正弦交流电路的向量表示法
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交流电的向量表示法
2j
U a jb
U(cos j sin) 代数式
U e j
指数式
U
极坐标形式
HOME
10
设a、b为正实数
U a jb U e j U a jb U e j
在第一象限 在第二象限
在一、二象限，一般取值：180° 0 °
U a jb U e j U a jb U e j
在第三象限 在第四象限
在三、四象限，一般取值：0° -180 °
HOME
11
U2 j
U1
2=120°
1=60° +1
3= -120°
U3
HOME
12
例 计算相量的相位角时，要注意所在 象限。如：
U 3 j4
U 3 j4 U 3 j4
U 3 j4
u 5 2 sin( t 53 1)
2
相量的书写方式
最大值
Um 或 U
有效值
1. 描述正弦量的有向线段称为相量 (phasor )。若其
幅度用最大值表示 ，则用符号：Um I m
2. 在实际应用中，幅度更多采用有效值，则用符号：
UI
3.
相量符号U、I
包含幅度与相位信息。
HOME
3
正弦量的相量表示法举例
例1：将 u1、u2 用相量表示
i1 100 2 sin(6280t 60) A
i2 10 2 sin(6280t 30) A
HOME
18
小结：正弦波的四种表示法
波形图 瞬时值 相量图
i
Im
t
T
u Um sin t
U
I
复数 符号法
U a jbUej U
10.正弦交流电路的相量表示法
I 2＝ 1590 0 j15(V )
＝100 20 100 2 (V ) U
指数表示法：
复数形式：
I cos jI sin I i i
I (cos j sin ) I i i
j
欧拉公式：
e
cos j sin
j i I Ie
课前提问
1、什么是旋转矢量？为什么提出旋转矢量？ 2、什么是相量和相量图？ 3、复数的四种表示方法是什么？
正弦量的相量表示法
教学任务： • 会画相量图
• 能够用复数的三种形式表示正弦量
回顾正弦交流电路的描述方法：
1. 瞬时值（三角函数法）： i I m sin t i
Im
2. 波形图法：
6
旋转矢量的加法
化简：一个电路中只有一种频 率。 要素。 三要素退化为两个 固定位置
B A
C
i
i
正弦量
t
对应
相量图
I m
i
初始相量
相量：电工学中用来表示正弦量大小和相位的矢量。记作 I
相量图表示法：
314t 48)V ， 例： 已知： u1 (t ) 100sin(
求：
有理数
复数：
a bj I
极坐标表示法：
最大值： 有效值：
I I m m i
o
i
I m
i(t ) 2 I sin( t i ) I I i
有效值相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位
优点：方便乘除运算。
【例题讲解】
u(t ) 2U sin(t θ )
正弦交流电路的相量表示法
03
相量表示法的应用
相量与复数的关联
01
相量是复数的一种表示形式，其 实部表示电压或电流的有效值， 虚部表示其相位角。
02
通过复数运算，可以方便地计算 正弦交流电路中的电压、电流和 阻抗等参数。
相量在电路分析中的应用
利用相量图，可以直观地分析正弦交 流电路中的电压、电流和阻抗之间的 关系。
通过相量法，可以简化正弦交流电路 的计算过程，提高计算效率和精度。
02
正弦交流电路的基本概念
正弦交流电的产生
交流发电机
通过机械能转换为交流电，发电 机转子旋转产生磁场，定子切割 磁力线产生感应电动势，从而产 生正弦交流电。
交流调压器
通过改变磁通量或改变匝数来调 节输出电压，从而产生正弦交流 电。
正弦交流电的特性
01
02
03
周期性
正弦交流电的电压、电流 等参数随时间按正弦规律 变化，具有周期性。
通过相量图，可以直观地理解电路的相位 关系和阻抗的性质。
03
02
简化了正弦交流电路的分析过程，使得计算 变得直观和方便。
04
局限性
相量法仅适用于线性时不变系统，对于非 线性或时变系统，相量法不再适用。
05
06
对于多频输入信号，相量法可能无法准确 描述信号的频谱特性。
未来研究方向
01
深入研究非线性电路和时变系统的相量表示法，以扩展相量法 的应用范围。
VS
电动机的启动和制动
利用相量法，可以研究电动机的启动和制 动过程，为电动机的控制提供理论支持。
滤波器问题
滤波器的频率响应
通过相量法，可以分析滤波器的频率响应特 性，从而设计出符合要求的滤波器。
浅议用向量法解决正弦交流电路的有关问题
第２ ７卷 总第 ３ ２期 ５ ２０ ０ ９年 第 ８期 （ 半 月） 上
物
理
教
学
探
讨
Ｖ０ ． ７ Ｎｏ ３ ２ １２ ． ５
