2018~2019上海市杨浦区二模数学
2018~2019上海市杨浦区二模数学
2018~2019学年杨浦区九年级二模数学试卷（满分150分，考试时间100分钟）一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1. 如图，已知数轴上的点A 、B 表示实数分别为a 、b ，那么下列等式成立的是（ ）（A ）b a b a -=+； （B ）b a b a --=+； （C ）a b b a -=+；（D ）b a b a +=+．2. 下列关于x 的方程一定有实数解的是（ ）（A ）012=--mx x ；（B ）3=ax ； （C ）046=-⋅-x x ；（D ）111-=-x xx ． 3. 如果0<k ，0>b ，那么一次函数b kx y +=的图像经过（ ）（A ）第一、二、三象限； （B ）第二、三、四象限；（C ）第一、三、四象限；（D ）第一、二、四象限．4. 为了解某校初三学生的体重情况，从中随机抽取了80名初三学生的体重进行统计分析，在此问题中，样本是指（ ） （A ）80；（B ）被抽取的80名初三学生； （C ）被抽取的80名的初三学生体重；（D ）该校初三学生的体重．5. 如图，已知ADE △是ABC △绕点A 逆时针旋转所得，其中点D 在射线AC 上，设旋转角为α，直线BC与直线DE 交于点F ，那么下列结论不正确的是（ ） （A ）α=∠BAC ； （B ）α=∠DAE ；（B ）α=∠CFD ；（D ）α=∠FDC ．6. 在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是（ ）（A ）一组对边平行，另一组对边相等； （B ）一组对边相等，一组对角相等；（C ）一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线； （D ）一组对边相等，一组对角线平分另一条对角线．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 计算：=+522)(y y ．8. 分解因式：=-+-1222b ab a ． 9. 方程x x -=-11的解为： ．10. 如果正比例函数x k y )2(-=的函数值y 随x 的增大而减小，且它的图像与反比例函数xky =的图像没有公共点，那么k 的取值范围是 ． 11. 从5-，310-，6-，1-，0，2，π这七个数中随机抽取一个数，恰好为负整数的概率为 ．12.某校为了了解学生最喜欢的球类运动情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生只写一类最喜欢的球类运动，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．那么，其中喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比为 %．13.甲、乙两名学生练习打字，甲打135个字所用时间与乙打180个字所用时间相同．已知甲平均每分钟比乙少打20个字，如果设甲平均每分钟打字的个数为x，那么符合题意的方程为．14.如图，ABC△中，过重心G的直线平行于BC，且交边AB于点D，交边AC于点E，如果设aAB=，bAC=，用a，b表示GE，那么=GE．15.正八边形的中心角是度．16.如图，点M、N分别在AOB∠的边OA、OB上，将AOB∠沿直线MN翻折，设点O落在点P处，如果当4=OM，3=ON时，点O、P的距离为4，那么折痕MN的长为．17.如果当0≠a，0≠b，且ba≠时，将直线baxy+=和直线abxy+=称为一对“对偶直线”，把它们的公共点称为该“对偶直线”的“对偶点”，那么请写出“对偶点”为)4,1(的一对“对偶直线”：．18.如图，在矩形ABCD中，过点A的圆O交边AB于点E，交边AD于点F，已知5=AD，2=AE，4=AF．如果以点D为圆心，r为半径的圆D与圆O有两个公共点，那么r的取值范围是．第14题图第16题图第18题图三、解答题（本大题共7题，满分78分）19.（本题满分10分）计算：3630cos4)23()21()3(032+︒--+--．类别 A B C D E F类型足球羽毛球乒乓球篮球排球其他人数10 4 6 220. （本题满分10分）已知关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧+=-=+.3;122ab y b x a by ax 的解为⎩⎨⎧-==.1,1y x ，求a 、b 的值．21. （本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）已知在梯形ABCD 中，BC AD //，BC DC ⊥，且1=AD ，3=DC ，点P 为边AB 上一动点，以P 为圆心，BP 为半径的圆交边BC 于电脑Q ．（1）求AB 的长； （2）当BQ 的长为940时，请通过计算说明圆P 与直线DC 的位置关系．22. （本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题2分，第（3）小题3分）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y (米)与甲出发时间x (分)之间的关系如图中折线CD BC AB OA ---所示．（1）求线段AB 的表达式，并写出自变量x 的取值范围； （2）求乙的步行速度；（3）求乙比甲早几分钟到达终点？23. （本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）已知：如图，在AABC △中，BC AB =，︒=∠90ABC ，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，点F 、G 是边AC 的三等分点，DF 、EG 的延长线相交于点H ，联结HA 、HC ．求证：（1）四边形FBGH 是菱形；（2）四边形ABCH 是正方形．24. （本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）已知开口向上的抛物线222+-=ax ax y 与y 轴的交点为A ，顶点为B ，对称轴与x 轴的交点为C ，点A 与点D 关于对称轴对称，直线BD 与x 轴交于点M ，直线AB 与直线OD 交于点N ．（1）求点D 的坐标；（2）求点M 的坐标（用含a 的代数式表示）；（3）当点N 在第一象限，且ONA OMB ∠=∠时，求a 的值．25. （本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）已知圆O 的半径长为2，点A 、B 、C 为圆O 上三点，弦AO BC =，点D 为BC 的中点． （1）如图1，联结AC 、OD ，设OAC α∠=，请用α表示AOD ∠；（2）如图2，当点B 为»AC 的中点时，求点A 、D 之间的距离； （3）如果AD 的延长线与圆O 交于点E ，以O 为圆心，AD 为半径的圆与以BC 为直径的圆相切，求弦AE 的长．图1 图2 图3。
2018届中考数学二模-杨浦-答案
杨浦区初三质量调研数学试卷答案及评分建议 2019.4一、 选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．B ； 2．A ； 3．D ； 4．C ； 5．D ； 6．C 二、 填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7． y ； 8． ()()11a b a b -+--； 9．1x =；10．02k <<； 11．27； 12．24； 13．13518020x x =+； 14．1133a b -+； 15． 45； 16．17．331y x y x =+=+和等； 18．r . 三、 解答题（本大题共7题，满分78分）19．解：原式381=+-- ........................... （7分） 10= ................................................... （3分）20．解：由题意得22130a b a b ab -=⎧⎨+--=⎩............................. （2分） 由1a b -=得1a b =+，将1a b =+代入2230a b ab +--=，整理得：220b b +-=. ...................................... （4分） 解得：122,1b b =-=. ...................................... （2分） 当12b =-时11a =-；当21b =时，22a =所以，12121221a a b b =-=⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ ................................... （2分） 21．