八年级数学上册 第十二章 整式的乘除 12.5 因式分解(第2课时)课件 (新版)华东师大版
八年级数学上册 第12章 整式的乘除 12.5 因式分解 2 公式法课件
(2)原式=（2a）²－ 2·2a·1+（1）² =（2a － 1）2.
第十六页，共二十页。
3.多项式4a²+ma+9是完全平方式(fāngshì)，那么m的值是（D ） A.6 B.12 C. －12 D. ±12
4.计算： 2 0 1 4 2 2 0 1 4 4 0 2 6 2 0 1 3 2 .
解
步骤
平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)
完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2
一提：公因式；
二套：公式； 三查：多项式的因式分解有没有分 解到不能再分解为止.
第十八页，共二十页。
第十九页，共二十页。
内容(nèiróng)总结
12.5 因式分解。（3）-x2-y2。三查（多项式的因式分解要分解到不能再分解为止）。3.中间有两 底数之积的±2倍.。（5）x2+x+0.25.。（4）因为ab不是a与b的积的2倍.。所以16x2+24x+9是一个完全平 方式，。（2）-x2+4xy-4y2.。解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2）。分析：（1）中有公因式3a,应先提出(tí chū)公因式，再进一步分解因式。1002－2×100×99+99²。二套：公式
整式乘法 ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2
a 2 - b 2 = ( a + b )( a - b )
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
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辨一辨：下列多项式能否用平方差公式(gōngshì)来分解因式，为什么？
（1）x2+y2 （2）x2-y2
2024-2025学年华师版初中数学八年级(上)教案第12章整式的乘除12.5因式分解(第2课时)
第12章 整式的乘除12.5 因式分解第2课时 两数和与两数差的积——因式分解教学目标1.理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特点；2.让学生经历探究因式分解的过程，理解和领悟因式分解，发现因式分解的基本方法——公式法；3.掌握运用平方差公式因式分解的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式，培养学生多步骤因式分解的能力.教学重难点重点：掌握公式法（两数和与两数差的积）进行因式分解. 难点：怎样进行多项式的因式分解，如何能将多项式分解彻底.复习巩固1.因式分解是怎样定义的？因式分解有什么特点？2.把下面多项式分解因式：（1）3222320515y x y x y x -+； （2）22230156mn mn n m +-； （3）()()b a y b a x +-+； （4）()()()22332a b a b a a b +--+. 【答案】（1）()224135y xy y x -+. （2）()32510mn m n n -+. （3）()()a b x y +-. （4）-()()23a b a b ++. 3.计算：()()a b a b +-. 【答案】 22b a -.教学过程导入新课【创设情境，课堂引入】我们知道，整式乘法与因式分解相反，因此，利用整式乘法与因式分解的这种关系，可以得到因式分解的方法.如果把乘法公式反过来用，就可以将某些多项式分解因式，这种因式分解的方法叫做公式法.探索：根据上面的计算，请你猜想22a b -的结果. 把乘法公式()()22a b a b a b +-=-反过来， 就得到：教学反思探究新知【实践探究，交流新知】思考：两数和与两数差的积——因式分解： （1）（2）用文字叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 【注意】（1）要弄清楚整式乘法中的两数和与两数差的积与因式分解中的两数和与两数差的积的区别，因式分解中左边是两个数的平方差，右边是这两个数的和乘以这两个数的差；（2）a ，b 可以是单独的数或具体的字母，也可以是多项式. 例如：【小组讨论，师生互学】例1 把下列多项式分解因式：（1）2251a -； （2）222z y x -； （3）2201.094n m -.解：（1）()()()222125151515a a a a -=-=+-；（2）()()()22222x y z xy z xy z xy z -=-=+-；（3）()222242220.010.10.10.19333m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.例2 把下列各式分解因式：（1）()()22q x p x +-+； （2）()()22916b a b a +--.分析：()()22q x p x +-+是x p +与x q +的平方差；把式子()216a b -- ()29a b +改写成()[]()[]2234b a b a +--后，可以看出它是4()a b - 与()b a +3的平 方差，所以它们都可以运用两数和与两数差的积因式分解.