【免费下载】同济大学复变函数
复变函数课件
Ln(z)nnLn(z);Ln(nz)1 nLn(z).
作业！
w L n z 在 除 原 点 及 正 实 轴 外 均 解 析 且 ( L n z ) ' 1 / z .
3.举例 例 2.计算ln(4).
2021/6/16
9( z ) e i z e i z ,c o s ( z ) e i z e i z ,t a n ( z ) s i n z ,c o t ( z ) c o s z .
2.性质 ( 1 ) e z e x i y e x e i y | e z | e x , A r g e z y 2 k , k 0 , 1 ,.
(2 )e z 1e z 2 e z 1 z 2 ,e z 1/e z 2 e z 1 z 2 . (3) limez 不.
.
2021/6/16
26
t-域
Matlab code
1
0.8
syms t,w;figure(1);
0.6
ezplot((sin(t))./t,[-50,50]); 0.4
f(t)=sin(t)/t
Fw=fourier((sin(t))./(t),w);0.2
figure(2);
0
ezplot(Fw,[-5,5])
(4)p， 其 中 p,q互 质 且 q0,则
q
函数图像
zq peq pL nzeq pln|z|iq p(argz2k)eq pln|z|{cos[p(argz2k)]isin[p(argz2k)]},
q
q
p
当 k 0 ,1 , ,q 1 时 ,z q 共 有 q 个 不 同 取 值 q 值 .
东南大学数学系(第三版)
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(华东师范大学出版社)习题答案【khdaw】/viewthread.php?tid=89&fromuid=372026《大学日语》汉译日标准答案【khdaw】/viewthread.php?tid=2954&fromuid=372026俄语模拟真题下载【khdaw】/viewthread.php?tid=859&fromuid=372026。
同济大学高数09-16B(下)期末考试题
同济大学2009-2010学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空题(4'832'⨯=)1. 曲面2222321x y z ++=在点(1,2,2)-处的法线方程为122146x y z --+==-.2. 函数2ln(2)z x y =+在点(1,2)处沿方向(1,2)l =-的方向导数为25.3. 设(,,)f x y z 为连续函数,则三次积分2222120(,,)x y x y dx f x y z dz --+⎰⎰的柱面坐标积分形式为221220(cos ,sin ,)d d f z dzπρρθρρρθρθ-⎰⎰⎰.4. 设函数()f x 具有一阶连续函数,且(0)1f =,若曲线积分222()(())Lxy y dx yf x y dy +++⎰在整个平面上与路径无关, 则2()21f x x x =++.5. 曲面积分(4)32xz dS π∑+=⎰⎰, 其中222:4,0x y z z ∑++=≥6. 设函数222ln()u x y z =++, 则(1,1,1)2div(gradu)3=.7. 若幂级数0nn n a x ∞=∑在点2x =处收敛, 在点2x =-处发散, 则幂级数1(1)n nn a x n∞=-∑的收敛 区间为(1,3)-8. 设()f x 是以2π为周期的周期函数,它在(,]ππ-上的表达式为2,0()210x x f x x x ππ--<≤⎧=⎨+<≤⎩则()f x 的傅里叶级数在点5x π=处收敛到12π-二. 解答题(68')9. (8')证明函数326,(,)(0,0)(,)0(,)(0,0)xy x y f x y x y x y ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩在点(0,0)处不连续.[30,01lim (,)0,lim (,)2x y x y f x y f x y =→=→==] 10. (10')计算二重积分sin Dydxdy y ⎰⎰, 其中D 是由直线y x =与y =. [210sin 1sin1y y yI dy dx y ==-⎰⎰] 11. (10')计算三重积分(42)x y z dV Ω++-⎰⎰⎰, 其中Ω是由平面1x y z ++=与三坐标平面所围成的闭区域.[120555(1)224I zdV z z dz Ω==-=⎰⎰⎰⎰] 12. (10')计算曲线积分22Lxdy ydxx y -+⎰, 其中L 为椭圆22142x y +=(按顺时针方向绕行). [222222222221122()x y x y Q P y x xdy ydx I dxdy x y x y x y π+=+≤∂∂--==⇒===∂∂++⎰⎰⎰] 13. (10')计算曲面积分222()()x y z dydz x y z dxdy ∑++++⎰⎰, 其中 ∑ 为曲面: 22(04)z x y z =+≤≤, 取上侧. [22224(4)4(4)(3)64,728z x y z x y I x z dV I πππΩ=+≤=+≤+=-+=-=-⇒=⎰⎰⎰⎰⎰⎰下侧下侧]14. (10')将函数21()32f x x x =++展开成(1)x -的幂级数, 并指出展开式成立的范围.[1101111()(1)()(1)(13)1224n n n n n f x x x x x ∞++==-=----<<++∑] 15. (8')求幂级数201(2)!!n n n x n ∞=+∑的收敛域及和函数, 并由此求级数201!n n n ∞=+∑的和. [22101111(,),()()()(24),(2)3(1)!2!24xn n n n n x x S x x x e S e n n ∞∞==-+Ω=-∞+∞=+=++=-∑∑]同济大学2010-2011学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空题(4'832'⨯=) 1. 直线11211x y z -+==--与平面220x y z ++-=的夹角为6π.2. 向量函数222(,,)F x y y z z x =在点(1,2,1)-处的散度为2-.3. 质点在变力(,,)F yz xz z =-的作用下, 沿螺旋线:2cos ,2sin ,x t y t z t Γ===, 从点(2,0,0)M 运动到点(2,0,)N π-, 则变力F 所作的功为252π.4.闭区域22{}D x y =+≤, 则积分2275()2Dx y d σπ+=⎰⎰.5. 