第二讲归纳与猜想
猜想与归纳
①1×12＝1－12 ②2×23＝2－23 ③3×34＝3－34④4×45＝4－45……猜想与归纳归纳与猜想问题指的是给出一定条件（可以是有规律的算式、图形或图表），让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探索题。
其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论，这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性。
例1观察右面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应等式，探究其中的规律：⑴写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示：⑵猜想并写出与第n 个图形相对应的等式。
例2将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，再将其中的一小片正方形纸片剪成四片，如此循环进行下去，⑴如果能剪100次，共有多少个正方形？据上表分析，你能发现什么规律？ ⑵如果剪n 次共有A n 个正方形，试用含n 、A n 的等式表示这个规律； ⑶利用上面得到的规律，要剪得22个正方形，共需剪几次？ ⑷能否将正方形剪成2004个小正方形？为什么？⑸若原正方形的边长为1，设a n 表示第n 次所剪的正方形的边长，试用含n 的式子表示a n ； ⑹试猜想a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 与原正方形边长的关系，并画图示意这种关系．例3下图中，图⑴是一个扇形AOB ，将其作如下划分：第一次划分：如图⑵所示，以OA 的一半OA 1为半径画弧，再作∠AOB 的平分线，得到扇形的总数为6个，分别为：扇形AOB 、扇形AOC 、扇形COB 、扇形A 1OB 1、扇形A 1OC 1、扇形C 1OB 1；第二次划分：如图⑶所示，在扇形C 1OB 1中，按上述划分方式继续划分，可以得到扇形的总数为11个；第三次划分：如图⑷所示；……依次划分下去.⑴根据题意，完成下表：⑵根据上表，请你判断按上述划分方式，能否得到扇形的总数为2005个？为什么？优化训练1． 如图，细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：（1）2＋1＝2 S 1＝12 （2）2＋1＝3S 2＝22（3）2＋1＝4 S 3＝32⑴请用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律； ⑵推算出OA 10的长；⑶求出S 12＋S 22＋S 32＋…＋S 102的值．2． 观察图1至图5中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放，记第n 个图中的小黑点的个数为y .A 6 … A 51 1 A 4 1 A 3 A 21 A 111 O S 1 S2 S3 S4 S 5图⑷第三次划分 图⑴ A B O 图⑵第一次划分 A B O A 1 C B 1 C 1 图⑶第二次划分 A B OA 1 CB 1C 1⑴ ⑵⑶⑷解答下列问题： ⑴填表：⑵当n ＝8时，y ＝ ___；⑶你能猜想y 与n 之间的关系式吗？你是怎么得到的，请与同伴交流；⑷下边给出一种研究方法。
归纳—猜想—证明
归纳—猜想—证明归纳法是由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法。
归纳法分为不完全归纳法与完全归纳法，数学归纳法是“完全归纳”的一种科学方法，对于无穷尽的事例，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法予以证明，这就是“归纳—猜想—证明”的思想方法，1．什么是归纳法在初中学习平面几何时，常会遇到如下推理：三角形内角和为180°，直角三角形是三角形，所以直角三角形内角和为180°。
这种由一般命题推出特殊命题的推理方法，我们称为演绎法。
但很多时候，往往需要从特殊的事例推出一般的原理，例如，一个人通过若干天的观察，看到“太阳从东方升起”， 就推出一般结论：“今后的每一天太阳都从东方升起”，这种推理方法叫做归纳法。
