归纳与猜想
归纳、猜想、证明
归纳、猜想、证明教学目标1．对数学归纳法的认识不断深化．2．帮助学生掌握用不完全归纳法发现规律，再用数学归纳法证明规律的科学思维方法．3．培养学生在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力，进而引导学生去探求事物的内在的本质的联系．教学重点和难点用不完全归纳法猜想出问题的结论，并用数学归纳法加以证明．教学过程设计（一）复习引入师：我们已学习了数学归纳法，知道它是一种证明方法．请问：它适用于哪些问题的证明？生：与连续自然数n有关的命题．师：用数学归纳法证明的一般步骤是什么？生：共有两个步骤：（1）证明当n取第一个值n时结论正确；（2）假设当n=k（k∈N，且k≥n）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确．师：这两个步骤的作用是什么？生：第（1）步是一次验证，第（2）步是用一次逻辑推理代替了无数次验证过程．师：这实质上是在说明这个证明具有递推性．第（1）步是递推的始点；第（2）步是递推的依据．递推是数学归纳法的核心．用数学归纳法证题时应注意什么？生：两个步骤缺一不可．证第（2）步时，必须用归纳假设．即在n=k成立的前提下推出n=k+1成立．师：只有这样，才能保证递推关系的存在，才真正是用数学归纳法证题．今天，我们一起继续研究解决一些与连续自然数有关的命题．请看例1．（二）归纳、猜想、证明1．问题的提出a 3，a4，由此推测计算an的公式，然后用数学归纳法证明这个公式．师：这个题目看起来庞大，其实它包括了计算、推测、证明三部分，我们可以先一部分、一部分地处理．（学生很快活跃起来，计算工作迅速完成，请一位同学口述他的计算过程，教师板演到黑板上）师：正确．怎么推测an的计算公式呢？可以相互讨论一下．2．归纳与猜想生：我猜出了一个an的计算公式．（许多学生在偷笑）师：大家在笑什么？是笑他的“猜”吗？“猜”有什么不好．人们对事物的认识很多都是以“猜”开始的，探索新领域就需要大胆，敢猜敢想，当然还要有严谨的思维做后盾．我想他的“猜”，也一定不是胡蒙乱猜，一定会有他的道理的，说说你是怎么“猜”的．师：大家也一定觉得他说的有道理，但为什么用“猜想”呢？生：我只是通过对a1，a2，a3，a4的观察，就去归纳an的计算公式，这个公式不一定对，所以还只能是“猜想”．师：他是经观察有限个特例从中获取一定信息、分析它们共同具有的特征后，归纳出对一切自然数的一般结论．他用的是不完全归纳法．他的结论虽不一定正确，但这却是探索新知识，发现新规律的重要途径，归纳法是可以用于猜测与发现的．我们一起把他的“猜想”记录下来．（教师板书）师：这个“猜想”的正确性怎么能保证？生：用数学归纳法证明．3．证明（学生口述，教师板书）师：证得非常好．在证明n=k+1时，每一步的依据是什么？生：因为在这里，能否用上归纳假设是关键．因此先根据定义用ak 表示ak+1，然后就可代入归纳假设，再化简整理，即可证出n=k+1的相应结论．师：这才能体现出递推性．必须注意要由归纳假设（n=k时）的正确性来推n=k+1时的正确性，这是用数学归纳法证题的核心与关键．回顾我们的解题过程，光用不完全归纳法对事物的一部分特例，通过观察，加以归纳，得到猜想，再用数学归纳法对猜想加以证明．这种从观察到归纳到猜想到证明的过程，是一种科学的思维模式，也正是我们今天要研究的课题．（板书课题：归纳、猜想、证明）4．不完全归纳法中的“猜测”二法师：高斯说过：“发现和创新比命题论证更重要，因为一旦抓住真理之后，补行证明往往是时间问题．”在“归纳、猜想、证明”的过程中，猜想准确是关键．我们再看一个例题，在解题过程中重点思考：如何猜想．且n≥2）．先求出f（2），f（3），f（4）的值，再由此推测f（n）的计算公式，并对其正确性作出证明．（学生们在笔记本上解答，教师巡视完成情况，请两位同学把自己的解法写到黑板上）（学生甲书写如下）则f（n）=f（n-1）+lg 2n-1（n≥2）．f（3）=f（2）+lg 23-1=0+2 lg 2=2lg 2，f（4）=f（3）+lg 24-1=2lg 2+3 lg 2=5lg2．猜想：……（学生乙书写如下）得f（n）=f（n-1）+lg 2n-1（n≥2）．则f（2）=f（1）+lg 22-1=-lg 2+（2-1）lg 2=（-1+2-1） lg 2，f（3）=f（2）+lg 23-1=（-1+2-1+3-1） lg 2，f（4）=f（3）+lg 24-1=（-1+2-1+3-1）lg 2+（4-1）lg 2=（-1+2-1+3-1+4-1）lg 2．由此可以推测：f（n）=[-1+（2-1）+（3-1）+…+（n-1）]lg2=[-1+1+2+…+（n-1）]lg 2f（k+1）=f（k）+lg 2（k+1）-1师：我们一起来看两位同学的解题过程．学生甲的计算结果正确，但没有猜出来．