F、D在一条直线上，DF=BE，AE=CF．请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使四边形ABCD是平行四边形，并说明理由，供选择的三个条件（请从其中选择一个）：①AB=DC；②BC=AD；③∠AED=∠CFB．5．如图，在▱ABCD中，AC交BD于点O，点E，点F分别是OA，OC的中点，请判断线段BE，DF的位置关系和数量关系，并说明你的结论．6．如图所示，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形△ABD、△BCE、△ACF，猜想：四边形ADEF 是什么四边形，试证明你的结论．7．如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE=CF．求证：（1）AD是△ABC的中线；（2）请连接BF、CE，试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由．8．如图，矩形ABCD的两条对角线AC和BD相交于点O，E、F是BD上的两点，且∠AEB=∠CFD．求证：四边形AECF 是平行四边形．9．如图：在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E是BC上一点，DE=AB．求证：四边形ABED是平行四边形．10．如图，已知 AB∥DC，E是BC的中点，AE，DC的延长线交于点F；（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）连接AC，BF．则四边形ABFC是什么特殊的四边形？请说明理由．11．等边△ABC中，点D在BC上，点E在AB上，且CD=BE，以AD为边作等边△ADF，如图．求证：四边形CDFE是平行四边形．12．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE．若∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连结DF．求证：（1）△ABC≌△EAF；（2）四边形ADFE是平行四边形．13．已知：如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别是OB，OC的中点．求证：四边形DFGE是平行四边形．14．如图所示：在四边形ABCD中，AD∥BC、BC=18cm，CD=15cm，AD=10cm，AB=12cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以2cm/秒的速度由A向D运动，点Q以3cm/秒的速度由C向B运动．（1）几秒钟后，四边形ABQP为平行四边形？并求出此时四边形ABQP的周长（2）几秒钟后，四边形PDCQ为平行四边形？并求出此时四边形PDCQ的周长．15．求证：顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形．16．△ABC中，中线BE、CF相交于O，M是BO的中点，N是CO的中点，求证：四边形MNEF是平行四边形．17．如图，AD=DB，AE=EC，FG∥AB，AG∥BC．（1）证明：△AGE≌△CFE；（2）说明四边形ABFG是平行四边形；（3）研究图中的线段DE，BF，FC之间有怎样的位置关系和数量关系．18．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC边上，AB边上有一点F，且BF=DC，连接EF、EB．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）求证：四边形EFCD是平行四边形．19．已知在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，点F在DE的延长线上，且EF=DE，图中有几个平行四边形？请说明你的理由．20．如图，在△ABC中，AD是中线，点E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接BF．求证：四边形AFBD是平行四边形．21．如图：在四边形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，BC=2AD．找出图中所有的平行四边形，并选择一个说明它是平行四边形的理由．22．求证：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．23．已知：如图，A、B、C、D在同一条直线上，且AB=CD，AE∥DF，AE=DF．求证：四边形EBFC是平行四边形．24．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．图中的四边形BFCE 是平行四边形吗？为什么？25．已知点E、F、G、H分别为四边形ABCD四边的中点，试问四边形EFGH的形状并说明理由．26．如图，已知四边形ABCD中AD=BC，点A、B、E在同一条直线上，且∠B=∠EAD，试说明四边形ABCD是平行四边形．27．如图，AD∥BC，ED∥BF，且AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．28．已知：△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．求证：四边形DEFG是平行四边形．29．如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形．当AB≠AC时，求证：四边形ADFE为平行四边形．30．已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，且AB=DC=5，AC=4，BC=3．求证：四边形ABCD为平行四边形．平行四边形的判定30题参考答案：1．