宁夏石嘴山市第三中学2021届高三数学上学期第一次月考试题理 【含答案】
宁夏石嘴山市第三中学2021-2022学年高三上学期期中考试化学(理)试题
石嘴山三中2021—2022学年高三年级第一学期期中理科化学试题命题人：相对原子质量：C 12 O 16 Cu 64 I 127 Cr 52 Ba 137 K 39 Mg 24一.单选题（每小题2分，共50分）1．下列有关说法中正确的是A．分馏、干馏、钠的颜色反应都是物理变化B．127I和131I互为同素异形体C．风化、蛋白质的变性是化学变化 D．金属氧化物一定是碱性氧化物2．下列与化学概念有关的说法正确的是A．CO2、P2O5、NO2均为酸性氧化物B．NaH、NaBH4、NaClO均为离子化合物C．NH3·H2O是弱碱，所以NH4NO3为弱电解质D．磁性氧化铁、水玻璃、液氨均为混合物3．设N A代表阿伏加德罗常数的值，N表示粒子数。
下列叙述正确的是A．12g石墨中含有2N A个共价键B．将1mol Cl2通入水中，则N(HClO)+N(C1-)+N(ClO-)=2N AC．将CO2通过Na2O2使其增重ag时，反应中转移电子数为aN A/44D．3.0g甲醛(HCHO)和冰醋酸的混合物中含有的原子总数为0.4N A4.下列关于物质的量浓度表述正确的是A．0.3 mol·L-1的Na2SO4溶液中含有Na+和SO42-的总物质的量为0.9 molB．在K2SO4和NaCl的中性混合水溶液中，如果Na+和SO42-的物质的量相等，则K+和Cl-的物质的量浓度一定相同C．当1 L水吸收22.4 L氨气时所得氨水的浓度不是1 mol·L-1，只有当22.4 L(标准状况)氨气溶于水制得1 L氨水时，其浓度才是1 mol·L-1D．10 ℃时，100 mL 0.35 mol·L-1的KCl饱和溶液蒸发掉5 g水，冷却到10 ℃时，其体积小于100 mL，它的物质的量浓度大于0.35 mol·L-15.在一定温度下，已知有关某饱和溶液的一些数据：①溶液的质量，②溶剂的质量，③溶液的体积，④溶质的摩尔质量，⑤溶质的溶解度，⑥溶液的密度，利用下列各组数据计算该饱和溶液的物质的量浓度，不能算出的一组是A．④⑤⑥B．①④⑥C．①②③④D．①③④⑤6.用过量的FeCl3溶液腐蚀铜制线路板，反应是Cu + 2FeCl3= 2FeCl2 + CuCl2 。
2021届宁夏石嘴山市第三中学高三上学期第一次适应性考试数学(理)试题Word版含答案
2021届宁夏石嘴山市第三中学高三上学期第一次适应性考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共70.0分）1.设函数，则等于（）A. B. C. 3 D. 62.已知集合A={x|x2-2x-3＜0}，集合B={x|2x+1＞1}，则C B A=（）A. B.B.C. D.3.已知条件p：|x+1|＞2，条件q：x＞a，且￢p是￢q的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A. B. C. D.4.已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，则满足f（2x-1）＜f（）的x取值范围是（）A. B. C. D.5.定义在R上的奇函数满足，且在上，则A. B. C. D.6.函数y=2|x|sin2x的图象可能是（）A. B. C. D.7.将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A. B.B.C. D.8.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cos A=，则b=（）A. B. C. 2 D. 39.若cos（-α）=，则sin2α=（）A. B. C. D.10.若函数恰有三个零点，则实数a的取值范围是A. B. C. D.11.在△ABC中，已知D是BC延长线上一点，点E为线段AD的中点，若=2，且=λ+，则λ=（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（x）+xf′（x）＞0（f′（x）是f（x）的导函数），则不等式（x-1）f（x2-1）＜f（x+1）的解集为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f（x）=ln（4+3x-x2）的单调递减区间是______．14.已知数列{a n}的前n项和为，则此数列的通项公式为______．15.在△ABC所在的平面上有一点P，满足++=，则△PBC与△ABC的面积之比是______．16.设命题p：函数f（x）=x2+（a-1）x+5在（-∞，1]上是减函数；命题q：∀x∈R，lg（x2+2ax+3）＞0；若p∨￢q是真命题，p∧￢q是假命题，则实数a 的取值范围是______三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知向量||=2，=（-，），且与夹角为，（1）求|+2|；（2）若（+k）⊥（2-），求实数k的值．18.已知函数（，且）.（1）若函数在上的最大值为2，求的值；（2）若，求使得成立的的取值范围.19. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a10=21，S10=120．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=+1，求数列{b n}的前n项和T n．20.已知函数Ⅰ求函数的单调增区间；Ⅱ将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位后得到函数的图象，当时，求函数的值域．21.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知b＋c＝2a cos B．(1)证明：A＝2B；(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小．22.已知函数ⅠⅠ求函数的极值；Ⅱ若，且对任意的都成立，求整数k的最大值．2021届宁夏石嘴山市第三中学高三上学期第一次适应性考试数学（理）试题参考答案1.C2.A3.4.A5.C6.D7.D8.D9.D10.B11.A12.D13.14.15.16.-1，或17.解：（1）因为，所以|b|=1，又||=2，与的夹角为120°∴．…（3分）===2（2）由（a+kb）⊥（2b-a），得（+k）•（2-）=0，即2k-4+（2-k）×2×1cos120°=0，解得k=2…（10分）18.解:(1)当a>1时,f(x)在[-2,1]上单调递增,所以，即；当时，在上单调递减，因此，，即,综上，或;(2)不等式即,又，则，即，所以,所以使得成立的的取值范围是.19.20解：f（x）=sin2x+2sin2x==．（Ⅰ）由，解得．∴函数f（x）的单调增区间为[]，k∈Z；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，得y=2sin[2（x）-]+1=2sin2x+1．再向下平移1个单位后得到函数g（x）=2sin2x．由x∈[-，]，得2x∈[]，∴sin2x∈[-]，则函数g（x）的值域为[-]．21.（Ⅰ）证明：∵b+c=2a cos B，∴sin B+sin C=2sin A cos B，∴sin B+sin（A+B）=2sin A cos B∴sin B+sin A cos B+cos A sin B=2sin A cos B ∴sin B=sin A cos B-cos A sin B=sin（A-B）∵A，B是三角形中的角，∴B=A-B，∴A=2B；（Ⅱ）解：∵△ABC的面积S=，∴bc sin A=，∴2bc sin A=a2，∴2sin B sin C=sin A=sin2B，∴sin C=cos B，∴B+C=90°，或C=B+90°，∴A=90°或A=45°．。
宁夏石嘴山市第三中学2021届高三上学期第一次月考数学(文)试题含答案
2020-2021(1)学年石嘴山市第三中学 高三第一次月考试卷(文科数学)注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合A ={x|1≤x <3}，B ={x|−2≤x <2}，则=⋃B A ( )A. {x|1≤x <2}B. {x|1<x <2}C. {x|−2≤x <3}D. {x|−2<x <3}2.已知向量a ⃗ =(k,3)，向量b ⃗ =(1,4)，若a ⃗ ⊥b⃗ ，则实数k =( )． A. 12B. −12C. 34D. −343.在复平面内，复数为虚数单位)对应点的坐标为( )A. (12,12)B. (−12,12)C. (−12,−12)D. (12,−12)4.设等差数列{a n }前n 项和S n ，满足a 3+a 4=6，2a 5=9，则=7S ( )A. 352B. 21C. 492D. 285.设a,b ∈R,a >b ，则下列不等式一定成立的是( )A. a 2>b 2B. 1a <1bC. a 2>abD. 2a >2b6.设等差数{a n }的前n 项和为S n ，若a 5=3a 3，则S9S 5=( )A. 95B. 59C. 53D. 2757.在△ABC 中，已知D 为AB 上一点，若AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，=CD ( )A. 23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗C. 2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗D. CA⃗⃗⃗⃗⃗ −2CB ⃗⃗⃗⃗⃗8.已知函数f(x)=cos2x −4sinx ，则函数f(x)的最大值是( )A. 4B. 3C. 5D. √179.若x >4，则函数4-x 94y 2+-=x x（ ）A. 有最大值10B. 有最小值10C. 有最大值6D. 有最小值610.函数f (x )=−2x +1|x|的图像大致是( )A. B.C. D.11.已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若a =2，且满足(a +c)2=b 2+(2+√3)ac ，则AB 边上的高为（ ） A. 1B. 12C. √3D. √212.已知函数f (x )=cos 2π2x +√3sin π2xcos π2x −2，则函数f (x )在[−1,1]上的单调增区间为( ) A. [−23,13]B. [−1,12]C. [13,1]D. [−34,23]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.设{a n }为等比数列，其中a 3a 4=5，则a 1a 2a 5a 6=___________；14.若实数x ，y 满足约束条件工{y ≤xx +y ≥1x −3y +3≥0，则z =5x +y 的最小值为______．15.已知向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为60°，|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=3，则|a ⃗ −2b⃗ |=______．16.已知a,b为正实数，直线y=x−a与曲线y=ln(x+b)相切，则2a +3b的最小值为__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分17.在等差数列{a n}中，a1=−8，a2=3a4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=4n(12+a n)(n∈N∗)，Tn为数列{b n}的前n项和，若T n=95，求n的值．18.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知acosC=(2b−c)cosA．(1)求角A的大小；(2)若a=√7，b=2，求△ABC的面积．19.已知等比数列{a n}是首项为1的递减数列，且a3+a4=6a5．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n．20.设向量a⃗=(cos2x,cosx)，b⃗ =(2sinx,√3)，c⃗=(2−2sinx,−5√3)，x∈[0,π3]．