学生乙没有求出f（2），f（3），f（4）的值，但猜出了计算公式，并用数学归纳法给予了证明．题目要求求值，还是应写出结果的，说说你这么写的理由吧．生乙：其实一开始，我跟学生甲一样，先算出了f（2），f（3），f（4）的值，但从-lg 2，0，2lg 2，5lg 2我除发现了应是多少倍的lg2就再无收获了，这“多少倍的”从-1，0，2，5实在无法断定，于是我就往回找，从计算的过程中，我发现了规律，一高兴就忘了写结果了．师：你是怎么从计算的过程中发现规律的？生乙：我是看f（2），f（3），f（4）每一个的计算过程都是在前一个结果的基础上加上（n-1）lg 2，也就是从n=2，3，4，…分别代入递推关系式f （n）=f（n-1）+（n-1）lg 2的求值计算过程中得到的．这里算每一个时要用前一个的结果，写时也用它的计算过程来表示，这样就容易发现规律了．师：实际上，他是通过算式的结构特征作出归纳、推测的，这种归纳我们不妨称之为：“猜结构”，而例1那种归纳我们就叫它做“猜结果”吧．其实，我们在猜想时，往往是先看结果，从结果得不出猜想时，再看过程，从解题过程中的式子结构去思考．但不管怎么猜想，都离不开对题目特征的认识．学生乙在用数学归纳法证明猜想时，注意了两个步骤及归纳假设的使用，证明正确．这个问题解决得非常好．归纳、猜想、证明是一种科学的思维方法，重要的解题途径，它是我们认识数学的一把钥匙．（三）练习已知数列{an }和{bn}，其中a n =1+3+5+…+（2n+1），bn=1+2+22+…+2n-1，（n∈N+）当n∈N+时，试比较an与bn的大小，并证明你的结论．（教师巡视学生的解题情况，适时点评）师：有的同学面对问题无从下手，一下子就想得到一个一般性的结论是不太容易，但我们可以从特殊的n=1，n=2，……入手，通过观察归纳，猜想出一个一般的结论，这应是可以做到的吧．……有的同学结论下得太草率，只看了a1与b1，a2与b2，a3与b3就下结论了，急于去证明，证的时候就有困难了．这种时候该怎么办？①看证法是否正确；②回过头来多试几个，甚至还应看看an ，bn的结构，再慎重下结论．（待大部分学生都解出后，教师将课前准备好的写在投影片上的解答在投影机上打出来并讲评．）当 n=1时，a1=4，b1=1，则a1＞b1；当n=2时，a2=9，b2=3，则a2＞b2；当n=3时，a3=16，b3=7，则a3＞b3；当n=4时，a4=25，b4=15，则a4＞b4；当n=5时，a5=36，b5=31，则a5＞b5；当n=6时，a6=49，b6=63，则a6＜b6；当n=7时，a7=64，b7=127，则a7＜b7；……由此得到：当n≤5（n∈R）时，an ＞bn；猜想：当n≥6（n∈R）时，an ＜bn．前一结论在推导时已用穷举法得到证明，后一猜想我们用数学归纳法加以证明．证明：（1）当n=6时，上面已证得a6＜b6，命题成立．（2）假设当n=k（k≥6）时命题成立，即k≥6时，（k+1）2＜2k-1．则当n=k+1时，bk+1=2k+1-1=2·2k-1=2（2k-1）+1＞2（k+1）2+1=2k2+4k+3=k2+4k+4+（k2-1）．因k≥6，则k2-1＞0．所以k2+4k+4+（k2-1）＞k2+4k+4．即bk+1＞k2+4k+4=（k+2）2=[（k+1）+1]2=ak+1．故ak+1＜bk+1，所以当n=k+1时，命题也成立．由（1），（2）得an ＜bn对任意n≥6且n∈N+都成立．第（2）步亦可由分析法证得．（2）假设当n=k（k≥6）时命题成立，即k≥6时，（k+1）2＜2k-1，则当n=k+1时，要证ak+1＜bk+1，即证：（k+2）2＜2k+1-1．这只要证（k+2）2＜2·2k-1．由归纳假设2k＞（k+1）2+1，只要证（k+2）2＜[（k+1）2+1]×2-1，只要证k2+4k+4＜2k2+4k+3，只要证1＜k2．这由k≥6是显然成立的，所以当n=k+1时命题也成立．师：本题不能只对n=1，2，3，4做出检验，就冒然断定当n∈N+时，an＞bn成立．如果仓促做出此推测，在后面证明受阻时，也应重新检查猜想是否准确．其实，仔细看看式子an =（n+1）2，bn=2n-1的结构，就不难发现：随着n的不断增大，bn 的增长速度明显快于an．想想这些，对结论的猜测会是大有好处的．（四）小结（引导学生一起归纳小结）1．归纳、猜想、证明是一个完整的思维过程，既需要探求和发现结论，又需要证明所得结论的正确性．它引导我们在数学的领域中积极探索，大胆猜想，可以充分地发挥我们的数学想象力．同时又要求我们注意对所得的一般结论作严格的数学证明．2．归纳法是一种推理方法，数学归纳法是一种证明方法．归纳法帮助我们提出猜想，而数学归纳法的作用是证明猜想．在归纳、猜想、证明的过程中，猜想是关键．我们可以“猜结果”，也可以“猜过程”，只要抓住问题的本质特征、知识的内在联系，就不难得到猜想．在用数学归纳法证明时，有时还可以弥补猜想中的不足．