解：（1）作AH ⊥BC 于点H ，∵DC ⊥BC ，∴AH //DC . ∵AD //BC ，∴ADCH 为矩形. ......... （1分） ∴HC =AD =1，AH =DC =3. ∵AB =BC ，∴BH =AB -1.在Rt △ABH 中，222AB AH BH =+，即()2291AB AB =+-， ..... （1分） ∴AB =5. ................................................... （2分） （2）过点P 作PM ⊥BC 于点M ，PN ⊥DC 于点N ，PN 交AH 于点G ，∵点P 为圆心，∴BM =QM ，即12029BM BQ ==................. （1分） ∵4cos 5BH B AB ==，又cos BM B BP =，∴259BP =，即圆P 的半径为259. （1分） ∵PN ⊥DC ， BC ⊥DC ，PM ⊥BC ，∴PMCN 为矩形. ............ （1分） ∴2025599PN MC ==-=................................... （1分） ∴点P 到直线DC 的距离等于圆P 的半径. ...................... （1分） ∴圆P 与直线DC 相切. ..................................... （1分） 22．解：（1）设线段AB 的表达式为y kx b =+， ..................... （1分）∵点A （4,240），点B （16,0），∴2404016k bk b =+⎧⎨=+⎩ ............ （1分）解得：20,320.k b =-⎧⎨=⎩∴线段AB 的表达式为()20320416y x x =-+≤≤. ........... （2分,1分）（2）B （16,0）表示在甲出发16分钟时，乙赶上了甲，∵甲的步行速度为240604=米/分，∴乙赶上甲时乙行走的路程为1660960⨯=米. ∴乙12分中内走了960米. ................................... （1分）∴乙的速度为9608012=米/分.................................. （1分） （3）∵甲的步行速度为60米/分，∴甲步行全程需要24004060=分钟.乙的步行速度为80米/分，∴乙步行全程需要24003080=分钟... （1分） 又∵甲先出法4分钟，∴乙比甲早6分钟到终点. ............... （2分） 23．证明（1）：∵点F 、G 是边AC 的三等分点，∴F 、G 分别是AG 、CF 的中点， ∵点D 是AB 的中点，∴DF //BG ，即FH //BG ． .......... （2分）同理： GH // BF ． .................................... （1分） ∴四边形FBGH 是平行四边形． ......................... （1分） ∵AB =BC ，∴∠BAC =∠ACB .∵点F 、G 是边AC 的三等分点，∴AF =CG .∴△ABF ≌△CBG . ∴BF =BG . ......................... （1分） ∴平行四边形FBGH 是菱形. ........................... （1分）证明（2）联结BH ，交FG 于点O ，∵四边形FBGH 是平行四边形，∴OB =OH ，OF =OG ． ...... （2分） ∵AF =CG ，∴OA =OC ． ................................ （1分） ∴四边形ABCH 是平行四边形． ......................... （1分） ∵∠ABC =90°，∴平行四边形ABCH 是矩形. ............ （1分） ∵AB =BC ，∴矩形ABCH 是正方形. ..................... （1分）24．解：（1）∵开口向下的抛物线222y ax ax =-+与y 轴交于点A ，顶点为B ， ∴0a <，A （0,2），B （1,2-a ），对称轴为直线x =1. ................. （3分） 又∵对称轴交x 轴于点C ，∴C （1,0）.∵点A 与点D 关于对称轴对称，∴D （2,2）. ....................... （1分） （2）作DH ⊥OM 于点H ，∵D （2,2），C （1,0）， B （1,2-a ），∴DH =2，BC =2-a ，CH =1，且BC ⊥OM .∴BC //DH . ................ （1分） ∴DH MH BC MC =.即221MH a MH =-+.∴2MH a=-. ..................... （1分） ∴22OM a =-. ∴22,0M a ⎛⎫- ⎪⎝⎭. ................................. （2分）（3）设直线OD 与对称轴交点为G ， ∵点N 在第一象限，且∠OMB =∠ONA ，又∵D （2,2），∴∠AON =∠DOM =45°，∴△AON ∽△DOM . ........ （1分） ∴AO ON DO OM =.∴11ON a ⎫==-⎪⎭. ....................... （1分） ∵BG //AO ，∴BG NG AO ON =.即1121121a a a ⎫-⎪--⎝⎭=⎫-⎪⎭.∴1a =. （1分） ∵0a <，且直线AB 与直线OD 的交点N 在第一象限 ，∴023a a <⎧⎨-<⎩.∴10a -<<.∴1a =. ........................... （1分）25．解：（1）联结CO ，∵D 为BC 的中点，DO 过圆心，∴OD ⊥BC . ....................... （1分） ∵BC =2，D 为BC 的中点，∴DC =1.∵CO =2, OD ⊥BC ，∴∠COD =30°. ............................. （1分） ∵AO =CO ，∴∠OAC =∠ACO∵∠OAC =α，∴∠AOC =1802α︒-. ............................... （1分） ∴∠AOD =1802301502αα︒--︒=︒-. ............................. （1分） （2）联结AB 、OC 、OD ，由（1）得∠COD =30°. ∴OD =（1分） ∵AB BC =，∴AB =BC . ........................................ （1分） ∵BC =AO ，AO =OC ，∴ABCO 是菱形. ............................. （1分） ∴BC //AO . ∴∠BDO +∠AOD =180°.∵OD ⊥BC ,即∠BDO =90°，∴∠AOD =90°，即OD ⊥AO . .......... （1分）∴AD ===. .............................. （1分）（3）∵圆O 的半径为AD ，圆D 的半径112BC ==，圆心距OD =， 又∵圆O 与圆D 相切，∴1OD AD =+或1OD AD =-1AD =+1AD -，∴1AD =或1AD . .................................... （2分） 作OH ⊥AD 于点H ，则AE =2AH . ................................. （1分）当1AD =时，∵()2222AO AH OD AD AH -=--，即)22431AH AH-=--， ∴AH .∴12AE =. ................................................ （1分）当1AD=时，同上解得AH=.∴12AE=. ................................................ （1分）即弦AE。
上海市杨浦区2018届高考二模数学试题含答案
已知 A {x | y 2 x x 2 } ， B {x | x 1} ，则 A B 等于（ A. [0,1] U (2, )
B.
）
D.