∵AD∥BC，∴∠DAE=∠BCF，∵ED∥BF，∴∠DEF=∠BFE，∴∠AED=∠CFB，又∵AF=CE，∴AE=CF，在△ADE和△CBF中：∵∠DAE=∠BCF，∠AED=∠CFB，AE=CF，∴△ADE≌△CBF（AAS），∴AD=CB，即：AD∥CB，AD=CB，∴四边形ABCD是平行四边形，2．∵∠BAC=90°，AB=11﹣x，BC=5，AC=4．∴（11﹣x）2+42=52，解得：x1=8，x2=14＞11（舍去），当x=8时，BC=AD=5，AB=CD=3，∴四边形ABCD为平行四边形．3．（1）解：能推出四边形ABCD是平行四边形的有①④、③④；故答案是：①④、③④；（2）以①④为例进行证明．如图，在四边形ABCD中，OA=OC，AD∥BC．证明：∵AD∥BC，∴∠DAO=∠BCO．∴在△AOD与△COB中，，∴△AOD≌△COB（ASA），∴AD=BC，∴在四边形ABCD中，AD BC，∴四边形ABCD为平行四边形．4．选择①，∵DF=BE，AE=CF，AB=CD，∴△ABE≌△CDF（sss），∴∠ABE=∠CDF，∴四边形ABCD是平行四边形．5. BE=DF，BE∥DF因为ABCD是平行四边形，所以OA=OC，OB=OD，因为E，F分别是OA，OC的中点，所以OE=OF，所以BFDE是平行四边形，所以BE=DF，BE∥DF 6．四边形ADEF是平行四边形．连接ED、EF，∵△ABD、△BCE、△ACF分别是等边三角形，∴AB=BD，BC=BE，∠DBA=∠EBC=60°．∴∠DBE=∠ABC．∴△ABC≌△DBE．同理可证△ABC≌△FEC，∴AB=EF，AC=DE．∵AB=AD，AC=AF，∴AD=EF，DE=AF．∴四边形ADEF是平行四边形7．（1）∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED=∠CFD．∵∠BDE=∠CDF，BE=CF，∴△BED≌△CFD．∴BD=CD．∴AD是△ABC的中线．（2）四边形BECF是平行四边形，由（1）得：BD=CD，ED=FD．∴四边形BECF是平行四边形8．∵四边形ABCD是矩形∴AB∥CD，AB=CD，∴∠ABE=∠CDF，又∵∠AEB=∠CFD，∴△ABE≌△CDF，∴BE=DF，又∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，∴OB﹣BE=OD﹣DF，∴OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形9．∵AD∥BC，AB=CD，∴四边形ABCD是等腰梯形，∴∠B=∠C，∵DE=AB，∴∠DEC=∠B，∴AB∥DE，∴四边形ABED是平行四边形．10．（1）证明：∵AB∥DC，∴∠1=∠2，∠FCE=∠EBA，∵E为BC中点，∴CE=BE，∵在△ABE和△FCE中，∠1=∠2，∠FCE=∠EBA，CE=BE，∴△ABE≌△FCE；（2）四边形ABFC是平行四边形；理由：由（1）知：△ABE≌△FCE，∴EF=AE，∵CE=BE，∴四边形ABFC是平行四边形11．连接BF，∵△ADF和△ABC是等边三角形，∴AF=AD=DF，AB=AC=BC，∠ABC=∠ACD=∠CAB=∠FAD=60°，∴∠FAD﹣∠EAD=∠CAB﹣∠EAD，∴∠FAB=∠CAD，在△FAB和△DAC中，∴△FAB≌△DAC（SAS），∴BF=DC，∠ABF=∠ACD=60°，∵BE=CD，∴BF=BE，∴△BFE是等边三角形，∴EF=BE=CD，在△ACD和△CBE中∵，∴△ACD≌△CBE（SAS），∴AD=CE=DF，∵EF=CD，∴四边形CDFE是平行四边形．12．（1）∵△ABE为等边三角形，EF⊥AB，∴EF为∠BEA的平分线，∠AEB=60°，AE=AB，在△ABC和△EAF中，，∴△ABC≌△EAF（AAS）；（2）∵∠BAC=30°，∠DAC=60°，∴∠DAB=90°，即DA⊥AB，∵EF⊥AB，∴AD∥EF，∵△ABC≌△EAF，∴EF=AC=AD，∴四边形ADFE是平行四边形13．在△ABC中，∵AD=BD，AE=CE，∴DE∥BC且DE=BC．在△OBC中，∵OF=FB，OG=GC，∴FG∥BC且FG=BC．∴DE∥FG，DE=FG．∴四边形DFGE为平行四边形14．（1）x秒后，四边形ABQP为平行四边形．则2x=18﹣3x，解得x=3.6．3.6秒钟后，四边形ABQP为平行四边形，此时四边形ABQP的周长是3.6×2×2+12×2=38.4cm．（2）y秒后，四边形PDCQ为平行四边形．10﹣2y=3y，解得y=2.2秒钟后，四边形PDCQ为平行四边形，此时四边形PDCQ的周长是3.6×2×2+15×2=43.2cm．15．：连接BD，∵E、F为AD，AB中点，∴FE BD．又∵G、H为BC，CD中点，∴GH BD，故GH FE．同理可证，EH FG．∴四边形FGHE是平行四边形16．∵BE，CF是△ABC的中线，∴EF∥BC且EF=BC，∵M是BO的中点，N是CO的中点，∴EF∥MN且EF=MN，∴四边形MNEF是平行四边形．17．（1）证明：∵AG∥BC（已知）∴∠G=∠EFC（两直线平行，内错角相等）∵∠AEG=∠FEC（对顶角相等），又AE=EC（已知）∴△AGE≌△CFE（AAS）；（2）说明：∵FG∥AB，AG∥BC（已知）∴四边形ABFG是平行四边形（平行四边形的定义）；（3）解：线段DE，BF，FC之间的位置关系是DE∥BF，DE∥FC，数量关系是DE=BF=FC，理由：由（1）可知△AGE≌△CFE∴AG=FC，FE=EG（全等三角形的对应边相等），∴E是FG的中点，又∵AD=DB（已知）∴DE为三角形ABC的中位线，∴DE=BC，DE∥BC，即DE∥BF，DE∥FC，由（2）可知四边形ABFG是平行四边形∴AG=BF，∴BF=FC=BC，∴DE=BF=FC，即线段DE，BF，FC之间的位置关系是DE∥BF，DE∥FC，数量关系是DE=BF=FC．18．