(完整)高数下练习题
高数下册试题及答案
高数下册试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，求f'(x)。
A. 3x^2 - 3B. x^2 - 3xC. 3x^2 + 3D. 3x^2 - 3x答案：A2. 设函数f(x) = sin(x) + cos(x)，则f'(x)等于：A. cos(x) - sin(x)B. cos(x) + sin(x)C. -sin(x) - cos(x)D. -sin(x) + cos(x)答案：B3. 求极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B4. 若函数f(x) = e^x，则f'(x)等于：A. e^xB. e^(-x)C. x * e^xD. 1答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知曲线y = x^2 + 2x + 1，求该曲线在x = 1处的切线斜率。
答案：42. 设函数f(x) = ln(x)，则f'(x) = ________。
答案：1/x3. 求定积分∫(0,1) x^2 dx的值。
答案：1/34. 若函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 15，求f'(x)。
答案：3x^2 - 12x + 9三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的极值。
答案：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 12x + 11。
令f'(x) = 0，解得x = 1 和 x = 11/3。
计算f''(x) = 6x - 12，可以判断x = 1处为极大值点，x = 11/3处为极小值点。
极大值为f(1) = 0，极小值为f(11/3) = -2/27。
2. 计算定积分∫(0,2) (3x^2 - 2x + 1) dx。
答案：首先求原函数F(x) = x^3 - x^2 + x。
大学高数下册试题及答案
大学高数下册试题及答案《高等数学》测试题一一、选择题1．设有直线及平面，则直线A．平行于平面；B．在平面上；C．垂直于平面；D．与平面斜交. 2．二元函数在点处A．连续、偏导数存在； B．连续、偏导数不存在；C．不连续、偏导数存在；D．不连续、偏导数不存在. 3．设为连续函数，，则＝A．； B．；C．D．. 4．设是平面由，，所确定的三角形区域，则曲面积分＝A．7；B．；C．；D．. 5．微分方程的一个特解应具有形式A．；B．；C．；D．. 二、填空题1．设一平面经过原点及点，且与平面垂直，则此平面方程为；2．设，则＝；3．设为正向一周，则0 ；4．设圆柱面，与曲面在点相交，且它们的交角为，则正数； 5．设一阶线性非齐次微分方程有两个线性无关的解，若也是该方程的解，则应有 1 . 三、设由方程组确定了，是，的函数，求及与. 解：方程两边取全微分，则解出从而四、已知点及点，求函数在点处沿方向的方向导数. 解：，从而五、计算累次积分）. 解：依据上下限知，即分区域为作图可知，该区域也可以表示为从而六、计算，其中是由柱面及平面围成的区域. 解：先二后一比较方便，七．计算，其中是抛物面被平面所截下的有限部分. 解：由对称性从而八、计算，是点到点在上半平面上的任意逐段光滑曲线. 解：在上半平面上且连续，从而在上半平面上该曲线积分与路径无关，取九、计算，其中为半球面上侧. 解：补取下侧，则构成封闭曲面的外侧十、设二阶连续可导函数，适合，求．解：由已知即十一、求方程的通解. 解：解：对应齐次方程特征方程为非齐次项，与标准式比较得,对比特征根，推得，从而特解形式可设为代入方程得十二、在球面的第一卦限上求一点，使以为一个顶点、各面平行于坐标面的球内接长方体的表面积最小. 解：设点的坐标为，则问题即在求最小值。
令，则由推出，的坐标为附加题：1．判别级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？解：由于，该级数不会绝对收敛，显然该级数为交错级数且一般项的单调减少趋于零，从而该级数条件收敛2．求幂级数的收敛区间及和函数. 解：从而收敛区间为，3．将展成以为周期的傅立叶级数. 解：已知该函数为奇函数，周期延拓后可展开为正弦级数。
大学高等数学下考试题库(附答案)
大学高等数学下考试题库(附答案)一、填空题（每题2分，共20分）1. 设函数f(x)在区间I上单调递增，若a < b，则必有__________。
【答案】f(a) < f(b)2. 函数y = e^x在区间（-∞，+∞）上的最小值为__________。
【答案】03. 设函数f(x) = x^3 - 6x + 9，则f'(x) =__________。
