2017年重庆市普通高等学校高考数学预测卷(理科)(4)(解析版)
2017重庆高考数学理(含解析)
2017年普通高等学校招生全国统一考试重庆卷数学（理工类）2017．5第一部分（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合，，则（）．A．B．C．D．2．在等差数列中，若，，则（）．A．B．C．D．3．重庆市2013年各月的平均气温（）数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是（）．A．B．C．D．4．“”是“”的（）．A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）．A．B．C．D．6．若非零向量，满足，且，则与的夹角为（）．A．B．C．D．7．执行如图所示的程序框图，若输出的值为，则判断框图可填入的条件是（）．A．B．C．D．8．已知直线是圆的对称轴．过点作圆的一条切线，切点为，则（）．A．B．C．D．9．若，则（）．A．B．C．D．10．设双曲线的右焦点为，右顶点为，过的垂线与双曲线交于，两点，过，分别作，的垂线交于点．若到直线的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）．A．B．C．D．第二部分（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分）11．设复数的模为，则________．12．的展开式中的系数是__________（用数字作答）．13．在中，，，的角平分线，则__________．考生注意：（14）（15）（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．14．如图，圆的弦，相交于点，过点作圆的切线与的延长线交于点，若，，，，则__________．15．已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为，则直线与曲线的交点的极坐标为_________．16．若函数的最小值为，则实数___________．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（本小题满分13分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有个粽子，其中豆沙粽个，肉粽个，白粽个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取个（Ⅰ）求三种粽子各取到个的概率；（Ⅱ）设表示取到的豆沙粽个数，求的分布列与数学期望.18．（本小题满分13分）已知函数（Ⅰ）求的最小正周期和最大值；（Ⅱ）讨论则上的单调性；19．（本小题满分13分）如图（19）图，三棱锥中，平面，，，，分别为线段，上的点，且，（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.20．（本小题满分12分）设函数（Ⅰ）若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若在上为减函数，求的取值范围；21．（本小题满分12分）如题（21）图，椭圆的左右焦点分别为，过点的直线交椭圆与P，Q两点，且（Ⅰ）若，求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若，求椭圆的离心率；22．（本小题满分12分）在数列中，（Ⅰ）若，求数列的通项公式；（Ⅱ）若，证明：2017年普通高等学校招生全国统一考试重庆卷数学（理工类）2017．6一、选择题（满分50分）二、填空题（满分25分）11．12．13．14．15．16．或三、解答题（满分80分）17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）令表示事件“三个粽子各取到个”，则由古典概型的概率计算公式有.所以三种粽子各取到个的概率为.（Ⅱ）的所有可能值为，，，且，，．所以的分布列为()18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因此的最小正周期为，最大值为.（Ⅱ）当时，，从而当，即时，单调递增，当，即时，单调递减.综上可知在上单调递增，在上单调递减.19．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：由平面，平面,故,由,得为等腰直角三角形，所以,由,垂直于平面内两条相交直线，故平面.(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，为等腰直角三角形，,如图，过作垂直于,易知,又已知,故.由得，，故.以为坐标原点，分别以, ,的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，, , , , ,, ,.设平面的法向量为，有，得，故可取由(Ⅰ)可知平面，故的法向量可取为,即，从而法向量，的夹角的余弦值为，故所求二面角的余弦值为.20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）对求导得因为在处取得极值，所以，即.当时，，，故，，从而在点处的切线方程为，化简得. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,令，由解得，，当时，，即，故为减函数；当时，，即，故为增函数；当时，，即，故为减函数.由在上为减函数，知，解得，故的取值范围为.21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由椭圆定义知故设椭圆的半焦距为，由已知,因此,即，所以，故所求椭圆方程为.(Ⅱ)为等腰直角三角形，，故，，所以．在中，由勾股定理，，即，解得，故．22．（本小题满分12分），解：（Ⅰ）由，，有若存在某个使得，则由上述递推公式易得，重复上述过程得，与矛盾，所以对任意，从而，即是一个公比为的等比数列，所以(Ⅱ) 由，，数列的递推关系式变为，变形为，由上式及，可归纳得由于，故．综上，．2017年普通高等学校招生全国统一考试重庆卷数学（理工类）选填解析一、选择题1．【答案】D【解析】真包含于．2．【答案】B【解析】是与的等差中项，故．3．【答案】B【解析】这组数据从小到大分别为，，，，，，，，，，，，故中位数为．4．【答案】B【解析】．5．【答案】A【解析】．6．【答案】A【解析】，而，故，设夹角为，则，．7．【答案】C【解析】由题意知，循环一共进行了次，的结果依次为，，，，故条件应为．8．【答案】C【解析】由题意知，直线过圆心，求得．点到圆心距离为，圆的半径为，故．9．【答案】C【解析】，而，即，带入得．10．【答案】A【解析】，的坐标分别为，由图像的对称性知，点在轴上，则根据几何关系有，故，，即，，故渐近线斜率．二、填空题11．【答案】【解析】．12．【答案】【解析】项为．13．【答案】【解析】由正弦定理，中，，得，故，，．由正弦定理，中，，可得．14．【答案】【解析】，，又，故，，故．15．【答案】【解析】直线的极坐标方程为，又，联立得，故，，．16．【答案】或【解析】或时取到最小值，可得，代入知和符合题意．。
重庆市普通高等学校高三数学预测卷(4)理(含解析)
2017年重庆市普通高等学校高考数学预测卷（理科）（4）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知复数z1=1+3i，z2=3+i（i为虚数单位）．在复平面内，z1﹣z2对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合A={y|y=}，B={x|y=ln（x+1）}，则A∩B=（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，1] C．（﹣，）D．（﹣，]3．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=3，若=m+n（m，n∈R），则=（）A．﹣3 B．﹣ C．D．34．圆心在y轴上，半径为2，且过点（2，4）的圆的方程为（）A．x2+（y﹣1）2=4 B．x2+（y﹣2）2=4 C．x2+（y﹣3）2=4 D．x2+（y﹣4）2=4 5．某市有6条南北向街道，4条东西向街道，图中共有m个矩形，从A点走到B点最短路线的走法有n种，则m，n的值分别为（）A．m=90，n=56 B．m=30，n=56 C．m=90，n=792 D．m=30，n=7926．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．27．若O为△ABC的内心，且满足（﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．正三角形 C．直角三角形D．以上都不对8．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．B．﹣C．1 D．09．如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=﹣对称，那么a等于（）A．B．1 C．D．﹣110．在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长概率为（）A．B．C．D．11．设双曲线的半焦距为C，直线L过（a，0），（0，b）两点，已知原点到直线L的距离为，则双曲线的离心率为（）A．2 B．2或C．D．12．函数f（x）是周期为4的偶函数，当x∈时，f（x）=x﹣1，则不等式xf（x）＞0在上的解集为（）A．（1，3）B．（﹣1，1）C．（﹣1，0）∪（1，3）D．（﹣1，0）∪（0，1）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知sinθ+cosθ=，θ∈（0，π），则的值是．14．命题：（1）三角形、梯形一定是平面图形；（2）若四边形的两条对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；（3）三条平行线最多可确定三个平面；（4）平面α和β相交，它们只有有限个公共点；（5）若A，B，C，D四个点既在平面α内，又在平面β内，则这两平面重合．其中正确命题的序号是．15．已知x，y满足约束条件，若目标函数z=mx+y（m＞0）的最大值为1，则m的值是．16．已知函数f（x）=x3﹣x2+2x+1，且f（x）在区间（﹣2，﹣1）内存在单调递减区间，则实数a的取值范围．三、解答题17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且对任意正整数n，都有a n是n与S n的等差中项．（1）求证：a n=2a n﹣1+1（n≥2）；（2）求证：数列{a n+1}为等比数列；（3）求数列{a n}的前n项和S n．18．某高中学校为了了解在校学生的身体健康状况，从全校学生中，随机抽取12名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如图：（1）将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（2）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及期望．19．如图所示，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，△ABE为等边三角形，且平面ABCD⊥平面ABE，AB=2CD=2BC=2，P为CE中点．（1）求证：AB⊥DE；（2）求平面ADE与平面BCE所成的锐二面角的余弦值．20．设点F（0，），动圆P经过点F且和直线y=﹣相切，记动圆的圆心P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）过点F（0，）的直线l与曲线E交于P、Q两点，设N（0，a）（a＜0），与的夹角为θ，若θ≤，求实数a的取值范围．21．已知函数φ（x）=，a为常数．（1）若f（x）=lnx+φ（x），且a=，求函数f（x）的单调区间；（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x1，x2∈，x1≠x2，都有＜﹣1，求a的取值范围．四、选修4-4：坐标系与参数方程22．直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值．五、选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|．（1）当a=﹣3时，求不等式 f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含，求实数a的取值范围．