复旦附中高二下学期期末数学试卷及答案

一. 填空题

1. 已知∈a b ,{0,1,2,3}，则不同的复数=+z a bi 的个数是

2. 一个竖直平面内的多边形，

方形，该正方形有一组对边是水平的，则原多边形的面积是

3. 若-=+++⋅⋅⋅+x a a x a x a x (12)0122018201822018，则+++⋅⋅⋅+=a a a a ||||||||0122018

4.

在x a

(9的展开式中，x 3的系数为4

9，则常数=a 5. 已知球的体积是V ，则此球的内接正方体的体积为

6. 点A (1,2,1)、B (3,3,2)、+λC (1,4,3)，若AB 、AC 的夹角为锐角，则λ的取值范围为

7. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比值是

8. 正四面体ABCD 的棱长为2，则所有与A 、B 、C 、D 距离相等的平面截这个四面体所得截面的面积之和为

9. 从集合⋅⋅⋅{1,2,,30}中取出五个不同的数组成单调递增的等差数列，则所有符合条件的不同的数列个数是

10. 在正三棱锥P -ABC 中，=PA 2，=AB 1，记二面角P -AB -C 、A -PC -B 的平面角依次为 α、β，则-=αβ3sin 2cos 2

11. 如图，顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，

母线=PA 4，O 是底面圆心，B 是底面圆内一点，且

AB ⊥OB ，C 为P A 的中点，OD ⊥PB ，垂足为D ，当

三棱锥O -PCD 的体积最大时，=OB

12. 已知数列a n {}，令b k 为a 1、a 2、…、a k 中的最大值N *∈k ()，则称数列b n {}为“控制 数列”，数列b n {}中不同数的个数称为“控制数列”b n {}的“阶数”，例如：a n {}为1、3、 5、4、2，则“控制数列”b n {}为1、3、5、5、5，其“阶数”为3，若数列a n {}为1、2、3、 4、5、6构成，则能构成“控制数列”b n {}的“阶数”为2的所有数列a n {}的首项和是

二. 选择题

13.

在2018的展开式中，系数为有理数的项数为（ ）

A. 336项

B. 337项

C. 338项

D. 1009项

复旦附中高二下学期期末数学试卷及答案

14. 如图，某几何体的三视图是三个边长为1的正方形，及每个正方形中的一条对角线，则该几何体的表面积是（ ）

A. 4

B.

C.

D. 3+ 15. 定义“创新01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意12k m ≤≤，、、…、中0的个数不少于1的个数，若4m =，则不同的“创新01数列”{}n a 的个数为（ ）

A. 12个

B. 14个

C. 16个

D. 18个

16. 已知椭圆方程为22

1425

x y +=，将此椭圆绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为1V ，满 足5022.5y x y x ≥-⎧⎪≤≤⎨⎪≤⎩

的平面区域绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为2V ，则（ ）

A. 21V V =

B. 2132V V =

C. 2154V V =

D. 21,V V 无明确大小关系

三. 解答题

17. 已知空间向量a 与b

的夹角为6，且||2a =，||3b =， 令m a b =-，2n a b =+.

（1）求a 、b 为邻边的平行四边形的面积S ；（2）求m 与n 的夹角θ.

18. 有3名女生和5名男生，按照下列条件排队，求各有多少种不同的排队方法？

（1）3名女生排在一起；

（2）3名女生次序一定，但不一定相邻；

（3）3名女生不站在排头和排尾，也互不相邻；

（4）每两名女生间至少有两名男生；

（5）3名女生中，A 、B 要相邻，A 、C 不相邻.

19. 在正四棱锥P -ABCD 中，正方形ABCD 的边长为6OP =，E 是侧棱PD 上的 点且3PD PE =，F 是侧棱P A 上的点且2PA PF =，G 是 PBC 的重心，如图建立空间直 角坐标系.

（1）求平面EFG 的一个法向量；

（2）求直线AG 与平面EFG 所成角的大小；

（3）求点A 到平面EFG 的距离.

20. 如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的正 方形， ADE 是等腰直角三角形且∠AED 为直角，EF ⊥平面ADE 且1EF =.

（1）求异面直线AE 和DF 所成角的大小；

（2）求二面角B -DF -C 的平面角的大小.

21. 已知p 、0q >，在()m px q +()m ∈*N 的二项展开式中，若存在连续三项的二项式系数成等差数列，将m 的所有可能值从小到大排列构成数列{}n a .

（1）求数列{}n a 的通项n a ()n ∈*N ；

（2）若在2()a px q +的二项展开式中，当且仅当第10项的系数最大，求

q p

的取值范围.

参考答案

一. 填空题

1. 16

2.

3. 20183

4. 4

5.

6. (2,4)(4,)-+∞

7. 212ππ+ 8. 3 9. 98 10. 2 11. 3

12. 1044

二. 选择题

13. B 14. A 15. B 16. C

三. 解答题

17.（1）S =（2）θπ=-.

18.（1）63634320P P =；（2）456786720⨯⨯⨯⨯=；（3）35

452880P P =；

（4）122323542523(22)2880P P P P P P ⨯+⨯=；（5）15225

6526528640P P P P P ⨯+=.

19.（1）(0,1,1)；（2）；（3）2.

20.（1）2π

；（2）3π

.

21.（1）2

42n a n n =++，n ∈*N ；（2）(0,10).