(1)若a⃗//b⃗ ，求|c⃗|的值；(2)设f(x)=a⃗⋅(b⃗ +c⃗ )，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．21.已知函数f(x)=ax +lnx ．（1）若曲线y =f(x)在点(m,2)(m >0)处的切线方程为y =−x +3，求f(x)的单调区间； （2）若方程f(x)−1=0在x ∈[1e ,e]上有两个实数根，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C 2的参数方程为{x =1+√22t y =√22t (t 为参数)．(1)求曲线C 1的直角坐标方程及曲线C 2的普通方程；(2)设点P 的直角坐标为(1,0)，曲线C 1与曲线C 2交于A 、B 两点，求|PA|+|PB|的值．23.已知函数f(x)=|x −3|+|x −2|+k ． (1)若f(x)≥3恒成立，求k 的取值范围； (2)当k =1时，解不等式：f(x)<3x ．答案1.C2.B3.D4.C5.D6.D7.B8.B9.B10.C11.A12.A13.2514.315.2√716.5+2√617.解：(Ⅰ)设等差数列{a n}的公差是d，由a1=−8，a2=3a4得：−8+d=3(−8+3d)解得d=2，所以a n=−10+2n；(Ⅱ)由(Ⅰ)知a n=−10+2n，∴b n=4n(12+a n)=4n(2n+2)=2(1n−1n+1)，所以T n=2[(11−12)+(12−13)+⋯+(1n−1n+1)]=2nn+1，由T n=95解得n=9．18.解：(1)方法一：∵acosC=(2b−c)cosA，∴a⋅a2+b2−c22ab =(2b−c)⋅b2+c2−a22bc，∴c(a2+b2−c2)=2b(b2+c2−a2)−c(b2+c2−a2)，∴c⋅2b2=2b(b2+c2−a2)，即bc=b2+c2−a2，∴cosA=b2+c2−a22bc =12，∵0<A<π，∴A=π3；方法二：acosC=(2b−c)cosA，由正弦定理得：sinAcosC=2sinBcosA−sinCcosA，∴sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA，∴sin(A+C)=2sinBcosA，∴sinB≠0，∴cosA=12，∵0<A<π，∴A=π3；(2)因为a=√7，b=2，A=π3，由余弦定理得a2=b2+c2−2bccosA，√72=22+c 2−2×2×ccos π3， 即c 2−2c −3=0． 又c >0，所以c =3．故△ABC 的面积为S =12bcsinA =12×2×3×√32=3√32．19.解：(1)由a 3+a 4=6a 5且a 1=1，得6q 2−q −1=0， 解得q =12或q =−13．∵数列{a n }为递减数列，∴q =12．∴a n =1×(12)n−1=(12)n−1．(2)∵b n =n ·a n =n ·(12)n−1，∴T n =1·(12)0+2·(12)1+3·(12)2+⋯+n ·(12)n−1，∴12T n =1·(12)1+2·(12)2+3·(12)3+⋯+n ·(12)n．两式相减得12T n=(12)0+(12)1+(12)2+⋯+(12)n−1−n ·(12)n=1−(12)n 1−12−n (12)n =2−2·(12)n −n ·(12)n=2−n+22n，∴T n =4−n+22n−1．20.解：(1)因为向量a ⃗ =(cos2x,cosx)，b ⃗ =(2sinx,√3)， 且a ⃗ // b ⃗ ，所以√3cos2x =2sinxcosx ，即√3cos2x =sin2x ．若cos2x =0，则sin2x =0，与sin 22x +cos 22x =1矛盾， 故cos2x ≠0． 于是tan2x =√3．又x ∈[0,π3]，所以2x =π3，x =π6， 所以c ⃗ =(2−2sin x,−5√3)=(1,−5√3)， 所以|c ⃗ |=√76=2√19．(2)f(x)=a ⃗ ·(b ⃗ +c ⃗ )=(cos 2x,cos x)⋅(2,−4√3)=2cos 2x −4√3cos x=4cos 2x −4√3cos x −2=4(cos x −√32)2−5．又x ∈[0,π3]，所以cosx ∈[12,1]，所以当cosx =√32，即x =π6时，f(x)取到最小值−5；当cosx =12，即x =π3时，f(x)取到最大值−1−2√3．21.(Ⅰ)由函数f(x)=ax +lnx ，则f′(x)=−ax 2+1x ，由题意可得2=−m +3，且−am 2+1m =−1，解得a =2，m =1， 所以f(x)=2x +lnx ，则f ′(x)=−2x 2+1x =x−2x 2，当x >2时，f′(x)>0，函数f (x )单调递增， 当0<x <2时，f′(x)<0，函数f (x )单调递减，所以f(x)的单调递增区间为(2,+∞)，单调递减区间为(0,2)． (Ⅱ)方程f(x)−1=0在x ∈[1e ,e]上有两个实数根， 即方程a =x(1−lnx)在x ∈[1e ,e]上有两个实数根， 令ℎ(x)=x(1−lnx)，则ℎ′(x)=1−lnx −1=−lnx ， 当1e ≤x <1时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增； 当1<x ≤e 时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减， 所以ℎ(x)max =ℎ(1)=1， 又ℎ(1e )=2e ，ℎ(e)=0，所以2e ≤a <1，即实数a 的取值范围是[2e ,1)．22.解：(1)依题意曲线C 1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，因为，所以曲线C 1的直角坐标方程为(x −2)2+y 2=4，圆心坐标为(2,0)，半径为2．曲线C 2的参数方程{x =1+√22t y =√22t(t 为参数)，消去t ，转换为普通方程为y =x −1；(2)点P 的直角坐标为(1,0)在圆C 1内，直线C 2过点P 且与圆C 1交于A ，B 两点， 则|PA|+|PB|=|AB|，又圆心C 1到直线C 2的距离为d =√1+1=√22， 则|PA|+|PB|=|AB|=2√R 2−d 2 =2√4−12=√14．23.解：(1)|x −3|+|x −2|+k ≥3，∀x ∈R 恒成立即(|x −3|+|x −2|)min ≥3−k ， 又|x −3|+|x −2|≥|x −3−x +2|=1， ∴(|x −3|+|x −2|)min =1≥3−k ， ∴k ≥2． (2)当k =1时，若x ≤2，f(x)<3x ⇔2−x +3−x +1<3x ， ∴5x >6，解得x >65， ∴65<x ≤2；当2<x <3时，同理可得3x >2，解得x >23，∴2<x <3当x ≥3时，x >−4，∴x ≥3综上所述，不等式的解集为(65,+∞)．。
宁夏石嘴山市第三中学2020_2021学年高一数学上学期第一次月考试题含解析
宁夏石嘴山市第三中学2020-2021学年高一数学上学期第一次月考试题（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}0,1,2A =，{}2,3B =，则集合A B =（ ）A. {}1,2,3B. {}0,1,2,3C. {}2D. {}0,1,3【答案】B 【解析】 【分析】直接根据并集的概念求解即可.【详解】因为{}0,1,2A =，{}2,3B =， 所以{}0,1,2,3A B ⋃=， 故选：B.【点睛】本题主要考查了并集的运算，属于基础题. 2. 已知集合{}1,2,3,4A =，{}2,4,6,8B =，则A B 的真子集个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的交集运算，由元素个数即可求解. 【详解】因为{}1,2,3,4A =，{}2,4,6,8B =， 所以{2,4}A B ⋂=， 所以真子集个数为2213-=. 故选：C【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，真子集，属于容易题. 3. 下列集合表示同一集合的是( )A. M ＝{(3，2)}，N ＝{(2，3)}B. M ＝{(x ，y)|x ＋y ＝1}，N ＝{y|x ＋y ＝1}C. M ＝{4，5}，N ＝{5，4}D. M ＝{1，2}，N ＝{(1，2)} 【答案】C 【解析】对于A ，两个集合中的元素不同，对于选项B ，一个集合中元素是点，一个元素是实数，不是同一个；对于C ，列举法法表示集合时，与元素顺序无关，故是相同的集合；对于D ，一个元素是数，一个元素是点，故不同 .故选C.4. 已知函数()22,03,0x x f x x x ⎧+≥=⎨+<⎩则()()1f f -=（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C 【解析】 【分析】先求(1)f -，注意选取的表达式为3x +，然后再计算((1))f f -要选取22x +计算．【详解】∵函数()22,03,0x x f x x x ⎧+≥=⎨+<⎩，∴()1132f -=-+=，()()2()16222f f f =+-==．故选：C.【点睛】本题考查分段函数，解题时要注意自变量在不同范围内选取的表达式不相同．5. 函数y = ） A []22-, B. ()2,2- C. ()()2,11,2-D.[)(]2,11,2-【答案】D 【解析】 【分析】由偶次根式被开方数非负以及分母不为零列式即可.【详解】24010x x ⎧-≥⎨-≠⎩221x x -≤≤⎧∴⎨≠⎩∴定义域为[)(]2,11,2-故选:D.【点睛】考查函数的定义域，常用到偶次根式被开方数非负、分母不为零、零次幂底数不为零、真数大于零等知识.6. 下列函数中，是偶函数，且在区间()0,+∞上为增函数的是（ ）A. y x =B. 3y x =-C. 1y x=D.24y x =-+【答案】A 【解析】 【分析】对给出的四个选项分别进行分析、判断即可．【详解】选项A 中，函数y=|x|为偶函数，且在区间（0,1）上为增函数，故A 正确． 选项B 中，函数y=3﹣x 为非奇非偶函数，且在区间（0,1）上为减函数，故B 不正确． 选项C 中，函数y=1x为奇函数，且在区间（0,1）上为增函数，故C 不正确． 选项D 中，函数y=﹣x 2+4为偶函数，且在区间（0,1）上为减函数，故D 不正确． 故选A ．【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断，解题的关键是熟记一些常见函数的性质，属于简单题．7. 下列各组函数中，()f x 与()g x 表示同一函数的一组是（ ）A. ()f x x =，()2x g x x=B. ()f x x =，()g x x =C. ()f x x =，()g x =D. ()f x x =，()()(),00x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩【答案】C 【解析】 【分析】按照定义域、对应法则是否均相同，逐项判断即可得解.【详解】对于A ，函数()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为{}0x x ≠，两函数的定义域不同，所以函数()f x 与()g x 不表示同一函数，故A 错误；对于B ，()f x x =，(),0,0x x g x x x x ≥⎧==⎨-<⎩，函数()f x 与()g x 对应法则不同， 所以函数()f x 与()g x 不表示同一函数，故B 错误；对于C ，()f x x =，()g x x ==，对应法则相同，且定义域均为R ，所以函数()f x 与()g x 表示同一函数，故C 正确；对于D ，函数()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为{}0x x ≠，两函数的定义域不同， 所以函数()f x 与()g x 不表示同一函数，故D 错误. 故选：C.【点睛】本题考查了同一函数的判断，准确把握函数的概念是解题关键，属于基础题. 8. 已知函数()f x 的定义域为()32,1a a -+，且()f x 为奇函数，则a 的值可以是（ ） A. 2 B.23C. 4D. 6【答案】C 【解析】 【分析】由函数为奇函数，知定义域关于原点对称.