2017年重庆市普通高等学校高考数学预测卷（理科）（4）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知复数z1=1+3i，z2=3+i（i为虚数单位）．在复平面内，z1﹣z2对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】A6：复数代数形式的加减运算．【分析】利用复数运算法则和几何意义即可得出．【解答】解：∵z1=1+3i，z2=3+i，∴z1﹣z2=﹣2+2i，∴z1﹣z2在复平面内对应的点（﹣2，2）在第二象限．故选：B．2．已知集合A={y|y=}，B={x|y=ln（x+1）}，则A∩B=（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，1] C．（﹣，）D．（﹣，]【考点】1E：交集及其运算．【分析】化简集合A、B，根据交集的定义写出A∩B即可．【解答】解：∵1+x2≥2x，∴≤1，（x≥0）又函数y=是定义域R上的奇函数，∴≥﹣1，∴﹣1≤≤1；∴集合A={y|y=}={y|﹣1≤y≤1}=，B={x|y=ln（x+1）}={x|x+1＞0}={x|x＞﹣1}=（﹣1，+∞），∴A∩B=（﹣1，1]．故选：B．3．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=3，若=m+n（m，n∈R），则=（）A．﹣3 B．﹣C．D．3【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】利用平面向量的三角形法以及平面向量基本定理求出m，n．【解答】解：，如图过E作DE∥AB，交BC于E．∵AD∥BC，AD=2，BC=3，∴EC=1，由=m+n=可得．∴，故选：A．4．圆心在y轴上，半径为2，且过点（2，4）的圆的方程为（）A．x2+（y﹣1）2=4 B．x2+（y﹣2）2=4 C．x2+（y﹣3）2=4 D．x2+（y﹣4）2=4 【考点】J1：圆的标准方程．【分析】设圆心的坐标为（0，b），根据题意，则有（0﹣2）2+（b﹣4）2=4，解可得b的值，将b的值代入圆的方程即可得答案．【解答】解：根据题意，设圆心的坐标为（0，b），则有（0﹣2）2+（b﹣4）2=4，解可得b=4，则圆的方程为x2+（y﹣4）2=4；故选：D．5．某市有6条南北向街道，4条东西向街道，图中共有m个矩形，从A点走到B点最短路线的走法有n种，则m，n的值分别为（）A．m=90，n=56 B．m=30，n=56 C．m=90，n=792 D．m=30，n=792【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，对于第一空：在南北街道中任取2条，东西向街道任取2条，即可组成1个矩形，由组合数公式计算即可得答案，对于第二空：分析可得从A点走到B点最短路线需要项右走5次，向上走3次，共8次，在这8次中任选3次向上，其余向右即可，由组合数公式计算即可得答案．【解答】解：根据题意，有6条南北向街道，4条东西向街道，在南北街道中任取2条，东西向街道任取2条，即可组成1个矩形，则图中共有C62×C42=90个矩形，则m=90；从A点走到B点最短路线需要项右走5次，向上走3次，共8次，在这8次中任选3次向上，其余向右即可，则最短路线有C83=56种，即n=56，故选：A．6．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．2【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，其中侧面是正三角形，底面ABCD是正方形，且底面ABCD⊥侧面PAB．利用体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，其中侧面是正三角形，底面ABCD是正方形，且底面ABCD⊥侧面PAB．∴该几何体的体积V==．故选；B．7．若O为△ABC的内心，且满足（﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC 的形状为（）A．等腰三角形B．正三角形 C．直角三角形D．以上都不对【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的运算法则将等式中的向量，，用三角形的各边对应的向量表示，得到边的关系，得出三角形的形状．【解答】解：∵（﹣）•（+﹣2）=0，∴（﹣）•=0，即（﹣）•（）=0，•（）=0，（）（）=0，∴=0，∴．∴△ABC为等腰三角形．故选A．8．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．B．﹣C．1 D．0【考点】EF：程序框图．【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件i＞8，跳出循环，计算输出S的值．【解答】解：输入i=1，s=0，a1=tan=，s=，i=1≤8，i=2，a2=tan=﹣，s=﹣=0，i=2≤8，i=3，a3=tanπ=0，s=0，i=3≤8，i=4，a4=tan=，s=，i=4≤8，i=5，a5=tan=﹣，s=0，i=5≤8，i=6，a6=tan=tan2π=0，s=0，i=6≤8，i=7，a7=tan=tan=，s=，i=7≤8，i=8，a8=tan=tan=﹣，s=0，i=8≤8，i=9，a9=tan=0，s=0，i=9＞8，输出s=0，故选：D．9．如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=﹣对称，那么a等于（）A．B．1 C．D．﹣1【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】将函数y=sin2x+acos2x利用辅角公式化简，再根据正弦函数在对称轴上取最值可得方程，进而可得答案．【解答】解：由题意知y=sin2x+acos2x=sin（2x+φ）当时函数y=sin2x+acos2x取到最值±将代入可得：sin+acos=解得a=﹣1故选D．10．在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长概率为（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】由题意可得：如图，要使弦长大于CD的长，就必须使圆心O到弦的距离小于|OF|，即可得出结论、【解答】解：如图所示，△BCD是圆内接等边三角形，过直径BE上任一点作垂直于直径的弦，设大圆的半径为2，则等边三角形BCD的内切圆的半径为1，显然当弦为CD时就是△BCD的边长，要使弦长大于CD的长，就必须使圆心O到弦的距离小于|OF|，记事件A={弦长超过圆内接等边三角形的边长}={弦中点在内切圆内}，由几何概型概率公式得P（A）=，即弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是．故选C．11．设双曲线的半焦距为C，直线L过（a，0），（0，b）两点，已知原点到直线L的距离为，则双曲线的离心率为（）A．2 B．2或C．D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】直线l的方程为，原点到直线l的距离为，∴，据此求出a，b，c间的数量关系，从而求出双曲线的离心率．【解答】解：∵直线l的方程为，c2=a2+b2∴原点到直线l的距离为，∴，∴16a2b2=3c4，∴16a2（c2﹣a2）=3c4，∴16a2c2﹣16a4=3c4，∴3e4﹣16e2+16=0，解得或e=2．∵0＜b＜a，∴（e=2舍去）．故选D．12．函数f（x）是周期为4的偶函数，当x∈时，f（x）=x﹣1，则不等式xf（x）＞0在上的解集为（）A．（1，3）B．（﹣1，1）C．（﹣1，0）∪（1，3）D．（﹣1，0）∪（0，1）【考点】3Q：函数的周期性．【分析】根据函数的周期性和奇偶性，求出当x∈上的解析式，结合图象将不等式转化为或，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：若x∈，则﹣x∈，∵当x∈时，f（x）=x﹣1，∴f（﹣x）=﹣x﹣1，∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=﹣x﹣1=f（x），即当x∈时，f（x）=﹣x﹣1，即在一个周期内，f（x）=，若x∈，则x﹣4∈，即f（x）=f（x﹣4）=﹣（x﹣4）﹣1=﹣x+3，x∈，作出函数f（x）在上的图象如图：则当x∈时，不等式xf（x）＞0等价为或，即1＜x＜3或﹣1＜x＜0，即（﹣1，0）∪（1，3），故选：C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知sinθ+cosθ=，θ∈（0，π），则的值是．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】根据同角三角函数关系式求解出sinθ，cosθ的值，带入计算即可．【解答】解：由sinθ+cosθ=，sin2θ+cos2θ=1解得：或，∵θ∈（0，π），∴，则==．故答案为：．14．命题：（1）三角形、梯形一定是平面图形；（2）若四边形的两条对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；（3）三条平行线最多可确定三个平面；（4）平面α和β相交，它们只有有限个公共点；（5）若A，B，C，D四个点既在平面α内，又在平面β内，则这两平面重合．其中正确命题的序号是（1），（2），（3）．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】（1），根据不共线三点、两条平行线确定一个平面，可以判断三角形、梯形一定是平面图形；（2），若四边形的两条对角线相交于一点，则两条对角线可以确定一个平面，可判断该四边形是平面图形；（3），三条平行线最多可确定三个平面，其中任意两条确定一个；（4），平面α和β相交，它们只有无限个公共点，构成它们的交线；（5），若A，B，C，D四个点既在平面α内，又在平面β内，则该四点可能在其交线上，则这两平面重合或相交【解答】解：对于（1），根据不共线三点、两条平行线确定一个平面，可以判断三角形、梯形一定是平面图形，故正确；对于（2），若四边形的两条对角线相交于一点，则两条对角线可以确定一个平面，由公理Ⅰ可知四边形的四边在该平面内，则该四边形是平面图形，故正确；对于（3），三条平行线最多可确定三个平面，其中任意两条确定一个，故正确；对于（4），平面α和β相交，它们只有无限个公共点，构成它们的交线，故错；对于（5），若A，B，C，D四个点既在平面α内，又在平面β内，则该四点可能在其交线上，则这两平面重合或相交，故错故答案为：（1）（2）（3）．15．已知x，y满足约束条件，若目标函数z=mx+y（m＞0）的最大值为1，则m的值是 1 ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，利用图形得出目标函数z=mx+y的最优解，列方程求出m的值．【解答】解：由约束条件，作出可行域如图所示，联立，解得A（1，2）；化目标函数z=mx+y（m＞0）为y=﹣mx+z，由图可知，当直线y=﹣mx+z过A（1，2）点时，直线在y轴上的截距最大，此时z最大值为2﹣m=1，解得m=1．故答案为：1．16．已知函数f（x）=x3﹣x2+2x+1，且f（x）在区间（﹣2，﹣1）内存在单调递减区间，则实数a的取值范围（﹣∞，﹣2）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，问题转化为a＜（x+）max=﹣2，根据不等式的性质求出a 的范围即可．【解答】解：f′（x）=x2﹣ax+2，由题意得∃x∈（﹣2，﹣1），使得不等式f′（x）=x2﹣ax+2＜0成立，即x∈（﹣2，﹣1）时，a＜（x+）max，令g（x）=x+，x∈（﹣2，﹣1），则g′（x）=1﹣=，令g′（x）＞0，解得：﹣2＜x＜﹣，令g′（x）＜0，解得：﹣＜x＜﹣1，故g（x）在（﹣2，﹣）递增，在（﹣，﹣1）递减，故g（x）max=g（﹣）=﹣2，故满足条件a的范围是（﹣∞，﹣2），故答案为：（﹣∞，﹣2）．三、解答题17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且对任意正整数n，都有a n是n与S n的等差中项．（1）求证：a n=2a n﹣1+1（n≥2）；（2）求证：数列{a n+1}为等比数列；（3）求数列{a n}的前n项和S n．【考点】8F：等差数列的性质；89：等比数列的前n项和；8D：等比关系的确定．【分析】（1）利用a n是n与S n的等差中项，以及a n=s n﹣s n﹣1，推出a n=2a n﹣1+1（n≥2）即可；（2）利用（1）直接推出数列{a n+1}为等比数列；（3）利用（2）求出通项公式，然后通过拆项法求数列{a n}的前n项和S n．