若级数0(1)n n n a x ∞=+∑在点32x =处条件收敛, 则该级数的收敛半径52.6. 函数2sin x 的麦克劳林展开式为12121(1)2(2)!n n nn x n --∞=-∑.7. 若1()sin nn S x bnx ∞==∑是函数()((0,))f x x x ππ=-∈的正弦展开式, 则()22S ππ-=-8. 设Ω是由22z x y =+与平面1Z =所围的有界闭区域,1Ω是Ω位于0,0x y ≥≥的部分, 则下列等式中正确的是C1:4A xdV xdV ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰; 1:4B ydV ydV ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰;1:4C zdV zdV ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰; 1:4D xydV xydV ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.二. 解答题(68')9. (8')求曲线222222102x y z x y z ⎧++=⎨-+=-⎩在点(1,2,1)处的切线与法平面方程. [121,812208112x y z x y z ---==+-+=-] 10. (10')计算曲面积分2(2)x y dS ∑+-⎰⎰, 其中∑是球面2224x y z ++=被曲面.z =截下的较小部分的曲面.[2222222((1603x y I x y d ππθρ+≤=++==-⎰⎰⎰] 11. (10')将函数22()ln(1)xt f x x x e dt -=++⎰展开成x 的幂级数,并指出展开式成立的范围.[21111()(1)(),[1,1]!(21)n n n f x x x x n n n∞+==+--∈-+∑]12. (10')计算曲面积分2xzdydz ydzdx yzdxdy ∑++⎰⎰, 其中∑为曲面2221(0,0)x y z x z ++=≥≥取前侧.[2222219()(24xyD y I x yz dxdy x dxdy z π∑=++==⎰⎰⎰⎰]13. (10')计算三重积分(42)x y z dV Ω++⎰⎰⎰, 其中 Ω 是由曲面2221x y z +-=与平面 1,2z z ==所围成的有限闭区域. [222211214x y z I zdzdxdy π+≤+==⎰⎰⎰] 14. (10')()f x 是周期为4π的偶函数, 在[0,2]π上()2f x x π=-. 求该函数的傅里叶展开式, 并由此求级数的和211n n ∞=∑. [222118211()cos ,(,)(21)26n k f x x x k nπππ∞∞=-=+∈-∞+∞⇒=-∑∑] 15. (10')设()f x 为区间[,]a b 上的连续函数,且()0f x >,证明21()()()bbaaf x dx dx b a f x ≥-⎰⎰[2()1()()()()()2()()b bb b b b aaa a a a f x f x f y dxdy dxdy dxdyb a f y f y f x ==+≥=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰]同济大学2011-2012学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空选择题(3'824'⨯=)1. 极限22(,)(1,1)sin()lim 2x y x y x y→--=+.2. 若函数 (,)f x y 具有连续的偏导数, 且 (1,2)2,(1,2)1x y f f ==-, 则极限21(,1)(1,2)l i m31t f t t f t →+-=-.3. 由32210z x xyz ee --+-=所确定的函数(,)z z x y =在(1,1,1)点的偏导数(1,1,1)11z x e∂=∂- 4. xoy 平面上曲线L 的方程为(,)0F x y =, 若将该曲线关于直线0y x +=对称得到曲线 'L , 则'L 的方程为(,)0F y x --=.5. 函数(,)f x y 在某点沿任意方向的方向导数存在是函数在该点可微分的什么条件? [ B ] :A 充分条件; :B 必要条件; :C 充分必要条件; :D 无关条件.6. 若常数项级数1nn u∞=∑收敛, 则下列各项判断中正确的判断是: [ D ]21:nn A u∞=∑一定收敛; 1:nn u B n ∞=∑一定收敛; 1:n n C nu ∞=∑一定发散; :D 对于常数p , 如果1n n u ∞=∑收敛就可判断1np n u n∞=∑收敛, 必有1p >. 7. Ω是球体2222x y z R ++≤, 1Ω是球体Ω位于第一卦限内的部分(0,0.0)x y z ≥≥≥, 则积分23()x y z dv Ω++⎰⎰⎰等于 [ B ] 123:8()A x yz dv Ω++⎰⎰⎰; 12:8B y dv Ω⎰⎰⎰; 12:8()C x y dv Ω+⎰⎰⎰; 12:24D y dv Ω⎰⎰⎰.8. ∑是空间光滑的有向曲面片, Γ是与∑正向联系∑的有向边界曲线, 则由斯托克斯公式22(2)()()xz y dx xy z dy z x dz Γ+++++⎰等于 [ D ] :2A zdydz xdzdx dxdy ∑++⎰⎰; 22:(2)()()B xz y dydz xy z dzdx z x dxdy ∑+++++⎰⎰; :(21)C z x d S ∑++⎰⎰; :2(1)D zdydz y dxdy ∑-+-⎰⎰.二. 解答题(6'212⨯=)1. 求曲线 23322030x yz x y z ⎧--=⎨+--=⎩ 在(1,1,1)-点的切线方程. [111571x y z --+==-] 2. 计算Dxydxdy ⎰⎰, 其中D是由y =y =所围成的有界闭区域. [196I =] 三(8')求函数22(,)(2)ln f x y x y y y =++的极值, 并说明是极大还是极小值.[min 11(0,)f ee=-] 四(8')已知()f x 是[0,]π上的连续函数, 若将()f x 分别展开成周期为2π的傅里叶余弦和正弦级数, 它们分别为余弦级数01cos 2n n a a nx ∞=+∑; 正弦级数1sin n n b nx ∞=∑. 试写出系数 n a 与n b 的计算公式, 并求函数()0(),10f x x F x x ππ≤≤⎧=⎨-<<⎩周期为2π的傅里叶级数.