【答案】3x^2 - 64. 设矩阵A = [a_{ij}]，则矩阵A的行列式det(A) = __________。
【答案】a_{11}a_{22}...a_{nn} -a_{11}a_{23}...a_{n2} + a_{12}a_{21}...a_{n3} - ... + (-1)^(n+1)a_{1n}a_{21}...a_{n1}5. 向量组α = (α1, α2, α3)和β = (β1, β2, β3)垂直的条件是__________。
【答案】α1β1 + α2β2 + α3β3 = 06. 设线性方程组Ax = b的解集为N，则N是__________。
【答案】向量空间7. 若函数f(x)在区间（a，b）上连续，且f(a) = f(b)，则函数f(x)在区间（a，b）上必有零点，此结论称为__________。
【答案】零点定理8. 设函数f(x)在区间I上单调递减，若a < b，则必有__________。
【答案】f(a) > f(b)9. 设函数f(x) = ln(x)，则f''(x) =__________。
【答案】1/x10. 设矩阵A = [a_{ij}]，则矩阵A的逆矩阵A^-1 = __________。
【答案】(1/det(A))[c_{ij}]，其中c_{ij} = (-1)^(i+j)det(A)/a_{ii}a_{jj}二、选择题（每题2分，共20分）1. 下列函数在区间（0，1）上单调递增的是__________。
高数下试题及答案解析
高数下试题及答案解析一、选择题（每题4分，共40分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的零点个数为（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C解析：函数f(x)=x^2-4x+3可以因式分解为f(x)=(x-1)(x-3)，因此有两个零点x=1和x=3。
2. 极限lim(x→0) (1+x)^(1/x)等于（）。
A. 0B. 1C. eD. -e答案：C解析：根据极限的定义，lim(x→0) (1+x)^(1/x)等于自然对数的底数e。
3. 函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=1处的导数为（）。
A. -1B. 0C. 1D. 2答案：C解析：首先求导数f'(x)=3x^2-6x，然后将x=1代入得到f'(1)=3(1)^2-6(1)=-3，因此答案为C。
4. 曲线y=x^2+2x-3在点(1,0)处的切线斜率为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B解析：首先求导数y'=2x+2，然后将x=1代入得到y'(1)=2(1)+2=4，因此答案为D。
5. 函数f(x)=sin(x)+cos(x)的周期为（）。
A. πB. 2πC. π/2D. 1答案：B解析：函数f(x)=sin(x)+cos(x)可以化简为f(x)=√2sin(x+π/4)，因此周期为2π。
6. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的单调增区间为（）。
A. (-∞, 1)∪(3, +∞)B. (1, 3)C. (-∞, 1)∪(3, +∞)D. (1, +∞)答案：B解析：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)>0，解得x<1或x>3，因此单调增区间为(1, 3)。
7. 函数f(x)=x^2-4x+3的极值点为（）。
A. x=1B. x=2C. x=3D. x=4答案：B解析：首先求导数f'(x)=2x-4，令f'(x)=0，解得x=2，因此极值点为x=2。
高数下试题及答案
高数下试题及答案一、选择题1. 道函数f(x)在x=2处连续，则f(x)满足的条件是（）A. f(2)=1B. f(2)=2C. f(2^+)=f(2^-)D. f(2^+)>f(2^-)2. 设函数f(x)=log₁₀x，则f(1000)等于（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 设函数f(x)=e^(-x), g(x)=x^2，则f(x)在[0,∞)上单调递（）。
A. 递增B. 递减C. 既增又减D. 既减又增4. H(x)为曲线y=x/(x+1)在点P(x,y)处的切线，若x的取值范围为(-∞,-1)，则k为正数满足H'(x)≤k，则k的取值范围是（）A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)5. 设f(x)为定义域为[x₁,x₂]的函数，若f'(x)>0，则函数f(x)在( )上单调递增。
