解直角三角形(1)

直角三角形的边角关系（讲义）一、知识点睛1. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，sin A =________，cos A =________，tan A =________．2. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，锐角A 越大，正弦sin A ______，余弦cos A ______，正切tan A ______． 3. 特殊角的三角函数值：60°45°30°α正切 tan α余弦 cos α正弦 sin α4. 计算一个角的三角函数值，通常把这个角放在____________中研究，常利用_________或__________两种方式进行处理．二、精讲精练1. 下列说法正确的是（ ）A ．在△ABC 中，若∠A 的对边是3，一条邻边是5，则tan A 35= B ．将一个三角形的各边扩大3倍，则其中一个角的正弦值也扩大3倍 C ．在锐角三角形ABC 中，已知∠A =60°，那么cos A 12=D ．一定存在一个锐角A ，使得sin A =1.232. 在锐角三角形ABC|tan 0B =，则∠C =_______． 3. 在△ABC 中，∠A ，∠B 均为锐角，且有|tan B|+(2sin A-20=，则△ABC 是（ ） A ．直角（不等腰）三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等腰（不等边）三角形D ．等边三角形4. 已知∠A为锐角，且cos A >，则∠A 的度数（ ） A ．小于45° B ．小于30° C ．大于45° D ．大于30° 5. 当45°<∠A < 90°时，下列不等式中正确的是（ ）A ．tan cos sin A A A >>B ．cos tan sin A A A >>C ．sin tan cos A A A >>D ．tan sin cos A A A >>6. △ABC 中，∠C =90°，AB =8，cos A 34=，则AC 的长是_______．BCA7. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，根据下列条件填空：（∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ）（1）a =2，b =1，则sin A =__________； （2）a =4，tan A =1.5，则b =_________；（3）3a ，则sin A =__________． 8. 计算：（1）22sin 302sin 60tan 45tan 60cos 30︒+︒+︒-︒+︒；（2）22sin 45cos 452sin 30(tan 30)2cos30-︒⋅︒-︒+︒-︒；（3）sin 302tan 60︒-︒．C'B'B CA 9. 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，︒=∠30C，2BC =+1tan 2B =，那么AD 的长是（ ） A ．12B ．1C．12+D．1+C DBA第9题图 第10题图10. 如图，在△ABC 中，cosB =，sin C 35=，AC =5，则△ABC 的面积是（ ） A ．212B ．12C ．14D ．21 11. 如图，已知P 是正方形ABCD 内一点，△PBC 为正三角形，则tan ∠P AB 的值是（ ） A．B．2-CDPD CB A第11题图 第12题图12. 如图，D 是△ABC 中AC 边上一点，CD =2AD ，AE ⊥BC 于点E ，若BD =8，sin ∠CBD 34=，则AE 的长为___________．13. 如图，A ，B ，C 三点在正方形网格 线的交点处，将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC′B′，若A ，C ，B′三点共线，则tan ∠B ′CB =________．图E DB AAB C14. 如图，在△ABC 中，∠A =90°，D 是AB 边上一点，∠ACD =37°，∠BCD =26.5°，AC=60，求AD ，CD 及AB 的长．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8）CBA15. 如图，在△ABC 中，∠B =37°，∠C =67.5°，AB =10，求BC 的长．（结果精确到0.1，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan67.5°≈2.41，tan22.5°≈0.41）BCA67.5°37°16. 如图，在△ABC 中，∠CAB =120°，AB =4，AC =2，AD ⊥BC 于点D ，求AD的长．DCA【参考答案】一、知识点睛 1．斜边的对边A ∠、斜边的邻边A ∠，的邻边的对边A A ∠∠．2．越大，越小，越大． 34二、精讲精练 1．C 2．75°3．D4．A5．D6．67．（1）552； （2）38； （3）21．8．（1）2；（2）3（39．B 10．A11．A12．913．2 14．AD =45；CD =75；AB =120． 15．10.516．7212直角三角形的边角关系（随堂测试）1.在△ABC中，∠A，∠B为锐角，211sin cos022A B⎛⎫⎪⎝⎭-+-=，则这个三角形是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形2.如图，在△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是_____________，cos A的值是_____________．（结果保留根号）DBA3.小明在学习“锐角三角函数”时发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点E处，展开后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，这样就可以求出67.5°角的正切值是（）ABC．2.5 DFED CBA【参考答案】1．B23．B直角三角形的边角关系（作业）1. 在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A 的正弦值（ ） A ．扩大2倍B ．缩小2倍C ．没有变化D ．不确定2. 在Rt △ABC 中，若∠C =90°，AC =1，BC =2，则下列结论正确的是（ ）A．sin B =B ．2cos 5B =C ．tan 2B =D ．1cos 5B =3. 在△ABC 中，∠A ，∠B 均为锐角，且21sin cos 02A B ⎛⎫⎪⎝⎭+-=，则这个三角形是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形4. 若∠A 为锐角，且cos A 的值大于12，则∠A （ ）A ．大于30°B ．小于30°C ．大于60°D ．小于60°5. 已知βtan β<≤β的取值范围是（ ） A ．3060β︒︒≤≤ B ．3060β︒<︒≤ C ．3060β︒<︒≤ D ．30β<︒6. 如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC ，垂足为E ，设∠ADE =α，若3cos 5α=，AB =4，则AD 的长为（ ）A ．3B ．163C ．203D ．165 ED C BA E DB A第6题图 第7题图7. 如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，若3c o s 5A =，BE =2，则tan ∠DBE =_________．8.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=6，BC=2，则cos A=______．9.在△ABC中，∠A=120°，若AB=4，AC=2，则sin B=______．10.如图，在△ABC中，AB=A C，∠A=45°，AC的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，连接C D．如果A D=1，那么tan∠BCD=______．EDCBA第10题图第11题图11.如图，在△ABC中，若∠C=90°，3sin5B=，AD平分∠CAB，则sin∠CAD=______．12.如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin A的值为（）A．12B．C．10D．513.计算：（1）26tan30602tan45︒︒+︒；（2）cos30sin45sin60cos45︒-︒︒-︒；（3）26011)tan453-︒⎛⎫-+ ⎪︒⎝⎭；（4tan60︒．B CADCB ADCBA14. 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tan B =cos ∠DAC ． （1）求证：AC=BD ； （2）若12sin 13C ，BC =12，求AD 的长．15. 如图，在△ABC 中，∠A =26.6°，∠B =45°，AC =52，求AB 的长.（参考数据：tan26.6°≈0.50）CBA45°26.6°【参考答案】1．C 2．A 3．D 4．D5．C 6．B 7．2 89．141011112．B13．（1）52（2）1 （3）7 （4）-114．（1）证明略（2）8 15．6。