[0,1) U (2, )源自C. [0,1][0, 2]
15. 已知 a12 b12 0 ， a2 2 b2 2 0 ，则“
上海市杨浦区 2018 届高三二模数学试卷
2018.04
一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分） 1. 函数 y lg x 1 的零点是 2. 计算： lim
2n n 4n 1
3. 若 (1 3 x) n 的二项展开式中 x 2 项的系数是 54 ，则 n 4. 掷一颗均匀的骰子，出现奇数点的概率为
2
8. 若双曲线
x 2 16 y 2 2 1 ( p 0) 的左焦点在抛物线 y 2 2 px 的准线上，则 p 3 p
3 ，则 tan 2 y 的值为 5
9. 若 sin( x y )cos x cos( x y )sin x
10. 若 {an } 为等比数列， an 0 ，且 a2018
m , m) ，射线 OM 与 交于点 P，四边形 OAPB 能否为平行四边形？ 3
若能，求此时 l 的斜率；若不能，说明理由．
21. 记函数 f ( x) 的定义域为 D. 如果存在实数 a 、 b 使得 f ( a x) f ( a x) b 对任意满 足 a x D 且 a x D 的 x 恒成立，则称 f ( x) 为 函数. （1）设函数 f ( x)
1 1 ，试判断 f ( x) 是否为 函数，并说明理由； x 1 ，其中常数 t 0 ，证明： g ( x) 是 函数； 2 t
上海市杨浦区2018高三数学二模(含解析)
上海市杨浦区2018届高三二模数学试卷2018.04一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 函数lg 1y x =-的零点是 2. 计算：2lim41n nn →∞=+3. 若(13)n x +的二项展开式中2x 项的系数是54，则n =4. 掷一颗均匀的骰子，出现奇数点的概率为5. 若x 、y 满足020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2f x y =+的最大值为6. 若复数z 满足1z =，则z i -的最大值是7. 若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3、3、2的三角形， 则该圆锥的体积是8. 若双曲线2221613x y p-=(0)p >的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p = 9. 若3sin()cos cos()sin 5x y x x y x ---=，则tan 2y 的值为10. 若{}n a 为等比数列，0n a >，且20182a =，则2017201912a a +的最小值为 11. 在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，2a =，2sin sin A C =.若B 为钝角，1cos24C =-，则ABC ∆的面积为 12. 已知非零向量OP uu u r 、OQ uuu r 不共线，设111m OM OP OQ m m =+++uuu r uu u r uuur ，定义点集{|}||||FP FM FQ FMA F FP FQ ⋅⋅==uu r uuu r uu u r uuu r uu r uu u r . 若对于任意的3m ≥，当1F ，2F A ∈且不在直线PQ 上时，不等式12||||F F k PQ ≤uuu u r uu u r恒成立，则实数k 的最小值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知函数()sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的图象如图所示，则ϕ的值为（ ）A. 4πB. 2πC. 2π- D. 3π-14. 设A 、B 是非空集合，定义：{|A B x x A B ⨯=∈U 且}x A B ∉I .已知2{|2}A x y x x ==-，{|1}B x x =>，则A B ⨯等于（ ）A.[0,1](2,)+∞UB. [0,1)(2,)+∞UC.[0,1]D. [0,2]15. 已知22110a b +≠，22220a b +≠，则“11220a b a b =”是“直线1111:0l a x b y c ++=与 2222:0l a x b y c ++=平行”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要 16. 已知长方体的表面积为452，棱长的总和为24. 则长方体的体对角线与棱所成角的最大 值为（ ） A. 1arccos 3B. 2arccosC. 3arccosD. 6arccos三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用， 据市场分析，每辆单车的营运累计利润y （单位：元）与营运天数x ()x ∈*N 满足函数关系 式21608002y x x =-+-. （1）要使营运累计利润高于800元，求营运天数的取值范围； （2）每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润yx的值最大？18. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱AB 上的动点. （1）求证：11DA ED ⊥；（2）若直线1DA 与平面1CED 所成的角是45o，请你确定点E 的位置，并证明你的结论.19. 已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足12a =，1n n n S na a λμ-=+，其中2n ≥，n ∈*N ，λ，μ∈R .（1）若0λ=，4μ=，12n n n b a a +=-（n ∈*N ），求数列{}n b 的前n 项和； （2）若23a =，且32λμ+=，求证：数列{}n a 是等差数列.20. 已知椭圆222:9x y m Ω+=(0)m >，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与Ω有两 个交点A 、B ，线段AB 的中点为M .（1）若3m =，点K 在椭圆Ω上，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，求12KF KF ⋅u u u r u u u u r的范围；（2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （3）若l 过点(,)3mm ，射线OM 与Ω交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？ 若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．21. 记函数()f x 的定义域为D . 如果存在实数a 、b 使得()()f a x f a x b -++=对任意满 足a x D -∈且a x D +∈的x 恒成立，则称()f x 为ψ函数.（1）设函数1()1f x x =-，试判断()f x 是否为ψ函数，并说明理由； （2）设函数1()2x g x t=+，其中常数0t ≠，证明：()g x 是ψ函数；（3）若()h x 是定义在R 上的ψ函数，且函数()h x 的图象关于直线x m =（m 为常数）对称，试判断()h x 是否为周期函数？并证明你的结论.上海市杨浦区2018届高三二模数学试卷2018.04一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 函数lg 1y x =-的零点是 【解析】lg 1010x x -=⇒=2. 计算：2lim41n nn →∞=+【解析】123. 若(13)n x +的二项展开式中2x 项的系数是54，则n =【解析】223544n C n =⇒=4. 掷一颗均匀的骰子，出现奇数点的概率为 【解析】125. 若x 、y 满足020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2f x y =+的最大值为【解析】三个交点为(1,1)、(0,0)、(2,0)，所以最大值为3 6. 若复数z 满足1z =，则z i -的最大值是【解析】结合几何意义，单位圆上的点到(0,1)的距离，最大值为27. 若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3、3、2的三角形， 则该圆锥的体积是【解析】13V π=⋅⋅=8. 若双曲线2221613x y p-=(0)p >的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p = 【解析】2234164p p p +=⇒= 9. 若3sin()cos cos()sin 5x y x x y x ---=，则tan 2y 的值为 【解析】3sin 5y =-，3tan 4y =±，24tan 27y =±10. 若{}n a 为等比数列，0n a >，且20182a =，则2017201912a a +的最小值为【解析】2019201720182220172019201820182124a a a a a a ++=≥=11. 在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，2a =，2sin sin A C =. 