A. (x₁,x₂)B. [x₁,x₂]C. (x₁,∞)D. (-∞,x₂)二、计算题1. 求一个点P(x,y)，使得点P到直线y=3x+7的距离最小，并求出最小距离。
2. 计算∫(x³+1)/x² dx3. 已知函数f(x)=e^x，求f'(x)4. 求函数f(x)=sin(3x)的不定积分5. 设函数y=f(x)满足方程y''+2y'+y=sin(x)，且满足初值条件y(0)=0，y'(0)=1，求f(x)的表达式。
三、解答题1. 证明函数f(x)=1/x 在区间(0,∞)上是严格递减的。
2. 求不定积分∫sin^2(x) dx3. 已知函数y=f(x)满足微分方程y''-4y'+4y=0，且满足初值条件y(0)=1，y'(0)=2，求f(x)的表达式。
4. 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0，证明至少存在一个点ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)+f(ξ)=0。
高等数学下册试题(题库)及参考答案
高等数学下册试题库一、选择题（每题4分，共20分）1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9…解 AB ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}，|AB |=5)1(20222=-++.2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ）A ）{-1,1,5}.B ） {-1,-1,5}.C ） {1,-1,5}.D ）{-1,-1,6}.解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}.3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k .—4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ）A ）2πB ）4π C ）3π D ）π 解 由公式（6-21）有21112)1(211)1(1221cos 2222222121=++⋅-++⨯-+⨯+⨯=⋅⋅=n n n n α，因此，所求夹角321arccos πα==．5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ． 【解 由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点，所以有⎩⎨⎧=+-=+020D B A D A解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的平面方程01=-+y x6．微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。
高等数学下册试题及答案解析
高等数学（下册）试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。
2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。
3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。
4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。
5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（ 。
6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为 。
7、方程04)4(=-y y的通解为 。
8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为 。
二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。
2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于（ ）（A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。
3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于（ ）（A ）4⎰⎰⎰202013cos sin ππϕϕϕθdr r d d ；（B ）⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ；（C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ202013cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ20013cos sin dr r d d 。