【详解】因为函数()f x 的定义域为()32,1a a -+，且()f x 为奇函数， 所以定义域关于原点对称，即3210a a -++=， 解得4a = 故选：C【点睛】本题主要考查了奇函数的定义域关于原点对称，属于容易题. 9. 函数()1f x x x=-在[]1,2上的最大值为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 32-【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的单调性求解即可. 【详解】因为()1f x x x=-在[]1,2上为减函数， 所以max ()(1)110f x f ==-=. 故选：A【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性求最值，属于容易题. 10. 已知函数()33f x x x =+，若()2f a -=，则()f a 的值为（ ）A. 2B. 2-C. 1D. 1-【答案】B 【解析】 【分析】判断出函数()y f x =是奇函数，从而根据()f a -的值可求出()f a 的值. 【详解】函数()33f x x x=+的定义域为R ，()()()()3333f x x x x x f x -=-+⨯-=--=-，函数()y f x =为奇函数，则()()2f a f a =--=-. 故选：B.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数值，推导出函数的奇偶性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于基础题.11. 如果2()(2)1f x ax a x =--+在区间1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上为减函数，则a 的取值（ ）A. (0,1]B. [0,1)C. [0,1]D. (0,1)【答案】C 【解析】 【分析】最高次系数含有参数，分系数为0和不为0两种情况讨论，再结合二次函数的性质即可求出答案．【详解】解：由题意，当0a =时，可得()21f x x =-+，在R 上是单调递减，满足题意； 当0a <时，显然不成立；当0a >时，要使()f x 在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上为减函数，则2122a a -≥，解得：1a ≤，∴01a <≤； 综上： 01a ≤≤， 故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数单调性的应用，属于基础题．12. 若函数(31)4,1(),1a x a x f x ax x -+<⎧=⎨-≥⎩，是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围为（ ）A. 1183⎡⎫⎪⎢⎣⎭，B. 103⎛⎫ ⎪⎝⎭，C. 1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. 11,,83⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】A 【解析】 【分析】本题根据减函数的定义再结合一次函数的性质直接求解即可.【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的减函数，所以3100314a a a a a-<⎧⎪-<⎨⎪-+≥-⎩，解得1183a ≤<.故选：A.【点睛】本题考查减函数的定义，一次函数的性质，是基础题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上 13. 已知()121f x x +=+，则()f x =______. 【答案】21x - 【解析】 【分析】在()121f x x +=+中，将x 换成x -1,代入即得f (x ). 【详解】在()121f x x +=+中，将x 换成x -1， 可得()2(1)121f x x x =-+=-， 故答案为：21x -【点睛】本题考查了函数解析式的求法，考查了学生综合分析问题的能力，属于基础题.14. 设集合{}24,A t =-，{}5,9,1B t t =--．若9AB ∈，则实数t =______．【答案】3- 【解析】 【分析】 根据9AB ∈可得29t =，求出t 的值后注意检验.【详解】∵{}24,A t =-，{}5,9,1B t t =--，且()9AB ∈，∴29t =，解得3t =或3t =-，当3t =时，52t -=-，12t -=-，根据集合中元素互异性知不符合题意，舍去；当3t =-时，符合题意．故填3-．【点睛】本题考查集合元素的确定性、互异性，注意这类问题的解决策略时利用确定性求值，利用互异性检验.15. 函数2()23||f x x x =-的单调递减区间是________． 【答案】33(,],[0,]44-∞- 【解析】 【分析】讨论x 的符号去绝对值，得到()f x 的分段函数形式，根据其函数图象及对称轴，即可确定单调递减区间【详解】函数22223,0()23||23,0x x x f x x x x x x ⎧-≥⎪=-=⎨+<⎪⎩图像如下图示可知，()f x 的单调递减区间为33(,],[0,]44-∞-故答案为：33(,],[0,]44-∞-【点睛】本题考查了函数的单调区间，利用函数的图象及其对称性确定单调区间，属于简单题16. 下列说法正确的是______.（填序号） ①空集是任何集合的真子集；②函数()f x 的值域是[]22-,，则函数()1f x +的值域是[]3,1-；③既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个； ④若A B B ⋃=，则A B A =.【答案】③④ 【解析】 【分析】①利用空集的性质判断; ②根据函数平移的性质判断;③通过构造函数结合奇偶性定义判断;④利用并集与交集性质判断.【详解】对于①，根据“空集是任何非空集合的真子集”，可知①错误;对于②，函数平移可能改变函数的定义域，但值域不变，即函数f (x )的值域是[-2，2]，则函数f (x +1)的值域为[-2，2]，故②错误;对于③，例如函数f (x ) =0 (x ∈R )既是奇函数又是偶函数，当改变函数的定义域为关于原点对称的定义域时，都既是奇函数又是偶函数，因此既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个,故③正确;对于④，若A B B ⋃=，则A B ⊆，所以A ∩B=A ，故④正确; 故答案为：③④【点睛】本题主要考查了命题真假性的判断，常运用性质法、定义法、列举法，属于基础题目.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知集合A={x|4≤x＜8}，B={x|5＜x ＜10}，C={x|x ＞a} （1）求A ∪B ；（∁R A ）∩B； （2）若A∩C≠φ，求a 的取值范围． 【答案】（1）{x|8≤x＜10}（2）a ＜8 【解析】 【分析】(1)根据数轴集合并集、交集以及补集定义求解，（2）集合数轴，确定A∩C≠φ满足的条件，解得a 的取值范围．【详解】解：（1）A ∪B={x|4≤x＜10}， ∵（C R A ）={x|x ＜4或x≥8}， ∴（C R A ）∩B={x|8≤x＜10} （2）要使得A∩C≠φ，则a ＜8【点睛】在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．18. 已知二次函数()f x 最小值为l ，且()()023f f ==.（1）求()f x 的解析式；（2）若()f x 在区间[]3,2m m +上不单调，求实数m 的取值范围； 【答案】（1）2()243f x x x =-+；（2）11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）根据题意，设2()(1)1f x a x =-+，再由(0)3f =，求得2a =，即可求解. （2）根据二次函数的图象与性质，结合题意，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）因为()()023f f ==，所以函数图象关于直线1x =对称， 又因为二次函数()f x 的最小值为1，设2()(1)1f x a x =-+， 由(0)3f =，即(0)1=3f a =+，解得2a =， 故22()()211243f x x x x =-+=-+.（2）由（1）知，函数2()243f x x x =-+是开口向上的抛物线，且对称轴的方程为1x =， 要使函数在区间[]3,2m m +上不单调，则3112m m <⎧⎨<+⎩，解得113m -<<，所以实数m 的取值范围11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求解，以及二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练利用待定系数求解函数的解析式，以及熟练二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 19. 已知函数2()2f x x =- （1）用定义法证明其在(2,)+∞上单调性. （2）求()f x 在[]4,5上最值.【答案】（1）证明见解析；（2）min 2()3f x =；max ()1f x =. 【解析】 【分析】（1）根据单调性证明的定义法证明即可；（2）利用函数的单调性求最值.【详解】（1）证明:设1x ，2x 是(2,)+∞上任意两个值，且12x x <， ∴211212122()22()()22(2)(2)x x f x f x x x x x --=-=----， 1x ，2(2,)x ∈+∞且12x x <， 120x x ∴-<，120x ->，220x ->，12()()0f x f x ∴->，即12()()f x f x >∴函数2()2f x x =-在(2,)+∞上是减函数 （2）由（1）可知，函数()f x 在[]4,5上单调递减，则min 22()(5)523f x f ===-；max 2()(4)142f x f ===-. 【点睛】本题主要考查了定义法证明函数的单调性，利用函数单调性求最值，属于中档题.20. 已知函数f (x )的定义域为(－2,2)，函数g (x )＝f (x －1)＋f (3－2x )．(1)求函数g (x )的定义域；(2)若f (x )是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式g (x )≤0的解集．【答案】（1）15(,)22；（2）122xx ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭． 【解析】【详解】（1）∵数f （x ）的定义域为（﹣2，2），函数g （x ）=f （x ﹣1）+f （3﹣2x ）． ∴，∴＜x ＜， 函数g （x ）的定义域（，）．（2）∵f（x ）是奇函数且在定义域内单调递减，不等式g （x ）≤0，∴f（x ﹣1）≤﹣f （3﹣2x ）=f （2x ﹣3），∴，∴＜x≤2，故不等式g （x ）≤0的解集是 （，2]．21. 前期由于新冠肺炎，各企业的经济效益都受到了一定的影响，但随着我国有效的防控，各行各业也都恢复了运营，经济效益也都有了一定的提高.如某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（1）当每辆车的月租金为3600元时，能租出多少辆？（2）当每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？【答案】（1）88辆；（2）每辆车的租金为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是307050元.【解析】【分析】(1）按照题中月租金的变化对能租出车辆数的影响列式解答即可;(2)从月租金与月收益之间的关系列出函数，再利用二次函数求最值的知识，即可求解．