若B 为钝角，1cos24C =-，则ABC ∆的面积为【解析】2a =，4c =，21cos212sin sinC C C =-=-⇒=cos C =sin A =cos A =sin sin()B A C =+=，1242S =⨯⨯=12. 已知非零向量OP uu u r 、OQ uuu r 不共线，设111m OM OP OQ m m =+++uuu r uu u r uuur ，定义点集{|}||||FP FM FQ FMA F FP FQ ⋅⋅==uu r uuu r uu u r uuu r uu r uu u r . 若对于任意的3m ≥，当1F ，2F A ∈且不在直线PQ 上时， 不等式12||||F F k PQ ≤uuu u r uu u r 恒成立，则实数k 的最小值为 【解析】建系，不妨设(1,0)P -，(1,0)Q ，∴1(,0)1m M m -+，3m ≥，11[,1)12m m -∈+， ∴3FP MP FQ MQ =≥，设(,)F x y ，∴2222(1)9(1)x y x y ++≥-+，即2259()416x y -+≤，点F 在此圆内， ∴12max 33||242F F =⨯=uuu u r ，33224k k ≤⇒≥二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知函数()sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的图象如图所示，则ϕ的值为（ ）A. 4πB. 2πC. 2π- D. 3π-【解析】T π=，2ω=，()122f ππϕ=⇒=-，选C14. 设A 、B 是非空集合，定义：{|A B x x A B ⨯=∈U 且}x A B ∉I .已知{|A x y =，{|1}B x x =>，则A B ⨯等于（ ）A.[0,1](2,)+∞UB. [0,1)(2,)+∞UC.[0,1]D. [0,2]【解析】[0,2]A =，[0,)A B =+∞U ，(1,2]A B =I ，选A 15. 已知22110a b +≠，22220a b +≠，则“11220a b a b =”是“直线1111:0l a x b y c ++=与 2222:0l a x b y c ++=平行”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要 【解析】11220a b a b =推出直线平行或重合，选B16. 已知长方体的表面积为452，棱长的总和为24. 则长方体的体对角线与棱所成角的最大 值为（ ）A. 1arccos 3B. arccos 3C.D.【解析】设三条棱a b c ≤≤，∴454ab ac bc ++=，6a b c ++=，222272a b c ++=，222224522[(6)]a b c a bc a a a ++≥+=+--，整理得2430a a -+≤，∴12a ≤≤，∴最短棱长为1，体对角线长为2，cos θ==，选D三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用， 据市场分析，每辆单车的营运累计利润y （单位：元）与营运天数x ()x ∈*N 满足函数关系 式21608002y x x =-+-. （1）要使营运累计利润高于800元，求营运天数的取值范围； （2）每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润yx的值最大？ 【解析】（1）要使营运累计收入高于800元，令80080060212>-+-x x ， ……2分 解得8040<<x .………………………………………5分 所以营运天数的取值范围为40到80天之间 .………………………………7分（2）6080021+--=x x x y 6020≤-= …………………………………9分 当且仅当18002x x=时等号成立，解得400x = …………………………12分所以每辆单车营运400天时，才能使每天的平均营运利润最大，最大为20元每天 .…14分18. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱AB 上的动点. （1）求证：11DA ED ⊥；（2）若直线1DA 与平面1CED 所成的角是45o，请你确定点E 的位置，并证明你的结论. 【解析】以D 为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则(0,0,0)D ，(1,0,0)A ，(1,1,0)B ， C (0,1,0) ，D 1(0,1,2) ，A 1(1,0,1)，设(1,,0)E m (01)m ≤≤（1）证明：1(1,0,1)DA =u u u u r，1(1,,1)ED m =--u u u u r ………2分111(1)0()110DA ED m ⋅=⨯-+⨯-+⨯=u u u r u u u u r ………4分 所以DA 1⊥ED 1. ……………6分另解：1ADA AE 平面⊥，所以D A AE 1⊥. ……………2分 又11AD D A ⊥，所以AE D D A 11平面⊥. ……………………………4分 所以11DA ED ⊥……………………………6分（2）以A 为原点，AB 为x 轴、AD 为y 轴、AA 1为z 轴建立空间直角坐标系…………7分 所以)1,0,0(1A 、)0,1,0(D 、)0,1,1(C 、)1,1,0(1D ，设t AE =，则)0,0,(t E ………8分设平面CED 1的法向量为),,(z y x =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001CD n 可得⎩⎨⎧=--=+-0)1(0y x t z x ， 所以⎩⎨⎧-==xt y xz )1(，因此平面CED 1的一个法向量为)1,1,1(-t ………10分由直线1DA 与平面1CED 所成的角是45o ，可得||||45sin 11n DA =︒ ……11分可得1)1(12|11|222+-+⋅+-=t t ，解得21=t ………13分 由于AB =1，所以直线1DA 与平面1CED 所成的角是45o时，点E 在线段AB 中点处. …14分19. 已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足12a =，1n n n S na a λμ-=+，其中2n ≥，n ∈*N ，λ，μ∈R .（1）若0λ=，4μ=，12n n n b a a +=-（n ∈*N ），求数列{}n b 的前n 项和；（2）若23a =，且32λμ+=，求证：数列{}n a 是等差数列. 【解析】（1）14-=n n a S ，所以n n a S 41=+.两式相减得1144-+-=-n n n n a a S S .即1144-+-=n n n a a a………2分所以)2(2211-+-=-n n n n a a a a ，即12-=n n b b ，………3分又8412==a S ，所以6122=-=a S a ，得22121=-=a a b ………4分因此数列{}n b 为以2为首项，2为公比的等比数列.nn b 2=，前n 项和为221-+n …7分（2）当n = 2时，1222a a S μλ+=，所以μλ2623+=+. 又32λμ+=，可以解得12λ=，1μ= ………9分 所以12-+=n n n a a n S ，n n n a a n S ++=++1121，两式相减得111221-++-+-+=n n n n n a a a n a n a 即112221-++-=-n n n a a n a n . 猜想1+=n a n ，下面用数学归纳法证明： ………10分① 当n = 1或2时，1121+==a ，1232+==a ，猜想成立；② 假设当k n ≤（2,*≥∈k N k ）时，1k a k =+ 成立则当1+=k n 时，2))1(22(12)22(1211+=++--=+--=-+k k k k k a a k k a k k k 猜想成立. 由①、②可知，对任意正整数n ，1+=n a n .………13分 所以11=-+n n a a 为常数，所以数列{}n a 是等差数列.………14分另解：若23a =，由12212a a a a +=+λμ，得562=+λμ，又32+=λμ，解得112==，λμ． ………9分 由12a =，23a =，12λ= ，1μ=，代入1n n n S na a λμ-=+得34a =，所以1a ，2a ，3a 成等差数列，由12n n n n S a a -=+，得1112n n n n S a a +++=+，两式相减得：111122n n n n n n na a a a a ++-+=-+-，即11(1)(2)20n n n n a n a a +-----=所以 21(1)20n n n na n a a ++---= ………11分相减得：2112(1)(2)220n n n n n na n a n a a a ++---+--+= 所以2111(2)2(2)0n n n n n n n a a a a a a +++--++-+=所以221111-222(2)(2)(2)(1)n n n n n n n n n a a a a a a a a a n n n +++---+=--+=-+- 1321(2)(2)(1)2n a a a n n --==-+-L L L ，因为12320a a a -+=，所以2120n n n a a a ++-+=，即数列{}n a 是等差数列.………14分20. 