【解答】（1）证明：∵a n是n与S n的等差中项，∴2a n=n+S n①于是2a n﹣1=n﹣1+S n﹣1（n≥2）②①﹣②得2a n﹣2a n﹣1=1+a n∴a n=2a n﹣1+1（n≥2）（2）证明：当n≥2时，由a n=2a n﹣1+1得 a n+1=2（a n﹣1+1）∴当n=1时，2a1=1+S1即 2a1=1+a1∴a1=1，a1+1=2所以{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列（3）解：∵a n+1=2•2n﹣1=2n∴a n=2n﹣1∴18．某高中学校为了了解在校学生的身体健康状况，从全校学生中，随机抽取12名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如图：（1）将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（2）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；BA：茎叶图．【分析】（1）计算抽取的12人中成绩是“优良”的频率，用频率估计概率，再用对立事件的概率公式计算所求的概率值；（2）由题意知ξ的可能取值，计算对应的概率值，写出ξ的分布列，计算数学期望值．【解答】解：（1）抽取的12人中成绩是“优良”的有9人，频率是=，依题意知，从该校学生中任选1人，成绩是“优良”的概率为；设事件A表示“在该校学生中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是优良”，则P（A）=1﹣•=1﹣=，即至少有1人成绩是“优良”的概率为；（2）由题意可知，ξ的可能取值为0，1，2，3；则P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）===，P（ξ=3）===；则ξ的分布列为数学期望为E（ξ）=0×+1×+2×+3×=．19．如图所示，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，△ABE为等边三角形，且平面ABCD ⊥平面ABE，AB=2CD=2BC=2，P为CE中点．（1）求证：AB⊥DE；（2）求平面ADE与平面BCE所成的锐二面角的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）取AB的中点O，连结OD，OE，则AB⊥OE，AB⊥OD，故而AB⊥平面ODE，于是AB⊥DE；（2）以O为原点建立空间坐标系，求出两平面的法向量，计算法向量的夹角即可得出二面角的余弦值．【解答】（1）证明：取AB的中点O，连结OD，OE，∵△ABE是等边三角形，∴AB⊥OE，∵CD∥OB，CD=AB=OB，BC⊥AB，∴四边形OBCD是正方形，∴AB⊥OD，又OD⊂平面ODE，OE⊂平面ODE，OD∩OE=O，∴AB⊥平面ODE，又DE⊂平面ODE，∴AB⊥DE．（2）解：∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，OD⊂平面ABCD，∴OD⊥平面ABE，以O为原点，以OA，OE，OD为坐标轴建立空间坐标系，如图所示：则A（1，0，0），B（﹣1，0，0），D（0，0，1），E（0，，0），C（﹣1，0，1），∴=（﹣1，0，1），=（﹣1，，0），=（0，0，1），=（1，，0），设平面ADE的法向量为=（x，y，z），则，即，令y=1得=（，1，），同理可得平面CE的法向量为=（，﹣1，0），∴cos＜＞===．∴平面ADE与平面BCE所成的锐二面角的余弦值为．20．设点F（0，），动圆P经过点F且和直线y=﹣相切，记动圆的圆心P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）过点F（0，）的直线l与曲线E交于P、Q两点，设N（0，a）（a＜0），与的夹角为θ，若θ≤，求实数a的取值范围．【考点】KK：圆锥曲线的轨迹问题．【分析】（1）由题意可得：动圆的圆心P的轨迹曲线E为抛物线：x2=2y．（2）设直线l的方程为：y=kx+，P（x1，y1），Q（x2，y2），直线方程与抛物线方程联立化为：x2﹣2kx﹣1=0，=（x1，y1﹣a），=（x2，y2﹣a）．根据与的夹角为θ，θ≤，可得•=x1x2+（y1﹣a）（y2﹣a）≥0．把根与系数的关系代入化简即可得出．【解答】解：（1）由题意可得：动圆的圆心P的轨迹曲线E为抛物线：x2=2y．（2）设直线l的方程为：y=kx+，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，化为：x2﹣2kx﹣1=0，∴x1+x2=2k，x1x2=﹣1．=（x1，y1﹣a），=（x2，y2﹣a）．∵与的夹角为θ，θ≤，∴•=x1x2+（y1﹣a）（y2﹣a）=x1x2+=（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+≥0．∴﹣（1+k2）+k（2k）+≥0．a＜0．化为：k2≥，∴a2﹣a﹣≥0，a＜0，解得：．∴实数a的取值范围是．21．已知函数φ（x）=，a为常数．（1）若f（x）=lnx+φ（x），且a=，求函数f（x）的单调区间；（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x1，x2∈，x1≠x2，都有＜﹣1，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）对f（x）求导，利用f′（x）＞0判断函数单调增，f′（x）＜0函数单调减，求出单调区间；（2）由题意，构造函数h（x）=g（x）+x，根据h（x）在上的单调性，再利用导数讨论h（x）的单调性与最值问题，从而求出a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=lnx+φ（x）=lnx+，（x＞0）；∴f′（x）=，当a=时，令f′（x）＞0，即x2﹣x+1＞0，解得x＞2，或x＜，∴函数f（x）的单调增区间为（0，），（2，+∞），单调减区间为（，2）；（2）∵＜﹣1，∴+1＜0，即＜0；设h（x）=g（x）+x，依题意，h（x）在（0，2]上是减函数；当1≤x≤2时，h（x）=lnx++x，h′（x）=﹣+1；令h′（x）≤0，解得a≥+（x+1）2=x2+3x++3对x∈时恒成立；设m（x）=x2+3x++3，则m′（x）=2x+3﹣，∵1≤x≤2，∴m′（x）=2x+3﹣＞0，∴m（x）在上是增函数，则当x=2时，m（x）的最大值为，∴a≥．四、选修4-4：坐标系与参数方程22．直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C1的参数方程为（θ为参数），利用平方关系可得普通方程．曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，展开可得：（sinθ+cosθ）=2，利用互化公式可得直角坐标方程．（2）设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程x+y+t=0与椭圆相切，联立化为：4x2+6tx+3t2﹣3=0，令△=0，解得t，进而得出．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（θ为参数），利用平方关系可得： =1．曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，展开可得：（sinθ+cosθ）=2，化为：x+y﹣4=0．（2）设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程x+y+t=0与椭圆相切，则，化为：4x2+6tx+3t2﹣3=0，△=36t2﹣4（3t2﹣3）=0，解得t=±2，t=﹣2时，|PQ|取得最小值==．五、选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|．（1）当a=﹣3时，求不等式 f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含，求实数a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）由条件利用绝对值的意义求得不等式 f（x）≥3的解集．（2）由题意可得f（x）≤|x﹣4|在上恒成立，等价转化为﹣2﹣x≤a≤2﹣x在上恒成立，由此可得a的范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，函数f（x）=|x﹣3|+|x﹣2|，表示数轴上的x对应点到2、3对应点的距离之和，而1和4对应点到2、3对应点的距离之和正好等于3，故不等式 f（x）≥3的解集为{x|x≤1或 x≥4}．（2）f（x）≤|x﹣4|的解集包含，等价于f（x）≤|x﹣4|在上恒成立，即|x+a|+|x﹣2|≤|x﹣4|在上恒成立，即|x+a|≤（4﹣x）﹣（2﹣x）=2 在上恒成立，即﹣2≤a+x≤2 在上恒成立，即﹣2﹣x≤a≤2﹣x在上恒成立，∴﹣3≤a≤0．。
【重庆市】2017年普通高等学校高考预测数学(理科)试卷(一)-答案
重庆市2017年普通高等学校高考预测数学（理科）试卷（一）答 案一、选择题1~5．DBADA 6~10．CBBCB 11~12．CA二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．π414．①③15．1-16．]22[-∞-+∞（，，）．三、解答题（共5小题，满分60分）17．解：（1）当2n ≥时，由()()()2221(2)112n n n a S S n n n c c n -⎡⎤=+-=-+-++⎣-⎦ =()222212n cn n n cn c ++-++-+-=21n c +-． 得1020117a c =+-=，∴2c =-；（2）把2c =-代入22n S n cn =++，得222n S n n -=+．∴111a S ==，当2n ≥时，23n a n =-．当1n =时上式不成立，∴1,123,2n n n n a =⎧=⎨-≥⎩． 18．解：（1）由已知得小明中奖的概率为35，小红中奖的概率为34，且两人中奖与否互不影响， 记“这两人的累计得分3X ≥”的事件为A ，则事件A 包含“3X =”、“5X =”2个互斥的事件， ∴3X ≥的概率31333(3)(3)(5)54545P X P X P X ≥==+==⨯+⨯=． （2）设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为1X ，则1X 的所有可能的取值为0，3，6， 则1X 的分布列为：1412918(0362525255)E X =⨯+⨯+⨯=． 都选择方案乙所获得的累计得分为2X ，则2X 的所有可能取值为0，2，4，则2X 的分布列为：2169(024316166)1E X =⨯+⨯+⨯= ∵12(())E X E X >，∴他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．19．（Ⅰ）证明：取PA 中点为H ，连结CE 、HE 、FH ，∵,H E 分别为,PA PD 的中点，∴//HE AD ，12HE AD =， ∵ABCD 是平行四边形，且F 为线段BC 的中点，∴//FC AD ，12EC AD =， ∴//HE FC ，HE FC =，四边形FCEH 是平行四边形，∴//EC HF ，又∵CE 不包含于平面PAF ，HF ⊂平面PAF ，∴//CE 平面PAF ．…（Ⅱ）解：∵四边形ABCD 为平行四边形且90ACB ∠=︒，∴CA AD ⊥，又由平面PAD ⊥平面ABCD ，∴CA ⊥平面PAD ，∴CA PA ⊥由1PA AD ==，PD PA AD ⊥…∴建立如图所示的平面直角坐标系A xyz -∵1PA BC ==，AB =1AC =，∴(1,1,0)B -，(1,0,0)C ，(0,0,1)P ，假设BC 上存在一点G ，使得平面PAG 和平面PGC 所成二面角的大小为60︒，设点G 的坐标为(1,,0)a ，10a -≤≤，∴(1,,0)AG a =，(0,0,1)AF =，设平面PAG 的法向量为(,,)n x y z =，则00x ay z +=⎧⎨=⎩，令,1,0x a y z ==-=，∴(,1,0)m a =-， 又 (0,,0)CG b =， (1,0,1)CF =-， 设平面PCG 的法向量为 (,,z)n x y =，则00by x z =⎧⎨-+=⎩，令1,0,1x y z ===，∴ (1,0,1)n =， ∵平面PAG 和平面PGC 所成二面角的大小为60，∴1,|co 2s |m n <>==， ∴1a =±，又10a -≤≤，∴1a =-，所以线段BC 上存在一点G ，使得平面PAG 和平面PGC 所成二面角的大小为60点G 即为B 点．20．