【详解】（1）当每辆车的月租金为3600元时， 未租出的车辆数为360030001250-=，所以此时租出了88辆. （2）设每辆车的月租金为x 元， 租赁公司的月收益为()30003000100150505050x x y x --⎛⎫=--+⨯ ⎪⎝⎭, 整理得()2211622100040503070505050x y x x =-+-=--+, 所以当4050x =，即每辆车的租金为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是307050元.【点睛】本题以实际背景为出发点，既考查了信息的直接应用，又考查了二次函数求最值．属于中档题.22. 已知函数()f x 是定义在R 上偶函数，且当0x ≤时，2()2f x x x =+.（1）写出函数()()f x x R ∈的解析式；（2）若函数()()22g x f x ax =-+，[1,2]x ∈；求()g x 的最小值.【答案】(1) 222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨->⎩ (2) 2min 12,0,()21,01,24, 1.a a g x a a a a a -≤⎧⎪=--+<<⎨⎪-≥⎩【解析】【分析】（1）利用函数为偶函数()()f x f x =-，求得当0x >时函数的解析式，由此求得函数()f x 的解析式.（2）利用配方法化简()g x 的解析式，根据其对称轴1x a =+与区间[]1,2的位置关系进行分类讨论，结合二次函数的性质求得()g x 的最小值的表达式.【详解】解：（1）0x >时，0x -<，∵()f x 为偶函数，∴()()22f x f x x x =-=-， ∴()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨->⎩.（2）[]1,2x ∈时，()()()2222222212121g x x x ax x a x x a a a ⎡⎤=--+=-++=-+--+⎣⎦， 对称轴1x a =+，①当11a +≤时，即0a ≤时，()g x 在区间[]1,2上单调递增，所以()()min 112g x g a ==-：②当112a <+<，即01a <<时，()g x 在区间[]1,1a +上单调递减，在区间[]1,2a +上单调递增，所以()()2min 121g x g a a a =+=--+： ③当12a +≥，即1a ≥时，()g x 区间[]1,2上单调递减， 所以()()min 224g x g a ==-. 综上所述，()2min 12,0,21,01,24, 1.a a g x a a a a a -≤⎧⎪=--+<<⎨⎪-≥⎩【点睛】本小题主要考查已知函数的奇偶性求函数的解析式，考查二次函数最小值的求法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.。
2021届宁夏石嘴山市第三中学高三上学期第一次月考数学试题(理)(解析版)
宁夏石嘴山市第三中学2021届高三上学期第一次月考数学试题（理）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 已知集合{}21U x x =-<<，{}21xxA x e-=<，则UA 等于（ ）A. {}01x x << B. {}20x x -<< C. {}01x x ≤< D. {}20x x -<≤『答案』D『解析』因为{}{}{}221001x xA x ex x x x x -=<=-<=<<，又{}21U x x =-<<， 则{}20UA x x =-<≤.故选：D.2. 已知命题:p 对1x ∀，()212x R x x ∈≠，()()12120f x f x x x ->-成立，则()f x 在()0,∞+上为增函数；命题0:q x ∃∈R ，200210x x -+<，则下列命题为真命题的是（ ）A. p q ∧B. p q ∨C. ()p q ⌝∨D. ()()p q ⌝∧⌝『答案』B『解析』命题:p 当12x x <时,因为()()12120f x f x x x ->-故()()120f x f x -<；当12x x >时,因为()()12120f x f x x x ->-故()()120f x f x ->；故()f x 随x 的增大而增大.故命题p 为真.命题q ,因为()220002110x x x --+=≥.故命题q 为假命题.故p q ∨为真命题. 故选：B.3. 点P 从(1,0)点出发，沿单位圆221x y +=逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 点坐标为（ ）A. 1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B. 122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭C. 1,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭ D. 221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭『答案』A『解析』由题意可知1r =，根据三角函数的定义可知1cos32x r π==，sin 32y r π==，所以点Q 的坐标是12⎛ ⎝⎭.故选：A.4. 已知向量(1,1),(2,),a b x ==若a b +与42b a -平行，则实数x 的值是（ ） A. -2 B. 0C. 1D. 2『答案』D『解析』因为(1,1),(2,)a b x ==，所以(3,1),42(6,42),a b x b a x +=+-=-由于a b +与42b a -平行，得6(1)3(42)0x x +--=，解得2x =.5. 在ABC 中，BD DC =，AP PD =，且BP AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A. 1 B.12C. -2D. 12-『答案』D『解析』由题意在ABC 中，BD DC =，AP PD =， 根据向量的线性运算法则，可得：11112224BP BA BD BA BC =+=+ ()11312444AB AC AB AB AC =-+-=-+，又由BP AB AC λμ=+，所以31,44λμ=-=，所以311442λμ+=-+=-.故选：D.6. 在△ABC 中，若cos cos a B b A =，则△ABC 为（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰或直角三角形D. 等腰直角三角形『答案』A『解析』由正弦定理得sin cos sin cos A B B A =，所以tan tan A B =，所以A B =，故三角形为等腰三角形，故选A. 7.ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若()226,c a b =-+3C π=，则ABC 的面积为（ ）A. 6B.C.D.『答案』B『解析』由条件可知：22226c a b ab =+-+，①由余弦定理可知：222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-，② 所以由①②可知，62ab ab -=-，即6ab =，则ABC 的面积为11sin 622S ab C ==⨯=. 故选：B. 8. 已知2sin 63απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5sin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭π（ ）A.9 B. 9-C.19D. 19-『答案』D『解析』22sin cos cos 62633ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∴554sin 2cos 2cos(2)6263a a απππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎭π⎝⎝⎭⎣⎦ 222212cos 121339πα⎛=⎫⎛⎫--=-=- ⎪ ⎪⎝⎝⎭⋅⎭.故选：D.9. 函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，0ϕπ<<）的部分图象如图所示，则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A. 2B.C.D. 1『答案』C『解析』由题意可得，2A =，332113441264T =⋅=-=ππππω，则2ω=；所以()2sin(2)f x x ϕ=+，又26f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即2sin 23πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()232k k Z ππϕπ+=+∈，因此()26k k Z πϕπ=+∈，又0ϕπ<<，所以6π=ϕ，故()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因此2sin 2cos 4266f ππππ⎛⎫⎛⎫=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C.10. 下列关于函数πtan 23y x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭说法正确的是（ ）A. 在区间ππ,312⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 B. 最小正周期是πC. 图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称 D. 图象关于直线π12x =-成轴对称 『答案』C『解析』函数ππtan 2tan 233y x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭无单调递增区间和对称轴，A 、D 错误 其最小正周期是2π，故B 错误 πtan 23y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在512x π=处无意义，故其图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，故C 正确 故选：C.11. 若函数()sin f x x ω=(0)>ω在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的取值范围是（ ） A. 20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 2,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦『答案』D 『解析』由题意，令()32222k x k k Z +≤≤+∈πππωπ，则()23222k k x k Z +≤≤+∈ππππωωωω， 即函数()sin f x x ω=(0)>ω的单调递减区间为()232,22k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ππππωωωω， 因为函数()sin f x x ω=(0)>ω在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以2233222223k k T πππωωπππωωπππω⎧+≤⎪⎪⎪≤+⎨⎪⎪=>-⎪⎩()k Z ∈，解得3623406k k ωωω⎧≥+⎪⎪≤+⎨⎪<<⎪⎩()k Z ∈，所以0k =，332ω≤≤. 故选：D.12. 已知函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x +=，且当[1,1]x ∈-时，()||f x x =，函数()()21log 2,02,0xx x g x x -⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩ ，则函数()()()h x f x g x =-在区间[2,5]-上的零点的个数为（ ） A. 4B. 5C. 6D. 7『答案』C『解析』因为(2)()f x f x +=， 所以()f x 为周期函数，且周期为2，结合[1,1]x ∈-时，()||f x x =可得()f x 在[2,5]-上的图象（如图所示）， 又()g x 在[2,5]-上的图象如图所示，则()(),f x g x 在[2,0]-上的图象有2个交点，在[]2,5上有3个交点， 下面证明：当()1,2x ∈时，总有122x x ->-. 