(完整)高数下练习题

练习题： 一、填空

1、设)(32xy x

y z ϕ+=

，其中有ϕ连续导数，求y z

xy x z x ∂∂-∂∂2= . 答案：2

y -

2、求由曲线⎩

⎨⎧==+012

2322z y x 绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点)2,3,0(处的指向外侧

的单位法向量是 。 答案：

)3,2,0(5

1

3.已知级数

∑∞

=1

n n

u

的前n 项部分和()Λ,2,1,1

3=+=

n n n

S n ,则此级数的通项n u = . 答案：()

13

+=

n n u n

4、L:沿椭圆122

22=+b y a x 逆时针方向绕一周，计算⎰--+L

dy y x dx y x )4()23(= 。

答案： ab π3-

5、 设f(x)是以π2为周期的周期函数，它在区间],[ππ-上定义为⎩⎨⎧≤<-≤<=0

,00,)(x x e x f x ππ

，

则f(x)的付里叶级数在π=x 收敛于________2

π

e _______

6、设2

2

2

z y x r ++=，则计算r grad 1= 答案：)(113k z j y i x r

r grad ρ

ρρ++-=

7、确定常数m,使

⎰⎰=+D

dxdy y x m 2)cos(，其中D 是由直线2

,2,π

=

==x x y x y 所围成

的区域，则m= 。 答案 m=-3 8. 微分方程0152=-'+''y y y 的通解是x x

e C e C y 2

5

231+=-

二、选择 1、曲面22y x z +=包含在圆柱x y x 222=+内部的那部分面积S=( B )

(A) π3 (B) π2 (C) π5 (D) π22

2、 ⎩⎨

⎧=++=++1

02

22z y x z y x 则dz dx

=（ B ）

(A )

z y z x --； (B )y x z y --; (C )z x z x 24421+--; (D) z

x y

x -- 3、设f(x,y)连续，

⎰⎰

⎰⎰

-+1

21

20

2

),(),(x x

dy y x f dx y x f dx =（ D ）

(A) ⎰

⎰-2

22),(y

y dx y x f dy (B)

⎰

⎰

-1

2),(y

y dx y x f dy (C)

⎰⎰

⎰⎰

-+1

21

20

),(),(y

y

dx y x f dy dx y x f dy (D)

⎰⎰

-1

2),(y y

dx y x f dy

4、设)()(y x y x z -++=ϕφ，则必有（ B ）

a) 0=+yy xx z z ; b) 0=-yy xx z z ; c) 0=xy z ; d) 0=+xy xx z z 5、若L 是以)0,0(O ，)0,1(A 和)1,0(B 三点为顶点的三角形的边界，则⎰+L

ds y x )(的值等

于(C)

（A ）21-（B ）

22

1

+（C ）21+（D ）2 6、若区域D 由x y x 22

2

=+所围成，则 )()(22=++⎰⎰

dxdy y x y x D

。

（A ）

dxdy x y x D

⎰⎰

+2)( （B ）

⎰⎰

+-10

112

),(y

y dx y x f dy

（C ）dr r d ⎰

⎰

+θ

π

θ

θθcos 20

3

2

)sin (cos 2

（D ）

⎰

⎰

-

+2

2

cos 20

3)sin (cos π

π

θ

θ

θθdr r d

7、设)(x f 有连续的一阶导数，则⎰

=+++)

2,1()

0,0()()()(dy y x f dx y x f

（A ）0 （B ）

⎰3

)(dx x f （C ）dx x f ⎰1

)( （D ）)1()3(f f -

8、设⎪⎩

⎪⎨⎧=≠=0,00

,)sin(),(2xy xy xy

y x y x f ，则)()1,0(=x f （A ）0 （B ）2 （C ）不存在 （D ）1 三.1、计算dx e

dy

y

x ⎰⎰1

10

2

2、设),(y x y x yf z -+=，f 具有二阶连续偏导数，求y z

∂∂及x

y z ∂∂∂2

答案：

()21f f y f y

z

-+=∂∂ ()22211211212f f f f y f f x

y z

--+++=∂∂∂()221121f f y f f -++=