解：（1）在曲线C 上任取一个动点(,)P x y ，则点(,2)x y 在圆228x y +=上．所以有22(2)8x y +=．整理得曲线C 的方程为22182x y +=． （2）∵直线l 平行于OM ，且在y 轴上的截距为m ，又12OM K =， ∴直线l 的方程为12y x m =+． 由2212182y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， ∴222240x mx m +-+=，∵直线l 与椭圆交于,A B 两个不同点，∴22(2)4(4)0m m ∆=->-，解得22m -<<且0m ≠．∴m 的取值范围是20m -<<或02m <<．设直线,MA MB 的斜率分别为12,k k ，11)(,A x y ，22)(,B x y ， 则11112y k xx -=-，22212y k x -=-， 由222240x mx m +-+=可得212122,24x x m x x m =-=-+．1212121122y y k k xx x --+=+--=122112111(2)1(2)22(2)(2)x m x x m x x x ⎛⎫⎛⎫+--++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-- =21224(2)(2)4(1)(2)(2)m m m m x x -+------ =2212242444(2)(2)m m m m x x --+-+--=0． 120k k +=．故直线,MA MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形．21．解：（1）当1a =时，1()2f x x x =+-，21()1f x x '=-， ∴3(2)4f '=，1(2)2f =， ∴函数()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为13(2)24y x -=-， 即3440x y --=； （2）21(1)2()a x x a g x x ⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'=， 103a <<时，()0g x '>，得12x a >-， 令()0g x '<，得112x a<<-， ∴()g x 在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是减函数， ∴11,2x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()(1)0g x g <=， 与()0g x ≥在,)[1x ∈+∞时恒成立矛盾，13a ≥，()0g x '≥在,)[1x ∈+∞时恒成立， ()g x 在[1,)+∞为增函数，∴()(1)0g x g ≥=，符合题意， 综上所述，13a ≥． 22．解：（1）∵曲线C ：2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），∴曲线C 的普通方程为22149x y +=， ∵直线l 的极坐标方程2cos sin 60ρθρθ+-=，∴直线l 的直角坐标方程为260x y +-=．（2）设曲线C 上任意一点(2cos ,3sin )P θθ，P 到直线l 的距离为4cos |in 3s 6d θθ=+-， 则2)6sin30||d PA θα==+-，其中α为锐角，当sin()1θα+=-时，||PA 取得最大值，最大值为5．当sin()1θα+=-时，||PA ． 23．解：（1）3a =时，即求解21|32|x x -+-≥，当32x ≥时，不等式即2312x x -+-≥，解得2x ≥， 当312x <<时，不等式即3212x x -+-≥，解得0x <． 当1x ≤时，3212x x -+-≥，解得22x ≤，即23x ≤． ∴综上，原不等式解集为{3|2x x ≤或2}x ≥． （2）即251||||x a x x -≥---恒成立 令6|2,1()514,|1x x g x x x x -≥⎧=---=⎨<⎩， 则由函数()g x 的图像可得它的最大值为4，故函数2||y x a =-的图像应该恒在函数()g x 的图像的上方，数形结合可得32a ≥， ∴6a ≥，即a 的范围是[6,)+∞．重庆市2017年普通高等学校高考预测数学（理科）试卷（一）解析一、选择题1．【分析】先分别求出集合A与B，由此能求出A∩B．【解答】解：集合A={x|x2+x﹣6＜0}={x|﹣3＜x＜2}，B={y|y=2x﹣1，x≤2}={y|﹣1＜y≤3}，∴A∩B={x|﹣1＜x＜2}=（﹣1，2）．故选：D．2．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z（2+i）=3﹣6i，∴z=，∴复数z的虚部为﹣3．故选：B．3．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】利用向量的三角形法则、向量的共线定理，直接计算即可【解答】解：∵AP：PB=5：3，∴，又，∴ =，故选：A．4．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由等差数列．等比数列的性质可得a=b+1①和ab=20②，联立①②解可得：a=5，b=4，即可得双曲线的标准方程，由双曲线离心率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，正数a、m、b构成公差为﹣的等差数列，则有a=b+1，①a，b的等比中项是2，则有ab=20，②联立①②解可得：a=5，b=4，则双曲线的方程为：﹣=1，则c==，则其离心率e==；故选：D．5．【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，依次分析计算A、B、C的三个动作的顺序，再将ABC三个动作全排列，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，动作A三步，有A33种顺序，动作B三步，有A33种顺序，动作C三步，有A33种顺序，ABC三个动作，有A33种顺序，则这种舞步一节中共有A33×A33×A33×A33=1296种不同的变化，故选：A．6．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】几何体上部为球，下部为正方体．代入面积公式计算即可．【解答】解：由三视图可知几何体上部为半径为1的球，下部为棱长为2的正方体．∴几何体的表面积S=4π×12+6×22=24+4π．故选C．7．【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用二倍角和辅助角公式化简，根据周期公式求解即可．【解答】解：函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1，化简可得：f（x）=cos2x+sin2x+1=sin（2x﹣）+．∴最小正周期T=．故选：B．8．【考点】EF：程序框图．【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是依次输出的（x，y）值，其中每一组有序实数对中，x是每次变为原来的3倍，y每次减小2．【解答】解：程序在运行过程中各变量值如下表：输出结果n x y循环前：110第1次：（1，0）32﹣2第2次：（2，﹣2）54﹣4第3次：（4，﹣4）78﹣6第4次：（8，﹣6）916﹣8第5次：（16，﹣8）1132﹣10第6次：（32，﹣10）则数组中的x=32，故选：B．9．【考点】7E：其他不等式的解法；3O：函数的图象；HA：余弦函数的单调性．【分析】根据函数的图象可得，f（x）小于0时，x大于0小于1；f（x）大于0时，x大于1小于3，；且根据余弦函数图象可知，cosx大于0时，x大于0小于；当cosx小于0时，x大于小于3，则把所求的式子化为f（x）与cosx异号，即可求出不等式的解集．【解答】解：由函数图象可知：当f（x）＜0时，0＜x＜1；当f（x）＞0时，1＜x＜3；而cosx中的x∈（0，3），当cosx＞0时，x∈（0，）；当cosx＜0时，x∈（，3），则f（x）cosx＜0，可化为：或即或，解得：＜x＜3或0＜x＜1，所以所求不等式的解集为：（0，1）∪（，3），故选C．10．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；C7：等可能事件的概率．【分析】根据题意，由分步计数原理分析可得向量的情况数目；进而根据向量的数量积公式可得cosα=，由余弦函数的性质可得若α，则＜＜1，对其变形化简可得m＞n，由列举法可得其情况数目，由等可能事件的概率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，m、n的情况各有6种，则的情况有6×6=36种，又由题意，向量，向量，则cosα=，若α，则＜＜1，化简可得m2＞n2，即m＞n，则的坐标可以为：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），共有15种情况；则α的概率为=，故选B．11．【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．【分析】根据题意确定出抛物线C解析式，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用平方差法求解即可．【解答】解：根据题意得：抛物线C解析式为y2=4x，设A（x1，y1），B（x2，y2），x1≠x2，，两式相减可得：，所以： ==1所以直线l的斜率为：1．故选：C．12．【考点】3T：函数的值．【分析】由f（x+6）=f（x）可知，f（x）是以6为周期的函数，可根据题目中解析式的信息分别求得f（1），f（2），f（3），f（4），f（5），f（6）的值，再利用周期性即可得答案．【解答】解：∵f（x+6）=f（x），∴f（x）是以6为周期的函数，又当﹣1≤x＜3时，f（x）=x，∴f（1）+f（2）=1+2=3，f（﹣1）=﹣1=f（5），f（0）=0=f（6）；当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，∴f（3）=f（﹣3）=﹣（﹣3+2）2=﹣1，f（4）=f（﹣2）=﹣（﹣2+2）2=0，∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=1+2﹣1+0+（﹣1）+0=1，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f=[f（1）+f（2）+f（3）+…+f=336×1+f（1）=336+1=337．故选：．A二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．【考点】HR：余弦定理．【分析】由已知及三角形面积公式可求c2=a2+b2﹣2absinC，结合余弦定理可得sinC=cosC，根据范围C∈（0，π），可求C的值．【解答】解：∵S=（a2+b2﹣c2）=absinC，∴a2+b2﹣c2=2absinC，∴c2=a2+b2﹣2absinC，∵由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，∴sinC=cosC，∵C∈（0，π），∴C=．故答案为：．14．【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在①中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在②中，α与β相交或平行；在③中，由直线与平面平行的判定定理得n∥α且n∥β．【解答】解：在①中，若m⊥α，m⊂β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故①正确；在②中，若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α与β相交或平行，故②错误；在③中，若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则由直线与平面平行的判定定理得n∥α且n∥β，故③正确．故答案为：①③．15．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求其最大值．【解答】解：x，y满足的平面区域如图：由z=x﹣3y得到y=x﹣z，当此直线经过图中C时z最小，由得到C（2，1），所以z最小值为2﹣3=﹣1；故答案为：﹣1．16．【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】函数f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是减函数，可得函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，由f（a）≥f（2），即f（|a|）≥f（2），利用单调性即可得出．