令()122xs x x -=+-，则()12ln 21x s x -'=-+，因为()1,2x ∈，故()11,0x -∈-，故11122x--<-<-，又0ln 21<<， 所以112ln 0x x --<-<，所以()0s x '>，所以()s x 在()1,2为增函数，所以()1,2x ∈时，()()10s x s >=即122x x ->-总成立. 又当1x =时，()()1f x g x ==，()(),f x g x 在()0,2上的图象有1个交点 所以()()0f x g x -=在[2,5]-上有6个不同的解， 即()h x 在[2,5]-上有6个不同的零点. 故选：C.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 设22(1)(1)i z i +=-，则z =_______．『解析』()2212(1)2(1)11(1)2i ii i i z i i i i i ++++=====-+----，因此z ==14. 已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足222n n n S a a =+-，则数列的通项公式为n a =________．『答案』1n +『解析』当1n =时，由222n n n S a a =+-得211122S a a =+-，即21120a a --=，解得12a =或11a =-，因为{}n a 是正项数列，所以12a =；当2n ≥时，由222n n n S a a =+-得()211222n n n S a a n --=+-≥，则22111222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=-+-，整理得2211n n n n a a a a --+=-，所以11n n a a --=，因此数列{}n a 是以1为公差的等差数列，则()211n a n n =+-=+. 故答案为：1n +.15. 由直线2y x =-，曲线y =以及x 轴所围成的图形的面积为_______．『答案』103『解析』做出草图如下，解方程组2y y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ ，得到交点为()4,2，直线2y x =-与x 轴的交点为()2,0，因此，由y =2y x =-，以及x 轴所求图形面积为：)42433222020222110223323x dx x x x x ⎛⎫++=+-+= ⎪⎝⎭⎰. 故答案为：103.16. 已知向量(1,3a =-，()3,b y =，且23a b a ⎛⎫-⊥ ⎪ ⎪⎝⎭，则b 在a 上的投影是_______．『解析』因为(1,3a =-，()3,b y =，23a b a ⎛⎫-⊥ ⎪ ⎪⎝⎭，所以230a b a ⎛⎫-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭，即2230a a b -⋅=，则40b ⋅=，所以23a b ⋅=， 因此b 在a 上的投影是23cos ,2a b ba b a ⋅<>===三、解答题（本大题共6小题，共72分）17. 已知数列{}n a 满足：11a =，且1-，n a ，1n a +成等差数列； （1）证明：数列{}1n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}1n a n ++的前n 项和n S .（1）证明：数列{}n a 满足：11a =，且1-，n a ，1n a +成等差数列； 所以121n n a a ++=-，整理得121n n a a +=+，故1121n n a a ++=+（），所以1121n n a a ++=+（常数）， 所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列.所以1122n n a -+=⨯， 整理得21nn a =-.（2）解：由（1）得：12112n nn n b a n n n =++=-++=+，所以()12222(12)nn S n =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+21422n n n ++-=+. 18. 设函数()|2||1|,f x x x x R =-++∈ （1）解不等式()3f x x ≤+.（2）若关于x 的不等式2()2f x a a ≥-在R 上恒成立，求实数a 的取值范围.解：（1）当1x <-时，213x x x ---≤+，解得x φ∈， 当12x -≤≤时，213x x x -++≤+，解得02x ≤≤， 当2x >时，213x x x -++≤+，24x <≤， 综上所述：04x ≤≤.（2）2()2f x a a ≥-在R 上恒成立，等价于2min 2()a a f x -≤即可.因为()|2||1||2||1||21|3f x x x x x x x =-++=-++≥-++=， 所以min ()3f x =，所以223a a -≤，解得13a -≤≤. 因此，实数a取值范围是[]1,3-.19. 如图所示，近日我渔船编队在岛A 周围海域作业，在岛A 的南偏西20°方向有一个海面观测站B ，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B 相距31海里的C 处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向岛A 直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D 处，此时观测站测得,B D 间的距离为21海里．(Ⅰ)求sin BDC ∠的值；(Ⅱ)试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A ？ 解：(Ⅰ)由已知可得140202CD =⨯=， BDC 中，根据余弦定理求得2222120311cos 221207BDC +-∠==-⨯⨯，∴sin BDC ∠=． (Ⅱ)由已知可得204060BAD ∠=︒+︒=︒，∴116027)(sin ABD sin BDC ⎛⎫∠=∠-︒=--=⎪⎝⎭． ABD △中，由正弦定理可得sin 21sin 15sin sin BD ABD ABDAD BAD BAD⨯∠⨯∠===∠∠，∴156022.540t =⨯=分钟． 即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A ．20. 己知函数22()sin cos cos ()f x x x x x x =--∈R （1）求函数()f x 的最小正周期及单调增区间；（2）若ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域． 解：（1）22()sin cos cos cos 222sin(2)6π=--=--=-+f x x x x x x x x22T ππ== 令3222,262k x k k Z πππππ+<+<+∈ 即2,63k x k k Z ππππ+<<+∈ 单调增区间为2(,),63ππππ++∈k k k Z （2）ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则π2π2,336π⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦xsin(2),612π⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦x，()f x ⎡∈-⎣ 所以()f x的值域为⎡-⎣21. 已知正项等比数列{}n a 满足12a =，2432a a a =-，数列{}n b 满足212log n n b a =+. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）令n n n c a b =⋅求数列{}n c 的前n 项和n S .解：（1）正项等比数列{}n a 的公比为q ，0q >由12a =，2432a a a =-，可得32422q q q =-，解得2q（1-舍） 可得2n n a =，则2212log 12log 212nn n b a n =+=+=+（2）(21)2n n n n c a b n =⋅=+⋅ 23325272(21)2n n S n =⋅+⋅+⋅+++⋅ 23412325272(21)2n n S n +=⋅+⋅+⋅+++⋅两式相减可得()23162222(21)2n n n S n +-=++++-+⋅()1141262(21)212n n n -+-=+⋅-+⋅-化简可得12(21)2n n S n +=+-⋅ 22. 设函数()ln f x x x =（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若函数2()()F x f x ax =-有两个极值点，求实数a 的取值范围；（3）当120x x >>时，()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立，求实数m 的取值范围. 解：（1）由题意知(1)0f =，()ln 1f x x '=+所以()f x 在点(1,(1))f 处的切线斜率(1)1k f '==，则切线方程为1y x =-.（2）定义域：(0,+)∞.()()2ln 12F x f x ax x ax ''=-=+-.()F x 有两个极值点.即()F x '有两个零点，即ln 120x ax +-=有两个不等实根，1ln 2x a x +=， 令1ln ()x g x x +=，即函数2y a =与函数1ln ()x g x x+=有两个不同的交点 又因为2ln ()x g x x-'=，所以在（0，1）上()0,()'>g x g x 在（0，1）上单调递增，在(1,)+∞上()0,()g x g x '<单调递减，max ()(1)1g x g ==.如图所示： 当12a >时，()2g x a <，函数2y a =与函数1ln ()x g x x +=无交点； 当12a =时，max ()2g x a =，函数2y a =与函数1ln ()x g x x +=仅有一个交点； 当0a ≤时，因为当1x e >时，()0>g x ，而()g x 在（0，1）上单调递增，所以函数2y a =与函数1ln ()x g x x +=至多在（0，1）上有一个交点； 当102a <<时，()g x 在（0，1）上单调递增，1(1)12,()02g a g a e=>=<，所以函数2y a =与函数1ln ()x g x x+=在（0，1）上仅有一个交点；()g x 在(1,)+∞上单调递减，1121122112222(1)12,()21(1)2a a a a g a g e a e a++++=>=<<+.所以函数2y a =与函数1ln ()x g x x +=在(1,)+∞上仅有一个交点；即函数2y a =与函数1ln ()x g x x +=有两个不同交点 因此10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （3）()()()2212122m x x f x f x ->-可化为()()22221122m m f x x f x x ->-. 设2()()2m Q x f x x =-，又120x x >>. ()Q x ∴在(0,)+∞上单调递减，()1ln 0Q x x mx '∴=+-在(0,)+∞上恒成立，即1ln x mx +. 又1ln ()x h x x+=在（0，1）上单调递增，在(1,)+∞上单调递减. ()h x ∴在1x =处取得最大值.(1)1h =.1m ∴.的。
宁夏石嘴山市第三中学2021届高三数学上学期期中试题理补习班含解析
17.已知数列 是公差大于0的等差数列， ，且 成等比数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据等差数列的通项公式，再结合 成等比数列即可求出公差 ，从而可得数列 的通项公式；
（2）由（1）可得 ，可得 ，然后利用乘公比错位相减求和即可.