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｏ Ｐｈ ｓｃ Ｔｅ ｃ ｉｇ ｏ ｒ ａ ｆ ｙ ｉｓ ａ ｈｎ
（ ｓ） ８ ２ ０ ．０９
． ３． ７
浅议用向量法解决正弦交流电路的有关问题
，
电漉有效 值 向量 为 Ｉ＝ Ｉ 仇 。 向量 图为 图 ３ 。
２ 用 向量 法解决正弦 交流 电路 问题
向量 —— 表示正 弦量 的复数 。
Ｖｏ． ７ Ｎｏ ３ ２ １２ ．５
物 理 教 学 探
讨
第２ ７卷 总第 ３ ２期 ５
： ！ ！ ：一． ：
数 的辐 角可 以表示 正弦量 的初相 位 ， 即一个 复数 可 以表示正弦量 三要素 中的两 个要素 。 由于在 正 弦交流电路 中 ， 有 电压 、 所 电流都 是 同频率 的正
弦波 ， 频率常常 是已知的 。 因而 ， 给定一个 角频 率
∞ 就可以用复数 完全 地确定一个 正弦量 。 ， 为了 区 别一般复数 ， 代表正弦量 的复数上加 一点 。 ： 在 如 电压最大值 向量 ， 电压有效值 Ｄ， 电流最大 值
众所周 知 ， 含有 正弦电源 的电路 即为正 弦交
流电路 。 在正 弦交 流 电路 中 ， 电压 和电 流等 都是
按照正 弦规律 变化 的 ， 称为正 弦 量 。 统 正弦 交 流 电路具有用 直 流 电路 的概 念无法 理 解 和无 法分 析的物理 现象 。 因此 ， 掌握 其解 决 问题 的方 法尤
关 问题 进 行 了较 详 细 的 论述 。 首先 介 绍 了向量 的 概 念 ． 然后 阐述 了如 何 用 向量 法解 决正 弦 交流 电路 的 问题 － 以 实例 说 并 明 了向量 法 解 决正 弦 交流 电路 的 优越 性 ， 最后 指 出 了应 用 向 量法 的 注 意事 项 。
物
理
教
学
探
讨
Ｖ０ ． ７ Ｎｏ ３ ２ １２ ． ５
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｏ Ｐｈ ｓｃ Ｔｅ ｃ ｉｇ ｏ ｒ ａ ｆ ｙ ｉｓ ａ ｈｎ
（ ｓ） ８ ２ ０ ．０９
． ３． ７
浅议用向量法解决正弦交流电路的有关问题
，
电漉有效 值 向量 为 Ｉ＝ Ｉ 仇 。 向量 图为 图 ３ 。
２ 用 向量 法解决正弦 交流 电路 问题
向量 —— 表示正 弦量 的复数 。
Ｖｏ． ７ Ｎｏ ３ ２ １２ ．５
物 理 教 学 探
讨
第２ ７卷 总第 ３ ２期 ５
： ！ ！ ：一． ：
数 的辐 角可 以表示 正弦量 的初相 位 ， 即一个 复数 可 以表示正弦量 三要素 中的两 个要素 。 由于在 正 弦交流电路 中 ， 有 电压 、 所 电流都 是 同频率 的正
弦波 ， 频率常常 是已知的 。 因而 ， 给定一个 角频 率
∞ 就可以用复数 完全 地确定一个 正弦量 。 ， 为了 区 别一般复数 ， 代表正弦量 的复数上加 一点 。 ： 在 如 电压最大值 向量 ， 电压有效值 Ｄ， 电流最大 值
众所周 知 ， 含有 正弦电源 的电路 即为正 弦交
流电路 。 在正 弦交 流 电路 中 ， 电压 和电 流等 都是
按照正 弦规律 变化 的 ， 称为正 弦 量 。 统 正弦 交 流 电路具有用 直 流 电路 的概 念无法 理 解 和无 法分 析的物理 现象 。 因此 ， 掌握 其解 决 问题 的方 法尤
关 问题 进 行 了较 详 细 的 论述 。 首先 介 绍 了向量 的 概 念 ． 然后 阐述 了如 何 用 向量 法解 决正 弦 交流 电路 的 问题 － 以 实例 说 并 明 了向量 法 解 决正 弦 交流 电路 的 优越 性 ， 最后 指 出 了应 用 向 量法 的 注 意事 项 。
3.2相量表示法
设相量 A rejψ A 将相顺量时针A 乘旋以转e9-0j9，0 得，到C
例已知正弦电量的瞬时值表达式分别为
，
e 180 2 sin(t 60) V i 10 2 sin(t 30) A
要求（1）写出各正弦量对应的最大值相量和有效值相量。
（2）画出各正弦量对应相量的相量图。
方法2：用图解法求总电流i
① 根据电流i1、i2的瞬时值表达式，写出对应的相量表
达式。
I1
630
A
I 2 8 60 A
② 画出 I1 I 2 ，用矢
量求和法作出电流的相量
图，如图（b）所示。由
相量图确定正弦电流的有
效值和初相位
I 10 A 23.1
③ 写出电流对应的相量表达式
最大值
3.已知：
I 4 e
j30
A
复数
4 2 sin (ω t 30 )A？
瞬时值
4.已知：
U 100 15V
U 100V ？ ？ U 100 ej15 V
负号
3.2.3相量的计算
（1）复数的加减运算 设两个复数分别为A1 = a1 + jb1，A2 = a2 + jb2，