【解答】解：∵函数f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是减函数，∴函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，∵f（a）≥f（2），即f（|a|）≥f（2），∴|a|≥2，解得a≥2或a≤﹣2．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．三、解答题（共5小题，满分60分）17．【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．【分析】（1）由Sn=n2+cn+2求出an（n≥2），代入a10=17求得c的值，（2）把c的值代入Sn=n2+cn+2，求出a1=S1，求出an，验证a1后得答案．18．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）由已知得小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响，记“这两人的累计得分X≥3”的事件为A，则事件A包含“X=3”、“X=5”2个互斥的事件，由此能求出X≥3的概率．（2）设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，则X1的所有可能的取值为0，3，6，求出X1的分布列和E（X1）；都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X2的所有可能取值为0，2，4，求出X2的分布列和E（X2），从而得到E（X1）＞E（X2），进而得到他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．19．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）取PA中点为H，连结CE、HE、FH，由已知得ABCD是平行四边形，四边形FCEH是平行四边形，由此能证明CE∥平面PAF．（2）由已知得CA⊥AD，CA⊥平面PAD，CA⊥PA，建立平面直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出平面PAG和平面PGC所成二面角的大小．20．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；J9：直线与圆的位置关系．【分析】（1）先设曲线C上任取一个动点P的坐标（x，y），然后根据题意（x，2y）在圆x2+y2=8上，整理即可解出曲线C的方程．（2）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可．21．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）当a=1时，求导数，确定切线的斜率，即可求出切线方程；（2）求出函数的导数，分类讨论，利用g′（x）≥0在x∈[1，+∞）时恒成立，即可得出结论．22．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C的参数方程消去参数能求出曲线C的普通方程，由直线l的极坐标方程能求出直线l的直角坐标方程．（2）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ），P到直线l的距离为d=|4cosθ+3sinθ﹣6|，则|PA|==|5sin（θ+α）﹣6|，由此能求出|PA|的最大值与最小值．23．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）令g（x）=5﹣x﹣|x﹣1|，求出g（x）的最大值，从而求出a的范围即可．11 / 11。
2017届高考预测密卷(2)(理科数学)试卷(含答案解析)
, 0 上任取一个实数 x ， 2
则 g x 的值不小于 6 的概率为（ ）Fra bibliotekA. 1
B.
3
C.
1
D.
1
6
8
4
8
7．我国古代著名的数学专著《九章算术》中有一个“竹九节”问题为
“一根九节的竹子，自
上而下各节的容积成等差数列， 上面四节容积之和为 3 升， 下面三节的容积之和为 4 升， 则
这根竹子的总容积为（
值范围是（
）
1 A. ( 1, )
8
B. (1, )
1 C. ( , 1) ( , )
8
1 D. ( , )
8
第Ⅱ卷（ 13-21 为必做题， 22-23 为选做题）
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填写在答题卡 相应的题号后的横线上）
13. 若复数 z 满足 1 i z 3 i ，则复数 z 的共轭复数的虚部为 ________.
17．（本小题满分 12 分）
如图，在 ABC 中，sin C sin ABC(cos A
2 sin A)
0 ，BC
3，，点 D 在线段 AC
4
上，且 AD
2DC ， BD
43
．
3
（1）求 AB 的长； （2）求 ABD 的面积．
18.（本小题满分 12 分）
某学校高一年级为更好地促进班级工作的开展， 在第一学期就将本年级所有班级按一定的标
A． 2
B
12.已知函数 f ( x) x2
．1 x 2a ， g( x)
C.
1
2
1
，若存在两点
x
【真卷】2017年重庆市高考数学试卷(理科)(全国新课标Ⅱ)
2017年重庆市高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）=（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i2．（5分）设集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（）A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}3．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏4．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A．90πB．63πC．42πD．36π5．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（）A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9完成，则不同的安排方式共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种7．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩8．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（）A．2 B．3 C．4 D．59．（5分）若双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A．2 B．C．D．10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．11．（5分）若x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（）A．﹣1 B．﹣2e﹣3C．5e﹣3 D．112．（5分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（）A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2017届高考预测密卷(2)(理科数学)试卷(含答案解析)
2017高考理数预测密卷二本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．设,A B 是两个非空集合，定义集合{|A B x x A -=∈且}x B ∉，若{}|05A x Z x =∈≤≤，{}2|7100B x x x =-+<，则A B -的真子集个数为（ ）A.3B.4C.7D. 15 2．命题“0x ∀>，使得210x x ++>”的否定是 （ ）A.00x ∃≤，使得20010x x ++≤ B. 0x ∀≤，使得210x x ++>.C. 0x ∀>，使得210x x ++>D. 00x ∃>，使得210x x ++≤3．已知p ：1a =±，q ：函数22()ln()f x x a x =++为奇函数，则p 是q 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4. 若,x y 满足约束条件1020220x y x y x y -+≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则目标函数z x y =+（ ）A. 有最大值32，最小值-3 B.有最大值1，最小值-3 C.有最小值1，无最大值 D.有最大值1，无最小值 5. 执行如图所示的程序框图，若输入的2k =,则输出的k 为（ ）A.6B.7C.8D. 9 6．已知()sin(2)3f x x π=+，'()2()()g x f x f x =+，在区间 , 02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上任取一个实数x ，则()g x 的值不小于6的概率为（ ）A.16 B.38 C.14 D.18 7．我国古代著名的数学专著《九章算术》中有一个“竹九节”问题为“一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，则这根竹子的总容积为（ ）A.476升 B. 172升 C. 20122升 D. 30933升 8．函数12017()()cos 12017xxf x x -=+的图象大致为（ ） A.B.C. D.9. 若5(1)x ay --的展开式中2x y 的系数为-150，则展开式中各项的系数和为（ ） A ．55- B. 55 C. 53 D. 54 10.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是正方形，两条虚线互相垂直， 若该几何体的体积是1603，则该几何体的表面积为（ ）A. 96162+B. 80162+C.80D. 112 11．已知M 、N 是等轴双曲线222(0)x y a a -=>上关于原点对称的两点，P 是双曲线上的动点，且直线,PM PN 的斜率分别为1212,,0k k k k ≠，则12k k +的最小值为（ ）A ．2B ．1 C. 12D 12.已知函数2()2f x x x a =++，1()g x x=-，若存在两点11(,())A x f x ，22(,())B x g x ，12(0,0)x x <>，使得直线AB 与函数()y f x =和()y g x =的图象均相切，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1(1,)8-B. (1,)+∞C. 1(,1)(,)8-∞-+∞UD. 1(,)8-∞第Ⅱ卷（13-21为必做题，22-23为选做题）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
2017年普通高等学校招生全国统一考试预测卷(一)理科数学