于是 ，且 ，解得 ，剩余的根数为 ．
故选：A.
【点睛】本题考查数列的实际应用，关键在于将生活中的数据，转化为数列中的基本量，属于中档题.
9.如图为某几何体的三视图，则该几何体的内切球的直径为( )
A. B.1C.2D.4
【答案】C
【解析】
【详解】由三视图知，该几何体为四棱锥 ，
如下图所示，设其内切球的半径为 ，
【详解】由 ，则 ，所以 为周期为8的周期函数， ， .故选B.
【点睛】本题考查函数的周期性与求值，考查运算求解能力.属于基础题.
11.已知数列 的前 项和为 ， ，若存在两项 ， ，使得 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可得 ．求得 ，
即为三棱锥 外接球的球心，连结 ，
所以 ，
所以 ，
设外接球的半径为 ，
所以 ，
因为 平面 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以外接球的表面积为
故答案为：
【点睛】本题考查球与几何体外接球的综合问题，重点考查空间想象能力，推理证明，计算能力，属于中档题型.
16.已知函数 ，则 __________，若函数 有无穷多个零点，则 的取值范围是__________．
宁夏石嘴山市第三中学2021届高三上学期第一次月考 物理试题(含答案)
宁夏石嘴山市第三中学2021届高三上学期第一次月考物理试题考试时间：120分钟；试卷总分120分一、单选题（本大题共10小题，共20.0分）1.2020年初，面对新型冠状病毒疫情，宁波医疗救援队先后两批出征前往武汉，假设两批医疗援助人员从宁波的同一个医院出发分别采用导航中的推荐方案1和2至武汉的同一家医院，下列说法正确的是A. 两批医疗人员的路程一定相同B. 图片左下角中的推荐方案的11小时41分钟是指时间间隔C. 图片左下角中的推荐方案的889.1公里是指位移的大小D. 两批医疗人员的平均速度一定相同2.在光滑斜面上同一位置间隔相同时间释放若干小球，A小球刚释放时刻，A，B，C三小球的位置如图所示，若B球的速度为v，C球的速度为2v，则x AB∶x BC等于()A. 1∶1B. 1∶2C. 1∶3D. 1∶43.如图所示，弹簧秤、绳和滑轮的重力不计，摩擦力不计，物体重量都是G.在甲、乙、丙三种情况下，弹簧的读数分别是F1、F2、F3，则()A. F3>F1=F2B. F3=F1>F2C. F1=F2=F3D. F1>F2=F3 4.如图所示，一个重为5N的大砝码用细线悬挂在O点，在力F作用下处于静止状态，要使砝码始终静止在如图所示的位置处，则拉力F的最小值为()A. 8.65NB. 5.0NC. 4.3ND. 2.5N5.如图所示为一简易起重装置，(不计一切阻力)AC是上端带有滑轮的固定支架，BC为质量不计的轻杆，杆的一端C用铰链固定在支架上，另一端B悬挂一个质量为m的重物，并用钢丝绳跨过滑轮A连接在卷扬机上。
开始时，杆BC与AC的夹角∠BCA>90°，现使∠BCA缓缓变小，直到∠BCA=30°。
在此过程中，杆BC所产生的弹力()A. 大小不变B. 逐渐增大C. 先增大后减小D. 先减小后增大6.“复兴号”动车组列车是由中国铁路总公司牵头组织研制、具有我国完全自主知识产权、达到世界先进水平的中国标准动车组列车。
宁夏石嘴山市第三中学高三数学上学期第一次月考(开学)
2018-2019-1石嘴山市第三中学高三年级8月月考卷文科数学第I 卷一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1．已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．设，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．若，则（ ） A ． B ． C ． D ．4．函数的图象大致为（ ）A ． AB ． BC ． CD ． D5．已知向量b a ，满足1,1-=•=b a a ，则()=-•b a a 2（ ）A ． 4B ． 3C ． 2D ． 0 6．已知，则的大小关系为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ， 55a =， 836S =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为（ ） A ．11n + B ． 1n n + C ． 1n n - D ． 11n n -+ 8．执行如图所示的程序框图，则输出的k =（ ） A ． 7 B ． 8 C ． 9 D ． 10 9．在△中，为边上的中线，为的中点，则（ ）A ．B ．C ．D ．第8题图 10．在正项等比数列中，若，是方程的两根，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ．11. 如图，六个边长为1的正方形排成一个大长方形，AB 是长方形的一条边， ()1,2,,10i P i =是小正方形的其余各个顶点，则()1,2,,10i AB AP i =•的不同值的个数为（ ）A ． 10B ． 6C ． 4D ． 3第11题图 12．已知是定义域为的奇函数,满足 ，若，则)2018()3()2()1(f f f f ++++ =（ ）A ． 2B ．C ． 2018D ． 018第II卷二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。
13．曲线在点处的切线方程为__________．14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,已知C=60°，b=6，c=3，则A=_________．15．若()4 42xxf x=+，则121000100110011001f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=_________．16．下面有五个命题：①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是；②终边在y轴上的角的集合是{α|α=；③在同一坐标系中，函数y=sin x的图象和函数y=x的图象有三个公共点；④把函数；⑤函数。
宁夏石嘴山市第三中学近年届高三数学上学期第一次月考(开学)考试试题文(2021年整理)
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2018-2019—1石嘴山市第三中学高三年级8月月考卷文科数学第I 卷一、单选题：本题共12小题,每小题5分，共60分。
1．已知集合，,则( ）A ．B ．C ．D ．2．设，则( ）A ．B ．C ．D ．3．若，则( ） A ． B ． C ． D ．4．函数的图象大致为（ ）A ． AB ． BC ． CD ． D5．已知向量b a，满足1,1-=•=b a a ，则()=-•b a a 2（ ）A ． 4B ． 3C ． 2D ． 0 6．已知，则的大小关系为（ )A ．B ．C ．D ．7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ， 55a =， 836S =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为（ ）A ．11n + B ． 1n n + C ． 1n n - D ．11n n -+ 8．执行如图所示的程序框图，则输出的k =（ ) A ． 7 B ． 8 C ． 9 D ． 10 9．在△中，为边上的中线，为的中点，则( )A ．B ．C ．D ．第8题图10．在正项等比数列中，若，是方程的两根，则的值是( ）A ．B ．C ．D ．11。
如图，六个边长为1的正方形排成一个大长方形，AB 是 长方形的一条边， ()1,2,,10i P i =是小正方形的其余各个顶点，则()1,2,,10i AB AP i =•的不同值的个数为（ ）A ． 10B ． 6C ． 4D ． 3第11题图 12．已知是定义域为的奇函数,满足，若,则)2018()3()2()1(f f f f ++++ =( ）A ． 2B ．C ． 2018D ． 018第II 卷二、填空题：本题共4小题,每题5分,共20分。
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宁夏石嘴山市第三中学2021届高三数学上学期期中试题 理（含解析）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．1.已知集合{}2|4,R x x x A =≤∈，{}|4,x x B =≤∈Z ，则A⋂B =（ ）A. ()0,2B. []0,2C. {}0,1,2D. {}0,2【答案】C 【解析】试题分析：{}2|4,R [2,2]x x x A =≤∈=-,{}{}4,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16x x B =≤∈Z =,所以{}0,1,2A B ⋂=，故选C ．考点：集合的运算．2.若,a b 是异面直线，且a //平面α，那么b 与平面α的位置关系是（ ） A. //b α B. b 与α相交C. b α⊂D. 以上三种情况都有可能 【答案】D 【解析】若a 、b 是异面直线，且a ∥平面α，则根据空间中线面的位置关系可得：b ∥a 或者b ⊂α或者b 与α相交． 故选：D ．点睛：解决此类问题的关键是熟练掌握空间中线面之间的相互平行、相互垂直的判定定理与性质定理，熟记相关的结论3.命题“20(0,1),0x x x ∀∈-<”的否定是（ ）A. 2000(0,1),0x x x ∃∉-≥B. 2000(0,1),0x x x ∃∈-≥C. 2000(0,1),0x x x ∀∉-<D. 2000(0,1),0x x x ∀∈-≥【答案】B 【解析】分析：直接根据“全称命题”的否定一定是“特称命题”，写出结果即可. 详解：“全称命题”的否定一定是“特称命题”，∴命题“()200,1,0x x x ∀∈-<”的否定是()20000,1,0x x x ∃∈-≥，故选B.点睛：本题考查命题的否定，“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表达，如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”：“都是”与“不都是”等， 所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”.4.过直线240x y -+=与50x y -+=的交点，且垂直于直线20x y -=的直线方程是（ )A. 280x y +-=B. 280x y --=C. 280x y ++=D. 280x y -+= 【答案】A 【解析】 【分析】两直线方程联立求得交点坐标；根据垂直关系求得斜率，可写出直线点斜式方程，整理可得结果.【详解】由24050x y x y -+=⎧⎨-+=⎩得两条直线交点坐标为：()1,6又所求直线与20x y -=垂直 ∴直线斜率为：2-∴所求直线为：()621y x -=--，即：280x y +-=本题正确选项：A【点睛】本题考查直线方程的求解问题，关键是能够根据垂直关系求得斜率，同时联立求得交点坐标.5.在长方体中1111ABCD A B C D -，12AB BC AA ==，则异面直线1A B 与1B C 所成角的余弦值为( )A.10 B.15C.5 D.15 【答案】B 【解析】 【分析】在长方体1111ABCD A B C D -中，连接1A D ，可得11//A D B C ,得即1DA B ∠为异面直线1A B 与1B C 所成的角，在1A BD ∆中，利用余弦定理即可求解.【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，连接1A D ，可得11//A D B C , 所以异面直线1A B 与1B C 所成的角，即为直线1A B 与直线1A D 所成的角， 即1DA B ∠为异面直线1A B 与1B C 所成的角，在长方体1111ABCD A B C D -中，设122AB BC AA ===， 则115,22A B A D BD ===， 在1A BD ∆中，由余弦定理得222111111cos 25255A B A D BD DA B A B A D +-∠===⋅⨯⨯，故选B. 【点睛】本题主要考查了空间中异面直线所成角的求解，其中根据异面直线所成角的定义，得到1DA B ∠为异面直线1A B 与1B C 所成的角，在1A BD ∆中利用余弦定理即可求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，以及计算能力，属于基础题.6.已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）．A. 1B. 6C. 7D. 6或7【答案】B 【解析】试题分析：由等差数列的性质，可得，又，所以，所以数列的通项公式为，令，解得，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得取最小值时的为，故选B ．