《高等数学(下)》试题及参考答案
《高等数学（下）》习题答案一、单选题1、向量、垂直，则条件：向量、的数量积是（B）A充分非必要条件B充分且必要条件C必要非充分条件D既非充分又非必要条件2、当x→0时，y=ln(1+x)与下列那个函数不是等价的（C）Ay=x By=sinx Cy=1-cosx Dy=e^x-13、如果在有界闭区域上连续，则在该域上（C）A只能取得一个最大值B只能取得一个最小值C至少存在一个最大值和最小值D至多存在一个最大值和一个最小值4、函数f(x)在点x0极限存在是函数在该点连续的（A）A必要条件 B充分条件 C充要条件 D无关条件5、向量与向量平行，则条件：其向量积是（B）A充分非必要条件B充分且必要条件 C必要非充分条件 D既非充分又非必要条件6、当x→0时,下列变量中（D）为无穷小量Aln∣x∣ Bsin1/x Ccotx De^(-1/x^2)7、为正项级数，设，则当时，级数（C）A发散 B收敛 C不定 D绝对收敛8、设f(x)=2^x-1，则当x→0时,f(x)是x的（D）。
A高阶无穷小 B低阶无穷小 C等价无穷小 D同阶但不等价无穷9、已知向量，，，求向量在轴上的投影及在轴上的分量（A）A27，51 B25，27 C25，51 D27，2510、函数f(x)在点x0极限存在是函数在该点连续的（A）A必要条件 B充分条件 C充要条件 D无关条件11、下面哪个是二次曲面中椭圆柱面的表达式（D）A B C D12、曲线y=x/(x+2)的渐进线为(D)Ax=-2 By=1 Cx=0 Dx=-2,y=113、向量、的夹角是，则向量、的数量积是（A）A BC D14、当x→0时,函数(x²-1)/(x-1)的极限 (D)A等于2 B等于0 C为∞ D不存在但不为∞15、平面上的一个方向向量，平面上的一个方向向量，若与垂直，则（C）A BC D16、设φ(x)=(1-x)/(1+x)，ψ(x)=1-³√x则当x→0时（D）Aφ与ψ为等价无穷小 Bφ是比ψ为较高阶的无穷小Cφ是比ψ为较低阶的无穷小 Dφ与ψ是同价无穷小17、在面上求一个垂直于向量，且与等长的向量（D）A B C D18、当x→0时，1/（ax²+bx+c）～1/(x+1)，则a,b,c一定为（B）Aa=b=c=1 Ba=0,b=1,c为任意常数 Ca=0,b,c为任意常数 Da,b,c为任意常数19、对于复合函数有，，则（B）A B C D20、y=1/(a^2+x^2)在区间[-a,a]上应用罗尔定理, 结论中的点ξ=(B).A0 B2 C3/2 D321、设是矩形：，则（A）A B C D22、对于函数的每一个驻点，令，，，若，，则函数（A）A有极大值 B有极小值 C没有极值 D不定23、若无穷级数收敛，且收敛，则称称无穷级数（D）A发散 B收敛 C条件收敛 D绝对收敛24、交错级数，满足，且，则级数（B）A发散 B收敛 C不定 D绝对收敛25、若无穷级数收敛，而发散，则称称无穷级数（C）A发散B收敛 C条件收敛 D绝对收敛26、微分方程的通解是（B）A B C D27、改变常数项无穷级数中的有限项，级数的敛散性将会（B）A受到影响 B不受影响 C变为收敛 D变为发散28、设直线与平面平行，则等于（A）A2 B6 C8 D1029、曲线的方向角、与，则函数关于的方向导数（D）A BC D30、常数项级数收敛，则（B）A发散 B收敛 C条件收敛 D绝对收敛31、为正项级数，若存在正整数，当时，，而收敛，则（B）A发散 B收敛 C条件收敛 D绝对收敛32、下面哪个是二次曲面中椭圆抛物面的表达式（A）A B C D33、已知向量垂直于向量和，且满足于，求（B）A B C D34、平面上的一个方向向量，直线上的一个方向向量，若与垂直，则（B）A B C D35、下面哪个是二次曲面中双曲柱面的表达式（C）A B C D36、若为无穷级数的次部分和，且存在，则称（B）A发散 B收敛 C条件收敛 D绝对收敛37、已知向量两两相互垂直，且求（C）A1 B2 C4 D838、曲线y=e^x-e^(-x)的凹区间是(B)A(-∞,0) B(0,+∞) C(-∞,1) D(-∞,+∞)39、下面哪个是二次曲面中双曲抛物面的表达式（B）A B C D40、向量与轴与轴构成等角，与轴夹角是前者的2倍，下面哪一个代表的是的方向（C）A BC D41、下面哪个是二次曲面中单叶双曲面的表达式（A）A BC D42、函数y=3x^2-x^3在区间[1,3]上的最大值为（A）A4 B0 C1 D343、曲线y=lnx在点（A）处的切线平行于直线y=2x-3A(1/2,-1n2) B(1/2,-ln1/2) C(2,ln2) D(2,-ln2)44、若f(x)在x=x0处可导，则∣f(x)∣在x=x0处（C）A可导 B不可导 