[略] 五(10')3=上的点(,,)(0)x y z xyz ≠, 使得该点处的切平面与三个坐标平面所围四面体的体积最大. [体积V =max 111(1,,)498V ⇒=] 六(10')如果曲线积分22(1)(2())Lx y y dx xy x dy ϕ+++-⎰与路径无关, 其中()x ϕ是可导函数, 并且满足(0)1ϕ=, 求函数()x ϕ, 并计算积分22'(1)(2())L x y y dx xy x dy ϕ+++-⎰,其中'L 是沿曲线2x y xe =从(0,0)到(1,)e 的弧段.[31()13x x ϕ=-+2'213L e e ⇒=+-⎰]七(10')∑是由曲面1z =223()1z x y =+-所围立体的边界曲面, 它的法向指向曲面的外侧, 计算曲面积分32221()(2)()3x yz dydz xy y z dzdx x y z dxdy ∑+++++⎰⎰. [22112220312(22)5I x x yz y dv d d dz πρρθρρρπ+-Ω=+++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰]八(10')求幂级数3111()(1)3nn n x n ∞=+-∑的收敛域及其和函数. [333(1)[0,2);()ln[1(1)]3(1)x S x x x -Ω==----- 九(8')判别常数项级数111121n na∞+++=∑的收敛性(0)a >, 并对自己的判断给出证明.[111ln ln 1ln ln 2111ln 11ln 1:2a nn a nn n a n a a a n a e na++++<+++<+⇒>=<<=⇒>收敛]同济大学2012-2013学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空选择题(3'8⨯)1. 经过三点(1,1,3),(2,1,4),(3,0,1)A B C -的平面方程为543180x y z -+-=;点(2,0,1)到该平面的距离为2.2. yoz 平面上的直线2z y =-+绕着z在二次曲面中, 该曲面的类型是 圆锥面 .3. Ω是上半球体 22210x y z z ⎧++≤⎨≥⎩, ∑ 是 Ω 的边界曲面外侧, 1∑ 是上半球面2221,0x y z z ++=≥ 的上侧, 则利用高斯公式计算可得24()(2)(1)3x y d y d z y z d z d x x z d x d yπ∑-+++-+=⎰⎰;积分127()(2)(1)3x y dydz y z dzdx x z dxdy π∑-+++-+=⎰⎰.4. (1,2,2),(4,5,2)A B --是空间两点, L 是以,A B 为两端点的直线段, AB L 是以A 为起点 B 为终点的有向直线段,则1;14ABLL ds dz ==⎰⎰.5. D 是由曲线22y x =与3y x =-所围的有界闭区域, 则积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰等于 [ A ]()A 213322(,)xx dx f x y dy --⎰⎰; ()B 212332(,)x xdx f x y dy --⎰⎰;()C 9223(,)ydy f x y dx -⎰; ()D 9322(,)y dy f x y dx -⎰.6. 积分222211()x y I x y dxdy +≤=+⎰⎰, 222222,0()x y y I x y dxdy +≤≥=+⎰⎰, 224431()x y I x y dxdy +≤=+⎰⎰,223341()x y I x y dxdy +≤=+⎰⎰, 则有 [ D ]1234()A I I I I >>>; 1243()B I I I I >>>; 4321()C I I I I >>>; 2134()D I I I I >>>.7. xoy 平面上密度为(,)x y μ的薄片D 对z 轴上位于(0,0,2)-点单位质点的引力为 (,,)x y z F F F F =, G 是引力常数, 则 [ B ] 32222(,)()()z DG x y A F dxdy x y z μ=++⎰⎰; 32222(,)()(4)z DG x y B F dxdy x y μ=++⎰⎰;32222(2(,)()[(2)]z D G z x y C F dxdy x y z μ⋅-=++-⎰⎰; 32222(,)()(4)z DG x y D F dxdy x y μ-=++⎰⎰. 8. ∑是抛物面222,0z x y z =--≥的上侧, 则由两类曲面积分的联系,(,,)(,,)(,,)P x y z d y d z Q x y z d z d x R x y z d x d y ∑++⎰⎰等于 [ C ]()(22)A P x Q y R d S ∑⋅+⋅+⎰⎰;()B ∑;()C ∑;()D ∑.二. (4'3⨯)1. 试求曲线21ln(1),t x t y t z e-==+=在参数1t =所对应点的切线与法平面方程.[1ln 21,426ln 20412x y z x y z ---==++--=] 2. 试求由方程3222xz z xy +-=所确定的函数(,)z z x y =在(1,1,1)点的全微分(1,1,1)dz . [(1,1,1)1255dz dx dy =-+] 3. 占有上半圆224,0x y y +≤≥的薄片面密度为2(,)()1x y x y μ=++, 试计算该薄片的质量. [2[()1]6DM x y dxdy π=++=⎰⎰]4. 将函数21()6x f x x x -=--展开成1x +形式的幂级数.[0311131()[(1)](1),11151110510414n n nn f x x x x x ∞==⋅-⋅=--++<+++⋅-∑] 5. 将函数0,02()22x f x x πππ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩展开成周期为2π的余弦级数.[141sin cos 2n n nx n ππ∞=-+∑]三. (8')求幂级数202(1)(1)n nn n x ∞=+-∑的收敛区间与和函数.[2211()2[12(1)]x s x x -<=--] 四. (10')Ω是由曲面z =以及2z =所围成的立体, 其体密度为22x y μ=+.(1)计算Ω关于z 轴的转动惯量;(2)试写出Ω关于平行于z 轴的直线0;1x x y ==转动惯量的计算公式(无需计算) [22222220128();()[()(1)]21z l I x y dv I x y x x y dv πΩΩ=+==+-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰] 五. (10')任意取定球面22228x y z ++=上一点并且任意给定一个方向, 都可以求出函数 2(23)u x y z =++在给定点沿给定方向的方向导数, 试求出所有这些方向导数中的最大 与最小值.