考点：等差数列的性质.7.四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，72PA =，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A.812πB.814πC. 65πD.652π【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知，该四棱锥的外接球即为其所在长方体的外接球，根据公式即可求得. 【详解】根据题意，为方便说明，在长方体中找出该四棱锥如图所示：由图可知在长方体中的四棱锥P ABCD -完全满足题意， 故该四棱锥的外接球即是长方体的外接球，故外接球半径222722294R ⎛⎫++ ⎪⎝⎭==， 故该球的表面积为28144S R ππ==. 故选：B.【点睛】本题考查四棱锥外接球的问题，关键的步骤是将问题转化为求长方体的外接球.8.设圆()22125x y ++=的圆心为C ，点1,0A 是圆内一定点，点Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则点M 的轨迹方程为（ ）A. 224412125x y -=B. 224412125x y +=C. 224412521x y -=D. 224412521x y +=【答案】D 【解析】 【分析】由垂直平分线的性质可知AM MQ =，从而得到5MC AM +=，可知M 轨迹满足椭圆定义，可得,a c ，进而求得2b ，从而得到所求轨迹方程. 【详解】M 为AQ 垂直平分线上的一点 AM MQ ∴=5MC AM MC MQ CQ ∴+=+==M ∴点的轨迹是以,C A 为焦点的椭圆 52a ∴=，1c = 222214b ac ∴=-= M ∴的轨迹方程为224412521x y += 故选：D【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解问题，关键是能够通过垂直平分线的性质得到所求动点轨迹满足椭圆定义. 9.若函数()219ln 2f x x x =-在区间[]1,1a a -+上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A. 12a <≤ B. 4a ≥C. 2a ≤D. 03a <≤【答案】A 【解析】 【分析】求导，得到该函数的单调区间，只需让[]1,1a a -+成为函数单调区间的子集即可. 【详解】因为()219ln 2f x x x =-，其定义域为()0,+∞，故可的()9f x x x '=-令()0f x '≤，解得(]0,3x ∈，故只需让[]1,1a a -+成为(]0,3的子集， 即10a ->且13a +≤ 解得(]1,2a ∈. 故选：A.【点睛】本题考查利用求导求函数的单调区间，属基础题.10.已知两圆2224440x y ax a +++-=和222210x y by b +-+-=恰有三条公切线，若a R ∈，b R ∈，且0ab ≠，则2211a b+的最小值为（ ）A. 3B. 1C.19D.49【答案】B 【解析】 【分析】根据公切线条数，则两圆外切，根据圆的位置关系，得到,a b 的等量关系，再根据均值不等式求最小值即可.【详解】因为两圆2224440x y ax a +++-=和222210x y by b +-+-=恰有三条公切线，故两圆外切，则圆心()2,0a -到圆心()0,b 的距离等于半径2和半径1的和， 3=，整理得2249a b +=，故2211a b +()222222221111414551999a b a b a b b a ⎛⎛⎫⎛⎫=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝ 当且仅当2222224,49a b a b b a=+=时，即223,32a b ==时取得最小值1.故选：B.【点睛】本题考查两圆的位置关系，以及利用均值不等式求和的最小值，属综合中档题. 11.已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为A. 22136x y -=B. 22145x y -=C. 22163x y -=D.22154x y -= 【答案】B 【解析】 ∵k AB =015312++=1, ∴直线AB 的方程为y=x-3. 由于双曲线的焦点为F(3,0), ∴c=3,c 2=9.设双曲线的标准方程为22x a -22y b =1(a>0,b>0),则22x a -()223x b-=1.整理,得(b 2-a 2)x 2+6a 2x-9a 2-a 2b 2=0. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=2226a a b -=2×(-12),∴a 2=-4a 2+4b 2,∴5a 2=4b 2. 又a 2+b 2=9, ∴a 2=4,b 2=5.∴双曲线E 的方程为24x -25y =1.故选B.12.已知函数()()ln ,02,4,24x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<<⎪⎩，若方程()f x m =有四个不等实根()12341234,,,x x x x x x x x <<<，时，不等式22341211kx x x x k ++≥+恒成立，则实数k 的最小值为（）A. 98B.2516C.32- D.132-【答案】C【解析】【分析】画出函数f（x）()02424lnx xf x x⎧≤⎪=⎨-⎪⎩，＜，＜＜的图象，结合对数函数的图象和性质，可得x1•x2＝1，x1+x2122x x=＞2，（4﹣x3）•（4﹣x4）＝1，且x1+x2+x3+x4＝8，则不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立，可化为：k()221234111x xx x-+≥⋅-恒成立，求出()221234111x xx x-+⋅-的最大值，可得k的范围，进而得到实数k的最小值．【详解】函数f（x）()02424lnx xf x x⎧≤⎪=⎨-⎪⎩，＜，＜＜的图象如下图所示：当方程f（x）＝m有四个不等实根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4）时，|lnx1|＝|lnx2|，即x1•x2＝1，x1+x2122x x=＞2，|ln（4﹣x3）|＝|ln（4﹣x4）|，即（4﹣x3）•（4﹣x4）＝1，且x1+x2+x3+x4＝8，若不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立，则k()221234111x xx x-+≥⋅-恒成立，由()()()()()2222121212123434121111213114161644x x x x x x x xx x x x x x-+-++-+===⋅-+--+[（x1+x2）﹣4123()4x x+++-8]≤232-故k ≥2-故实数k 的最小值为22- 故选C ．【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，对数函数的图象和性质，函数的最值，函数恒成立问题，综合性强，转化困难，属于难题．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，共20分，把答案填在题中的横线上 13.已知()21tan ,tan 544παββ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为_______．【答案】322【解析】 【详解】()21tan ,tan 544παββ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，()()()tan tan 4tan tan 441tan tan 4παββππααββπαββ⎛⎫+-+ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=+-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+++ ⎪⎝⎭213542122154-==+⨯故答案为32214.已知向量()1,2m =，()2,3n =，则m 在n 方向上的投影为__________．【解析】 【分析】根据向量的投影计算公式，代值即可求得结果.【详解】m在n方向上的投影为261313m nn⋅+==√.故答案为：13.【点睛】本题考查向量投影的计算公式，属基础题.15.双曲线22221x ya b-=(0,0)a b>>的一条渐近线与直线21x y-+=平行，则它的离心率为___________．【解析】【分析】由直线平行则斜率相等，求得,a b之间的等量关系，再求离心率即可.【详解】因为渐近线与直线210x y-+=平行，故可得2ba=，根据双曲线离心率的计算公式可得：e==【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，属基础题.16.某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案为：第K棵树种植在点(),k k kP x y处，其中11x=，11y=，当2K≥时，111215551255k kk kk kx x T Tk ky y T T--⎧⎡⎤--⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩()T a表示非负实数a的整数部分，例如()2.62T=，()0.20T=．按此方案第2016棵树种植点的坐标应为_____________．【答案】()4031,404【解析】【分析】根据题意，结合累加法，求得k x 与k y ，再代值计算即可. 【详解】由题意知11x =，11y =211015555x x T T ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，211055y y T T ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭322115555x x T T ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，322155y y T T ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭433215555x x T T ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，433255y y T T ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11215555k k k k x x T T ---⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11255k k k k y y T T ---⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故可得12121105555k k k x x x x x x k T T --⎛⎫⎛⎫+++=+++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12121?10155k k k y y y y y y T T --⎛⎫⎛⎫+++=+++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得155k k x k T -⎛⎫=+⎪⎝⎭，当2016k =时，2016201654034031x =+⨯=； 115k k y T -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当2016k =时，20161403404y =+=.故第2016棵树种植点的坐标应为()4031,404. 故答案为：()4031,404.【点睛】本题考查数列新定义问题，涉及累加法求通项公式，属中档题. 三、解答题:共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．17.如图，在平面四边形ABCD 中，AC 与BD 为其对角线，已知1BC =，且3cos 5BCD ∠=-． （1）若AC 平分BCD ∠，且2AB =，求AC 的长； （2）若45CBD ∠=︒，求CD 的长．【答案】（15（2）5． 【解析】 【分析】（1）根据余弦的倍角公式，求得BCA ∠的余弦值，再在三角形ABC 中利用余弦定理即可求得；（2）先利用内角和为180︒，求得sin BDC ∠，再在三角形BCD 中利用正弦定理即可求得. 