（五）布置作业已知数列{an }满足Sn+an=2n+1，其中Sn是{an}的前n项和．先求出a1，a2，a 3，a4的值，再推测{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．本题的求值计算、猜想都不是很困难，但用数学归纳法证明有一定难度．在由归纳假设ak 成立推证ak+1成立时，需ak+1与ak的关系式，而题目条件中没有直接给出，这就需要学生能有意识地利用条件Sn +an=2n+1①．由于n∈N，就可以得到Sn +1+an+1=2（n+1）+1②．将数学归纳法的证明中起着重要作用，而且可简化计算．有整体构想的同学应先推导出此关系式，再计算、猜想、证明）课堂教学设计说明利用“归纳、猜想、证明”这一思维方法解题，在课本中虽无这类例题，但复习参考题的最后一道却属此类．它对于学生认识数学、提高数学修养、发展数学能力的作用重大．在归纳、猜想、证明中，准确猜想是关键．因此我们把重点放在了如何猜想．它不仅能帮助学生使问题得以顺利解决，而且对于开发学生的想象力、培养学生的创新意识、培养新世纪人材都很有意义．在例题、习题、作业题的配备上，我们认为高中的学习特点是梯度陡、跨度大、思维能力要求高（较初中而言）．因此在题目的设置上，我们加大了思维的含量．让学生在处理每一个问题，操作每一步时都必须有所思考，使学生深切体会到：数学不能死记硬背，也不能生搬硬套．要用数学的思想方法观点学习数学、看待数学．本节安排的这道练习题．从题目本身看，学生得不到一个解题程序，似乎无从下手．但如果他已掌握了归纳、猜想、证明的思想而不只是方法的话，他就会有解题意识与思路．更可从中领略到发现、观察、归纳、猜想、证明这一数学研究的全过程，体会有限与无限、特殊与一般等辩证关系．至于课后思考题，其计算、猜想都不困难，使学生对此题轻松上手．但证明时的不顺利会引发他们的思考：照搬例习题的模式是不行的，它与例习题的区别何在？数学归纳法的本质特征是什么？……这些思考不仅有助于学生解出此题，更有助于学生从实质上理解数学归纳法，抓住其核心——递推．这节课的教学，我们始终以问题为主线，让学生的思维由问题开始，到问题深化．通过问题的研讨，帮助学生从认识上得到提高．逐步由特殊到一般，由具体到抽象，由表面到本质，把学生的思维步步引向深入．从而提高学生的思维层次与思维水平．。
猜想与归纳
①1×12＝1－12 ②2×23＝2－23 ③3×34＝3－34④4×45＝4－45……猜想与归纳归纳与猜想问题指的是给出一定条件（可以是有规律的算式、图形或图表），让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探索题。
其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论，这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性。
例1观察右面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应等式，探究其中的规律：⑴写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示：⑵猜想并写出与第n 个图形相对应的等式。
例2将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，再将其中的一小片正方形纸片剪成四片，如此循环进行下去，⑴如果能剪100次，共有多少个正方形？据上表分析，你能发现什么规律？ ⑵如果剪n 次共有A n 个正方形，试用含n 、A n 的等式表示这个规律； ⑶利用上面得到的规律，要剪得22个正方形，共需剪几次？ ⑷能否将正方形剪成2004个小正方形？为什么？⑸若原正方形的边长为1，设a n 表示第n 次所剪的正方形的边长，试用含n 的式子表示a n ； ⑹试猜想a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 与原正方形边长的关系，并画图示意这种关系．例3下图中，图⑴是一个扇形AOB ，将其作如下划分：第一次划分：如图⑵所示，以OA 的一半OA 1为半径画弧，再作∠AOB 的平分线，得到扇形的总数为6个，分别为：扇形AOB 、扇形AOC 、扇形COB 、扇形A 1OB 1、扇形A 1OC 1、扇形C 1OB 1；第二次划分：如图⑶所示，在扇形C 1OB 1中，按上述划分方式继续划分，可以得到扇形的总数为11个；第三次划分：如图⑷所示；……依次划分下去.⑴根据题意，完成下表：⑵根据上表，请你判断按上述划分方式，能否得到扇形的总数为2005个？为什么？优化训练1． 