2017年普通高等学校招生全国统一考试预测卷（一）数学（理科）本试卷分Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如图，全集U 中，P Q =∅，那么阴影部分可以表示为集合（ ）A ．()()U UP S QB ．()US PQ ⎡⎤⎣⎦C ．()()UUSP SQ ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦D ．SP Q2．已知复数z 满足2i 3z mz +=-，且z 的实部与虚部之和为0，则实数m 等于（ ） A ．3- B ．1- C ．1 D ．4 3．下列命题正确的是（ ） A ．若p q ∧为假，则p ，q 均为假命题．B ．“x ＞2”是“2320x x -+>”的充分不必要条件C ．对命题p ：x ∃∈R ，使得210x x ++<，则p ⌝为x ∃∈R ，均有210x x ++< 4．项数大于3的等差数列{}n a 中，各项均不为零，公差为1，且1223231111a a a a a a ++=．则其通项公式为（ ） A ．3n a n =-B ．n a n =C ．1n a n =+D ．23n a n =-5．为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5~18岁的男生体重（kg ），得到频率分布直方图如下：根据上图可得这100名学生中体重在（56.5,64.5）的学生人数是（ ） A ．50 B ．40 C ．30 D ．20 6．如果执行右面的程序框图，那么输出的S =（ ） A ．2 450 B ．2 550 C ．2 500 D ．2 6527．已知直线1l ：230x y -+=和直线2l ：20x y -+=，若2l 上任意一点到1l 的距离与它的l 的距离相等，则直线l 的方程是（ ） A ．230x y -+= B ．230x y --=C ． 210x y +-=D ．)11011y x ±-=+ 8．长方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E 为AB 的中点，CE =3，异面直线11A C 与CE 53，且四边形11ABB A 为正方形，则球O 的直径为（ ） A ．4 B 51 C ．4或 51 D ．4或59．若a ，b ，c 是取自集合{}1,2,3,4,5,6,7中的三个不同的数，且满足ab bc ca ++为奇数，则a ，b ，c 不同选取方法共有（ ） A ．132种 B ．96种C ．60种D ．24种10．已知函数()y f x =，()y g x =的图象如图所示，则函数()y g f x ⎡⎤=⎣⎦的大致图象是（ ）11．在有限数列{}n a 中，n S 是{}n a 的前n 项和，若把123nS S S S n++++称为数列{}n a 的“优化和”，现有一个共2 006项的数列{}n a ：1232006,,,,a a a a ，若其“优化和”为2007，则有2 007项的数列12320061,,,,,a a a a 的“优化和”为（ ）A ．2 005B ．2 006C ．2 007D ．2 00812．已知函数()()()()123f x x x x x x x =---（其中123x x x <<），()()3sin 21g x x x =++，且函数()f x 的两个极值点为(),αβαβ<，设122x x λ+=，232x x μ+=则（ ） A ．()()()()g g g g αλβμ<<< B ．()()()()g g g g λαβμ<<< C ．()()()()g g g g λαμβ<<< D ．()()()()g g g g αλμβ<<<第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题~第24题为 选考题，考生根据要求作答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．14．设()f x 为奇函数，且(),0-∞内是减函数，()30f -=，则不等式()0xf x <的解集为 ．15．已知实数x ，y 满足140x x y ax by c ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≥⎩，且目标函数2z x y =+的最大值为7，最小值为1，则4cy a c x b-+的取值范围是 ． 16．在△ABC 中，2AB =a ，则3AC =b ，设P 为△ABC 内部及其边界上任意一点，若AP λμ=+a b ,则λμ的最大值为 ．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤）17．（本小题满分12分）一个摸球游戏，规则如下：在一个透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球，参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次，参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球．当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，k 倍的奖励（k ∈N *），且游戏费仍退还给参加者．记参加者玩1次的收益为X 元． （1）求概率()0P X =的值；（2）为使收益X 的数学期望不小于0元，求k 的最小值． 18．（本小题满分12分）已知函数()222sin sin cos 3sin 3f x x x x x π⎡⎤⎛⎫=++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． （1）求()f x 图象的对称轴方程；（2）若存在实数50,12t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()20sf t -=成立，求实数s 的取值范围．19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，P A ⊥底面ABC ，P A=AB ，∠ABC=60°，∠BCA =90°，点D ，E 分别在棱PB ，PC 上，且DE ∥BC ． （1）求证：BC ⊥平面P AC ；（2）当D 为PB 的中点时，求AD 与平面P AC 所成的角的正弦值； （3）是否存在点E 使得二面角A DE P --为直二面角？并说明理由．20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：2221(1)x y a a+=>的左、右焦点分别为()1,0F c -、()2,0F c ，P 为椭圆C 上任意一点，且12PF PF ⋅的最小值为0． （1）求曲线C 的方程；（2）若动直线1l ，2l 均与椭圆C 相切，且1l ∥2l ，试探究在x 轴上是否存在定点B ，使得点B 到1l ，2l 的距离之积恒为1？若存在，请求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分12分）对于函数()f x ，在给定区间[],a b 内任取n +1（n ≥2，n ∈N *）个数012,,,,n x x x x ，使得0121n n a x x x x x b -=<<<<<=，记()()110n i i i S f x f x -+==-∑．若存在于n 及i x （i ≤n ，i ∈N *）均无关的正数A ，使得S ≤A 恒成立，则称()f x 在区间[],a b 上具有性质V ． （1）若函数()21f x x =-+，给定区间为[]1,1-，求S 的值；（2）若函数()3xxf x =，给定区间为[]0,2，求S 的值； （3）对于给定的实数k ，求证：函数()21ln 2f x k x x =-在区间[]1,e 上具有性质V ．23．选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，已知曲线1C ：2221(12)x y a a+=<<，曲线2C ：220x y x y +--=，Q 是2C 上的动点，P 是线段OQ 延长线上的一点，且P 满足4OQ OP ⋅=．（1）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，化2C 的方程为极坐标方程，并求点P 的轨迹3C 的直角坐标方程；（2）设M 、N 分别是1C 与3C 上的动点，若MN，求a 的值． 24．选修4-5：不等式选讲 已知函数()211f x x x =+-- （1）求不等式()2f x <的解集；（2）若关于x 的不等式()22a f x a ≤-有解，求a 的取值范围．。
2017年重庆高考数学试题与答案理科
个人收集整理资料, 仅供交流学习, 勿作商业用途2018年重庆高考数学试题及答案 <理科）.填空题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分。
在每小题 给出的四个备选选项中，只有一个是符合题目要求的 1.在等差数列中，勺气则3』的前5项和％ =【答案】B^zl<o2.不等式二一的解集为皿畑）【答案】2x 4-1*0 2【考点定位】本题主要考察了分式不等式的解法，解题的关键是灵 活运用不等式的性质，属于基础试题3.对任意的实数k ，直线y=kx+1与圆的位置关系一定是直线过圆心【答案】C4. I 皿丿的展开式中常数项为353535A. WB.C.寸D.105A.7B.15C.20D.25A.1 rB.C.：【解读】A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D. 相交且〔別【答案】B<5)设5伽尸是议程亡业心。
的两个根，贝y gj）的值为<A) -3 <B ) -1 <C ) 1 <D ) 3【答案】A<6)设耳尸R,向量住=也1"=01刃<=4」0且盘丄^bnc，贝沖"<A)占<B ) J。
<C ) 2岀<D ) 10【答案】B<7）已知/⑴是定义在R上的偶函数，且以2为周期，贝S “八）为［0,1］上的增函数”是“卅Q为［3 , 4］上的减函数”的tY253el2aS <A）既不充分也不必要的条件<B ）充分而不必要的条件<C）必要而不充分的条件<D ）充要条件【答案】D<8）设函数/⑴在R上可导，其导函数为广⑷，且函数F °“⑷的图像如题<8）图所示，贝S下列结论中一定成立的是<A）函数/⑴有极大值和极小值/⑴<B）函数/⑴有极大值肥7^和极小值/⑴<0函数卢心有极大值肥711和极小值几2） <D）函数/⑴有极大值和极小值/⑺【答案】D<9）设四面体的六条棱的长分别为1, 1, 1, 1,二和由，且长为由的棱与长为「2的棱异面，则白的取值范围是<A) ® 4 <B )<C )0八习<D )CL為【答案】A<10）设平面点集丿= (tey>|(x-D2+O-52<l]j -d的平面图形的面积为【答案】D 二填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案分别填写在答题卡相应位置上<11）若⑴门⑵""血，其中以“为虚数单位，贝卩反+右= ；（^14【聊f 1 （WX2+i5=l+3i=a+bi n呂二1. b=3 r a^b= 4【折点宜忖】本豐主鼻考育貝散的累法话算与真数相算的充星条侔”此题曙T耳*绳- 4的；1»30可得列圭分.lim（1二<12）一*•，二。
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2017年重庆市普通高等学校高考数学预测卷（理科）（4）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知复数z1=1+3i，z2=3+i（i为虚数单位）．在复平面内，z1﹣z2对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A={y|y=}，B={x|y=ln（x+1）}，则A∩B=（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，1]C．（﹣，）D．（﹣，]3．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=3，若=m+n（m，n∈R），则=（）A．﹣3 B．﹣ C．D．34．圆心在y轴上，半径为2，且过点（2，4）的圆的方程为（）A．x2+（y﹣1）2=4 B．x2+（y﹣2）2=4 C．x2+（y﹣3）2=4 D．x2+（y﹣4）2=4 5．某市有6条南北向街道，4条东西向街道，图中共有m个矩形，从A点走到B点最短路线的走法有n种，则m，n的值分别为（）A．m=90，n=56 B．m=30，n=56 C．m=90，n=792 D．m=30，n=7926．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．27．若O为△ABC的内心，且满足（﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．正三角形C．直角三角形D．以上都不对8．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．B．﹣C．1 D．09．如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=﹣对称，那么a等于（）A．B．1 C．D．﹣110．在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长概率为（）A．B．C．D．11．设双曲线的半焦距为C，直线L过（a，0），（0，b）两点，已知原点到直线L的距离为，则双曲线的离心率为（）A．2 B．2或C．D．12．函数f（x）是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）=x﹣1，则不等式xf（x）＞0在[﹣1，3]上的解集为（）A．（1，3） B．（﹣1，1）C．（﹣1，0）∪（1，3）D．