归纳法在科学发展和社会生活中起着重要作用，如气象工作者、水文工作者根据积累的历史资料作气象预测、水文预测，用的就是归纳法归纳法有什么特点？来看两个问题。
问题1：这里有一袋球共10个，要判断这袋球的颜色是白色，还是其他颜色，请问怎么办？学生：一个个拿出来看一看。
教师：这一袋球都是白色的。
问题2：数列的通项公式()2255n a n n =-+，计算1234,,,a a a a 的值，可以得到什么结论？学生：该数列的前四项都是1，猜测该数列的所有项都是1教师：这是错误的结论，该数列第五项是25。
解决以上两个问题用的都是归纳法——用一些特殊事例推出一般结论。
为什么问题1的结论正确，问题2的结论错误呢？这是因为问题1中，一共10个球，全部看了一遍，结论当然正确。
问题2中，根据前4 项为1，推测到所有项都是1，由于自然数有无数多个，因此得出的结论不一定正确。
实际上在这两个问题中运用的归纳法是有区别的，问题1中把研究对象都一一考察到了，这样推出结论的归纳法称为完全归纳法（通过验证一切可能的特殊事例，从而得出一般性结论，这种归纳推理称为完全归纳法）。
问题2中，根据部分事实推出了更加一般的事实，这种推理方法称为不完全归纳法（通过验证有限的特殊事例，从中推断出一般性的结论，这种归纳推理称为不完全归纳法）。
28 归纳与猜想
28归纳与猜想当一个问题涉及到相当多的乃至无穷多的情形时，可从问题的简单情形或特殊情况人手，通过对简单情形或特殊情况的试验，从中发现一般规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径或方法，这种研究问题的方法叫归纳猜想法． 归纳是建立在细致而深刻的观察基础上，发现往往是从观察开始的，观察是解决问题的先导，解题中的观察活动主要有三条途径： 1．数与式的特征观察； 2．几何图形的结构观察；3．通过对简单、特殊情况的观察，再推广到一般情况．需要注意的是，用归纳猜想法得到的结果，常常具有或然性，它可能是成功的发现，也可能是失败的尝试，需用合乎逻辑的推理步骤把它写成无懈可击的证明．例l 下图是飞行棋的一颗骰子，根据图中A 、B 、C 三种状态所显示的数字，推出“?”处的数字是 ．(东方航空杯——上海市竞赛题)（A) (B) (C)解题思路认真观察A 、B 、C 三种状态所显示的数字，从中发现规律，作出推断． 例2有以下两个数串：l ，3，5，7，…，1991，1993，1995，1997，1999 和1，4，7，10，…，1990，1993，1996，1999同时出现在这两个数串中的数的个数共有( )．(第九届“希望杯”邀请赛试题)(A)333 (B)334 ．(C)335 (D)336解题思路从观察分析归纳每个数串的特征人手．例3化简 个n 999× 个n 999＋1个n 999 (西安市竞赛题) 解题思路先考察n=l ，2，3时的简单情形，然后作出猜想，这样，化简的目标更加明确． 例4平面内的i00条直线至多可把平面分成几部分? 解题思路还是从最简单的情形考察起，关键在于能否发现每添加一条直线与上一次加线可把平面分成几部分的联系．例5观察按下列规则排成的一列数： 11,21,12,31,22,13,41,32,23,14,51,42,33,24,15,61……(※)(1)在(※)中，从左起第m 个数记为F(m)，当F(m)=20012时，求m 的值和这m 个数的积．(2)在(※)中，未经约分且分母为2的数记为c ，它后面的一个数记为d ，是否存在这样的两个数f 和d ，使cd=2001000，如果存在，求出c 和d ；如果不存在，请说明理由．(2002年湖北赛区选拔赛题)解题思路按分母递减而分子递增的变化规律，对原数列恰当分组，明确每组中数的个数与分母的关系、未经约分且分母为2的数在每组中的位置，这是解本例的关键．1．研究下列算式，你会发现有什么规律? 1×3+1—4=222×4+1—9=32 3×5+1—16=42 4×6+1—25=52请将你找出的规律用公式表示出来2．有数组(1，1，1)，(2，4，8)，(3，9，27)，数之和为 ．(广州市竞赛题)3．观察下列各式： 12×2=12+2 23×3=23+3 34×4=45＋5 …………(山东菏泽中考题)一般地，能否得出“两数之积等于两数之和”的结论？ ，什么样两个数才有这样的性质? ．(用字母表示) 4．按一定规律排列的一串数 11，-31，32，-33，51，-52，53，-54，55，-71，72，- 37，…中，第98个数是 ． (山东省竞赛题)5．