[222223,(23)(28)gradu y z L x y z x y z λ=++=+++++-max min (P gradu gradu ⇒=±±==-六. (10')已知222222ax by x ydx dy x y x y +++++是某个二元函数的全微分. (1)试求出常数,a b ;(2)计算积分222222Lax by x y dx dy x y x y+++++⎰, 其中L 是逆时针方向的曲线221x y +=.[2221(1)2,1;(2)(2)()Lx y a b x y dx x y dy +===-=-++=⎰⎰]七. (8'){}n u 是斐波那契数列: 1,1,2,3,5,8,13,21,, 即12111,1,n n n u u u u u +-===+,2,3,n =, 试分析级数11n nu α∞=∑的收敛性, 其中α是实常数. [11113312,2(),()2223n n n n n n n n n n n u u u u u u u u u -++><⇒>+=>< 0α⇒≤时,级数显然发散;0α>时,级数收敛]同济大学2013-2014学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空选择题(3'824'⨯=)1. 以空间三点(2,3,1),(1,2,3),(0,1,2)A B C ----为顶点的三角形面积2A =.2. 两平面20x y z --=与223x y z ++=的夹角余弦cos 6θ=.3. 曲面2:ln(21)z x y ∑=-+在(2,2,0)的法线方程为22421x y z--==--.4. D 是以(1,1),(1,1)-以及(1,1)--为顶点的三角形闭区域, 则积分3(2)4Dxy dxdy -=-⎰⎰5. 函数(,)f x y 具有连续的偏导数, 已知//(,)0,(,)0x y f x y f x y <>, 如果(1,1)a f =,(1,1)b f =- (1,1)c f =--,(1,1)d f =-四个数中最大的数是M , 最小的数是m , 则有 【D 】 (),A M a m d ==; (),B M c m a ==; (),C M d m b ==; (),D M b m d ==.6. 将110(,)xdx f x y dy ⎰⎰化成极坐标的二次积分式时, 下列正确的是 【C 】2c o s2()(cos ,sin )A d f d πθθρθρθρρ⎰⎰c o s20()(cos ,sin )B d f d πθθρθρθρρ⎰⎰;2s i n204()(c o s ,s i n )C d f d πθπθρθρθρρ⎰⎰; sin 204()(cos ,sin )D d f d πθπθρθρθρρ⎰⎰.7. Ω是由圆锥面z =与半球面z =所围的空间立体, 则将积分22(,)I f xy z dxdydz Ω=+⎰⎰⎰化成柱面坐标计算时, 下面正确的三次积分式是 【C 】22200()(,)A d d f z dz πρθρρρ⎰⎰; 2220()(,)B d d f z dz πρθρρρ⎰⎰;22()(,)C d f z dz πρθρρρ⎰; 220()(,)D d f z dz πρθρρρ⎰.8. 已知0(1,2,3,)n u n ≤=, 则1n n u ∞=∑发散的充分必要条件是 【A 】1()l i m nk n k A u →∞==-∞∑; ()lim n n B u →∞=-∞; ()C {}n u 是无界数列; 1()limnkn k D u→∞==+∞∑.二. 计算下列各题(6'530'⨯=)1. 在经过点(1,0,2)-的平面与球面222(1)(1)12x y z +-++=相交的所有圆弧中, 求出圆 弧长度的最小值. [6π] 2. 求函数2ln (1)yz x =+的全微分(1,)e dz . [122ln 2dx e dy -+]3. 计算22()Dx y x dxdy +-⎰⎰, 其中D 是由224,x y y x +≤≥确定的扇形区域. [2π] 4. L 为平面内光滑的简单闭曲线, 并取正向, 求曲线积分2323(s i n )()y Ly y x d x e x d y -++-⎰的最大值. [2222331(133)6x y I x y dxdy π+≤≤--=⎰⎰]5. 判断级数111(cos )nn e n ∞=-∑的收敛性, 并给出判断理由. [1n u n发散] 三. (10')求由方程221z xz x y e --+=所确定函数(,)z z x y =的偏导数(1,1,1)(1,1,1),z zx y ∂∂∂∂以及 二阶偏导22(1,1,1)zy∂∂. [22(1,1,1)(1,1,1)(1,1,1)111,,39z z zx y y ∂∂∂===-∂∂∂]四. (10')Γ是曲面2z xy =与柱面1x y +=的交线, 从z 轴正向看向z 轴的负向, 曲线Γ 是顺时针方向的, 计算曲线积分23(2)(3)(23)x yz dx xy x z dy x y dz Γ-++++++⎰.[22(33)31xyD I xy dxdy x dxdy ∑=+=-=-⎰⎰⎰⎰]五. (10')求幂级数021n nn x n ∞=+∑的收敛域, 以及该幂级数在收敛域内的和函数. [111()ln(12),[,0)(0);(0)1222S x x x S x =--∈-=] 六. (8')计算222(2)(2)zxy dydz x e dzdx x z y dxdy ∑++++⎰⎰, 其中∑是曲面z =位于02z ≤≤的部分, 曲面法向与z 轴正向的夹角为钝角. [645π-] 七. (8')()[0,]f x C π∈, 已知()f x dx ππ=⎰, 求常数12,,,n c c c , 使得积分21[()c o s ]nk k f x c k x d x π=-∑⎰取得最小值, 并说明1lim cos ()nk n k c kx F x →∞==∑在[,]ππ-上的函数表达式. [0()102()cos ,(),()10k f x x c f x kxdx F x f x x ππππ-≤≤⎧==⎨---≤<⎩⎰]同济大学2014-2015学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空选择题(3'824'⨯=)1. 已知三向量:(2,1,1),(1,3,1),(1,,2)a b c y =-==-共面, 则常数2y =.2. 