教学反思解：（1）()()22q x p x +-+()()()()x p x q x p x q =++++-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2x p q p q =++-； （2）()()22916b a b a +--()()2243a b a b =--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()4343a b a b a b a b =-++--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()77a b a b =--. 例3 把下列各式分解因式：（1）35x x -； （2）44y x -. 解：（1）35x x - ()123-=x x()()311x x x =+-；（2）44y x -()()2222y x-=()()2222x y x y =+- ()()()22x y x y x y =++-.【注意】（1）如果多项式的各项含有公因式，那么先提公因式，再进一步因式分解.（2）因式分解要彻底，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止. 同步练习：把下列各式分解因式：（1）3（a +b ）2-27c 2 ； （2）16（x +y ）2-25（x -y ）2； （3）a 2（a -b ）+b 2（b -a ）； （4）（5m 2+3n 2）2−（3m 2+5n 2）2. 【答案】（1）3（a +b +3c ）（a +b -3c ）；（2）（9x -y ）（9y -x ）；（3）（a +b ）（a -b ）2；（4）16（m 2+n 2）（m +n ）（m −n ）.【合作探究，解决问题】用平方差公式因式分解解决综合问题.（师生互动）例4 已知2 48-1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数. 【探索思路】被自然数整除的含义是什么？248-1这个数比较大，怎样求出符合要求的两个数？解：248-1＝（224+1）（224-1）＝（224+1）（212+1）（212-1） ＝（224+1）（212+1）（26+1）（26-1）.∵26＝64，∴26-1＝63，26+1＝65， ∴这两个数是65和63.教学反思【题后总结】（学生总结，老师点评）解决整除的基本思路就是将数化为整数乘积的形式，然后分析被哪些数整除.例5 利用因式分解计算： （1）1012-992；（2）5722×14-4282×14.【探索思路】观察式子特点，用提公因式法和公式法进行因式分解. 解：（1）1012-992＝（101+99）（101-99）＝400.（2）5722×14-4282×14＝（5722-4282）×14＝（572+428）（572-428）×14＝1 000×144×14＝36 000.【题后总结】（学生总结，老师点评）对于一些比较复杂的计算，如果通过变形转化为平方差公式的形式，可以使运算简便.课堂练习1.下列代数式中能用两数和与两数差的积因式分解的是（ ） A.a 2+b 2 B.−a 2−b 2 C.a 2−c 2−2ac D.−4a 2+b 22.将−4+0.09x 2分解因式的结果是（ ） A.（0.3x +2）（0.3x -2） B.（2+0.3x ）（2-0.3x ） C.（0.03x +2）（0.03x -2） D.（2+0.03x ）（2-0.03x ）3.已知多项式x +81b 4可以分解为（4a 2+9b 2）（2a +3b ）（3b -2a ），则x 的值是（ ）A.16a 4B.-16a 4C.4a 2D.-4a 2 4. 因式分解：249x -=_____________.5. 因式分解：2()1xy -＝ . 6. 因式分解：4x 2-y 2＝ . 7. 因式分解：a 2−144b 2＝ .8. 已知4m +n ＝40，2m -3n ＝5，求（m +2n ）2-（3m -n ）2的值. 参考答案1.D2.A3.B4. (23)(23)x x -+5. (1)(1)xy xy +-6. （2x +y ）（2x −y ）7.（a +12b ）（a −12b ）8. 解：原式＝（m +2n +3m −n ）（m +2n −3m +n ） ＝（4m +n ）（3n −2m ） ＝− （4m +n ）（2m −3n ）.当4m +n ＝40，2m −3n ＝5时，原式＝−40×5＝−200.课堂小结通过本节课的学习，要求同学们1.掌握两数和与两数差的积，并能灵活地利用两数和与两数差的积进行因式分解.2.进行因式分解过程中，有公因式的应先提取公因式，然后再分解，因教学反思式分解必须彻底.教学反思布置作业请完成本课时对应练习！板书设计因式分解——平方差法两数和与两数差的积：（1（2）用文字叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.。
八年级数学上册第12章整式的乘除12.5因式分解第二课时运用平方差公式分解因式导学全国公开课一等奖百
12.5 因式分解
目标突破
目标一 会利用平方差公式分解因式
例 1 [教材例 1 第(3)题针对训练] 将下列各式分解因式：
(1)x2－4y2；
(2)－19x2＋1.