给出下列两列数2，4，6，8，10，…，1994 6，13，20，27，34，…，1994则这两列数中，相同的数的个数是( )．(浙江省竞赛题)(A)142 (B)143 (C)284 (D)2856．有1000个数排成一行，其中任意相邻的三个数中，中间的数等于它前后两个数的和．若第一个数和第二个数都是1，则这1000个数的和等于( )． (A)1000 (B)1 (C)0 (D)一1(山东省竞赛题)7．一条直线分一张平面为两部分，二条直线最多分一张平面为4部分，设五条直线最多分平面为n 部分，则n 等于( )．(北京市“迎春杯”竞赛题)(A)16 (B)18 (C)24 (D)31 8．某中学科技楼窗户设计如图(1)所示，如果每个符号(窗户形状)代表一个阿拉伯数码，每横行三个符号自左至右看成一个三位数，这四层组成四个三位数，它们是837，571，206，439，则按图(1)所示．的规律写出1992应是图(2)中的( )．(图1) (图2) 9．设n 为自然数，证明n 11111个n 55555个是两个连续奇数的和.10．一串数排成一行，它们的规律是这样的：头两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，也就是1，l ，2，3，5，8，13，21,34,55… 问：这串数的前100个数中(包括第100个数)有多少个偶数?(“华罗庚金杯”赛试题)11．将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分成不少于50个小纸片，至少要画多少条直线?请说明理由．(“五羊杯”试题) 12．已知ax+by=7，ax 2+by 2=49，ax 3+by 3=133，ax 4+by 4=406,求1995(x+y)+6xy 一172(a+b)的值． (“希望杯”邀请赛试题)13．有依次排列的3个数：3，9，8．对任相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，一1，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，--10，一1，9，8，继续依次操作下去．问：从数串3，9，8开始操作第一百次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少？。
归纳与猜想
归纳与猜想★★知识综述归纳是一种重要的推理方法，是根据具体事实和特殊现象，通过实验、观察、比较、概括出一般的原理和结论。
猜想是一种直觉思维，它是通过对研究对象的实验、观察和归纳、猜想它的规律和结论的一种思维方法。
猜想往往依据直觉来获得，而恰当的归纳可以使猜想更准确。
我们在进行归纳和猜想时，要善于从变化的特殊性中寻找出不变的本质和规律。
★★理解掌握●例1．用等号或不等号填空：（1）比较2x 与x 2＋1的大小①当x ＝2时，2x x 2＋1；②当x ＝1时，2x x 2＋1；③当x ＝－1时，2x x 2＋1．（2）可以推测：当x 取任意实数时，2x x 2＋1．●例2．观察下列分母有理化的计算：12121-=+，23231-=+，34341-=+，45451-=+…从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：1)2002)(200120021341231121(+++++++++ =＿＿＿＿。
●例3．观察下列数表：1 2 3 4 … 第一行 2 3 4 5 … 第二行 3 4 5 6 … 第三行 4 5 6 7 … 第四行 … … … … 第一列 第二列 第三列 第四列根据数表所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为＿＿＿＿，第n 行与第n 列交叉点上的数应为＿＿＿＿。
（用含正整数n 的式子表示）●例4．将一个边长为1的正方形纸，剪成四个大小一样的正方形，然后将其中的一个按同样的方法剪成四个正方形，如此循环下去，观察下列图形和所给表格中的数据后填空格。
操作的次数 1 2 3 ... 10 ..... n ……正方形个数 4 710 ……●例5．下面三个图是由若干盆花组成形如三角形的图案，每条边（包括顶点）有n(n>1)盆花，每个图案花盆总数为S，按此规律推断，S与n的关系式是＿＿＿＿＿＿。