（﹣1，0）∪（0，1）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知sinθ+cosθ=，θ∈（0，π），则的值是．14．命题：（1）三角形、梯形一定是平面图形；（2）若四边形的两条对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；（3）三条平行线最多可确定三个平面；（4）平面α和β相交，它们只有有限个公共点；（5）若A，B，C，D四个点既在平面α内，又在平面β内，则这两平面重合．其中正确命题的序号是．15．已知x，y满足约束条件，若目标函数z=mx+y（m＞0）的最大值为1，则m的值是．16．已知函数f（x）=x3﹣x2+2x+1，且f（x）在区间（﹣2，﹣1）内存在单调递减区间，则实数a的取值范围．三、解答题17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且对任意正整数n，都有a n是n与S n的等差中项．（1）求证：a n=2a n﹣1+1（n≥2）；（2）求证：数列{a n+1}为等比数列；（3）求数列{a n}的前n项和S n．18．某高中学校为了了解在校学生的身体健康状况，从全校学生中，随机抽取12名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如图：（1）将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（2）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及期望．19．如图所示，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，△ABE为等边三角形，且平面ABCD⊥平面ABE，AB=2CD=2BC=2，P为CE中点．（1）求证：AB⊥DE；（2）求平面ADE与平面BCE所成的锐二面角的余弦值．20．设点F（0，），动圆P经过点F且和直线y=﹣相切，记动圆的圆心P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）过点F（0，）的直线l与曲线E交于P、Q两点，设N（0，a）（a＜0），与的夹角为θ，若θ≤，求实数a的取值范围．21．已知函数φ（x）=，a为常数．（1）若f（x）=lnx+φ（x），且a=，求函数f（x）的单调区间；（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x1，x2∈[1，2]，x1≠x2，都有＜﹣1，求a的取值范围．四、选修4-4：坐标系与参数方程22．直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值．五、选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|．（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求实数a的取值范围．2017年重庆市普通高等学校高考数学预测卷（理科）（4）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知复数z1=1+3i，z2=3+i（i为虚数单位）．在复平面内，z1﹣z2对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】A6：复数代数形式的加减运算．【分析】利用复数运算法则和几何意义即可得出．【解答】解：∵z1=1+3i，z2=3+i，∴z1﹣z2=﹣2+2i，∴z1﹣z2在复平面内对应的点（﹣2，2）在第二象限．故选：B．2．已知集合A={y|y=}，B={x|y=ln（x+1）}，则A∩B=（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，1]C．（﹣，）D．（﹣，]【考点】1E：交集及其运算．【分析】化简集合A、B，根据交集的定义写出A∩B即可．【解答】解：∵1+x2≥2x，∴≤1，（x≥0）又函数y=是定义域R上的奇函数，∴≥﹣1，∴﹣1≤≤1；∴集合A={y|y=}={y|﹣1≤y≤1}=[﹣1，1]，B={x|y=ln（x+1）}={x|x+1＞0}={x|x＞﹣1}=（﹣1，+∞），∴A∩B=（﹣1，1]．故选：B．3．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=3，若=m+n（m，n∈R），则=（）A．﹣3 B．﹣ C．D．3【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】利用平面向量的三角形法以及平面向量基本定理求出m，n．【解答】解：，如图过E作DE∥AB，交BC于E．∵AD∥BC，AD=2，BC=3，∴EC=1，由=m+n=可得．∴，故选：A．4．圆心在y轴上，半径为2，且过点（2，4）的圆的方程为（）A．x2+（y﹣1）2=4 B．x2+（y﹣2）2=4 C．x2+（y﹣3）2=4 D．x2+（y﹣4）2=4【考点】J1：圆的标准方程．【分析】设圆心的坐标为（0，b），根据题意，则有（0﹣2）2+（b﹣4）2=4，解可得b的值，将b的值代入圆的方程即可得答案．【解答】解：根据题意，设圆心的坐标为（0，b），则有（0﹣2）2+（b﹣4）2=4，解可得b=4，则圆的方程为x2+（y﹣4）2=4；故选：D．5．某市有6条南北向街道，4条东西向街道，图中共有m个矩形，从A点走到B点最短路线的走法有n种，则m，n的值分别为（）A．m=90，n=56 B．m=30，n=56 C．m=90，n=792 D．m=30，n=792【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，对于第一空：在南北街道中任取2条，东西向街道任取2条，即可组成1个矩形，由组合数公式计算即可得答案，对于第二空：分析可得从A点走到B点最短路线需要项右走5次，向上走3次，共8次，在这8次中任选3次向上，其余向右即可，由组合数公式计算即可得答案．【解答】解：根据题意，有6条南北向街道，4条东西向街道，在南北街道中任取2条，东西向街道任取2条，即可组成1个矩形，则图中共有C62×C42=90个矩形，则m=90；从A点走到B点最短路线需要项右走5次，向上走3次，共8次，在这8次中任选3次向上，其余向右即可，则最短路线有C83=56种，即n=56，故选：A．6．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．2【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，其中侧面是正三角形，底面ABCD是正方形，且底面ABCD⊥侧面PAB．利用体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，其中侧面是正三角形，底面ABCD是正方形，且底面ABCD⊥侧面PAB．∴该几何体的体积V==．故选；B．7．若O为△ABC的内心，且满足（﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．正三角形C．直角三角形D．以上都不对【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的运算法则将等式中的向量，，用三角形的各边对应的向量表示，得到边的关系，得出三角形的形状．【解答】解：∵（﹣）•（+﹣2）=0，∴（﹣）•[（﹣）+（﹣）]=0，即（﹣）•（）=0，•（）=0，（）（）=0，∴=0，∴．∴△ABC为等腰三角形．故选A．8．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．B．﹣C．1 D．0【考点】EF：程序框图．【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件i＞8，跳出循环，计算输出S的值．【解答】解：输入i=1，s=0，a1=tan=，s=，i=1≤8，i=2，a2=tan=﹣，s=﹣=0，i=2≤8，i=3，a3=tanπ=0，s=0，i=3≤8，i=4，a4=tan=，s=，i=4≤8，i=5，a5=tan=﹣，s=0，i=5≤8，i=6，a6=tan=tan2π=0，s=0，i=6≤8，i=7，a7=tan=tan=，s=，i=7≤8，i=8，a8=tan=tan=﹣，s=0，i=8≤8，i=9，a9=tan=0，s=0，i=9＞8，输出s=0，故选：D．9．如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=﹣对称，那么a等于（）A．B．1 C．D．﹣1【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】将函数y=sin2x+acos2x利用辅角公式化简，再根据正弦函数在对称轴上取最值可得方程，进而可得答案．【解答】解：由题意知y=sin2x+acos2x=sin（2x+φ）当时函数y=sin2x+acos2x取到最值±将代入可得：sin[2×（）]+acos[2×（）]=解得a=﹣1故选D．10．在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长概率为（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】由题意可得：如图，要使弦长大于CD的长，就必须使圆心O到弦的距离小于|OF|，即可得出结论、【解答】解：如图所示，△BCD是圆内接等边三角形，过直径BE上任一点作垂直于直径的弦，设大圆的半径为2，则等边三角形BCD 的内切圆的半径为1，显然当弦为CD时就是△BCD的边长，要使弦长大于CD的长，就必须使圆心O到弦的距离小于|OF|，记事件A={弦长超过圆内接等边三角形的边长}={弦中点在内切圆内}，由几何概型概率公式得P（A）=，即弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是．故选C．11．设双曲线的半焦距为C，直线L过（a，0），（0，b）两点，已知原点到直线L的距离为，则双曲线的离心率为（）A．2 B．2或C．D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】直线l的方程为，原点到直线l的距离为，∴，据此求出a，b，c间的数量关系，从而求出双曲线的离心率．【解答】解：∵直线l的方程为，c2=a2+b2∴原点到直线l的距离为，∴，∴16a2b2=3c4，∴16a2（c2﹣a2）=3c4，∴16a2c2﹣16a4=3c4，∴3e4﹣16e2+16=0，解得或e=2．∵0＜b＜a，∴（e=2舍去）．故选D．12．函数f（x）是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）=x﹣1，则不等式xf（x）＞0在[﹣1，3]上的解集为（）A．（1，3） B．（﹣1，1）C．（﹣1，0）∪（1，3）D．（﹣1，0）∪（0，1）【考点】3Q：函数的周期性．【分析】根据函数的周期性和奇偶性，求出当x∈[﹣1，3]上的解析式，结合图象将不等式转化为或，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：若x∈[﹣2，0]，则﹣x∈[0，2]，∵当x∈[0，2]时，f（x）=x﹣1，∴f（﹣x）=﹣x﹣1，∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=﹣x﹣1=f（x），即当x∈[﹣2，0]时，f（x）=﹣x﹣1，即在一个周期[﹣2，2]内，f（x）=，若x∈[2，4]，则x﹣4∈[﹣2，0]，即f（x）=f（x﹣4）=﹣（x﹣4）﹣1=﹣x+3，x∈[2，4]，作出函数f（x）在[﹣2，4]上的图象如图：则当x∈[﹣1，3]时，不等式xf（x）＞0等价为或，即1＜x＜3或﹣1＜x＜0，即（﹣1，0）∪（1，3），故选：C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知sinθ+cosθ=，θ∈（0，π），则的值是 ．【考点】GI ：三角函数的化简求值．【分析】根据同角三角函数关系式求解出sinθ，cosθ的值，带入计算即可．【解答】解：由sinθ+cosθ=，sin 2θ+cos 2θ=1解得：或，∵θ∈（0，π），∴，则==．故答案为：．14．命题：（1）三角形、梯形一定是平面图形；（2）若四边形的两条对角线相交于一点，则该四边形是平面图形； （3）三条平行线最多可确定三个平面；（4）平面α和β相交，它们只有有限个公共点；（5）若A ，B ，C ，D 四个点既在平面α内，又在平面β内，则这两平面重合． 其中正确命题的序号是 （1），（2），（3） ． 【考点】2K ：命题的真假判断与应用．