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12.5 因式分解
解：(1)x2－4y2＝x2－(2y)2 ＝(x＋2y)(x－2y)． (2)－19x2＋1＝1－13x2 ＝(1＋13x)(1－13x)．
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12.5 因式分解
【归纳总结】能用平方差公式因式分解多项式含有特点： (1)该多项式是一个二项式； (2)两项是差形式； (3)每一项都能写成一个式子(单项式或多项式)平方形式．
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12.5 因式分解
目标二 会利用平方差公式分解因式处理实际问题
例 2 [教材补充例题] 在一块边长为 a 的正方形纸板的四个角上各 剪去一个边长为 b(b＜a2)的小正方形，做一个无盖的长方体，长方 体所用的纸板的面积(图中阴影部分)是多少？当 a＝35.2，b＝7.6 时，这个面积的值是多少？请利用分解因式的方法计算．
第12章 整式乘除
12. 5 因式分解
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第12章 整式乘除
第2课时 利用平方差 公式分解因式
知识目标 目标突破
总结反思
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12.5 因式分解
知识目标
1．经过自学阅读，了解公式法含义，明确它是因式分解一个基本 方法，会用平方差公式进行因式分解． 2．在了解利用平方差公式分解因式基础上，经过转化，能处理实 际问题． 3．经过观察、思索，能用平方差公式处理简算ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ题和其它问题．
12.5 因式分解
反思
因式分解：－a2＋4b2. 解：原式＝(－a＋2b)(－a－2b)． (1)错因分析：
华东师大版八年级数学上册因式分解公式法课件
1002－2×100×99+99² 解：原式=（100－99)²
=1.
本题利用完全平方 公式分解因式的方 法，大大减少计算 量，结果准确.
当堂练习
1.把下列各式分解因式：
(1) 16a2-9b2
(4a+3b)(4a-3b)
(2) (a+b)2-(a-b)2
4ab
(3) 9xy3-36x3y
9xy(y+2x)(y-2x)
a2 ± 2 . a . b + b2
下列各式是不是完全平方式？
首2 2 首 尾 尾2
（1）a2－4a+4;
是 （2）1+4a²; 不是
（3）4b2+4b-1; （5）x2+x+0.25.
不是 （4）a2+ab+b2; 不是 是
分析： （2）因为它只有两项；
（3）4b²与-1的符号不统一； （4）因为ab不是a与b的积的2倍.
2、m²-6m+9=( m)²- 2·(m ) ·(3 )+( 3 )²=(m - 3 )² 3、a²+4ab+4b²=(a )²+2·( a ) ·(2b )+(2b )²=( a + 2b )²
a2 ± 2 . a . b + b2 = （ a ± b )²
首2 2 首 尾 尾2 (首 尾)2
三查（多项式的因式分解要分解到不能再分解为止） 分解因式的一般步骤
二 运用完全平方公式因式分解
完全平方公式: a2 2ab b2 =（a ± b）2 完全平方式的特点：
1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍. 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成 完全平方形式，便实现了因式分解.
八年级数学上册第12章整式的乘除12.5因式分解12.5.4因式分解(分组分解法,十字相乘法分解因
重庆市沙坪坝区虎溪镇八年级数学上册第12章整式的乘除12.5 因式分解12.5.4 因式分解（分组分解法，十字相乘法分解因式）教案（新版）华东师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（重庆市沙坪坝区虎溪镇八年级数学上册第12章整式的乘除12.5 因式分解12.5.4 因式分解（分组分解法，十字相乘法分解因式）教案（新版）华东师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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因式分解课题名称12。
5.4因式分解（分组分解法，十字相乘法分解因式）三维目标1、能找到适当的方法将多项式因式分解并分解彻底。
2、提高对因式分解的认识和将多项式因式分解的能力.重点目标能找到适当的方法将多项式因式分解并分解彻底.难点目标提高对因式分解的认识和将多项式因式分解的能力导入示标复习前面学习过的因式分解的方法目标三导学做思一:1、分组分解法：适用于四项以上的多项式。