已知椭圆222:9x y m Ω+=(0)m >，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与Ω有两 个交点A 、B ，线段AB 的中点为M .（1）若3m =，点K 在椭圆Ω上，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，求12KF KF ⋅u u u r u u u u r的范围；（2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （3）若l 过点(,)3mm ，射线OM 与Ω交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？ 若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．【解析】（1）椭圆99:22=+Ωy x ，两个焦点)22,0(1F 、)22,0(2-F ，设),(y x K 所以8)22,()22,(2221-+=---⋅--=⋅y x y x y x KF KF由于9922=+y x ，所以2299x y -=，188)99(22221+-=--+=⋅x x x KF KF …3分由椭圆性质可知11≤≤-x ，所以]1,7[21-∈⋅KF KF……………5分（2）设直线b kx y l +=:（0,0≠≠k b ），),(11y x A ，),(22y x B ，),(00y x M ， 所以21x x 、为方程222)(9m b kx x =++的两根，化简得02)9(2222=-+++m b kbx x k ，所以922210+-=+=k kb x x x ，99922200+=++-=+=k bb k b k b kx y . ……………8分 kx y k OM 900-==，所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积等于9-为定值. …………10分（3）∵直线l 过点(,)3mm ，∴l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠． 设),(p p y x P 设直线m m x k y l +-=)3(:（0,0≠≠k m ），即m mkkx y +-=3.由（2）的结论可知x ky OM 9:-=，代入椭圆方程2229m y x =+得8192222+=k k m x p …12分由（2）的过程得中点)9)3(9,9)3((22+-+--k km m k k mk m M ， ……………14分 若四边形OAPB 为平行四边形，那么M 也是OP 的中点，所以p x x =02，得819)93(4222222+=+-k k m k mk mk ，解得74±=k 所以当l的斜率为44OAPB 为平行四边形． ……………16分21. 记函数()f x 的定义域为D . 如果存在实数a 、b 使得()()f a x f a x b -++=对任意满 足a x D -∈且a x D +∈的x 恒成立，则称()f x 为ψ函数.（1）设函数1()1f x x =-，试判断()f x 是否为ψ函数，并说明理由； （2）设函数1()2x g x t=+，其中常数0t ≠，证明：()g x 是ψ函数；（3）若()h x 是定义在R 上的ψ函数，且函数()h x 的图象关于直线x m =（m 为常数）对称，试判断()h x 是否为周期函数？并证明你的结论. 【解析】（1）1()1f x x=-是ψ函数 . ……1分 理由如下：1()1f x x=-的定义域为{|0}x x ≠， 只需证明存在实数a ，b 使得()()f a x f a x b -++=对任意x a ≠±恒成立.由()()f a x f a x b -++=，得112b a x a x +-=-+，即2()()a x a xb a x a x ++-+=-+. 所以22(2)()2b a x a +-=对任意x a ≠±恒成立. 即2,0.b a =-= 从而存在0,2a b ==-，使()()f a x f a x b -++=对任意x a ≠±恒成立. 所以1()1f x x=-是ψ函数. …………4分 （2）记()g x 的定义域为D ，只需证明存在实数a ，b 使得当a x D -∈且a x D +∈时，()()g a x g a x b -++=恒成立，即1122a xa xb tt-++=++恒成立.所以22(2)(2)a x a x a x a x t t b t t +-+-+++=++， ……5分 化简得，22(1)(22)(2)2a x a x a bt b t t +--+=+-.所以10bt -=,22(2)20a b t t +-=. 因为0t ≠，可得1b t=，2log ||a t =,即存在实数a ，b 满足条件，从而1()2x g x t=+是ψ函数. …………10分（3）函数)(x h 的图象关于直线x m =（m 为常数）对称，所以)()(x m h x m h +=- （1）， ……………12分 又因为b x a h x a h =++-)()( （2）， 所以当a m ≠时，)]2([)22(a m x m h a m x h -++=-+ 由（1） )]([)2()]2([x a a h x a h a m x m h -+=-=-+-= 由（2） )()]([x h b x a a h b -=---= （3）所以)22(]22)22[()44(a m x h b a m a m x h a m x h -+-=-+-+=-+ （取a m x t 22-+=由（3）得）再利用（3）式，)()]([)44(x h x h b b a m x h =--=-+.所以()f x 为周期函数，其一个周期为a m 44-. ……………15分 当a m =时，即)()(x a h x a h +=-，又)()(x a h b x a h +-=-， 所以2)(bx a h =+为常数. 所以函数)(x h 为常数函数， 2)()1(bx h x h ==+，)(x h 是一个周期函数. ……………17分综上，函数)(x h 为周期函数 ……………18分（其他解法参考评分标准，酌情给分）。
2019届杨浦区高三数学二模(2019.4.8)
x 的最小正周期是
．
x = cos2x T = 2 = ．
2
．
x − 3y + 1 = 0, 2．方程组 的增广矩阵为 2x + 5y − 4 = 0
【答案】
1 −3 −1 2 5 4 x − 3y + 1 = 0 x − 3y = −1 1 −3 −1 【解析】 ，∴增广矩阵是 ． 2x + 5y − 4 = 0 2x + 5y = 4 2 5 4
杨浦区 2018 学年第二学期高三年级模拟质量调研
数学学科试卷
1．函数 f ( x ) = 1 − 2sin 2 x 的最小正周期是 ． 2019.4 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1~6 题每题 4 分，第 7~12 题每题 5 分）
x − 3y + 1 = 0, 2．方程组 的增广矩阵为 ． 2x + 5y − 4 = 0 3．若幂函数 f ( x ) = x k 的图像过点 ( 4, 2 ) ，则 f ( 9 ) =
P 的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．该圆的半径为
．
11．若 △ABC 的内角 A, B, C ，其中 G 为 △ABC 的重心，且 GA GB = 0 ，则 cos C 的最小 值为 ． 12．定义城为集合 1, 2,3, ,12 上的函数 f ( x ) 满足： ① f (1) = 1 ；② f ( x + 1) − f ( x ) = 1( x = 1, 2, 不同函数 f ( x ) 的个数为 ．
k
3．若幂函数 f ( x ) = x 的图像过点 ( 4, 2 ) ，则 f ( 9 ) = 【答案】 3 1 1 【解析】由题意得 4k = 2 k = f ( 9 ) = 9 2 = 3 ． 2 4．若 (1 + 3x ) 的二项展开式中 x 2 项的系数是 54 ，则 n =
2018年杨浦区初三数学二模卷及答案-2018.4(含答案)
2018年杨浦区初三数学二模卷 2018.4(完卷时间 100分钟 满分 150分) 考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、 选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．下列各数中是无理数的是 （A ）cos60°；（B ）1.3；（C ）半径为1cm 的圆周长； （D2．下列运算正确的是（A ）2m m m ⋅=； （B ）236()m m =； （C ）33()mn mn =； （D ）623m m m ÷=． 3．若3x ＞﹣3y ，则下列不等式中一定成立的是（A ）0x y +>；（B ）0x y ->；（C ）0x y +<；（D ）0x y -<．4．某校120名学生某一周用于阅读课外书籍的时间的频率分布直方图如图1所示.其中阅读时间是8-10小时的组频数和组频率分别是 （A ）15和0.125； （B ）15和0.25；（C ）30和0.125；（D ）30和0.25．5．下列图形是中心对称图形的是（A（B ） （C （D ）6． 如图2，半径为1的圆O 1与半径为3的圆O 2相内切，如果半径为2的圆与圆O 1和圆O 2都相切，那么这样的圆的个数是 （A ）1； （B ）2；（C ）3； （D ）4.二、 填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】频率（图1） （图2）7．