【详解】（1）若对角线AC 平分BCD ∠，即22BCD ACB ACD ∠=∠=∠， 则23cos 2cos 15BCD ACB ∠=∠-=-，又cos 0ACB ∠>，5cos ACB ∴∠=在ABC ∆中，1BC =，2AB =，5cos ACB ∠=，由余弦定理可得 2222cos AB BC AC BC AC ACB =+-⋅⋅∠，即22530AC AC -=， 解得5AC =35AC =（舍去）， 故AC 5（2）3cos 5BCD ∠=-，24sin 1cos 5BCD BCD ∴∠=-∠= 又45CBD ∠=︒，()()sin sin 18045sin 45CDB BCD BCD ∴∠=︒-∠=∠+︒-︒210cos )BCD BCD =∠+∠=， 在BCD ∆中，由正弦定理sin sin BC CDCDB CBD=∠∠，可得sin 5sin BC CBDCD CDB⋅∠==∠，即CD 的长为5．【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，属综合性基础题.18.在等差数列{a n }中，13a =，其前n 项和为n S ，等比数列{b n }的各项均为正数，b 1=1，公比为q ，且b 2+S 2=12， 22S q b =． （Ⅰ）求a n 与b n ； （Ⅱ）求1231111nS S S S +++⋅⋅⋅+的取值范围． 【答案】（Ⅰ）13,3n n n a n b -==；（Ⅱ）12[,)33．【解析】 【分析】（Ⅰ）利用等差数列的求和公式及等比数列的通项公式表示已知条件，然后解方程可求等比数列的公比q ，等差数列的公差d ，即可求解；（Ⅱ）利用裂项法求和，即可得到结论． 【详解】（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，∵2212b S +=，22S q b =∴26126q d q d ++=⎧⎨=+⎩，解得3q =或4q =- (舍)，3d =.故13,3n n n a n b -==．（Ⅱ）()()333122n n n n n S ++==∴()122113131n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭∴1211121111121113223131n S S S n n n ⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∵1n ≥,∴11012n <≤+，111121n ≤-<+ ∴121213313n ⎛⎫≤-< ⎪+⎝⎭，即121111233n S S S ≤+++<.【点睛】本题主要考查了等差数列，等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于n n n c a b =+，其中{}n a 和{}n b 分别为特殊数列，裂项相消法类似于()11n a n n =+，错位相减法类似于n n n c a b =⋅，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列等. 19.已知()22sin ,cos ,(3cos ,2),()a x x b x f x a b ===⋅. (1)求()f x 的最小正周期及单调递减区间; (2)求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【答案】(1)T π=,单调递减区间为2,,63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ;(2)见解析【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式，余弦公式和两角和的正弦公式的逆用将函数解析式化为()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，然后利用正弦型函数的周期公式可得周期，利用正弦函数的递减区间可得()f x 的递减区间；（2）根据正弦函数的性质可得最大最小值. 【详解】（1）2()23sin cos 2cos f x a b x x x =⋅=+2cos 212sin 216x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，∴()f x 的最小正周期22T ππ==. 由3222,262k x k k Z πππππ+++∈，得2,63k x k k Z ππππ++∈， ∴()f x 的单调递减区间为2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 当7266x ππ+=，即2x π=时，函数()f x 取得最小值，为72sin106π+=； 当262x ππ+=，即6x π=时，函数()f x 取得最大值，为2sin132π+=.故函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3，最小值为0.【点睛】本题考查了二倍角的正弦，余弦公式，考查了两角和的正弦公式的逆用，考查了三角形函数的周期，单调区间，最值，属于中档题.20.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，E ，F 分别为AB ，11B C 的中点． （1）求证：1//B E 平面ACF ；（2）求平面1CEB 与平面ACF 所成二面角(锐角)的余弦值．【答案】（1）证明见详解；（2286. 【解析】 【分析】（1）取AC 中点为M ，通过证明FM //1B E ，进而证明线面平行；（2）取BC 中点为O ，以O 为坐标原点建立直角坐标系，求得两个平面的法向量，用向量法解得二面角的大小.【详解】（1）证明：取AC 的中点M ，连结EM ，FM ，如下图所示：在ABC ∆中，因为 E 为AB 的中点，//EM BC ∴，且12EM BC =， 又F 为11B C 的中点，11//B C BC ，1B F BC ∴//，且112B F BC =， 1EM B F ∴//，且1EM B F =，∴四边形1EMFB 为平行四边形，1//B E FM ∴又MF ⊂平面ACF ，BE ⊄平面ACF ， 1//B E ∴平面ACF ，即证.（2）取BC 中点O ，连结AO ，OF ，则AO BC ⊥，OF ⊥平面ABC ， 以O 为原点，分别以OB ，AO ，OF 为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系，如下图所示：则()0,3,0A -，()1,0,0B ，()1,0,0C -，13,22E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,2F ，()11,0,2BCE 33,2⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，CF (1,0,2)=，CA ()1,3,0=-，1CB (2,0,2)=设平面1CEB 的一个法向量m (),,x y z =，则100m CE m CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则00y x z -=+=⎪⎩，令1x =．则m 1)=-，同理得平面ACF 的一个法向量为n 12⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 则286,?19m n cos m n n m ⋅==， 故平面1CEB 与平面ACF 所成二面角（锐角）的余弦值为19. 【点睛】本题考查由线线平行推证线面平行，以及利用向量法求解二面角的大小，属综合中档题.21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为()()121,0,1,0F F -，且椭圆上存在一点M ，满足11214,1205MF F F M =∠=. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 右焦点2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,A B ，求1F AB ∆的内切圆的半径的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）34. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理和椭圆的定义即可求出a ，再根据b 2＝a 2﹣c 2＝3，可得椭圆的方程;（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设△F1AB 的内切圆的半径为R ，表示出△F 1AB 的周长与面积，设直线l 的方程为x ＝my +1，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，表示三角形面积，令t =，利用函数的单调性求解面积的最大值，然后求解△F 1AB 内切圆半径的最大值为34．【详解】（1）设2F M x =，则12F F M ∆内，由余弦定理得22214222cos1205x x ⎛⎫+-⋅= ⎪⎝⎭，化简得166055x x ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得65x = 故1224,2a MF MF a =+=∴=，得2223b a c =-=所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=（2）设()()1122,,,A x y B x y ，设1F AB ∆得内切圆半径r1F AB ∆的周长为121248AF AF BF BF a +++==所以11442F AB S a r r ∆=⨯⋅= 根据题意知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+由22431x y x my ⎧+⎪⎨⎪=+⎩得()2234690m y my ++-= ()()222636340,m m y m R ∆=++>∈由韦达定理得12122269,3434m y y y y m m --+==++ 112121212F ABS F F y y y y ∆∴=-=-234m ==+ 令t =121241,1313F AB t t S t t t∆≥∴==++令()13f t t t =+，则1t ≥时，()()2110,3f t f t t =->'单调递增，()()141,33F AB f t f S ∆≥=≤即当1,0t m ==时，1F AB S ∆的最大值为3，此时max 34r =.故当直线l 的方程为1x =时，1F AB ∆内圆半径的最大值为34.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． 22.已知函数()ln 1f x x kx =-+()k R ∈． （1）当1k =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若()0f x ≤恒成立，试确定实数k 的取值范围；（3）证明：()1ln 2ln 3ln 4ln 34514n n n n -++++<+(n N *∈且1)n > 【答案】（1）()f x 在()0,1上是增函数，在()1,+∞上是减函数；（2）1k ；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求函数定义域，再求导，根据导数的正负，判断函数的单调性即可；（2）对参数k 进行分类讨论，求得不同情况下函数的单调性以及最大值，即可求得参数的取值范围；（3）根据（1）中的结论，构造不等式ln 112n n n -<+，进而利用数列求和，即可证明. 【详解】（1）易知()f x 的定义域为()0,∞+，又1()1f x x'=-当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<()f x ∴在()0,1上是增函数，在()1,+∞上是减函数．（2）当0k ≤时，()110f k =->，不成立，故只考虑0k >的情况 又1()f x k x'=- 当0k >时，当10x k <<时，()0f x '>；当1x k>时，()0f x '< 在10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，在1,k ⎛⎫+∞⎪⎝⎭时减函数 此时max 1()ln f x f k k ⎛⎫==-⎪⎝⎭要使()0f x ≤恒成立，只要ln 0k -≤即可 解得：1k．（3）当1k =时，有()0f x ≤在()0,∞+恒成立， 且()f x 在()1,+∞上是减函数，()10f =， 即ln 1x x <-在()1,x ∈+∞上恒成立， 令2x n =，则22ln 1n n <-， 即2ln (1)(1)n n n <-+，ln 112n n n -∴<+()*,1n N n ∈> ln 2ln 3ln 4ln 1231(1)345122224n n n n n --∴++++<++++=+即：ln 2ln 3ln 4ln (1)34514n n n n -++++<+()*1n N n ∈>且成立． 【点睛】本题考查利用导数对具体函数单调性的求解，由不等式恒成立求参数的范围，以及证明不等式恒成立；本题第三问要学会善于利用题目中的结论去证明不等式.。