复变函数与积分变换期末试题 同济大学13-14 二A
复变函数与积分变换期末考试试卷A及答案
复变函数与积分变换期末试题（A ）答案及评分标准复变函数与积分变换期末试题（A ）一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是（Λ2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2.)1(i Ln +-的主值是（i 432ln 21π+ ）；3. 211)(z z f +=，=)0()5(f（ 0 ）；4．0=z 是 4sin z z z -的（一级）极点；5． z z f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1）； 二．选择题（每小题3分，共计15分）1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ B ）；（A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ D ），则0d )(=⎰Cz z f ．（A ）23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z .3．如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛，则级数在（ C ）（A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z+=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( B )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析， 则0)(=⎰Cdz z f（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ D ）．(A) 的可去奇点；为z1sin ∞ (B) 的本性奇点；为z sin ∞(C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞ (D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）（1）设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a（2）．计算⎰-Czz z z e d )1(2其中C 是正向圆周：2=z ； （3）计算⎰=++3342215d )2()1(z z z z z（4）函数3232)(sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点，如果有极点，请指出它的级. 四、（本题14分）将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数； （1）110<-<z ，（2）10<<z ，（3）∞<<z 1五．（本题10分）用Laplace 变换求解常微分方程定解问题⎩⎨⎧='==+'-''-1)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x六、（本题6分）求)()(0>=-ββtet f 的傅立叶变换，并由此证明：te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xvy u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
复变函数与积分变换试题及答案14
复变函数与积分变换试题与答案一、单项选择题（每题4分，共16分）1、当 ()z f 为下面（ ）项时，⎰=≠2|z |0dz )z (f ： A 、 e z cosz B 、21)-z (1 C 、 1z 1- D 、π-z 1 2、点 z =21 关于单位圆 | z | = 1 的对称点是（ ） A 、 1 + i B 、2 C 、 2 i D 、 －23、下列各项中o 正o确的是（ ）A 、| sin z | ≤1B 、 Ln z 2 = 2 Ln zC 、f(z)= e z 的周期是2πiD 、arg z 1z 2 = arg z 1 + arg z 2 4、若z 0是f (z) 的m 阶极点，下列说法o 错o误的是（ ）A 、z 0是)z (f 1的m 阶零点 B 、)z (f lim o z z →存在 C 、f(z) 在z 0不解析 D 、)z (f lim oz z →= ∞ 二、计算题（每题6分，共30分）1、设 z =i1i 3+ 求 | z | 、 arg z 和 z3、求 Ln （1－ i ） 及其主值 ln （1－ i ）2、求 ⎰cz dz 其中 c: z = 0 到 z = 2 + i 的直线段4、设 z = 2 + 2 i ,写出z 的指数表达式，并计算 ( 2 + 2 i )45、求在映射f (z) = z 2 +3z 下，过点z =2i 的光滑曲线C 在该点的转角和伸缩率三、解答题（每题7分，共35分）1、求方程 z 3 － 8 i = 0 的全部三个根1、f (z ) = 2 x 3+3 y 3i 在何处可导? 何处解析？ 如果可导，求出f '(z).3、求dz )4z )(1z (z e 2|z |2z ⎰=-- （ C 为正向）4、将 f(z) =2)1z )(z 2(1-- 在 0< |z －1| <1 上展开成罗朗级数。
（幂为(z －1）)5、指出 f(z) =6zsinz z - 在有限复平面上的孤立奇点及类型，并求奇点处的留数四、 解答题（1、2题6分，3题7分共19分）1、求将上半平面 Im z > 0 保形映照到单位圆 | w | < 1内， 且满足 f ( 2 i )= 0，arg ) i 2(f ' =2π 的分式线性映照。
最新复变函数与积分变换期末考试试卷(A卷)
复变函数与积分变换期末考试试卷（A 卷）一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．下列复数中，位于第四象限的复数是（ ）A. 4+3iB. -3-3iC.-1+3iD.5-3i 2．下列等式中，不成立的等式是（ ） A. z·z =Re (z·z ).arg(3)arg()B i i -=- .rg(3)arg(3)C A =2.||D z z z ⋅=3．不等式 ||3z > 所表示的区域为（ ） A. 圆的外部B.上半平面C. 角形区域D.圆的内部4．积分||322z dz z =-⎰的值为（ ）A. 8i πB.2C. 2i πD. 4i π 5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ）.z A z e +.sin z B z e + .tan z C z e + .R e ()s i n D z z+6．在复平面上，下列命题中，错误．．