n=2 n=3 n=4S=3 S=6 S=9★★拓宽应用●例6．⑴如下表：方程1，方程2，方程3，……，是按照一定规律排列的一列方程，解方程1，并将它的解填在表中的空白处：序号方程方程的解11216=--xx=1x＿＿=2x＿＿21318=--xx41=x62=x314110=--xx51=x82=x…………⑵若方程)ba(bxxa>=--11的解是61=x，102=x，求a，b的值，该方程是不是⑴中所给出的一列方程中的一个方程？如果是，它是第几个方程？⑶请写出这列方程中的第n 个方程和它的解，并验证所写出的解适合第n 个方程。
7.6_归纳-猜想-论证
7．6 归纳—猜想—论证一、教学内容分析归纳法是由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法．归纳法分为不完全归纳法与完全归纳法．对于无穷尽的事例，用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法予以证明，这就是“归纳—猜想—论证”的思维方法．教材在介绍归纳法的基础上，通过例题，引导学生体验和学习这种科学研究的思维方法．论证时采用的数学归纳法是证明与自然数有关命题的一种重要方法，是演绎推理．本节内容将归纳推理和演绎推理紧密结合起来，使学生对归纳与演绎这一重要的数学思想有一个整体认识．二、教学目标设计1．了解数学推理的常用方法：归纳法与演绎法，进一步理解数学归纳法的适用情况和证明步骤．2．通过实例，理解利用归纳的方法，发现规律、提出猜想，然后用数学归纳法证明的思想方法，获得对于“归纳—猜想—论证”过程的体验，初步形成在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力．3．体验概念形成过程，引起对“归纳—猜想—论证”思维方法的兴趣，提升数学素养．三、教学重点与难点重点：“归纳—猜想—论证”思维方法的渗透和学习．难点：对数学归纳法的进一步理解和应用．四、教学流程设计五、教学过程设计1．引入问题1．用数学归纳法证明：2222121(1)1234(1)(1).2n n n n n --+-+-++-=- 选题目的：回顾并熟练掌握用数学归纳法证明数学命题的过程与 基本步骤，为新课的引入做好铺垫．2．归纳猜想我们已经学习了用数学归纳法来证明一些等式，但是这些等式又 是如何得到的呢？[说明] 引起学生思考，探求结论获得的可能方法：一是直接计算获得结论，二是归纳猜想．问题2．数列的通项公式22(55)n a n n =-+，计算1234,,,a a a a 的值，你可以得到什么结论？问题3．费马（Fermat ）是17世纪法国著名的数学家，他是解 析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献．费马认为，当n ∈N 时，221n+一定都是质数，这是他对n=0，1，2，3，4作了验证后得到的．18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler ）却证明了5221+=4 294 967 297=6 700 417×641，从而否定了费马的推测．问题4．设2()41f n n n =++，则当n ∈N 时，()f n 是否都为质数？(0)41f =，(1)43f =，(2)47f =，(3)53f =，(4)61f =，(5)71f =，(6)83f =，(7)97f =，(8)113f =，(9)131f =，(10)151f =，，(39)1601f =．但是(40)16814141f ==⨯是合数．找出运用归纳法出错的原因，并研究出对策来！3．归纳猜想论证在数学问题的探索中，为了寻求一般规律，往往先考虑一些特例， 进行归纳，形成猜想，这是归纳与猜想．但猜测的结论一定正确吗？不一定！通过归纳猜测的结论可能错误也可能正确，然后一定要去证明这些猜想的正确与否．证明一个命题为假命题只需要举出一个反例．证明一个命题为真命题需要逻辑推理．二、例题讲解：{}时命题成立，综合时当假设命题成立当解：前，例)(1)26(12(32)(3......834323,3.111131+=∴-==+=∈====∈======+++k n a S S k n n a a k k k n n 命题成立当）命题成立，即猜测并证明？猜测项和已知数列)21((2321)26()(23),3,11)(2,,,261*1*111*1421∈==⇒---=-+---+N k a a a a N k a k n a N n a a a a a S n a k k k k k k k n n n n当时当命题成立，即假设命题成立当猜测解：并证明？