如图，细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：（1）2＋1＝2 S 1＝12 （2）2＋1＝3S 2＝22（3）2＋1＝4 S 3＝32⑴请用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律； ⑵推算出OA 10的长；⑶求出S 12＋S 22＋S 32＋…＋S 102的值．2． 观察图1至图5中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放，记第n 个图中的小黑点的个数为y .A 6 … A 51 1 A 4 1 A 3 A 21 A 111 O S 1 S2 S3 S4 S 5图⑷第三次划分 图⑴ A B O 图⑵第一次划分 A B O A 1 C B 1 C 1 图⑶第二次划分 A B OA 1 CB 1C 1⑴ ⑵⑶⑷解答下列问题： ⑴填表：⑵当n ＝8时，y ＝ ___；⑶你能猜想y 与n 之间的关系式吗？你是怎么得到的，请与同伴交流；⑷下边给出一种研究方法。
归纳—猜想—证明
归纳—猜想—证明归纳法是由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法。
归纳法分为不完全归纳法与完全归纳法，数学归纳法是“完全归纳”的一种科学方法，对于无穷尽的事例，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法予以证明，这就是“归纳—猜想—证明”的思想方法，1．什么是归纳法在初中学习平面几何时，常会遇到如下推理：三角形内角和为180°，直角三角形是三角形，所以直角三角形内角和为180°。
这种由一般命题推出特殊命题的推理方法，我们称为演绎法。
但很多时候，往往需要从特殊的事例推出一般的原理，例如，一个人通过若干天的观察，看到“太阳从东方升起”， 就推出一般结论：“今后的每一天太阳都从东方升起”，这种推理方法叫做归纳法。
归纳法在科学发展和社会生活中起着重要作用，如气象工作者、水文工作者根据积累的历史资料作气象预测、水文预测，用的就是归纳法归纳法有什么特点？来看两个问题。
问题1：这里有一袋球共10个，要判断这袋球的颜色是白色，还是其他颜色，请问怎么办？学生：一个个拿出来看一看。
教师：这一袋球都是白色的。
问题2：数列的通项公式()2255n a n n =-+，计算1234,,,a a a a 的值，可以得到什么结论？学生：该数列的前四项都是1，猜测该数列的所有项都是1教师：这是错误的结论，该数列第五项是25。
解决以上两个问题用的都是归纳法——用一些特殊事例推出一般结论。
为什么问题1的结论正确，问题2的结论错误呢？这是因为问题1中，一共10个球，全部看了一遍，结论当然正确。
问题2中，根据前4 项为1，推测到所有项都是1，由于自然数有无数多个，因此得出的结论不一定正确。
实际上在这两个问题中运用的归纳法是有区别的，问题1中把研究对象都一一考察到了，这样推出结论的归纳法称为完全归纳法（通过验证一切可能的特殊事例，从而得出一般性结论，这种归纳推理称为完全归纳法）。
问题2中，根据部分事实推出了更加一般的事实，这种推理方法称为不完全归纳法（通过验证有限的特殊事例，从中推断出一般性的结论，这种归纳推理称为不完全归纳法）。
观察、归纳、猜想
一类 ：从特殊到一般 通过对给定情
况的观察、 况的观察、分析 ，发现规律 （一）、数量的统计
• 例1、你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用 一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸， 再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗 的面条拉成了许多细的面条，如图所示：
第一次捏合
第二次捏合
第三次捏合
A O A E A E O B 图３
O B D 图１
E C B 图２ D
C
D
C
AE 1 在图4中，依照上述研究结论，当 = 时， AC 1 + n
AO 请你猜想用n表示 AD 数）．
的一般结论，（其中n是正整
A E
AO 2 解： = AD 2 + n
O
B
D 图４
C
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例5. 观察下列各式，你会发现什么规律？ 观察下列各式，你会发现什么规律？ 1×3=3， 而 3=22-1 × ， 3×5=15，而15=42-1 × ， 5×7=35，而35=62-1 × ， 7×9=63，而63=82-1 × ， …… …… 13×15=195， 13×15=195，而195=142-1 …… …… 将你猜想到的规律用含n(n≥1的整数 的等式表示出来 的整数)的等式表示出来 将你猜想到的规律用含 的整数 ）（2n+1）=（2n）2-1，其中 是大于 的 是大于1的 解：（2n-1）（ ：（ ）（ ） （ ） ，其中n是大于 自然数． 自然数． 或者n（ 表示奇数． 或者 （n+2）=（n+1）2-1，其中 表示奇数． ） （ ） ，其中n表示奇数