设(,)sin(23)f x y x y =+, 则极限0(2,)(,)lim 4cos(23)x f x x y f x y x y x∆→-∆-=-+∆.3. 已知可微函数(,)f x y 的偏导数(1,1)(1,1)1,2f fx y --∂∂==∂∂, 则函数(,)g x y =2(32,3)f x y x y --+在(,)(1,2)x y =点对变量y 的偏导数(1,2)6gy∂=∂.4. 已知连续函数22(,)(,)Lf x y x y f x y ds =+-⎰, 其中L 是上半圆周222,0x y r y +=≥,则322(,)1r f x y x y rππ=+-+.5. 设D 是由22222,4x y x x y +≥+≤所确定的平面闭域, L 是D 的正向边界, 则积分222(2)(2)6x Ly e xy dx x xy x dy π++++=⎰.6. 设D 是平面闭域: 22,x y y y x +≤≥. 则将二重积分22()DI f x y dxdy =+⎰⎰化为极坐标下的二次积分时, I 等于 【A 】s i n2204()2()A d f d πθπθρρρ⎰⎰; 32sin 244()()B d f d πθπθρρ⎰⎰;12()()C d f d πθρρρ⎰⎰; 3sin 244()2()D d f d πθπθρρρ⎰⎰.7. 已知常数项级数1nn u∞=∑收敛, 则下列收敛的级数是 【C 】21()nn A u ∞=∑; 11()n n n B u u ∞+=∑; 11()2n n n u u C ∞+=+∑; 1()(1)nn n D u ∞=-∑.8. 设1nn n a x∞=∑的收敛半径为0,1R ≠, 则231()nn n n a xx ∞=+∑的收敛半径为 【D 】(A(B ; ()C ;()D .二. 计算下列各题(6'424'⨯=)1. 求曲面2arctan 1xz y -=在(1,0,1)点的切平面与法线方程. [(1,1,2)n =-]2. 22(,)(1)yf x y x =+,当ρ=充分小时, 求(1,1)f x y +∆+∆的一阶近似值 a b x c y +∆+∆, 即(1,1)()f x y a b x c y +∆+∆-+∆+∆是ρ的高阶无穷小()o ρ. [488ln 2x y +∆+∆] 3. 计算曲面:12z xy ∑=-位于222,0x y y +≤≥部分的面积. [136π] 4. 设()f x 是(,)-∞+∞上的连续函数, 记002()a f x dx ππ=⎰, 02()cos n a f x nxdx ππ=⎰,2()s i n n b f x n x d xππ=⎰. 求出三角级数的和函数01()(cos sin )2n n n a S x a nx b nx ∞==++∑ 在(,]ππ-上的表达式. [2()0(),,(0)(0),()()00f x x S x S f S f x ππππ<<⎧===⎨-<<⎩] 三. (8')在平行六面体ABCDEFGH 中, 已知(1,1,2),(2,1,1),(1,2,0),(3,0,2)A B C H ---- 求(1),,D E G 点的坐标; (2)该平行六面体的体积. [(2,0,3),(6,1,3),(4,2,5);10V ----=] 四. (10')已知曲线积分22()()Lx ay dx x y dyx y ++++⎰在不包含x 轴负半轴的区域内与路径无关. (1)求常数a ;(2)计算上述积分,其中是上半平面从(1,0)到(0,1)的光滑曲线段331x y +=. [1;2a I π=-=]五. (10')计算曲面积分222()()(1)xy yz dydz x y z dzdx yz dxdy ∑++-++⎰⎰, 其中有向曲面 22:(1)z x y z ∑=+≤的法向与z 轴的夹角是钝角. [56π-]六. (10')求幂级数30(1)21n n n n x n ∞=-⋅+∑的收敛域与和函数.[331()ln(12),2S x x x x =+<七. (14')(1)如果直线l 与直线'l 的夹角为(0)2πθθ<<, 相距为0a >. 判别直线'l 绕直线l 旋转所得曲面∑的类型并给出判别的理由; (2)若直线l 的方程为:132212x y z ++-==, 直线'l 的方程为213431x y z ---==-, 试求由直线'l 绕直线l 旋转所得曲面∑以及相距 为2且垂直于直线l 的两平面所围立体体积的最小值. [(1)单叶双曲面;(2)''3,cos ll ll d θ==取222104:925(11),3x y z z V π∑+=+-≤≤=]同济大学2015-2016学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空题(4'832'⨯=) 1. 设cosy xu xe =, 则(1,)2(1)2du dx dyππ=+-.2. 设曲面10xy yz zx ++-=在点(1,2,3)M --处的法向量为n , 其与z 轴正方向的夹角为 锐角, 则函数23ln()z xy y e ++在点(1,2,3)M --处沿n方向的方向导数为5.3. 交换二次积分的次序1221022112(,)(,)(,)yx dy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy--+=⎰⎰⎰.4. 设空间立体Ω由平面0,1z z ==以及曲面22231x y z +-=所围成, 则三重积分3333()4x y z dv πΩ++=⎰⎰⎰.5.设曲线:(01)L y x ≤≤, 则曲线积分2()12Lx y ds π+=+⎰.6. 设在平面上, 曲线积分33()()4xx x xLa ee dy y e e dx π--+-+⎰与路径无关, 则常数 12a π=-.7.设无穷级数1(1)nn ∞=-∑, 则k 的最大取值范围是12a k =>.8. 设102()2,2x f x x x ππππ⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩, 将()f x 展开为正弦级数1sin n n b nx ∞=∑, 若该级数的和函数为()s x , 则53()24s π-=-.二.(10')设(,)z z x y =是方程22222880x y z yz z +++-+=确定的隐函数, 且(0,2)1z -=, 求22(0,2)(0,2)z zx x --∂∂∂∂，. 【22(0,2)(0,2)415z zx x --∂∂=∂∂=0，】三.(10')在椭圆锥面1z =xoy 面所围成的空间闭区域中放置一个长方体, 它 的各个侧面均平行于坐标面, 求该长方体的最大体积.【222max 114,2(1),33327V xyz x y z x y z V =+=-⇒===⇒=】 四.