猜测项和，前已知数列例1012))1(21())1(21(1))2(,101,1)1()(1......23,12,1),1(210.21121111*1*321=∴-+=⇒=-+⇒+-+=-=+=∈-===-==∈--=-=-==+=>++++++k n k a a k a a a a a S S a k n N k k a k n a n N n n n a a a a a a a S n a k k k k k k k k k k k n n nn n n 命题成立立猜测并证明？猜测)2)(101))1(21())(1)(1......2),1(2112**=-⇒+-∈--∈--=+=+a a a N k k k N n n a a a a k k k k n n n n 时命题成立，综合当）时当命题成立，即假设命题成立当猜测解：并证猜测项和，前已知数列例1(12))1())1(21(1)(1)2(,101,1)1(......23,1),1(210.2*1211*131+=∴∈⇒+⇒+++=∈--===-==--=-==+=>++++k n N k a a a a a a k n N k k k a k n a n n n a a a a a S n a k k k k k k k n n n n n n 命题成立时命题成立，综合当）时当命题成立，即假设命题成立当解：并证明？项和，前已知数列例)2)(1(1(01))12(1)(1)2(,101,1)1()(123,12,11210.2*112111*1*321+=∴∈-=⇒=-+⇒=-=+=∈--===-==∈--=-=-===>+++++k n N k k a a a S S a k n N k k k a k n a n N n n n a a a a a S n a k k k k k k k k n n n n ：（1）当n =时，左边1a ==，右边=-=，∴等式成立； （2）假设当)n k n N *=∈时等式成立，即：k a 则当n k =+时， 1111111122k k k k k k k a S S a a a a ++++⎛⎫⎛⎫=-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 111111111222k k k k a a a a ++++⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 211111002k k k k a a a ++++-⇒+=⇒=>⇒= 即当1n k =+时，等式也成立， ∴由（1）（2）可知，等式对任何*∈都成立。
归纳与猜想2(数学思想方法
归纳与猜想（2） 数学思想的应用
一、数形结合的思想
• 例1、如图是由若干个小圆堆成的等边 三角形的图案最上面一层有一个圆圈， 以下各层均比上一层多一个圆圈，一 共堆了n层. 将图1倒置后与原图1拼成 图2的形状，这样我们可以算出图1中 所有圆圈的个数为 1+2+3+…+n= ，
一、数形结合的思想
ห้องสมุดไป่ตู้ 图4
• 用整体思想解题：为了简化问题，我们往往 把一个式子看成一个数的整体，是按提示解 答下列问题： （1）已知A＋B＝3x2－5x＋1，A－C＝－2x ＋3x2－5，求当x＝2时B＋C的值。 （2）若代数式2x2＋3y+7=8，求代数式6x2＋ 9 y＋8的值． xy 3x 5 xy 3 y 2, 求代数式 的值 （3）已知
x y x 3xy y
类型二、整体的思想
类型三、化归思想
• 如图，“回”字形的道路宽为1米，整个 “回”字例2.如图，“回”字形的道路宽为 1米，整个“回”字形的长为8米，宽为7米， 一个人从入口点A沿着道路中央走到终点B， 他共走了( )． (A)5 5米 (B)5 5．5米 (C)5 6米 (D)5 6．5米
归纳与猜想
三．归纳与猜想一、 知识综述归纳是一种重要的推理方法，是根据具体事实和特殊现象，通过实验、观察、比较、概括出一般的原理和结论。
猜想是一种直觉思维，它是通过对研究对象的实验、观察和归纳、猜想它的规律和结论的一种思维方法。
猜想往往依据直觉来获得，而恰当的归纳可以使猜想更准确。
我们在进行归纳和猜想时，要善于从变化的特殊性中寻找出不变的本质和规律。