的是（ ）A. cosz 是周期函数B. ze 是解析函数.cos sin iz C e z i z =+.||D z =7．在下列复数中，使得ze =成立的是（ ）.ln 224iA z i ππ=++.ln 424iB z i ππ=++.ln 22C z i π=+.l n 42D z iπ=+ 8．设C 为正向圆周1||=z , 则积分 cos z c e dzz⎰等于（ ）A ．2πB ．2πiC ．0D ．－2π 9．设C 为正向圆周||2z =, 则21(1)C dz z i --⎰等于（ ）A.i21π B. 0 C.i 2πD.2i π-10．以下关于级数的命题不正确的是（ ）A.级数0327nn i ∞=+⎛⎫⎪⎝⎭∑是绝对收敛的B.级数212(1)n n in n ∞=⎛⎫+ ⎪-⎝⎭∑是收敛的 C.级数01(1)2n n n i n ∞=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∑是收敛的D.级数212n n i n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑是收敛的11．已知31z i =+，则下列正确的是（ ）12.iA z π=34.iB z eπ=712.i C z π=3.iD z π=12．下列关于幂级数的叙述，不正确 的是（ ） A.在收敛圆内，幂级数绝对收敛 B.在收敛圆外，幂级数发散 C.在收敛圆周上，可能收敛，也可能发散 D.在收敛圆周上，条件收敛13．0=z 是函数sin z e z z的（ ）A.本性奇点B.一级极点C.二级极点D.可去奇点14．cos z zz π-在点 z π= 处的留数为（ ） A. π-.B πC.1D. -115．关于0Im lim z zzω→=下列命题正确的是（ ）A.0ω=B. ω不存在C.1ω=-D.1ω=二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）16.sincos 33z i ππ=+复数的三角形式为____________. 17. 已知22()()()f z x ay x i bxy y =++++在复平面上可导，则a b +=_________. 18. 设函数)(z f =3zt te dt ⎰，则)(z f 等于____________.19. 幂极数n n2n 1(-1)z n∞=∑的收敛半径为_______.20.设121,1z i z =-+=，求12z z ⎛⎫=⎪⎝⎭____________.三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分） 21．设C 为从原点到2＋3i 的直线段，计算积分[(2)]CI x y ixy dz =-+⎰22. 设2()cos 4ze f z z z=+-. (1)求)(z f 的解析区域，（2）求).(z f '23. 将函数1()(1)(2)f z z z =--在点0=z 处展开为泰勒级数.24. 将函数112()(1)z ef z z -=-在圆环0|1|z <-<∞内展开成洛朗级数.四、综合题（共4小题，每题8分，共32分）25．已知22(,)2u x y x y x =-+，求一解析函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+，并使(0)2f i =。
(完整版),复变函数与积分变换期末考试题及答案,推荐文档
1． z0 为函数 f z 的 m 阶零点；
2． z0 为函数 f z 的 m 阶极点；
求
Res
z
f f
z z
,
z0
。
ez2
六．（15 分）写出函数
的幂级数展开式至含项为止，并指出其收敛范围。
cos z
七．（10 分）求函数 f t 1 tu t 3 t sin 2t 傅氏变换。
四、填空题（15 分，每空 3 分）
1． ln 2 i 。2． i 。3． 2 z 3 3 。4． 半平面 Re w 1 R。5．0。
4
2
三．(10 分)解:容易验证 u 是全平面的调和函数。利用 C-R 条件，先求出 v 的两个偏导数。
v u 2 y x, v u 2x y
江西科技师范学院卷（B）
2007--2008 学年第二学期
时间 110 分钟
复变函数与积分变换 课程 40 学时 2.5 学分 考试形式：闭卷
专业年级：电子科学与技术 总分 100 分，占总评成绩 70 %
注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上
三、单项选择题（15 分，每小题 3 分）
1．A。2． B 。3． A。4． C。5．C。
z
z
z0
z
z0
n z0
n!
z
z0
n
(1)z0为f的阶z 零m点等价于在的一个z0邻域内
f z z z0 m z
其中在点z 解析, z0
于z是在0,的去心领z0 域
z
f f
z z
m z
z z0
z
z z
m z0
z z0
m
n1
m zz
复变函数与积分变换期末考试试题
复变函数与积分变换期末考试试题一、填空题（满分30分）（1）方程的全部解为。
（2）平面上的直线（为实常数）在映射下的原像为。
（3）设在右半平面是解析函数，则常数。
（4）设是从点到原点的有向直线段，则积分。
（5）设，其中为的正向，则，则= 。
（6）设的泰勒级数为，则其收敛半径为。
（7）函数在处的Taylor级数为。
（8）设，则Res。
（9）设为单位阶跃函数，则。
（10）设，则= 。
二、（本题满分10分）已知调和函数，试求其共轭调和函数，使得为解析函数。
三、（本题满分12分）将函数分别在下列圆环域：（1）；（2）内展开成罗朗级数。
四、（本题满分18分）计算下列积分（1），其中为的正向；（2），其中；（3），其中为的正向。
五、（本题满分10分）求将上半平面映射成圆，且满足的分式线性映射。
六、（本题满分10分）（1）计算；（2）若，为非零常数，证明：。
七、（本题满分10分）用积分变换求方程满足初始条件的解。
参考答案一、（1）；（2）；（3）；（4）；（5）当时，；当时，；（6）1；（7）；（8）；（9）；（10）.二、，由方程，.所以，又，所以，三、（1）在内，（2）在内四、是在内部的一级极点，是在内部的二级极点.ResRes原积分（2）是在内部的一级极点.Res（3）在上半平面内有一级极点，故有Res=，因此。
五、由条件知所求映射将上半平面内的点映射成圆的圆心，所以因为，所以，得.所求映射为.六、（1）已知由位移性质，由象函数的积分性质，由积分性质，（2）。
当时，当时，所以结论成立。
七、令.方程两边取Laplace变换，即解得。
《复变函数与积分变换》期末考试试卷含答案