如多项式a2—b2+a—b中没有公因式，又不能直接利用公式分解.但是如果前两项和后两项分别结合，把多项式分成两组,再提公因式，即可达到分解因式的目的。
例1分解因式：a2—b2+a-b =（a2-b2）+ （a—b）=(a+b)(a-b)+（a—b）=（a-b）（a+b+1）⑴这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法.⑵原则：分组后可直接提取公因式或直接利用公式，但必须各组之间能继续分解.⑶有些多项式在用分组分解法时，分组方法不唯一。
数学华师版八年级上册第12章整式的乘除12.5.2提公因式法课件
公因式的确定方法：(1)系数：取各项系数的最大公 约数；(2)字母：取各项都含有的字母；(3)指数：取 相同字母的最低次数．公因式可以是单项式，包括 单独的一个数，一个字母，也可以是多项式．
（来自《点拨》）
知1－练
1 2
多项式8x2y2－14x2y＋4xy3各项的公因式是(
)
A．8xy
B．2xy
C．4xy
D．2y
)
15a3b3(a－b)，5a2b(b－a)的公因式是( A．5ab(b－a) B．5a2b2(b－a)
C．5a2b(b－a)
3
D．以上均不正确
观察下列各组式子：①2a＋b和a＋b；②5m(a－b)和 －a＋b；③3(a＋b)和－a－b；④x2－y2和x2＋y2.其中
知2－讲
例4 用提公因式法将下列各式分解因式： (1)4x2y3＋8x2y2z－12xy2z；(2)－a2b3c＋2ab2c3－ab2c；
(3)5x(x－2y)3－20y(2y－x)3.
导引：运用提公因式法分解因式的第一步是确定公因式，公因 式可以是单项式，也可以是多项式；第二步是提取公因
式，其中(2)题应先提出“－”号，(3)题可把(2y－x)3化为
有公因式的是(
A．①②
)
C．③④ D．①④
（来自《典中点》）
B．②③
知2－讲
知识点
提公因式法
2 提公因式法分解因式
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取 出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形 式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 用字母表示为：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)． 要点精析：(1)提公因式法实质上是逆用乘法的分配律． (2)提公因式法的一般步骤：第一步找出公因式；第二步 确定另一个因式；第三步写成积的形式．
2022秋八年级数学上册第12章整式的乘除12.5因式分解2公式法__平方差公式课件新版华东师大版
答案显示
a2－b2＝_(_a_＋__b_)_(a_－__b_)_，即两个数的平方差，等于这 两个数的和与这两个数的差的积．
1．【2020·金华】下列多项式中，能运用平方差公式分 解因式的是( C )
A．a2＋b2 B．2a－b2 C．a2－b2 D．－a2－b2
2．【中考·济宁】多项式4a－a3分解因式的结果是( B ) A．a(4－a2) B．a(2－a)(2＋a) C．a(a－2)(a＋2) D．a(2－a)2
(3)因式分解与整式乘法有互逆关系，请你利用a2－b2＝(a＋ b)(a－b)简算：
①999.92－0.12；
解：999.92－0.12 ＝(999.9－0.1)×(999.9＋0.1) ＝999.8×1 000 ＝99962 ＝356－3316×356＋3316 ＝－1138×1 ＝－1138.
任意两个奇数的平方差是8的倍数．
(3)说明这个规律的正确性．
解：设m、n为两个整数，两个奇数可分别表示为2m＋1和 2n＋1，则(2m＋1)2－(2n＋1)2＝4(m－n)(m＋n＋1)．①当 m、n同是奇数或同是偶数时，m－n一定为偶数，所以4(m －n)一定是8的倍数；②当m、n一奇一偶时，m＋n＋1一 定为偶数，所以4(m＋n＋1)一定是8的倍数．综上所述， 任意两个奇数的平方差是8的倍数．
【点拨】设较小的偶数为2n，则较大的偶数为2n＋2， 则(2n＋2)2－(2n)2＝(2n＋2＋2n)(2n＋2－2n)＝2(4n＋2) ＝4(2n＋1)． ∴能被4整除，故选C.
15．【中考·宜昌】小强是一位密码编译爱好者，在他的
密码手册中，有这样一条信息：a－b、x－y、x＋y、
a＋b、x2－y2、a2－b2分别对应下列六个字：昌、爱
八年级数学上册 第12章 整式的乘除12.5 因式分解第2课时课件 华东师大级上册数学课件
解：(1) x5－x3 = x3 (x2 –1) = x3 (x+1)(x－1)
结论 ： (jiélùn)
1、若有公因式，要先提公因式，再考虑平方差
公式.