C连续但未必可导 D不连续45、y=√x-1 在区间[1, 4]上应用拉格朗日定理, 结论中的点ξ=(C).A0 B2 C44078 D346、arcsinx+arccos=(D)A∏ B2∏ C∏/4 D∏/247、函数y=ln(1+x^2)在区间[-1,2]上的最大值为（D）A4 B0 C1 Dln548、函数y=x+√x在区间[0,4]上的最小值为（B）A4 B0 C1 D349、当x→1时，函数(x²-1)/(x-1)*e^[(1/x-1)]的极限 (D)A等于2 B等于0 C为∞ D不存在但不为∞50、函数y=3x^2-x^3在区间[1,3]上的最大值为（A）A4 B0 C1 D3二、判断题1、由及所确定的立体的体积（对）2、y=∣x∣在x=0处不可导（对）3、设，，，且，则（错）4、对于函数f(x)，若f′(x0)=0，则x0是极值点（错）5、二元函数的极小值点是（对）6、若函数f(x)在x0处极限存在，则f(x)在x0处连续（错）7、设是由轴、轴及直线所围城的区域，则的面积为（错）8、函数f(x)在[a,b]在内连续，且f(a)和f(b)异号，则f(x)=0在(a,b)内至少有一个实数根（对）9、若积分区域是，则（对）10、下列平面中过点（1,1,1）的平面是ｘ＝1（对）11、设，其中，，则（对）12、若函数f(x)在x0的左、右极限都存在但不相等，则x0为f(x)的第一类间断点（对）13、函数的定义域是（对）14、对于函数f(x)，若f′(x0)=0，则x0是极值点（错）15、二元函数的两个驻点是，（对）16、y=ln(1-x)/(1+x)是奇函数（对）17、设表示域：，则（错）18、若函数f(x)在x0处连续，则f(x)在x0处极限存在（对）19、设是曲线与所围成，则（对）20、有限个无穷小的和仍然是无穷小（对）21、设，则（错）22、函数在一点的导数就是在一点的微分（错）23、函数在间断（对）24、罗尔中值定理中的条件是充分的，但非必要条件（对）25、设不全为0的实数使，则三个向量共面（对）26、函数z=xsiny在点（1，∏/4）处的两个偏导数分别为1,1（错）27、微分方程的一个特解应具有的形式是（对）28、设圆心在原点，半径为R，面密度为a=x²+y²的薄板的质量为RA（面积A=∏R²）（错）29、函数的定义域是整个平面（对）30、1/(2+x)的麦克劳林级数是2（错）31、微分方程的通解为（错）32、等比数列的极限一定存在（错）33、设区域，则在极坐标系下（对）34、函数极限是数列极限的特殊情况（错）35、,,则（对）36、sin10^0的近似值为017365（对）37、二元函数的极大值点是（对）38、定义函数极限的前提是该函数需要在定义处的邻域内有意义（对）39、将在直角坐标下的三次积分化为在球坐标下的三次积分，则（对）40、微分是函数增量与自变量增量的比值的极限（错）41、方程x=cos在（0，∏/2）内至少有一实根（错）42、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为1,2（错）43、f〞(x)=0对应的点不一定是曲线的拐点（对）44、求曲线x=t,y=t2,z=t3在点（1，1，1）处的法平面方程为（x-1）+2(y-1)+3(z-1)=0（对）45、1/x的极限为0（错）46、y=e^(-x^2) 在区间(-∞,0)(1,∞)内分别是单调增加，单调增加（错）47、导数和微分没有任何联系，完全是两个不同的概念（错）48、有限个无穷小的和仍然是无穷小（对）49、求导数与求微分是一样的，所以两者可以相互转化（对）50、在空间直角坐标系中，方程x²+y²=2表示圆柱面（对）。
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练习题： 一、填空1、设)(32xy xy z ϕ+=，其中有ϕ连续导数，求y zxy x z x ∂∂-∂∂2= . 答案：2y -2、求由曲线⎩⎨⎧==+0122322z y x 绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点)2,3,0(处的指向外侧的单位法向量是 。
答案：)3,2,0(513.已知级数∑∞=1n nu的前n 项部分和()Λ,2,1,13=+=n n nS n ,则此级数的通项n u = . 答案：()13+=n n u n4、L:沿椭圆12222=+b y a x 逆时针方向绕一周，计算⎰--+Ldy y x dx y x )4()23(= 。
答案： ab π3-5、 设f(x)是以π2为周期的周期函数，它在区间],[ππ-上定义为⎩⎨⎧≤<-≤<=0,00,)(x x e x f x ππ，则f(x)的付里叶级数在π=x 收敛于________2πe _______6、设222z y x r ++=，则计算r grad 1= 答案：)(113k z j y i x rr grad ρρρ++-=7、确定常数m,使⎰⎰=+Ddxdy y x m 2)cos(，其中D 是由直线2,2,π===x x y x y 所围成的区域，则m= 。