计算：()()a a b b a b +-+= ▲ . 8．当0,0a b <>= ▲ . 9．函数11y x=+-x 的取值范围是 ▲ .10．如果反比例函数k y x=的图像经过点A （2，y 1）与B （3，y 2），那么12y y 的值等于 ▲ .11．三人中有两人性别相同的概率是 ▲ . 12．25位同学10秒钟跳绳的成绩汇总如下表：那么跳绳次数的中位数是 ▲ .13．李明早上骑自行车上学，中途因道路施工推车步行了一段路，到学校共用时15分钟．如果他骑自行车的平均速度是每分钟250米，推车步行的平均速度是每分钟80米，他家离学校的路程是2900米，设他推车步行的时间为x 分钟，那么可列出的方程是 ▲ . 14．四边形ABCD 中，向量AB BC CD ++= ▲. 15．若正n 边形的内角为140︒，则边数n 为 ▲ .16．如图3，△ABC 中，∠A =80°，∠B =40°，BC 的垂直平分线交AB 于点D ，联结DC .如果AD =2，BD =6，那么△ADC 的周长为 ▲ .17．如图4，正△ABC 的边长为2，点A 、B C 在圆内，将正△ABC绕点A 逆时针旋转，当点C 第一次落在圆上时，旋转角的正切值是 ▲ . 18．当关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0有实数根，且其中一个根为另一个根的2倍时，称之为“倍根方程”. 如果关于x 的一元二次方程x 2+(m -2)x -2m=0是“倍根方程”，那么m 的值为▲ .三、 解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）先化简，再求值：11123213222-+++--÷--x x x x x x x ，12+=x ． 20．（本题满分10分）（图4）（图3）ABCD解方程组：22223;2().x y x y x y ⎧-=⎪⎨-=+⎪⎩21．（本题满分10分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分7分）已知：如图5，在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AD ＝BC ，BD 平分∠ABC ，∠A ＝60°． 求：（1）求∠CDB 的度数；（2）当AD ＝2时，求对角线BD 的长和梯形ABCD 的面积．22．（本题满分10分，第（1）小题2分，第（2）、（3）各小题4分）已知A 、B 、C 三地在同一条路上，A 地在B 地的正南方3千米处，甲、乙两人分别从A 、B 两地向正北方向的目的地C 匀速直行，他们分别和A 地的距离s （千米）与所用的时间t （小时）的函数关系如图6所示． （1）图中的线段l 1是 ▲ （填“甲”或“乙”图像，C 地在B 地的正北方向 ▲ 千米处； （2）谁先到达C 地？并求出甲乙两人到达C 地的时间差；（3）如果速度慢的人在两人相遇后立刻提速，并且比先到 者晚1小时到达C 地，求他提速后的速度.23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）已知：如图7，在□ABCD 中，点G 为对角线AC 的中点，过点G 的直线EF 分别交边AB 、CD 于点E 、F ，过点G 的直线MN 分别交边AD 、BC 于点M 、N ，且∠AGE =∠CGN. （1）求证：四边形ENFM 为平行四边形； （2）当四边形ENFM 为矩形时，求证：BE=BN .24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）t （小时） （图6）（图5） （图7）A CD GE FM如图8，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，直线y =x +4经过点A 、C ，点P 为抛物线上位于直线AC 上方的一个动点. （1）求抛物线的表达式； （2）如图（1），当CP //AO 时，求∠P AC 的正切值；（3）当以AP 、AO 为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上时，求出此时点P 的坐标.25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4 分）如图9，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =DC =5，AD =1，BC =9，点P 为边BC 上一动点，作PH ⊥DC ，垂足H 在边DC 上，以点P 为圆心PH 为半径画圆，交射线PB 于点E . （1） 当圆P 过点A 时，求圆P 的半径；（2） 分别联结EH 和EA ，当△ABE ∽△CEH 时，以点B 为圆心，r 为半径的圆B 与圆P相交，试求圆B 的半径r 的取值范围； （3） 将劣弧EH 沿直线EH 翻折交BC 于点F ，试通过计算说明线段EH 和EF 的比值为定值，并求出此定值.AB C DPHECABDP HE（图9）（图8）PA BC（备用图）O ABCP （图（1））O2018年杨浦区初三数学二模卷 2018.4四、 选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1． C ； 2． B ； 3． A ； 4． D ； 5． B ； 6． C 五、 填空题（本大题共12题，每题47．22a b -； 8． -； 9． 2x ≥-且1x ≠；10．32； 11． 1； 12． 20； 13． 80250(15)2900x x +-=； 14． AD ； 15． 9；16． 14； 17； 18． -1或-4. 六、 解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）解:原式=11)1)(3()1()1)(1(32-++-+⋅-+-x x x x x x x ………………………………………（6分）=1111-+-x x =12-x …………………………………………………（2分） 当12+=x 时， 原式=222= ………………………………（2分） 20．（本题满分10分）解：由（2）得，0=+y x ，2=-y x ；…………………………………………（3分）则原方程组转化为223,0.x y x y ⎧-=⎨+=⎩（Ⅰ）或223,2.x y x y ⎧-=⎨-=⎩ （Ⅱ） …………………（2分）解（Ⅰ）得21123,1,21;3.2x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩… （2分）解（Ⅱ）得43341,1,21;5.2x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=-⎪⎩ … （2分） ∴原方程组的解是21123,1,21;3.2x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩341,25.2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ……………………………（1分） 21．（本题满分10分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分7分）解：(1) ∵在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AD ＝BC ，∠A ＝60°，∴∠CBA =∠A =60º. （1分）∵BD 平分∠ABC ，∴∠CDB =∠ABD =21∠CBA=30º，………………………（2分）（2）在△ACD 中，∵∠ADB =180º–∠A –∠ABD=90º．………………………………（1分）∴BD=AD tan ⋅A =2tan60º=23. .…………………………………………………（1分） 过点D 作DH ⊥AB ，垂足为H ， …………………………………………………（1分） ∴AH =AD sin ⋅A =2sin60º=3. .…………………………………………………（1分）∵∠CDB =∠CBD =21∠CBD =30º，∴DC =BC =AD =2. ………………………………（1分）∵AB =2AD =4, …………………………………………………………………………（1分）∴11()(422ABCD S AB CD DH =+⋅=+梯形……………………………（1分） 22． （本题满分10分，第（1）小题2分，第（2）、（3）各小题4分） 解：（1）乙；3. ……………………………………………………………………………（2分） （2）甲先到达. ……………………………………………………………………………（1分） 设甲的函数解析式为s =kt ，则有4=t ，即s =4t . 当s =6时，t =32.……………………………………………………………………………（1分） 设乙的函数解析式为s =nt +3，则有4=n +3，即n =1.所以乙的函数解析式为s =t +3.当s =6时，t =3. ……………………………………………………………………………（1分） 所以到达目的地的时间差为32小时. ………………………………………………………（1分）（3）设提速后的速度为v 千米/小时，因为相遇处距离A 地4千米，所以相遇后行2千米. ……………………………………（1分） 又因为原相遇后行2小时，所以提速后2千米应行1.5小时. …………………………（1分） 即322v =，所以43v =.