一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）； 2.)1(i Ln +-的主值是（ i 432ln 21π+ ）； 3. 211)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ）， 4．0=z 是 4sin zzz -的（ 一级 ）极点； 5．zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）；二．选择题（每题4分，共24分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（B ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ D ），则0d )(=⎰Cz z f ． （A ）23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z .3．如果级数∑∞=1n n nz c 在2=z 点收敛，则级数在（C ）（A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( B )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰Cdz z f（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ D ）．的可去奇点；为、z A 1sin )(∞的本性奇点；为、z B sin )(∞.sin )(的孤立奇点为、z C 11∞的孤立奇点；为、z D sin )(1∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分） （1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xvy u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案[1](可打印
------14 分
1i
1．
的幅角是（
2k , k 0 1,2,L
）；
2
4
2. Ln(1 i) 的主值是（ 1 ln 2 i
z
ez 1)
2
z0
2i
无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。
z15
（3）．
dz
z 3 (1 z 2 )2 (2 z 4 )3
共 6 页第 2 页
3/8
解：设 f (z) 在有限复平面内所有奇点均在： z 3 内，由留数定理
z15
dz 2i Re s[ f (z), ]
z 3 (1 z 2 )2 (2 z 4 )3
， Re
s[
f
( z ), ]
（-1
）；
二．选择题（每题 4 分，共 24 分）
1．解析函数 f (z) u(x, y) iv(x, y) 的导函数为（B ）；
（A） f (z) u x iu y ； （B） f (z) u x iu y ； （C） f (z) u x iv y ； （D） f (z) u y ivx .
（D）函数 f (z) u(x, y) iv(x, y) 在区域内解析的充分必要条件是 u(x, y) 、
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v(x, y) 在该区域内均为调和函数．
5．下列结论不正确的是（ D
( A)、
、
sin
1、、、、、、 z
）．
(B)、 、 sin z、、、、、、
(C )、 、 1 、、、、、 1
2．C 是正向圆周 z 3 ，如果函数 f (z) （ D ），则 f (z)dz 0 ． C
3
复变函数与积分变换期末试题附有答案
复变函数与积分变换期末试题附有答案Last revision on 21 December 2020复变函数与积分变换期末试题一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -2.)1(i Ln +-的主值是（）；3. 211)(z z f +=，=)0()5(f（ 0 ），4．0=z 是4sin z z z -的（ 一级 ）极点；5． zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）；二．选择题（每题3分，共15分）1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）；（A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=⎰Cz z f ．（A ）23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ；3．如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛，则级数在（A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z+=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ ）．(A) 的可去奇点；为z1sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞(C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
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同济大学课程考核试卷（A卷）
2013—2014学年第二学期
命题教师签名：审核教师签名：
课号：122144课名：复变函数与积分变换考试考查：考试
此卷选为：期中考试( )、期终考试(√)、重考( )试卷
（注意：本试卷共六大题，三大张，满分100分．考试时间为120分钟。
要求写出解题过程，否则不予计分）
1. (24%) 定义双曲函数sinh z=1
2e z−e−z，cosh z=1
2
e z+e−z
(1)(8%)计算它们的导数（要求仍用双曲函数表示）。
(2)(8%)这两个函数是否有零点？说明理由。
(3) (8%)求出cosh z
sinh z 在扩充复平面上一切孤立奇点的类型
2.(16%)设f(z)为解析函数。
(1)(4%) 以下哪个函数可能是f(z)的实部？
A. x2+y2
B. x2y2
C. 1
x2+y2+1
D. x2−y2
(2)(6%)在第（1）题基础上，进一步要求f1=1，求f z。
(3)(6%) 求积分
f z dz
C
这里C为连接(0,0)和(2,0)的半圆弧。
3. (24%)设f z=sin z
1−z
(1) (8%) 求f(z)在0点的Taylor展开式中前三个非零项。
(2) (8%)求f(z)在1点的Laurent展开式中前三个非零项。
(3) (8%)求积分
dz
f(z)
z=14.(1) (8%)求积分
dθ
2π
(2) (8%)求函数
f x=
1−|x|−1<x<1
0x为其他值的Fourier变换。
5. (10%) 求解微分方程初值问题
x′′t+4x t=e t,x0=0,x′0=0.6.(10%) 证明：对任何一条给定的落在单位圆内部，且与单位圆正交的圆弧，必定存在一个由单位圆盘到其自身的分式线性变换，将该圆弧变为区间[-1,1]。