二、理解掌握例1、用等号或不等号填空：（1）比较2x 与x 2＋1的大小①当x ＝2时，2x x 2＋1；②当x ＝1时，2x x 2＋1；③当x ＝－1时，2x x 2＋1．（2）可以推测：当x 取任意实数时，2x x 2＋1．分析：本题是通过计算发现和猜想一般规律题，正确计算和发现规律是关键。
解：（1）＜，＝，＜； （2）≤。
例2、观察下列分母有理化的计算：12121-=+，23231-=+，34341-=+， 45451-=+…从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算： 1)2002)(200120021341231121(+++++++++ =＿＿＿＿。
分析：解本题时，要抓住分每有理化后的结果都是两数之差，且可以错位相消。
还要注意相消后所剩下的是什么。
解：1)2002)(200120021341231121(+++++++++ =)12002)(20012002342312(+-++-+-+- =)12002)(12002(+-=2002—1=2001。
例3、观察下列数表：1 2 3 4 …第一行2 3 4 5 …第二行3 4 5 6 …第三行4 5 6 7 …第四行…………第一列第二列第三列第四列根据数表所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为＿＿＿＿，第n行与第n列交叉点上的数应为＿＿＿＿。
（用含正整数n的式子表示）分析：本题要求的是同行同列交叉点上的数，因此，必须先研究同行同列交叉点上的数有什么规律，然后利用此规律解题。
解： 11 ， 2n—1.例4、将一个边长为1的正方形纸，剪成四个大小一样的正方形，然后将其中的一个按同样的方法剪成四个正方形，如此循环下去，观察下列图形和所给表格中的数据后填空格。
高中数学——猜想与归纳
猜想与归纳“数学归纳”是数学中一个重要的思想，通过归纳将信息进行整合，从而发掘出正确的解题思路。
同样它也是建立在类比、联想的基础之上的。
说到数学归纳不得不提到数学归纳法，一个美妙的思想方法。
在这一讲中都有涉及。
1、下面看一组字母，告诉我他们是如何分类的。
A M T U V W YB C D E KN S ZH I O XF G J L P Q R仔细观察（从对称的角度着手），有结果了吗？看看下面一组数列：1、1、2、3、5、8、13、21…有没有什么规律？这就是斐波那契数列。
现在考虑一下几个问题：1、他对加减法封闭吗？对乘法呢？2、它的公式是什么？3、每一项与前一项的比的极限是什么？一个平面可以吧空间最多分成2部分，两个平面最多分成4部分，那三个、四个、n 个呢？不妨从点可以把线分成几部分着手，在扩展到线可以把平面分成几部分。
下面列出一个表格。
分割元素个数 平面到空间 直线到平面 点到线0 1 1 11 2 2 22 4 4 33 8 7 44 15 11 55 ？ ？ 6..n ? ? n+1有没有发现什么规律呢？2+2=4，4+4=8，8+7=15，4+3=7，应该发现了吧！在边长为16米的正方形的草坪上安装水龙头使整个草坪都能喷到水，假设每个水龙头的喷洒范围都是6米的圆面。
那么至少要安装这种水龙头多少个？( )（A ）3 （B) 4 (C) 5 (D) 6这同样是一道高考题，答案是B ，说实话，这道题目要是硬要去算的话是比较麻烦的，靠猜想与归纳解决是个不错的选择。
再看一道猜出来答案的题，同样是到高考题。
13、四个好朋友在一次聚会上，他们各自按照自己的爱好选择了形状不同，内空高度相等，杯口半径相等的圆形杯口（如图所示）。
盛满酒后，他们约定：各自先饮杯中酒的一半。
设剩余的酒高度从左到右依次为、、、（A）>>( B)>>(C)>>(D)>>说实话话，要是去算得话，你会发现你无从下手，但奇怪的是80%的人都可以做出这道题。
第二部分 专题四 归纳与猜想
图 Z4-2
解析：根据规律找出每个半圆的半径即可，由题意，得第 n 个半圆的直径为 2n－1. 则第 4 个半圆的面积∶第 3 个半圆的面积
1 1 1 1 2 ＝2π2×8 ∶2π2×42＝4∶1. 1 1 n－1 2 第 n 个半圆的面积为2π2×2 ＝22n－5π.
答案：4 22n－5π 小结与反思：对于图形规律的题目，首先应找出哪些部分
发生了变化，是按照什么规律变化的，再解题．
答案：3n＋1
小结与反思：本题考查了数字的变化，是一道找规律的题 目，要求学生通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用上
的三角形的个数与图形的序列数之间的关系.