…………………………………………………………………（1分）答：速度慢的人提速后的速度为43千米/小时. ……………………………………………（1分）23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）（1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB //CD . ………………………………（1分）∴∠EAG =∠FCG . …………………………………………………………（1分） ∵点G 为对角线AC 的中点，∴AG =GC .∵∠AGE =∠FGC ，∴△EAG ≌△FCG . ……………………………………（1分） ∴EG =FG . ………………………………………………………………………（1分） 同理MG =NG . …………………………………………………………………（1分） ∴四边形ENFM 为平行四边形. ………………………………………………（1分）（2）证明：∵四边形ENFM 为矩形， ∴EF =MN ，且EG =12EF ,GN =12MN . ∴EG =NG . ……………（1分） ∴∠1=∠2.∵∠1+∠2+∠3=180°，∠AGE +∠CGN +∠3=180°，∠AGE =∠CGN ， ∴2∠1=2∠AGE ，即∠1=∠AGE .∴EN //AC . …………………………………（1分）∵EG =NG ，又∵AG =CG ，∠AGE =∠CGN.∴△EAG ≌△NCG . ………………………（1分） AB C DG EF M 1 23∴∠BAC =∠ACB ，AE =CN . …………（1分） ∴AB =BC . …………………………………（1分） ∴BE=BN . …………………………………（1分） 24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分） 解：（1）∵直线y =x +4经过点A 、C ，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上 ∴A 点坐标是（﹣4，0），点C 坐标是（0，4），…………………………………………（1分）又∵抛物线过A ，C 两点，∴21(4)40,24.b c c -⨯--+==⎧⎪⎨⎪⎩.………………………………（1分）解得14b c =-⎧⎨=⎩.∴抛物线的表达式为2142y x x =--+.…………………………………（2分）（2）作PH ⊥AC 于H ， ∵2142y x x =--+对称轴为直线1x =-， 又∵点C 、P 在抛物线上，CP //AO ， C （0，4），∴P （-2,4）. ∴PC =2. ………………（1分） ∵AC PH PC CO ⋅=⋅，∴PH（1分） ∵A （﹣4，0），C （0，4），∴∠CAO =45°. ∵CP //AO , ∴∠ACP =∠CAO =45°. ………………………………………………………（1分） ∵PH ⊥AC , ∴CH =PH∴AH ==.∴1tan 3PHPAC AH ∠==.…………………………………………………………………（1分）（3）∵2142y x x =--+对称轴为直线1x =-，∵以AP ，AO 为邻边的平行四边形的第四个顶点Q 恰好也在抛物线上，∴PQ ∥AO ，且PQ =AO =4．………………………………………………………………（1分） ∵P ，Q 都在抛物线上，∴P ，Q 关于直线x =﹣1对称， ………………………………（1分） ∴P 点的横坐标是﹣3， …………………………………………………………………（1分）∵当x =﹣3时，215(3)(3)422y =-⋅---+=，∴P 点的坐标是5(3,)2-.……………………………………………………………………（1分）25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4 分） 解：（1）作AM ⊥BC 于M ，联结AP ， 由题意可求得AM =3，BM =4，tan B = tan C =34.……………………………………………（1分）∵PH ⊥DC ，∴设PH =3k ，HC =4k ，CP =5k .∵BC =9，∴MP =5-5k . ∴22229(55)AP AM MP k =+=+-. ∵圆P 过点A ，且圆P 的半径= PH =3k ，∴AP =PH .∴229(55)9k k +-=，即21650340k k -+=.…………………………………………（1分） 解得12171,8k k ==. 当2178k =时，CP =1705916k =>,∴2178k =舍，∴1k =.……………………………（1分） ∴圆P 的半径长为3. …………………………………………………………………（1分）（2）∵PH ⊥DC ，∴设PH =3k ，HC =4k ，CP =5k . ∵点E 在圆P 上，∴PE=3k ，CE=8k. ∴BE=9-8k ∵△ABE ∽△CEH ，∠B =∠C ，∴AB CH BE CE =或AB CEBE CH=.……………………………（2分）即54988k k k =-或58984k k k =-. 解得18k =-（舍）或1316k =.…………………（1分）∴3916PH =.即圆P 的半径为3916. …………………………………………………（1分）∵圆B 与圆P 相交，又BE=9-8k=52，∴55928r <<. ………………………………（2分）（3）在圆P 上取点F 关于EH 对称的点G ，联结EG ，作PQ ⊥EG 于G ，HN ⊥BC 于N ，则EG =EF ，∠1=∠3. ∴∠GEP =2∠1∵PE =PH ，∴∠1=∠2. ∴∠4=2∠1. ∴∠GEP =∠4.∴△EPQ ≌△PHN . ∴EQ =PN. ………………………………………………………………（1分）∵P 为圆心，PQ ⊥EG ，∴EQ =QG ，∴EF =EG =2EQ . ∵PH =3k ，HC =4k ，tan C =34， ∴416455k NC k =⋅=，312455k NH k =⋅=. ∴169555k PN k k =-=. ∴18225EF EG EQ PN k ====.………………………………………………………（1分）EH ====.……（1分）∴55EH EF k == .………………………………………………………………（1分） 即线段EH 和EF 的比值为定值.。
2018年上海市杨浦区中考二模数学试题及答案 精品
2018年杨浦区初三模拟测试数学试卷（满分150分，考试时间100分钟）2018.5考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．下列实数中，无理数是（）(C)2π； (D) 2.020020002．2．下列运算正确的是（）(A) 1393=； (B) 1393=±； (C)1293=； (D)1293=±．3．关于x的方程210x mx--=根的情况是（）(A)有两个不相等的实数根； (B)有两个相等的实数根；(C)没有实数根； (D)不能确定的．4．下列关于向量的等式中，正确的是（ ）(A) AB BA =； (B) AB BC CA +=； (C) a b b a +=+； (D) ()0a a +-=．5．顺次联结等腰梯形各边中点所得到的四边形一定是（ ）(A)菱形； (B)矩形； (C)正方形； (D) 等腰梯形．6．已知半径分别是3和5的两个圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距d 的取值范围是（ ） (A) 8d >； (B) 2d >； (C) 02d ≤<； (D) 8d >或02d ≤<．二、 填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 三、 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7= ．8．计算：62a a ÷= ．9．如果关于x 的二次三项式26x x m -+在实数范围内不能分解因式，那么m 的取值范围是 ．10．不等式组23022x x ->⎧⎨-+<⎩的解集是 ．11．函数y =的定义域是 ．12．当2k >时，一次函数1y kx k =+-的图像经过 象限．13．超市为了制定某个时间段收银台开放方案，统计了这个时间段本超市收银台排队付款的等待时间，并绘制成如图所示的频数分布直方图（图中等待时间0分钟到1分钟表示大于或等于0分钟而小于1分钟，其他类同）.这个时间段内顾客等待时间不少于6分钟的人数为 ．14．下列图形：四边形，三角形，正方形，梯形，平行四边形，圆，从中任取一个图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为 ．15．如果一个正多边形的内角和等于1440°，那么这个正多边形的内角是 度． 16．如图，一人乘雪橇沿坡比1：的斜坡笔直滑下72米，那么他下降的高度为米．17．如图，矩形ABCD 中，AB =2，BC =4，点A 、B 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点C 在第一象限，如果∠OAB =30°，那么点C 的坐标是 ．18．如图，将矩形纸片ABC D 折叠，B 、C 两点恰好重合落在AD 边上点P 处，已知∠MPN =90°，PM =3，PN =4，那么矩第13题图等待时间/min884形纸片ABCD 的面积为 ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）化简:1021(1)(2)32x x x x -+-+--+ ，并求当1x =时的值．20．（本题满分10分）解方程：33201x x x x+--=+21．(本题满分10分)如图，⊙O 的两条弦AB 、CD 互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=2，ED=6，求⊙O的半径长。