2 2 2+ = 2 3 3 4 4 4+ =4 15 15
3 3 3+ = 3 8 8
第二讲归纳与猜想
8. 在下表中：
123
··· 14 15
30 29 28
··· 17 16
31 32 33
··· 44 45
第 n行
··· A
···
第 n+1 行
··· B
···
第 n 行有一个数 A, 在它的下一行（第 n+1 行）同样的位置有一个数 B。
如果 A+B=391，那么 n 是
。
练习卷
1. 在下面的自然数塔形排列中， 第 16行的第 3 个数是
。
1
234
56789
10 11 12 13 14 15 16
··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
2. 观察下图：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
第二讲 归纳与猜想
例题精学
例1 下图是按规律排列的三角形数阵。
1
11
121
1331
14641
1 5 10 10 5 1
···
那么第 2008 行中左起第三个数是多少？
例 2 将自然数 1,2,3,4 ，···按箭头所指方向顺序排列（如下图） ，
依次在 2,3,5,7,10 ···等数的位置处拐弯。
21 → 22 → 23 → 24 → 25 → 26
少千米？
4
← 3 ←2
↓
归纳与猜想
三．归纳与猜想一、 知识综述归纳是一种重要的推理方法，是根据具体事实和特殊现象，通过实验、观察、比较、概括出一般的原理和结论。
猜想是一种直觉思维，它是通过对研究对象的实验、观察和归纳、猜想它的规律和结论的一种思维方法。
猜想往往依据直觉来获得，而恰当的归纳可以使猜想更准确。
我们在进行归纳和猜想时，要善于从变化的特殊性中寻找出不变的本质和规律。
二、理解掌握例1、用等号或不等号填空：（1）比较2x 与x 2＋1的大小①当x ＝2时，2x x 2＋1；②当x ＝1时，2x x 2＋1；③当x ＝－1时，2x x 2＋1．（2）可以推测：当x 取任意实数时，2x x 2＋1．分析：本题是通过计算发现和猜想一般规律题，正确计算和发现规律是关键。
解：（1）＜，＝，＜； （2）≤。
例2、观察下列分母有理化的计算：12121-=+，23231-=+，34341-=+， 45451-=+…从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算： 1)2002)(200120021341231121(+++++++++ =＿＿＿＿。
分析：解本题时，要抓住分每有理化后的结果都是两数之差，且可以错位相消。
还要注意相消后所剩下的是什么。
解：1)2002)(200120021341231121(+++++++++ =)12002)(20012002342312(+-++-+-+- =)12002)(12002(+-=2002—1=2001。
例3、观察下列数表：1 2 3 4 …第一行2 3 4 5 …第二行3 4 5 6 …第三行4 5 6 7 …第四行…………第一列第二列第三列第四列根据数表所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为＿＿＿＿，第n行与第n列交叉点上的数应为＿＿＿＿。
（用含正整数n的式子表示）分析：本题要求的是同行同列交叉点上的数，因此，必须先研究同行同列交叉点上的数有什么规律，然后利用此规律解题。
解： 11 ， 2n—1.例4、将一个边长为1的正方形纸，剪成四个大小一样的正方形，然后将其中的一个按同样的方法剪成四个正方形，如此循环下去，观察下列图形和所给表格中的数据后填空格。
归纳——猜想——证明
一个好问题的巨大价值！
好猜想的历史意义！
数学史上的著名猜想
费马猜想
2 20+1=3
2
21
+1=5
2 22+1=17
都是素数，一天，法国数学家费马似有所悟。他继
续实验 223 +1=257 224+1=65537
经试验，它们都是素数。那么
an 1 an
(na4 的值，再推测通项 an 的公式．
答：a2
1 2
, a3
1 3
,
a4
1 4
,由此推测：an
1 n
(n
N*)
归纳——猜想——证明 数学归纳法
问：如果这里不是12个球，而是无数个球，那么需要 具备什么条件，才能保证这袋球全部是白球呢？
（意大利科学家莫罗利科．他运用递推的思想予以证明 ）
A. n k(k N )时，xn yn能被x y整除
B. n k(k N )时，xn yn能被x y整除
C . n 2k 1(k N )时，xn yn能被x y整除
D. n 2k 1(k N )时，xn yn能被x y整除
n k 1时命题成立(归纳递推)。 由①②可知，当n N，且n n0时，命题成立(结论).