几何图形中的猜想 例 2：(2012 年广东广州)如图 Z4-2，在标有刻度的直线 l 上，从点 A 开始，以 AB＝1 为直径画半圆，记为第 1 个半圆； 以 BC＝2 为直径画半圆，记为第 2 个半圆；以 CD＝4 为直径 画半圆，记为第 3 个半圆；以 DE＝8 为直径画半圆，记为第 4 个半圆……按此规律，继续画半圆，则第 4 个半圆的面积是第 3 个 半 圆 面 积 的 ________ 倍 ， 第 n 个 半 圆 的 面 积 为 __________(结果保留π)．
专题四 归纳与猜想
规律探究问题是指给出一定条件(可以是有规律的算式、图 形或图表)，
让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，得出 结论，进而加以验证的数学探索题．
其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综
合归纳→猜想得出结论→验证结论，这类问题有利于培养学生
思维的深刻性和创造性．
数字或代数式中的猜想
例 1：(2014 年湖南娄底)如图 Z4-1 所示的是一组有规律的
专题复习 归纳与猜想(含答案)-
①1×12＝1－12 ②2×23＝2－23 ③3×34＝3－34④4×45＝4－45 ……专题复习 归纳与猜想归纳与猜想问题指的是给出一定条件（可以是有规律的算式、图形或图表），让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探索题。
其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论，这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性。
一、知识网络图二、基础知识整理猜想规律型的问题难度相对较小，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。
其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。
相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。
由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的又一热点。
★ 范例精讲【归纳与猜想】例1【河北实验区05】观察右面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应等式，探究其中的规律：⑴写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示：⑵猜想并写出与第n 个图形相对应的等式。
解：⑴5×56＝5－56⑵11+-=+⨯n nn n n n 。
例2〖归纳猜想型〗将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，再将其中的一小片正方形纸片剪成四片，⑵如果剪n 次共有A n 个正方形，试用含n 、A n 的等式表示这个规律； ⑶利用上面得到的规律，要剪得22个正方形，共需剪几次？ ⑷能否将正方形剪成2004个小正方形？为什么？ ⑸若原正方形的边长为1，设a n 表示第n 次所剪的正方形的边长，试用含n 的式子表示a n ；⑹试猜想a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 与原正方形边长的关系，并画图示意这种关系．解：⑴100×3＋1＝301，规律是：本次剪完后得到的小正方形的个数比上次剪完后得到的小正方形的个数多3个；⑵A n ＝3n ＋1；⑶若A n ＝22，则3n ＋1＝22，∴n ＝7，故需剪7次； ⑷若A n ＝2004，则3n ＋1＝2004，此方程无自然数解， ∴不能将原正方形剪成2004个小正方形；⑸a n ＝12n ；⑹a 1＝12＜1，a 1＋a 2＝12＋14＝34＜1，a 1＋a 2＋a 3＝12＋14＋18＝78＜1，……从而猜想到：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＜1.直观的几何意义如图所示。
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8. 在下表中：
123
··· 14 15
30 29 28
··· 17 16
31 32 33
··· 44 45
第 n行
··· A
···
第 n+1 行
··· B
···
第 n 行有一个数 A, 在它的下一行（第 n+1 行）同样的位置有一个数 B。
如果 A+B=391，那么 n 是
。
练习卷
1. 在下面的自然数塔形排列中， 第 16行的第 3 个数是