(10')计算三重积分z Ω-⎰⎰⎰, 其中Ω是由0,1z z ==所围成的闭区域.【21211()()1243I d d z dz d d z dz πρπρπππθρρρθρρρ=-+-=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰】五.(10')求曲线积分222(1)(12)y y Ly e dx x y e dy +++⎰, 其中L 为从(0,0)O 沿曲线x =(1,1)A 的有向弧段. 【01(1)(1)014DI d e dy e πσ=--+-=+-⎰⎰⎰】六.(10')计算曲面积分2332()(2)()y x e dydz y yz dzdx z y dxdy ∑-+-+-⎰⎰, 其中∑为曲面z =位于0z =与1z =之间的部分的下侧.【0222373()()1010I x y dv z y dxdy πππ∑+∑∑Ω∑=-=+--=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰】 七.(10')求幂级数131nn n n ∞=⋅+∑的收敛半径与和函数.【213111,()ln(13),(,)313333x R s x x x x x ==++-∈--】八.(8')设级数1[ln ln(1)ln(3)]n n a n b n ∞=++++∑收敛, 求常数,a b .【310312(1)ln 0()3012n a a b a b u a b n a b n n b ⎧=-⎪++=⎧+⎪=++++⇒⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩】同济大学2016-2017学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空选择题(3'824'⨯=)1. 已知直线L 过点(1,2,3)M -, 与z 轴相交, 且与直线1332:232x y z L ---==-垂直, 则直线L 的方程为123122x y z +--==--.2. 函数222ln()u x y z =++在点(1,2,2)P -处的梯度为244(,,)999-.3. 设2sin (,)1xytf x y dt t=+⎰, 则22(0,2)4f x ∂=∂.4. 设(,)f x y 连续,化二次积分1201(,)xdx f x y dy -⎰⎰为极坐标形式的二次积分:22s i n 42c o s s i n4(c o s ,s i n )(c o s ,s i n )d f d d f d ππθθθπθρθρθρρθρθρθρρ++⎰⎰⎰⎰.5. 设空间立体Ω由平面0,0,0,1x y z x y z ===++=围成, 则三重积分1(253)6x y z d v Ω+-=⎰⎰⎰.6. 无穷级数11133ln32n n n ∞-==⨯∑.7. 设级数1nn a∞=∑收敛, 则下列必收敛的级数是 [ D ]11:(1)n n n a A n ∞-=-∑; 21:n n B a ∞=∑; 2211:()n n n C a a ∞-=-∑; 11:()n n n D a a ∞+=+∑.8. 若幂级数1nn n a x∞=∑在2x =-处条件收敛, 则21(1)nn n a x ∞=-∑的收敛区间为 [ D ]:(2,2)A -;:(B ; :(1,3)C -;:(1D +.二.(8'216⨯=)9. 设函数3222222,0(,)00x yx y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩, 求(0,0)yx f . [1]10. 求曲面222x z y =+上平行于平面224x y z +-=的切平面方程. [223x y z +-=]三.(10')计算二次积分112201x xdx dy x y ++⎰⎰.[13(ln )222π+]四.(10')计算曲线积分224Lydx xdy x y-+⎰, 其中L 是正向圆周229x y +=. [π-]五.(10')求曲面22z x y =-夹在圆柱面222x y +=及226x y +=之间的曲面面积, 并求相 应的形心坐标(其中曲面的密度1ρ=). [49,(0,0,0)3A M π=]六.(10')计算曲面积分22232()()()y xy e dydz yz z dzdx zx xy dxdy -+-+-⎰⎰, 其中∑为曲面22(1)z x y z =+≤的下侧. [6π]七.(10')将函数22134x x x ++-展开成2x +的幂级数, 并指出相应的收敛范围. [2102111(1)7[](2),4034532n n n n n x x x x x ∞+=+-=-++-<<+-∑]八.(10')设函数()g x 是(,)-∞+∞上周期为1的连续函数, 且1()0g x dx =⎰, 函数()f x 在区间[0,1]上有连续的导数, 记1()()n a f x g nx dx =⎰, 证明: 级数21n n a ∞=∑收敛.[0()()xG x g t dt =⎰,110011()()()'()n a f x dG nx G nx f x dx n n ==-⎰⎰,22n M a n≤]。
5 课后答案【khdaw_lxywyl】
案 网
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tree.getSelectionModel().setSelectionMode(TreeSelectionModel.SINGLE_TREE_SELECTION); tree.setShowsRootHandles(true); JScrollPane scrollPane = new JScrollPane(tree); add(scrollPane); } public void removeCurrentNode() { TreePath currentSelection = tree.getSelectionPath(); if(currentSelection != null){ DefaultMutableTreeNode currentNode=(DefaultMutableTreeNode)(currentSelection.getLastPathComponent()); MutableTreeNode parent=(MutableTreeNode)(currentNode.getParent()); if(parent!=null){ treeModel.removeNodeFromParent(currentNode); return; } } toolkit.beep(); } public TreeNodeChild addObject(Object child){ TreeNodeChild parentNode = null; TreePath parentPath = tree.getSelectionPath();