基本题型： 等式、 不等式、 整除问题、 几何问题、 归纳、猜想、证明问题
二、基本题型与解答方法——快速、准确、熟练
1.用数学归纳法证明等 式
(n 1)(n 2)L (n n) 2n 1 3 5L (2n 1)
“如 2 2n +1 （n为非负整数）形式的数都是素数。”这是在
小学数学“猜想-验证-归纳-运用”课堂教学模式
小学数学“猜想-验证-归纳-运用”课堂教学模式3、通过观察、实验、探究等方式，让学生自主猜测并提出假设，然后进行验证。
二）、验证——用“证”实猜想，加深理解在学生提出猜想后，需要进行验证。
验证的过程不仅可以证实猜想的正确性，也可以发现猜想的不足之处，进一步加深对知识的理解。
验证的方式可以多样化，例如：1、通过具体的实验或观察来验证猜想的正确性。
2、通过逻辑推理和数学证明来验证猜想的正确性。
3、通过举反例来验证猜想的不正确性。
三）、归纳——总结规律，提高抽象思维在验证了多个猜想后，学生可以对这些猜想进行总结，找出其中的规律。
通过归纳的过程，可以提高学生的抽象思维能力，培养学生发现问题本质的能力。
四）、运用——将知识运用到实际生活中在学生掌握了一定的数学知识后，需要将其运用到实际生活中。
例如，通过解决实际问题，让学生发现数学知识的实用性和重要性，提高学生的数学应用能力。
四、模式的实施方式：在教学实践中，可以通过以下方式来实施“猜想——验证——归纳——运用”的小学数学教学模式：1、引导学生提出猜想，并进行验证和总结。
2、通过课堂讨论、小组合作等方式，让学生分享归纳出的规律和知识。
3、通过实际问题的解决，让学生将所学知识应用到实际生活中。
通过这种教学模式，可以激发学生的研究兴趣，提高学生的数学思维能力和创新能力，培养学生的实际应用能力，从而达到更好的教学效果。
在实际操作中，我们经常会遇到问题，需要提出猜想和假设，并通过实践来验证。
为了提高学生的“猜想”能力，我们应该遵循以下几个基本原则。
首先，我们应该给学生足够的时间和空间来进行猜想。
学生在课堂上应该是研究的主体，我们应该改进教师讲授和学生练的方式，引导学生进行猜想。
数学猜想是学生对数学问题的主动探索，我们应该创造平等民主的课堂氛围，尊重学生的猜想，鼓励他们畅所欲言，调动他们的研究积极性和主动性。
其次，我们应该允许学生出错。
数学研究是一个动手实践、合作交流和自主探索的过程。
归纳与猜想系统讲义
观察、猜想、规律
【李老师提醒】寻找规律是近年来中考必考题，主要考察大家的观察和猜想能力，多以选择题
出现。
解决此类问题主要是两种方法：
第一种：数字归纳法，就是找出已知图形的个
数差别，并找出他们的规律进行延展。
一般来
说就是看几个数字的差之间的关系。
第二种：追根朔源法，就是观察图形变化引起
的数字变化，从而推导出通向公式进行求解。
下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规
律拼搭而成：拼搭第1个图案需4根小木棒，拼搭第2个图案需10根小木棒，……，依次规律，拼搭第8个图案需小木棒根．为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：
按照上面的规律，摆个“金鱼”需用火柴棒的根数为（）
A．B．
C．D．
按如下规律摆放三角形：
则第（4）堆三角形的个数为_____________；第(n)堆三角形的个数为_____________.