② 用复数符号法求和，得到电流i对应的相量表达式
I I1 I2
(5.196 j3) (4 j6.928)
I 10 23.1A
9.296 j3.928 10 23.1A
③写出电流i的瞬时值表达式。
i 10 2 sin(t 23.1)A
解：（1）写出各正弦量对应的最大值相量和有效值相量。
例已知正弦电量的瞬时值表达式分别为
，
e 180 2 sin(t 60) V i 10 2 sin(t 30) A
要求（1）写出各正弦量对应的最大值相量和有效值相量。
（2）画出各正弦量对应相量的相量图。
方法2：用图解法求总电流i
① 根据电流i1、i2的瞬时值表达式，写出对应的相量表
达式。
I1
630
A
I 2 8 60 A
② 画出 I1 I 2 ，用矢
量求和法作出电流的相量
图，如图（b）所示。由
相量图确定正弦电流的有
效值和初相位
I 10 A 23.1
③ 写出电流对应的相量表达式
最大值
3.已知：
I 4 e
j30
A
复数
4 2 sin (ω t 30 )A？
瞬时值
4.已知：
U 100 15V
U 100V ？ ？ U 100 ej15 V
负号
3.2.3相量的计算
（1）复数的加减运算 设两个复数分别为A1 = a1 + jb1，A2 = a2 + jb2，
② 用复数符号法求和，得到电流i对应的相量表达式
I I1 I2
(5.196 j3) (4 j6.928)
I 10 23.1A
9.296 j3.928 10 23.1A
③写出电流i的瞬时值表达式。
i 10 2 sin(t 23.1)A
解：（1）写出各正弦量对应的最大值相量和有效值相量。
用向量法证明正弦定理
用向量法证明正弦定理正弦定理又称为正弦法则，是指在任意三角形中，三条边的长度之间的关系可以用正弦函数表示。
具体地，如果在三角形 ABC 中，a、b、c 分别表示三条边的长度，A、B、C 分别表示三个角，则其正弦定理可以表述为：$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$$下面我们使用向量法来证明正弦定理。
假设向量 $\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$ 分别表示三条边的方向和长度，则三角形的三个顶点可以用向量表示为：$$\vec{A}=\vec{0}$$$$\vec{B}=\vec{a}$$$$\vec{C}=\vec{a}+\vec{b}$$根据三角形余弦定理可得：$$\cosA=\frac{\vec{b}\cdot\vec{c}}{|\vec{b}|\cdot|\vec{c}|}=\frac {(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{a}}{|\vec{a}+\vec{b}|\cdot|\vec {a}|}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{a}+\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{ a}+\vec{b}|\cdot|\vec{a}|}$$移项得：$$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos A-|\vec{a}|^2$$同理，可以得到：$$\vec{b}\cdot\vec{c}=|\vec{b}|\cdot|\vec{c}|\cdot\cos B-|\vec{b}|^2$$$$\vec{c}\cdot\vec{a}=|\vec{c}|\cdot|\vec{a}|\cdot\cos C-|\vec{a}+\vec{b}|^2$$将三个式子分别代入正弦定理中：$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$$得到：$$\frac{|\vec{a}|}{\sin A}=\frac{|\vec{b}|}{\sinB}=\frac{|\vec{c}|}{\sin C}$$由于 $\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$ 可以任意选取方向，因此可以将它们都转化为长度相等的单位向量。
电工基础3、3正弦量的相量表示法
1、复数的几种表示方法
复数的代数表达式为： A=a+jb
复数的三角形式为： A=rcos θ +jrsin θ
复数的极坐标形式为： A=r θ
复数的指数形式为: A=re j θ
2、加减运算
•A±B=(a1±a2)+j(b1±b2)
3、乘除运算
A·B=r1r2 θ1+θ2
A r1 1 2
A
数A的幅角； A在实轴上的投影a是它的实部； b