【分析】（1），根据不共线三点、两条平行线确定一个平面，可以判断三角形、梯形一定是平面图形；（2），若四边形的两条对角线相交于一点，则两条对角线可以确定一个平面，可判断该四边形是平面图形；（3），三条平行线最多可确定三个平面，其中任意两条确定一个； （4），平面α和β相交，它们只有无限个公共点，构成它们的交线；（5），若A，B，C，D四个点既在平面α内，又在平面β内，则该四点可能在其交线上，则这两平面重合或相交【解答】解：对于（1），根据不共线三点、两条平行线确定一个平面，可以判断三角形、梯形一定是平面图形，故正确；对于（2），若四边形的两条对角线相交于一点，则两条对角线可以确定一个平面，由公理Ⅰ可知四边形的四边在该平面内，则该四边形是平面图形，故正确；对于（3），三条平行线最多可确定三个平面，其中任意两条确定一个，故正确；对于（4），平面α和β相交，它们只有无限个公共点，构成它们的交线，故错；对于（5），若A，B，C，D四个点既在平面α内，又在平面β内，则该四点可能在其交线上，则这两平面重合或相交，故错故答案为：（1）（2）（3）．15．已知x，y满足约束条件，若目标函数z=mx+y（m＞0）的最大值为1，则m的值是1．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，利用图形得出目标函数z=mx+y的最优解，列方程求出m的值．【解答】解：由约束条件，作出可行域如图所示，联立，解得A（1，2）；化目标函数z=mx+y（m＞0）为y=﹣mx+z，由图可知，当直线y=﹣mx+z过A（1，2）点时，直线在y轴上的截距最大，此时z最大值为2﹣m=1，解得m=1．故答案为：1．16．已知函数f（x）=x3﹣x2+2x+1，且f（x）在区间（﹣2，﹣1）内存在单调递减区间，则实数a的取值范围（﹣∞，﹣2）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，问题转化为a＜（x+）max=﹣2，根据不等式的性质求出a的范围即可．【解答】解：f′（x）=x2﹣ax+2，由题意得∃x∈（﹣2，﹣1），使得不等式f′（x）=x2﹣ax+2＜0成立，即x∈（﹣2，﹣1）时，a＜（x+）max，令g（x）=x+，x∈（﹣2，﹣1），则g′（x）=1﹣=，令g′（x）＞0，解得：﹣2＜x＜﹣，令g′（x）＜0，解得：﹣＜x＜﹣1，故g（x）在（﹣2，﹣）递增，在（﹣，﹣1）递减，故g（x）max=g（﹣）=﹣2，故满足条件a的范围是（﹣∞，﹣2），故答案为：（﹣∞，﹣2）．三、解答题17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且对任意正整数n，都有a n是n与S n的等差中项．（1）求证：a n=2a n﹣1+1（n≥2）；（2）求证：数列{a n+1}为等比数列；（3）求数列{a n}的前n项和S n．【考点】8F：等差数列的性质；89：等比数列的前n项和；8D：等比关系的确定．【分析】（1）利用a n是n与S n的等差中项，以及a n=s n﹣s n﹣1，推出a n=2a n﹣1+1（n≥2）即可；（2）利用（1）直接推出数列{a n+1}为等比数列；（3）利用（2）求出通项公式，然后通过拆项法求数列{a n}的前n项和S n．【解答】（1）证明：∵a n是n与S n的等差中项，∴2a n=n+S n①于是2a n﹣1=n﹣1+S n﹣1（n≥2）②①﹣②得2a n﹣2a n﹣1=1+a n∴a n=2a n﹣1+1（n≥2）（2）证明：当n≥2时，由a n=2a n﹣1+1得a n+1=2（a n﹣1+1）∴当n=1时，2a1=1+S1即2a1=1+a1∴a1=1，a1+1=2所以{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列（3）解：∵a n+1=2•2n﹣1=2n∴a n=2n﹣1∴18．某高中学校为了了解在校学生的身体健康状况，从全校学生中，随机抽取12名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如图：（1）将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（2）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；BA：茎叶图．【分析】（1）计算抽取的12人中成绩是“优良”的频率，用频率估计概率，再用对立事件的概率公式计算所求的概率值；（2）由题意知ξ的可能取值，计算对应的概率值，写出ξ的分布列，计算数学期望值．【解答】解：（1）抽取的12人中成绩是“优良”的有9人，频率是=，依题意知，从该校学生中任选1人，成绩是“优良”的概率为；设事件A表示“在该校学生中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是优良”，则P（A）=1﹣•=1﹣=，即至少有1人成绩是“优良”的概率为；（2）由题意可知，ξ的可能取值为0，1，2，3；则P （ξ=0）==，P （ξ=1）==，P （ξ=2）===，P （ξ=3）===；则ξ的分布列为数学期望为E （ξ）=0×+1×+2×+3×=．19．如图所示，四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，△ABE 为等边三角形，且平面ABCD ⊥平面ABE ，AB=2CD=2BC=2，P 为CE 中点． （1）求证：AB ⊥DE ；（2）求平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值．【考点】MT ：二面角的平面角及求法；LO ：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）取AB 的中点O ，连结OD ，OE ，则AB ⊥OE ，AB ⊥OD ，故而AB ⊥平面ODE ，于是AB ⊥DE ；（2）以O 为原点建立空间坐标系，求出两平面的法向量，计算法向量的夹角即可得出二面角的余弦值．【解答】（1）证明：取AB 的中点O ，连结OD ，OE ，∵△ABE是等边三角形，∴AB⊥OE，∵CD∥OB，CD=AB=OB，BC⊥AB，∴四边形OBCD是正方形，∴AB⊥OD，又OD⊂平面ODE，OE⊂平面ODE，OD∩OE=O，∴AB⊥平面ODE，又DE⊂平面ODE，∴AB⊥DE．（2）解：∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，OD⊂平面ABCD，∴OD⊥平面ABE，以O为原点，以OA，OE，OD为坐标轴建立空间坐标系，如图所示：则A（1，0，0），B（﹣1，0，0），D（0，0，1），E（0，，0），C（﹣1，0，1），∴=（﹣1，0，1），=（﹣1，，0），=（0，0，1），=（1，，0），设平面ADE的法向量为=（x，y，z），则，即，令y=1得=（，1，），同理可得平面CE的法向量为=（，﹣1，0），∴cos＜＞===．∴平面ADE与平面BCE所成的锐二面角的余弦值为．20．设点F（0，），动圆P经过点F且和直线y=﹣相切，记动圆的圆心P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）过点F（0，）的直线l与曲线E交于P、Q两点，设N（0，a）（a＜0），与的夹角为θ，若θ≤，求实数a的取值范围．【考点】KK：圆锥曲线的轨迹问题．【分析】（1）由题意可得：动圆的圆心P的轨迹曲线E为抛物线：x2=2y．（2）设直线l的方程为：y=kx+，P（x1，y1），Q（x2，y2），直线方程与抛物线方程联立化为：x2﹣2kx﹣1=0，=（x1，y1﹣a），=（x2，y2﹣a）．根据与的夹角为θ，θ≤，可得•=x1x2+（y1﹣a）（y2﹣a）≥0．把根与系数的关系代入化简即可得出．【解答】解：（1）由题意可得：动圆的圆心P的轨迹曲线E为抛物线：x2=2y．（2）设直线l的方程为：y=kx+，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，化为：x2﹣2kx﹣1=0，∴x1+x2=2k，x1x2=﹣1．=（x1，y1﹣a），=（x2，y2﹣a）．∵与的夹角为θ，θ≤，∴•=x1x2+（y1﹣a）（y2﹣a）=x1x2+=（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+≥0．∴﹣（1+k2）+k（2k）+≥0．a＜0．化为：k2≥，∴a2﹣a﹣≥0，a＜0，解得：．∴实数a的取值范围是．21．已知函数φ（x）=，a为常数．（1）若f（x）=lnx+φ（x），且a=，求函数f（x）的单调区间；（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x1，x2∈[1，2]，x1≠x2，都有＜﹣1，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）对f（x）求导，利用f′（x）＞0判断函数单调增，f′（x）＜0函数单调减，求出单调区间；（2）由题意，构造函数h（x）=g（x）+x，根据h（x）在[1，2]上的单调性，再利用导数讨论h（x）的单调性与最值问题，从而求出a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=lnx+φ（x）=lnx+，（x＞0）；∴f′（x）=，当a=时，令f′（x）＞0，即x2﹣x+1＞0，解得x＞2，或x＜，∴函数f（x）的单调增区间为（0，），（2，+∞），单调减区间为（，2）；（2）∵＜﹣1，∴+1＜0，即＜0；设h（x）=g（x）+x，依题意，h（x）在（0，2]上是减函数；当1≤x≤2时，h（x）=lnx++x，h′（x）=﹣+1；令h′（x）≤0，解得a≥+（x+1）2=x2+3x++3对x∈[1，2]时恒成立；设m（x）=x2+3x++3，则m′（x）=2x+3﹣，∵1≤x≤2，∴m′（x）=2x+3﹣＞0，∴m（x）在[1，2]上是增函数，则当x=2时，m（x）的最大值为，∴a≥．四、选修4-4：坐标系与参数方程22．直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C1的参数方程为（θ为参数），利用平方关系可得普通方程．曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，展开可得：（sinθ+cosθ）=2，利用互化公式可得直角坐标方程．（2）设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程x+y+t=0与椭圆相切，联立化为：4x2+6tx+3t2﹣3=0，令△=0，解得t，进而得出．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（θ为参数），利用平方关系可得：=1．曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，展开可得：（sinθ+cosθ）=2，化为：x+y﹣4=0．（2）设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程x+y+t=0与椭圆相切，则，化为：4x2+6tx+3t2﹣3=0，△=36t2﹣4（3t2﹣3）=0，解得t=±2，t=﹣2时，|PQ|取得最小值==．五、选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|．（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求实数a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）由条件利用绝对值的意义求得不等式f（x）≥3的解集．（2）由题意可得f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价转化为﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此可得a的范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，函数f（x）=|x﹣3|+|x﹣2|，表示数轴上的x对应点到2、3对应点的距离之和，而1和4对应点到2、3对应点的距离之和正好等于3，故不等式f（x）≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，等价于f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，即|x+a|+|x﹣2|≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，即|x+a|≤（4﹣x）﹣（2﹣x）=2 在[1，2]上恒成立，即﹣2≤a+x≤2 在[1，2]上恒成立，即﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，∴﹣3≤a≤0．2017年7月4日。