n
26n
+86n
+
44n
+8
n
第第第
第。
专题复习 归纳与猜想(含答案)-
①1×12＝1－12 ②2×23＝2－23 ③3×34＝3－34④4×45＝4－45 ……专题复习 归纳与猜想归纳与猜想问题指的是给出一定条件（可以是有规律的算式、图形或图表），让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探索题。
其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论，这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性。
一、知识网络图二、基础知识整理猜想规律型的问题难度相对较小，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。
其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。
相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。
由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的又一热点。
★ 范例精讲【归纳与猜想】例1【河北实验区05】观察右面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应等式，探究其中的规律：⑴写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示：⑵猜想并写出与第n 个图形相对应的等式。
解：⑴5×56＝5－56⑵11+-=+⨯n nn n n n 。
例2〖归纳猜想型〗将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，再将其中的一小片正方形纸片剪成四片，⑵如果剪n 次共有A n 个正方形，试用含n 、A n 的等式表示这个规律； ⑶利用上面得到的规律，要剪得22个正方形，共需剪几次？ ⑷能否将正方形剪成2004个小正方形？为什么？ ⑸若原正方形的边长为1，设a n 表示第n 次所剪的正方形的边长，试用含n 的式子表示a n ；⑹试猜想a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 与原正方形边长的关系，并画图示意这种关系．解：⑴100×3＋1＝301，规律是：本次剪完后得到的小正方形的个数比上次剪完后得到的小正方形的个数多3个；⑵A n ＝3n ＋1；⑶若A n ＝22，则3n ＋1＝22，∴n ＝7，故需剪7次； ⑷若A n ＝2004，则3n ＋1＝2004，此方程无自然数解， ∴不能将原正方形剪成2004个小正方形；⑸a n ＝12n ；⑹a 1＝12＜1，a 1＋a 2＝12＋14＝34＜1，a 1＋a 2＋a 3＝12＋14＋18＝78＜1，……从而猜想到：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＜1.直观的几何意义如图所示。
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三．归纳与猜想一、 知识综述归纳是一种重要的推理方法，是根据具体事实和特殊现象，通过实验、观察、比较、概括出一般的原理和结论。
猜想是一种直觉思维，它是通过对研究对象的实验、观察和归纳、猜想它的规律和结论的一种思维方法。
猜想往往依据直觉来获得，而恰当的归纳可以使猜想更准确。
我们在进行归纳和猜想时，要善于从变化的特殊性中寻找出不变的本质和规律。
二、理解掌握例1、用等号或不等号填空：（1）比较2x 与x 2＋1的大小①当x ＝2时，2x x 2＋1；②当x ＝1时，2x x 2＋1；③当x ＝－1时，2x x 2＋1．（2）可以推测：当x 取任意实数时，2x x 2＋1．分析：本题是通过计算发现和猜想一般规律题，正确计算和发现规律是关键。
解：（1）＜，＝，＜； （2）≤。
例2、观察下列分母有理化的计算：12121-=+，23231-=+，34341-=+，45451-=+…从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：1)2002)(200120021341231121(+++++++++Λ=＿＿＿＿。
分析：解本题时，要抓住分每有理化后的结果都是两数之差，且可以错位相消。
还要注意相消后所剩下的是什么。
解：1)2002)(200120021341231121(+++++++++Λ=)12002)(20012002342312(+-++-+-+-Λ=)12002)(12002(+-=2002—1 =2001。
例3、 观察下列数表：1 2 3 4 … 第一行 2 3 4 5 … 第二行 3 4 5 6 … 第三行 4 5 6 7 … 第四行… … … … 第一列 第二列 第三列 第四列根据数表所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为＿＿＿＿，第n 行与第n 列交叉点上的数应为＿＿＿＿。
（用含正整数n 的式子表示）分析：本题要求的是同行同列交叉点上的数，因此，必须先研究同行同列交叉点上的数有什么规律，然后利用此规律解题。
解： 11 ， 2n —1.例4、将一个边长为1的正方形纸，剪成四个大小一样的正方形，然后将其中的一个按同样的方法剪成四个正方形，如此循环下去，观察下列图形和所给表格中的数据后填空格。
结果。
解：操作的次数是 10时，正方形个数为31；操作的次数是 n 时，正方形个数为1+3n.例5、 下面三个图是由若干盆花组成形如三角形的图案，每条边（包括顶点）有n(n>1)盆花，每个图案花盆总数为S ，按此规律推断，S 与n 的关系式是＿＿＿＿＿＿。
n=2 n=3 n=4 S=3 S=6 S=9分析：题目给出了“每条边（包括顶点）有n(n>1)盆花”，而三角形有三条边，因此，三条边上的的花盆数量为3n ，但每个顶点上的花盆用了两次，必须减去。
所以S=3n —3。
解：S=3n —3。
三、拓宽应用例6、⑴如下表：方程1，方程2，方程3，……，是按照一定规律排列的一列方程，解方程1，并将它的解填在表中的空白处：⑵若方程)b a (bx x a >=--11的解是61=x ，102=x ，求a ，b 的值，该方程是不是⑴中所给出的一列方程中的一个方程？如果是，它是第几个方程？⑶请写出这列方程中的第n 个方程和它的解，并验证所写出的解适合第n 个方程。