（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°，∴∠EAD﹣∠BAD=∠BAC﹣∠BAD，即：∠EAB=∠DAC，∴△ABE≌△ACD（SAS）；（2）证明：∵△ABE≌△ACD，∴BE=DC，∠EBA=∠DCA，又∵BF=DC，∴BE=BF．∵△ABC是等边三角形，∴∠DCA=60°，∴△BEF为等边三角形．∴∠EFB=60°，EF=BF∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠ABC=∠EFB，∴EF∥BC，即EF∥DC，∴四边形EFCD是平行四边形19．平行四边形ADCF和平行四边形DBCF．理由：（1）∵D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE∥BC ，．又∵EF=DE，∴DF=BC，∴四边形DBCF是平行四边形；（2）在四边形ADCF中，∵EF=DE，又∵E是AC边的中点，∴EA=EC，∴四边形ADCF是平行四边形20．∵E为AD中点，∴AE=DE，∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，在△AEF和△CED中∵，∴△AEF≌△CED（AAS），∴AF=DC，∵AD是△ABC的中线，∴BD=DC，∴AF=BD，即AF∥BD，AF=BD，故四边形AFBD是平行四边形21．图中有两个平行四边形：▱ABED、▱AECD．∵，∴AD=BE，∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形．22．已知：四边形ABCD，∠A=∠C，∠B=∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形，证明：∵∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴2∠A+2∠B=360°，∴∠A+∠B=180°，∴AD∥BC，同理AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．在△ABE和△DCF中∴△ABE≌△DCF（SAS），∴EB=FC，∠ABE=∠DCF，∵∠ABE+∠EBC=180°，∠DCF+∠FCB=180°，∴∠EBC=∠FCB，∴BE∥FC，∵BE=FC，∴四边形EBFC是平行四边形24．∵CE∥BF，BD=CD，∴△BDF≌△CDE，∴BF=CE，∴四边形BFCE是平行四边形．25．四边形EFGH是平行四边形证明：连接AC、BD∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四边的中点∴EH=BD，FG=BD，HG=AC，EF=AC∴EH=FG，EF=HG∴四边形EFGH是平行四边形．26．∵∠B=∠EAD，∴AD∥BC，∵AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形．27．∵AD∥BC，∴∠EAD=∠FCB，又ED∥BF，∴∠FED=∠EFB，∠AED=180°﹣∠FED，∠CFB=180°﹣∠EFB，∴∠AED=∠CFB，又已知AE=CF，∴△AED≌△CFB，∴AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形．28．∵AD∥BC，∴∠EAD=∠FCB，又ED∥BF，∴∠FED=∠EFB，∠AED=180°﹣∠FED，∠CFB=180°﹣∠EFB，∴∠AED=∠CFB，又已知AE=CF，∴△AED≌△CFB，∴AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形．29．∵△ABE、△BCF为等边三角形，∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°．∴∠FBE=∠CBA，在△FBE和△CBA中，，∴△FBE≌△CBA（SAS）．∴EF=AC．又∵△ADC为等边三角形，∴CD=AD=AC．∴EF=AD．同理可得AE=DF．∴四边形AEFD是平行四边形30．∵AB=5，AC=4，BC=3∴AB2=AC2+BC2∴∠BCA=90°∵AD∥BC∴∠DAC=∠BCA=90°∵DC=5，AC=4，∴AD2=DC2﹣AC2=9∴AD=BC=3∴四边形ABCD为平行四边形．。
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2015—2016学年度第二学期电子备课教学设计
八年级年级数学科下册第18单元（章）
单元(章)
名称、课题
数学活动
课时划分
1课时
教学课时
第1课时
总备课数
45
主备人
王秀存
备课组其他成员
吴金元高吉忠胡秀年张忠国
备课内容
三Байду номын сангаас
维
教
学
目
标
知识与能力：1．让学生探索折纸图形中边角及图形的一些关系，培养用数学的知识解决实际生活中的数学问题的能力
三、课堂小结
折纸中的数学问题
三、作业设计
必做题：P68第11、12题
选做题：P62第16题
课
后
反
思
本节课成功之处：
本节课需改进的地方：
教学
准备
白纸四张
教学过程
一、回顾旧知
1.如何折出一个角的角平分线？
2.怎样折出一条线段的垂直平分线？
二、课堂练习
活动一折纸做600，300，150的角
学生自学P64页的具体操作。
教师示范操作
活动一黄金矩形
学生自学P64页，了解黄金矩形在生活中的运用。
学生按P65的操作折出一个黄金矩形，教师巡回指导。
2.积累数学活动经验，体会探究问题的一般方法，同时渗透分类、转化、类比的数学思想
过程与方法：通过折纸图形培养学生动手操作的能力。
情感、态度与价值观：培养学生敢于发现、合作交流的精神和科学的学习态度。
教学
重点
探索折纸图形中边角及图形的一些关系。
教学
难点
折纸图形中较复杂的边角的关系。
教法
演示法
学法
动手操作法