答案 m=-3 8. 微分方程0152=-'+''y y y 的通解是x xe C e C y 25231+=-二、选择 1、曲面22y x z +=包含在圆柱x y x 222=+内部的那部分面积S=( B )(A) π3 (B) π2 (C) π5 (D) π222、 ⎩⎨⎧=++=++10222z y x z y x 则dz dx=（ B ）(A )z y z x --； (B )y x z y --; (C )z x z x 24421+--; (D) zx yx -- 3、设f(x,y)连续，⎰⎰⎰⎰-+121202),(),(x xdy y x f dx y x f dx =（ D ）(A) ⎰⎰-222),(yy dx y x f dy (B)⎰⎰-12),(yy dx y x f dy (C)⎰⎰⎰⎰-+12120),(),(yydx y x f dy dx y x f dy (D)⎰⎰-12),(y ydx y x f dy4、设)()(y x y x z -++=ϕφ，则必有（ B ）a) 0=+yy xx z z ; b) 0=-yy xx z z ; c) 0=xy z ; d) 0=+xy xx z z 5、若L 是以)0,0(O ，)0,1(A 和)1,0(B 三点为顶点的三角形的边界，则⎰+Lds y x )(的值等于(C)（A ）21-（B ）221+（C ）21+（D ）2 6、若区域D 由x y x 222=+所围成，则 )()(22=++⎰⎰dxdy y x y x D。
（A ）dxdy x y x D⎰⎰+2)( （B ）⎰⎰+-10112),(yy dx y x f dy（C ）dr r d ⎰⎰+θπθθθcos 2032)sin (cos 2（D ）⎰⎰-+22cos 203)sin (cos ππθθθθdr r d7、设)(x f 有连续的一阶导数，则⎰=+++)2,1()0,0()()()(dy y x f dx y x f（A ）0 （B ）⎰3)(dx x f （C ）dx x f ⎰1)( （D ）)1()3(f f -8、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)sin(),(2xy xy xyy x y x f ，则)()1,0(=x f （A ）0 （B ）2 （C ）不存在 （D ）1 三.1、计算dx edyyx ⎰⎰11022、设),(y x y x yf z -+=，f 具有二阶连续偏导数，求y z∂∂及xy z ∂∂∂2答案：()21f f y f yz-+=∂∂ ()22211211212f f f f y f f xy z--+++=∂∂∂()221121f f y f f -++=3、 求球面03222=-++x z y x 与平面04532=-+-z y x 的交线在点（1，1，1）处的切线及法平面的方程。
答案: 切线方程为,1191161--=-=-z y x 法平面方程为024916=--+z y x 4、求曲面32=+-xy e z z在点)0,2,1(处的切平面与法线方程。
答案：42=+y x ，1221-=-=-z y x 5、设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分，计算曲线积分⎰-Lydx xdy 2答案：23π6、设)10(:22≤≤+=∑z y x z 的下侧，求⎰⎰∑-++dxdy z ydxdz xdydz )1(32答案：π27、求()⎰⎰∑+ds z xy 2，其中∑为半球面228y x z --=位于圆柱面422=+y x 内的部分。
答案：()1223128-π8、计算⎰⎰∑γ,ds cos z2其中∑是上半平面：01222>=++z ,z y x ；γ是球面∑的法线与z 轴正向夹成的锐角。
答案：2π 9、求幂级数n x n n n n ∑∞=-+1)2(31的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性. 答案: 收敛域[-3，3）；10、设0>x ，求微分方程()0622=-+dy x y ydx 通解. 答案：通解为322Cy y x += 11.求微分方程y y y y y '='-''22的通解。
答案：)( 1121C y e C e C y xC x C =-=包含12、求⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0,00,1sin )(),(22222222y x y x yx y x y x f 的偏导数，并讨论在点(0,0)处偏导数的连续性。