分析：通过解方程不难求出：x 1=3,x 2=4，将61=x ，102=x 代入方程易求a=12,b=5。
本题较难的是写出第n 个方程和它的解，解决难点的关键是观察表格中方程和它们的解的排列规律，特别是每个变化的数与序号的关系。
解：（1）解方程1216=--x x 得，x 1=3,x 2=4； （2）将61=x ，102=x 代入方程)b a (bx x a >=--11，易求得a=12,b=5；（3）第n 个方程是：1)1(1)2(2=+--+n x x n ，它的解是：)1(2,221+=+=n x n x 。
例7、图形的操作过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a ，竖直放行上的边长均为b ）： ●在图1中，将线段21A A 向右平移1个单位到21B B ，得到封闭图形21A A 12B B （即阴影部分）●在图2中，将折线321A A A 向右平移1个单位到321B B B ，得到封闭图形321A A A 3B 12B B （即阴影部分）A1（图1） （图2） （图3）⑴在图3中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭的图形，并用斜线画出阴影；⑵请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：1S =＿＿＿＿；2S =＿＿＿＿；3S =＿＿＿＿⑶联想与探索：如图4，在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的。
草 地 小 路 草 地分析：本题考查的内容较多，有动手操作、有计算、有归纳猜想，还有想象。
（1）和（2）两问并不困难，第（3）问可想象将中间的小路从中抽去，再拼起来后仍然是一个矩形，这时它的两边长分别是a —1,b，这样面积就不难求了。
解：（1）（2）1S =ab--b ；2S =ab--b ；3S =ab —b;(3) 空白部分表示的草地面积是ab —b 。
（可想象将中间的小路从中抽去，再拼起来后仍然是一个矩形，这时它的两边长分别是a —1,b ）例8、阅读下列材料，按要求解答问题。
⑴观察下面两块三角尺它们有一个共同的性质：∠A=2∠B 。
我们由此出发来进行思考。
在图a 中，作斜边上的高CD ，由于∠B=30°，可知c=2b ，∠ACD=30°，于是AD=2b ，BD=2bc -，由△CDB ∽△ACB ，可知a BDc a =，即BD c a ⋅=2，同理AD c b ⋅=2，于是bc )b b (c )b c (c b )b c (c )AD BD (c b a =-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=-22222。
b a cA CBB CAcabb a cACB图a 图b 图c对于图b 由勾股定理有222c b a +=，由于b=c ，故也有bc b a =-22，这两块三角尺都具有性质bc b a =-22，在△ABC 中，如果有一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这种三角形为倍角三角形。
两块三角尺就都是特殊的倍角三角形，上面的性质仍然成立吗？暂时把我们的设想作为一个猜测：如图c ，在△ABC 中，若∠CAB=2∠ABC ，则bc b a =-22，在上述由三角尺的性质到“猜测”这一认识过程中，用到了下列四种数学思想方法中的哪一种？选出一个正确的将其序号填在括号内（ ）① 分类的思想方法；②转化的思想方法；③由特殊到一般的思想方法；④数形结合的思想方法。
⑵这个猜测是否正确？请证明。
分析：通过阅读可以发现：本题的研究是先从特殊情况入手，再得出一般情况的结论，因此，主要运用的是由特殊到一般的思想方法。
故选③；一般情况下的证明虽然方法较多，但是有一定的难度，应加强解题思路的分析。
解：（1）③；（2）猜测是正确的。
证明：延长BA 到D ，使AD=AC=b ，连结CD ，则∠ACD=∠ADC ， ∵∠BAC=∠ACD+∠ADC ，∴∠BAC=2∠ADC∵∠BAC=2∠ABC ∠ABC=∠ADC ，且BC=CD=a ，∴△ACD ∽△CBD 想一想：还有其他证明方法吗？cb a ab +=bcb a =-22∴ ∴ C DABaab bc四、巩固训练1、观察下列有规律的数，并根据规律写出第五个数：1741035221＿＿＿K K 3762、观察下列图形并填表。
1 1 123、 下列每个图形都是若干棋子围成的正方形图案，图案的每条边（包括两个顶点）上都有n （n ≥2）个棋子，每个图案的棋子总数为S ，按下图的排列规律推断，S 与n 之间的关系可以用式子＿＿＿＿来表示。
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · n=2 · · · · · · · S=4 n=3 · · · · · · S=8 n=4 · · · · · S=12 n=5 S=164、⑴判断下列各式是否成立，你认为成立的请在括号内打“√”，不成立的打“×”①322322=+（ ） ②833833=+（ ） ③15441544=+（ ） ④24552455=+（ ）⑵你判断完以上各题后，发现了什么规律？请用含有n 的式子将规律表示出来，并注明n 的取值范围：＿＿＿＿＿＿＿＿。
⑶请用数学知识说明你所写的式子的正确性。
5、已知AC 、AB 是⊙O 的弦，AB ＞AC 。
（1）如图9，能否在AB 上确定一个点E ，使AC 2=AE ·AB ，为什么？（2）如图10，在条件（1）的结论下延长EC 到P ，连结PB 。
如果PB=PE ，试判断PB 和⊙O 的位置关系并说明理由。
（3）在条件（2）的情况下，如果E 是PD 的中点，那么C 是PE 的中点吗？为什么？（重庆市中考试题）图9 图10 本题三个小题全是结论探索题。
参考答案1、265， 2、17，20，2+3n 3、4n-4 4、（1）√√√√，（2）1122-=-+n n n n n n5、（1）能，连结BC ，作∠ACE=∠B 。
（证明略） （2）PB 是⊙O 的切线（证明略） （3）是。
（提示：利用切割线定理和PE=PB 、PD=2PE ）。