上海市杨浦区2019年高三高考二模数学试题及答案解析(PDF版)
7 ． I 为 △ABC 内部的一点， 8
且 aIA + bIB + cIC = 0 ， 若 AI = xAB + yAC ， 则 x + y 的最大值为…………………… （ ） 5 1 5 4 （A） （B） （C） （D） 4 2 6 5 三、解答题： （本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区 域内写出必要的步骤． 17． （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 已知函数 f (x) = (1 + tan x) sin 2x ． （1）求 f (x) 的定义域； （2）求函数 F(x) = f (x) − 2 在区间 (0, ) 内的零点．
， Sn 是前 n 次挖去的所有三角形的面积之和， A2 是第 2 次挖去的三个小三角形面积之和） 则 lim Sn = ………………………………………………………………………………… （
n →
）
（A）
3 4
（B）
3 3
（C）
3 2
（D）
1 2
16． 已知 △ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ， 且 cos A =
arcsin x 2x 的值域是 −1 1
−1
( x ) ，则 f ( −1) =
．
8．哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 8 = 3 + 5 ．在不超过 13 的素数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率是 ． 9．若定义域为 ( −,0 )
( 0, + ) 的函数 f ( x ) =
18． （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 上海地铁四通八达，给市民出行带来便利．已知某条线路运行时，地铁的发车时间间隔 t （单位：分钟）满足： 2 ≤ t ≤ 20 ， t N ．经测算，地铁载客量 p(t) 与发车时间间隔 t 满
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2018~2019学年杨浦区九年级二模
数学试卷
（满分150分，考试时间100分钟）
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 如图，已知数轴上的点A 、B 表示实数分别为a 、b ，那么下列等式成立的是（ ）
（A ）b a b a -=+； （B ）b a b a --=+； （C ）a b b a -=+；
（D ）b a b a +=+．
2. 下列关于x 的方程一定有实数解的是（ ）
（A ）012=--mx x ；
（B ）3=ax ； （C ）046=-⋅-x x ；
（D ）
1
11-=
-x x
x ． 3. 如果0<k ，0>b ，那么一次函数b kx y +=的图像经过（ ）
（A ）第一、二、三象限； （B ）第二、三、四象限；
（C ）第一、三、四象限；
（D ）第一、二、四象限．
4. 为了解某校初三学生的体重情况，从中随机抽取了80名初三学生的体重进行统计分析，在此问题中，
样本是指（ ） （A ）80；
（B ）被抽取的80名初三学生； （C ）被抽取的80名的初三学生体重；
（D ）该校初三学生的体重．
5. 如图，已知ADE △是ABC △绕点A 逆时针旋转所得，其中点D 在射线AC 上，设旋转角为α，直线BC
与直线DE 交于点F ，那么下列结论不正确的是（ ） （A ）α=∠BAC ； （B ）α=∠DAE ；
（B ）α=∠CFD ；
（D ）α=∠FDC ．
6. 在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是（ ）
（A ）一组对边平行，另一组对边相等； （B ）一组对边相等，一组对角相等；
（C ）一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线； （D ）一组对边相等，一组对角线平分另一条对角线．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 计算：=+522)(y y ．
8. 分解因式：=-+-1222b ab a ． 9. 方程x x -=-11的解为： ．
10. 如果正比例函数x k y )2(-=的函数值y 随x 的增大而减小，且它的图像与反比例函数x
k
y =
的图像没有公共点，那么k 的取值范围是 ． 11. 从5-，3
10
-
，6-，1-，0，2，π这七个数中随机抽取一个数，恰好为负整数的概率为 ．
12. 某校为了了解学生最喜欢的球类运动情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生只写一类
最喜欢的球类运动，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
那么，其中喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比为 %．
13. 甲、乙两名学生练习打字，甲打135个字所用时间与乙打180个字所用时间相同．已知甲平均每分钟
比乙少打20个字，如果设甲平均每分钟打字的个数为x ，那么符合题意的方程为 ． 14. 如图，ABC △中，过重心G 的直线平行于BC ，且交边AB 于点D ，交边AC 于点E ，如果设a AB =，
b AC =，用a ，b 表示GE ，那么=GE ．
15. 正八边形的中心角是 度．
16. 如图，点M 、N 分别在AOB ∠的边OA 、OB 上，将AOB ∠沿直线MN 翻折，设点O 落在点P 处，如
果当4=OM ，3=ON 时，点O 、P 的距离为4，那么折痕MN 的长为 ．
17. 如果当0≠a ，0≠b ，且b a ≠时，将直线b ax y +=和直线a bx y +=称为一对“对偶直线”，把它们的
公共点称为该“对偶直线”的“对偶点”，那么请写出“对偶点”为)4,1(的一对“对偶直线”： ． 18. 如图，在矩形ABCD 中，过点A 的圆O 交边AB 于点E ，交边AD 于点F ，已知5=AD ，2=AE ，
4=AF ．如果以点D 为圆心，r 为半径的圆D 与圆O 有两个公共点，那么r 的取值范围是 ．
第14题图
第16题图
第18题图
三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. （本题满分10分）
计算：3
630cos 4)23()21()3(032+︒--+--．
类别 A B C D E F 类型 足球 羽毛球 乒乓球
篮球 排球 其他 人数
10
4
6
2
20. （本题满分10分）
已知关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧+=-=+.
3;12
2ab y b x a by ax 的解为⎩⎨⎧-==.1,
1y x ，求a 、b 的值．
21. （本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）
已知在梯形ABCD 中，BC AD //，BC DC ⊥，且1=AD ，3=DC ，点P 为边AB 上一动点，以P 为圆心，BP 为半径的圆交边BC 于电脑Q ．
（1）求AB 的长； （2）当BQ 的长为
9
40
时，请通过计算说明圆P 与直线DC 的位置关系．
甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y (米)与甲出发时间x (分)之间的关系如图中折线CD BC AB OA ---所示．
（1）求线段AB 的表达式，并写出自变量x 的取值范围； （2）求乙的步行速度；
（3）求乙比甲早几分钟到达终点？
23. （本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）
已知：如图，在AABC △中，BC AB =，︒=∠90ABC ，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，点F 、
G 是边AC 的三等分点，DF 、EG 的延长线相交于点H ，联结HA 、HC ．
求证：（1）四边形FBGH 是菱形；
（2）四边形ABCH 是正方形．
已知开口向上的抛物线222+-=ax ax y 与y 轴的交点为A ，顶点为B ，对称轴与x 轴的交点为C ，点
A 与点D 关于对称轴对称，直线BD 与x 轴交于点M ，直线A
B 与直线OD 交于点N ．
（1）求点D 的坐标；
（2）求点M 的坐标（用含a 的代数式表示）；
（3）当点N 在第一象限，且ONA OMB ∠=∠时，求a 的值．
已知圆O 的半径长为2，点A 、B 、C 为圆O 上三点，弦AO BC =，点D 为BC 的中点． （1）如图1，联结AC 、OD ，设OAC α∠=，请用α表示AOD ∠； （2）如图2，当点B 为AC 的中点时，求点A 、D 之间的距离；
（3）如果AD 的延长线与圆O 交于点E ，以O 为圆心，AD 为半径的圆与以BC 为直径的圆相切，求 弦AE 的长．
图1 图2 图3。