答案：不连续 13、已知曲面方程为)0,0,0(1>>>=z y x xyz 在曲面上求一点，使其到原点的距离最短并求出最短距离。
答案：（1,1,1）最短距离：3 14、设),()2(xy x g y x f z +-=，其中)(t f 二阶可导，),(v u g 具有二阶连续偏导，求yx z∂∂∂2。
解：2221221)2(2,)2(2g g xy g x y x f z g y g y x f z xy x '+''+''+-''-='+'+-'=。
15．设n ρ是曲面42222=++z y x 在点M(1,1,1)处的外法线向量，求函数32z xy u =在点M 沿方向n ρ的方向导数，并求方向导数的最大值。
解:68}1,2,1{}3,2,1{61},,{},1,2,1{61},2,4,2{}2,4,2{00=⋅=⋅∂∂∂∂∂∂=∂∂===n z u y u x u n u n z y x n M M ρρϖ, 方向导数的最大值为:14=M gradu . 16． 设)(22y z y z x ϕ=+,求yz∂∂.解 )(2,)()(),(),,(22y zz F y z y z y z F y z y z x z y x F z y ϕϕϕϕ'-='+-=-+=，)(2)()(xzz yzx z yz F F y zzy ϕϕϕ'-'-=-=∂∂ 17、设4:222=++z y x S ，计算dS y x S)(22⎰⎰+。
答案：3128π18、验证dy ye y x x dx xy y x y)128()83(2322++++是某个函数),(y x u 的全微分，并求),(y x u 。
答案：)1(124),(223+-++=yy e ye y x y x y x u 19、计算曲线积分⎰++-Ly dy x e dx y )()22(2，其中L 是从点O(0,0)到点A(1,0)的上半圆周x y x =+22。
20、设物体占空间区域Ω，Ω是由曲面224y x z --=，22y x z +=围成，试分别用直角坐标、柱面坐标、球面坐标将三重积分⎰⎰⎰Ω=dv z y x f I ),,(化为三次积分。
21设)(x f 可微，1)0(=f ，曲线积分dy x x f dx x f x xy I L ]2)([)(122-++=⎰与路径无关。
（1）试求)(x f ;（2）计算dy x x f dx x f x xy I y x ]2)([)(12),()0,0(2-++=⎰的值。
22、判别级数()[]∑∞=-+11231n nn n 的敛散性。
答案：收敛23、证明⎪⎩⎪⎨⎧==≠++==0,00,),(2222y x y x y x xy y x f z 在点(0,0)连续、偏导数存在，但不可微。
24、设曲面h z z y x ≤≤=+∑0,:222. γβαcos ,cos ,cos 是∑的外法线方向余弦，求⎰⎰∑++=ds z y x I )cos cos cos (222γβα 答案：421h π-25、设正向数列{n a }单调减少，且∑+∞=-1)1(n n na 发散，证明级数∑+∞=+1)11(n nn a 收敛 证：由}{n a 单调递减有下界（非负），故极限存在 a a n n =∞→lim则有0>≥a a n （0≠a 否则与∑∞=-1)1(n n na 发散矛盾）≤+∑∞=1)11(n nna ∑∞=+1)11(n n a ， 111<+a由等比级数收敛，由比较判别法原级数收敛。
26、求幂级数∑∞=+11n n x n n在其收敛域1<x 内的和函数()x s 。
答案：()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-∈-+-=000111111x ,,x ,,x ,x ln x x x s 27.函数x y cos =展开成 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πx 的幂级数。
28. 计算三重积分⎰⎰⎰Ωzdv ,其中Ω为曲面222y x z --=及22y x z +=所围成的闭区域. 答案：127π29、求级数∑∞=++⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛+21)1ln(ln )1(11ln n n n nn n n n 的和。
答案： 2ln 21lim ==∞→n n s s 30、求二元函数223),(xy y x xy y x f --=的极值.答案： 驻点: ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==11,30,03,00y x y x y x y x )1,1(是极值点，()11,1=f 是极大值. 31、求微分方程02sin =+'+''x y y 满足初始条件1,1='===ππx x y y 的特解。