。
1
234
56789
10 11 12 13 14 15 16
··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
2. 观察下图：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
第二讲 归纳与猜想
例题精学
例1 下图是按规律排列的三角形数阵。
1
11
121
1331
14641
1 5 10 10 5 1
···
那么第 2008 行中左起第三个数是多少？
例 2 将自然数 1,2,3,4 ，···按箭头所指方向顺序排列（如下图） ，
依次在 2,3,5,7,10 ···等数的位置处拐弯。
21 → 22 → 23 → 24 → 25 → 26
少千米？
4
← 3 ←2
↓
↑
50
→ 1 ···
↓
↑
6
→7 →8 →9
3. 有红、橙、黄、绿、青、蓝、紫 7 种笔，在一张方格纸上自左上到 右下的斜行里按顺序地涂色（如下图） 。第 20 行（横向）第 30 个格 子里涂的是什么颜色。 红橙黄绿 橙黄绿 黄绿 绿
4. 有一张长 64 厘米、宽 16 厘米的纸，先用裁刀将它裁成相同的两张， 再任选其中一张裁成相同的两张， 然后再任选其中一张裁成相同的两 张······直到得到一张长 2 厘米、宽 1 厘米的纸为止，问：最少要 裁多少次？
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
（1）在粗线围成的长方形中， 9 个数的和是
；
（ 2）如果还有一个粗线围成的长方形中右下角的数是
个长方形围住的 9 个数的和是
点。在这 2000 个点中，任意 3 个点都不在同一条直线上，以这 2000
个点为顶点，可作出
个互不重叠的三角形。
7. 现有如上一系列图形： 当 n=1 时，长方形 ABCD被分为 2 个直角三角形，共有 5 条边； 当 n=2 时，长方形 ABCD被分为 8 个直角三角形，共有 16 条边； 当 n=3 时，长方形 ABCD被分为 18 个直角三角形，共有 33 条边； ······ 按如上规律，请你回答：当 n=100 时，长方形 ABCD应分为多少个直 角三角形？共有多少条边？
几个球？
A
个， B
个， C
个， D
个.
5. 下面这串数的规律是： 从左边第 3 个数起， 每个数都是它前面两个
数之和的个位数字。
6 、4、0、4、4、8、2、0、2、2、4、6、0、6、···
这串数的第 286 个数字是
。
6. 长方形内有 1996 个点，连同长方形的 4 个顶点在内， 共有 2000 个
；
159，那么这
（3）在上图中找出和是 387 的 9 个数，并用粗线围出这个长方形。
3. 如下图所示， 在正六边形 A 周围画出 6 个同样的正六边形 （阴影部 分），围成第 1 圈；在第 1 圈外面再画出 12 个同样的正六边形，围成 第 2 圈；······按这个方法继续画下去，当画完第 9 圈时，图中共有 多少个与 A 相同的正六边形？
b 10 14 19 25 6 9 13 18 3 5 8 12 a 124 7 例 4 若要用天平称出 1 克， 2 克， 3 克，···，40 克这些不同的整数 克重量，至少要用多少个砝码？这些砝码的重量分别是多少？
同步精练 1. 将所有大于 0 的自然数如下图形式排列， 23400 这个数应在第几行 第几个位置上？
1 234 56789 10 11 12 13 14 15 16
···
2. 一个人从中央（标有 0）的位置出发，向东、向北各走 1 千米，再
向西、向南各走 2 千米，再向东、向北各走 3 千米，向西、向南各走
4 千米，······，如此继续下去。他每走 1 千米就把所走的路程累计
标出（如图所示），当他走到距中央正东 100 千米处时，他共走了多
↑
·
20 7
→ 8 → 9 → 10
·
↑↑
↓
·
19 6 1
→ 2 11
↑↑
↓↓
18 5
← 4 ← 3 12
↑
↓
17 ← 16 ← 15 ← 14 ←13
（1）如果 2 算作第一次拐弯处，那么第 65 次拐弯处的数是多少？ （2）从 2002 到 2030 的自然数中，恰好在拐弯处的数是多少？
例 3 根据下表的 8×8 方格盘中已经填好的左下角 4×4 个方格中数 字显现的规律，找出方格盘中 a 与 b 的数值，并计算其和。
4.A 、B、C、D四个盒子里依次放有 9、6、3、0 个球。第一个小朋友
找到放球最多的盒子， 然后从中取出 3 个球分别放到其他三个盒子里
（每个盒子里放 1 个），第二个小朋友也找到放球最多的盒子，然后
从 中取 出 3 个球分 别放 到其 他三个 盒子 里（ 每个盒 子里 放 1
个）······当 100 个小朋友放完球后， A、B、C、D 四个盒子中各有