r
A在虚轴上的投影b称为其虚部。 0 a
＋1
复数A的代数表达式为：A=a+jb 由图又可得出复数A的模r和幅角θ分别为：
r a2 b2 极坐标形式： A=r θ
arctan b
a
＋j
br
0 a
A 由图还可得出复数A与模 a r cos
Z1Z2 3 00 ×3 -900 = 9 -900
Z1 Z2
3-j3
3 2 -450
= 2.12 -450
1. 已知复数A=4+j5，B=6-j2。试求A+B、 A-B、A×B、A÷B。
2. 已知复数A=30 30°，B=40 60°。试 求A+B、A-B、A×B、A÷B。
A+B=（4+6）+j（5-2）=10+j3≈10.4 16.70
3.3.1
1、复数的图形表示
1）复数用点表示
A1=1+j A2=-3 A3=-3-j2 A4=3-j
复数及其运算规律
+j
3
2
A2
1
A1
-3 -2 -1 0 1 2 3 +1
正弦量的基本特征及相量表示法KCLCVL及元件伏安关系的-精选文档
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3.1.2 相位、初相和相位差
相位：正弦量表达式中的角度
初相：t=0时的相位 相位差：两个同频率正弦量的相位之差，其 值等于它们的初相之差。如
u U sin( t ) m u
相位差为：
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i I sin( t ) m i
代数型
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三角函数型
指数型
极坐标型
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复数的四则运算： a ja a 设两复数为： A 1 2 1
B b jb b 1 2 2
(1)相等。若a1=b1，a2=b2，则A=B 。 (2)加减运算： A B ( a b ) j ( a b ) 1 1 2 2
根据有效值的定义有： I
2 T2 RT 0i Rdt
周期电流的有效值为： I
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1 T 2 0 i dt T
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对于正弦电流，因
i ( t ) I sin t ( ) m i
所以正弦电流的有效值为：
I
3.1 正弦量的基本概念及其相量表
示法
Biblioteka 3.2 KCL、KVL及元件伏安关系 的相量形式 3.3 正弦交流电路的一般分析方法 3.4 正弦电路的功率 3.5 电路中的谐振
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3.1 正弦量的基本概 念及其相量表示法
第3章 正弦交流电路 学习要点
3.1.2 相位、初相和相位差
相位：正弦量表达式中的角度
初相：t=0时的相位 相位差：两个同频率正弦量的相位之差，其 值等于它们的初相之差。如
u U sin( t ) m u
相位差为：
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i I sin( t ) m i
代数型
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三角函数型
指数型
极坐标型
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复数的四则运算： a ja a 设两复数为： A 1 2 1
B b jb b 1 2 2
(1)相等。若a1=b1，a2=b2，则A=B 。 (2)加减运算： A B ( a b ) j ( a b ) 1 1 2 2
根据有效值的定义有： I
2 T2 RT 0i Rdt
周期电流的有效值为： I
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1 T 2 0 i dt T
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对于正弦电流，因
i ( t ) I sin t ( ) m i
所以正弦电流的有效值为：
I
3.1 正弦量的基本概念及其相量表
示法
Biblioteka 3.2 KCL、KVL及元件伏安关系 的相量形式 3.3 正弦交流电路的一般分析方法 3.4 正弦电路的功率 3.5 电路中的谐振