02199复变函数与积分变换复习资料机电
复变函数与积分变换复习资料填空题：1. 设100)1(i z -=，则=z 。
2. 4)1(i -的值是 。
3. 22+=-z i z 所表示的曲线的直角坐标方程是 。
4. 12)3(i -的值是 。
5. 设i z i e -=，则=z Re 。
6. 在复平面上，函数)2()(222y xy i x y x z f -+--=在 上可导。
7. 当=a 时，xytg i y x a z f arg )ln()(22++=在区域0>x 内是解析函数。
8. 函数z z f arg )(=在 上不连续。
9. 设21)(z ez f =，C 为正向圆周1=z ，则积分=⎰C z dz e21。
10. 设⎰=-=23sin)(ζζζζπd zz f ，其中z 不在2=ζ上，则=-')(i f 。
11. 设函数)(1)(i z z z f -=，则)(z f 在孤立奇点i z =的（最大的）去心邻域 内可展开成罗朗级数。
12. 罗朗级数∑∞-∞=--n n nz )1(3的收敛域为 。
13. tgz z f =)(在0=z 处的泰勒展开式的收敛半径为 。
14. 设)1(1)(z z z f -=，则)(z f 在10<<z 内的罗朗展开式是 。
15. 设C 为正向圆周1=z ，则积分=⎰dz eC z 21。
16. 设函数)1(sin )(-=z z zz f ，则[]=0),(Re z f s 。
17. =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++i z z ze s iz,)4)(1(Re 222 。
18. 设C 为正向圆周1=z ，则积分=-⎰C zdz ze 2cos 1 。
19. 3+2i 关于圆周21=-z 的对称点是 。
20. 设z z z w Im Re -=，则='w 。
21. 映射iz iz w +-=在i z =处的旋转角为 。
22. 函数z e w =缩小了Z 平面上的 。
同济大学数字信号处理课件第二章2z反变换
1 F ( z )在围线c内只有一阶极点z 4 x ( n ) Re s[ F ( z )] 1
z
j Im[ z ]
C
1 z n 1 ( z ) 1 4 (4 z )( z 1/ 4) z 4 n 4 15
4
1/ 4
0
4 Re[ z ]
当n 1时 1 F ( z )在围线c内有一阶极点z 和-(n 1)阶极点z 0 4 而围线c外只有一阶极点z=4，且F(z)的分母多项式
X ( z ) [a 1 z a 2 z 2 a 3 z 3 …] - an z n
n 1
x(n) a n u( n 1)
z 例：X ( z ) ， 1/4< z 4，求z反变换 (4 z )( z 1/ 4)
2
解：X(z)的Roc为环状，故x(n)是双边序列 极点z=1/4对应右边序列，极点z=4对应左边序列 先把X(z)展成部分分式
z2 例1：X ( z ) ， 1/4< z 4，求其z反变换 (4 z )( z 1/ 4) z2 n 1 解：x (n ) z dz c ( Rx , Rx ) 2 j c (4 z )( z 1/ 4) 2 n 1 z z n 1 其中：F ( z ) z (4 z )( z 1/ 4) (4 z )( z 1/ 4) 当n 1时 1
根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区域 Rx z Rx , （Rx 0, Rx ） 内是解析的，则 在此区域内X(z)可展开成罗朗级数，即
X ( z)
而
Cn
n
n C z n
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江苏大学各专业课后答案真正免费免积分下载！（更新中）PART 121世纪大学英语读写教程（第四册1-4）课后答案免费下载/thread-4531-1-2.html微积分（第二版）同济大学应用数学系编高等教育出版社_课后习题答案下载/thread-4536-1-2.html南京大学物理化学（第四版）卢荣__课后习题答案免费下载/thread-4535-1-2.html《大学物理学》赵近芳_北京邮电大学课后答案免费下载/thread-4533-1-2.html微机原理及应用第三版 (晏寄夫著) 西南交通大学出版社课后答案免费下载/thread-5429-1-1.html数学分析_第三版_上册_(欧阳光中_朱学研_著)_高等教育出版社课后答案免费下载/thread-5412-1-1.html复变函数与积分变换_(王忠仁_著)课后答案免费下载/thread-5411-1-1.html复变函数第四版 (余家荣著) 高等教育出版社课后答案免费下载/thread-5409-1-1.html线性代数 (惠淑荣张京李修清著) 东北大学出版社8090珊瑚论坛课后答案免费下载/thread-5406-1-1.html数理统计第二版 (赵选民徐伟师义民秦超英著) 科学出版社课后答案免费下载/thread-5404-1-1.html随机过程 (汪荣鑫著) 西安交通大学出版社课后答案免费下载/thread-5402-1-1.html当代世界经济与政治第三版，人民大学出版社课后答案下载/thread-5401-1-1.html全新版大学英语第三册综合教程练习课后答案下载/thread-5398-1-1.html线性代数简明教程第二版(陈维新著课后答案免费下载/thread-5397-1-1.html思想道德修养与法律基础 2010版 (罗国杰夏伟东著) 高等教育出版社课后答案下载/thread-5396-1-1.html统计学高教第三版课后习题答案8090珊瑚论坛.pdf/thread-5395-1-1.html概率论与数理统计教程_(茆诗松_程依明_濮晓龙_著)_高等教育出版社课后答案免费下载/thread-5381-1-1.html线性代数简明教程第二版(陈维新著)8090珊瑚论坛.pdf/thread-5380-1-1.html微分几何初步 (陈维桓著) 北京大学出版社课后答案免费下载/thread-5379-1-2.html复变函数习题全解及导学课后答案免费下载.pdf/thread-5378-1-2.html临床医学英语 (高艳陈迎著) 中国海洋大学出版社课后答案.zip/thread-5353-1-2.html普通物理学第三册第五版 (程守洙胡盘新著) 