2、分解因式分解到不能分解为止.
(2)2x4-32y4 =2(x4-16y4)
=2(x2+4y2)(x2-4y2)
12/11/2021
= 2(x2+4y2)(x+2y)(x-2y)
(2x+y)(2x-y)= (2x)2-y2=4x2-y2
试一试：
根据上面结果(jiē guǒ)，你会做下面因式分解吗？
a2 -9= （ a+3）( a-3)
4x2-y2= ( 2x+y)( 2x-y)
12/11/2021
a2- b2 =(a +b) (a - b)
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因式分解(yīn shì fēn jiě)的平方差公式：两的个积因的式形(yī式nshì)
(a+b)(a-b) = a²- b² 两个(liǎnɡ ɡè)数的和与这两个数的差 的积，等于这两个数的平方差。
公式结构特点：
等式左边是：两个数的和与这两个 数的差的积
12/等11/202式1 右边是：这两个数的平方差
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: 做一做 根据(gēnjù)平方差公式做下列练习
（a+3)(a-3)= a2 -9
平方式
示什么
（a－b）2
是
ab表表示示1(b/iǎ2oshì)x，( x
1 )2 2
9a2b23ab 1 否
1m2 3mn9n2 4
x610x325 /11/2021
是
a表示
12.5 因式分解(第2课时 运用两数和乘以这两数的差公式因式分解)
利用因式分解计算
巩固
4. 计算：
(65 1 )2 (34 1 )2
2
2
探究 根据数的开方知识填空：
4 ( )2
3 ( )2
结论：
a ( a )2 (a 0)
范例 例4 在实数范围内因式分解：
(1)x2 3
(2) 5 4a2
巩固 5.在实数范围内因式分解：
4
范例 例2 因式分解：
(1)16(x y)2 9(x y)2 (2) 4 (2m n)2
25
把括号看作一个整体
巩固 4. 把下列各式因式分解：
(1)(a b)2 c2 (2)( x p)2 (x q)2 (3)( x y)2 (z m)2
范例 例3 简便计算：
作业
2.已知 a b 3, a2 b2 12， 求 a b 的值。
范例 例1 因式分解：
(1)x2 4 (2) 4n2 9m2
先确定a2和b2
巩固
2.下列多项式能否用两数和乘以这两数 的差的公式因式分解？
x2 y2
x2 y2
x2 y2
x2 y2
a2和b2的符号相反
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
巩固 3. 因式分解：
(1) 9 4x2 (2)x2 y2 1 z2
探究
Ⅰ.怎样将多项式 a 2 b2 进行因式分
解？
(a b)(a b) a2 b2
整式乘法
a2 b2 (a b)(a b)
因式分解
归纳
因式分解方法
公式法分解因式：
两数的平方差，等于这两数的和 与这两数差的积。
八年级数学上册第12章整式的乘除12.5.1提公因式法教学课件(新版)华东师大版
想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？
是互为相反的变形，即
因式分解(yīn shì fēn jiě)
x2-1
(x+1)(x-1)
整式(zhěnɡ shì)乘法
x2-1 = (x+1)(x-1)
等式的特征：左边是多项式，右边是几
个整式的乘积
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辨一辨：
在下列等式(děngshì)中，从左到右的变形是因式分解的有 ③ ⑥ ，
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4.计算(jìsuàn)（-2）101+（-2）100 解：原式=（-2）100 ×（-2+1） =2100 ×（-1） =-2100.
5.已知: 2x+y=4,xy=3,求代数式2x2y+xy2的值. 解：2x2y+xy2=xy(2x+y)=3 ×4=12.
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⑥ 2x+4y+6z=2(x+2y+3z)
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二 因式分解之基本方法—提公因式法
这个(zhège)多项式有什么特点？
pa+pb+pc
相同(xiānɡ 多项式中各项都含tó有n的ɡ相)因同因式式p，叫做(jiàozuò)这个
多项式的公因式.
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典例精析
例1 找 3x 2 – 6 xy 的公因式.
3
系数 (xìshù)： 最大公约数
x1
字母(zìmǔ)： 相同的字母 (zìmǔ)
指数：相同字母 的最低次幂
所以(suǒyǐ)公因式是3x.
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知识要点
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式 提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积(chéngjī) 的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
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