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3.1 正弦量的基本概 念及其相量表示法
第3章 正弦交流电路 学习要点
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复数及四则运算（三）
3. 复数的四则运算 (1) 复数的加减法
A 设1 a1 jb1 r1 1 A2 a2 jb2 r2 2
O ＋j A1＋A2
A2 A1－A2 A1 ＋1
则 A1 A2 (a1 a2 ) j (b1 b2 )
图4.9 复数相加减矢量图
r A a 2 b2
＋j b P
r
b arctan ( 2 ) a
O a ＋1
a r cos b r s in
复数及四则运算（二）
2. 复数的四种形式 (1)复数的代数形式
A a jb
(2) 复数的三角形式
(3) 复数的指数形式 (4) 复数的极坐标形式
复数及四则运算（四）
(2) 复数的乘除法
A B r1 1 r2 2 r1 r2 1 2 A r1 1 r1 1 2 B r2 2 r2
例
求复数A=8+j6 , B=6-j8之和A+B及积 A· B。 解： A+B=（8+j6)+(6-j8)=14-j2 A· B=(8+j6)(6-j8)=10/36.9°· 10 53.1°=100/-16.2° /-
i
i3＝Imsin
0
t
2
0
t
6
0
(a)
i i3＝Imsin(t＋ ) 6 i
(b)
i4＝Imsin(t－ 6)
(c)
in(t＋ ) 2
t
6
0
t
0 6
t
(c波形
复数及四则运算（一）
1.复数
A a jb
思考题（三）
3、已知 u1 100 2 sin tV , u2 220 2 sin(t 120 )V , 如图4.12所示，判断下列表达式的正误。
(1) u u1 u2 (2) U U1 U 2 (3) U U1 U 2 (4) U m U m1 U m 2
已知同频率的正弦量的解析式分别为
i=10sin(ωt+30°), u 220 2 sin(t 45) , 写 出电流和电压的相量 I 、 ,并绘出相量图。 U 解 由解析式可得
例 （二）
10 I 30 5 2 30 A 2 220 2 U 45 V 2
正弦量的相量表示法
＋j B ＋j b ＋1 a t 1
O
A t 1 Um
O′
t
正弦量的复数表示
U m e j e jt U m e j (t ) U m cos( t ) jU m sin(t ) U U
例 （一）
A r cos jr sin
A re
j
A r
例
写出复数A1=4-j3, A2=-3+j4的极坐标形式。 解 A1的模
r1 42 ( 3) 2 5
3 辐角 1 arctan 36.9 （在第四象限） 4 则A1的极坐标形式为 A1=5 -36.9°
U 2 20 2V , 2 30
所以
u1 2U1 sin(t 1 ) 10 sin(100t 60 )V u2 2U 2 sin(t 2 ) 40 sin(100t 30 )V
思考题（一）
1、写出下列各正弦量对应的向量，并绘出向量 图。 (1) u1 220 2 sin(t 100 )V
＋j · I 30° O 45° ＋1
· U
相量图如图4.11所示。
图 4.11 例 4.12 图
例 4.13（一）
已知工频条件下, 两正弦量的相量分别为
U 1 10 2 60V ,U 2 20 2 30V
试求两正弦电压的解析式。
例 4.13（二）
解 由于
2f 2 50 100rad / s U1 10V , 1 60
A2的模
辐角
r2 ( 3) 4 5
2 2
4 2 arctan 126 .9 3
(在第二象限)
则A2的极坐标形式为
A2 5 / 126 .9
例
写出复数A=100 30°的三角形式和代数形式。 解 ： 三角形式A=100（cos30°+jsin30°）
代数形式A=100(cos30°+jsin30°)=86.6+j50
(2) u 2 110 2 sin(t 240 )V
(3) i1 10 2 cos( t 30 ) A
(4) i2 14 .14 sin(t 90 ) A
思考题（二）
2、写出下列向量对应的解析式（f=50Hz)。
(1) I1 5 45 A ) I 2 j10 A I 3 10 30 A (2 (3) (4) U1 380 240 V ) U 2 100 j100 3V ) U 3 220 40 (5 (6
4.1 正弦量的基本概念
正弦量的特征
(1)反映正弦交流电大小的物理量 瞬时值、最大值和有效值。 (2)反映正弦交流电变化快慢的物理量 周期、频率和角频率。 (3)反映正弦交流电步调的物理量 相位、初相位和相位差。
图1 正弦交流电的波形
i i1＝Imsint
i
i2＝Imsin(t＋ ) 2