高等教育出版社/thread-5352-1-2.html马克思主义基本原理概论第四版 (本书编写组著) 高等教育出版社免费下载/thread-5351-1-2.html电磁场与电磁波第二版 (周克定翻译著著)课后答案免费下载/thread-5350-1-2.html大学语文第九版 (徐中玉齐森华著) 华东师范大学出版社/thread-5348-1-2.html人大版《会计学基础》课后答案免费免积分下载/thread-4438-1-2.html机电传动控制邓星钟第四版课后答案免费免积分下载/thread-4436-1-2.html现代控制理论第3版刘豹唐万生课后全部答案机械工业出版社免费免积分下载地址/thread-4382-1-2.html《模拟电子技术基础》(第四版)童诗白,华成英_高等教育出版社_课后习题答案下载/thread-4432-1-2.html《自动控制原理》胡寿松_第四版科学出版社课后答案免费免积分下载/thread-4435-1-2.html工程力学_静力学与材料力学_(单辉祖_谢传锋_著)_高等教育出版社_课后答案免费下载/thread-4442-1-3.html工程材料及成形技术_林建榕_高教版课后习题参考答案免费免积分下载/thread-4440-1-3.html《电机及拖动基础》顾绳谷_第四版_机械工业出版社_课后答案免费免积分下载/thread-4434-1-3.html《电工学》秦曾煌第六版上下册课后答案免费免积分下载/thread-4430-1-3.html《数字信号处理(第三版)西安电子科技大学出版社(丁玉美)课后答案/thread-4429-1-3.html《通信原理教程》_樊昌信_最新版电子工业出版社课后答案免费免积分下载/thread-4426-1-3.html《信号与系统》第二版课后答案完整版_郑君里免费免积分下载/thread-4424-1-3.html最全数据结构课后习题答案(耿国华版[1]免费免积分下载/thread-4423-1-3.htmlMATLAB程序设计与应用_刘卫国主编_高等教育出版社课后答案免费免积分下载/thread-4422-1-3.html电磁场与电磁波_第四版_(谢处方_饶克谨_著)课后答案免费免积分下载/thread-4421-1-3.html传感器原理及工程应用_第三版__课后答案免费免积分下载电工学_第七版_秦曾煌_课后习题答案免费免积分下载/thread-4389-1-3.html电力电子技术王兆安第五版课后习题答案免费免积分下载/thread-4387-1-3.html电路_第五版_邱关源_高等教育出版社_课后答案详细版免费免积分下载/thread-4386-1-3.html电路分析_第二版_课后答案_胡翔骏_高等教育出版社免费免积分下载/thread-4385-1-3.html离散数学课后答案（清华版）免费免积分下载/thread-4384-1-3.html通信原理_(周炯盘_著)_北京邮电大学出版社_课后答案免费免积分下载/thread-4383-1-3.html信息论与编码-曹雪虹-课后习题答案免费免积分下载地址/thread-4381-1-3.html移动通信_第三版_(郭梯云__李建东_著)课后答案免费免积分下载/thread-4380-1-3.html自动控制理论(第二版)夏德钤_课后答案免费免积分下载《新视野大学英语读写教程（第二版）》【第一册】课后答案免费下载，免积分下载/thread-4335-1-4.html《线性代数》（同济第四版）课后习题答案（完整版）免费免积分下载/thread-4334-1-4.html《概率论与数理统计教程》课后答案（完整版，魏宗舒版）免费免积分下载/thread-4331-1-4.html曼昆宏观经济学课后答案（第五版）免费免积分下载/thread-4330-1-4.html《中国近代史纲要》完整课后习题答案免费下载/thread-4316-1-4.html机械设计_濮良贵、纪名刚_第八版_第五章课后习题答案免费下载/thread-4313-1-4.html21世纪大学英语读写教程第一册.课后答案免费下载免积分下载/thread-4312-1-4.html21世纪大学英语读写教程（第一二三册）课后翻译答案免费下载/thread-4310-1-4.html大学英语精读第三册课后答案免费免积分下载c语言程序设计第三版谭浩强课后答案免费免积分下载/thread-4307-1-4.html复变函数论第三版高教出版社课后习题答案免费下载/thread-4028-1-4.html专为江苏大学学生整理，真正免积分，只有花几秒钟注册一下就可以任意下载海量资源了~~收藏哦~~留着有用。
高等代数与解析几何同济答案
高等代数与解析几何同济答案【篇一：大学所有课程课后答案】资料打开方法：按住 ctrl键，在你需要的资料上用鼠标左键单击资料搜索方法：ctrl+f 输入关键词查找你要的资料【数学】?o?o?o?o?o?oo ? o ? o ? o ? o ? o ? o ? o ??o?o? 习题答案 o?o?o ??o?o?o?o?o?o?o?o?o?o?o?o?o?o?o?o【计算机/网络/信息】 ?oo?o?o?o【经济/金融/营销/管理/电子商务】 ?o?o?o?oo ? o ? o ? o ? o ? o ? o ? o 【o?o?o?o?o?o?【篇二：各门课程课后答案】式]《会计学原理》同步练习题答案[word格式]《成本会计》习题及答案（自学推荐，23页） [word格式]《成本会计》配套习题集参考答案[word格式]《实用成本会计》习题答案[word格式]《会计电算化》教材习题答案（09年）[jpg格式]会计从业《基础会计》课后答案[word格式]《现代西方经济学（微观经济学）》笔记与课后习题详解（第3版，宋承先） [word格式]《宏观经济学》习题答案（第七版，多恩布什）[word格式]《国际贸易》课后习题答案（海闻 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( )
题号一二三四五六七总分得分
，则（
2
3 设在复平面解析，并满足，则（ 0 ）
4 （ 0 ）
5 设为正整数，（）
6 （）
7 是的（）级极点。
8 把（直线）映为单位圆。
9 设，则（）
10 设，则（）。
二.（10分）设函数在复平面上解析，并满足。
利用复数的三角表示式和C-R条件证明：在复平面上恒等于零。
解：由于，
又由于
在复平面上
所以恒等于0。
三.（6分）计算
四.（8分）用围道积分方法计算。
在上半平面有两个一级极点。
五．（6分）设，求。
由于在的Laurent展开：
知
所以
六．（10分）求把角域映射为单位圆的一个共形映照。
所以
即为把角域映射为单位圆的一个共形映照。
七．．（10分）利用Laplace变换求常微分方程满足，的特解。